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第二章 可靠性特征量(二)(2016-11-1)

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21 可靠性特征量(拟定3学时)

21 可靠性特征量(拟定3学时)

n f t
4
14
43
31
8
ns t 96
82
39
8
0
求(1)t＝500h的可靠度估计值 (2)工作500h后再工作500h的任务可靠度
(1)
R
ns
t
96
0.96
n 100
(2)
R 500
500
500
ns 1000 ns 500
82 96
0.854
例2 在规定时间t=700h和规定条件下，同 时对12个不可修复产品和3个可修复产品进 行全数可靠性试验，试验结果如图2-2(a) 和图2-2(b)所示，图中直线表示产品正常 工作时间，“×” 表示产品出现故障时的时 间，t为规定时间，求以上两种情况的产品 可靠度估计值
2、可靠度估计值 R t
一、可靠度R（t）
1、可靠度定义 可靠度是指产品在规定的条件下和规定的
时间内，完成规定功能的概率。它是时间的 函数，记作R（t）。
设T为产品寿命的随机变量，则可靠度 函数为：R（t）=P（T>t）（2-1）
1、可靠度定义
式（2-1）R（t）=P（T>t）的含义： 表示产品的寿命T超过规定时间t 的概率，即
由条件概率可得
R t1 t2 t1
P T t1 t2 T t1
Rt1 t2 Rt1
根据样本观测值，任务可靠度估计值
R t1 t2 t1
ns t1 t2 ns t1
例1 对某产品寿命100件的观测结果如下表所示。
寿命 t/h
0~500 501~1000 1001~1500 1501~2000 >2000
1000
nf
1000

《矿业系统可靠性教学课件》k2.ppt

《矿业系统可靠性教学课件》k2.ppt
零部件可能是根据诸如尺寸或其他可 测量参数的准则选样的，这并不符合大 多数统计方法所基于的统计正态分布假 定。
某个过程或参数可能随时间连续地或 周期性地变化。
5
某些变异就性质而论往往是确定 性的：如弹簧的变形是力的函数， 对这种情况运用统计技术不一定总 是很适合的。
变异可能是大变异，而不仅仅是 连续的；例如．电平这样的参数可 能在一个范围内变化，也可能变到 零。
图） 4.根据图形假设历史数据符合某种分布 5.检验数据是否符合假设的分布 6.根据系统的类型计算系统的可靠性特征量 可靠性设计：假设参数符合正态分布
2
3
传统的假设
变异的性质不随时间改变。 变异以特定的方式分布，可用
一个数学函数。即大家都知道 的统计正态分布来描述。
4
工程中变异的特点
零部件供应商可能在某个过程中做了 小的改动。而导致了可靠性方面的大变 化(更好或更坏）。
5.在任何应用统计方法处理科学和工程 问题的过程中，所有的因果关系最终都在 科学理论、工程设计、过程或人的行为等 方面有所解释。我们只有寻求变异的原因， 才算真正地受控。
14
第二节 可靠性特征量
系统失效可分为两类： ①永久性损坏，如机械损坏 ②功能故障 专业术语的区别：
不可修复系统 -系统失效 :系统丧失规定的功能 可修复系统-系统故障
15
可靠性特征量
对不可修系统：
一.系统失效分布函数
1.失效（概率）密度函数 f t
2.失效累积分布函数 Ft
F
t
t
0
f t dt
二、系统可靠性指标
1．可靠度 2．失效率
R t
(t )
Rt 1 F(t) N n(t)

第二章__可靠性的基本概念

第二章__可靠性的基本概念

2.3 可靠性尺度
表示产品总体可靠性水平高低的各种可靠性指
标称为可靠性尺度。
2.3.1 可靠性概率指标及其函数 1. 可靠度与失效概率
可靠度可定义：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率，通常以“R”表示。考虑到它是时间的函数，又 可表示为R（t） ，称为可靠度函数。 如果用随机变量T表示产品从开始工作到发生失效或故障的 时间，则该产品在某一指定时刻t的可靠度为：
tr
r
失效率是产品可靠性常用的数量特征之一，失效率愈高，则 可靠性愈低。失效率的单位用单位时间的百分数表示。例如：
1 -1。比如，某型号滚动轴承的失 效率为 % 10 3 h 1 , km，次 λ(t)=5*10-5/h，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映 了轴承失效的速度。
f (t ) F (t ) R(t ) f (t ) d ln Rt (t ) R(t ) R(t ) R(t ) 1 F (t ) dt
0 R(t ) e
( t ) dt
t
——可靠度函数R(t)的一般方程
说明：
(1)R(t)，F(t)，f (t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。 (2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。 f(t)， λ(t)是 有量纲量。 当λ(t)为恒 定值时：
① 早期失效
一般为产品试车跑合
λ(t )
早期失效期
偶然失效期
阶段。由于材料缺陷、制造工艺缺 陷、检验差错等引起。出厂前应进 行 严格的测试，查找失效原因，并 采取 各种措施，发现隐患，纠正缺 ② 正常运行期
损耗失效期
机械产品
λ=常数
电子产品
tm t

02设备可靠性维修性与经济性

02设备可靠性维修性与经济性
2020/3/23
第二章 设备的可靠性、维修性与经济性
2 设备维修性 三、维修度函数
t
M(t) 0 m(t)dt
维修度
维修分布 密度函数
2020/3/23
第二章 设备的可靠性、维修性与经济性
2 设备维修性 三、维修度函数 维修度函数、维修分布密度函数和修复率之间的关系
tt e 1
tt0
0
(t) t t0 1
形状参数
2020/3/23
特征寿命
保证寿命
第二章 设备的可靠性、维修性与经济性
1 设备可靠性 三、常用的故障分布函数 （3）威布尔分布 形状参数β是决定威布尔分布密度曲线形状的，在可靠 性寿命研究中，形状参数表示系统寿命的离散情况，它 是威布尔分布具有实质意义的参数。
R(10)0 e0 17000 00e1.42 90.239
2020/3/23
第二章 设备的可靠性、维修性与经济性
1 设备可靠性
三、常用的故障分布函数 （1）指数分布
例：某系统由三个分系统串联组成，系统和分系统故
障分布均为指数分布时，若各系统的MTBF分别为 200h、80h、300h，则整个系统的MTBF是多少？
解： 1 n ti 1 5 1 .5 0 1 .0 1 1 .2 1 1 .5 2 1 .8 2 1 .6 1 2 n 1 1ti 2 n 2 1 4 6 7 6 .6 8 5 1 1 .6 2 0 .9 9 5
ut120.91915.60.40
R 1 2 1 u 1 0 . 4 0 1 0 . 6 5 5 0 . 3 4 5
1 设备可靠性 三、常用的故障分布函数 （1）指数分布
可靠度函数为：R(t) et
分布密度函数： f (t) et 故障密度函数： (t)

第二章 可靠性基本概念

第二章 可靠性基本概念
n(t) (Nn(t))t
式中 (t) ——故障率； n(t)——t 时刻后，t 时间内故障的产品数；
Nn(t)—残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
失Hale Waihona Puke 率问题• 失效率是概率值么？ • 失效率有量纲么？ • 失效率和失效密度之间有什么关系？
失效率的单位
对于低故障率的元部件常以 109 /h 为故障率的单位，称之为菲 特（Fit）。
命。
• 解：由题意知：N＝100，n(1000)=5,
t 2 h , 0 n ( 1 0 ) 0 1 , T 0 1 6 h 0 0
根据前面公式： R(100)0950.95 F(100)0 5 0.05
100
100
f(10) 001 515 0/h (10 )01 0 5.2 6 1 50 /h
– 为了保持产品的可靠性而采取的措施 – 实际的维修工作，包括检查、修理、调整和更
换零部件等
可靠性与经济性的关系
• 经济性
– 主要指研制产品的投资费用 – 可靠性越高，投资费用越高 – 可靠性越高，维修费用和停工损
失越少 – 考虑成本的极小值
可靠性指标
可靠性指标：衡量可靠性的定量化尺度，也是描绘产品可 靠性特性的参数
能的事件或状态，称之为故障。
故障的表现形式，叫做故障模式。 引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
• 不可修产品（如电子元器件）：失效
• 产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
–偶然故障 –渐变故障
可靠度及可靠度函数
• 可靠度R(t)及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度 函数R(t)为：R(t)到t时试 刻验 仍的 在产 正品 品 常总 工 数 N数 作 Nn(的 t)

第2章 可靠性的的定义及评价指标

第2章 可靠性的的定义及评价指标

上式表明：平均寿命θ的几何意义为可靠度R（t）曲线与时 间轴所夹的面积。 特别地，当产品的寿命T为指数分布时，即 (t ) const
0
t
R t P T t
f t dt
t
11

车辆可靠性设计
第二章 可靠性的定义及评价指标
工程实际使用中常需知道工作过程中某一段执行任务时间的 可靠度，即需要知道已经工作后再继续工作的可靠度。 从时间t1工作到t1+t2的条件可靠度称为任务可靠度，记 为 R(t1 t2 t1 )
ns (t) ˆ R(t) N
N —产品总数；
N ns (t ) N (t ) ˆ ˆ F (t) 1 R(t ) N N
ˆ (t)—与时间t相应的平均可靠度估计值， 式中，R
ns (t) —工作到t时刻，完成规定功能的产品数；
N(t)—工作到t时刻，失效的产品数。
产品某时刻段 的失效概率：
22
车辆可靠性设计
第二章 可靠性的定义及评价指标
平均寿命与可靠度的关系：
ET tf t dt
0

dF t dR t f t dt dt


0
dRt t dt tdRt Rt dt 0 0 dt
f (t ) F (t ) R(t ) f (t ) d ln Rt (t ) R(t ) R(t ) R(t ) 1 F (t ) dt
R(t ) e 0
( t ) dt
t
——可靠度函数R(t)的一般方程
16
车辆可靠性设计
第二章 可靠性的定义及评价指标

第二章 产品可靠性及其度量指标

第二章 产品可靠性及其度量指标
昆明理工大学机电工程学院
2012年4月25日星期三8时37分45秒 4
第3部分：可靠性设计
第二章 产品可靠性及其度量指标
二、产品质量与可靠性 产品质量是产品满足使用要求所具备的固有属性， 产品质量是产品满足使用要求所具备的固有属性，其中 是产品满足使用要求所具备的固有属性 既包括功能指标 也包括可靠性指标 功能指标， 可靠性指标。 既包括功能指标，也包括可靠性指标。 产品的可靠性指产品在规定的条件下、规定的时间 产品的可靠性指产品在规定的条件下、 指产品在规定的条件下 内完成规定功能的能力。 内完成规定功能的能力。 “规定功能 ” 是要明确具体产品的功能是什么 ， “规定的时间 ” 是可靠性区别于产品其他质量属 规定功能” 规定的时间” 规定功能 不同 规定的时间 是要明确具体产品的功能是什么， 在讨论产品的可靠性时，还应该注意产品的可靠性 在讨论产品的可靠性时， 规定的条件不同，产品的可靠性将不同。如，同 规定的条件不同， 产品的可靠性将不同。 条件 与成本和利润三者之间的关系。 以及怎样才算是完成规定功能。 性的重要特征， 一台设备在室内、野外（寒带或热带、 与成本和利润三者之间的关系。 以及怎样才算是完成规定功能。 性的重要特征，产品的可靠性水平会随着使用或贮 一台设备在室内、野外（寒带或热带、干燥地区或 潮湿地区） 海上、空中等不同的环境条件下工作， 存时间的增加而降低。因此，以数学形式表示的可 产品丧失规定功能称为失效 失效， 潮湿地区）、海上、空中等不同的环境条件下工作， 存时间的增加而降低。因此，，对可修复产品通常 、 产品丧失规定功能称为失效 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷、 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷 在满足使用要求的前提下，尽可能保持质量、 在满足使用要求的前提下，尽可能保持质量、效 也称为故障 靠性特征量是时间的函数。 其可靠性是不同的。 故障。 也称为故障。 靠性特征量是时间的函数。 其可靠性是不同的。 强度等有关设计量及其影响因素作为随机变量对待， 随机变量对待 强度等有关设计量及其影响因素作为。 率与费用这三个基本目标间的平衡。 率与费用这三个基本目标间的平衡 随机变量对待， 这里的时间概念不限于一般的时间概念， 这里的时间概念不限于一般的时间概念，也可以 应用可靠性数学理论与方法 可靠性数学理论与方法， 应用可靠性数学理论与方法，使所设计的产品满足预 是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。 是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。 期的可靠性要求。还包括预测设计对象的可靠度、 期的可靠性要求。还包括预测设计对象的可靠度、找 出并消除薄弱环节、不同设计方案间靠性指标比较等。 出并消除薄弱环节、不同设计方案间靠性指标比较等。

第二章系统可靠性模型

第二章系统可靠性模型
其文氏图为
图 De Morgan 律 ② 文氏图
（5）覆盖律
15
①A∪A'B＝A∪B
覆盖律文氏图为。
图 覆盖律 ① 文氏图
② A（A'∪B）= AB
覆盖律文氏图为。
图 覆盖律②文氏图
16
③ AB∪A'C∪CB = AB∪A'C
覆盖律文氏图见下图
图 覆 盖 律 ③ 文 氏 图
17 ④ （A∪B）(A'∪C）(C∪B） = （A∪B）(A'∪C） 覆盖律文氏图见下图 所示。
P (x x x )
Pr ( x1 ) Pr ( x2 ) Pr ( x3 ) Pr ( x1 x2 ) Pr ( x1 x3 ) Pr ( x2 x3 ) Pr ( x1 x2 x3 )
30
即 Pr ( x1 x2 x3 )
Pr ( x1 ) Pr ( x2 ) Pr ( x3 ) Pr ( x1 x2 ) Pr ( x1 x3 ) Pr ( x2 x3 ) Pr ( x1 x2 x3 )
逻辑代数有三大分支：① 以集合为研究对象的称集合代 数；② 以开关线路分析的形式表示的称开关代数；③以命题 为研究对象称命题代数。 由于产品失效或成功是由零、部件失效或成功的集合形成 的，所以研究产品失效，首先应研究集合的运算。
1. 集合的并、交、补运算
集合是指具有某种特定性质的总体或全体。 为分析直观起见，用文氏图来说明集合的运算。 （1）集合的并仍为集合,如图2-7（a)中阴影部分
12
A∩B = A· B = AB
书中讲了布尔代数的七个定理 : (1) 基元互补律、(2) 双 补律、(3)德· 摩根定律（Ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ律）、(4) 等 幂律、(5) 复盖律、（6）归并律和（7）对偶性定理。

可靠性理论基础复习资料

可靠性理论基础复习资料

可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。

不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。

二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。

1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。

2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。

3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。

产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。

广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。

广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。

(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。

例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。

对于可修复系统，失效也称为故障。

(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。

2 可靠性的基本理论讲解

2 可靠性的基本理论讲解

特征寿命：当R (t) =e-1 =0.37 时对应的 Te1 寿命称特征寿命。
F
1000
nf
1000
53
/110
48.18%
n
三、失效概率密度f（t） 1、失效概率密度 2、失效概率密度的估计值
1、失效概率密度f（t）
失效概率密度是累积失效概率对时间的变化 率，记作f（t）。它表示产品寿命落在包含t的 单位时间内的概率，即产品在单位时间内失效的 概率。其表示式为:
f (t)=dF (t)/ dt =F′(t)
六、可靠寿命、特征寿命和中位寿命
前面已经提到可靠度函数R（t）是产品工作 时间t的函数，在t= 0 时，R（0）= 1，当工作 时间增加，R（t）逐渐减小。可靠度与工作时间 有一一对应的关系。有时需要知道可靠度等于给 定值r 时，产品的寿命是多少？
可靠寿命TR，就是给定可靠度R 时对应的TR寿命。即 R (TR)= R
即
F
t
t
0
f
t
dt
Rt
t
f
t dt
2、失效概率密度的估计值
f t
F t
t
t
F t
1 t
nf
t
n
t
n
f t
n
n f t
nt
式中Δn f (t) 在(t,t+Δt) 时间间隔内失效的产品数。
当产品的失效概率密度f（t）已确定时，由前 述可知，f（t）、F（t）、R （t）之间的关 系可用下图所示。
R
ns
t
n
nf
t
1
nf
t
n
n
n
n f t 为在规定时间区间内未完成规定功能的

第二章 可靠性概率统计知识

第二章 可靠性概率统计知识

概率的互补定理
某一事件发生和不发生的概率之和必然是1，即：
P A P A 1

例8：若某产品或设备出现故障的概率为F(t)，则 其无故障地发挥规定功能即正常工作的概率（可 靠度）为： R(t)=1-F(t)
条件概率
在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，称 为事件B发生的条件概率。记为：P（B∣A）。
3）乘法定理，A、B相关
50 P( B A) 99 10 50 5 P( AB) P( A) P( B A) 100 99 99
全概率公式
如果事件组A1,A2,…,An满足 A A i j (1) ，i≠j，且P(A )>0，i=1，2，…，n， 即互不相容； n Ai S，即全部事件为必然事件； (2)
的性质的推断（点推断）。 例：随机测试，正品率82%
区间估计：以数值区间（范围）和母体的真正数值可
能存在于该区间的概率来表现的，由子样的性质对母 体性质的推断（区间推断）。
例：正品率在 80% ～ 85% 之间的概率为 95% （置信度或置信水平） 置信度：1-α α —显著性水平（人为给定） 置信区间 例：子样均值对于母体均值μ 的置信度，在 x C , x C 内为1-α 。
若样本容量为n，其观测值为x1,x2,…,xn，则：
1. 样本均值
1 n x xi n i 1 1 n 2 s ( x x ) i n 1 i 1
2
2. 样本方差
3. 样本标准差
s
1 n ( xi x ) 2 n 1 i 1
4. 样本变异系数
Cx
s x
i 1
如果“事件A1,A2,…,An同时发生”这一事件为D，则称 D为事件A1,A2,…,An的积，记为：

可靠性当中常用的失效分布

可靠性当中常用的失效分布
式中：t为规定时间，T为产品寿命。
有： R(0) 1; R() 0
假如在t=0时有N件产品开始工作，而到t 时刻有，n(t)个产品失效，仍有N-n(t)个产品 继续工作，则可靠度R(t)的估计值为:
2、累积失效概率和失效概率密度
(1)累积失效概率也称为不可靠度，记 作F(t)。它是产品在规定的条件下和规定的 时间内失效的概率，通常表示为：
第一段曲线是元件的早期 失效期，表明元件开始使 用时，它的失效率高，但 迅速降低。
第二段曲线是元件的偶然 失效期，其特点是失效率 低且稳定，往往可近似看 成是一常数。
第三段曲线是元件的耗损 失效期，失效率随时间延 长而急剧增大。
曲线段 失效时期 失效特征 失效类型
第一段曲 线
第二段曲 线
第三段曲 线
推 导
(t)dt dR(t) 将两边积分得：
R(t)
过 程
t
(t)dt
ln
R(t)即：R(t)
t
e (t )dt 0
0
(2)失效率的单位
失效率λ(t)是一个非常重要的特 征量，它的单位通常用时间的倒数 表示。但对目前具有高可靠性的产 品来说，就需要采用更小的单位来 作为失效率的基本单位，因此失效 率的基本单位用菲特(Fit)来定义，1 菲特=10-9/h=10-6 /1000h，它的意义 是每1000个产品工作106 h，只有一 个失效。
可修产品的平均寿命是指相邻两次故障 间的平均工作时间，称为平均无故障工作时 间或平均故障间隔时间，记作MTBF(Mean Time Between Failures)。
如果仅考虑首次失效前的一段工作时间，
那么可将不可修和可修产品统称为平均寿命，
记作θ。若产品失效密度函数f(t)已知，由概率

第二章可靠性的数学基础及系统可靠性

第二章可靠性的数学基础及系统可靠性

∑ σˆ
2
=
1 n −1
n i =1
(ti
− t)2
∑ σ =
命的数学期望E（T），记作θ。
可靠性特征量-寿命特征量
不可修复产品
设N个不可维修产品在同样条件下试验，测得全部寿命数 据（每次失效时间）为t1，t2，… tn，则平均寿命为：
∑ t = MTTF
=
1 N
n
ti
i =1
4. 寿命特征量
若子样比较大，即N很大，则将数据分成ti为中值的 m组，每组的失效数为 ∆ri ，则
产品的可靠度是时间的函数，随着时间的增长， 产品的可靠度会越来越低，它介于1与0之间，即0≤ R(t) ≤ 1。
R(t) 1
t
0
对于不可修复的产品，可靠度的观测值的计算：
Rˆ (t) = ns (t) = 1 − nf (t)
n
n
♦ 式中，n——开始投入工作产品总数；
♦ ns(t)——到t时刻完成规定功能的产品数，即残存数； ♦ nf(t)——到t时刻未完成规定功能的产品数，即失效
♦ （1）定义的对象 “产品”的具体含义（范围）——零件、元器 件、部件、设备或系统。
♦ （2）规定的条件
规定的条件是指： ① 使用和维护条件，动力、负载条件，使用方法，使
用频次，操作人员的技术水平，维修方法；
② 环境条件；
③ 贮存条件包括运输、保管条件等。
♦ （3）规定的时间
♦ 规定的时间是以时间为尺度度量产品的可靠性 特性，它是可靠性区别于产品其他特性的重要 特征。
♦ 寿命是可靠性的基本概念，对不可修复的产品 指失效前的工作时间，而对可修复的产品而言 指相邻两故障间的工作时间。

第二章-第三节-系统的可靠性分析课件

第二章-第三节-系统的可靠性分析课件
(1) 当阀1与阀2处于开启状态时，功能是液体流通，系 统失效是液体不能流通，其中包括阀门关闭。若阀1与 阀2这两个单元功能是相互独立的，只有这两个单元都 正常(开启)，系统才能实现液体流通的功能，因此该系 统为串联系统，其可靠性框图如图3.4(a)所示。
(2) 当阀1与阀2处于闭合状态时，(图中虚线所示)两个 阀的功能是截流，不能截流为系统失败，其中包括阀 门泄漏。若阀1与阀2这两个单元功能是相互独立的， 这两上单元至少有一个正常(闭合)，系统就能实现其截 流功能，因此该系统的可靠性框图如图3.4(b)所示，为
R (t)R 1(t)R 2(t)F 3(t)R 1(t)F 2(t)R 3(t)(3-1-16) F 1(t)R 2(t)R 3(t)R 1(t)R 2(t)R 3(t)
如单元的寿命服从指数分布，即 Ri(t) ei t ，则 有
R ( t ) e (1 2 ) t e (2 3 ) t e (1 3 ) t 2 e (1 2 3 ) t
由计算可靠寿命的公式 t(r) R1(r) 可以算
出可靠水平r分别为0.99、0.90、0.70、0.50、0.20时一 个单元与2/3(G)系统的可靠寿命t(r)，见表3.1。
表3.1中第2列数据10与61分别表示一个单元能工作到 10h的概率为0.99,2/3(G)系统能工作到61h的概率为0.99。 其余类似。
(3-1-17)
当三个单元都属于同一类型，它们的可靠度相同为 ，
则2/3G系统的可靠度和平均寿命分别为 Ro (t)
R(t)3R 0 2(t)2R 0 3(t)
(3-1-18)
(3-1-19)
1 1221 31 131 1 2 3
特别，当各单元失效率都为时，有源自F(t)12e3t 3e2t

可靠性理论 第二章

可靠性理论 第二章
R(1000) R(1000)

95 0.95 100
F (1000) F (1000)
f (1000 ) f (1000 )


5 0.05 100
1 5 10 5 / h 100 200
(1000 ) (1000 )


1 5.26 10 5 / h 95 200

（2-1-22）
式中的 R(t )1 (r ) 是R(t)的反函数。 当R＝0.5时产品的寿命称为中位寿命，即:
t (0.5) R 5 (0.5)

（2-1-23）
当只0.368时产品的寿命称为特征寿命，即:
t (0.368) R 1 (0.368)

（2-1-24）
从定义可看出，产品工作到可靠寿命t(r)，大约有100(1—r)％的产品 失效；产品工作到中位寿命t(0.5)，大约有一半失效；产品工作到特 征寿命，大约有63.2％的产品失效，对于失效规律服从指数分布的一 批产品而言，其特征寿命就是平均寿命，因此约有63.2％的产品将在 达到平均寿命前失效，就是说，能够工作到平均寿命的产品仅占36.8 ％左右。
对某不可修设备，投人100台进行试验，试验到1000h有5台 失效，继续试验到1200h，又有1台失效，至试验结束时所有 设备失效，总的工作时间为106h，试求R(1000)，F(1000)， 1000)，f(1000)以及设备的平均寿命。 解：由题意知：N=100, n(1000)=5，t =1200—1000=200h， n(1000)=1，T=106h。 根据前面所讲的公式得:
dt
0

F(t)的估计值
到t时刻失效的产品数 n（t） F ＝ 试验的产品总数 N

第二章 可靠性基本理论

第二章 可靠性基本理论
求出r8000tetr????可靠性特征量关系图p18表21第第2节节维修性特征量一概述二维修度四修复率三维修密度一概述二维修度四修复率三维修密度一概述产品在规定的使用条件下在规定的时间内按照规定的程序和方法维修时保持或恢复到能完成规定功能的能力称为维修性
第1节 可靠性的特征量
一、可靠度与不可靠度 二、失效率 三、平均寿命 四、寿命方差和寿命标准差 五、可靠寿命、中位寿命、特征寿命
例2-2: 某工厂制造了110只LED灯管，持续点亮到 500小时有10只失效，持续点亮到1000小时有53只 失效。求该LED灯管在500小时和1000小时的失效 率？
解：
N 110, n1 10, n2 53
N n1 110 10 R (500) 0.909 N 110 N n2 110 53 R (1000) 0.5181 110 110
ˆ (10) 13 10 3 0.0333 (100 10) 1 90
与工作到5 年时相等
结论：
n ( t ) 13 10 ˆ 0.03 f (10) N t 100 1
λ(t)比f(t)更直观的反映了时间对产品失效可能 性的影响
例2-5: 对100件电子产品进行寿命试验，在100h前 没有失效，在100-105h内有一件失效，1000h前共 有51件失效，1000-1005h内又失效1件。试求100h 和1000h的产品失效概率密度和失效率。
当产品总体的失效密度函数f(t)已知，N→∞时，
E ( T ) tf ( t ) dt 产品的平均寿命： 0 0 R(t )dt
当λ(t)=λ=常数时，
t 0 R (t ) dt 0 e dt
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t 1 e , 0t t F t e dt 0 0 , t 0 t
Page 10
(1) 指数分布
单参数指数分布
f(t) F(t) 1

O
t
O
t
Page 11
(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<1> 可靠度函数R(t)
常见的失效分布类型
(1) 指数分布 (2) 威布尔分布 (3) 正态分布 (4) 对数正态分布
Page 9
(1) 指数分布
单参数指数分布
如果随机变量T(可以代表产品寿命)的密度函数为
e t , t 0 f t 0 , t 0 则称T服从单参数指数分布。
其累积分布函数

Page 15
(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<5> 可靠寿命tR和中位寿命t0.5
1 tR ln R

t0.5 ln 0.5 0.693
1

Page 16
(1) 指数分布
单参数指数分布的特点
1> 失效率函数等于常数，指数分布具有“无记忆性”
2> 单参数指数分布的平均寿命与失效率互为倒数
-1
0
1
t
Page 29
(2) 威布尔分布
<3> 尺度参数t0
t0决定了f(t)曲线的高度与宽度。
当t0值比较小时，f(t)曲线高而窄，陡度大。 f(t) t0=0.5 t0=1 t0=5
0
t
Page 30
(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<1> 可靠度函数R(t)
t t R t 1 F t e 0 , 1 ,
上堂课内容回顾
1)失效密度函数、累积失效分布函数
失效频率直方图的绘制步骤
2)不可修复产品的可靠性特征量
强度指标 R(t)、F(t)、f(t)、(t)
寿命指标
关系图
μ、、tR、t0.5、Te-1
3)可靠性特征量之间的关系
Page 1
产品可靠性指标之间的关系
tf t dt
0
3> 单参数指数分布的平均寿命与寿命标准离差相等
Page 17
(1) 指数分布
双参数指数分布
如果随机变量T(可以代表产品寿命)的密度函数为
t , t e f t t 0 , 则称T服从双参数指数分布。
为位置参数
其累积分布函数
t 1 e , t F t e dt 0 0 , t
1 2
Page 35
(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<5> 可靠寿命和中位寿命
1 m 1 m
tR ln R
t0.5 0.693
Page 36
(2) 威布尔分布
威布尔分布的特点
1> 威布尔分布可分为两类
两参数威布尔分布 （=0）
三参数威布尔分布
t0
t
早期失效期 是失效率较高又迅速下降的时期。其失效原因是，批量产品中混杂各种 劣质或隐患的产品，多为设计上的失误，制造上的差错、缺陷，或包装 运输上的损坏等。 Page 4
2.3 失效率曲线
(t)
早期失效 偶然失效
O
偶然失效期 失效呈随机性，失效率低，基本恒定（又称恒定失效期）。产品在规定的条 件下正常工作，失效则由于偶然因素引起，是产品的最佳工作时期。 偶然失效期也是产品有效工作的时期，这段时间称为有效寿命。 Page 5
Page 24
例题2-5
某种型号的设备用于系统上，已知该设备的失效率为常数 =1.67×10-5/h。系统对设备的要求是可靠度不低于 98%， 求该设备的允许工作时间。若要求可靠度为 99%，则允许 的工作时间又为多少？ 解： 允许工作时间实际是规定可靠水平的可靠寿命。
可靠寿命： t0.98
e t , R t 1 F t 1 , 0t t0
<2> 失效率函数(t)
t
R t f t
e t
e
t

指数分布的失效率函数(t)等于常数！
Page 12
(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
0
令 t - =x :
x e dx e x dx
x 0


1


Page 21
(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<4> 寿命方差2和标准离差
方差
t f t dt t 2 e t dt 2
Page 37
(2) 威布尔分布
威布尔分布的特点
1> 威布尔分布可分为两类
对于两参数情况
若m=1,
（=0） t m m m 1 f t t e t0 t0
f t
令=1/t0,
1 e t0

t t0
f t e t
1 t0.5 ln 0.5 0.307 0.693
Page 23
(1) 指数分布
双参数指数分布的特点
1> 失效率函数(t)在t≥时等于常数，在t<时等于0。
2> 双参数指数分布的平均寿命与失效率不再互为倒数
3> 双参数指数分布的寿命标准离差与失效率仍互为 倒数，但与平均寿命不再相等 指数分布是最为常用的分布之一，对应于产品的最佳工 作期——偶然失效期。
ln R t0.98 ln R t0.99


ln 0.98 1.67 10 h ln 0.99 1.67 10 h
5 4
1210h 600h
Page 25
t0.99

(2) 威布尔分布
失效密度函数 m 形状参数 t 尺度参数 m t m1 e t0 , t f t t 0 位置参数 t 0 ,
(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<4> 寿命方差2和标准离差
t f t dt t 2 et dt 2
2 2 2 0 0
t e
2
t 0
2 te t dt 2
0


2
2
2 2
Page 34
(2) 威布尔分布
威布尔分布的可靠性特征量
<4> 寿命方差和标准离差
t 2 f (t )dt 2
2 0

方差
2 2 1 1 1 m m
2 2
离差
2 2 1 1 1 m m
MTTF
f t t e 0

t
பைடு நூலகம்
t dt
f (t )

f t F t
0 t f t dt
2

(t)
t
R t
f t
÷
F (t )
F t 1 R(t )
指数、正态、对数正态、威布尔
<3> 平均寿命
1 m 0 0 1 m x
t
令=t0
1/m:

x e dx
称GAMMA函数，记作(α)


0
x 1e x dx
1 1 m
(1+1/m)的值可根据m值由函数表查询得到。(P38, 表3-1)
Page 33
(2) 威布尔分布
t t
Page 18
(1) 指数分布
双参数指数分布
f(t) F(t) 1

O

t
O

t
Page 19
(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<1> 可靠度函数R(t)
t e , R t 1 F t 1 ,
t t
R(t) 1
(t)
O
t
O
t
Page 13
(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命 （指数分布时，平均寿命用 表示）
0
tf t dt
t e t dt
0

t e
1
t 0
e t dt
0


Page 14
<2> 失效率函数(t)
t R t 0 f t
t t
Page 20
(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命
tf t dt
0
t e
0

t
dt
Page 7
2.4 常见失效分布类型
2.4.1 常见的失效分布类型 2.4.2 失效分布类型的估计方法 2.4.3 失效分布类型的检验方法
Page 8
2.4.1 常见失效分布类型
失效分布类型 累积失效分布函数 F(t) 或失效密度函数 f(t)的函 数类型。 表示产品可靠性的所有特征量都与该产品的失 效分布类型有密切的关系。