导函数零点问题
一．方法综述
导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究()f x 的单调性，往往需要解方程()0f x '＝.若该方程不易求解时，如何继续解题呢在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题. 二．解题策略
类型一 察“言”观“色”，“猜”出零点
【例1】【2020·福建南平期末】已知函数()()
2
1e x
f x x ax =++.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若函数()()
2
1e 1x
g x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.
【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e x
f x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得；
（2）依题意可得()()2
1e x g x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件；
当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，
01m <<三种情况讨论可得.
【解析】（1）因为()()
2
1x
f x x ax e =++，所以()()221e x
f x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，
即()()()11e x
f x a x x =++'+.
由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.
①当0a =时，()()2
1e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，
由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()()
,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()
1,1a -+-为减函数.
③当0a <时，()11a -+>-，
由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()
1,a -++∞为增函数，在()()
1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；
当0a >时，()f x 在()()
,1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()
1,1a -+-为减函数； 当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()
1,a -++∞为增函数，在()()
1,1a --+为减函数. （2）因为()()
2
1e 1x
g x x mx =+--，所以()()2
1e x g x m x =+'-，
①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.
（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.
（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()2
10m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，
且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.
所以()()000g x g <=，又()()()
2
2
2
2
1e 1110m
g m m m m m =+-->+--=，
根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.
（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，
若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点. 又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110e
g m -=+-，所以21e m -，
即当2
11e
m -
<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为2
11e
m -< 【指点迷津】
1.由于导函数为超越函数，无法利用解方程的方法，可以在观察方程结构的基础上大胆猜测.一般地，当所求的导函数解析式中出现ln x 时，常猜x ＝1；当函数解析式中出现e x
时，常猜x ＝0或x ＝ln x . 2.例题解析中灵活应用了分离参数法、构造函数法 【举一反三】
【2020·山西吕梁期末】已知函数221
()ln ()x f x a x a R x
-=-∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()sin x
g x e x =-，若()()()()
2h x g x f x x =-且()y h x =有两个零点，求a 的取值范围.
【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()2ln f x x a x x
=-
-， 21()2f x x '=+22
21
a x ax x x
-+-=， 对于2210x ax -+=，28a ∆=-，
当[a ∈-时，()0f x '≥， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数.
当(,a ∈-∞-时，
对于0x >，有()0f x '>，则()f x 在(0,)+∞上是增函数.
当)a ∈+∞时，
令()0f x '>，得0x <，
令()0f x '<，得44
a a x <<
，
