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【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第一讲：集合与命题(教师版)(数理化网)

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2016年竞赛与自主招生专题第一部分 近年来自主招生数学试卷解读从2015年开始自主招生考试时间推后到咼考后，政策刚出时，很多人认为, 是不是要在咼考出分后再考自主招生，是否咼考考完了，自主招生并不是失去其 意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目 只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距 .所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛 真题等，具有参考价值。

函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。

1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约 60% 左右。

、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料， 对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。

自主招生中，有不少 试题都来源于这些材料。

、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。

、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。

高频考点一览：试题特点分析:1. 突出对思维能力的考查。

n n n【2014年北约】已知x ^^i =1,2, ...n ）叮X =1.求证：□（ 72+人）二（血+1）.i zt i zt【解析】不等式；柯西不等式或 AM -GM 平均不等式.法一：AM -GM 不等式.调和平均值 H n = —— g =也 （J 2+X i ），送〔止J总的来说, 应试策略:n血+X i )，=■厂斗［y^+X i丿X i'令右（0 + X i ）彳耳（Q+X i可得血一n 二料（渥+X i（7^+1 n n 上述两式相加得? -匹料（后X i ） 1 红4〕i W+X i 丿即（近 +1 ）＜和（72 +X i ），即（72十1 i 兰叮（72+X i）n法二：由n X i =1.及要证的结论分析，由柯西不等式得i 土（72+x）仿+ 丄'（血+1）2，＜X i丿1 n n 1从而可设y =—，且n y i =n 一—1.从而本题也即证X 土X n (d + yi )工(72+1)".i 二从而n（72+x）（刁+丄*（72+1），即n（72+x W2 + yi）工（/2+1），i V X i 丿in n假设原式不成立，即n （72+x ）＜（血+1、，则n （迈+ y）＜（v2+o.i ±i ±n_ L —2n从而n （V2十X帖+ yi ）＜W2 +1），矛盾得证.i2.注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。

【2014年北约】10、已知实系数二次函数f（x ）与g（x） f （x）=g（x ）和3f（x）+g（x）=0有两重根，f（X ）有两相异实根，求证：g（X ）没有实根.【解析】设f(X )=ax2+bx +c, g(X )=dx2+ex+ f,则由f（X ）=g（X ），可得(a -d J x2+(b -e )x +(c - f )=0, A = (b -e S -4(a -d 辽-f )= 0.由3f(X )+g(x )=0 可得2 2(3a +d ]x +(3b +e 卜 +(3c + f ) = 0,i =(3b +e ) -4(3a +d x 3c + f )= 0.2 2 O Q 2化简得 3b +e =12ac+4df,即 e -4df =3(4ac-b )又 b —4ac>0.2/.e -4df v O ,". g (x 没有实根.二、 应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学 生平时要把基础知识打扎实。

剩下的就是个人的现场发挥。

2. 注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵, 行列式等也不可忽视。

3. 适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。

同学们可适当地训练近几年自己所考的高校 自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。

总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高 临下的感觉。

2016年竞赛与自主招生专题第一讲一、 知识补充：容斥原理 基本公式：(1)card(A U B) = card(A) + card(B) — card(A n B) ； (2)card(A U BUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A n B)-card(A n C)-card(B n C)+card(A n B n C)■lk3-2问题：开运动会时，高一某班共有 28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛, 有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3人，没有人同时参加三项比赛，问同时 参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？:集合与命题（教师版）解：设A=｛参加游泳比赛的同学｝，B= ｛参加田径比赛的同学｝，C=｛参加球类比赛的同学｝,贝U card（A）=15 ,card（B）=8 , card（C）=14 ,card（A U BU C）=28,且 card（A n B）=3，card（A n C）=3，card（A n BA C）=0,由公式②得 28= 15+8 + 14-3 — 3- card （B n C）+0,即card（B n C）=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有 3人，而只参加游泳比赛的人有15- 3- 3= 9（人）二.抽屉原理抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。

证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素,从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。

例1.已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。

证明: 至少有两个点之间的距离不大于2.分析：5个点的分布是任意的。

如果要证明“在边长为 1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于2的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界）距离便不大于2。

以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。

A■ \如图2,设BC是△ ABC的最大边，P，M是^ABC内（包括边界）任意两点，接PM过P分别作AB BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为 P、Q N,那么/ PQNh C,/ QNPh A 因为 BO AB 所以/ A>/ C,则/ QNP >/ PQN而/ QMR/ QNP^/ PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ > PM显然BO PQ故BO PM由此我们可以推知，边长为2的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于2。

三、针对性训练 1.对集合｛1 , 2,…，n ｝及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和” 如下：按照递减的次序重新排列该子集，果，例如，集合｛124歸｝]的“交替和”解：集合｛1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7｝的子集中，除去｛7｝外还有尹-〔2个非空子集 合，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设4| 卫丿丄M 吶+⑺这是把4电结合为-组,中，“交替和”之和应为7,共有（2什 7*(27彳2”2+|7-448。

2. n 元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子集，求出与它不交的子集个数，然后就可以求 出总的子集对来了。

解：如果子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则 第一个子集若是k 个元素，第二个子集就由其余n-k 个元素组成，可能的情况是 B种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为 种，那么k 从0变到n,总的情。

如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则 歹对有序子集对中有一对是由两个空集组成, 而对其它3"+】个有序对，每一对中交换两个子集的次序，得到的是同一个无序子（3汨1）农 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集 对的总数为咄训2*]1-（3卄酗2分析二：我们可以从元素的角度来思考问题。

对一个元素来说，它有三种不同的 选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。

解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个 子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对 的总数歹，以下同解法一。

3. 以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：①P 中的元素有正数，有负数；②P 然后交替地减或加后继的数所得的结 是9-6+4-2+1=6. fe 研的“交替和”是6-5=1，⑵的交替和是2。

那么，对于 n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

组.所以,所有“交替和”之和应该为 集对，因此有中的元素有奇数,有偶数；③一K P ；④若x, y € P,则x + y € P。

试判断实数 0和2与集合P的关系。

解：由④若x，y € P ,则x + y € P可知，若x € P，则kx壬P (心N)(1)由①可设x，y € P，且x > 0， y < 0，则一y x = | y | x (| y | € N ) 故x y , — y x € P ,由④，0 = ( — y x)+ x y € P。

(2) 2芒P。

若2€ P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当一(2k+1)€ P(k忘N )时，一1=(—2k-1) + 2k € P，与③矛盾。

于是，由②知 P中必有正奇数。

设_2m,2 n—1亡P (m, n^N)，我们取适当正整数q,使q q -2m >2n -1，则负奇数-2qm + (2n -1)迂P。

前后矛盾。

4.若S I,S2,S3为非空集合，对于1, 2, 3的任意一个排列i ,j,k，若x忘S i,y忘S j ,(1)证明：三个集合中至少有两个相等。

(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：(1 )若X亡g,y忘S j，则y-x€S k,(y-x)-y = -x€ S i所以每个集合中均有非负元素。

当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。

否则，设S1, S2,S3中的最小正元素为a，不妨设a亡S1，设b为S2, S3中最小的非负元素，不妨设b壬S2,则b — a € S3。

若b >0,则0W b —a < b，与b的取法矛盾。

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第一章-集合与命题

第一章-集合与命题

第一章 集合与命题 （一）集合的概念与运算 【集合的基本概念】❖ 知识点归纳 1. 集合的定义: 2. 集合的特征: 3. 集合的表示法: 4. 集合的分类: 5. 数集: 6. 集合的关系: 7. 集合的运算: 8. 集合的运算性质:❖ 例题讲解 例1(1) 已知集合{}3M x x n n ==∈Z ，，{}31N x x n n ==+∈Z ，，{}31P x x n n ==-∈Z ，，且a M ∈，b N ∈，c P ∈，设d a b c =-+，则( ).A. d M ∈B. d N ∈C. d P ∈D. 以上都不正确 (2) 若集合2442k k A x x k B x x k ⎧⎫⎧⎫ππππ==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，，，，则( ).A. A B =B. B ⊂≠AC. A ⊂≠BD.AB =∅例2 写出满足{},M a b ⊆的所有集合M .例3 已知集合{}2340A x x x x =--<∈R ，，求A N 的真子集的个数.例4 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}2A B =，∁{}()1,9U A B =，∁{}4,6,8U A B =，求集合A 、B .(1) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(2) {}{}22(,)23(,)213A x y y x x x B x y y x x x ==--∈==-++∈R R ，，，；(3) {}{}2223213A y y x x x B y y x x x ==--∈==-++∈Z Z ，，，.例6同时满足下列两个条件: ①{}1,2,3,4,5M ⊆，②若a M ∈，则6a M -∈，这样的集合M 有多少个? 写出这些 集合. 例7 已知集合{}{}222280320A x x x x B x x ax a x =--<∈=-+=∈R R ，，， (1) 实数a 在什么范围内取值时，B ⊂≠A ?(2) 实数a 在什么范围内取值时，AB =∅.❖ 回顾反思 1. 主要方法:① 解决集合问题，首先要分析集合中的元素是什么； ② 抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验；③ 弄清集合元素的本质属性，正确进行“集合语言”和“文字语言”的相互转化； ④ 了解空集的意义，在解题中强化空集的意识； ⑤ 借助数轴和文氏图进行求解. 2. 易错、易漏点:① 辨清: 子集、真子集、非空真子集的区别。

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《1集合》

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《1集合》

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：课题集合与简易逻辑教学目的教学内容1.知识网络1、集合2、简易逻辑二、命题分析1．高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2012年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大．2．高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况．命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2012年这里出解答题的可能性不大．三、复习建议1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用．提高以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分率．2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思想．4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位、判断要准确，A ．M ＝NB ．M ⊂NC ．M ⊃ND ．M ⊆N [分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解． [答案] A[解析] 由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R)，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R)，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1. 故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.[点评] 一般地，对于两个或两个以上集合，要判断它们之间的关系，应先将集合进行化简，弄清每一个集合中的元素的个数或范围，然后判断集合间的关系.3.命题方向：集合的运算[例3] (2011·广东中山质检)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[分析] 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数． [解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3； 当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a 的值为－1或－3； (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤－3.[点评] (1)在解答过程中易出现求得a 值后不验证是否适合题意或在B ⊆A 中漏掉B ＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；(2)解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的 ． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 ．4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论． （三）基础自测1．(2010·江西文)对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“2ac >2bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本题考查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，2ac >2bc ⇒a >b (已认可2c >0)成立， 而a >b ⇒2ac >2bc ，∵c ＝0，不适合，故选B.2．(2010·天津理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2011·银川模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、p ：α<β，q ：tan α<tan β.[解析] (1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2， 故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立；反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1. 当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ， 因此，p 是q 的充分不必要条件． (3)∵l ∥α⇒ l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时， 正切函数y ＝tan x 是单调递增的，∴当α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且α<β时，tan α<tan β，反之也成立． ∴p 是q 的充要条件．[点评] 充分条件与必要条件的判断方法有： 1．利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒ q ，且q ⇒ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊂B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；。

【精品课件】2016年竞赛与自主招生专题第五讲：函数与方程(教师版)(数理化网)

【精品课件】2016年竞赛与自主招生专题第五讲：函数与方程(教师版)(数理化网)

2016 年竞赛与自主招生专题第五讲 函数与方程 从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。

自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。

热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。

而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。

一、知识精讲一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：242b b ac x a--= 2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12c x x a=g （韦达定理） 3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥．（2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥．（2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤．3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ．三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. 方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。

高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)

高中数学竞赛特级教师培训教材(49页)

高中数学竞赛培训教材编者：全国特级教师(一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。

它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。

对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。

如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。

一、学习集合要抓住元素这个关键例1．设A＝{X∣X=a2+b2,a、b∈Z}，X1，X2∈A，求证：X1X2∈A。

分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,N∈Z 证明：设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z.则X1X2＝(a2+b2)(c2+d2)＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2＝a2c2+2ac·bd+b2d2+b2c2-2bc·ad+a2d2＝(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A练习:1.设两个集合S={x|x=12m+8n,m,n∈Z},T={x|x=20p+16q,p,q∈Z}.求证：S=T。

2.设M={a|a= x2-y2,x,y∈Z}.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(k∈Z)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。

3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,b∈R,且A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]}.(1)求证:A B;(2)若A={-1，3}时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2．已知集合M＝{X，XY，lg(xy)}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则(X＋1/Y)＋(X2＋1/Y2)＋……＋(X2002＋1/Y2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。