§3.1 LTI离散系统的响应

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§3.1 LTI离散系统的响应

解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+Czi2(–2)k 将初始值代入并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1
Pm k m Pm1k m1 P 1 ） 1k P 0 (特征根均不为 k r ( Pm k m Pm1k m1 P1k P0 )(有r重为1的特征根）
Pak (a不等于特征根）
k （P k P ) a (a等于特征单根） 1 0
a
k
cosk 或 sin k
▲ ■ 第 14 页
零输入零状态举例
例：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励 f(k)=2k , k≥0 ，初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1), yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2

信号与线性系统分析-(第四版)第三章

(2) 特解 yp(k) p(2)k，k 0
p(2)k 4 p(2)k1 4 p(2)k2 2k
p 4 p(2)1 4 p(2)2 1
p
1 4
特解
yp
(k)
1 4
(2)k
(3) 全解
y(k
)
(C1k
C2
)(2)k
1 4
(2)k，k
0
根据初始条件
1 y(0) C2 4 0
1 y(1) 2C1 2C2 4 2 1
y(k) 4 y(k 1) 4 y(k 2) f (k) 已知初始条件y(0)=0，有y(1)= - 1，激励 f (k) 2k , k 0。
求方程的全解。
解： (1) 齐次解特征方程
齐次解
2 4 4 0 特征根 1 2 2
yh(k) (C1k C2 )(2)k 代入差分方程
10cos(0.5 k)
P Q 1
yp (k) cos(0.5 k) sin(0.5 k)
2 cos(0.5 k )
4
y(k) yh (k) yp (k)
C1
1 2
k
C2
1 3
k
2 cos(0.5 k )
4
y(0) C1 C2
2 cos( ) 0
4
y(1) C1 C2 2 cos(0.5 ) 1
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
y(3) 3y(2) 2y(1) f (3) 10
y(4) 3 y(3) 2 y(2) f (4) 10
便于计算机求解
二、差分方程的经典解
LTI系统的数学模型：n阶常系数线性差分方程
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) b0 f (k m)

信号与系统第三章

y (4) 3 y (3) 2 y (2) f (4) 10 ...
特点：便于用计算机求解
2、差分方程的经典解
• 若单输入-单输出的LTI系统的激励为 f(k),全响应为y(k)，则描述系统激励与响应之间关系的数学模型是n阶常系数线性差分方程，一般可写为：
a y (k i ) b
例3.1－1
• 解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得
y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
依次迭代可得 y (3) 3 y (2) 2 y (1) f (3) 10
位移单位序列：
运算：
• 加： (k) 2 (k) ＝3(k)
乘：(k) (k) (k)
延时：
0
取样性质：f (k)(k) f (0)(k)
2. 单位阶跃序列： (k)
(1)定义： (2)运算：
3) δ(k)与ε(k)的关系：
δ(k)=△ε(k)= ε(k)-ε(k-1) 差分表示，对应的微分δ(t)=dε(t)/dt ε(k)=
第三章离散系统的时域分析
连续系统与离散系统的比较
时域连续系统
f (t ) y(t )
常系数线性微分方程卷积积分
时域离散系统
f (k ) y (k )
常系数线性差分方程卷积和
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
yzs (t ) f (t ) h(t )
y(k ) yzi (k ) yzs (k )

离散系统的时域分析_OK

pk[c cos k Dsin k] 或Apk cos(k )
其中
Ae j
C
jD
Ar1k r1 k cos( k r1) Ar2k r2 k cos( k r2) ... A0 k cos( k 0)
8
2. 特解
激励 f (k)
特解 yp (k)
km
Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0 k r Pmk m Pm1k m1 ... P1k P0
y
f
(1)
3y f
(0) 2 y f
(1)
f
(1)
1
14
系统的零状态响应是非齐次差分方程的全解,分别求出方程
的齐次解和特解,得
yf
(k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
yp (k)
C f1
(1)k
C f2
(2)k
1 3
(2)k
将初始值代入上式,得
y
f
(0)
C
f
1
C
f
2
1 3
1
yf
(1)
1C f
yx
(1)
y(1)
0,
yx
2
y
2
1 2
yx (0) 3 yx (1) 2 yx 2 1
yx 1 3yx 0 2 yx 1 3
2021/9/5
求得初始值
13
1 1, 1 2
yx
(k)
Cx1
(1)k
Cx2
(2)k
yx yx
(0) (1)
Cx1 Cx2 Cx1 2Cx2
差分方程与微分方程的求解方法在很大程度上是相互对应的.

02-1 LTI离散系统响应的求解课件

特解
（1）齐次解：齐次差分方程的解。
y(k ) an1 y(k 1) L a0 y(k n) 0
（a）通一信阶方原程理
y(k) a0 y(k 1) 0 y(k)
y(k 1) a0 y(k) C(a0 )k
特征方程： a0 0 特征根： a0 差分方程齐次解形式： Ck
解：（1）求齐次解。 2 4 4 0
可解得特征根 1 2 2 为二重根，齐次解形式为：
y (k ) [C k C ](2yp (k )
P
2 k
,
k
0
将 yp (k ), yp (k 1), yp (k 2) 代入微分方程中得
P 2k 4P 2k 1 4P 2k 2 2k 4P 1
y(k)：响应信号
初始状态： y(-1) ,y(-2),…, y(-n)
二、L通T信I离原散理系统响应的求解 1、迭代法：差分方程是递推的代数方程，若已知初
始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例：若描述某系统的差分方程为： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k)
已知初始条件 y(0)=0, y(1)=2, 激励 f (k) 2k(k) , 求 y(k)。解： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k)
4
4
通信原理
通信原理
LTI离散系统响应的求解
主讲人：曹红梅通信与信息工程学院
1
1
一、L通T信I离原散理系统的描述
LTI离散系统描述方法：n阶线性常系数差分方程
y(k ) an1 y(k 1) L a0 y(k n) bm f (k ) bm1 f (k 1) L b0 f (k m)
f(k)：激励信号

离散时间LTI系统零状态响应

x[k]* h[n] ( x[n])* h[k] y[n]
n
n
n
3. 卷积和的性质
[例]
计算
x[k]
{1,
0,
2,
4}与
h[k]
{1,
4,
5,
3}的卷积和。
解: x[k] [k 2] 2[k] 4[k 1]
利用分配律和位移特性
x[k]*h[k] {[k 2] 2[k] 4[k 1]}*h[k]
x[1] h[1]
x[1] h[2]
x[1] h[3]
对角斜线上各数值就是 x[n]h[k－n]的值。
x[ 2 ] x[2] h[0]
x[ 3 ] x[3] h[0]
x[2] h[1] x[3] h[1]
x[2] h[2] x[3] h[2]
x[2] h[3] x[3] h[3]
对角斜线上各数值的和就是y[k]各项的值。
h[k] h [ n ] 1
解：
n
n
0
3
k
02
k
y[k]
综上可知： 3
2 1
k 0 1 2 3 4 56
h[-n] 1
-2 0
n
两个信号的卷积和，卷积和结果仍为一个信号。该信号的起点等于那两个信号起点之和，终点等于那两个信号的终点之和。
2. 卷积和的计算
列表法: 设x[k]和h[k]都是因果序列，则有
2. 卷积和的计算
[例]
计算x [ k ]
{1,
2,
0,
3,
2}
与h [ k ]
{1,
4,
2,
3 } 的卷积和。
解:
h [ -1 ] 1

离散时间LTI系统的单位脉冲响应

系统分析和设计
通过单位脉冲响应可以分析系统的稳定性、频率响应和因果性等特性，用于系统的设计和优化。
信号处理
单位脉冲响应可以用于信号的滤波、预测和合成等处理，提高信号的质量和性能。
控制工程
单位脉冲响应可以用于控制系统的分析和设计，优化控制性能和稳定性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
IIR系统
系统的输出不仅与当前的输入有关，还与过去的输入有关，因此其单位脉冲响应在时间上是无限的。
系统的表示方法
差分方程
离散时间LTI系统的动态行为通常由差分方程描述，如 $y(n) = f(n) + g(n)u(n)$。
传递函数
通过将差分方程转换为传递函数的形式，可以更方便地分析系统的频率响应和稳定性。
仿真分析的步骤与过程
建立数学模型
根据系统定义，建立离散时间LTI系统的数学模型，包括差分方程或传递函数。
生成单位脉冲信号
在仿真中，生成一个单位脉冲信号，用于输入到离散时间LTI系统中。
计算单位脉冲响应
将单位脉冲信号输入到系统中，并记录系统的输出，即单位脉冲响应。
分析单位脉冲响应
对单位脉冲响应进行分析，包括幅度和相位特性，以及稳定性等。
性质
单位脉冲响应是线性时不变系统的内部动态特性，具有稳定性、因果性和可预测性。
单位脉冲响应的求解方法
直接法
根据系统函数或差分方程，直接计算单位脉冲响应的数值解。
迭代法
根据系统函数或差分方程，通过迭代计算单位脉冲响应的数值解。
逆系统法
通过求解系统的逆系统，得到单位脉冲响应的数值解。
单位脉冲响应的应用

实验二_连续和离散时间LTI系统的响应及卷积

实验二连续和离散时间LTI 系统的响应及卷积一、实验目的掌握利用Matlab 工具箱求解连续时间系统的冲激响应、阶跃响应，离散时间系统的单位样值响应，理解卷积概念。

二、实验内容1、连续时间系统的冲击响应、阶跃响应a. 利用impulse 函数画出教材P44例2-15: LTI 系统()3()2()dy t y t x t dt+=的冲击响应的波形。

a=[ 1 3];>> b=[2]; >> impulse(b,a);b. 利用step 函数画出教材P45例2-17: LTI 系统1''()3'()2()'()2()2y t y t y t x t x t ++=+的阶跃响应的波形。

a=[1 3 2];>> b=[0.5 2];>> step(b,a)2、离散时间系统的单位样值响应利用impz函数画出教材P48例2-21:--+---=的单位样值响应的图形。

[]3[1]3[2][3][]y n y n y n y n x na=[1 -3 3 -1];>> b=[1];>> impz(b,a)3、连续时间信号卷积画出函数f1(t)＝(1+t)[u(t)-u(t-1)]和f2(t)=u(t-1)-u(t-2)的图形，并利用附在后面的sconv.m函数画出卷积积分f1(t)* f2(t)图形。

t=-1:0.01:3;f1=(1+t).*(0.5*sign(t)-0.5*sign(t-1));f2=(0.5*sign(t-1)-0.5*sign(t-2));subplot(2,2,1);plot(t,f1);subplot(2,2,2);plot(t,f2);sconv(f1,f2,t,t,0.01);4、画出教材P60例2-28中h[n]、x[n]的图形（图2-14(a)(b)），并利用conv函数求出卷积x[n]*h[n]并画出图形（图2-14(f)）。

3.2.3离散时间LTI系统的时域分析 - 离散时间LTI系统的时域分析(精品文档)

ci可由初始状态 yzi (1)，yzi (2)，，yzi (k) 确定
10
信号处理与系统
DLTI系统零输入响应通解
y(n) yzi (n) yzs (n)
故有： yzi (1) y(1), , yzi (k) y(k)
n0
yzi (1) y(1)，，yzi (k) y(k), n 0

y(1) y(2)

c1 c1
(3)1 c2 (3)2 c2

0 1/
2

cc12

3/4 9 / 4
yzi
(n)

3 4

9 4
(3)n ,
n0
12
信号处理与系统
DLTI系统零输入响应分析
DLTI系统零输入响应通解为：
yzi (n) c1(1 )n ckr (kr )n ckr1nr1(0 )n ck1n(0 )n ck (0 )n
其中 1 2 kr ，即k-r个单根,0为r个重根
(i )n ，i 1, , k r
例2. 一信号处理过程是：每当收到一个数据，就将此数据与前一步的处理结果平均。求这一信号处理过程的输入输出关系。
解:
y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
一阶后向差分方程系统模拟框图
4
信号处理与系统
一、DLTI系统方程的建立
离散时间线性时不变（discrete-time ,linear, time-invariant, 记作DLTI）系统:用常系数差分方程来描述
-
试从微分方程推导其差分方程。
解: d y(t) 1 y(t) 1 x(t)

第一节 LTI离散系统的响应

Cx1 1, Cx 2 2 yx k 1 2 2 k
k k
yx 1 y1 0, yx 2 y 2 1 2

•
• 代入k ≥0 的初始条件 ∵ y f 1 0, y f 2 0迭代出 y f 0, y f 1 k k k 1 1 , C 1 y k 1 2 2 k • 由它们定出系数C f 1 1 f2 f 3 3 3 • <3>系统的全响应：

•
α为r重特征根 P k r k P k r 1 k P k r r 1 0
P cos k Q sin k A cosk f k cos k 或 sin k 所有特征根不为 e j ，单根 n k 3.全解： yk y k y k C y k 由初始条件定系数。
解：齐次解：
1 1 1 y k C C 2 5 1 0 1 1 , h 1 2 2 3 2 2 3 k k Q sin 特解：由输入 y p k P cos 代入方程得：P=Q=1 k k
k k 求全解 2
h p
n
m
• 1.齐次解：由特征方程特征根，再由特征根的形式定出齐次解的形式。 • yh k 的形式单根： yh k Ck yh k Cr 1k r 1k Cr 2k r 2k C0k • 重根： yh k k C cosk D sink 或 A k cosk • 一对共轭：其中共轭根： 1,2 a jb e j • r重共轭根，形式如书。 • 2.特解：由输入形式定特解的形式。 m m1 k P k P0 • f k k m 所有特征根部不为1 P m m1 m m1 • 有r重为的特征根 K r P k P k P m m1 0 k • α 不为特征根 P k k k • f k a α 为单特征根 P k P 1 0

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F (常数 )
k
m
P( 常数 )
Pm k m Pm 1 k m 1
k r ( Pm k m Pm 1 k m 1
P1 k P0 ( 特征根均不为 1）
P1 k P0 )( 有 r 重为 1的特征根）
a
k
（ P1 k P0 ) a k ( a 等于特征单根）（ Pr k r Pr 1 k r 1 P0 ) a k ( a 等于 r 重特征根）
▲ ■ 第 4页
2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。其一般形式为: y(k) + an–1y(k –1) +· · ·+ a0y(k–n) = bmf(k)+· · ·+ b0f(k–m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
0 3 y 1 2 y 2 1
5 所以 y 2 4
▲ ■ 第 15 页
第三步：由初始状态确定C1，C2
以 y 1 , y 2 代入方程
1 1 1 y 1 C 2 C 1 1 2 zi 2 y 2 C 2 2 C 1 2 5 zi 1 2 4
解得：
C1 3 C 2 2
y zi k 3 2 2 1
k
k
▲
■
第 16 页
零输入零状态举例
例：系统方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励f(k)=2k , k≥0，初始状态y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yzi(k)满足方程 yzi(k) + 3yzi(k –1)+ 2yzi(k –2)= 0 yzi(–1)= y(–1)= 0, yzi(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yzi(0), yzi(1)（不求亦可） yzi(k)= – 3yzi(k –1) –2yzi(k –2) yzi(0)= –3yzi(–1) –2yzi(–2)= –1 yzi(1)= –3yzi(0) –2yzi(–1)=3 特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2
第一步：根据特征根写出齐次解
y k 3 y k 1 2 y k 2 0
3 2 0
2
1 2 ,
k k
2 1
■
第 14 页
y zi k C 1 2 C 2 1
第二步：求初始状态
题中 y(0)=y(1)=0 ，是激励加上以后的，不能说明状态为0，需迭代求出 y(-1)， y(-2) 。
第 6页
二、差分方程的经典解
y(k) + an –1y(k –1) +· · · + a0y(k –n) = bmf(k)+· · · + b0f(k –m) 与微分方程经典解类似，y(k) = yh(k) + yp(k) 1.齐次解：齐次方程 : y(k) + an –1y(k –1) + · · ·+ a0y(k –n) = 0 特征方程: 1 + an –1λ– 1 + · · ·+ a0λ– n = 0 ，即 λ n + an –1λn– 1 + · · ·+ a0 = 0 其根λi( i = 1，2，· · · ，n)称为差分方程的特征根。
f ( k ) f ( k ) f ( k 1 ) k k ( k 1)
▲ ■ 第 3页
定义差分
（1）一阶前向差分定义：f(k) = f(k+1) –f(k) （2）一阶后向差分定义：f(k) = f(k) –f(k –1) 式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质： [af1(k) + bf2(k)] = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶差分定义： 2f(k) = [f(k)] = [f(k) – f(k–1)] = f(k) – f(k–1) = f(k)–f(k–1) –[f(k–1) –f(k–2)]= f(k) –2 f(k–1) +f(k–2) （5） m阶差分: mf(k) = f(k) + b1f(k–1) +· · · + bmf(k–m)
d f(t ) f ( t ) f ( t t ) f ( t ) f ( t ) f ( t t ) lim lim lim t 0 t 0 t 0 dt t t t
离散信号的变化率有两种表示形式：
f ( k ) f ( k 1 ) f ( k ) k ( k 1) k
▲
■
第 18 页
分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
k k
1 2 , 2 3
k 1
解出
y 1 2 C 1 3C 2 1
C1 5 , C 2 3
y k 5 2 3 3
k
■
k
第 9页
差分方程齐次解重根例2
求差分方程 y(k) + 6y(k – 1) + 12y(k – 2) +8y(k – 3) = 0 的解。解：特征方程 6 12 8 0
▲
■
第 19 页
k 1
y 1 3 y 0 2 y 1 2 ε 1 2 ε 0
0
k0
y 0 3 y 1 2 y 2 2 ε 0 2 ε 1
0 1
0 0 2 y 1 2 1 1 1 所以 y 1 2
C n
特征根λ为r重实根时
C 1 k C 0 ) k
(3) 一对共轭复根
1 ,2 = a jb e j
k yh k k C co s k D sin k 或 A co s k
例1
■
第 12 页
三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yzi(k) + yzs(k)
(1) 零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
(2) 零状态响应：初始状态为0，即
y zs 1 y zs 2
求解方法卷积法
▲ ■ 第 13 页
0
经典法：齐次解+特解
例1 例2
零输入响应举例
例2
▲ ■ 第 8页
差分方程齐次解单根例1
求解二阶差分方程 y(k) – 5y(k – 1) + 6y(k – 2) = 0 已知y(0) =2， y(1) =1，求y(k) 。解：特征方程 5 6 0
2
2 3 0
特征根
齐次解
y k C1 2 C 2 3 k 0 y 0 C1 C 2 2
3 2
2
k
3
0
三重特征根
1 ,2 ,3 2
2
齐次解 y k ( C 2 k C 1 k C 0 ) 2 由初始条件定C1， C2 ， C3
■
第 10 页
2.特解yp(k):
特解形式与激励的形式类似
激励f(k) 响应y(k)的特解yp(k)
例
■
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解为 yzi(k)=Czi1(– 1)k+ Czi2(–2)k 将初始值代入并解得 Czi1=1 , Czi2= – 2 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
（2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1
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根据特征根，齐次解的几种情况
1 无重根 n 个单实根
k 1 1
λ1 λ 2
k 2
λn
k n
n阶方程
yh k C C 2
(2) 有重根
y h k ( C r 1 k r 1 C r 2 k r 2
第三章离散系统的时域分析
§3.1 LTI离散系统的响应
注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。差分与差分方程差分方程的经典解零输入响应和零状态响应
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一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则: · · · ，f(k+2)，f(k+1)，· · · ，f(k-1)，f(k-2) ，· · · 等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算

§3.1 LTI离散系统的响应

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