6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(含答案)

6. 1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x、y,若对于兀在某个实数集合£＞内的每一个确定的值，按照某个对应法则/, y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是兀的函数，记作y = /&），XG Do（2）三角函数线设任意角Q的顶点在原点0,始边与兀轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）,过P作兀轴的垂线，垂足为M；过点4（1,0）作单位圆的切线，设它与角G的终边（当©在第一、四象限角时）或其反向延长线（当Q为第二、三象限角时）相交于7\ 规定：当0M与兀轴同向时为正值，当0M与兀轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；根据上面规定，则0M=x,MP=yj由止弦、余弦、正切三角比的定义有:sin心丿r 1 y = MP；x xcosa = — = — = x = OM ；r 1ta^ = 2=MP = AT = AT；x 0M 0A这几条与单位圆有关的有向线段MP^OM^AT叫做角a的正弦线、余弦线、正切线。

二、讲授新课【问题驱动1】一一结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由.1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：y = sinx,xwR；（2）余弦函数：y = cosx,xwR【问题驱动2】如何作出正弦函数y = sinx,A：w/?、余弦函数y = cosx,xe R的函数图象？2、正弦函数y = sinx,xe R的图像（1） y = sinx,xe [0,2^]的图像【方案1】一一几何描点法步骤1：等分、作正弦线一一将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；【方案2】一一五点法步骤1:列表一一列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 步骤2：描点一一定出五个关键点；小结：y = sin ［0,2^］的五个关键点是（0,0）.（2） y = sinx,xe /?的图像由 sin （2^ + x ） = sin x.ke Z ,所以函数 y = sinx 在区间［2R 龙,23 + 2龙］ （展Z,kH0）上的图像与在区间［0,2龙］上的图像形状一样，只是位置不同.于是我们只要将函数y = sinx,^G ［0,2龙］的图像向左、右平行移动（每次平行移动2龙 个单位长度），就可以得到正弦函数y = sinx,xe /?的图像。

正弦函数、余弦函数的图象[学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．知识点一 正弦曲线正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线．利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π2，…，2π等角的正弦线．③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如何得到y ＝sin x ，x ∈R的图象答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下：只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．知识点二 余弦曲线余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线．根据诱导公式sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x ，x ∈R .只需把正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度即可得到余弦函数图象(如图)．要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．思考 在下面所给的坐标系中如何画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象答案题型一“五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．解(1)取值列表：x0π2π3π22πsin x010－101－sin x10121(2)描点连线，如图所示：跟踪训练1 作函数y＝sin x，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系． 解 按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2πsin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x－1－1－2－1利用正弦函数的性质描点作图：由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．题型二 利用正弦、余弦函数图象求定义域 例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2的定义域．解 由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，16－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，sin x >0，作出y ＝sin x 的图象，如图所示．结合图象可得定义域：x ∈[－4，－π)∪(0，π)．跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．解 由题意得，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >025－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x >0－5≤x ≤5，作出y ＝cos x 的图象，如图所示．结合图象可得定义域：x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π，5.题型三 利用正弦、余弦函数图象判断零点个数例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数．解 建立坐标系xOy ，先用五点法画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y ＝sin x 的图象．描出点(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y ＝lg x 的图象，如图所示．由图象可知方程sin x ＝lg x 的解有3个．跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是 ． 答案 2解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图象，如图所示， 由图象，可知原方程有两个实数解．数形结合思想在三角函数中的应用例4 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．解 f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈π，2π].图象如图，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据图可得k 的取值范围是(1,3)．1．函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．直线x ＝π22．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A ．(π6，12)B ．(π2，1)C ．(π，0)D ．(2π，0)3．函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－12的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝ .4．利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图．5．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系．一、选择题1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同3．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10 4．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图象为( )5．如图所示，函数y ＝cos x |tan x |(0≤x <3π2且x ≠π2)的图象是( )6．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π 二、填空题7．函数y ＝log 12sin x 的定义域是 ． 8．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是 ．9．函数f (x )＝sin x ＋116－x2的定义域为 ．10．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为 ． 三、解答题11．用“五点法”画出函数y ＝12＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．12．根据y ＝cos x 的图象解不等式： －32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]．13．分别作出下列函数的图象． (1)y ＝|sin x |，x ∈R ； (2)y ＝sin|x |，x ∈R .当堂检测答案1．答案 D 2．答案 A 3．答案 3π 解析 如图所示，x 1＋x 2＝2×3π2＝3π. 4．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 3π2 2πsin x 0 1 0 －1 0 y ＝2－sin x21232(2)描点连线，图象如图所示：5．解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．由图象可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .课时精炼答案一、选择题2．答案 B解析 根据正弦曲线的作法可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同． 3．答案 A解析 在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．4．答案 D 解析 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x ，0≤x ≤π2或32π≤x ≤2π，0，π2<x <32π.显然只有D 合适．5．答案 C解析 当0≤x <π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ；当π2<x ≤π时，y ＝cos x ·|tan x |＝－sin x ； 当π<x <3π2时，y ＝cos x ·|tan x |＝sin x ，6．答案 D解析 作出函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象，函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分．利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积，又∵OA ＝2，OC ＝2π， ∴S 阴影部分＝S 矩形OABC ＝2×2π＝4π. 二、填空题7．答案 {x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z }解析 由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .8．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z .9．答案 (－4，－π]∪[0，π]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，16－x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π，－4<x <4⇒－4<x ≤－π或0≤x ≤π.10．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4 解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示：观察图象知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.三、解答题11．解 (1)取值列表如下：x 0 π2 π 32π 2πsin x 0 1 0 －1 0 12＋sin x 123212－1212(2)描点、连线，如图所示．12．解 函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示： 根据图象可得不等式的解集为 {x |π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3}．13．解 (1)y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x2k π≤x ≤2k π＋π，－sin x 2k π＋π<x ≤2k π＋2π(k ∈Z )． 其图象如图所示，(2)y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x x ≥0，－sin x x <0.其图象如图所示，。