第四讲 三角函数

建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
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THANKS
感谢观看
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周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
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常见题型解析及技巧点拨
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三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
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三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
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解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
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错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
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02 三角函数诱导公 式与变换
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诱导公式及其应用
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诱导公式的基本形式

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数学教育方法的核心是学生的再创 造. 教师不应该把数学当作一个已经完 成了的形式理论来教，不应该将各种定 义、规则、算法灌输给学生，而是应该 创造合适的条件，让学生在学习数学的 过程中，用自己的体验，用自己的思维 方式，重新创造有关的数学知识.
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课堂教学内容组织主要形式为： 问题情境 →学生活动 →意义建构 →数学理论→数学运用 →回顾反思
教学时应当把握好这种变化，遵循 “标准”所规 定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识 点．也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题 目．
例如：求定义域、值域; 已知 sin a=m 求的其他三角函数值; 用诱导公式进行复杂变换的问题等．
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（4）但是也不能放松基本的技能训练，应该让学生 记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系
（2）求该物体在t＝5s时的位置．
用什么模型描述物体的运动？
如何确定模型中的参数？
已知条件“物体向右运到到距离平衡位置最远处时开始计时1．在图1中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置， 取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm， 周期为3s，且物体向右运到到距离平衡位置最远处时开 始计时．
tan(＋k)＝tan，k∈Z
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例 求下列函数的周期：
①
f(x)＝sin
1 2
x；
②
g(x)＝sin(
1 2
x－
4
)；
③
h(x)＝2sin(
1 2
x－
4
)；
T＝4 T＝4 T＝4
④ f(x)＝Asin(x＋)，其中A≠0，
T＝
2 ||
＞0．

第四讲 三角函数（一）一、锐角三角函数的定义锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．1．正弦：Rt △ABC 中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ，即sin aA c =； 2．余弦：Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ，即cos b A c =； 3．正切：Rt △ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A ，即tan a A b =； 4．余切：Rt △ABC 中，锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A ，即cot b A a=． 二、特殊的锐角三角函数 三角函数 0° 30°45° 60° 90° sin A 0 1222 321 cos A 1 32 22120 tan A 0 331 3 无 cot A 无3133三、锐角三角函数的取值范围在Rt △ABC 中，∠C =90°，a >0，b >0，a <c ，b <c ，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=， 所以0<sin A <1，0<cos A <1，tan A >1，cot A >0． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=，tan cot 1A A ⋅= 2．互余角三角函数关系()sin cos 90A A =︒-∠，()cos sin 90A A =︒-∠，()tan cot 90A A =︒-∠，()cot tan 90A A =︒-∠3．锐角三角函数值得变化规律令c =1，若锐角A 越小，则a 越小，b 越大； 若锐角A 越大，则a 越大，b 越小，且a <c ，b <c ， 所以当角度在0°~90°范围内变化时，正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）；bca AB对边邻边斜边正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 4．锐角三角函数值得变化规律可以应用0°~90°间的正弦值、余弦值、正切值、余切值的增减性来比较较的正弦、余弦、正切、余切值得大小，其规律是：（1）∠A 、∠B 为锐角且∠A >∠B ，则sin A >sin B ，cos A <cos B ，tan A >tan B ，cot A <cot B ； （2）∠A 、∠B 为锐角且∠A <∠B ，则sin A <sin B ，cos A >cos B ，tan A <tan B ，cot A >cot B ． 该规律反之也成立．例1（1）在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对三角形的边分别为a 、b 、c ． 若a =3，b =4，则c = ，sin A = ，cos A = ，tan A = ，sin B = ，cos B = ，tan B = ．（2）若()6cos 16α-︒=α的度数是 ． （3）22cos 302sin60cos45︒-︒︒．（4）3tan30cot 45cos302sin602tan45︒+︒+︒+︒-︒．（5）22211cos 45cos 30sin 45sin30tan30︒-++︒+︒︒︒．例2．比较下列格式的大小 （1）sin53°和cos53°（2）当∠A 是锐角时，sin A 和tan A例3．（1）22222sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒+︒+︒++︒+︒L ；（2）已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数；（3）求tan1tan2tan3tan88tan89︒⨯︒⨯︒⨯⨯︒⨯︒L ；（4）若锐角A 满足tan cot 2A A -=，求22tan cot A A +的值；（5例4（1）α为锐角，且满足sin 3cos αα=，求sin cos αα⨯的值；（2）若0°<α<45°，且sin cos αα，求sin α的值．。

第四讲 复习三角函数一、本讲进度《三角函数》复习二、本讲主要内容1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800+900，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式=|α|R ，扇形面积公式||R 21R 21S 2α==，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =α，r xcos =α，xy tan =α，yxcot =α。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即α+πt 2k与α之间函数值关系（k ∈Z ），其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α，变形后得22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα-=α，可以作为降幂公式使用。