第6章 三角函数 6.5 正切函数的图像与性质

2 2
4
小结：y=tanωx的周期T=
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
反馈练习：
例：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。
（1） tanx >0
（2）tanx <1
y
x
–/2
0
/2
y
1
x
–/2
0 /4 /2
（k，k+/2） kz （k–/2，k+/4）kz
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。

提示:奇偶性.
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?




提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学

定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}

R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间




(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)

(A)

(B)π
(C)2π
(D)4π

解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.

数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)




x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质

的定义域知 z≠kπ+π/2
∴ x+ π/4 ≠ kπ+π/2 ∴ x≠ kπ+π/4 k ∈Z
2、求函数y=tan(+ π/4)的性质 解析：
函数y=tan(-2x+ π/4)可看 成 y=-tan(2x-π/4)由此可 用函数y=-tanx的性质完 成。
3、不通过求值，比较大小 （1）tan1380与 tan1430
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
正切函数的 图象和性质
朱志良
1、复习正切三角函数线
y
. . . .. .. x . .
2 、正切函数的性质
定义域
X≠kπ+π/2 k ∈Z
值域
周期性
奇偶性
R
π
tan(-x)=-tanx 奇
单调性
(Kπ-π/2， kπ+π/2 ) k ∈Z 增函数
1、求y=tan(x+ π/4)定义域
解析：
令Z= x+π/4 根据y=tanZ
心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身

2
2
减区间：[2kπ ，2kπ 3π] （k Z）
4、奇偶性： 奇函数
2
2
正切函数的图像和性质
二、探究用正切线作正切函数图象
三角函数线 动画演示
移动 点
正弦线:MP
sinα=y = 0.764
余弦线:OM
cosα=x = 0.645
正切线:AT
tanα=y/x = 1.185
P: (0.645, 0.764)
3
变式问题
1：讨论函数
y
tan(
x
) 的性质。
63
变式问题 2：求函数 y 3 tan( x ) 的
63
周期和单调区间。
正切函数是周期函数，周期是π.
y
tan(
x
)(
0)
函数 f (x) A tan(x ) 的周期是什么？
解析：设此函数周期为T，则有 f (x T ) f (x)
又由 f (x T ) A tan[(x T ) ]
1.8
1.6
1.4
1.2
T
1
0.8
P
0.6
0.4
0.2
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
O
M 0.5
1A
1.5
2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
渐进线 渐进线
正 切 函 数 图 像
性质 :
⑴
定义域：
x
|
x
R,
x
k
2
,
k
Z
⑶ 周期性：
⑵ 值域： R

正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π

π + ,∈Z 求x 的范围,该范围就是不等式的解集.当 ω<0 时,先利
用诱导公式将 x 的系数变为正值,再进行上述步骤.
【变式训练 5】 求函数 y= tan + 1 + lg(1 − tan )的定义域
.
tan + 1 ≥ 0,
解:由题意得
即-1≤tan x<1.
1-tan > 0,
故函数的单调递增区间为
- , +
3 18 3
18
π
π
3x− ≠kπ+ (∈
3
2
即函数的定义域为 ≠
递减区间.
(∈Z),不存在单调
反思求函数y=Atan(ωx+φ),A≠0,ω>0的定义域和单调区间,可以通
过解不等式的方法去解答:把“ωx+φ(ω>0)”看作一个整体,借助正切
函数的定义域和单调区间来解决.若ω<0,则先利用诱导公式将x的
首先观察α,β是否在正切函数的同一个单调区间,若是,则直接运
用正切函数的单调性比较大小;若不是,则先利用诱导公式,将角α,β
π π
转化到正切函数的同一单调区间内,通常是转化到区间 - , 再运
内,
2 2
用正切函数的单调性比较大小.
19π
23π
与 tan
的大小.
7
8
19π
2π
2π
解:tan
= tan 3π= −tan ,
π
π
(2)由 T= , 得6π= , ∴
||
||
1
答案:(1)3π (2)±
6
1
-
3
π
+

正切函数图像和性质
一、复习 1.正切曲线的几何做法 2.正切函数图像
二、正切函数的性质 1.
函数 定义域
值域
y=tanx
{x | x R且x k ,
2
k Z}
R,没有最大 值和最小值
函数
周期性 奇偶性 单调性
y=tanx
tan(x)
最小 tan x
正周 期为 奇函数 π
4
{z | z k , k Z}
2
由x z k , 可得
4
2
x k
4
所以函数 y tan(x )的定义域是
4
{x | x k , k Z}
4
练习：求函数的定义域
(1) y tan x 2
(2) y 1
分析：(1) x1ktanx
2 A.y tan x
B.y cos x
C.y tan x 2
D.y tan x
C.令 x ，则y tan
2
tan（ ） tan
即 tan（ x ） tan x
2
2
f (x 2 ) tan x 2 tan（x ） tan x f (x)
分析：观察正切函数图像
(1){x | k x k , k Z}
2
(2){x | x k , k Z}
(3){x | k x k , k Z}
2
三、例题
例1 .求函数y=tan(x+4 )的定义域
解：令z x , 那么函数y tan z的定义域是
(1 )t an 1 3 8与t an1 4 3

到找横坐这标一（段把分x成轴8上等份 2）
把单位圆右半圆中
作出正切线。


2
找交叉点。
连线。
Y
O
X

3

2
2

3

2
y
3

3
2
2

2
o
x
tan(x) tan(x)
正切函数是奇函数，正切曲线
关于原点0对称
正切函数在开区间 k , k , k Z
内都是增函数。 2
2
x
|
x

2

k
,
k

Z

全体实数R
tan(x ) tan(x)
正切函数是周期函
数，T=
例1 求函数y tan(x ) 的定义域。
解：令
z x 4,
4
那么函数 y tan z的定义域是：
z
|
z


2
（2）正切函数的性质： 3


3
2
定义域：x
|
x

2

k
,
k

Z

2

2
值域： 全体实数R
周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期T=
奇偶性：奇函数，
单调性：正切函数在开区间
内都是增函数。


2

k
,
2

k
,
k

Z

k
,
k

Z

π
4
-2 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
π
分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作
4
整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区
间中,再利用单调性比较大小.
解:(1)原函数 y=-3tan 2π
π
π
π
正切函数的性质与图象
正切函数的图象与性质
(1)图象:如图所示.
π
正切函数y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z的图象叫做正切曲线.
2
(2)性质:如下表所示.
函数
性质
y=tan x

x x ≠ + k,k∈Z
2
定义域
值域
周期
奇偶性
单
调
性
对
称
性
R
π
奇函数
增
π
2
2
- + π, + π (k∈Z)
奇偶性、周期性.
分析:画y=tan x的图象→y=|tan x|的图象→研究性质
解:由 y=|tan x|得,
π
tan,π ≤ < π + (∈Z),
2
y=
其图象如图:
π
-tan,- + π < < π(∈Z),
2
由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数;
π
单调递增区间为 π, + π (k∈Z),单调递减区间为
π
π
2
2
显然- <2-π<3-π<1< ,
π π

94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
4
24
注意：不要与正弦型函数和余弦型函数的
周期公式混淆了…… 函数y=Asin(ω x+Ф )的周期
T 2
函数y=Acos(ω x+Ф )的周期
T 2
y
1
x
-3/2
- -/2
0 /2
3/2
-1
例3.比较下列各组数的大小
1 . tan1670 与 tan1730
2.tan(11 )与 tan(13 )
3 8
， 4
，
8
，8
，4
3 ，8
o
3 0 3
2 848
84 8 2
由正切函数的周期性，把图象向左、向右 扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线
y
y=tanx
1 x
-3/2 - -/2
0 /2

3/2
-1
从x图中2可k以看,(出k, 正Z切)曲所线隔是的由无被穷相多互支平曲行线的组直成线的.
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]