2021年中考数学模拟试卷(七)(习题及答案).

第 1 页 共 32 页
2021年北京市西城区中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．（2分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．被英国《卫报》誉为“新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、广东
珠海和澳门的桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为（ ）
A ．55×104
B ．5.5×104
C ．5.5×105
D ．0.55×106
3．（2分）实数a ，b 在数轴上的位置如图，则|a ﹣b |﹣|a +b |等于（ ）
A ．﹣2a
B ．﹣2b
C ．2b ﹣2a
D ．2a +2b
4．（2分）若n 边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n 为（ ）
A ．n ＝6
B ．n ＝7
C ．n ＝8
D ．n ＝9 5．（2分）如果x +y ＝5，那么代数式（1+y x−y ）÷
x x 2−y 2的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．5 D ．﹣5
6．（2分）如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，添加下列条件，不能判定△ACD ∽△ABC 的
是（ ）
A ．∠ACD ＝∠
B B ．∠AD
C ＝∠ACB C ．A
D AC =CD BC D ．AC 2＝AD •AB
7．（2分）如图，平面直角坐标系xOy 中，有A 、B 、C 、D 四点．若有一直线l
经过点（﹣。

2021年广东省珠海市香洲区中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．﹣4的倒数是（ ）A ．14B ．−14C ．4D ．﹣42．5G 是第五代移动通信技术，5G 网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB 以上，这意味着下载一部高清电影只需要1秒．将1300000用科学记数法表示应为（ ）A ．13×105B ．1.3×105C ．1.3x 106D ．1.3×1073．计算（2a ）3•b 4÷12a 3b 2的结果是（ ）A ．16b 2B ．32b 2 C ．23b 2 D ．2b 23a 2 4．已知实数a ，b ，c 满足a ＝4b ﹣7，b =12c +2．①当23＜c ＜3时，总有a ＞b ＞c ；②当2＜c ＜4时，则b +c ＞a ．上述结论，（ ）A ．①正确②正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①错误②错误5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得△A ′B ′C ，若AC ⊥A ′B ′，则∠BAC ＝（ ）A ．65°B ．75°C ．55°D ．35°7．一元二次方程x 2﹣2kx +k 2﹣k +2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣2B ．k ＜﹣2C ．k ＜2D ．k ＞28．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数232341则这15运动员的成绩的众数和中位数分别为（）A．1.75，1.70B．1.75，1.65C．1.80，1.70D．1.80，1.659．若一个圆锥侧面展开图的圆心角是270°，圆锥母线l与底面半径r之间的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①②C．②③④D．①②③二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．（4分）因式分解：a2b﹣25b＝．12．（4分）分式方程13x =2x−2的解为．13．（4分）一个多边形的内角和等于1800°，则该多边形的边数n等于．14．（4分）已知a2﹣a﹣2＝0，则3a﹣3a2的值为．15．（4分）如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB交OA于C，PD⊥OB于D．如果PC＝8，那么PD等于．。

2021年辽宁省沈阳市中考数学学业水平模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣3B．0C．D．π2．沈阳市总面积约13000平方公里，数据“13000”用科学记数法表示为（）A．1.3×103B．0.13×105C．13×103D．1.3×104 3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．4．不等式3x≤6的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2 6．已知方程组，则x﹣y的值是（）A．1B．2C．4D．57．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（）A．126°B．136°C．120°D．144°8．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根9．一次函数y＝﹣x+5的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD二、填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：a3+2a2+a＝．12．不等式组的解集是．13．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为．14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，1）．反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．∠AOB＝90°，AB＝10，则k的值为．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．点E在边BC上，AD＝BE＝2，DC＝3，BC＝5，点M在射线DC上，连接BM，当直线BM与直线AE的夹角等于45°时，线段DM的长为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．计算：3tan30°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2021）0+|2﹣|．18．在创建“文明校园”活动中，某校甲、乙两班共有5名学生被评为“文明学生”．甲班一名男生、一名女生，乙班三名女生．现要从甲、乙两班各随机抽取一名“文明学生”作为学校文明礼仪值周生，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生性别相同的概率（甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班三名女生分别用b1，b2，b3表示）．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．四、（每小题8分，共16分）20．某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是°；（4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目．21．四月是辽宁省“全民阅读月”，某校阅览室需购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的数量与用12000元购买文学类图书的数量相同，求文学类图书和科普类图书平均每本的价格．五、（本题10分）22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．六、（本题10分）23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点B坐标为（0，），AB＝7，点C在x轴上（点C在点A的右侧），AC＝5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图，当点Q在线段AC上时．①求点C的坐标；②当△CPQ是等腰三角形时，求t的值；（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥AB，若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．七、（本题12分）24．四边形ABCD是正方形，点F在射线CD上，以点A，点F为顶点作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针方向排列），连接DE，BG．（1）如图1，点F在线段CD上，求证：DE＝BG；（2）如图2，点F在线段CD上，连接AF．①求证：FC＝BG；②直接写出线段AD，DF，BG之间的数量关系；（3）当DF＝1，以点A，E，D，F为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时BG 的长．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点P的右侧，EP∥x轴．分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FG⊥x轴于点G．（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE．点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为h1，点P到OE的距离记为h2，当＝时，①直接写出点P的坐标；②将△CFE沿射线CF平移，平移后的三角形记为△C'F'E′，在平移过程中，当△C'F′E′三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离．参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题2分，共20分）1．下列实数中，比1大的数是（）A．﹣3B．0C．D．π解：显然﹣3＜1，0＜1．∵1＜＜2，∴＜＜1．∵3＜π＜4，∴π＞1．故选：D．2．沈阳市总面积约13000平方公里，数据“13000”用科学记数法表示为（）A．1.3×103B．0.13×105C．13×103D．1.3×104解：13000用科学记数法表示为：1.3×104．故选：D．3．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，故选：C．4．不等式3x≤6的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：不等式解得：x≤2，表示在数轴上，如图所示，．故选：B．5．下列运算正确的是（）A．2m3+3m2＝5m5B．m3÷m2＝mC．m•（m2）3＝m6D．（m﹣n）（n﹣m）＝n2﹣m2解：A.2m3+3m2＝5m5，不是同类项，不能合并，故错误；B．m3÷m2＝m，正确；C．m•（m2）3＝m7，故错误；D．（m﹣n）（n﹣m）＝﹣（m﹣n）2＝﹣n2﹣m2+2mn，故错误．故选：B．6．已知方程组，则x﹣y的值是（）A．1B．2C．4D．5解：∵2x+3y﹣（x+4y）＝x﹣y＝14﹣12＝2，∴x﹣y＝2，故选：B．7．如图，将一直尺与一块三角板按如图放置，若∠1＝36°，则∠2的度数为（）A．126°B．136°C．120°D．144°解：∵∠1＝36°，∴∠3＝90°﹣36°＝54°，∵AB∥CD，∴∠4＝∠3＝54°，∴∠2＝180°﹣54°＝126°，故选：A．8．方程x2﹣2x﹣1＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根解：∵△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．9．一次函数y＝﹣x+5的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限解：∵y＝﹣x+5中k＜0，∴一次函数图像经过第二四象限，∵b＞0，∴一次函数图像经过二四一象限．故选：B．10．如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB＝CD解：由作图知AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB＝CD，故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．因式分解：a3+2a2+a＝a（a+1）2．解：a3+2a2+a，＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）＝a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．12．不等式组的解集是﹣4≤x＜2．解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，解不等式2x+8≥0，得：x≥﹣4，则不等式组的解集为﹣4≤x＜2．13．若某正六边形的边长是4，则该正六边形的边心距为2．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，∵此多边形是正六边形，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBG＝60°，∴边心距OG＝OB•sin∠OBG＝4×＝2故答案为：2．14．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（﹣3，1）．反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A．∠AOB＝90°，AB＝10，则k的值为27．解：∵点B的坐标为（﹣3，1）．∴OB＝＝，∵∠AOB＝90°，AB＝10，∴OA＝＝＝3，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵∠BOE+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠OAD，∴∠BOE＝∠OAD，∵∠BEO＝∠ADO＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝＝＝＝3，∴OD＝3BE＝3，AD＝3OE＝9，∴A（3，9），∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，∴k＝3×9＝27，故答案为27．15．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD，点E，点F分别是AC，BD的中点，EF＝2.5．则AC的长为5．解：连接AF．∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，又∵E是AC的中点，∴EF＝AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴AC＝2EF，∵EF＝2.5，∴AC＝5．故答案为：5．16．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．点E在边BC上，AD＝BE＝2，DC＝3，BC＝5，点M在射线DC上，连接BM，当直线BM与直线AE的夹角等于45°时，线段DM的长为或13．解：如图1中，当点M在线段DC上时，∠BNE＝∠ABC＝45°，∵∠AEB＝∠BEN，∴△EBN∽△EAB，∴EB2＝EN•AE，设DM＝x，∴4＝，解得：x＝，如图2，当点M在线段DC的延长线上时，∠ANB＝∠ABE＝45°，∵∠BAE＝∠NAB，∴△BNA∽△EBA，∴AB2＝AE•AN，设DM＝x，∴，解得：x＝13，综上所述，可知DM的长为或13．故答案为：或13．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．计算：3tan30°+（﹣）﹣2﹣（π﹣2021）0+|2﹣|．解：原式＝3×+9﹣1+2﹣＝+9﹣1+2﹣＝10．18．在创建“文明校园”活动中，某校甲、乙两班共有5名学生被评为“文明学生”．甲班一名男生、一名女生，乙班三名女生．现要从甲、乙两班各随机抽取一名“文明学生”作为学校文明礼仪值周生，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生性别相同的概率（甲班男生用A表示，女生用B表示；乙班三名女生分别用b1，b2，b3表示）．解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，抽取的两名学生性别相同的结果有3个，∴抽取的两名学生性别相同的概率为＝．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．四、（每小题8分，共16分）20．某校体育组以“我最喜爱的体育项目”为主题对全校学生进行随机抽样调查，调查的运动项目有：篮球、羽毛球，乒乓球、跳绳及其他项目（每位同学仅选一项）．根据调查数据绘制了两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了120名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中的m的值是30，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是72°；（4）若该校有1200名学生，根据抽样调查的结果．请估计该校有多少名学生最喜爱乒乓球项目．解：（1）本次调查的学生总人数为12÷10%＝120（名），故答案为：120；（2）“其他”人数为120×15%＝18（人），“乒乓球”人数为120﹣（36+30+12+18）＝24（人），补全图形如下：（3）篮球对应的百分比m%＝×100%＝30%，即m＝30，乒乓球所对应的扇形的圆心角的度数是360°×＝72°，故答案为：30、72；（4）估计该校最喜爱乒乓球项目的学生人数为1200×＝240（名）．21．四月是辽宁省“全民阅读月”，某校阅览室需购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元，已知学校用15000元购买科普类图书的数量与用12000元购买文学类图书的数量相同，求文学类图书和科普类图书平均每本的价格．解：设文学类图书平均每本的价格为x元，则科普类图书平均每本的价格为（x+8）元，依题意得：＝，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴x+8＝40．答：文学类图书平均每本的价格为32元，科普类图书平均每本的价格为40元．五、（本题10分）22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CE于点D，AC平分∠BAD．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，直接写出⊙O的半径的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线EC是⊙O的切线；（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，∵AD＝4，cos∠CAB＝，设AC＝4x，AB＝5x，∴，∴x＝，∴AB＝，即⊙O的半径的长为．六、（本题10分）23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，点B坐标为（0，），AB＝7，点C在x轴上（点C在点A的右侧），AC＝5，动点P从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC运动，动点Q从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿射线AC运动，两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）如图，当点Q在线段AC上时．①求点C的坐标；②当△CPQ是等腰三角形时，求t的值；（2）是否存在时刻t，使得PQ⊥AB，若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．解：（1）①∵B（0，），∴OB＝，在Rt△AOB中，AO＝＝＝，∵AC＝5，∴OC＝OA＝AC＝﹣5＝，∴C（﹣，0）．②∵△CPQ是等腰三角形，∠PCQ是钝角，∴只有CQ＝CP，∵tan∠BCO＝＝＝，∴∠BCO＝60°，∴∠CBO＝30°，∴BC＝2OC＝3，∵CQ＝5﹣3t，CP＝3﹣t，∴5﹣3t＝3﹣t，∴t＝1．（2）如图，过点P作PJ⊥OA于J．∵PQ⊥AB，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠QPJ＝90°，∴∠PQJ＝∠ABO，∴tan∠PQJ＝tan∠ABO，∴＝，∴＝，∴t＝1.96．七、（本题12分）24．四边形ABCD是正方形，点F在射线CD上，以点A，点F为顶点作正方形AEFG（点A，E，F，G按顺时针方向排列），连接DE，BG．（1）如图1，点F在线段CD上，求证：DE＝BG；（2）如图2，点F在线段CD上，连接AF．①求证：FC＝BG；②直接写出线段AD，DF，BG之间的数量关系；（3）当DF＝1，以点A，E，D，F为顶点的四边形的面积等于5时，直接写出此时BG 的长．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝AG，∠EAG＝90°，∵∠EAD＝∠EAG﹣∠DAG，∠GAB＝∠DAB﹣∠DAG，∴∠EAD＝∠GAB，∴∠BCE＝∠DCG，∴△EAD≌△GAB（SAS），∴DE＝BG；（2）①证明：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝BA，∠CBA＝90°，在Rt△ABC中，tan∠CAB＝1，∴∠CBA＝45°，∴AC＝＝AB，∵四边形AEFG是正方形，∴AG＝FG，∠FGA＝90°，在Rt△AGF中，tan∠FAG＝＝1，∴∠FAG＝45°，∴AF＝＝AG，∴∠FAC＝∠FAG﹣∠CAG，∠GAB＝∠CAB﹣∠CAG，∴∠FAC＝∠GAB，，∴△CFA∽△BGA，∴，∴FC＝BG；②AD＝DF+BG．理由如下：∵FC＝BG，CD＝DF+CF，∴CD＝DF+BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∴AD＝DF+BG；（3）解：①如图3，当点F在线段CD上时，设DE＝BG＝x，则FC＝x，∴DC＝AD＝x+1，过点E作EM⊥AD于点M，∵∠AEF＝∠ADF＝90°，∴A，E，D，F四点共圆，∴∠AFE＝∠EDM＝45°，∴EM＝x，∴S△ADE＝×x，S△ADF＝AD×DF＝x，∴＝5，解得x＝，x＝﹣3（舍去），∴BG＝；②如图4，当点F在线段CD的延长线上时，连接AC，∵S四边形AEFD＝S△AEF+S△ADF，设AD＝a，∴AF2＝DF2+AD2＝1+a2，∴S＝a＝5，解得a＝﹣1+2（负值舍去），∴AD＝﹣1+2，∴CF＝2，由（2）知△CFA∽△BGA，∴＝，∴BG＝＝．综合以上可得BG的长为或．八、（本题12分）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），动点E和点F在x轴上方抛物线上，点E在点P的右侧，EP∥x轴．分别过点E，点F作EH⊥x轴于点H，FG⊥x轴于点G．（1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的顶点C的坐标；（2）设点E的横坐标为a，四边形EFGH的周长为L，求L的最大值；（3）在（2）的条件下，连接CF，CE，OE．点P在x轴下方抛物线上，点P到CF的距离记为h1，点P到OE的距离记为h2，当＝时，①直接写出点P的坐标；②将△CFE沿射线CF平移，平移后的三角形记为△C'F'E′，在平移过程中，当△C'F′E′三边所在直线最后一次经过点P时，直接写出平移的距离．解：（1）将点A（﹣1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，顶点为（1，4）．（2）∵EH⊥x轴，FG⊥x轴，EF∥x轴，∴四边形EFGH是矩形，∴EF＝GH，EH＝FG，∴点E，F关于对称轴x＝1对称，∴设点E（a，﹣a2+2a+3）则点F（2﹣a，﹣a2+2a+3），∴EF＝2a﹣2，EH＝﹣a2+2a+3，∴L＝2（EF+EH）＝﹣2a2+8a+2＝﹣2（a﹣2）2+10，∵﹣2＜0，∴当a＝2时，L有最大值，最大值为10．（3）①如图，连接PF，CP，OP，PE，过点P作PN⊥EF交EF的延长线于N，过点C作CM⊥PN于M，连接BM．设P（x0，y0）．由（2）可知，a＝2，∴E（2，3），F（0，3），C（1，4），∴CF＝，OE＝，∵S△PCF＝S△PCM﹣S△PMB﹣S△CMB＝（x0﹣y0+3），∴h1＝，同法h2＝，∵，且，如图，x0＞3或x0＜﹣1，y0＜0，解得：，∴P（﹣4，﹣21）．②令x＝﹣4代入l CF：y＝x+3中，y＝﹣1，∴（﹣4，﹣21）不过点P，若直线CE平移后过点P，设平移后直线解析式为：y＝﹣x+b，代入（﹣4，﹣21），得b＝﹣25，此时平移距离为，若直线EF平移后过点P，设F'（f，﹣21），代入l CF：y＝x+3中，得f＝﹣24，∴平移距离为，∴直线最后一次经过点P时，平移的距离为24．。

2021年广东省东莞市七校联考中考数学模拟试卷一．选择题（共10小题）.1．下列实数中，无理数是（）A．0B．﹣4C．D．2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣83．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．804．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．107．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（）A．18B．25C．32D．3610．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．计算：20210+＝．12．分式有意义的条件是．13．分解因式：1﹣16n2＝．14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为．15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为．16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有根小棒．三．解答题（共8小题，满分62分）18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E．（1）求证：OA∥BC；（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ 交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．（1）求证：△BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实数中，无理数是（）A．0B．﹣4C．D．解：0，﹣4是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；无理数是．故选：C．2．2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（）A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣8解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，故选：C．3．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（）A．95B．90C．85D．80解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．故选：B．4．在平面直角坐标系中，点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），则点A的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，﹣3）C．（3，2）D．（﹣3，﹣2）解：∵点A关于原点的对称点A1（3，﹣2），∴点A的坐标为（﹣3，2），故选：A．5．正多边形的内角和是1440°，则这个正多边形是（）A．正七边形B．正八边形C．正九边形D．正十边形解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形是正十边形．故选：D．6．若关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，则a的值可以是下列选项中的（）A．﹣10B．﹣9C．9D．10解：∵关于x的方程x2+6x﹣a＝0无实数根，∴△＝62﹣4×1×（﹣a）＜0，解得：a＜﹣9，∴只有选项A符合，故选：A．7．不等式组的解集在数轴表示正确的是（）A．B．C．D．解：解不等式x+1≤3，得：x≤2，解不等式﹣2x﹣6＜﹣4，得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，故选：C．8．在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）A．πB．πC．πD．π解：弧长＝＝π，故选：A．9．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（）A．18B．25C．32D．36解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，∴tan∠EFC＝＝，设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，∴DC＝AB＝8k，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，解得：k＝1，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm），故选：D．10．如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜＜；③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1B．2C．3D．4解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜＜，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．计算：20210+＝﹣2．解：原式＝1+3﹣6＝﹣2．故答案为：﹣2．12．分式有意义的条件是x≠﹣1．解：要使分式有意义，必须x+1≠0，解得，x≠﹣1，故答案是：x≠﹣1．13．分解因式：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．解：1﹣16n2＝（1﹣4n）（1+4n）．故答案为：（1﹣4n）（1+4n）．14．若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为2．解：∵2m+n＝4，∴6﹣2m﹣n＝6﹣（2m+n）＝6﹣4＝2，故答案为2．15．已知在半径为3的⊙O中，弦AB的长为4，那么圆心O到AB的距离为．解：作OC⊥AB于C，连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝×4＝2，在Rt△AOC中，OA＝5，∴OC＝＝＝，即圆心O到AB的距离为．故答案为：．16．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是①④．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确；∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°，∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，在△ABG和△DCO中，，∴△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；∵OB＝OD，AG＝DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG＝AB，∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，∴△GOD的面积＝△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；正确的是①④．故答案为：①④．17．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第6个图案中有31根小棒．解：观察图形的变化可知：第1个图案中有6根小棒，即5×1+1＝6；第2个图案中有11根小棒，即5×2+1＝11；第3个图案中有16根小棒，即5×3+1＝16；…，则第6个图案中有：5×6+1＝31（根）小棒．故答案为：31．三．解答题（共8小题，满分62分）18．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．解：原式＝•＝x+2，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．19．如图，△ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD＝BE．求证：AE＝CD．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CAD＝180°﹣60°＝120°，在△ABE与△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AE＝CD．20．某校为了解本校学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：根据图中信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图；（2）对视力“非常重视”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校作视力保护经验交流，请利用树状图或列表法，求出恰好抽到同性别学生的概率．解：（1）本次调查的学生总人数有：16÷20%＝80（人）；重视的人数有：80﹣4﹣36﹣16＝24（人），补全条形统计图如图：（2）画树状图如下：共有12个等可能的结果，恰好抽到同性别学生的结果有4个，∴恰好抽到同性别学生的概率为＝．21．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？解：（1）设A种防疫物品x元/件，B种防疫物品y元/件，依题意得：，解得：．答：A种防疫物品12元/件，B种防疫物品16元/件．（2）设A种防疫物品购买m件，则B种防疫物品购买（300﹣m）件，依题意得：12m+16（300﹣m）≤4000，解得：m≥200．答：A种防疫物品最少购买200件．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD、QD．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求△DPQ面积的最大值．解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得，，解得，，∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，当x＝3时，y＝2×3﹣4＝2，∴点C（3，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的关系式为y＝，答：一次函数的关系式为y＝2x﹣4，反比例函数的关系式为y＝；（2）点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴点P（n，），点Q（n，2n﹣4），∴PQ＝﹣（2n﹣4），∴S△PDQ＝n[﹣（2n﹣4）]＝﹣n2+2n+3＝﹣（n﹣1）2+4，∵﹣1＜0，∴当n＝1时，S最大＝4，答：△DPQ面积的最大值是4．23．如图，已知点P是⊙O外一点，直线PA与⊙O相切于点B，直线PO分别交⊙O于点C、D，∠PAO＝∠PDB，OA交BD于点E．（1）求证：OA∥BC；（2）当⊙O的半径为10，BC＝8时，求AE的长．【解答】证明：（1）如图，连接OB，∵PA与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∴∠ABE+∠OBE＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠PAO＝∠PDB，∴∠PAO＝∠OBD，∴∠ABE+∠PAO＝90°，∴∠AEB＝90°，∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠AEB，∴OA∥BC；（2）∵CD＝2OD＝20，BC＝8∴BD＝＝＝4，∵OE⊥BD，∴BE＝DE＝2，∵∠BAE＝∠D，∠AEB＝∠CBD＝90°∴△ABE～△DCB，∴∴∴AE＝21．24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D为第一象限内抛物线上一点，过D做DT⊥x轴交x轴于T，交BC于点K，设D点横坐标为m，线段DK的长为d，求d与m之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D在对称轴右侧，Q、H为直线DT上一点，Q点纵坐标为4，H在第四象限内，且QD＝TH，过D作x轴的平行线交抛物线于点E，连接EQ 交抛物线于点R，连接RH，tan∠ERH＝2，求点D的坐标．解：（1）对于y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝﹣3a，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∵OB＝OC＝3，∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）由点BC的坐标得：直线BC解析式为y＝﹣x+3，∴设D（m，﹣m2+2m+3），K（m，﹣m+3），∴d＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；（3）连接EH，∵QH平行y轴，Q点的纵坐标为4，QD＝TH，∴QT＝DH＝4，∴QD＝4﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣2m+1，∵ED＝2m﹣2，∴tan∠QED＝，∴tan∠EHD＝，∴∠QED＝∠EHD，∴∠QEH＝90°，过E作y轴平行线l，过R、H分别作直线l的垂线交l于M和N，连接EH，∵∠QEH＝90°，∴∠REM+∠HEN＝90°，∵∠EHN+∠HEN＝90°，∴∠REM＝∠EHN，∴Rt△RME∽Rt△ENH，∴＝tan∠ERH＝2，∵NH＝DE＝2m﹣2，∴ME＝m﹣1，∴RF＝﹣m2+3m+2，∵EN＝DH＝4，∴RM＝2，∴FT＝NH﹣MR＝2m﹣4，∴OF＝OT﹣OF＝4，∴R（4﹣m，﹣m2+3m+2），将R点代入抛物线表达式得：﹣m2+3m+2＝﹣（4﹣m）2+2（4﹣m）+3，解得：m＝，当x＝时，y＝﹣x2+2x+3＝，∴D（，）．25．如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转得到矩形ODEF，使得点A的对应点D恰好落在对角线OB上，OE交BC于点G．（1）求证：△BGO是等腰三角形；（2）求点E的坐标；（3）如图2，矩形ODEF从点O出发，沿OB方向移动，得到矩形O′D′E′F′，当移动到点O′与点B重合时，停止运动，设矩形O'D'E′F′与△OBC重叠部分的面积为y，OO′＝x，求y关于x的函数关系式．解：（1）由题意知：tan∠CBO＝，∴∠CBO＝30°，∵AO∥BC，∴∠BOA＝∠CBO＝30°，∵∠GOB＝∠GBO＝30°，∴GO＝GB，∴△BGO是等腰三角形；（2）在Rt△BCO中，OC＝2，BC＝OA＝6，∴OB＝OE＝＝4，作EH⊥x轴于点H，∵∠BOA＝∠EOB＝30°，∴∠EOH＝∠BOA+∠EOB＝60°，在Rt△EOH中，OE＝4，∴OH＝2，EH＝6，故E点坐标为（2，6）；（3）OO′＝x，O′D′＝6，D'B＝4﹣x﹣6，令F'O'与CO交点为点M．，E'D'与CB交点为点N，S△OMO′＝x2，S△ND′B＝，S△OCB＝6，当0≤x﹣6，y＝6﹣x2﹣，当4﹣6＜x，y＝6﹣x2，当，y＝．。

2021年江苏省无锡市中考数学模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（）A．1B．2C．﹣3D．﹣52．函数y＝+（x﹣5）﹣2中自变量x的取值范围是（）A．x≥3且≠5B．x＞3且x≠5C．x＜3且x≠5D．x≤3且x≠5 3．如表所示是某位运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟）：第几次123456比赛成绩405035202510则这组成绩的中位数和平均数分别为（）A．25.25，30B．30，85C．27.5，85D．30，304．下列计算正确的是（）A．4a﹣2a＝2B．2（a+2b）＝2a+2bC．7ab﹣（﹣3ab）＝4ab D．﹣a2﹣a2＝﹣2a25．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（）A．八B．九C．十D．十二6．下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．下列运算正确的是（）A．B．（t﹣3）2＝t2﹣9C．（﹣2ab2）2＝4a2b4D．x2•x＝x28．已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+1的图象没有交点，则k的值可以是（）A．B．C．D．﹣19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度（）A．B．C．D．10．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（）A．B．C．3D．二、填空题（共8小题）.11．因式分解：4a3﹣16a＝．12．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为．13．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是元（结果保留π）．14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝．15．写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上．16．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是岁．17．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点；（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为．18．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）+﹣．（2）﹣+．20．（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15（2）解方程：3x2﹣2x＝2（3）解不等式组21．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．22．将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．23．莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘制如下统计图：请根据统计图给出的信息回答下列问题：（1）本次活动中预备年级共有多少同学捐款？（2）本次活动中捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？24．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．25．如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：（1）CD＝CB；（2）AD•DB＝2CD•DO．26．某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月之间存在如图1所示（图1的图象是线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月满足函数表达式y2＝ax2﹣2x+c，其变化趋势如图2所示（图2的图象是抛物线）．（1）求y1关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）（2）求y2关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）（3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大．27．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接DE，把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，当△BEC′为直角三角形时，求BE的长．28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．参考答案一、选择题（共10小题）.1．若a、b互为倒数，则2ab﹣5的值为（）A．1B．2C．﹣3D．﹣5解：根据题意得：ab＝1，则2ab﹣5＝2﹣5＝﹣3．故选：C．2．函数y＝+（x﹣5）﹣2中自变量x的取值范围是（）A．x≥3且≠5B．x＞3且x≠5C．x＜3且x≠5D．x≤3且x≠5【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解：依题意有x﹣3＞0且x﹣5≠0，解得：x＞3且x≠5．故选：B．3．如表所示是某位运动员近6次的比赛成绩（单位：分钟）：第几次123456比赛成绩405035202510则这组成绩的中位数和平均数分别为（）A．25.25，30B．30，85C．27.5，85D．30，30【分析】根据中位数的定义和平均数的求法计算即可，中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．解：把这组数据按从大到小的顺序排列是：10，20，25，35，40，50故这组数据的中位数是：（25+35）÷2＝30；平均数＝（10+20+25+35+40+50）÷6＝30．故选：D．4．下列计算正确的是（）A．4a﹣2a＝2B．2（a+2b）＝2a+2bC．7ab﹣（﹣3ab）＝4ab D．﹣a2﹣a2＝﹣2a2解：A、应为4a﹣2a＝2a，故选项错误；B、应为2（a+2b）＝2a+4b，故选项错误；C、应为7ab﹣（﹣3ab）＝10ab，故选项错误；D、﹣a2﹣a2＝﹣2a2，故选项正确．故选：D．5．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（）A．八B．九C．十D．十二解：设多边形的一个外角为x，则它的一个内角为4x，4x+x＝180°，∴x＝36°∴这个正n边形的边数为：360°÷36°＝10，故选：C．6．下列四个图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形．故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．故选：A．7．下列运算正确的是（）A．B．（t﹣3）2＝t2﹣9C．（﹣2ab2）2＝4a2b4D．x2•x＝x2【分析】直接利用乘法公式以及积的乘方运算法则、二次根式的除法运算法则分别化简得出答案．解：A、÷＝，故此选项错误；B、（t﹣3）2＝t2﹣6t+9，故此选项错误；C、（﹣2ab2）2＝4a2b4，正确；D、x2•x＝x3，故此选项错误；故选：C．8．已知反比例函数y＝与一次函数y＝x+1的图象没有交点，则k的值可以是（）A．B．C．D．﹣1【分析】先把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k 的取值范围，找出符合条件的k的值即可．解：∵反比例函数y＝与一次函数y＝x+1的图象没有交点，∴方程组无解，即＝x+1无解，整理得x2+x﹣k＝0，∴△＝1+4k＜0，解得k＜﹣，四个选项中只有﹣1＜﹣，所以只有选项D符合条件．故选：D．9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度（）A．B．C．D．【分析】过点D作DM⊥CE，根据折叠可得到∠ACE＝∠ACB＝60°，设EM＝x，由折叠性质可知，EC＝CB，设DM＝x，则CD＝2x，MC＝x，EM＝EC﹣CM＝﹣x，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．解：如图，过点D作DM⊥CE，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝，∴∠CAB＝30°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴CD∥AB，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，由折叠可知：∠ACE＝∠ACB＝60°，EC＝BC＝，∴∠ECD＝30°，设DM＝x，则CD＝2x，∴MC＝x，∴EM＝EC﹣CM＝﹣x，∵tan∠CED＝，∴＝，∴＝，解得x＝，∴EM＝，在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，∴DE＝＝．故选：B．10．如图，正三角形ABC的边长为3+，在三角形中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、E、F在边CB上，点P、N分别在边CA、AB上，设两个正方形的边长分别为m，n，则这两个正方形的面积和的最小值为（）A．B．C．3D．【分析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，根据等边三角形的性质得∠A＝∠B＝60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得BD＝DN＝m，CF＝PF＝n，则m+m+n+n＝3+，所以所以n＝3﹣m，S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，接着确定m的取值范围为6﹣3≤m≤3﹣3，然后根据二次函数的性质求出S的最小值．解：设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，在Rt△BDN中，BD＝DN＝m，在Rt△CPF中，CF＝PF＝n，∵BD+DE+EF+CF＝AB，∴m+m+n+n＝3+，∴m+n＝3，∴n＝3﹣m，∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2，当点M落在AC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，在Rt△BDN中，BD＝DN，BN＝DN，∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，在Rt△CPF中，CF＝PF，∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3，解得PF＝6﹣9，∴6﹣3≤m≤3﹣3，∴当m＝时，S最小，S的最小值为．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷相应的位置）11．因式分解：4a3﹣16a＝4a（a+2）（a﹣2）．【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝4a（a2﹣4）＝4a（a+2）（a﹣2），故答案为：4a（a+2）（a﹣2）12．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 3.6×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，故答案为：3.6×104．13．如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥的底面圆的半径为3米，母线长为6米，为防雨水，需要在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价为10元/米2，那么购买油毡所需要的费用是180π元（结果保留π）．【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl，算出油毡的面积，乘以10即可得到结果．解：根据题意得：圆锥侧面积＝π×3×6＝18π（平方米），则购买油毡所需要的费用＝10×18π＝180π（元）．故答案为：180π．14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝9.6．【分析】连接AC交BD于点G，连接AO，根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出OE+OF的值．解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝AD＝10，BG＝BD＝8，根据勾股定理得：AG＝＝＝6，∵S△ABD＝S△AOB+S△AOD，即BD•AG＝AB•OE+AD•OF，∴16×6＝10OE+10OF，∴OE+OF＝9.6．故答案为：9.6．15．写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上y＝3x2（本题答案不唯一）．【分析】抛物线开口向下，则二次函数解析式的二次项系数为负数，依此写二次函数解析式．解：依题意，得y＝3x2．本题答案不唯一．故答案为：y＝3x2（本题答案不唯一）．16．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是70岁．【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁，依题意得：，解得：．故答案为：70．17．已知函数y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．（1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点（0，1）；（2）对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为0．【分析】（1）分别将x取﹣2或0时，计算相应的函数值，即可得到答案；（2）先由k＞0，判断函数图象的开口方向，再求出函数的对称轴，则m值大于﹣1时均符合题意，任取范围内一个m值即可．解：（1）∵y＝kx2+（2k+1）x+1（k为实数）．∴当x＝﹣2时，y＝4k+（2k+1）×（﹣2）+1＝﹣1，当x＝0时，y＝0+0+1＝1，∴对于任意实数k，函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）和点（0，1），故答案为：（0，1）；（2）∵k为任意正实数，∴k＞0，∴函数图象开口向上，∵函数y＝kx2+（2k+1）x+1的对称轴为x＝﹣＝﹣1﹣＜﹣1，∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，∵x＞m时，y随x的增大而增大，∴m≥﹣1﹣，故m＝0时符合题意．（答案不唯一，m≥﹣1即可）．故答案为：0．18．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为9．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB：BC＝5：3，DE＝15，∴＝，解得，EF＝9，故答案为：9．三、解答题（共10小题）.19．计算：（1）+﹣．（2）﹣+．解：（1）原式＝9﹣3﹣4＝2；（2）原式＝﹣+，＝，＝，＝，＝．20．（1）解方程：（x+1）（x+3）＝15（2）解方程：3x2﹣2x＝2（3）解不等式组解：（1）∵（x+1）（x+3）＝15，∴x2+4x+3＝15，∴x2+4x﹣12＝0，∴（x+6）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣6或x＝2；（2）∵3x2﹣2x＝2，∴3x2﹣2x﹣2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，∴△＝4﹣4×3×（﹣2）＝28，∴x＝＝；（3）由①可得：x＜﹣1；由②得：x＞﹣4，∴不等式组的解集为：﹣4＜x＜﹣1；21．如图，已知EC＝AC，∠BCE＝∠ACD，∠A＝∠E，BC＝3．求DC的值．解：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠ACB＝∠ECD，在△ACB和△ECD中，，∴△ACB≌△ECD（ASA），∴BC＝CD＝3．22．将分别标有数字1、2、3的3个质地和大小完全相同的小球装在一个不透明的口袋中．（1）若从口袋中随机摸出一个球，其标号为奇数的概率为多少？（2）若从口袋中随机摸出一个球，放回口袋中搅匀后再随机摸出一个球，试求所摸出的两个球上数字之和等于4的概率（用树状图或列表法求解）．【分析】（1）根据概率公式求解；（2）通过列表展示9种等可能的结果，再找出所摸出的两个球上数字之和等于4的结果数，然后利用概率公式求解．解：（1）P（标号为奇数）＝；（2）列表如下：1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）共有9种等可能的结果，其中所摸出的两个球上数字之和等于4（记为事件A）的有3种，所以，P（A）＝．23．莫拉克台风给台湾造成了重大的损失，某中学开展爱心捐助活动，根据预备年级的捐款情况绘制如下统计图：请根据统计图给出的信息回答下列问题：（1）本次活动中预备年级共有多少同学捐款？（2）本次活动中捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数的几分之几？【分析】（1）把捐每种款项的人数相加即是预备年级共有的学生人数，列式解答即可得到答案；（2）用捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数除以预备年级捐款总人数，列式解答即可得到答案．解：（1）25+70+55+16+25+4＝195（人）答：本次活动中预备年级共有195个同学捐款；（2）（16+25+4）÷195＝45÷195，＝，答：捐款20元以上（不包括捐款20元的）的人数占预备年级捐款总人数．24．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．解：如图所示．圆P即为所作的圆．25．如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：（1）CD＝CB；（2）AD•DB＝2CD•DO．【分析】（1）由切线的性质可得∠ABO+∠CBD＝90°，由直角三角形的性质可得∠OAB+∠ODA＝90°，可得∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，可证CD＝CB；（2）过点C作CH⊥DB于点H，由等腰三角形的性质可得DH＝BH＝BD，通过证明△AOD∽△CHD，可得，可得结论．解：（1）连接OB，∵CB与圆O相切，∴OB⊥BC，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∵AO⊥CO，∴∠OAB+∠ODA＝90°，∴∠ADO＝∠CBD＝∠CDB，∴CD＝CB；（2）过点C作CH⊥DB于点H，∵CD＝CB，CH⊥DB，∴DH＝BH＝BD，∵∠ADO＝∠CDH，∠AOD＝∠CHD＝90°，∴△AOD∽△CHD，∴，∴AD•DH＝CD•DO，∴AD•DB＝CD•DO，∴AD•DB＝2CD•DO．26．某水果店销售某种水果，由市场行情可知，从1月至12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月之间存在如图1所示（图1的图象是线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间x（1≤x≤12，x为正整数）月满足函数表达式y2＝ax2﹣2x+c，其变化趋势如图2所示（图2的图象是抛物线）．（1）求y1关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）（2）求y2关于x的函数表达式．（不需要写出自变量的取值范围）（3）求哪个月出售这种水果，每千克所获得的收益最大．解：（1）设一次函数表达式为y1＝kx+b，将点（4，22）、（8，20）代入函数一次函数表达式得，解得，故y1关于x的函数表达式为y1＝﹣x+24；（2）将点（3，12）、（7，14）代入抛物线表达式得：，解得，故y2关于x的函数表达式为y2＝x2﹣2x+；（3）设每千克所获得的收益为w（元），则w＝y1﹣y2＝（﹣x+24）﹣（x2﹣2x+）＝﹣x2+x+，∵﹣＜0，故w有最大值，此时x＝3，故3月出售这种水果，每千克所获得的收益最大．27．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接DE，把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，当△BEC′为直角三角形时，求BE的长．【分析】如图1，当∠BC′E＝90°时，如图2，当∠BEC′＝90°时，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．解：如图1，当∠BC′E＝90°时，如图1，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝10，∵把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，∴∠DC′E＝∠C＝90°，∵∠BC′E＝90°，∴B，C′，D三点共线，∴DC′＝DC＝6，∴BC′＝4，BE＝8﹣C′E，∵BC′2+EC′2＝BE2，∴42+C′E2＝（8﹣C′E）2，解得C′E＝3，∴BE＝8﹣3＝5；如图2，当∠BEC′＝90°时，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝10，∵把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，∴∠DC′E＝∠C＝90°，∵∠BEC′＝90°，∴∠CEC′＝90°，∴四边形ECDC′是正方形，∴C′E＝CE＝CD＝6，∴BE＝2．综上所述，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为2或5．28．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，且OC＝OB．（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求△BCE面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．【分析】（1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），可得EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，根据S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可．（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（﹣1，m），如图所示，过A′作A′N ⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N＝PM＝|m|，PN＝AM＝2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴OB＝3，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴c＝3，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，C（0，3）．（2）如图2，连接BC，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，∴S△BEC＝S四边形BOCE﹣S△BOC＝BF•EF+（OC+EF）•OF﹣•OB•OC＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）﹣＝﹣a2﹣a＝﹣（a+）2+，∴当a＝﹣时，S△BEC最大，且最大值为．（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴为x＝﹣1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（﹣1，m），∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，①当m≥0时，∴PA＝PA′，∠APA′＝90°，如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，∴∠NPA′+∠MPA＝∠NA′P+∠NPA′＝90°，∴∠NA′P＝∠NPA，在△A′NP与△PMA中，，∴△A′NP≌△PMA（AAS），∴A′N＝PM＝m，PN＝AM＝2，∴A′（m﹣1，m+2），代入y＝﹣x2﹣2x+3得：m+2＝﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，解得：m＝1，m＝﹣2（舍去），②当m＜0时，要使P2A＝P2A2，由图可知A2点与B点重合，∵∠AP2A2＝90°，∴MP2＝MA＝2，∴P2（﹣1，﹣2）．∴满足条件的点P的坐标为P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．。

第 1 页 共 30 页
2021年北京市丰台区中考数学模拟试卷
一．选择题（共8小题，满分16分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科
学记数法表示为（ ）
A ．1.6×108
B ．1.6×107
C ．16×106
D ．1.6×106
3．实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．ab ＞0
B ．a +b ＞0
C ．|a |＞|b |
D ．b ＜a
4．内角和等于外角和的多边形是（ ）
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将△
OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为4√3，则点B '的坐标为（ ）
A ．（﹣6√3，2）
B ．（6√3，﹣2√3）
C ．（6，﹣2）
D ．（6√3，﹣2） 6．若x 满足x 2﹣2x ﹣2＝0，则分式（
x 2−3x−1−2）÷1x−1的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．﹣1 D ．−32 7．如图，BC 是⊙O 的直径，点A 、D 在⊙O 上，若∠ADC ＝48°，则∠ACB 的度数为（ ）。

山东省聊城市冠县市级名校2021-2022学年中考数学全真模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（）A．1000100030x x-+=2 B．1000100030x x-+=2C．1000100030x x--=2 D．1000100030x x--=22．下列说法中正确的是（）A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.3．下列运算正确的是（）A．5a+2b=5（a+b）B．a+a2=a3C．2a3•3a2=6a5D．（a3）2=a54．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB 于D，若CD=2，⊙O的半径为5，那么AB的长为（）A．3 B．4 C．6 D．85．如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（）A．15m B．25m C．30m D．20m6．如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=()A．70°B．110°C．130°D．140°7．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（）米A．5B．3C．5+1 D．38．一元二次方程x2﹣5x﹣6=0的根是（）A．x1=1，x2=6 B．x1=2，x2=3 C．x1=1，x2=﹣6 D．x1=﹣1，x2=69．一、单选题如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°10．下列运算结果正确的是()A．x2+2x2＝3x4B．(﹣2x2)3＝8x6C．x2•(﹣x3)＝﹣x5D．2x2÷x2＝x二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，以锐角△ABC的边AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于E、D两点，若AC＝14，CD＝4，7sin C＝3tan B，则BD＝_____．12．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__________．13．用换元法解方程221231x x x x +-=+时，如果设21x y x +=，那么原方程化成以y 为“元”的方程是________． 14．不等式1﹣2x ＜6的负整数解是___________．15．不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是________．16．计算20180(1)(32)---＝_____．17．分式方程26x 9--1=x 3x-的解是x=________. 三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，分别延长▱ABCD 的边CD AB ，到E F ，，使DE BF =，连接EF ，分别交AD BC ，于G H ，，连结CG AH.，求证：CG //AH ．19．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），点B （0，3），点O （0，0）．△AOB 绕着O 顺时针旋转，得△A′OB′，点A 、B 旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．（I ）如图1，若α=30°，求点B′的坐标；（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P ，求证：AA′⊥BB′；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．20．（8分）春节期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费．共享汽车：无固定租金，直接以租车时间（时）计费．如图是两种租车方式所需费用y1（元）、y2（元）与租车时间x（时）之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题：（1）分别求出y1、y2与x的函数表达式；（2）请你帮助小丽一家选择合算的租车方案．.他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为45，21．（10分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈≈，2 1.414)3 1.73222．（10分）化简分式2222334424x x xx x x x⎛⎫---÷⎪-+--⎝⎭，并从0、1、2、3这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.23．（12分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？24．（14分）先化简，再求值：22222+ba b a b aa ab b a b a-+÷--+-，其中，a、b满足2428a ba b-=-⎧⎨+=⎩．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】分析：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间=2，列出方程即可．详解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据题意，可列方程：1000100030x x-+=2，故选A．点睛：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．2、C【解析】【分析】根据相关的定义(调查方式，概率，可能事件，必然事件)进行分析即可.【详解】A. 检测一批灯泡的使用寿命不适宜用普查，因为有破坏性；B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就可能有5次正面朝上，因为这是随机事件；C. “367人中有两人是同月同日生”为必然事件.因为一年只有365天或366天，所以367人中至少有两个日子相同；D. “多边形内角和与外角和相等”是可能事件.如四边形内角和和外角和相等.故正确选项为：C【点睛】本题考核知识点：对(调查方式，概率，可能事件，必然事件)理解. 解题关键：理解相关概念，合理运用举反例法.3、C【解析】直接利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算法则分别化简得出答案．【详解】A、5a+2b，无法计算，故此选项错误；B、a+a2，无法计算，故此选项错误；C、2a3•3a2=6a5，故此选项正确；D、（a3）2=a6，故此选项错误．故选C．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及单项式乘以单项式、幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4、D【解析】连接OA，构建直角三角形AOD；利用垂径定理求得AB=2AD；然后在直角三角形AOD中由勾股定理求得AD的长度，从而求得AB=2AD=1．【详解】连接OA．∵⊙O的半径为5，CD=2，∵OD=5-2=3，即OD=3；又∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴AD=12 AB；在直角三角形ODC中，根据勾股定理，得，∴AB=1．故选D．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理．解答该题的关键是通过作辅助线OA构建直角三角形，在直角三角形中利用勾股定理求相关线段的长度．5、D【解析】根据三角形的中位线定理即可得到结果.【详解】解:由题意得AB=2DE=20cm，故选D.【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6、D【解析】∵四边形ADA'E的内角和为（4-2）•180°=360°，而由折叠可知∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE，∠A=∠A'，∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°-∠A-∠A'=360°-2×70°=220°，∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE）=140°．7、C【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则=；∴AC+BC=（m.答：树高为（故选C.8、D【解析】本题应对原方程进行因式分解，得出（x-6）（x+1）=1，然后根据“两式相乘值为1，这两式中至少有一式值为1．”来解题．【详解】x2-5x-6=1（x-6）（x+1）=1x1=-1，x2=6故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．9、A【解析】分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．10、C【解析】直接利用整式的除法运算以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【详解】A选项：x2+2x2=3x2，故此选项错误；B选项：（﹣2x2）3=﹣8x6，故此选项错误；C选项：x2•（﹣x3）=﹣x5，故此选项正确；D选项：2x2÷x2=2，故此选项错误．故选C．【点睛】考查了整式的除法运算以及积的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、1【解析】如图，连接AD，根据圆周角定理可得AD⊥BC．在Rt△ADC中，sin C=；在Rt△ABD中，tan B=．已知7sin C=3tan B，所以7×=3×，又因AC＝14，即可求得BD=1．点睛：此题主要考查的是圆周角定理和锐角三角函数的定义，以公共边AD为桥梁，利用锐角三角函数的定义得到tan B 和sin C的式子是解决问题的关键．12、3【解析】试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，则∠BO′D′=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，设每个小正方形的边长为a，则O′B=，O′D′=，BD′=3a，作BE⊥O′D′于点E，则BE=，∴O′E=，∴tanBO′E=，∴tan ∠BOD=3.考点：解直角三角形．13、y-23y = 【解析】分析：根据换元法，可得答案．详解：21x x +﹣221x x +=1时，如果设21x x +=y ，那么原方程化成以y 为“元”的方程是y ﹣2y =1． 故答案为y ﹣2y=1． 点睛：本题考查了换元法解分式方程，把21x x +换元为y 是解题的关键． 14、﹣2，﹣1【解析】试题分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，找出不等式的整数解即可．解：1﹣2x ＜6，移项得：﹣2x ＜6﹣1，合并同类项得：﹣2x ＜5，不等式的两边都除以﹣2得：x ＞﹣，∴不等式的负整数解是﹣2，﹣1，故答案为：﹣2，﹣1．点评：本题主要考查对解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．15、23【解析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．【详解】∵不透明的袋子里装有2个白球，1个红球，∴球的总数=2+1=3，∴从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率=23． 故答案为23． 【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．16、0【解析】分析：先计算乘方、零指数幂，再计算加减可得结果.详解：())0201812--=1-1=0故答案为0.点睛：零指数幂成立的条件是底数不为0.17、-5【解析】两边同时乘以（x+3）(x-3)，得6-x 2+9=-x 2-3x ，解得:x=-5，检验：当x=-5时，（x+3）(x-3)≠0，所以x=-5是分式方程的解，故答案为：-5.【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是方程两边同时乘以最简公分母，切记要进行检验.三、解答题（共7小题，满分69分）18、证明见解析【解析】分析：根据平行四边形的性质以及已知的条件得出△EGD 和△FHB 全等，从而得出DG=BH ，从而说明AG 和CH 平行且相等，得出四边形AHCG 为平行四边形，从而得出答案．详解：证明：在▱ABCD 中，AB//CD AD//CB AD CB ，，=，E F EDG DCH FBH ，∠∠∠∠∠∴===，又 DE BF =，EGD ∴≌()FHB AAS ，DG BH ∴=，AG HC ∴=，又AD//CB ，∴四边形AGCH 为平行四边形， AH //CG ∴．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及判定定理，属于基础题型．解决这个问题的关键就是根据平行四边形的性质得出四边形AHCG 为平行四边形．19、（1）B'的坐标为（3，3）；（1）见解析 ；（3）3﹣1．【解析】（1）设A'B'与x 轴交于点H ，由OA=1，OB=1，∠AOB=90°推出∠ABO=∠B'=30°， 由∠BOB'=α=30°推出BO ∥A'B'，由OB'=OB=1推出OH=OB'=，B'H=3即可得出； （1）证明∠BPA'=90︒即可；（3）作AB 的中点M （1，），连接MP ，由∠APB=90°，推出点P 的轨迹为以点M 为圆心，以MP=AB=1为半径的圆，除去点（1，），所以当PM ⊥x 轴时，点P 纵坐标的最小值为3﹣1．【详解】（Ⅰ）如图1，设A'B'与x 轴交于点H ，∵OA=1，OB=1，∠AOB=90°，∴∠ABO=∠B'=30°，∵∠BOB'=α=30°，∴BO ∥A'B'，∵OB'=OB=1， ∴OH=OB'=，B'H=3，∴点B'33）；（Ⅱ）证明：∵∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，∴∠OBB'=∠OA'A=（180°﹣α），∵∠BOA'=90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，∴∠BPA'=360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）=90°，即AA'⊥BB'；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．如图，作AB的中点M（1，），连接MP，∵∠APB=90°，∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=AB=1为半径的圆，除去点（1，）．∴当PM⊥x轴时，点P31．【点睛】本题考查的知识点是几何变换综合题，解题的关键是熟练的掌握几何变换综合题. 20、（1）y1=kx+80，y2=30x；（2）见解析．【解析】（1）设y1=kx+80，将（2，110）代入求解即可；设y2=mx，将（5，150）代入求解即可；（2）分y1=y2，y1＜y2，y1＞y2三种情况分析即可.【详解】解：（1）由题意，设y1=kx+80，将（2，110）代入，得110=2k+80，解得k=15，则y1与x的函数表达式为y1=15x+80；设y2=mx，将（5，150）代入，得150=5m，解得m=30，则y2与x的函数表达式为y2=30x；（2）由y1=y2得，15x+80=30x，解得x=；由y1＜y2得，15x+80＜30x，解得x＞；由y1＞y2得，15x+80＞30x，解得x＜．故当租车时间为小时时，两种选择一样；当租车时间大于小时时，选择租车公司合算；当租车时间小于小时时，选择共享汽车合算．【点睛】本题考查了一次函数的应用及分类讨论的数学思想，解答本题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法.21、14.2米；【解析】Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC-BD可得关于AB 的方程，解方程可得．【详解】设AB x=米∵∠C=45°∴在Rt ABC中，BC AB x==米，60ADB∠=，又6CD=米，∴在Rt ADB中Tan∠ADB=AB BD，Tan60°=6x x -解得)114.2x =≈米 答，建筑物的高度为14.2米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．22、x 取0时，为1 或x 取1时，为2【解析】试题分析：利用分式的运算，先对分式化简单，再选择使分式有意义的数代入求值即可．试题解析：解：原式=[22322x x x x ----（）（）]234x x -÷- =233224x x x x x --÷---（） =32223x x x x x -+-⨯--（）（） = x ＋1，∵x 1-4≠0，x -2≠0，∴x ≠1且x ≠-1且x ≠2，当x =0时，原式=1．或当x =1时，原式=2．23、（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款.【解析】（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可. （2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可.【详解】（1）设捐款增长率为x ，根据题意列方程得：()2100001x 12100⨯-=，解得x 1=0.1，x 2=－1.9（不合题意，舍去）.答：捐款增长率为10%.（2）12100×（1+10%）=13310元.答：第四天该单位能收到13310元捐款.24、3 5【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程组求得a、b的值，继而代入计算可得．【详解】原式=()2()•()a b a b a b aa b a b a b+----++，=a b aa b a b +-++，=ba b +，解方程组2428a ba b--⎧⎨+⎩＝＝得23ab⎧⎨⎩＝＝，所以原式=33=2+35．【点睛】本题主要考查分式的化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．。