第三章 LTI离散系统的响应

线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统, 差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型, 单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数,零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容.在信号与系统分析中,有关离散系统的理论与应用也越来越重要。

离散信号与系统分析的数学模型是差分方程,对于高阶的差分方程,由于计算量庞大,人工计算难于实现。

MATLAB的出现解决了这一问题,利用MATLAB函数,只需要简单的编程,就可以实现系统的时域、频域分析,对系统的频响特性进行分析,为实际的系统设计奠定了基础。

本设计首先介绍了线性时不变离散系统的基础理论，并对离散系统的系统函数及其频率响应特性进行了探讨。

其次，基于MATLAB设计环境下离散系统的频响特性进行了设计仿真，建立了典型的离散系统的模型，利用MATLAB函数绘制了离散时间系统频率特性曲线、零极点图,并对系统稳定性进行了判定。

最后对仿真所得到的频率响应图进行了对比及分析，得出结论，达到设计要求。

【关键词】MATLAB 离散时间系统系统分析系统函数Linear time-invariant discrete-time system is one of the basic digital systems. Difference equation and transmission function are common mathematical models to describe the system. Besides, unit impulse response and frequency response are primary characteristic parameters to the system. To the systems analysis, it is important to compute zero-state response and causality stability analysis. in the signal and system analysis, the discrete system theory and applications are increasingly important. Discrete signals and systems analysis is a mathematical model of differential equations, differential equations for the order, due to the huge computation, artificial calculation difficult to achieve. The emergence of MATLAB to solve this problem, by using MATLAB function, only need a simple program, the system can be achieved in time domain, frequency domain analysis, frequency response characteristics of the system analysis, system design for the actual foundation.This design first introduced for linear time-invariant discrete system is based on theory, and discrete system function and frequency response are discussed. Secondly, the design environment based on MATLAB frequency response of discrete system simulation was designed to establish a typical model of discrete systems using MATLAB functions is drawn discrete-time system frequency characteristic curves, zero-pole diagram, and system stability determined. Finally the simulated frequency response obtained by a comparison and analysis concluded that meet the design requirements.【Key words】MATLAB，discrete-time system，systems analysis，transmission function目录第1章绪论 (1)1.1选题目的及意义 (1)1.2国内外研究综述 (1)1.3研究的主要内容及预期目标 (1)1.4研究方法 (2)第2章LTI离散系统概述 (4)2.1系统分类 (4)2.1.1连续时间系统和离散时间系统 (4)2.1.2线性系统和非线性系统 (4)2.1.3时变系统和时不变系统 (5)2.1.4 因果系统和非因果系统 (6)2.2LTI离散系统综述 (6)2.3LTI离散系统的数学模型 (7)2.3.1离散时间系统的数学模型——差分方程 (7)2.3.2系统函数 (7)2.4离散时间系统的模拟 (8)2.5离散时间系统的频率响应特性 (9)2.5.1离散时间系统的频率响应 (9)2.5.2频率响应特性的几何确定 (10)第3章LTI离散系统的频率响应特性及其仿真分析 (12)3.1离散系统的频率响应特性分析 (12)3.2取样响应 (13)3.3离散时间系统的系统函数H(z) (15)3.3.1 系统函数的零极点分布与单位样值响应的关系 (17)3.3.2 系统的因果性和稳定性 (19)第4章设计仿真 (21)4.1离散系统零极点图 (21)4.2离散系统的零极点分布与系统稳定性 (24)4.3离散系统的频率特性 (25)第5章结论 (27)参考文献 (29)致谢 (30)第1章绪论1.1选题目的及意义线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统,差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型,单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数,零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容.离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统,它有多种类型,其中线性时变离散时间系统是最基本、最重要的系统【1】.差分方程反映了系统输入与输出的运动状态,是在时域描述系统的通用数学模型;系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比,在时域与频域之间起桥梁作用.分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下,从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系,前者重点研究系统的时间特性,后者主要研究系统的频率特性.频率特性与系统性能紧密相关，通过分析频率特性研究系统性能是一种广泛使用的工程方法，能方便地分析系统中的各部分参量对系统总体性能的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径，所以我们对系统的频响特性要进行深入的分析。

实 验 报 告姓名： 时间：2013年11月11日 实验名称：LTI 系统的响应一、 实验目的1. 熟悉连续时间系统的单位冲激响应、阶跃响应的意义及求解方法2. 熟悉连续（离散）时间系统在任意信号激励下响应的求解方法3. 熟悉应用MATLAB 实现求解系统响应的方法二、 实验原理1.连续时间系统对于连续的LTI 系统，当系统输入为f (t )，输出为y (t )，则输入与输出之间满足如下的线性常系数微分方程：()()0()()nmi j i j i j a yt b f t ===∑∑，当系统输入为单位冲激信号δ(t )时产生的零状态响应称为系统的单位冲激响应，用h(t)表示。

若输入为单位阶跃信号ε(t )时，系统产生的零状态响应则称为系统的单位阶跃响应，记为g(t)，如下图所示。

系统的单位冲激响应h (t )包含了系统的固有特性，它是由系统本身的结构及参数所决定的，与系统的输入无关。

我们只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同激励下产生的响应。

因此，求解系统的冲激响应h(t )对我们进行连续系统的分析具有非常重要的意义。

在MATLAB 中有专门用于求解连续系统冲激响应和阶跃响应， 并绘制其时域波形的函数impulse( ) 和step( )。

如果系统输入为f (t )，冲激响应为h(t)，系统的零状态响应为y (t )，则有：()()()y t h t f t =*。

若已知系统的输入信号及初始状态，我们便可以用微分方程的经典时域求解方法，求出系统的响应。

但是对于高阶系统，手工计算这一问题的过程非常困难和繁琐。

在MATLAB 中，应用lsim( )函数很容易就能对上述微分方程所描述的系统的响应进行仿真，求出系统在任意激励信号作用下的响应。

lsim( )函数不仅能够求出连续系统在指定的任意时间范围内系统响应的数值解，而且还能同时绘制出系统响应的时域波形图。

以上各函数的调用格式如下：⑴ impulse( ) 函数函数impulse( )将绘制出由向量a 和b 所表示的连续系统在指定时间范围内的单位冲激响应h (t )的时域波形图，并能求出指定时间范围内冲激响应的数值解。

3.5 离散时间LTI系统的响应 1. 迭代法 2. 经典时域分析方法常用激励信号对应的特解形式例 2 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y[0]=0, y[1]=-1, 输入信号f[k]=2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。

2) 求非齐次方程y[k]-5y[k-1]+6y[k-2] =f[k] 的特解yp[k] 经典法不足之处若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。

若激励信号发生变化，则须全部重新求解。

若初始条件发生变化，则须全部重新求解。

这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。

二卷积法例3：已知某线性时不变系统的动态方程式为: 系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k]。

例4 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y[-1]=0， y[-2]= 1/2，求系统的零输入响应yx[k]。

[解] 系统的特征方程为例5 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y[-1]=2， y[-2]= -1， y[-3]= 8，求系统的零输入响应yx[k]。

2、系统的零状态响应定义：当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f[k]产生的响应，用yf [k]表示。

求解系统的零状态响应yf [k]方法： 1) 直接求解初始状态为零的差分方程。

2) 卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。

卷积法求解系统零状态响应yf [k]的思路 1) 将任意信号分解为冲激信号序列的线性组合 2) 求出冲激信号作用在系统上的响应冲激响应 3) 利用线性时不变系统的特性，求出冲激信号序列作用在系统上的响应，即系统在任意信号f[k]激励下的零状态响应yf[k] 。

例6 若描述某离散系统的差分方程为 * 2. 经典时域分析方法: 求解差分方程 3. 卷积法: 系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解齐次差分方程得到零输入响应利用卷积和可求出零状态响应系统响应求解方法: 1. 迭代法已知n个初始条件{y[-1], y[-2], y[-2],????,y[-n] }和输入，由差分方程迭代出系统的输出。

主讲人：陈后金电子信息工程学院，(2) 单位脉冲响应h [k ]；（4) 系统的完全响应y [k ]；][zi k y (1) 系统的零输入响应；][zs k y (3) 系统的零状态响应；（5) 判断系统是否稳定。

[例]0≥k 因果离散时间LTI 系统的差分方程为激励信号，初始状态，试求:，][]2[2]1[3][k x k y k y k y =-+--][3][k u k x k =1]2[ 3]1[=-=-y y解：(1)系统的零输入响应y zi [k ]特征根为11=r 22=r ，代入初始状态，A =－1, B =8特征方程0232=+-r r zi []2,ky k A B =+0≥k ]1[ -y 2BA +== 3]2[ -y 4BA +== 1zi []182, 0k y k k =-+⋅≥[例]0≥k 因果离散时间LTI 系统的差分方程为激励信号，初始状态，试求:，][]2[2]1[3][k x k y k y k y =-+--][3][k u k x k =1]2[ 3]1[=-=-y y解：(2) 单位脉冲响应h [k ]][2][][k u D k Cu k h k +=C = －1 D = 21]2[2]1[3]0[]0[=---+=h h h δ1]0[=+=D C h 32]1[=+=D C h 3]1[2]0[3]1[]1[=--+=h h h δ等效初始条件为][22][][k u k u k h k ⋅+-=[例]0≥k 因果离散时间LTI 系统的差分方程为激励信号，初始状态，试求:，][]2[2]1[3][k x k y k y k y =-+--][3][k u k x k =1]2[ 3]1[=-=-y y解：(3)利用卷积和可求出系统的零状态响应y zs [k ]][*][][zs k h k x k y =][)122(*][3k u k u k k -⋅=][)2124329(k u k k +⋅-=[例]0≥k 因果离散时间LTI 系统的差分方程为激励信号，初始状态，试求:，][]2[2]1[3][k x k y k y k y =-+--][3][k u k x k =1]2[ 3]1[=-=-y y 系统的零状态响应y zs [k ]解：(4)系统的完全响应y [k ]][][][zi k y k y k y zs +=[例]0≥k 因果离散时间LTI 系统的差分方程为激励信号，初始状态，试求:，][]2[2]1[3][k x k y k y k y =-+--][3][k u k x k =1]2[ 3]1[=-=-y y 0),2124329(≥-⋅+=k k k ⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥-⋅=0,329][0,2124][k k y k k y k k 强迫固有⎪⎩⎪⎨⎧≥-⋅+=≥=0,2124329][0,0][k k y k k y k k 稳态暂态解：系统的单位脉冲响应为][)122(][k u k h k -⋅=0[](221)k k k h k ∞∞=-∞==⋅-=∞∑∑该离散系统为不稳定系统。