第四章 一元线性回归

4.3.1 一元线性回归模型第1课时 相关关系、回归直线方程、回归直线方程的性质 课后训练巩固提升1.(多选题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论,其中一定不正确的是( )A.y 与x 负相关,且y ^=2.347x-6.423 B.y 与x 负相关,且y ^=-3.476x+5.648 C.y 与x 正相关,且y ^=5.437x+8.493 D.y 与x 正相关,且y ^=-4.326x-4.578解析:当y 与x 线性相关时,y 与x 正相关的充要条件是b ^>0,y 与x 负相关的充要条件是b ^<0,故AD 一定不正确. 答案:AD2.已知x 与y 之间的一组数据如下表.若已求得y 关于x 的回归直线方程为y ^=2.2的值为( ) A.1 B.0.85C.0.7D.0.5 解析:=m+15.54,则m+15.54=2.2×1.5+0.7,解得m=0.5.故选D.答案:D3.已知根据如下样本数据得到的回归直线方程为y ^=b ^x+a ^,则( ) A.a ^>0,b ^>0 B.a ^>0,b ^<0 C.a ^<0,b ^>0D.a ^<0,b ^<0解析:作出散点图(图略),可知a ^>0,b ^<0. 答案:B4.已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得x =3,y =3.5,则由该观测数据求得的回归直线方程可能是( ) A.y ^=0.4x+2.3 B.y ^=2x-2.4 C.y ^=-2x+9.5 D.y ^=-0.3x+4.4解析:由变量x 与y 正相关,可知C,D 均错.又回归直线经过样本点的中心(3,3.5),经验证,可知A 正确,B 错误.故选A. 答案:A5.过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是( ) A.y ^=1.75+5.75xB.y ^=-1.75+5.75xC.y ^=5.75+1.75xD.y ^=5.75-1.75x解析:由题意易得,b ^=1.75,a ^=5.75,故所求的回归直线方程为y ^=5.75+1.75x.故选C. 答案:C6.为了均衡教育资源,调查了某地若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元).调查显示,年收入x 与年教育支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 关于x 的回归直线方程为y ^=0.15x+0.2.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加 万元. 答案:0.157.期中考试后,某校高三(9)班对全班50名学生的成绩进行分析,得到数学成绩y 关于总成绩x 的回归直线方程为y ^=6+0.4x.由此可以估计,若2名同学的总成绩相差50分,则他们的数学成绩大约相差 分. 解析:由回归系数b ^=0.4可知,x 每增大1个单位,y ^增大0.4个单位,故两名同学的总成绩相差50分,他们的数学成绩大约相差50×0.4=20(分). 答案:208.在一项关于16艘轮船的研究中,船的吨位区间为[192,3 246](单位:吨),船员的人数为5~32,船员人数y 关于吨位x 的回归直线方程为y ^=9.5+0.006 2x,(1)若两艘船的吨位相差1 000,估计这两艘船的船员人数相差多少; (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数.解:(1)由题意可知,这两艘船的船员人数大约相差0.0062×1000≈6. (2)当x=192时,y ^=9.5+0.006 2×192≈11, 当x=3 246时,y ^=9.5+0.006 2×3 246≈30.故估计吨位最大的船和最小的船的船员人数分别为30和11.9.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑i=110x i =80,∑i=110y i =20,∑i=110x i y i =184,∑i=110x i 2=720.(1)求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的回归直线方程y ^=b ^x+a ^; (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,估计该家庭的月储蓄. 解:(1)由题意知,n=10, x =110∑i=110x i =8,y =110∑i=110y i =2,则b ^=184-10×8×2720-10×82=0.3,a ^=2-0.3×8=-0.4.故所求回归直线方程为y ^=0.3x-0.4. (2)因为b ^=0.3>0,所以x 与y 之间是正相关. (3)当x=7时,y ^=0.3×7-0.4=1.7. 故该家庭的月储蓄约为1.7千元.10.某同学家开了一家饮品店,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到卖出的热饮杯数y 与当天气温x 的对比表如下.(1)作出散点图;(2)y与x是正相关还是负相关;(3)求y关于x的回归直线方程;(4)若某天的气温为2 ℃,估计这天卖出的热饮杯数. 解:(1)作出散点图如图所示.(2)由散点图可知,y与x负相关.(3)根据数据可知,x=16911,y=122811,b^≈-2.352,a^=y−b^x≈147.767.故所求的回归直线方程为y^=-2.352x+147.767.(4)当x=2时,y^=143.063.因此,当某天的气温为2 ℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.。

Y 0 1Z1 2 Z2 3Z3 k Zk
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,

第四章一元线性回归第一部分学习目的和要求本章主要介绍一元线性回归模型、回归系数的确定和回归方程的有效性检验方法。

回归方程的有效性检验方法包括方差分析法、t检验方法和相关性系数检验方法。

本章还介绍了如何应用线性模型来建立预测和控制。

需要掌握和理解以下问题：1 一元线性回归模型2 最小二乘方法3 一元线性回归的假设条件4 方差分析方法5 t检验方法6 相关系数检验方法7 参数的区间估计8 应用线性回归方程控制与预测9 线性回归方程的经济解释第二部分练习题一、术语解释1 解释变量2 被解释变量3 线性回归模型4 最小二乘法5 方差分析6 参数估计7 控制8 预测二、填空ξ，目的在于使模型更1 在经济计量模型中引入反映（）因素影响的随机扰动项t符合（）活动。

2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（）、社会环境与自然环境的（）决定了经济变量本身的（）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（）中；（３）在模型估计时，（）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（）与（）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。

3 （）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。

就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。

一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。

（）是拟合值的离散程度的度量。

它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。

（）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。

4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（）。

某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（ ）个单位。

5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（ ）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（ ）；通常线性回归模型的线性含义是就（ ）而言的。

温故知新
四、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
五、参数估计量的概率分布及随机干扰 项方差的估计
ˆ 1、参数估计量 0 和 ˆ1 的概率分布
ˆ 1 ~ N ( 1 ,
x
2
2 i
)
ˆ 0 ~ N ( 0 ,
n x
X i2
2 i
2)
2、随机误差项的方差2的估计
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟 合优度越高。
经变换发现，R与X,Y的相关系数r值相同。可通 过R与r进行X与Y的线性相关性检验，查书后附表1。
二、变量的显著性检验
回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一 个显著性的影响因素。 即判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进 行变量的显著性检验。
Zi2
i 1 i 0
n
n
(Yi ) 2
2
~ 2 n
F分布：
分 设U是服从自由度为n1的χ2分布的随机变量，即U~ χ2(n1)， 布
U n1 F ~ F n1 , n2 V n2
V是服从自由度为n2的χ2分布的随机变量，即V~ χ2(n2)，且U 和V相互独立，则：
该两组数据是1978~2000年的时间序列数据 （time series data）； 前述收入-消费支出例中的数据是截面数据 （cross-sectional data）。
1、建立模型
拟建立如下一元回归模型
CONSP C GDPP
采用Eviews软件进行回归分析的结果见下表
表 2.5.2 中国居民人均消费支出对人均 GDP 的回归（1978~2000） LS // Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 Variable C GDPP1 Coefficient 201.1071 0.386187 Std. Error 14.88514 0.007222 t-Statistic 13.51060 53.47182 Prob. 0.0000 0.0000 905.3331 380.6428 7.092079 7.190818 2859.235 0.000000