新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第2课时零点的存在性及其近似值的求法课后课时精

第2课时零点的存在性及其近似值的求法课程标准学法解读1．结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在性定理．2．了解二分法求方程解的一般性.1．会求函数的零点，掌握函数零点存在的条件，并会判断函数零点的个数．(数学抽象)2．掌握用二分法求方程近似解的步骤．3．通过本节课的学习，帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法，逐步帮助学生树立数学建模的思想.必备知识·探新知基础知识1．函数零点存在定理(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，并且f(a)f(b)＜0.(2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，__即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0__.思考1：(1)利用函数零点存在定理是否能确定零点的个数？(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)＜0?提示：(1)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)＜0，但图(1)中的函数在区间(a，b)内有4个零点．图(2)中的函数在区间(a，b)内仅有1个零点．(2)若函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.如图(3)虽然在区间(a，b)内函数f(x)有零点，但f(a)·f(b)＞0.2．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法称为二分法．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精度ε，用二分法求函数f (x )零点x 0近似值x 1，使得|x 1－x 0|＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查|b －a |＜2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束，如果不成立转到第二步；第二步：计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数，若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≠0，转到第三步； 第三步，f (a )·f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＜0，将a ＋b 2→b ，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·f (b )＜0，将a ＋b 2→a ，回到第一步．思考2：当|b －a |＜2ε时，取区间(a ，b )的中点作为零点的近似解，区间(a ，b )上的其他点一定不是零点的近似解吗？为什么不取其他的点作为近似解？提示：设函数的零点是x 0，区间(a ，b )的其他点为x ′，x ′也可能是零点的近似解，即满足|x ′－x 0|＜ε，但是也可能不满足，而区间的中点一定满足，因此只取区间的中点作为近似解，而不取其他的点．基础自测1．对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间[a ，b ]内( C ) A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点解析：如图所示，当f (a )＞0，f (b )＞0时，函数图像与x 轴可以有一个或两个交点，还可以没有交点．故A 、B 、D 不正确，C 正确．2．方程x 3－x －3＝0的实数解所在的区间是( C )A．[－1,0]B．[0,1]C．[1,2]D．[2,3]解析：令f(x)＝x3－x－3，易知函数f(x)＝x3－x－3在R上的图像是连续不断的，f(1)＝－3＜0，f(2)＝8－2－3＝3＞0，f(－1)＝－3＜0，f(0)＝－3＜0，f(3)＝21＞0，结合选项知，f(1)·f(2)＜0，故函数f(x)＝x3－x－3的零点所在的区间为[1,2]，即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1,2]．3．用二分法求函数f(x)＝－4x2＋8x－1的零点x0时，第一次计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，f(1)＞0，则由此可得零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(C)A．(0.5,1)，f(0.75)B．(0,0.5)，f(0.125)C．(0,0.5)，f(0.25)D．(0,1)，f(0.125)解析：由用二分法求函数零点的步骤，知x0∈(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．4．用二分法求函数f(x)的一个零点，参考数据如下：f(1.600 0)≈0.200f(1.587 5)≈0.133f(1.575 0)≈0.067f(1.562 5)≈0.003f(1.549 5)≈－0.029f(1.540 0)≈－0.060 据此数据，可得f(x)的一个零点的近似值(精度0.01)为__1.556__.解析：由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.549 5)≈－0.029＜0，即f(1.549 5)·f(1.562 5)＜0，又1.562 5－1.549 5＝0.013＜0.02，所以f(x)的一个零点的近似值可取为(1.549 5＋1.562 5)÷2＝1.556.5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币，但质量稍轻，若现在只有一台天平，最多需要称__4__次就可以发现这枚假币．解析：第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．关键能力·攻重难类型 函数零点所在区间的求法 ┃┃典例剖析__■典例1 (1)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( A )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内(2)函数f (x )＝2x 2－1x 的零点所在的区间是( B )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫14，13思路探究：求函数零点所在区间的关键是判断区间端点处函数值与0的大小关系． 解析：(1)因为f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，所以f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0，所以f (a )f (b )＜0，f (b )f (c )＜0，故∃x 1∈(a ，b )，x 2∈(b ，c )，f (x 1)＝0，f (x 2)＝0，所以f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．(2)f (1)＝2－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝2×14－2＝－32＜0，即f ⎝⎛⎭⎫12f (1)＜0， 所以∃x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，f (x 0)＝0，且f (x )的图像在⎝⎛⎭⎫12，1内是一条连续不断的曲线，故f (x )的零点所在的区间是⎝⎛⎭⎫12，1.归纳提升：判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．┃┃对点训练__■1．已知定义在R 上的函数f (x )＝(x 2－5x ＋6)g (x )＋x 2－8，其中函数y ＝g (x )的图像是一条连续曲线，则方程f (x )＝0在下面哪个范围内必有实数根( C )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：令x 2－5x ＋6＝0，解得x ＝2或x ＝3.∵f (2)＝4－8＝－4＜0，f (3)＝9－8＝1＞0，又易知函数f (x )的图像在R 上连续不间断，∴函数f (x )在(2,3)内必有零点，故方程f (x )＝0在(2,3)内必有实数根． 类型 用二分法求函数零点的近似值 ┃┃典例剖析__■典例2 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．思路探究：先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间a 0＝1，b 0＝2 f (1)＝－6，f (2)＝4 [1,2] x 1＝1＋22＝1.5 f (x 1)＝－2.625<0 [1.5,2] x 2＝1.5＋22＝1.75f (x 2)≈0.234 4>0 [1.5,1.75] x 3＝1.5＋1.752＝1.625 f (x 3)≈－1.302 7<0 [1.625,1.75] x 4＝1.625＋1.752＝1.6875 f (x 4)≈－0.561 8<0 [1.687 5,1.75] x 5＝1.687 5＋1.752＝1.718 75f (x 5)≈－0.171<0[1.718 75,1.75]x 6＝1.718 75＋1.752＝1.734 375f (x 6)≈0.03>0 [1.718 75,1.734 375]因此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数精确到0.1的实数解．归纳提升：用二分法求函数零点的近似值，关键是找一个区间[m ，n ]，使f (m )·f (n )＜0.用二分法求函数零点的近似值的步骤如下：(1)依据图像估算初始区间(一般采用估值的方法完成)；(2)取区间[m ，n ]的中点c ＝m ＋n 2，计算f (c )，确定有解区间是[m ，c ]还是[c ，n ]，逐步缩小区间的长度，直到区间的长度小于2ε，求出此时的区间中点，即可得到函数零点的近似值．┃┃对点训练__■2．(1)用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( A ) A ．[－2,1] B ．[－1,0] C ．[0,1]D ．[1,2](2)用二分法求f (x )＝0的近似解，f (1)＝－2，f (1.5)＝0.625，f (1.25)＝－0.984，f (1.375)＝－0.260，下一个求f (m )，则m ＝__1.437 5__.解析：(1)二分法求变号零点时所取初始区间[a ，b ]，应满足f (a )·f (b )＜0.本题中函数f (x )＝x 3＋5，由于f (－2)＝－3，f (1)＝6，显然满足f (－2)·f (1)＜0，因此∃x 0∈(－2,1)，f (x 0)＝0，故函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是[－2,1]．(2)根据题意，方程f (x )＝0的根应该在区间(1.375，1.5)上，则m ＝1.375＋1.52＝1.437 5.类型 零点存在定理的综合应用 ┃┃典例剖析__■典例3 已知函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)与(1,2)内，求实数m 的取值范围．思路探究：根据函数零点存在定理，求解不等式，确定参数的取值范围．解析：由函数零点存在定理以及二次函数图像的特征，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0，f (0)＜0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2>0，2m ＋1＜0，4m ＋2<0，6m ＋5>0，解得－56＜m ＜－12，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－56，－12. 归纳提升：二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：(1)判别式．(2)端点函数值的正负．(3)对称轴与区间的位置关系．(4)根与系数的关系．┃┃对点训练__■3．若函数f (x )＝3x 2－5x ＋a 的一个零点在区间(－2,0)内，另一个零点在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是__(－12，0)__.解析：根据二次函数及其零点所在区间可画出大致图像，如图：由图可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋10＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，27－15＋a ＞0，解得－12＜a ＜0.易混易错警示 错用零点存在性定理 ┃┃典例剖析__■典例4 函数f (x )＝2－4－x 2(x ∈[－1,1])的零点个数为__1__.错因探究：解答本题时易产生如下错解：因为f(－1)＝2－3＞0，f(1)＝2－3＞0，所以函数没有零点．事实上，由于f(x)在定义域内是大于等于0的，所以不能使用函数零点存在定理．解析：令2－4－x2＝0，解得x＝0，所以函数在[－1,1]上仅有一个零点．误区警示：利用函数零点存在定理判断函数是否存在零点时，两个条件是缺一不可的．因此，判断函数在已知区间上是否存在零点时，应先判断函数图像在该区间上是不是连续不断的，而且不能一味地将区间[a，b]的左、右端点值代入解析式，根据f(a)·f(b)＜0是否成立来判断，这是因为某些函数的零点所在区间可能是已知区间的子区间或函数零点可能为不变号零点．学科核心素养二分法的思想就是通过“无限逼近”思想来体现的，二分法不仅可以求根，还可以用于查找线路、水管、煤气管等的故障，也有用于实验设计、资料查询等，在日常生活中有着广泛的应用．┃┃典例剖析__■典例5在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生故障，这是一条10 km长的笔直的线路，怎样迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆子，10 km有200多根电线杆．想一想，维修线路的工人师傅怎样查找故障最合理？思路探究：可以参照用二分法求函数零点近似值的方法，以减少工作量并节省时间．解析：如下图，工人师傅可以从线段AB的中点C处开始查找，分别测试AC段和BC段的线路，若发现AC段正常，断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，若发现BD段正常，则故障在CD段；再查CD的中点E……依次类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出，要把故障范围缩小到50 m～100 m，即一两根电线杆附近，只要7次就够了．课堂检测·固双基1．函数图像与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是(B)解析：选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．2．函数f(x)＝5－x2的负数零点的近似值(精确到0.1)是(C)A．－2.0B．－2.1C．－2.2D．－2.3解析：f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0，故选C．3．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间__(1.25，1.5)__.解析：本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0，f(1.5)>0和f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25，1.5)．4．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x 12345 6f(x)136.13515.552－3.9210.8852.488232.064__2__解析：由题表可知函数f(x)的零点至少有一个在(2,3)内，一个在(3,4)内．5．若关于x的方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围．解析：设函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1的图像开口向上，零点x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋(k －2)＋2k －1<04＋2(k －2)＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，23.。

第2课时零点的存在性及其近似值的求法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一二分法的概念1.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是( )①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0.A．①③ B．①②C．①④ D．②3．已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3知识点二判断函数零点所在的区间4.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4f(x)6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)5．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内6．已知，函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )x －1012 3f(x)－0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)知识点三用二分法求函数零点的近似值7.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关8．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260f(1.437 5) ＝0.162f(1.406 25) ＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．关键能力综合练进阶训练第二层C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a16，a 内无零点 D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内有零点，或零点是a16二、填空题7．已知函数f (x )＝mx 2＋2x －1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值X 围是________．8．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x >0时，y ＝f (x )是单调递增的，且f (1)f (2)<0，则函数f (x )的零点个数是________．9．已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________________________________________________________________________．三、解答题10．(探究题)已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a ， (1)若函数f (x )没有零点，某某数a 的取值X 围； (2)若函数f (x )有两个零点，某某数a 的取值X 围； (3)若函数f (x )有三个零点，某某数a 的取值X 围； (4)若函数f (x )有四个零点，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练 进阶训练第三层1．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数有y ＝f (|x |)四个零点2．(学科素养—数学抽象)若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0，f (1)f (2)f (4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f (x )在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．3．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，某某数a的取值X围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．第2课时零点的存在性及其近似值的求法必备知识基础练1．解析：按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D 满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.答案：A2．解析：由二分法的定义知①②正确．故选B.答案：B3．解析：由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解．答案：D4．解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A5．解析：∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a －c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A6．解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.答案：B7．解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．答案：B8．解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.答案：D9．解析：根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时，|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，故方程的一个近似根为1.437 5.答案：1.437 5关键能力综合练1．解析：由题意得，f (x )在(2 019,2 020)内可能存在零点，在(2 020，2 021)内至少存在一个变号零点．答案：A2．解析：∵f (－2)＝－28<0，f (4)＝38>0，f (1)＝－4<0，f (2.5)＝4.625>0， f (1.75)＝－1.515 625<0.∴f (x )在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选C. 答案：C3．解析：利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c ＝1，则f (x )＝x 2＋1，f (2)＝f (－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c ＝0，则f (x )＝x 2，f (2)＝f (－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c ＝－1，则f (x )＝x 2－1，f (2)＝f (－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有A 正确．答案：A4．解析：∵f (2)＝8>0，f (3)＝－2<0，f (4)＝2>0，f (6)＝3>0，f (7)＝－2<0，f (8)＝－1<0，f (9)＝8>0，∴f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (6)·f (7)<0，f (8)·f (9)<0，∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点， ∴至少有4个零点，故选B. 答案：B5．解析：∵f (0.72)>0，f (0.68)<0，∴f (0.72)×f (0.68)<0，∴存在x 0∈(0.68,0.72)使x 0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)．故选B.答案：B6．解析：根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内，或零点是a 16.答案：D7．解析：当m ＝0时，零点为x ＝12，满足题意．当m ≠0时，Δ＝4＋4m ≥0，解得m >0或－1≤m <0， 设x 1，x 2是函数的两个零点，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝－1m.若m ＝－1，函数只有一个零点1，满足题意； 若－1<m <0，则x 1，x 2均为正数，不符合题意，舍去； 若m >0，则x 1，x 2一正一负，满足题意． 综上，实数m 的取值X 围是{－1}∪[0，＋∞)． 答案：{－1}∪[0，＋∞)8．解析：由已知可知，存在x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x 0′∈(－2，－1)，使f (x 0′)＝0，且x 0′＝－x 0.故函数f (x )的零点个数是2.答案：29．解析：设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，∴n 的最小值为4.所以至少等分4次即可．答案：4 10．解析：令|x 2－2x |－a ＝0，则|x 2－2x |＝a ，构造函数g (x )＝|x 2－2x |，y ＝a ，作出函数g (x )＝|x 2－2x |的图像，如图所示，由图像可知： (1)当a <0时，a ≠|x 2－2x |，此时函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像没有交点． 即函数f (x )没有零点．(2)当a ＝0或a >1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有两个交点，即f (x )有两个零点． (3)当a ＝1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有三个交点，即f (x )有三个零点． (4)当0<a <1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有四个交点，即f (x )有四个零点．学科素养升级练1．解析：根据题意，函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，即方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的根，为x 1，x 2，据此分析选项：对于A ，若方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的根，则有(－2)2－4a >0，解可得a <1，故A 正确；对于B ，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的根，为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，则1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，B 正确；对于C ，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，其对称轴为x ＝1，则有f (－1)＝f (3)，故C 正确；对于D ，当a ＝0时，y ＝f (|x |)＝x 2－2|x |，有3个零点，故D 错误．答案：ABC2．解析：∵f (0)>0，f (1)f (2)f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x 轴相交有4种可能，如图所示：∴函数f (x )必在区间(0,4)内有零点．故选④. 答案：④3．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f 1＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝4＞0，f1＝5－2a ＜0，f6＝40－12a ＜0，f8＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.即a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

2019-2020学年新教材高中数学第3章函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）零点的存在性及其近似值的求法学案新人教B版必修第一册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第3章函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）零点的存在性及其近似值的求法学案新人教B版必修第一册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时零点的存在性及其近似值的求法学习目标核心素养1.掌握函数零点的存在性定理,并会判断函数零点的个数. （重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）1.通过存在性定理的学习,培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析,数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养.1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间［a,b]上的图像是连续不断的，并且f（a)f(b）＜0 (即在区间两个端点处的函数值异号）,则函数y＝f（x)在区间［a，b］中至少有一个零点,即∃x0∈［a，b]，f（x)＝0.2．二分法的定义(1)二分法的条件：函数y＝f(x）在区间［a，b]上连续不断且f（a)f(b）＜0。

（2）二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f（x)在［a，b］上的零点近似值的步骤是：第一步检查｜b－a｜＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝错误!,计算结束；如果不成立,转到第二步．第二步计算区间［a,b］的中点a＋b2对应的函数值，若f错误!＝0,取x1＝错误!，计算结束；若f错误!≠0,转到第三步．第三步若f(a）f错误!＜0，将错误!的值赋给b错误!,回到第一步;若f错误!f(b）＜0，将错误!的值赋给a，回到第一步．1．下列函数不宜用二分法求零点的是（）A．f（x）＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x）＝x2＋2错误!x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1C[因为f(x)＝x2＋2错误!x＋2＝（x＋错误!）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]2．若函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（）A．函数f（x)在区间［a，b]上不可能有零点B．函数f(x)在区间［a，b]上一定有零点C．若函数f（x）在区间[a，b］上有零点，则必有f(a)·f(b）＜0D．若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点,则必有f（a）·f（b）＞0D［函数f(x）在区间［a，b］上为单调函数，如果f（a)·f(b）＜0,可知函数在（a，b)上有一个零点，如果f（a)·f（b)＞0，可知函数在[a,b]上没有零点，所以函数f(x)在区间[a，b］上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；函数f(x）在区间［a，b］上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；若函数f（x）在区间［a，b]上有零点，则可能f（a）·f(b)＜0，也可能f(a)·f（b)＝0所以C不正确；若函数f(x)在区间[a，b］上没有零点，则必有f（a)·f（b）＞0，正确；故选D.］3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B［依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]4．若函数f(x）的图像是连续不断的，且f(0)>0,f(1）·f(2)·f(4）〈0，则下列命题正确的是________．①函数f（x)在区间(0,1）内有零点；②函数f（x)在区间（1，2）内有零点;③函数f（x）在区间（0,2)内有零点；④函数f(x）在区间(0，4)内有零点．④［∵f(0)>0,而由f(1)·f(2)·f(4)〈0，知f(1),f(2），f(4）中至少有一个小于0.∴(0，4)上有零点．］判断函数零点所在的区间【例1】求证:方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2］内至少有两个实数解．［证明］设f(x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1)＝3＞0,f（0）＝－2＜0，f(2）＝6＞0，所以方程在（－1,0)，(0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断．1．若函数y＝f（x）在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A．若f(a)f（b)＞0,则不存在实数c∈（a,b)使得f(c）＝0B．若f（a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a,b）使得f(c)＝0C．若f(a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f(a)f(b）＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f（c）＝0C[对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项,必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]对二分法概念的理解【例2】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( ）B［利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号,在选项B中，不满足零点两侧函数值异号,不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．］二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是:函数零点的存在性。

新教材高中数学：3.2 函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学习目标核心素养1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．如图已知函数f(x)＝x＋1的图像．问题(1)写出方程f(x)＝0的解集A；(2)写出不等式f(x)>0的解集B；(3)写出不等式f(x)<0的解集C；(4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？(5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？1．函数的零点(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．(2)三者之间的关系：函数f(x)的零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．思考1：(1)函数的零点是一个点吗？(2)任何函数都有零点吗？[提示](1)函数的零点是一个实数，而不是一个点．(2)并不是任何函数都有零点，如y＝1，y＝x2＋1就没有零点．2．三个“二次”的关系设y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac 判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y ＞0或y ＜0的步骤求方程y ＝0的解有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根画函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像解不等式y ＞0或y ＜0的步骤 不等式的解集y ＞0 {x |x ＜x 1_或x ＞x 2} ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠－b 2aR y ＜0{x |x 1＜x ＜x 2}思考2：若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则实数a 应满足什么条件？ [提示] 结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax 2＋x －1>0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋4a <0，解得a ∈，所以不存在a 使不等式ax 2＋x －1>0的解集为R . 3．图像法解一元二次不等式的步骤 (1)解一元二次不等式对应的一元二次方程； (2)求出其对应的二次函数的零点； (3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点． ( ) (2)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)只有一个零点．( ) (3)一次不等式的解集不可能为，也不可能为R . ( )(4)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．函数y ＝1＋1x的零点是( )A ．(－1，0)B ．x ＝－1C ．x ＝1D ．x ＝0B [令1＋1x＝0解得x ＝－1，故选B.]3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜－2或m ＞2 B ．－2＜m ＜2 C ．m ≠±2D ．1＜m ＜3A [∵f (x )＝－x 2＋mx －1有正值， ∴Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.故选A.] 4．不等式1＋x1－x≥0的解集为________．[－1，1) [原不等式等价于(x ＋1)(x －1)≤0，且x －1≠0，∴－1≤x ＜1.]函数的零点及求法【例1】 求函数f (x )＝x 3－7x ＋6的零点． [解] 令f (x )＝0，即x 3－7x ＋6＝0， ∴(x 3－x )－(6x －6)＝0，∴x (x －1)(x ＋1)－6(x －1)＝(x －1)·(x 2＋x －6)＝(x －1)(x －2)(x ＋3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，x 3＝－3，∴函数f (x )＝x 3－7x ＋6的零点是1，2，－3.求函数y ＝f (x )的零点通常有两种方法：一是令y ＝0，根据解方程f (x )＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y ＝f (x )的图像，图像与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．[跟进训练]1．如图所示，是一个二次函数y ＝f (x )的图像．(1)写出这个二次函数的零点；(2)试比较f (－4)·f (－1)，f (0)·f (2)与0的大小关系． [解] (1)由图像可知，函数f (x )的两个零点分别是－3，1. (2)根据图像可知，f (－4)·f (－1)＜0，f (0)·f (2)＜0.二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系 【例2】 利用函数求下列不等式的解集： (1)x 2－5x －6＞0；(2)(2－x )(x ＋3)＜0； (3)4(2x 2－2x ＋1)＞x (4－x ).[解] (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6. 结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图像知， 原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞). (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)＞0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3. 结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图像知， 原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞). (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2， 即9x 2－12x ＋4＞0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，解得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知， 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.由一元二次不等式与对应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下：[跟进训练]2．利用函数求下列不等式的解集：(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0； (3)x 2－4x －5＜0； (4)－4x 2＋18x －814＞0.[解] (1)对于方程2x 2＋7x ＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0， 所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝－3，x 2＝－12.又因为二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. (2)对于方程－x 2＋8x －3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实数根，x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又因为二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图像开口向下， 所以原不等式的解集为(4－13，4＋13). (3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)＜0， 所以原不等式的解集为(－1，5). (4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922＜0，所以原不等式的解集为.用函数零点法求一元高次不等式的解集【例3】 (教材P114例5改编)求函数f (x )＝(x －1)(x －2)(x ＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f (x )≥0和f (x )＜0的解集．[解] 函数的零点为－3，1，2.函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．x (－∞，－3)(－3，1) (1，2) (2，＋∞)f (x )－＋－＋由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f (x )≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞)，f (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(1，2).穿根法解高次不等式穿根法实质上就是求根法的深化与提升，穿根的过程实质就是画函数图像的过程．用该方法解高次不等式时，要注意三点：一是需要把最高次幂的系数化为正数；二是穿根时先在数轴上把根标出来，然后从数轴的右上方开始依次穿过； 三是穿根时，偶数次重根要穿而不过，奇数次重根则要穿过． 穿根法解分式不等式的步骤移项——通分——化成基本形式(因式的积的形式且x 的系数为1)——穿根．[跟进训练]3．求函数f (x )＝(1－x )(x －2)(x ＋2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f (x )≥0和f (x )＜0的解集．[解] 函数的零点为－2，1，2.函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．x (－∞，－2)(－2，1) (1，2) (2，＋∞)f (x )＋－＋－由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f (x )≥0的解集为(－∞，－2]∪[1，2]，f (x )＜0的解集为(－2，1)∪(2，＋∞).4．解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6＜0.[解] 将原不等式化为（x ＋3）（x －1）（x ＋2）（x －3）＞0，即(x ＋3)(x ＋2)(x －1)(x －3)＞0，各因式所对应的根分别为－3，－2，1，3，在数轴上标根并画出示意图，如图所示．故原不等式的解集为{x |x ＜－3或－2＜x ＜1或x ＞3}．知识：1．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图像交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图像与x 轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的解是函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的零点．(2)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集是使f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合；ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集是f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤 (1)解一元二次不等式对应的一元二次方程； (2)求出其对应的二次函数的零点； (3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集． 方法：穿根法：解简单的一元高次不等式常用穿根法．1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )A [B ，C ，D 的图像均与x 轴有交点，故函数均有零点，A 的图像与x 轴没有交点，故函数没有零点．]2．方程5x 2－7x －1＝0的根所在的区间是( ) A.(－1，0) B.(1，2)C.一个根在(－1，0)上，另一个根在(1，2)上D.一个根在(0，1)上，另一个根在(－2，－1)上 C [∵ f (－1)· f (0)＜0, f (1)· f (2)＜0，∴选C.] 3．函数f (x )＝x －1x零点的个数是( )A.0 B ．1 C ．2 D ．3C [令x －1x ＝0，即x 2－1＝0，∴x ＝±1.∴f (x )＝x －1x的零点有两个. ]4．不等式(x ＋1)(x 2－9)≥0的解集是________．{x |－3≤x ≤－1或x ≥3} [原不等式可化为(x ＋1)(x ＋3)(x －3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3.如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过．由图可知不等式(x ＋1)(x 2－9)≥0的解集为{x |－3≤x ≤－1或x ≥3}．]5．已知ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13＜x ＜12，求实数a ，c 的值．[解] 由ax 2＋2x ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13＜x ＜12知a ＜0，且方程ax 2＋2x ＋c ＝0的两根为x 1＝－13，x 2＝12.由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝c a ．解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.故a 的值为－12，c 的值为2.。