第六章 无穷级数

⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。

2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。

. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。

②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。

③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。

4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。

第六章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质我们把无穷数列}{n u ：1u ，2u ，…，n u ，…的项依次用加号连接起来所得到的式子++++n u u u 21称为无穷级数（简称为级数），记为∑+∞=1n nu，即++++=∑+∞=n n nu u u u211，其中n u 称为级数的通项。

例如：+++++n 21814121； +++++n 131211； +-++-+--1)1(1111n 。

称无穷级数的前n 项和n n u u u s +++= 21为级数的部分和，这样，级数将对应一个部分和序列1s ，2s ，…，n s ，…。

若级数的部分和序列有极限，即：s s n n =+∞→lim ，就称级数收敛，并称极限s 为该级数的和，记为 ++++==∑+∞=n n nu u u us 211，否则，称该级数发散。

当级数收敛时，其部分和n s 是级数和s 的近似值。

称n s s -为级数的余项，记为n r ，即+++=-=++21n n n n u u s s r用级数的部分和n s 作为级数和s 的近似值所产生的绝对误差为}{n r ，显然，级数收敛的充要条件是 0lim =∞→n n r例 1 无穷级数+++++=-+∞=-∑1211n n n aq aq aq a aq称为等比级数（又称几何级数），其中0≠a ，q 称为级数的公比，试讨论此级数的收敛性。

解 如果1≠q ，其部分和n s 为qq a aqaq aq a s n n n --=+++++=-1)1(12 如果1<q ，则0lim =+∞→nn q ，得s qas n n =-=+∞→1lim ， 故级数收敛，且它的和为qa s -=1。

如果1>q ，因∞=+∞→nn q lim ，∞=+∞→n n s lim ，此时级数发散。

当1=q 时，级数为 ++++a a a 由于+∞==+∞→+∞→na s n n n lim lim ，此时级数发散。

无穷级数的概念与性质无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它指的是无数项的和数。

无穷级数的数学公式一般写成∑n=1∞an，其中an表示每一项的系数。

无穷级数在物理、经济等领域应用广泛，是数学研究的重点。

一、收敛与发散在分步分析无穷级数性质前，我们必须先了解收敛与发散的概念。

在无穷级数中，若该级数的部分和Sn满足：Sn趋于某一固定的唯一数L，即limSn=L，则称该无穷级数收敛于L（或收敛于∞，收敛于-∞）。

反之，如果Sn的值不趋于任何一个常数，则称该无穷级数发散。

例如：1+1/2+1/4+···+1/2n+···，其中每一项的系数an=1/2n，这个级数收敛于2。

而1+2+4+···+2n+···，这个级数则是发散的。

二、正项级数正项级数指的是每一项的系数an均为非负数。

对于正项级数，一般用单个符号∑an表示，而不是∑n=1∞an。

正项级数的充分必要条件是部分和单调不降及有界或有上界。

即如果存在一个B使得Sn≤B，那么称该级数有上界，如果B不存在，则称该级数发散。

三、级数收敛判定法在判定一个级数的收敛或发散时，需要掌握一些常用的级数收敛判定法。

（一）比值判别法比值判别法即通过求出级数的相邻两项之比的极限值来判断级数的收敛性。

如果该极限值小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。

例如：an=(n+1)/(2n+1) 则有limn→∞an+1/an=1/2 < 1，所以此级数收敛。

（二）根值判别法根值判别法实际上是比值判别法的特例，即通过求出级数的每一项的n次方根的极限值来判断级数的收敛性。

如果该极限小于1，则该级数收敛；如果大于1，则该级数发散；如果等于1，则该级数不能判定。

例如：an=1/n^2，则有limn→∞an^1/n=1，所以此级数收敛。

无穷级数知识点总结一、无穷级数的定义无穷级数是指由无限个实数或复数项组成的数列之和。

一般地，我们用数列 {a_n} 来表示无穷级数的各项，那么无穷级数就可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ...其中 S 代表无穷级数的和，而 a_1, a_2, a_3, ... 分别代表无穷级数的各项。

无穷级数通常可以用极限的概念来进行定义，即无穷级数的和就是数列的极限。

如果数列 {S_n} 的部分和数列收敛到某个数 L，那么无穷级数 S 的和便为 L，即：S = lim (n->∞) S_n = L这里的 S_n 代表无穷级数的部分和数列，它可以写成：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n无穷级数的定义是无穷数列极限的推广，它引入了无穷个数的概念，因此无穷级数的性质和收敛性等问题相对于有限级数来说更加复杂和多样。

二、无穷级数的性质无穷级数在数学中有着许多重要的性质，这些性质对于研究无穷级数的收敛性、计算方法以及应用等方面都有着重要的作用。

下面我们将详细介绍无穷级数的一些重要性质。

1. 无穷级数的有限项相加结果相同如果无穷级数的有限项相加的结果相同，那么这个无穷级数的和也相同。

即如果无穷级数S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的前 n 项之和等于 S_n，而无穷级数 T = b_1 + b_2 + b_3 + ... 的前 n 项之和等于 T_n，并且 S_n = T_n，那么这两个无穷级数的和也相等，即 S = T。

2. 无穷级数的倒序相加结果相同如果无穷级数的倒序相加的结果与原来的无穷级数相同，那么这个无穷级数的和同样相同，即如果无穷级数 S = a_1 + a_2 + a_3 + ... 的倒序相加的结果也等于 S，那么这个无穷级数的和就等于 S。

3. 无穷级数的部分和数列的有界性如果无穷级数的部分和数列 {S_n} 是有界的，即存在一个正数 M，使得对于所有的正整数n，都有 |S_n| <= M，那么这个无穷级数是收敛的。