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第二章 可靠性特征量

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21 可靠性特征量(拟定3学时)

21 可靠性特征量(拟定3学时)

n f t
4
14
43
31
8
ns t 96
82
39
8
0
求(1)t＝500h的可靠度估计值 (2)工作500h后再工作500h的任务可靠度
(1)
R
ns
t
96
0.96
n 100
(2)
R 500
500
500
ns 1000 ns 500
82 96
0.854
例2 在规定时间t=700h和规定条件下，同 时对12个不可修复产品和3个可修复产品进 行全数可靠性试验，试验结果如图2-2(a) 和图2-2(b)所示，图中直线表示产品正常 工作时间，“×” 表示产品出现故障时的时 间，t为规定时间，求以上两种情况的产品 可靠度估计值
2、可靠度估计值 R t
一、可靠度R（t）
1、可靠度定义 可靠度是指产品在规定的条件下和规定的
时间内，完成规定功能的概率。它是时间的 函数，记作R（t）。
设T为产品寿命的随机变量，则可靠度 函数为：R（t）=P（T>t）（2-1）
1、可靠度定义
式（2-1）R（t）=P（T>t）的含义： 表示产品的寿命T超过规定时间t 的概率，即
由条件概率可得
R t1 t2 t1
P T t1 t2 T t1
Rt1 t2 Rt1
根据样本观测值，任务可靠度估计值
R t1 t2 t1
ns t1 t2 ns t1
例1 对某产品寿命100件的观测结果如下表所示。
寿命 t/h
0~500 501~1000 1001~1500 1501~2000 >2000
1000
nf
1000

可靠性特征量

可靠性特征量
它反映t时刻失效的速率，又称为瞬时失效率。
f (t ) F ' (t ) R' (t ) (t ) R(t ) R(t ) R(t )
失效率的常用单位有%/h，％/kh，菲特(Fit)等。1Fit ＝10-9/h。
失效率

失效率的观测值即为“在某时刻以后的下一个 单位时间内发生故障（失效）的产品数与工作 到该时刻尚未发生故障（失效）产品数之比”
图1-13 指数分布的失效率函数
电子元器件偶然失效期普遍使用；在复杂系统和整机方面以及机械技术的 可靠性领域也得到使用。
指数分布

无记忆性
P(T t0 t , T t0 ) P(T t0 t T t0 ) P(T t0 ) P(T t0 t ) e (t0 t ) e t R(t ) P(T t ) P(T t0 ) e t 0
m
m t f (t )


m 1
e
t

t; m, 0
m—形状参数


—尺度参数

—位置参数
威布尔分布
累积失效概率分布函数
t
m
F (t ) 1 e
失效概率密度函数
失效概率密度函数的性质：


0
f (t )dt 1
R(t ) f (t )dt t

失效率

失效率（Failure Rate)又称为故障率，其定义为工作 到某时刻时尚未发生失效的产品，在该时刻t以后的下 一个单位时间内发生失效的概率，记为λ（t）
1 (t ) lim P(t T t t T t ) t 0 t

第二章可靠性特征量

第二章可靠性特征量
第二章 可靠性特征量和常用的寿命分布
▪ 第一节 统计方法在可靠性中应用的前提
▪ 第二节 可靠性特征量
▪ 第三节 常用寿命分布
▪
习题
统计学方法在可靠性中应用的基本思路
▪ 根据历史数据进行推断 ▪ 可靠性评价： ▪ 1.收集和分析零部件和子系统的历史数据 ▪ 2.根据历史数据计算可靠性特征量 ▪ 3.根据历史数据作图（概率图、各个特征量的图） ▪ 4.根据图形假设历史数据符合某种分布 ▪ 5.检验数据是否符合假设的分布 ▪ 6.根据系统的类型计算系统的可靠性特征量 ▪ 可靠性设计：假设参数符合正态分布
1805 9
0.08
2205 5
0.05
2605 1
0.01
累计频率 F i
0.05 0.30 0.064
0.85
0.93
0.98
0.99
以失效时间 t
为横坐标，以
频率 f i* 除以组
距 t 所得的
商
fi
fi* t
ni Nt
为纵坐标， 画出失效频率 直方图。如图 2-1所示。
图2-1 频率直方图
比如分为8组，计算每组中的失效数据的个数
（称为频率），记第 组i的频率为 ， n再i 除以总
数N即得该组的频率 ，列表f i * 如表2-2所示。
表2-1 110个集成块的失效时间数据
160 200 260 300 350 390 450 460 480 500 510 530 540 560 580 600 600 610 630 640 650 650 670 690 700 710 730 730 750 770 770 780 790 800 810 830 840 840 850 860 870 880 900 920 920 930 940 950 970 980 990 1000 1000 1010 1030 1040 1050 1070 1070 1080 1100 1100 1130 1140 1150 1180 1180 1180 1190 1200 1200 1210 1220 1230 1240 1240 1260 1260 1270 1290 1290 1300 1330 1380 1400 1430 1450 1490 1500 1500 1530 1550 1570 1590 1640 1700 1730 1750 1790 1800 1820 1870 1890 2050 2070 2180 2250 2380 2750 3100

第二章__可靠性的基本概念

第二章__可靠性的基本概念

2.3 可靠性尺度
表示产品总体可靠性水平高低的各种可靠性指
标称为可靠性尺度。
2.3.1 可靠性概率指标及其函数 1. 可靠度与失效概率
可靠度可定义：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率，通常以“R”表示。考虑到它是时间的函数，又 可表示为R（t） ，称为可靠度函数。 如果用随机变量T表示产品从开始工作到发生失效或故障的 时间，则该产品在某一指定时刻t的可靠度为：
tr
r
失效率是产品可靠性常用的数量特征之一，失效率愈高，则 可靠性愈低。失效率的单位用单位时间的百分数表示。例如：
1 -1。比如，某型号滚动轴承的失 效率为 % 10 3 h 1 , km，次 λ(t)=5*10-5/h，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映 了轴承失效的速度。
f (t ) F (t ) R(t ) f (t ) d ln Rt (t ) R(t ) R(t ) R(t ) 1 F (t ) dt
0 R(t ) e
( t ) dt
t
——可靠度函数R(t)的一般方程
说明：
(1)R(t)，F(t)，f (t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。 (2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。 f(t)， λ(t)是 有量纲量。 当λ(t)为恒 定值时：
① 早期失效
一般为产品试车跑合
λ(t )
早期失效期
偶然失效期
阶段。由于材料缺陷、制造工艺缺 陷、检验差错等引起。出厂前应进 行 严格的测试，查找失效原因，并 采取 各种措施，发现隐患，纠正缺 ② 正常运行期
损耗失效期
机械产品
λ=常数
电子产品
tm t

第一、二节 可靠性特征量

第一、二节 可靠性特征量
0

f (t )
可靠度函数
寿命（失效）密度 函数
f ( t ) F ( t )
F (t ) 1 R (t )
平均寿命

寿命
T1 e , T 0 . 5 ,T
r
m
t f ( t ) dt
0
累积失效概率
第 二 节 离 散 型 可 靠 性 特 征 量
总结：离散型概率分布条件下的特
1 t

t dt
t
1 t
t dt
0
t
平 均 寿 命 （
平均寿命:寿命的平均值 平均寿命（MTTF）(Mean Time To Failure) 是产品的平均值 对于不可修复的产品， 其寿命是指它 的失效前的工作时间
M TTF 1 N
式中
t
i 1
N
i
(t )
f (t ) R (t )

R ( t ) R (t )
上式表明了失效率和失效密度函数、
失 效 率 概 念
可靠性度关系。
R ( t ) R (t ) 两边在
t
(t ) 0－ t 之间积分
t

0
dR ( t ) R (t )


0
( t ) dt
t
得
ln R ( t )

t
0 dt
0

dt
e


e
t

00 t 即 f (t ) t t e
平均寿命，由



m E (T )
t
0

《可靠性特征量》PPT课件

《可靠性特征量》PPT课件

(2) 截尾寿命试验时可靠性特征量的点估计
1 n
n 1 i1
ti t
2
<1> 单参数指数分布，无替换定数截尾寿命试验 <2> 单参数指数分布，无替换定时截尾寿命试验 <3> 双参数指数分布，无替换定数截尾寿命试验 <4> 双参数指数分布，无替换定时截尾寿命试验 18
2.5.1.2 区间估计法
2
2.5 可靠性特征量的估计
2.5.1 数值分析法
2.5.1.1 点估计法
22..55.1..22 区图间估估计法计法
优点：方便、直观 缺点：精确性差，结果往往因人而异
3
2.5.1 数值分析法
2.5.1.1 点估计法
基本概念 根据子样观察值x1，x2，… ，xn去对所求
的可靠性特征量求出它的一个估计值。
26
2.5.1.2 区间估计法
对于无替换定数截尾寿命试验，取a=0
P
0
2T
b
b
0
f
xdx
1
b是自由度为2r的2分布的下侧分位数：b
2 1
2r
P
0
2T
2 1r
1
27
2.5.1.2 区间估计法
无替换定数截尾寿命试验
置信下限：
L
2T
2 1
2r
无替换定时截尾寿命试验
<1>无替换定数截尾寿命试验时平均寿命的区间估计
P L U 1
P L U 1
可以证明： 在产品寿命服从单参数指数分布的条件下，随
机变量 2T (T = ˆr) 服从自由度为2r的2分布。
随机变量
2T
落在区间[a,

可靠性理论基础复习资料

可靠性理论基础复习资料

可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。

不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。

二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。

1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。

2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。

3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。

产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。

广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。

广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。

(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。

例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。

对于可修复系统，失效也称为故障。

(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。

2 可靠性的基本理论讲解

2 可靠性的基本理论讲解

特征寿命：当R (t) =e-1 =0.37 时对应的 Te1 寿命称特征寿命。
F
1000
nf
1000
53
/110
48.18%
n
三、失效概率密度f（t） 1、失效概率密度 2、失效概率密度的估计值
1、失效概率密度f（t）
失效概率密度是累积失效概率对时间的变化 率，记作f（t）。它表示产品寿命落在包含t的 单位时间内的概率，即产品在单位时间内失效的 概率。其表示式为:
f (t)=dF (t)/ dt =F′(t)
六、可靠寿命、特征寿命和中位寿命
前面已经提到可靠度函数R（t）是产品工作 时间t的函数，在t= 0 时，R（0）= 1，当工作 时间增加，R（t）逐渐减小。可靠度与工作时间 有一一对应的关系。有时需要知道可靠度等于给 定值r 时，产品的寿命是多少？
可靠寿命TR，就是给定可靠度R 时对应的TR寿命。即 R (TR)= R
即
F
t
t
0
f
t
dt
Rt
t
f
t dt
2、失效概率密度的估计值
f t
F t
t
t
F t
1 t
nf
t
n
t
n
f t
n
n f t
nt
式中Δn f (t) 在(t,t+Δt) 时间间隔内失效的产品数。
当产品的失效概率密度f（t）已确定时，由前 述可知，f（t）、F（t）、R （t）之间的关 系可用下图所示。
R
ns
t
n
nf
t
1
nf
t
n
n
n
n f t 为在规定时间区间内未完成规定功能的

第2讲 可靠性

第2讲 可靠性
名称 符 号 最大失效率 （1/h） 名 称 符 号 最大失效率 （1/h）
亚五 级 五级 六级 七级
Y W L Q
3×10-5
1×10-5 1×10-6 1×10-7
八 级 九 级 十 级
B J S
1×10-8 1×10-9 1×10-10
2.2 区别与联系
浴盆曲线
失效密度函数 失效率函数 四个函数的联系
(t )
n f (t t ) n f (t ) n s (t ) t

n f (t ) n s (t ) t
失效率单位： 失效率的常用单位有：%/小时，%/千小时，菲特等。其中， 菲特是失效率的基本单位，1Fit=10-9/h，它表示1000个产品工 作100万小时后，只有一个失效。 失效率等级： GB1772-79《电器元器件失效率试验方法》规定，我国电子 器件失效率共分为7级，如表1—1所示。 表1—1 电子元器件失效率
2.3 寿命指标
平均寿命
寿命方差
可靠性寿命
中位寿命
特征寿命
2.4 四种分布
正态分布（重点）
对数正态分布 威布尔分布（重点，核心） 指数分布
第2讲 可靠性特征量与参数体系
2.1 可靠性特征量
产品的质量指标有很多种。性能指标，即产品完成规定功能所需要的指标。
产品还有另一类指标，即可靠性指标。它反映产品保持其性能指标的能力。 表示和衡量产品的可靠性的各种量或各种数量指标，统称为可靠性特征量。 一类为以概率指标表示的：有可靠度函数，累积失效分布函数，失效密度函 数，失效率函数等；另一类为以寿命指标表示的：有平均寿命，寿命标准差， 可靠寿命，中位寿命，特征寿命等。对于可维修的产品，还有维修性特征量， 如平均维修时间，可维修度和有效度等。

可靠性理论 第二章

可靠性理论 第二章
第二章 可靠性的概率统计知识
可靠性：产品、设备、系统在规定时间内，规定条件下， 完成规定功能的可能性及能力。 概率论和数理统计是可靠性工程重要的数学基础。 2.l 可靠性特征量 可靠度 可靠度是“产品在规定条件下和规定时间内完成规定功 能的概率”。可靠度是时间t的函数，故也称为可靠度 函数，记作R(t)。通常表示为 R(t)=P(T>t) (2-1-1) R(0)=1，R(+∞)=0。 到时刻t仍在正常工作的产品数 N－n（t） ＝ R(t)的估计值为R(t)= 试验的产品总数 N
例2.1.1 (t ) 0.25104／h，可 若已知某产品的失效率为常数, 靠度R(t)=e t 试求可靠度R=99％的可靠寿命t(0.99) 以及中位寿命t(0.5)和特征寿命t(e-1)。 t 解：已知R(t)=e ，两边取对数，即lnR(t)= - t 得
t ln R (t )

（2-1-22）
式中的 R(t )1 (r ) 是R(t)的反函数。 当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:
t (0.5) R 5 (0.5)

（2-1-23）
当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:
t (0.368) R 1 (0.368)

（2-1-24）
从定义可看出，产品工作到可靠寿命t(r)，大约有100(1—r)％的产品 失效；产品工作到中位寿命t(0.5)，大约有一半失效；产品工作到特 征寿命，大约有63.2％的产品失效，对于失效规律服从指数分布的一 批产品而言，其特征寿命就是平均寿命，因此约有63.2％的产品将在 达到平均寿命前失效，就是说，能够工作到平均寿命的产品仅占36.8 ％左右。
Bathtub curve for a car

可靠性当中常用的失效分布

可靠性当中常用的失效分布
式中：t为规定时间，T为产品寿命。
有： R(0) 1; R() 0
假如在t=0时有N件产品开始工作，而到t 时刻有，n(t)个产品失效，仍有N-n(t)个产品 继续工作，则可靠度R(t)的估计值为:
2、累积失效概率和失效概率密度
(1)累积失效概率也称为不可靠度，记 作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的 时间内失效的概率，通常表示为：
第一段曲线是元件的早期 失效期，表明元件开始使 用时，它的失效率高，但 迅速降低。
第二段曲线是元件的偶然 失效期，其特点是失效率 低且稳定，往往可近似看 成是一常数。
第三段曲线是元件的耗损 失效期，失效率随时间延 长而急剧增大。
曲线段 失效时期 失效特征 失效类型
第一段曲 线
第二段曲 线
第三段曲 线
推 导
(t)dt dR(t) 将两边积分得：
R(t)
过 程
t
(t)dt
ln
R(t)即：R(t)
t
e (t )dt 0
0
(2)失效率的单位
失效率λ(t)是一个非常重要的特 征量，它的单位通常用时间的倒数 表示。但对目前具有高可靠性的产 品来说，就需要采用更小的单位来 作为失效率的基本单位，因此失效 率的基本单位用菲特(Fit)来定义，1 菲特=10-9/h=10-6 /1000h，它的意义 是每1000个产品工作106 h，只有一 个失效。
可修产品的平均寿命是指相邻两次故障 间的平均工作时间，称为平均无故障工作时 间或平均故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。
如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，
那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，
记作θ。若产品失效密度函数f(t)已知，由概率

可靠性工程第二讲

可靠性工程第二讲
它综合反应可靠性和维修性，反应了 可维修产品旳使用效率。
对许多军工产品，有效性是至关主要 旳指标（有效度、可用率）。
有效度（可利用度）
由可靠性和维修性两部分构成，指可维 修旳产品在要求旳条件下使用时，在某 时刻具有或维持其功能旳概率。
可维修产品有效度＝可靠度＋维修度
不可维修产品有效度＝可靠度
故障概率密度函数f(t)
f(t)
f(t)
故障发生台数
寿命 寿命旳直方图
o
t
t
寿命旳概率密度函数
故障概率密度函数f(t)
故障概率密度函数反应出产品在单位时
间间隔内发生失效或故障旳百分比或频
率
Δt
若用N表达开Δ始r投用产品数， 表达单
位时间间隔， 为单位时间间隔内发生
旳故障数，则 Δr / N Δr
对于低故障率产品常以10 －9 /h为故障率单 位，称之为Fit（Failure Unit）。
有时不用时间倒数，而用“次数”“转 数”“距离”等旳倒数更合适。
问题
故障率是概率值么？ 故障率有量纲么？ 故障率和合计故障密度之间有什么
关系？
人类健康曲线
产品故障旳浴盆曲线
大多数产品旳故障率随时间旳变化曲线形似 浴盆，称之为浴盆曲线。因为产品故障机理 旳不同，产品旳故障率随时间旳变化大致能 够分为三个阶段：
R (t ) 与F (t )旳性质如下表所示：
取值范围 单调性 对偶性
R (t )
F (t )
[0，1] [0，1]
非增函数 非减函数
1－ F (t ) 1－ R (t )
可靠度函数与累积故障分布函 数旳性质
由密度函数旳性质
可知：
R (t ) F (t ) f (t )之间旳关系如图：

第二章 可靠性基本理论

第二章 可靠性基本理论
求出r8000tetr????可靠性特征量关系图p18表21第第2节节维修性特征量一概述二维修度四修复率三维修密度一概述二维修度四修复率三维修密度一概述产品在规定的使用条件下在规定的时间内按照规定的程序和方法维修时保持或恢复到能完成规定功能的能力称为维修性
第1节 可靠性的特征量
一、可靠度与不可靠度 二、失效率 三、平均寿命 四、寿命方差和寿命标准差 五、可靠寿命、中位寿命、特征寿命
例2-2: 某工厂制造了110只LED灯管，持续点亮到 500小时有10只失效，持续点亮到1000小时有53只 失效。求该LED灯管在500小时和1000小时的失效 率？
解：
N 110, n1 10, n2 53
N n1 110 10 R (500) 0.909 N 110 N n2 110 53 R (1000) 0.5181 110 110
ˆ (10) 13 10 3 0.0333 (100 10) 1 90
与工作到5 年时相等
结论：
n ( t ) 13 10 ˆ 0.03 f (10) N t 100 1
λ(t)比f(t)更直观的反映了时间对产品失效可能 性的影响
例2-5: 对100件电子产品进行寿命试验，在100h前 没有失效，在100-105h内有一件失效，1000h前共 有51件失效，1000-1005h内又失效1件。试求100h 和1000h的产品失效概率密度和失效率。
当产品总体的失效密度函数f(t)已知，N→∞时，
E ( T ) tf ( t ) dt 产品的平均寿命： 0 0 R(t )dt
当λ(t)=λ=常数时，
t 0 R (t ) dt 0 e dt

船舶可靠性工程课件 02可靠性的特征量

船舶可靠性工程课件 02可靠性的特征量

指数分布的无记忆性：
R[(t1 t) t1] 1 F[(t1 t) t1] et R(t)
t
指数分布数学期望 指数分布方差 特征寿命时间？
可靠性特征量
指数分布的应用
指数分布在一定条件下可以用来描述大型复杂系统的故障间隔时 间的分布。这些条件是： •系统由大量电子元器件构成（由不同类型的单元构成），各元 器件（单元）相互独立，互不影响。 •任何一个元器件（单元）的失效都将引起整个系统的失效。 •元器件（单元）失效后可立即更换或修复，更换或修复的时间 可以忽略。
M (t) et
dA(t) A(t) [1 A(t)] dt
A(t) e()t
A(t) : 可用度
A MTBF MTBF MTTR
可靠性特征量
六、可靠性工程中常用的概率分布
指数分布 如果产品的可靠度和维修度均服从指数分布，即：
R
(t) R(t) et f (t) et
F (t) 1 et
n
tiN fi
i 1
而这一批产品的平均工作时间E[t]就可以用下式来表 示：
E[t] tf(t)dt 0
可靠性特征量
E[t]是所有产品寿命的均值，人们常把这个寿命称作
平均寿命，记作m。对于不可维修产品，它代表平均故障
前工作时间，记作MTTF（Mean Time Till Failure）。对于 可维修系统，它代表平均故障间隔时间，记作MTBF （Mean Time Between Failure）。
R(1 / ) e 1 0.37
这表明失效率为常数的产品能工作到平均寿命时间的产品仅占 整批产品的37%。这种使产品的可靠度为e-1的寿命时间Te-1就叫 产品的特征寿命。
可靠性特征量

第2章 可靠性的理论基础

第2章 可靠性的理论基础

第2章 可靠性的理论基础
例2-6：有100个零件，其中正品为96个，次品为4个， 现从 中任取5个，求取到次品的概率？ 解：取到次品和全取到正品是互补事件，全取到正品 的事件 的概率：
取到次品的概率：
第2章 可靠性的理论基础
2) 条件概率 事件A的发生不仅与其自身条件有关，还须在另 一事件 B发生的前提条件下，则事件A的发生概率 是在事件B发生 概率的前提下的条件概率，记作 P(A|B)。
若产品的失效概率密度为f(t)，则产品的平均寿命为：
第2章 可靠性的理论基础
说明： ①不可修复产品的平均寿命，是指从开始使用到发生 失效 的平均时间，用MTTF(Mean Time To Failure)表 示。 ②可修复产品的平均寿命，是指相邻两次故障之间工 作时 间的平均值，用MTBF(Mean Time Between Failure)表示。 ③若只考虑首次故障，平均寿命是指从开始使用到第 一次 发生故障的平均时间，用MTTFF(Mean Time To First Failure)表示。
(有用寿命期)
耗损失效期 —老化、耗损后期 电子产品： λ(t) =常数，指数寿命
R( t ) e t
机械产品、工程结构： λ(t) ≠常数，寿命较复杂
Rt 、F t 、f t 、 t 之间的关系
第2章 可靠性的理论基础
例2-2 有1000个相同零件，已知其工作到3、4、5年 末时失效 零件数分别为10个、30个、60个，试计算 这批零件在第 3、4年末时的失效率。 解：时间以年为单位，则Δt=1年
第2章 可靠性的理论基础
2.2 可靠性特征量
定性的概念 故障：产品丧失规定的功能。 失效：不可修复或不予修复产品出现的故障。 维修：保持或恢复产品完成规定功能而采取的技术 管理措 施。 维修性：可维修产品在规定时间内，按照规定的程 序或方法 进行维修，使其恢复到完成规定功能的可 能性。 可用性(可利用度或有效度)：可维修产品在某时刻 所具有 的，或能维持规定功能的可能性。
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传统的假设

1.变异的性质不随时间改变。
2.变异以特定的方式分布，可用一个数学函数。 即统计正态分布来描述。
工程中变异与传统正态分布假设的偏离
1.截尾数据
2.选择的结果（截尾分布）
3.倾斜的数据
4.双峰数据
变异是正态分布的吗？
1.截尾数据:零件尺寸、人体尺寸
2.选择的结果:产品的分类销售
F (t ) = f (t )dt 0
= 1

是对立事件，按概率互补定理可得:
F ( t ) = 1 R (t ) dF (t ) dR(t ) 2. f (t ) dt dt
= 1 R (t )
t
f (t )dt
2.1 可靠性特征量
用观测值表示R（t），F（t） 设有N个同型号产品，开始工作时 t=0,到任意时间t时，有n（t）个失效， 则有N-n（t）个能正常工作,则：

fi
40
20
205
605
1005
1405
1805
2205
2605
3005
t
图2-2 频率直方图

其图形与图2-1是一致的，只是由于组距缩小 了，分得更细了，因此更接近真实情况。可以设 想，如果试验个数越来越多，分组越来越细，那 么相邻矩形的高度差别就会越来越小，最后折线 就趋于一条光滑的曲线，这条曲线就表示失效时 间在理论上的分布曲线，称为失效密度曲线。它 的数学表达式为：
3.倾斜的数据
4.双峰数据:人为的调整
正态分布?相同的平均值和标准差
结 论
1.大部分有关统计过程控制的教科书和教学都强调把正态 分布作为制作图表和决策的基础. 2.对处于临界应力使用条件下的机械零件(如飞机和民用工 程结构零件)有典型设计规定，要求在最大预计应力和预计 强度较低的3σ值之间一定要有安全系数?(极值分布) 3.达到高质量的“6σ”方法 4.工程变异很大程度上是由人(如设计者、制造者、操作者 及维修者)所引起的。必须总要把人的因素考虑进去，必须 重视能动性、培训、管理。 5.在任何应用统计方法处理科学和工程问题的过程中，所 有的因果关系最终都在科学理论、工程设计、过程或人的 行为等方面有所解释。我们只有寻求变异的原因，才算真 正地受控。
F (t ) :产品在规定条件下和规定时间内未完成规定功能（即发
生失效）的概率，称为累积失效分布函数(累积失效概率)，也 称不可靠度。一般记为F或 F(t)
第二章 可靠性特征量
可靠度
R(t ) P(T t )
t
f (t )dt
f(t)
T t ：产品寿命大于t，即
产品产品在规定条件下和规 定时间内完成规定功能; P(T t ) : 产 品 在 规 定 条 件 下和规定时间内完成规定功 能的概率，称为可靠度，一 般记为 R (t ) 。
1 1 P(t T t t ) F (t t ) F t 1 P(t T t t | T t ) t 1 F t t P(T t ) t F (t t ) F t f t f t 1 t t0 t 1 F t 1 F t R t 因此， (t )表示该产品在t以前正常工作的条件下，在
dnt f t Ndt
式中 f t ——失效密度函数。
(2-2)

对于失效密度曲线而言，失效密度曲 线与横坐标轴之间的面积等于1。用积分表 示为： (2-3) f (t )dt 1

0

此式表明，失效时间随机变量在 [0,≦]范围内取值的概率等于1。
若将上例中第1组到第 k 组所有失效频率累加， 称为第 k 组的累积频率，记为 F 。即
t0
F (t t ) F (t ) 1 f (t ) f (t ) 1 F (t ) t 1 F (t ) R(t )
系统的工作部件失效并不能引起系统的不可靠 失效判据（或失效标准）: 为了判断失效，必须制定判断失效的技术指标.
失效密度函数与累积分布函数 为了研究系统失效的规律，以下面的实验为例 进行分析。
例2-1 测得某型号的N=110（个）集成电路块的失 效时间（从开始工作到失效之间的时间）如表21所示。此表是对所测得的数据进行了初步整理， 按从小到大的顺序排列后，再进行分组处理，比 如分为8组，计算每组中的失效数据的个数（称 为频率），记第 组的频率为 ，再除以总 ni i * 数N即得该组的频率 ，列表如表2-2所示。 f
以失效时间 为横坐标，以 频率 f i * 除以组 距 t 所得的 商 * fi ni fi t Nt
t
为纵坐标， 画出失效频率 直方图。如图 2-1所示。
图2-1 频率直方图

此直方图的面积值正是失效的频率值，全部矩形 面积的总和为1，由此可以看出为什么坐标不取频 率，而取为频率除以组距的商。从失效频率直方 图中，可以看到110个集成模块的失效时间分布情 况：①分布范围是从5h到3205h：②分布集中在 1005h左右为最多；③每个小的区间所占整个分布 的比例不等。 若将图2-1中的组距分得更小些、组数分得更 多一些，比如将组距=400h缩小一倍，此时的频率 直方图如图2-2所示。
T:非负随机变量,表示产品从开始工作到发生失效或故障 的时间，即产品的寿命，其概率密度为f(t), 如图所示. 若t表示某一指定时刻， 则T相应的分布函数为： f(t) f(t) t F (t )
F (t ) P(T t ) f (t )dt
0
T t ：产品寿命少于或等于t，即
产品产品在规定条件下和规定时间 内未完成规定功能（即失效）; 0 t T
5.检验数据是否符合假设的分布
6.根据系统的类型计算系统的可靠性特征量 可靠性设计：假设参数符合正态分布
工程中变异的特点
零部件供应商可能在某个过程中做了小的改动。而 导致了可靠性方面的大变化(更好或更坏）。
零部件可能是根据诸如尺寸或其他可测量参数的准 则选样的，这并不符合大多数统计方法所基于的统 计正态分布假定。 某个过程或参数可能随时间连续地或周期性地变化。 某些变异就性质而论往往是确定性的：如弹簧的变 形是力的函数，对这种情况运用统计技术不一定总 是很适合的。 变异可能是大变异，而不仅仅是连续的；例如．电 平的参数可能在一个范围内变化，也可能变到零。
第二节 可靠性特征量
系统失效 :系统丧失规定的功能。当系统是可修复系统时，称 为系统故障。 系统失效可分为两类： 永久性损坏。如机械损坏 功能故障。所谓功能故障指系统的各种功能出现不利的变化， 或受环境条件的影响功能不能正常发挥，一旦外界条件变好， 系统功能仍能恢复。 据失效的性质，系统失效又可以分为两类: 突然失效。在大多数情况下，元器件的机械或电器的失效是 突然发生的，称为突然失效。突然失效通常使系统完全丧失 规定的功能。 退化失效。 由于老化而使得元器件、材料的参数逐渐变化 而引起的失效，称为退化失效。退化失效多半仅仅使系统的 输出特性变坏，而系统可以继续保持工作能力。
1530 1550 1570 1590 1640 1700 1730 1750 1790 1800 1820 1870 1890 2050 2070 2180 2250 2380 2750 3100
表2-2 失效数据的频数分布表 组号 范围 1 2 3 4 5 6 7 8 合计 5～405 405～805 805～1205
组中值 t i 频数ni 频率 f
* i
累计频率 Fi
205 605 1005
6 28 37 23 9 5 1 1 110
0.05 0.25 0.34 0.21 0.08 0.05 0.01 0.01 1.00
0.05 0.30 0.064 0.85 0.93 0.98 0.99 1.00
1205～1605 1405 1605～2005 1805 2005～2405 2205 2405～2805 2605 2805～3205 3005
F(t)
f(t)
R (t )
0 t T
2.1 可靠性特征量
1.可靠度的性质 可靠度： P 1 0.5 F(t) R(t)
R=R（t）=P(T≥t)，t≥0
1：为时间t的递减函数 2：0 ≤ R（t）≤1 3：R（0）=1， R（≦）=1
0
t
t
T
可靠度与累积失效分布函数：
1.完成规定功能与未完成规定功能
k

Fk
f t
i 1 i i 1
k
k
ni t N t
ni （2-4） N i 1
k
由此可得
F , F2 ,, Fi 1
。
以失效时间 t 为横坐标，以累计频率 Fi 为纵坐标 画出的直方图如图2-3，称为失效累计频率图。
当数据个数很多，分组又很细，则图形的顶部折线将趋 于一条光滑的曲线，这条曲线就表示时间 T 在理论上的累积 分布曲线。其表达式为： n(t ) (2-5) F (t ) N 或 n(t ) (t ) (2-6) N 式中 F t ——失效累积分布函数或失效概率分布函数，简 称失效分布函数。
i
表2-1
160 510 650 200 530 650 260 540 670
110个集成块的失效时间数据
300 560 690 350 580 700 390 600 710 450 600 730 460 610 730 480 630 750 500 640 770
770
870 990
780
失效分布函数与失效密度函数之间有下述关系：
F (t )
dF (t ) f (t ) dt t