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三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。
2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。
二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值： （1）x x ycos sin 32⋅=（2）xysin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y（4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈-解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ）A ．212- B ．221+-C ．－1D ．221-3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π)解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xx y sin cos 2-=（0<x<π）最小值。
（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。
解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ） 又0<x<π，则点B 的轨迹如图 而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y （2）21sin 3y x y+=-，而sinx ∈[-1,1]于是－1≤213y y+-≤1 所以 －4≤y ≤23即y 的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。
三角函数的值域与解析式三角函数是高中数学中的重要概念，它们在几何学和物理学等领域有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们需要了解它们的值域和解析式，以便能够正确地运用它们。
本文将重点探讨正弦函数和余弦函数的值域与解析式。
一、正弦函数的值域与解析式正弦函数的解析式为：y = sin(x)正弦函数的值域是[-1, 1]，即其取值范围在-1与1之间。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它在x轴上是周期性的，在y轴上取值介于-1到1之间。
当x为0、π、2π及其整数倍时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2及其奇数倍时，正弦函数的值为1或-1；当x为π/4、3π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于0和1之间；当x为5π/4、7π/4及其奇数倍时，正弦函数的值介于-1和0之间。
根据这些特点，我们可以绘制出正弦函数的图像，并正确理解其值域。
二、余弦函数的值域与解析式余弦函数的解析式为：y = cos(x)余弦函数的值域也是[-1, 1]，与正弦函数相同。
余弦函数的图像也是一条连续波浪线，但与正弦函数的图像相位差π/2，即余弦函数的图像在x轴上是正弦函数图像向左平移π/2个单位。
余弦函数的值域与正弦函数相同，当x为0、2π、4π及其整数倍时，余弦函数的值为1；当x为π、3π、5π及其奇数倍时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、5π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于0和-1之间；当x为3π/2、7π/2及其奇数倍时，余弦函数的值介于-1和0之间。
理解余弦函数的值域有助于正确应用该函数解决问题。
综上所述，正弦函数和余弦函数的值域都是[-1, 1]，但在特定的x取值时，它们的值会有所不同。
熟练掌握它们的值域和解析式是理解三角函数的重要一步，为应用三角函数解决实际问题打下基础。
我们可以通过反复练习和实际运用来加深对三角函数值域和解析式的理解，提高数学应用的能力。
三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,xx这一有界性求最值。
例1：求函数xx ysin 21sin 的值域。
解：由xx ys in 21s in 变形为(1)si n 21y x y ，知1y ，则有21sin 1y xy，由21|sin |||11y x y22221||1(21)(1)1y yyy203y ，则此函数的值域是2[,0]3y类型二：x b x a y cos sin 型。
此类型通常可以可化为22sin cos ()y a x b x ab x求其最值（或值域）。
例2：求函数)3sin()6sin(xxy（R x）的最值。
解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(xxxxy ，∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β± cos αsin β解法2：xxycos 213sin 213∴函数的最大值为2，最小值为2。
分析3：观察发现角)3(x 与角)6(x的差恰好为2，故将)6(x看成基本量，将函数化归为同一角)6(x的函数式。
解法3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2xy )12sin(2x∴函数的最大值为2，最小值为2。
类型三：)0(sin sin 2a c xb xa y型。
此类型可化为)0(2a c bt aty在区间]1,1[上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2x xy（R x）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
解：49)23(sin 1sin 3sin 122x x xy∴函数的最大值为49，最小值为4325例4：求函数1sin 3cos 2x a xy （R a，R x）的最大值。
解：1sin 3cos 2x a xy转化为2sin 3sin 2y xa x配方得：243)23(sin 22aa x y①当123a ，即332a 时，在sinx=1，即)(22z kk x时，13maxa y ②当123a时，即332a 时，在sinx=－1，即)(22z k k x时，13maxa y ③当1231a，即332332a时，在a x23sin ，即a kx 23arcsin 2或)(23arcsin2z ka k x 时，2432maxay 综上：2max2331()3323232()4332331()3a ay a aa a类型四：)0(cos sin sin 2ac xx b xa y 型。
三角函数的值域和最值1.正弦函数y=sinx 定义域是R ，值域是[-1,1]，在x=2k π-π/2(k ∈Z)时取最小值-1，在x=2k π+π/2(k ∈Z)时，取最大值1 .2.余弦函数y=cosx 定义域是R ，值域是[-1，1]，在x=2k π(k ∈Z)时，取最大值1，在x=2k π+π(k ∈Z)时，取最小值-13.正（余）切函数y=tanx 定义域是(k π-π/2，k π+π/2)(k ∈Z)，值域是R ，无最值.4. asinx+bcosx 型函数)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a其中 ab arctan =ϕ，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定) 练习题1．.若sin x ≥1/2，则x 的范围是____________________________；若√3+2cos x ＜0，则x 的范围是 ；若tanx ≤1,则x 的范围是________________________；若sin2x ＞cos2x ，则x 的范围是__________________________( 2k π+π/6≤x ≤2k π+5π/6，k ∈Z ；2k π+5π/6<x<2k π+7π/6，k ∈Z ；k π-π/2<x ≤k π+π/4，k ∈Z ；k π+π/4<x<k π+3π/4，k ∈Z )2．函数y=√3sin x+cos x,x ∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]【x 有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)24.设 0cos sin,cos sin 33<+=+ααααt ，则t 的取值范围是( ) B (A) ()()∞+-，，303 (B) [)02，-(C) ()()3101，， - (D) [)33，- 5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b ]上是增函数，且f(a)=-M ，f(b)=M ，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b ]上( ) B(A)是增函数 (B)可以取得最大值M(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M6．已知△ABC 中， 324tan --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，求使⎪⎭⎫ ⎝⎛++=62sin sin 2y 2πB B 取最大值时∠C 的大小.【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a 、b 、c 、d 为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B 的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解 另外，求最值时不能忽视对定义域的思考】7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x ∈[0，π/2]呢？【此为sinx+cosx 与sinx·cosx 型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx ，sinx·cosx 的三角函数都可以采用换元法转化为t 的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】8．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 【此为dx c b x a y ++=sin sin 型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求1cos 21sin 2-+=x x y 的值域呢? 】 9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a ＞0，求a,b 的值【上述两题为y=asin2x+bsinx+c 型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c 在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】10．.在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上．(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC 的面积P 与正方形面积Q(2)当θ变化时求P /Q 的最小值．【此题为 xa x sin sin +型三角函数．当sin x ＞0且a ＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】。
三角函数的最值与值域[知识扫描]含三角的函数值域的常见类型和方法 （1） 复合型：“一次型”：b x a y +=sin “二次型”：c x b x a y ++=sin sin 2“指”型：xay sin =“对”型：xay sin log=“勾”型：)0(sin sin >+=a xa x y（2）分式型：dx c b x a y ++=sin sin （分离常量或反解）d x c b x a y ++=cos sin （引入辅助角）22221121tan tantan tan c x b x a c x b x a y ++++=（判别式法）（3）x b x a y cos sin +=（引入辅助角）（4）x x b x x a y cos sin )cos (sin ++=（换元x x t cos sin +=）点拨：求含三角的函数值域时，能化简的先化简，将复杂的式子尽量转化为上述基本类型，变形时注意不改变函数的定义域，换元法求解时，注意新元的取值范围。
［典例精析］例1、 求下列各函数在相应定义域下的值域（1）2cos 4sin 3-+=x x y 若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]2,0[π，则值域为 。
（2）x x x x y 22cos3cos sin 2sin ++=若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]4,0[π，则值域为 。
（3）4sin 32cos -+=x x y 若定义域为R ，则值域为 ，若定义域为]6,0[π，则值域为 。
（4）已知αβαsin 2sin 2sin 322=+求βα22coscos+=y 的取值范围。
（5）1cos 2cos +=x x y（6）xx y cos 2sin 2--=（7）xx y sin 1sin +=（8）xx y 2sin 4)2sin 2(2+=（9）x xx x y 2sin cos sin 12sin +--=（10）xxx y sin 1cos sin 22+=（11）xxy sin 3sin 32log +-=例2、 求函数x x a x f 2cos sin 42)(--=的最大值和最小值。
