全称量词和特称量词典型试题

3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．探究点一全称量词与全称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)x>3；(2)2x＋1是整数；(3)对所有的x∈R，x>3；(4)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．答语句(1)(2)含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考2如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(即举反例)．例1判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意x∈R，x2＋1≥1；(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．解(1)2是素数，但2不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．(2)任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．反思与感悟判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．跟踪训练1试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋2>0；(2)任意x∈N，x4≥1.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．(3)由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．探究点二存在量词与特称命题思考1下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有什么关系？(1)2x＋1＝3；(2)x能被2和3整除；(3)存在一个x 0∈R ，使2x 0＋1＝3；(4)至少有一个x 0∈Z ，使x 0能被2和3整除．答 (1)(2)不是命题，(3)(4)是命题．语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量x 的取值进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用“至少有一个”对变量x 的取值进行限定，从而使(3)(4)变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结 “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考2 怎样判断一个特称命题的真假？答 要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．例2 判断下列特称命题的真假：(1)有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0；(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3)有些整数只有两个正因数．解 (1)由于任意x ∈R ，x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2，因此使x 2＋2x ＋3＝0的实数x 不存在．所以，特称命题“有一个实数x 0，使x 20＋2x 0＋3＝0”是假命题．(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)存在x 0∈Z ，x 30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x 0∈R ，cos x 0＝π2. 解 (1)∵－1∈Z ，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x 0∈Z ，x 30<1”是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义． (4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，而π2>1，∴不存在x 0∈R ， 使cos x 0＝π2， ∴原命题是假命题．探究点三 全称命题、特称命题的应用思考 不等式有解和不等式恒成立有何区别？答 不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．例3 (1)已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围；(2)令p (x )：ax 2＋2x ＋1>0，若对任意x ∈R ，p (x )是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1)关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，当a ≠0时，若不等式恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，∴a >1.反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]． 又∵存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，∴只要m <2即可，∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．1．下列命题中特称命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是( )A ．任何一个实数乘以0都等于0B ．自然数都是正整数C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数答案 D解析 D 选项是特称命题．3．下列命题中的假命题是( )A ．存在x ∈R ，lg x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝1C ．任意x ∈R ，x 3>0D ．任意x ∈R,2x >0答案 C解析 对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x ＜0时，x 3＜0，错误；对于D ，任意x ∈R,2x ＞0，正确．4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π.(2)有一个有理数x0满足x20＝3.(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)任意x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)存在x0∈Q，x20＝3.(3)任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[呈重点、现规律]1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．一、基础过关1．下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3D．4答案 C解析命题①②④都是全称命题．2．下列特称命题是假命题的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的素数是偶数D．有的有理数没有倒数答案 B解析 对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0恒成立． 3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )A ．四个命题都是真命题B ．①②是全称命题C ．②③是特称命题D ．四个命题中有两个假命题答案 C解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．4．下列全称命题中真命题的个数为( )①负数没有对数；②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①②③为真命题．5．下列全称命题为真命题的是( )A ．所有的素数是奇数B ．任意x ∈R ，x 2＋3≥3C ．任意x ∈R,2x －1＝0 D ．所有的平行向量都相等答案 B6．下列命题中，真命题是________．①存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋cos x 0≥2； ②任意x ∈(3，＋∞)，x 2>2x ＋1；③存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数；④任意x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan x >sin x .答案 ②③解析 对于①，任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，∴此命题为假命题；对于②，当x ∈(3，＋∞)时，x 2－2x －1＝(x －1)2－2>0，∴此命题为真命题；对于③，当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，∴此命题为真命题；对于④，当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，tan x <0<sin x ，∴此命题为假命题．7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2. 解 (1)是特称命题，是真命题．(2)是全称命题，是假命题．(3)是特称命题，是假命题．二、能力提升8．对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.9．给出下列四个命题：①a ⊥b ⇔a ·b ＝0；②矩形都不是梯形；③存在x ，y ∈R ，x 2＋y 2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________．答案 ①②④解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．10．四个命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．答案 0解析 x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．11．判断下列命题的真假：(1)对任意x∈R，|x|>0；(2)对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数；(3)对任意x∈R，x2>－1；(4)存在a∈{向量}，使a·b＝0.解(1)由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．(2)由于1∈R，当a＝1时，y＝log a x无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝log a x是单调函数”是假命题．(3)由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．(4)由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，所以m>4.故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．三、探究与拓展13．若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1,1]．。

高考数学一轮复习全称量词与存在量词专题检测（含答案）表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词，以下是全称量词与存在量词专题检测，请考生及时练习。

一、选择题. 已知命题p：存在nN,2n1 000，则非p为()A.任意nN,2n1 000B.任意nN,2n1 000C.存在nN,2n1 000D.存在nN,2n1 000解析特称命题的否定是全称命题，即p：存在xM，p(x)，则p：任意xM，非p(x).答案A2. ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是().A.0C.a1D.0解析 (筛选法)当a=0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D;当a=1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案 C3.下列命题中的真命题是().A.xR，使得sin x+cos x=B.x(0，+)，exx+1C.x(-，0)，2x3xD.x(0，)，sin xcos x解析因为sin x+cos x=sin，故A错误;当x0时，y=2x的图象在y=3x的图象上方，故C错误;因为x时有sin x0，解得b0或b.答案 (-，0)9.若xR，(a-2)x+1是真命题，则实数a的取值集合是________.解析xR，(a-2)x+1是真命题，等价于(a-2)x+10的解集为R，所以a-2=0，所以a=2.答案{2}10.已知命题p：xR且x0，x，命题p的否定为命题q，则q 是____________q的真假为________.(选填真或假)答案xR+，x 假.命题x0R,2x-3ax0+9为假命题，则实数a的取值范围为________.解析题目中的命题为假命题，则它的否定xR,2x2-3ax+9为真命题，也就是常见的恒成立问题，只需=9a2-420，即可解得-22.答案[-2，2].令p(x)：ax2+2x+a0，若对任意xR，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________.解析对任意xR，p(x)是真命题.对任意xR，ax2+2x+a0恒成立，当a=0时，不等式为2x0不恒成立，当a0时，若不等式恒成立，则a1.答案 a1.若命题xR，ax2-ax-2是真命题，则实数a的取值范围是________.解析当a=0时，不等式显然成立;当a0时，由题意知得-80.综上，-80.答案 [-8,0]三、解答题. 写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q: xR，x不是5x-12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: x0R，|x0|0.解(1)q: x0R，x0是5x-12=0的根，真命题.(2)r:每一个素数都不是奇数，假命题.(3)s:xR，|x|0，假命题..已知c0，设命题p：函数y=cx为减函数.命题q：当x时，函数f(x)=x+恒成立.如果p或q 为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围.解由命题p为真知，0，若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0全称量词与存在量词专题检测和答案的所有内容就是这些，查字典数学网祝愿更多的考生可以梦想成真。

1.5 全称量词与存在量词（精练）【题组一 判断全称、特称量词命题的真假】1．（2021·三亚）下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ）A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<B ．菱形的两条对角线相等C ．x R ∀∈x =D ．正方形是矩形【答案】D【解析】对于A 选项，命题“对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<”为全称命题， 但()()2222222110a b a b a b +--+=-+-≥，该命题为假命题；对于B 选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题；对于C 选项，命题“x R ∀∈x =”为全称命题，当0x <x -，该命题为假命题； 对于D 选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题.故选：D.2．（2021·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）A ．实数都大于0B ．梯形两条对角线相等C ．有小于1的自然数D ．三角形内角和为180度【答案】D【解析】A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题；B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题；C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.故选：D3．（2021·安徽六安市·高一期末）下列四个命题，真命题的是（ ）A ．2,10x Q x ∀∈-=B ．,510x Z x ∃∈-=C ．,143x N x ∃∈<<D ．2,20x R x x ∀∈++>【答案】D【解析】对于A 项，只有1x =±时，210x -=才成立，则A 错误；对于B 项，510x -=，解得15x Z =∉，则B 错误；对于C 项，由143x <<，解得1344x <<，则C 错误；对于D 项，判别式214120∆=-⨯⨯<，则∀x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0，则D 正确；故选：D.4．（2021·合肥市）下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（ ）A ．π是无理数B ．0x N ∃∈，使02x 为偶数C ．对任意x ∈R ，都有2210x x ++>D ．所有菱形的四条边都相等【答案】D【解析】对于A ，是特称命题；对于B ，是特称命题，是假命题；对于C ，是全称命题，而2221(1)0x x x ++=+≥，所以是假命题；对于D ，是全称命题，是真命题，故选：D5．（2020·深圳科学高中高一期中）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ）A ．31x >，2230x x --=B ．存在x ∈N ，使得2x 为偶数C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数【答案】C【解析】A ：13x ∀>，2230x x --=，是全称量词命题，但为假命题；B ：x N ∃∈，使2x 为偶数，是特称量词命题；C ：任意菱形的四条边都相等，是全称量词命题，也是真命题；D ：π是无理数，为不含量词的命题；故选：C6．（2021·云南昆明市）已知集合A ={x |x ≥0}，集合B ={x |x >1}，则以下真命题的个数是（）①0x ∃∈A ，0x ∉B ；②0x ∃∈B ，0x ∉A ；③x ∀∈A ，x ∈B ；④x ∀∈B ，x ∈A .A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C【解析】B A ，0x A ∴∃∈，0x B ∉，正确，故①正确；x B ∀∈，x A ∈,故②不正确，③不正确，④正确，所以正确的有2个.故选：C7．（2021·宁乡市）下列命题为真命题的是（ ）A ．0x ∃∈R <0B ．x ∀∈R ，2210x x ++≥C ．“0x R ∃∈，0202x x >”的否定为“0x R ∀∈，0202x x <” D ．“x R ∀∈，22x x <”的否定为“x R ∀∈，22x x ≤”【答案】B【解析】对于A 0≥，故A 错误；对于B ，x ∀∈R ，()222110x x x ++=+≥，故B 正确； 对于C ，命题“0x R ∃∈，0202x x >”为特称命题，故其否定为“x R ∀∈，22x x ≤”，故C 错误；对于D ，命题“x R ∀∈，22x x <”为全称命题，故其否定为“x R ∃∈，22x x ≥”，故D 错误.故选：B.8．（2021·浙江杭州市）下列是全称命题且是真命题的是（ ）A ．x R ∀∈，20x >B ．,x y R ∀∈，220x y +>C ．x Q ∀∈，2x Q ∈D ．0x Z ∃∈，201x >【答案】C【解析】A 选项，x R ∀∈，20x >是全称命题，但0x =时，20x =，所以是假命题；B 选项，,x y R ∀∈，220x y +>是全称命题，但0x y ==时，220x y +=，所以是假命题；C 选项，x Q ∀∈，2x Q ∈是全称命题，且是真命题；D 选项，0x Z ∃∈，201x >是特称命题；故选：C.9．（2021·鱼台县第一中学高一月考）（多选）下列命题中真命题是（ ）A ．x R ∀∈，22340x x -+>B ．x R ∀∈，210x +>C ．至少有一个实数x ，使20x ≤D ．两个无理数的和必是无理数 【答案】AC【解析】对于A 选项中不等式22340x x -+>，其对应二次函数2234y x x =-+开口向上，且()23424932230∆=--⨯⨯=-=-<，所以不等式22340x x -+>恒成立，故A 选项正确. 对于B 选项，2x =-时，210x +<，所以B 选项错误.对于C 选项，0x =时，20x ≤，所以C 选项正确.对于D 选项，2224=是有理数，所以D 选项错误. 故选：AC10．（2021·全国高一课时练习）判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.【解析】(1)实数包括有理数与无理数,其中无理数包括无限不循环小数如,e π等.故为真命题.(2)等腰三角形有两条长度相等的边,但并不是每个三角形都有两条长度相等的边,故为真命题.(3)四边长度相等的四边形为菱形,此时若相邻边互相垂直则为正方形,故为真命题.(4)假设有一个整数2,1n n +是4的倍数,则因为21n +能被4整除,故21n +为偶数,故2n 为奇数,故n 为奇数.设21,n k k N =+∈,则221442n k k +=++,故21n +除以4的余数为2与题设矛盾.故不存在整数,n 使得21n +是4的倍数.故为假命题.【题组二 命题的否定】1．（2021·江西）已知命题:0p x ∀>，20x x+≥p 的否定为（ ）A ．00x ∃<，0020x x +<B ．0x ∀>，20x x+<C ．0x ∀≤，20x x+<D ．00x ∃>，0020x x +<【答案】D 【解析】先变量词，将“∀”改为“∃”，再改结论，将“20x x+≥0020x x +<， 则p 的否定为：0x ∃>，0020x x +<故选：D. 2．（2021·浙江高一期末）命题“对x R ∀∈，都有21x x +>”的否定是（ ）A ．2,1x R x x ∃∈+>B ．x R ∀∈，都有21x x +≤C ．2,1x R x x ∃∈+≤D ．2,1x R x x ∃∉+≤【答案】C【解析】因为原命题为“对x R ∀∈，都有21x x +>”，所以其否定为“2,1x R x x ∃∈+≤”，故选：C.3．（2021·浙江高一期末）已知命题:1p x R ∀∈，则（ ）A．:1p x R ⌝∃∈≥B．:1p x R ⌝∀∈ C．:1p x R ⌝∃∈>D．:1p x R ⌝∀∈> 【答案】C【解析】因为:1p x R ∀∈≤，所以:1p x R ⌝∃∈>，故选：C.4．（2021·浙江高一期末）设命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为（ ）A ．2,21x Z x x ∀∉<+B ．2,21x Z x x ∀∈<+C ．2,21x Z x x ∃∉<+D ．2,2x Z x x ∃∈< 【答案】B【解析】命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为：2,21x Z x x ∀∈<+.故选：B5．（2021·全国高二专题练习）命题“1x ∀>，210x ->”的否定是（ ）A ．1x ∃>，210x -≤B ．1x ∃≤，210x ->C ．1x ∀>，210x -≤D ．1x ∀>，210x ->【答案】A 【解析】根据全称命题的否定是特称命题得，该命题的否定为1x ∃>，210x -≤，故选：A ．6．（2021·全国高一课时练习）将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.【答案】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.【解析】(1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分;它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分;(2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数;它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数;(3)存在一个三角形不是中心对称图形;它的否定:所有的三角形都是中心对称图形;(4)存在一个一元二次方程没有实数根;它的否定:任意一元二次方程都有实数根.【题组三 求含有量词的参数】1．（2021·湖南）（多选）命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．1a ≥B ．4a ≥C ．2a ≥-D ．4a =【答案】BD【解析】命题“2[1,2],x x a ∃∈≤"等价于1a ≥，即命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题所对集合为[1,)+∞， 所求的一个充分不必要条件的选项所对的集合真包含于[1,)+∞，显然只有[4,)+∞ [1,)+∞，{4} [1,)+∞, 所以选项AC 不符合要求，选项BD 正确.故选：BD2．（2021·盐城市伍佑中学高一开学考试）（多选）命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．4a >B ．4a ≤C ．5a ≥D ．6a ≥【答案】ACD【解析】命题“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题， 可化为[]21,2,x a x ∀∈≥，恒成立， 即“[]21,2,0x x a ∀∈-≤”为真命题的充要条件为4a ≥， 故其充分不必要条件即为集合{}4|a a ≥的真子集，由选择项可知CD 符合题意．故选：ACD ．3．（2021·莆田第二十五中学高一期末）（多选）命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥ 【答案】CD【解析】由题意，命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题，即20x a -≤在[]1,3x ∈上恒成立，即2a x ≥在[]1,3x ∈上恒成立，又由22()39man x ==，即9a ≥，结合选项，命题为真命题的一个充分不必要条件为C 、D.故选：CD.4．（2021·海南）若“[1,2]x ∃∈-，21x m ->”为假命题，则实数m 的最小值为___________.【答案】3【解析】因为“[1,2]x ∃∈-，21x m ->”为假命题，所以“[1,2]x ∀∈-，21x m -≤”为真命题，所以21m x ≥-对[1,2]x ∈-恒成立，即()2max 13m x ≥-=.故答案为：3.5．（2021·山西太原市）若命题“R x ∀∈，210x ax ++≥”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,2)(2,)-∞-+∞【解析】R x ∀∈，221040[2,2]x ax a a ++≥⇔∆=-≤⇒∈-，故若命题“R x ∀∈，210x ax ++≥”是假命题，则(,2)(2,)a ∈-∞-+∞故答案为：(,2)(2,)-∞-+∞ 6．（2021·玉林市育才中学）若命题“()0x ∃∈+∞，，使得24ax x >+成立”是假命题，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(],4-∞【解析】若命题“()0x ∃∈+∞，，使得24ax x >+成立”是假命题， 则有“()0x ∀∈+∞，，使得24ax x ≤+成立”是真命题. 即4a x x ≤+，则min 4a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，又44x x+≥=，当且仅当2x =时取等号，故4a ≤． 故答案为：(],4-∞7．（2021·全国高三专题练习（理））已知命题“2,10x R ax ax ∀∈-+>”为真命题，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)0,4【解析】由题意得不等式210ax ax -+>对x ∈R 恒成立．①当0a =时，不等式10>在R 上恒成立，符合题意．②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∈R 恒成立，则2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩， 解得04a <<．综上可得：04a ≤<，所以实数a 的取值范围是[)0,4．故答案为：[)0,4.8．（2021·山东潍坊市·高一期末）若“x R ∃∈，220x ax a --<”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]8,0-【解析】由已知“2,20x R x ax a ∀∈--≥”为真，故280a a =+≤，解得80a -≤≤, 故答案为：[]8,0-.9．（2021·安徽宣城市·高一期末）若命题“x R ∃∈，220x x a -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】1a >【解析】因为“x R ∃∈，220x x a -+≤”是假命题，所以x R ∀∈，22>0x x a -+恒成立.所以440a -<，解得>1a .故答案为：1a >.10．（2021·湖南长沙市·明达中学高一期末）已知命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，则实数a 的取值范围是________.(用区间表示)【答案】04a ≤≤【解析】因为命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，所以命题x ∀∈R ，20x ax a ++≥是真命题，即不等式20x ax a ++≥对任意x ∈R 恒成立，所以只需240a a ∆=-≤，解得04a ≤≤，11．（2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试）若命题∃x ∈R ，x 2+4mx +1＜0为假命题，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1122m ≤≤ 【解析】由命题∃x ∈R ，x 2+4mx +1＜0为假命题，则∀x ∈R ，x 2+4mx +1≥0为真命题，则∆＝（4m ）2﹣4≤0，解得：﹣1122m ≤≤， 12．（2021·江苏省赣榆高级中学高一月考）若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】3a >或1a <-.【解析】若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则()2110x a x +-+<在R 上有解， 即()2140a ∆=-->，解得3a >或1a <-.13．（2021·安徽淮南市·高一期末）若“x ∃∈R ，220x x a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1a ≥【解析】由于命题“x ∃∈R ，220x x a ++<”是假命题，则该命题的否定“x R ∀∈，220x x a ++≥”是真命题，440a ∴∆=-≤，解得1a ≥.14．（2021·莆田第十五中学高一期末）若命题“x R ∃∈，22210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】a ≤【解析】命题“x R ∃∈，22210x ax ++<”的否定为：“x R ∀∈，22210x ax ++≥”，因为原命题为假命题，则其否定为真，所以只需2480a ∆=-≤，解得：a ≤≤15．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高一开学考试）已知命题“2,10x R mx x ∃-+<∈”是假命题，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】14m ≥ 【解析】若命题“2,10x R mx x ∃-+<∈”是假命题，则“2,10x R mx x ∀∈-+≥”为真命题， 显然0m =时，不满足题意，故只需满足0140m m >⎧⎨∆=-≤⎩，解得14m ≥. 故答案为：14m ≥. 16．（2021·高邮市临泽中学高一月考）若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______.【答案】2【解析】命题“0x R ∃∈，20020x x a --=”为假命题，故[]1,2x ∀∈-，0x a -≤恒成立.所以[]1,2x ∀∈-，a x ≥恒成立， 故2a ≥所以实数a 的最小值为2故答案为：2.17．（2021·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试）“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________.【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.。

1.5全称量词与存在量词考点1全称量词命题和存在量词命题1.全称量词短语“所有的"“任意一个"在逻辑中通 常叫作全称量词,并用符号“∀”表示.2.全称量词命题(1)定义:含有全称量词的命题，叫作全称量词命题。

(2)符号表示:通常,将含有变量x 的语句用p(x)q(x)r(x)......表示,变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，p(x)成立”可用符号简记为∀x ∈M,p(x).3.存在量词短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示4. 存在量词命题(1)定义:含有存在量词的命题，叫作存在量词命题，(2)符号表示:存在量词命题“存在M 中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x ∈M,p(x).牛刀小试1. 用量词符号表述下列全称量词命题:(1)任一个实数乘以一1都等于它的相反数.(2)对任意实数x,都有x x 23>(3)凸n 边形的外角和等于2π.2.给出下列语句,其中既是命题又是全称量词命题的是①对任意实数x,x2 +1≥2.②有一个实数a,a 不能作分母. ③每一个负数的平方都是正数吗?3.将“xy y x 222≥+"改写成全称量词命题,下列说法正确的是( ) A.对任意x,y ∈R,都有xy y x 222≥+ B.存在x.y ∈R,使xy y x 222≥+ C.对任意x>0,y>0，都有xy y x 222≥+ D.存在x<0,y<0,使xy y x 222≥+5. 用量词符号“∃”表示下列存在量词命题:(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立.(2)至少有一个整数x,使0)32(3<+x(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除.(4)某个四边形不是平行四边形.6.下列命题不是“∃x ∈R,x 2>3”的表述方法的是( ). A.有一个x ∈R,使得,x 2>3成立 B.对有些x ∈R,使得,x 2>3成立 C.任选一个x ∈R,都有,x 2>3成立 D.至少有一个x ∈R,使得,x 2>3成立考点2全称量词命题和存在量词命题的真假判断1.判断全称量词命题“∀x ∈M,p(x)”成立，需要对M 中的每一个x ，都证明p(x)成立，则为真命题，如果在M 中存在一个x,使 p(x)不成立,则为假命题。

全称量词与存在量词1．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，①错误；②命题“∀x ∈R ，x 2＋2<0”是全称量词命题，②正确；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋4x ＋4≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋4＞0，③正确．故选C ．2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 【答案】B 【解析】A 是全称量词命题；B 为存在量词命题，当x ＝0时，x 2＝0成立，所以B 正确；因为3＋(－3)＝0，所以C 为假命题；对于任何一个负数x ，都有1x<0，所以D 错误．故选B ．3．命题p ：∀x ∈N ，x 3>x 2的否定形式綈p 为( )A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2B ．∃x ∈N ，x 3>x 2C ．∃x ∈N ，x 3<x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2【答案】D 【解析】命题p ：∀x ∈N ，x 3>x 2的否定形式是存在量词命题，所以綈p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”．故选D ．4．(多选)下列四个命题中，是真命题的为( )A ．∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0B ．∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0C ．∃x 0∈N ，使x 20≤x 0D ．∃x 0∈N *，使x 0为29的约数【答案】ACD 【解析】对于A ，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是特称命题，当x 0＝0或x 0＝1时，有x 20≤x 0成立，故C 为真命题；对于D ，这是特称命题，当x 0＝1时，x 0为29的约数成立，所以D 为真命题．5．下列命题为真命题的是( )A．存在x∈Q，使方程2x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数【答案】C【解析】A中，2x－2＝0⇔x＝2∉Q，故A错误；B中，因为x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，故B错误；C中，因为2＝1×2，故C正确；D中，2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．6．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________(填序号)．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】①②③④【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．7．若命题“∃x0∈R，使x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________________．【答案】{a|－1≤a≤3}【解析】由题意知∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，∴Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.8．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0; ③存在实数a，使函数y ＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．【答案】①③④【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．B 级——能力提升练10．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )A ．∀x ∈R ，|x |>0B ．∃x ∈R ，|x |>0C ．∀x ∈R ，|x |≤0D ．∃x ∈R ，|x |≤0【答案】C 【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是“任意实数的绝对值都不是正数”，所以选C ．11．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( )A ．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B ．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C ．所有四边形的四个顶点共圆D ．所有四边形的四个顶点都不共圆【答案】A 【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”．故选A ．12．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( )A ．{a |a <－1}B ．{a |a ≥1}C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【答案】B 【解析】因为p 为假命题，所以綈p 为真命题，即∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ，所以1－a ≤0，则a ≥1.所以a 的取值范围是a ≥1.故选B ．13．下列命题：①存在x <0，x 2－2x －3＝0；②对一切实数x <0，都有|x |>x ；③∀x ∈R ，x 2＝x . 其中，真命题的序号为________．【答案】①② 【解析】因为x 2－2x －3＝0的根为x ＝－1或x ＝3，所以存在x ＝－1<0，使x 2－2x －3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③x 2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，故③为假命题．14．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3)∀x ∈R ，x 2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．解：(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x ∈R,5x －12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x ∈R ，x 2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．C 级——探究创新练15．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3＞0，如果命题p 是真命题，求实数a 的取值范围． 解：命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3＞0”是真命题，①当a ＝0时，不等式为2x ＋3＞0，显然不成立，不符合题意；②当a ≠0时，二次函数y ＝ax 2＋2x ＋3大于0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ＜0，解得a ＞13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ＞13.。

全称量词与存在量词【学习目标】1．了解量词在日常生活中和数学命题中的应用，正确理解全称量词和存在量词的意义，并能使用两类量词叙述数学内容；2．能判断全称命题和特称命题，并能判断其真假掌；3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【要点梳理】要点一：全称量词与全称命题全称量词全称量词的概念：在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．常见的全称量词：“所有”、“任意一个”、“每一个”、“任何”、“一切”等．全称量词的表示：通常用符号“∀”表示，读作“对任意”．全称命题全称命题的概念：含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有()p x 成立．记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题．要点二：存在量词与特称命题存在量词存在量词的概念：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词．常见的存在量词：“有些”、“至少有一个”、 “有一个”、“存在”等．存在量词的表示：通常用符号“∃”表示，读作“存在”．特称命题特称命题的概念：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题的形式：存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立．记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）．要点诠释：（1）全称命题表示整体或全部的含义，而特称命题反映对个体或整体一部分的判断.（2）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,αβ∈∈R R 使sin()sin sin αβαβ+=+．（2）有些特称命题也可能省略了存在量词．例如：“正方形是矩形”，“球面是曲面等等”.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述.要点三： 全称命题与特称命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上要说明这个全称命题的否定是正确的．不难发现，全称命题的否定是特称命题．全称命题p ：x M ∀∈，()p x ；p 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝．对含有一个量词的特称命题的否定要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．不难发现，特称命题的否定是全称命题．特称命题p ：0x M ∃∈，0()p x ；p 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝．要点诠释：(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2) 命题的否定与命题的否命题是不同的；(3) 一些常见量词的否定如下表所示：① 要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需找出一个反例即可，即在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 不成立．② 要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M 中，使 ()p x 成立得元素不存在．【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示．（1）对任意正实数2,20a a a -->；（2）对某个大于10的正整数n ，1024n =．举一反三：【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）任何一个实数除以1仍等于这个数；（2）等边三角形的三边相等；（3）存在实数0x ，使2030x ->；（4）有一个实数，不能作除数；（5）棱柱是多面体；（6）有些四边形的四个边都相等．【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题．（1）∀x ∈R ，211x +≥；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数．类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2．判断下列命题的真假：（1）4,12x x ∀∈+≥N ；（2）300,1x x ∃∈<Z ． 举一反三：【变式1】试判断下列命题的真假：（1）2,10x x ∀∈+>R ；（2）2,1x x ∀∈≥N ；（3）3,3x x ∃∈=Z ；（4）2,320x x x ∀∈-+=R ；（5）2,10x x ∃∈+=R .【变式2】在下列特称命题中假命题的个数是（ ）①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．3类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；写出这些命题的否定并判断真假．（1）三角形的内角和为180°；（2）每个二次函数的图象都开口向下；（3）存在一个四边形不是平行四边形；（4）2,20x R x ∀∈+>；（5）200,10x R x ∃∈+=． 举一反三：【变式1】写出下列命题的否定，并判断真假．（1）2,440x R x x ∀∈-+≥；（2）所有的正方形都是矩形；（3）2000,10x R x x ∃∈++≤； （4）至少有一个实数x 0，使得2020x +=． 【变式2】“a 和b 都不是偶数””的否定形式是（ ）A ．a 和b 至少有一个是偶数B ．a 和b 至多有一个是偶数C ．a 是偶数，b 不是偶数D ．a 和b 都是偶数类型四：含有量词的命题的应用例4．已知1:|1|23x p --≤，22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．举一反三：【变式1】若命题“∃x ∈R ，使得2(1)10x +a x+－＜”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 【变式2】已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数11()f x x x c =+>恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围．【巩固练习】一、选择题1．将“222x +y xy ß”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．任意x y ，∈R ，都有222x +y xy ßB ．存在x y ，∈R ，都有222x +y xy ßC ．任意x ＞0，y ＞0，都有222x +y xy ßD ．存在x ＜0，y ＜0，都有222x +y xy ß2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x ∈R ，x Þ0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数 ③∃x ∈{x |x 是整数}，x 2是整数A ．0B ．1C ．2D ．33. 下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a b ，∈R ，都有222220a +b a b+<－－B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x x =D ．对数函数在定义域上是单调函数4．命题“存在x ∈Z ，使220x x m ++Þ”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使22x x m ++>0B ．不存在x ∈Z ，使 22x x m ++>0C ．对于任意的x ∈Z 都有22x x m ++Þ0D ．对于任意x ∈Z 都有22x x m ++>05．命题21log 0p x x ∀>>：，，则¬p 是( )A ．21log x x ∀>，Þ0B ．21log x x ∀>，>0C ．21log x x ∃>，Þ0D ．21log x x ∃>，>06. 下列说法中，正确的是( )A ．命题“若22am bm ＜，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在x ∈R ，2x x －＞0 ”的否定是“任意x ∈R ，2x x －≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件二、填空题7．命题“有些末位是0的整数，可以被3整除”________特称命题．(填“是”或“不是”)；此命题的否定是__________________________．8．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形9．命题“对任何x ∈R ， 2250x x ++>”的否定是____________．10. 已知命题p ：“任意[]21,20x x a ∈，－ß”，命题q ：“存在 x ∈R ，02x +2ax+2a －＝”． 若命题p 和命题q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题11．写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根；(3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y >0；(4) 有些质数是奇数．12．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1) 存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2) 所有圆都有内接四边形．13．写出下列命题的否定：(1) 若2x >4，则x >2；(2) 若m ß0，则2x +x m －＝0有实数根；(3) 可以被5整除的整数，末位是0；(4) 被8整除的数能被4整除；(5) 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．14. 命题“存在x ∈R ，2239x ax+－＜0”为假命题，求实数a 的取值范围．15. 设有以下两个命题：p ：不等式|x |+|x －1|≥m 的解集为R ；q ：函数()(73)x f x m =--是减函数.若这两个命题中有且只有一个真命题.求实数m 的范围.数学试题答案【典型例题】类型一：全称量词与存在量词、全称命题与特称命题的辨析例1．【思路点拨】根据全称量词和存在量词的概念进行判断．【解析】（1）该命题中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合．该命题可写成“20,20a a a ∀>-->”．（2）该命题中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合．该命题可写成“*10,1024n n n N ∃>∈=．【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”、“任意”、“任何”、“存在”、“有的”、“至少”、“有”等词语，或隐含有这些词语的意思．举一反三：【变式1】【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题；（4）特称命题；（5）全称命题；（6）特称命题.【变式2】【答案】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题．类型二：判断全称命题、特称命题的真假例2．【思路点拨】（1）对412x +≥进行等价变形，可化为41x ≥，x 取自然数0，1，2，…代入验证；（2）中0x 取整数0，123±±±，，，…代入301x <，验证不等式是否成立. 【答案】（1）假命题；（2）真命题.【解析】（1）由于0∈Ν，当0x =时，412x +≥不成立，故(1)为假命题；（2）由于1-∈Z ，当1x =-时能使31x <，所以（2）为真命题．【总结升华】（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，验证()p x 成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使0()p x 不成立即可；（2）要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题．举一反三：【变式1】【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）假命题；（5）假命题.【变式2】【答案】A类型三：含有一个量词的全称命题与特称命题的否定例3．【解析】（1）是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，它的内角和不等于180°，为假命题．（2）是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下，为真命题．（3）是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形，为假命题．（4）是全称命题且为真命题．由于x R ∀∈都有20x ≥，故2220x +≥>，p 为真命题；p ⌝：200,20x R x ∃∈+≤，p ⌝为假命题 （5）是特称命题且为假命题．因为不存在一个实数x ，使210x +=成立，p 为假命题；p ⌝：2,10x R x ∀∈+≠，p ⌝为真命题．【总结升华】命题的否定要与否命题区别开来，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题． 举一反三：【变式1】【答案】（1）p ⌝：2000,440x R x x ∃∈-+<（假命题）； （2）p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形（真命题）；（3）p ⌝：2,10x R x x ∀∈++>（真命题）；（4）p ⌝：2,20x R x ∀∈+≠（真命题）．【变式2】【答案】A类型四：含有量词的命题的应用例4．【思路点拨】本题是不等式与逻辑关系的综合性题目，应逐个突破，再完美衔接：第一步：解p 与q 中的不等式；第二步：理解“p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”的具体含义：“q ⌝∣p ⌝”≡“p ∣q ”；第三步：问题转化为“对任意p 的x ，q 恒成立”.【答案】[)9,+∞【解析】111:|1|221213210333x x x p x ----≤⇒-≤-≤⇒-≤≤⇒-≤≤ ()()22:210110q x x m ?x m x m -+-≤---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦又∵m >0∴不等式的解为1-m ≤x ≤1+m ．∵“p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p 是q 的充分不必要条件””，∴不等式1|1|23x --≤的解集是()222100x x m m -+-≤>的解集的子集． 123,91109m m m m m -≤-≥⎧⎧∴⇒∴≥⎨⎨+≥≥⎩⎩∴实数m 的取值范围是[)9,+∞．【总结升华】本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了要点的灵活性，使用的技巧与方法是利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决．举一反三：【变式1】【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】∵“∃x ∈R ，使得2(1)10x +a x+－＜”是真命题， ∴(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1．【变式2】 【答案】1{|0c 1}2c c <≤≥或 【解析】由命题p 知：0＜c ＜1． 由命题q 知：1522x x ≤+≤， 要使此式恒成立，则12>c ，即12c >． 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为102c <≤． 当p 为假，q 为真时，c ≥1．综上，c 的取值范围为1{|0c 1}2c c <≤≥或． 【巩固练习】【答案与解析】1. 【答案】 A【解析】 全称命题是任意x ，y ∈R ，x 2＋y 2≥2xy 都成立，故选A.2. 【答案】 D【解析】 ①②③都是真命题．3.【答案】 D【解析】 A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D.4. 【答案】 D【解析】 “不存在x∈Z 使x 2＋2x ＋m≤0”等价于对于任意x∈Z ，都有x 2＋2x ＋m>0.5. 【答案】 C【解析】 全称命题的否定是特称命题．6. 【答案】 B【解析】 “存在x ∈R ，x 2－x ＞0”为特称命题，则它的否定应为全称命题，即“任意x ∈R ，x 2－x ≤0”，故选B.7. 【答案】 是；所以末位是0的整数，都不能被3整除【解析】 命题中还有量词“有些”，故该命题为特称命题．特称命题的否定是全称命题.8. 【答案】 ①②③④⑤；⑥【解析】正方形的集合是菱形集合的子集.9. 【答案】存在x ∈R ， 2250x x ++Þ【解析】全称命题的否定是特称命题.10．【答案】 A【解析】由已知可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤1，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2或a ＝1.11.【答案】(1)的否定：有些自然数的平方不是正数．(2)的否定：存在实数x 不是方程5x －12＝0的根．(3)的否定：存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y≤0.(4)的否定：所有的质数都不是奇数．12. 【答案】(1)假命题所有的三角形，它的内角和都不大于180°.(2)真命题存在一个圆，没有内接四边形．13．【答案】 (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2.(2)的否定：存在一个实数m≥0使x 2＋x －m ＝0无实根．11 / 11 (3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，则它的四条边中至少有两条不相等．14．【答案】⎡-⎣ 【解析】 题目中的命题为假命题，则它的否命题“任意x∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需Δ＝9a 2－4×2×9≤0，即可解得a -≤≤15. 【答案】12m <<【解析】 由不等式|x|+|x －1|≥m 的解集为R ，得m≤1；由函数()(73)x f x m =--是减函数，得2m < 若这两个命题中有且只有一个真命题，则12m <<。

1全称命题的否定：全称命题p ：x M P x ∀∈，（），它的否定p ⌝：00x M p x ∃∈⌝，（）。

全称命题的否定是特称命题。

2，特称命题的否定：一般的，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p ： 00x M p x ∃∈，（）， 它的否定p ⌝： x M p x ∀∈⌝，（）。

特称命题的否定是全称命题。

例1.写出下列全称命题的否定，并判断真假：(1) P ：所有能被3整除的整数都是奇数； (2) P ：每一个四边形的四个顶点共圆；(3) P ：对任意2x z x ∈，的个位数字不等于3； (4) P ：22x R x ∀∈+，＞0；(5)P ：2104x R x x ∀∈-+≥，例2. 写出下列特称命题的否定，并判断真假：（1）P ：2000,220;x R x x ∃∈++≤ （2）P ：有的三角形是等边三角形；（3）P ：有一个素数含三个正因数；（4）P ：α∃、,R β∈使sin （αβ+）=sin α+sin β；（5）P ； ∃x 、y ∈Z ，使3x-2y=10。

例3.写出下列命题的否定与否命题：(1) 等腰三角形有两个内角相等． (2)可以被5整除的整数，末位是0．(3) 若xy=0，则x=0或y=0．练习：1. 试写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；（3）2,210.x R x x ∀∈-+≥ （4）,21x z x ∀∈-是奇数。

2. 试写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形；（3）2001x R x ∃∈+，＜0； （4）3x Z x ∃∈，＜1。

3. 课本26页1. 2 题新课标第一网。