ch1-3-线性多步法

又如：解上面方程组得 0 0, 1 1, 1 1 相应的线性二步四阶公式（Milne公式)为 h yn 1 yn 1 ( f n 1 4 f n f n 1 ) 3 1 5 (5) 其截断误差为 Rn 1 h yn O(h6 ) 90 由此可知，线性二步公式至多是四阶公式。
12
取r=3，并令 0 1 2 1 0,由方程组可 8 4 8 解出 3 1, 0 , 1 , 2 , 3 0, 3 3 3 相应的线性多步式 4 yn 1 yn 3 h(2 f n f n 1 2 f n 2 ) 3 其局部截断误差为 14 5 (5) Rn 1 h yn O ( h 6 ) 45 该公式是四阶四步显式公式。
1 4 , 0 3 3
10
一般地，线性多步公式中有2r 3个待定参数，如令其 右端在xn处的Taylor展开式与y ( xn 1 )在xn处的Taylor 展开式 的前p+1项系数对应相等，可得方程组 r i 1 i 0 r r k k 1 ( i ) k ( i ) i 1 ( k 1, 2, p ) i i 1 i 0 其解所对应的公式具有p阶精度，局部截断误差为 Rn 1
13
阿达姆斯(Adams)公式 取r=3，并令1 2 3 1 0,由方程组 r i 1 i 0 r r k ( i ) i k ( i ) k 1 i 1 ( k 1, 2, 3， 4) i 1 i 0 55 59 37 9 可解得 0 =1， 0 , 1 , 2 , 3 24 24 24 24 相应的线性多步公式为 h (55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 ) 24 因－1 =0，此式称为Adams显式公式，是四阶公式. yn 1 yn
Taylor展开式
1 '' 2 1 1 ) yn h 2
为使上式有p阶精度，只须使其与y ( xn 1 )在xn处的
'' (5) yn yn 2 y ( xn 1 ) yn y h h h 5 O (h 6 ) 2! 5! 的前p+1项重合。 ' n
8
线性多步公式的导出(续3)
O (( x xn ) p 1 )
6
线性多步公式的导出(续1)
假设前n步计算结果都是准确的，即yi y ( xi ), y ' ( xi ) f ( xi , yi ) (i n ), 则有
'' ''' yn yn 2 yn 1 y ( xn h ) yn y h h h3 2! 3! ( 4) (5) y y n h 4 n h 5 O (h ( 6) ) 4! 5! ''' yn ' ' '' f n 1 f ( xn 1 , yn 1 ) y ( xn 1 ) yn yn h h2 2! ( 4) (5) yn yn 3 h h 4 O (h (5) ) 3! 4! ' f n f ( xn , yn ) yn ' n
2
yn 1 yn h ci K i i 1 K 1 f ( xn , yn ) i 1 K i f ( xn ai h, yn h bij K j ) j 1
p
Runge-Kutta法
( i 2, 3 , p )
对p 4，即四个点，可导出四阶RK 公式。 常用的四阶RK 公式为： h yn 1 yn 6 ( K 1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) K 1 f ( x n , yn ) h h K 2 f ( x n , yn K 1 ) 2 2 h h K 3 f ( x n 2 , yn 2 K 2 ) K 4 f ( xn h, yn hK 3 )
以r 1为例：设初值问题的解y( x)充分光滑，待定的 两步公式为 yn 1 0 yn 1 yn 1 h( 1 f n 1 0 f n 1 f n 1 )
(k ) 记yn y ( k ) ( xn ) (k 1, 2,), 则y ( x)在xn处的Taylor展开为 '' ( p) yn yn 2 y ( x) yn y ( x xn ) ( x xn ) ( x xn ) p 2 p! ' n
3
学习重点：
1 多步法的构造思想
2 多步法的特点 3 公式形式：重点掌握四阶公式
4
线性多步法
单步法在计算yn 1时，只用到前一步的信息yn。为提高精度， 需重新计算多个点处的函数值，如RK方法，计算量较大。 如何通过较多地利用前面的已知信息，如yn，yn－1， ,yn -r ,来 构造高精度的算法计算yn 1，这就是多步法的基本思想。
a0 a1 1 a 0 1 0 1 1 1 1 a 1 1 1 2 2 1 1 1a 1 1 1 1 6 2 2 6 1 a1 1 1 1 1 1 6 6 24 24
5个参数,只须5个条件。由推导知，如果选取参数
i , i，使其满足前P 1个方程（p=1,2,3,4)，则
近似公式为p阶公式。
9
线性多步公式的导出(续4)
如 0 1,1 0, 1 0 方程，故公式 此为二阶公式。 yn 1 1 , 1 0满足方程组前三个 2 h yn ( f n 1 f n ) 2
9 19 5 1 , 0 , 1 , 2 24 24 24 24 相应的线性多步公式为 h yn 1 yn (9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24 称其为四阶Adams隐式公式，其局部截断误差为
0 =1， 1
第一章 常微分方程数值解法
第三节 线性多步法
1
欧拉法
yn1 yn h f ( xn , yn ) (n 0,1,2, ... )
隐式欧拉法
yn1 yn h f ( xn1 , yn1 ) (n 0,1,2, ... )
改进欧拉法
y n 1 y n h f (xn , y n ) f xn 1 , y n h f (xn , y n ) 2 (n 0, 1, 2 )
例如r 3时，过节点xn , xn 1 , xn 2 , xn 3 , F ( x)的三次 插值多项式为 其中li ( x) L3 ( x) li ( x) F ( xn i )
i 0 3
( x xn )( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 ) ( x xn i ) ( xn i xn j )
多步法中最常用的是线性多步法，它的计算公式中只 出现yn 1，yn， ，yn r 及f ( xn 1 , yn 1 ), , f ( xn r , yn r )的一次 项，其一般形式为 yn 1 i yn i h i f n i
i 0 i 1 r r
' yn1 ( 0 1 ) yn (1 1 0 1 ) yn h(
1 1 1 ''' 3 1 1 1 (4) 4 ( ) yn h ( ) yn h 6 2 2 24 6 6 (5) 5 ( 1 1 1 ) yn h O( h 6 ) 120 24 24
j 0 j i 3
(i 0,1, 2, 3)
17
利用数值积分方法求线性多步公式(续1)
y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1 xn
L3 ( x)dx [
i 0 xn1
3
xn1
xn
li ( x)dx]F ( xn i )
( x xn 1 )( x xn 2 )( x xn 3 ) F ( xn ) dx xn 6h 3 xn1 ( x x )( x x n n 2 )( x xn 3 ) F ( xn 1 ) dx 3 xn 2h xn1 ( x x )( x x n n 1 )( x xn 3 ) F ( xn 2 ) dx 3 xn 2h xn1 ( x x )( x x n n 1 )( x xn 2 ) F ( xn 3 ) dx 3 xn 6h h [55 F ( xn ) 59 F ( xn 1 ) 37 F ( xn 2 ) 9 F ( xn 3 )] 24
14
常用的线性多步公式(续)
局部截断误差为
3 3 h5 5 (5) Rn 1 [1 ( i ) i 5 ( i ) 4 i ] yn O( h 6 ) 5! i 1 i 1 251 5 (5) h yn O ( h 6 ) 720 如果令1 2 3 3 0,由方程组可解得
Rn 1
19 5 (5) h yn O ( h 6 ) 720
15
利用化成等价的积分形式 y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1 xn
f ( x, y ( x))dx
xn1
xn
F ( x)dx
用过节点xn , xn 1 , , xn r 或xn +1 ,xn , ,xn r 1的F ( x)的r 次插值多项式 r ( x)代替F ( x)求积分,即得r 1阶的 线性多步公式。
其中 i , i均为常数，f k f ( xk , yk ) (k n 1, n, , n r )。 若－1＝0，显式；－1 0，隐式。 构造线性多步公式常用Taylor展开和数值积分方法。