李辉10022060中学数学中函数零点的求法与技巧

高一数学系列提升材料之函数的零点【知识方法】一. 函数y ＝f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)＝0的根,也是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。

二.从以上知识可以获得，解决函数零点的三种方法(1)直接法：直接求零点，令f(x)＝0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点。

(2) 数形结合思想方法：利用图象与x 轴交点，画出函数y ＝f (x )的图象,看其与x 轴交点,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点。

实际操作过程中，直接作出函数y ＝f (x )有困难时，先对解析式变形，函数y ＝()f x 的零点⇒方程()0f x =的根，若()()()f xg xh x =-−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数y ＝()g x 与y ＝()h x 的图像交点横坐标。

在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。

(3) 零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数的零点。

注意：函数零点存在性定理只能适用于变号零点，对不变号零点无法适用。

【题型例说】高一阶段函数零点主要解决三个问题——求个数、定区间、求参数。

一、求个数：零点个数或零点数值的确定【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为______【试题分析】当x ≤1时,由f (x )＝2x －1＝0,解得x ＝0；当x ＞1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝12,又因为x ＞1,所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 【例2】若定义在R 上的偶函数f (x )周期为2，,且当x ∈[0,1]时f (x )＝x ,则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数有____个 【试题分析】画出f (x )和y ＝log 3|x |的图象,如图,方程f (x )＝log 3|x |的解的个数为4.【例3】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．【试题分析】当x ≤0时,f (x )＝x 2－2,令x 2－2＝0,得x ＝2(舍) 或x ＝－2,即在区间(－∞,0]上,函数只有一个零点． 而当x >0时,f (x )＝2x －6＋ln x ,解法一：令2x －6＋ln x ＝0,得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0,＋∞)上的图象, 易得两函数图象只有一个交点,即函数 f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：易知f (x )在(0,＋∞)上单调递增,而f (1)＝－4＜0,f (e )＝2e －5＞0, f (1)f (e )＜0,从而f (x )在(0,＋∞)上只有一个零点．综上可知,函数f (x )的零点个数是2. 【小结】对零点个数或零点数值的确定，首先判断能否直接求出零点，其次判断能否用数形结合思想方法解决，最后采用零点定理结合函数的相关性质进行处理。

高一函数零点个数知识点函数是数学中的重要概念，在高一的学习中有很多内容需要掌握，其中之一就是函数零点个数的知识点。

本文将介绍高一函数零点个数的相关概念和计算方法。

一、函数零点的定义和概念函数的零点指的是函数取值为零的点，即在函数图像上与x轴交点的横坐标。

也可以说是使得函数等于零的自变量的值。

记作f(x) = 0。

二、函数零点的图像表示函数零点可以通过函数图像的形状来直观地表示。

当函数图像与x轴相交时，相交点的横坐标就是函数的零点。

如果函数图像与x轴相交的点有n个，那么该函数就有n个零点。

三、函数零点的计算方法根据函数的定义和性质，可以用多种方法计算函数的零点。

下面将介绍几种常见的计算方法。

1. 试探法：试探法是一种简便易行的计算函数零点的方法。

首先选取几个特定的横坐标值，带入函数中进行计算，观察函数值与零的关系，确定函数零点的近似值。

然后利用逼近法来不断精确计算函数的零点。

2.因式分解法：对于一些简单的函数，可以利用因式分解的方法来计算函数的零点。

首先将函数进行因式分解，然后令每个因式等于零，解方程得到函数的零点。

3.图像法：利用图像的性质来计算函数的零点。

将函数的图像画出来，观察图像与x轴相交的点，这些点的横坐标就是函数的零点。

4.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种数值计算方法，可以用来计算函数的零点。

通过迭代运算，不断逼近函数零点的值，直到满足精度要求。

四、函数零点个数的判断判断函数的零点个数，主要依据以下定理:1. 零点定理：如果函数f(x)在[a, b]区间上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么函数必然在[a, b]内至少有一个零点。

2. Rouche定理：设函数f(x)和g(x)在[a, b]区间内连续，且满足在[a, b]上，|f(x)|>|g(x)|。

如果f(x)和g(x)在[a, b]上的零点个数相同，那么函数f(x)和g(x)的零点个数也相同。

通过这些定理可以对函数的零点个数有一个初步的判断。

高中数学函数零点问题的求解函数的零点教材中给出了具体的定义：“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点，这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标，所以方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。

总结如下：一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例1、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B例2.函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。

分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足条件0)()(<b f a f ，但由函数2)(x x f =的图象可知它一定有零点0=x 。

思路探寻函数的零点问题是函数中较为常见的一类问题.此类问题考查的范围较广、考查的方式灵活，对同学们的逻辑思维能力和应变能力都有较高的要求.下面，我就结合实例来谈一谈求解函数零点问题的常用方法.一、因式分解法因式分解是一种比较直接的方法.在求函数的零点时，我们根据函数的零点的定义将函数y =f (x )的零点问题转化为求方程f (x )=0的实数根的问题，通过因式分解求得方程f (x )=0的实数根，便能求出函数的零点.例1.求函数y =2x 3-3x 2+1的零点.解:2x 3-3x 2+1=(x -1)(2x 2-x -1)=(x -1)(x -1)(2x +1)=(x -1)2(2x +1)，令2x 3-3x 2+1=0，解得x =1或x =-12则函数y =2x 3-3x 2+1的零点是-12，1.因式分解法一般只适用于解答较为简单且易于分解因式的问题.二、判别式法对于二次函数零点问题，我们可以将其转化为一元二次方程问题，利用方程的判别式来判断方程的根的情况，进而判定函数的零点是否存在、求出零点的个数.例2.已知二次函数y =ax 2+bx +c ，若ac <0，则函数零点的个数是.解：设ax 2+bx +c =0，其判别式为Δ=b 2-4ac .因为ac <0，所以b 2-4ac >0，故方程ax 2+bx +c =0有2个不相等的实数根，即函数y =ax 2+bx +c 的零点个数是2.在解题时，我们要注意将函数的零点与方程的根对应起来.对于二次方程ax 2+bx +c =0，当Δ>0时，方程有2个不相等的实数根，函数y =ax 2+bx +c 有2个零点；当Δ=0时，方程只有一个实数根，函数有1个零点；当Δ<0时，方程没有实数根，函数没有零点.三、图象法图象法也称数形结合法.在处理函数零点问题时，我们可以首先画出函数的图象，然后借助函数的图象来分析函数的零点或交点.在画图时，一定要确保函数图象的准确性，不然就容易得出错误的答案.例3.求函数y =2x -x -1的零点.解：令2x -x -1=0，则2x =x +1，于是函数y =2x -x -1的零点即为函数f (x )=2x 与函数g (x )=x +1的交点的横坐标.由图可知，函数f (x )与g (x )有两个交点，且分别在（0,1），（1,2）内，经验证，函数y =2x -x -1的零点为0和1.运用图象法来求解函数的零点问题较为直接、便捷，能使问题变得更加直观，方便我们快速找到解题的思路.四、二分法若函数y =f (x )在区间[a ,b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0，可通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而求得零点近似值.这种方法叫做二分法.在求函数的零点所在区间或者近似值时，我们可以运用二分法来求解.例4.求函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点的近似值（精确到0.1）.解：先初步判断零点x 0所在区间，因为f (1)<0，f (2)>0，所以f (1)∙f (2)<0，故函数f (x )在区间（1,2）上必有一个零点.取（1,2）的中点x 1=1.5，可得f (1.5)>0，则f (1)∙f (1.5)<0，所以x 0∈()1,1.5；取（1,1.5）的中点x 2=1.25，可得f (1.25)<0，则f (1.25)∙f (1.5)<0，所以x 0∈（1.25,1.5）；取（1.25,1.5）的中点x 3=1.375，可得f (1.375)<0，则f (1.375)∙f (1.5)<0，所以x 0∈（1.375,1.5）；取（1.375,1.5）的中点x 4=1.4375，可得f (1.4375)>0，则f (1.375)∙f (1.4375)<0，所以x 0∈（1.375,1.4375）.又因为|1.4375-1.375|=0.0625<0.1.所以函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点的近似值为1.4375.值得注意的是，只有在区间端点值异号时，才能使用二分法.以上这四种方法都是求解函数零点问题的常用方法.在解题，同学们要首先将函数的零点问题转化为方程、函数图象问题，然后利用方程的根与判别式、结合函数的图象来解题.（作者单位：江苏省沭阳如东高级中学）方海元50Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

函数零点问题——找点的基本技法与技巧
曾经写过两篇关于函数零点问题的小文章，一篇涉及到初级的找点概念和基本导向，另一篇涉及到一个重要的找点技巧——待定找点。

找点这种事，千万不要去看题目的答案，因为一千个人会找一千个点，松也好紧也好，只要能够通过找到的点说明零点的存在性即可。

但是说句心里话，我极其不喜欢使用max或者min函数（例如2016国I 导数题第一问的标答）来找点，因为在事实上，只要能理顺零点随参数变化的趋向（这应该是基本功！）那么依赖于参数的点就基本能够顺利地找到，用max或者min函数，有些多此一举的感觉。

以下公开这两篇小文章，未经允许谢绝转载。

注意最后一个题目方程左侧的函数，是一个极小值点不可解但是极小值却可求的函数，该函数型可进行推广，生成一簇极小值点不可解但极小值可求的含参函数。

该函数是我在今年4月份发现的。

第二篇文章没有标题，内容涉及上一篇文章的第三个题目。

找点已经可以算是一个研究课题，“根”是阶的估计，只要能够正确的估计阶，加上待定的手段，可以说没有找不到的点。

但是，这类题目，一定要自己动笔做，才会有感悟，自己尝试解一个题目的收获绝对超过看别人解十个题目，而且不要总考虑别人的点是怎么找的，要找出自己的风格和特色。

祝君好运。

函数零点一、知识点回顾1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

注意：（1）零点不是点；（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(<⋅b f a f , 那么, 函数)(x f y =在区间(a, b)内至少有一个零点．3、一个重要结论：若函数)(x f y =在其定义域内的某个区间上是单调的，则)(x f 在这个区间上至多有一个零点。

4、等价关系：函数)()()(x g x f x F -=有零点⇔方程0)()()(=-=x g x f x F 有实根⇔方程组⎩⎨⎧==)()(21x g y x f y 有实数根⇔函数)(1x f y =与)(2x g y =的图像有交点。

二、求函数)(x f y =零点的方法 1、解方程0)(=x f 的根；2、利用零点存在性定理和函数单调性：3、转化成两个函数图像的交点问题。

三、典例分析例1二次函数c bx ax y ++=2的部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围． 变式1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围． 2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（ ）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<3．函数012)(≠++=a a ax x f ，，若在11≤≤-x 上，)(x f 存在一个零点，则实数a的取值范围是例3 函数26x y =和2log y x =的图象的交点有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 变式：1、若方程x b =+有两个不相等的实数根，求b 的取值范围．2、 已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m m 的取值范围是 ．练习1．已知函数)(x f 为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．2.函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求a 的取值范围； 3．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞) 4.xx x f 1lg )(-=零点所在区间是（ ）. A. ]1,0( B. ]10,1( C. ]100,10( D. ),100(+∞5.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间 （A ）(,)a b 和(,)b c 内 （B ）(,)a -∞和(,)a b 内 （C ）(,)b c 和(,)c +∞内 （D ）(,)a -∞和(,)c +∞内。

人教B版高一数学上册第三单元知识点：函数零点的求法
函数可以运用到数学、计算机科学等，物理、数学、理论学领域都有涉及，所以学好函数很重要。

下文是人教B版高一数学上册第三单元知识点：函数的应用(Ⅱ)，欢迎阅读!
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
1 (代数法)求方程的实数根;
2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数 .
(1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
(2)△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
(3)△ 5.函数的模型
检验
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
用函数模型解释实际问题
符合实际
函数过程中的这些语句用于完成某些有意义的工作——通常是处理文本，控制输入或计算数值。

人教B版高一数学上册第三单元知识点：函数的应用(Ⅱ)希望能帮助大家学习!。

高中数学知识点：函数的零点1.函数的零点（1）一般地，如果函数()fα=，y f x=在实数α处的值等于零，即()0则a叫做这个函数的零点.要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数)fy=的图象与x轴交点的横坐标；(x③函数)(=f的实数根．)x(xfy=的零点就是方程0归纳：方程0f(xy=的图象与x轴有交点(=)xf有实数根⇔函数)⇔函数)(xfy=有零点．（2）二次函数的零点二次函数2=++的零点个数，方程20y ax bx c++=的实根个数ax bx c见下表.（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数()y f x =在一个区间[]a b ，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0f a f b <，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0x a b ∈，，使()00f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根.要点诠释：①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定． ②若函数()f x 在区间[],a b 上有()()0f a f b ⋅>，()f x 在(,)a b 内也可能有零点，例如2()f x x =在[]1,1-上，2()23f x x x =--在区间[]2,4-上就是这样的．故()f x 在(),a b 内有零点，不一定有()()0f a f b ⋅<． ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图象不是连续不断的曲线，()f x 在(),a b 内也可能是有零点，例如函数1()1f x x=+在[]2,2-上就是这样的． （2）利用方程求解法 求函数的零点时，先考虑解方程()0f x =，方程()0f x =无实根则函数无零点，方程()0f x =有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数()()()f xg x=的实数根，也就是F x f x g x=-的零点就是方程()()函数()=的图象交点的横坐标．y g xy f x=的图象与()。

二次函数的零点与方程二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数在数学中有着广泛的应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。

本文将重点探讨二次函数的零点及二次函数方程的解法。

一、二次函数的零点二次函数的零点即为函数图像与x轴交点的横坐标，也可以称为函数的根或解。

对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，要求解零点，可以使用以下两种方法：1.利用因式分解法如果二次函数的零点可以通过因式分解得到，那么求解的过程将会非常简单。

例如，对于函数y=x^2-4x+3，我们可以将其因式分解为(y-1)(x-3)=0，然后令y-1=0或x-3=0，求出x的值，即可得到零点x=1和x=3。

2.利用求根公式求根公式主要应用于无法通过因式分解得到零点的二次函数。

根据求根公式，对于一般形式的二次方程ax^2+bx+c=0，其解为：x=（-b±√(b^2-4ac)）/2a例如，对于函数y=2x^2+5x-3，我们可以将a=2，b=5，c=-3代入求根公式，计算得到x的值，即可得到零点。

二、二次函数的方程解法除了求解二次函数的零点外，我们也经常需要解决以二次函数形式表达的方程。

例如，对于给定的二次函数f(x)=3x^2+2x-5，要求解f(x)=0的解，可以使用以下两种方法：1.图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到函数与x轴的交点，即零点。

可以使用数学绘图工具或者计算机绘图软件来实现。

在图像上，我们可以很容易地确定函数的零点对应的x值，即方程的解。

2.配方法配方法是求解二次函数方程的常用方法之一，它可以将二次函数方程转化为一个完全平方的形式，从而更容易求解。

具体步骤如下：第一步，将方程化为标准的二次函数形式，即将常数项移到等号的另一边：3x^2+2x-5=0第二步，根据二次项与一次项的系数，计算出一个合适的常数k，使得方程的左边成为一个完全平方的形式。

二次函数的零点与方程求解二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。

在解析几何和代数学中，二次函数起着重要的作用。

本文将介绍二次函数的零点与方程求解的方法与应用。

一、二次函数的零点零点是指函数的值等于零的横坐标值。

对于二次函数，零点就是使得函数等于零的横坐标。

要找出二次函数的零点，可以使用以下方法。

1.1 因式分解法如果二次函数能够因式分解，那么它的零点可以通过令函数的各个因子等于零来求解。

例如，对于二次函数y = (x - 2)(x + 3)，将它的两个因子分别等于零得到x - 2 = 0和x + 3 = 0，解得x = 2和x = -3。

因此，该二次函数的零点为2和-3。

1.2 完全平方公式对于一般形式的二次函数y = ax² + bx + c，可以使用完全平方公式来求解零点。

完全平方公式的表达式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

首先计算判别式D = b²- 4ac，如果D大于等于零，则二次函数存在零点；如果D小于零，则二次函数无零点。

然后，将计算得到的D代入完全平方公式，即可得到二次函数的零点。

1.3 图像法通过绘制二次函数的图像，可以直观地找到函数的零点。

在坐标系上绘制出二次函数的图像后，观察函数与x轴的交点即为零点。

通过平移、伸缩和翻转等图像变换，可以更清楚地看到函数的零点。

二、二次方程的求解除了求二次函数的零点外，还经常需要解二次方程。

二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已知的实数且a不等于零。

解二次方程需要使用以下方法。

2.1 因式分解法如果二次方程能够因式分解，那么它的解可以通过令方程的各个因子等于零来求解。

例如，对于二次方程x² - 5x + 6 = 0，可以将其因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2和x = 3。

函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题是数学中的一个重要问题，其解决方法涉及到诸多数学知识和方法。

下面我们从以下几个方面对函数零点问题进行解答分析与思考。

一、什么是函数零点？
函数零点，又称函数根或零点解，指的是一个函数在数轴上与$x$轴相交的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。

二、如何求函数的零点？
求函数的零点是数学中的重要问题，常见的方法有以下几种：
1.直接求解法：将$f(x)=0$转化为$x$的方程，然后解方程，这是最基本的求解零点的方法。

2.图像法：通过函数的图像来判断函数的零点。

当函数在某一区间内的取值为正，而在另一区间内的取值为负时，这两个区间上必定有一点$f(x)=0$，即为函数的零点。

3.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种求函数零点的迭代方法，它通过不断迭代来逼近函数的零点。

4.二分法：二分法是一种逐步缩小区间的求根方法，它通过不断缩小区间的范围来逼近函数的零点。

三、函数零点问题的应用
1.数值计算：求函数的零点是数值计算中的一个重要问题。

在数值计算中，函数的零点通常被用来求解方程和优化问题。

2.科学研究：函数的零点在科学研究中也有着广泛的应用。

例如，在物理学中，函数的零点可以用来确定一物体的运动状态。

四、结论
函数零点问题是数学中的一个重要问题，它有着广泛的应用。

求函数的零点涉及到多种数学知识和方法，求解的过程往往需要综合运用这些知识和方法。

在实际的应用中，掌握函数零点问题的解决方法对于解决实际问题是非常有帮助的。

高中函数零点的总结归纳高中数学中，函数是一个重要的主题，而其中的零点是我们需要特别关注的部分。

在这篇文章中，我们将对高中函数的零点进行总结归纳。

通过做题和分析案例，我们将会深入探讨零点的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。

一、零点的概念及性质函数的零点，也被称为方程的根或解，即函数在横坐标轴上交点的横坐标值。

对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(a)=0，则称a为函数的零点。

从直观上来理解，零点就是使得函数取值为零的横坐标值。

在研究函数的零点时，我们需要关注以下几个性质：1. 零点的唯一性：对于一个函数，它的零点不一定只有一个，但在某一特定区间内，零点是唯一的。

2. 零点的对称性：如果a是函数f(x)的零点，那么-a也是它的零点。

这意味着如果我们找到了一个零点，我们可以根据对称性找到另一个零点。

3. 零点与函数图像：函数的零点处于函数图像与x轴的交点处，因此通过观察函数图像可以初步判断零点的位置。

二、零点的求解方法求解函数的零点是我们在高中数学中经常要进行的操作之一。

下面是几种常见的求解方法：1. 图像法：通过观察函数的图像，找出横坐标轴上的交点。

这种方法对于简单函数比较直观，但对于复杂函数可能会不够准确。

2. 因式分解法：如果函数可以进行因式分解，那么我们可以通过将函数中的因式置零来求解零点。

这个方法要求我们对函数的因式分解有一定的掌握程度。

3. 零点定理与综合除法：零点定理告诉我们，如果一个函数f(x)存在有理数根p/q（p与q互质），那么p是f(x)的常数项的因子，q是f(x)的最高次项的系数。

我们可以通过综合除法来验证这个定理，并进一步求得有理数根。

4. 数值法：对于无法通过上述方法求解的函数，我们可以使用数值法来逼近零点。

例如，可以使用二分法、牛顿法或二次插值法等数值方法来计算。

三、零点的应用举例函数的零点在实际问题中有着广泛的应用。

下面我们通过几个实例来说明零点的具体应用。

零点求解题技巧零点求解题是一种常见的数学问题类型，它主要涉及到方程的解析和求解。

在数学中，方程是一种等式，包含一个或多个未知数，我们需要找到使等式成立的未知数的值。

在这篇文章中，我将介绍几种常用的零点求解题技巧，帮助你更好地理解和解决这类问题。

一、二次方程求解法二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a不等于0。

求解二次方程的常见方法有：1. 利用求根公式：对于一般的二次方程，我们可以通过求根公式来求解。

求根公式如下：x1 = (-b + √(b^2-4ac)) / (2a)x2 = (-b - √(b^2-4ac)) / (2a)使用这个公式，我们可以直接计算得到方程的根。

需要注意的是，若b^2-4ac小于零，那么方程没有实数根。

2. 完全平方式：当二次方程的变形形式为(a+b)^2=c 时，可以利用完全平方式进行求解，即可以得到x=a+b或x=-a-b。

3. 配方法：当二次方程不易直接分解时，可以通过配方法将其变形后再求解。

二、一次方程求解法一次方程是指只含有一个未知数的线性方程，即ax+b=0。

求解一次方程的常见方法有：1. 基本运算法：通过变化计算式，将方程转换为等价方程。

首先将方程中的未知数项移到方程右边，常数项移到方程左边，得到ax=-b；然后除以系数a，得到x=-b/a。

2. 代入法：如果有两个方程，其中一个方程可以用另一个方程的解来表示，我们可以通过代入法来求解。

具体步骤是，将一个方程的解代入另一个方程，并解得未知数的值。

三、高次方程求解法高次方程指的是三次方程、四次方程等。

对于高次方程，常见的求解方法有：1. 分解法：将高次方程进行因式分解，将其转化为低次方程，然后逐个求解低次方程。

2. 代数长除法：对于三次方程或更高次方程，可以使用代数长除法进行分解和求解。

具体步骤是，根据高次方程的首项和末项来求得一个因式，然后进行长除法操作，对剩余的方程继续进行求解。

四、无理方程求解法无理方程是指含有根号的方程，常见的无理方程有平方根、立方根等形式。

求函数零点的几种方法函数的零点，即函数取值为零的点，是函数解的根。

求函数的零点是数学中一项重要的任务，对于函数的性质以及问题的解有着关键的作用。

在实际问题中，往往需要找到函数的零点来解决问题。

下面将介绍几种常用的方法用于求解函数的零点。

1.图形法图形法是通过函数的图形来确定函数的零点。

具体步骤如下：1)绘制函数的图形。

2)寻找图形与横轴(函数值为零)的交点。

3)根据图形的特点确定所有零点的位置。

图形法主要适用于简单函数，可以直观地得到函数的零点，并且可以对函数的变化趋势有一个初步的了解。

2.开方法开方法是将函数的表达式进行开方得到一个新的方程，通过解新方程找到函数的零点。

具体步骤如下：1)对函数的表达式进行开方处理。

2)解开方后的方程，得到新方程的解。

3)验证解是否为函数的零点。

开方法适用于含有含有根号的函数，通过化简方程后解得函数的零点。

3.代数法代数法是通过代数运算将函数的表达式化简，然后解方程求解函数的零点。

具体步骤如下：1)化简函数的表达式，将函数转化为简单的方程。

2)解方程，得到函数的零点。

代数法是一种比较常用且灵活的求解函数零点的方法，适用于各种类型的函数。

4.迭代法迭代法是通过不断逼近函数的零点来求解函数的零点。

具体步骤如下：1)选择一个初始值。

2)根据函数的迭代公式计算下一个值。

3)判断逼近的精度是否满足要求，如果满足，则确定逼近值为函数的零点；如果不满足，则返回第二步。

迭代法是一种数值近似的方法，适用于函数难以用代数公式表示的情况，可以通过函数的近似值来逼近零点。

5.数值逼近法数值逼近法是通过数值计算的方法逼近函数的零点。

具体步骤如下：1)选择一个初始值。

2)根据数值逼近公式迭代计算下一个值。

3)判断逼近的精度是否满足要求，如果满足，则确定逼近值为函数的零点；如果不满足，则返回第二步。

数值逼近法是通过数值计算来逼近函数的零点，适用于难以通过代数运算求解的复杂函数。

总结：求函数的零点是数学中的一项重要内容。

高中数学知识点：二分法求函数零点1.二分法所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()y f x =定义在区间D 上，求它在D 上的一个零点x 0的近似值x ，使它满足给定的精确度.第一步：在D 内取一个闭区间[]00,a b D ⊆，使()0f a 与()0f b 异号，即()()000f a f b ⋅<，零点位于区间[]00,a b 中.第二步：取区间[]00,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122x a b a a b =+-=+. 计算()0f x 和()0f a ，并判断：①如果()00f x =，则0x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()000f a f x ⋅<，则零点位于区间[]00,a x 中，令1010,a a b x ==； ③如果()()000f a f x ⋅>，则零点位于区间[]00,x b 中，令1010,a x b b == 第三步：取区间[]11,a b 的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122x a b a a b =+-=+. 计算()1f x 和()1f a ，并判断：①如果()10f x =，则1x 就是()f x 的零点，计算终止；②如果()()110f a f x ⋅<，则零点位于区间[]11,a x 中，令2121,a a b x ==； ③如果()()110f a f x ⋅>，则零点位于区间[]11,x b 中，令2121,a x b b ==； ……继续实施上述步骤，直到区间[]a b，函数的零点总位于区间,n n[]a b上，当n a和n b按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相,n n同的近似值就是函数()=的近似零点，计算终止.这时函数y f x()=的近似零点满足给定的精确度.y f x要点诠释：（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②()f b的值比较f a、()容易计算且()() <0f a f b．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程()()=的根，可以构造函f xg x数()()()=的根．f xg x=-，函数()F x f x g xF x的零点即为方程()()。

初中数学如何求解一个函数的零点
求解一个函数的零点，也称为求解方程f(x) = 0，是数学中常见的问题之一。

下面是关于如何求解一个函数的零点的详细步骤：
1. 了解函数的定义域：
-首先，确定函数的定义域。

函数的定义域是函数自变量的取值范围。

要确保方程f(x) = 0 在定义域上有解。

2. 利用代数方法求解：
-将方程f(x) = 0 转化为等式形式。

将函数f(x) 转化为0，即f(x) = 0。

-利用代数方法解方程。

这可以包括使用因式分解、配方法、二次公式、根的关系等方法，根据具体的情况选择合适的方法求解方程。

3. 利用图像方法求解：
-绘制函数的图像。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地看到函数与x 轴的交点，即零点。

-观察函数图像与x 轴的交点。

通过观察函数图像，找到函数与x 轴相交的点，这些点对应于函数的零点。

4. 利用数值逼近方法求解：
-使用数值逼近方法，如二分法、牛顿法或二次插值法等，来近似求解方程的解。

-选择一个起始点，根据逼近方法的原理和算法，进行迭代计算，逐步接近方程的解。

通过代数方法、图像方法和数值逼近方法，我们可以求解一个函数的零点。

这些方法在不同情况下有不同的优势和适用性。

在实际应用中，可以根据具体的问题和条件选择合适的方法。

总结来说，求解一个函数的零点的步骤包括了解函数的定义域、利用代数方法、利用图像方法和利用数值逼近方法。

这些方法可以帮助我们找到函数与x 轴的交点，即函数的零点。

希望以上内容能够帮助你理解如何求解一个函数的零点。

高中数学解二次函数的零点的方法和实例分析引言：二次函数是高中数学中非常重要的一种函数形式，解二次函数的零点是解方程的一种特殊情况。

本文将介绍解二次函数零点的常用方法和实例分析，帮助高中学生掌握解题技巧。

一、二次函数的零点定义及意义二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。

解二次函数的零点可以帮助我们找到函数的根、求解方程，进而解决实际问题。

例如，对于一个表示物体运动的二次函数，求解其零点可以得到物体的位置和时间的关系，从而确定物体的起始位置和运动时间。

二、利用因式分解法解二次函数的零点对于形如f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b、c为实数且a≠0，我们可以尝试利用因式分解法来解零点。

具体步骤如下：1. 将二次函数表示为因式相乘的形式，即f(x) = a(x - x1)(x - x2)，其中x1、x2为零点。

2. 通过观察二次函数的系数a、b、c来确定因式分解的形式。

当a=1时，我们可以通过分解c来确定x1、x2的值；当a≠1时，我们需要先将二次函数化简为a=1的形式，再进行因式分解。

3. 通过解方程 a(x - x1)(x - x2) = 0，求解x1、x2的值。

例题1：解二次函数f(x) = x^2 - 5x + 6的零点。

解析：根据二次函数的形式，我们可以通过因式分解法解零点。

将f(x)表示为因式相乘的形式：f(x) = (x - 2)(x - 3)。

通过解方程 (x - 2)(x - 3) = 0，我们可以得到x1 = 2，x2 = 3。

因此，二次函数f(x)的零点为x1 = 2，x2 = 3。

三、利用求根公式解二次函数的零点除了因式分解法，我们还可以利用求根公式解二次函数的零点。

对于形如f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b、c为实数且a≠0，求根公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)通过求根公式，我们可以直接求解二次函数的零点。