2021自主招生讲义 第一讲 方程与多项式

1、一元整式方程2、分式方程3、无理方程 不定方程一、一元整式方程的解法 1、基本公式（1）关于x 的一次方程()00ax b a +=≠的解为b x a=-（2）关于x 的二次方程()200ax bx c a ++=≠的解为x =（3）()()()()1122n n f x a x b a x b a x b =++⋅⋅⋅+，则方程()0f x =的解为111b x a =-，…，nn nb x a =-（4）韦达定理：已知()200ax bx c a ++=≠，则12b x x a +=-，12c x x a⋅=二、在解高次方程，分式和无理方程时，常常会用到换元法三、不定方程形如4x y +=，3x y z ++=，111x y+=的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程，这些方程的解释不确定的，通常研究：（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少个解？（3）求不定方程的整数解或正整数解对于二元一次不定方程问题，有以下两个定理：对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法．一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1、求方程()101xy x y －＋＝的整数解．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地． 例2、求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多． 例3、求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，． 运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例4、证明：不定方程22386x y z ＋－＝没有整数解．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理．例5、证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．变式练习：1. 解下列方程（1）()()()()234544x x x x ++--=（2）()244626x x +-=三、一元高次方程例1、解方程：322480x x x --+=例2、解方程()()()2673416x x x +++=例3、()()443182x x +++=例4、解方程组：222444020560x y z x y z x y z ++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩变式练习： 2.解下列高次方程()()44132720x x +++-= 43223320x x x x +-++=四、分式方程例1、解方程2247272180 14x x xx x x+-+-= -+例2、45785689 x x x xx x x x-----=-----例3、22221212 x x x xx x x x++-+=--+-五、无理方程=-例13变式练习：1. 解下列方程（1）21830x x ++=（2）0=六、不定方程例2、求方程63823x y +=-的整数解.2、多元一次不定方程（组）的整数解多元一次不定方程的整数解问题可转化为二院一次不定方程来求解 例3、求方程12836100x y z ++=的所有整数解变式练习：3、—个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字之和等于21,则小明摸出的球中红球个数最多为几个？1、【2011年华二】已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =2、【2011年华二】关于x 、y的方程组1x y x yx y-+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解3、【2012年华二】方程22222x y z w u +++=共有 组整数解4、【2013年复附】已知221766xy x y x y xy ++=⎧⎨+=⎩，求432234x x y x y xy y ++++的值；5、【2013年上中】13. 解方程组2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩6、【2014年复附】方程2354235x x x x +=----的根为 ．7、【2014年华二】解关于x 的方程1|2|32x a --=.8、【2016年交附】解方程：22321x x -+=.9、若实数x ，y ，z ，满足14x y +=，11y z +=，173z x +=，求xyz 的值．10、已知2a ≥x =的所有实根之和．11、解方程()()()()214719x x x x -+++=11、求方程2432x x y y y y =＋＋＋＋的整数解． 答案：求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ① 下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋()222212y y y y ＝＋＋－＋()2222341y y y y ＝＋＋＋＋，从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋． 由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立．因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是（x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）．例5 解方程(x －2)(x ＋1)(x ＋4)(x ＋7)＝19．基本思路 利用对等性，配对相乘(x －2)(x ＋7)，(x ＋1)(x ＋4)，整体代换y ＝x 2＋5x－5，转化为y 2＝100．解 两两相乘，考虑整体代换．[(x －2)(x ＋7)][(x ＋1)(x ＋4)]＝19，(x 2＋5x －14)(x 2＋5x ＋4)＝19．令222(514)(54)552x x x x y x x +-++==+-，则有 (y －9)(y ＋9)＝19，即 y 2－81＝19，解得 y 1,2＝±10．当y ＝10时，x 2＋5x －5＝10，解得1,2x =；当y＝10时，x2＋5x－5＝－10，解得3,4x=；若实数x，y，z满足x＋1y＝4，y＋1z＝1，z＋1x＝73，求xyz的值．基本思路题中有三个元x，y，z，可先化为关于一个元如x的关系式，进而转化为x 的一元二次方程．解因为4＝x＋1y＝x＋111z-＝x＋1zz-．＝x＋7137113xx---＝x＋7343xx--，则有 4(4x－3)＝x(4x－3)＋7x－3，即 (2x－3)2＝0，得x＝32．所以z＝713x-＝53，y＝11z-＝25．于是xyz＝1．思考如果x＋1y＝y＋1z＝z＋1x，x，y，z是实数，问xyz的值是多少？1、已知a≥2x的所有实根之和．基本思路引入另一个元y，以x，y形式构成等式y2－x－y＝x2，简化为x＋y＝0或x－y＝－1．然后，求解方程x＋1．解由题得x≥0，又a≥2，则a＋x＞0，a，且a＝x2．y，则a≥y＞0，且a－y＝x2．又y2＝a＋x，于是y2－x－y＝x2，得－(x＋y)＝(x－y)(x＋y)．而x ＋y ＞0，所以x －y ＝－1，即x ＝－1，整理得x ＋1，两边平方得 x 2＋x ＋1－a ＝0．解得 x 1，2．又x ≥0，所以满足要求的实数根为x故原方程的实根之和为x例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足 253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ① 没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求 6()22382mod8x y z ≡＝＋－， 矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且 ()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜，于是 3d ≤．分别令1d ＝、2、3代入，得 222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解．解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ① 由①式得 25105y ≤，所以 4y ≤． 当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）． 当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解．上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例1 求方程()101xy x y －＋＝ ①的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）．分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）．。

方程、不等式（组）、多项式知识点总结一、一元一次方程的概念1、方程 含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程），（0为未知数0≠=+a x b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。

二、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

三、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。

3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

自主招生讲义（上）第一讲函数的性质 (3)一、知识要点 (3)二、热身练习 (6)三、真题讲解 (7)四、强化训练 (9)第二讲导数 (14)一、知识方法拓展 (14)二、热身练习 (16)三、真题精讲 (17)四、重点总结 (19)五、强化训练 (19)第三讲微积分初步 (30)一、知识方法拓展 (30)二、热身练习 (32)三、真题讲解 (33)四、重点总结 (36)五、强化训练 (36)六、参考答案 (41)第四讲方程与根 (44)一、知识方法拓展 (44)二、热身训练 (46)三、真题精讲 (48)四、重点总结 (50)五、强化训练 (50)第五讲基本不等式及其应用 (56)一、知识方法拓展 (56)二、热身练习： (57)三、精讲名题： (58)四、强化训练 (60)第六讲不等式的证明与应用 (63)一、知识方法拓展 (63)二、热身练习： (64)三、精解名题： (65)四、强化训练 (68)第七讲递推数列 (70)一、知识方法拓展 (70)二、热身练习 (73)三、真题精讲 (74)四、重点总结 (77)五、强化训练 (77)第八讲数列求和，极限和数学归纳法 (81)一、知识方法拓展 (81)二、热身练习 (82)三、真题精讲 (83)四、重点总结 (88)五、强化训练 (88)第一讲 函数的性质一、知识要点1、映射对于任意两个集合,A B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素,x 在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称:f A B →为一个映射，记作:,f A B →其中b 称为像，a 称为原像。

如果:f A B →是一个映射且对任意,,,x y A x y ∈≠都有()(),f x f y ≠则:f A B →是A 到B 上称之为单射.如果:f A B →是映射且对任意,y B ∈都有一个x A ∈使得(),f x y =则称:f A B →是A 到B 上的满射.如果既是单射又是满射，则:f A B →是A 到B 上叫做一一映射.如果是从集合A 到集合B 上的一一映射，并且对于B 中每一个元素b ，使b 在A 中的原像a 和它对应，这样所得的映射叫做:f A B →的逆映射，记作1:.f B A -→2、函数方程问题（1）代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得位置函数例.设220,,ab a b ≠≠求()1af x bf cx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. （【解析】分别用1,x x t t ==带入）（2）待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可待定系数而求解.例.已知()()1f x f x =是一次函数，()()()1n n f x f f x -=且()1010241023f x x =+，求()f x . （【解析】设()()0f x ax b a =+≠求解）3、函数对称性以及周期性1）已知函数()y f x =，若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于：直线x a =对称，则()g x =()2f a x -；:f A B →:f A B →直线y b =对称，则()()2g x b f x =-；点(),a b 对称，则()()22g x b f a x =--。

多项式与方程在数学领域中，多项式与方程是两个重要的概念。

多项式是由各种代数运算和数学符号组合而成的一个表达式，而方程则是由等于号连接的两个多项式的表达式。

本文将介绍多项式与方程的概念、性质及其在数学问题中的应用。

一、多项式的定义和性质1. 多项式的定义多项式是由数字和变量的乘积相加减而成的表达式。

例如，下面是一个多项式的例子：f(x) = 3x^2 + 5x - 2这个多项式由三个项组成，分别是3x^2、5x和-2。

其中，3、5和-2是系数，x是变量，2、1和0是x的次数。

多项式的次数是指最高次项的次数，上述多项式的次数是2。

2. 多项式的性质多项式具有以下性质：a) 多项式的项数有限，每一项都是数字和变量的乘积；b) 多项式的每一项可以按照次数从高到低排列，次数越高，其项在多项式中的位置越靠前；c) 多项式的系数可以是实数或复数。

二、方程的定义和性质1. 方程的定义方程是由等于号连接的两个多项式的表达式。

例如，下面是一个方程的例子：2x^2 + 3x - 5 = 0这个方程由左边的多项式2x^2 + 3x - 5和右边的0相等。

解方程的过程就是找到满足等式的变量的值。

2. 方程的性质方程具有以下性质：a) 方程的解是使得左右两边多项式相等的变量的值；b) 方程可以有一个或多个解，也可以没有解；c) 对于一元方程，解即是变量的值，可以通过代入验证是否满足等式。

三、多项式与方程的应用多项式和方程在数学问题中广泛应用，例如：1. 描述现实生活中的问题：多项式可以用来描述一些实际问题，如物体的运动、人口的增长等。

方程则可以用来求解这些问题，找到使得问题成立的变量的值。

2. 数据拟合：通过已知的数据点，可以构建多项式函数来拟合这些数据。

通过求解方程，可以找到最佳拟合的多项式函数，从而预测未知的数据点。

3. 几何问题：多项式和方程在几何问题中也有广泛应用，如求解直线与曲线的交点、计算图形的面积和体积等。

总结：多项式与方程是数学中重要的概念，在数学问题的建模和解决过程中起到关键作用。

第二讲 方程知识要点一、代数方程分类：①整式方程；②分式方程；③无理方程. 二、解方程的基本思想： ①化分式方程为整式方程；②化高次方程为一次或二次方程； ③化多元为一元；④化无理方程为有理方程.总之，最后转化为一元一次方程或一元二次方程. 三、解方程的基本方法：①解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法.②解分式方程：一般采用去分母，换元法，重组法，两边夹等方法.③解无理方程：一般采用两边平方，根式的定义、性质、换元，几何构造，构造三角函数. 四、二次方程中的韦达定理：我们一般在初二的时候学习韦达定理，利用韦达定理可以解决很多根与系数方面的问题，韦达定理（根与系数的关系）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=. 各位同学，还记得推导过程吗？ 证法一：（求根公式推导）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式是x =.则12b x x a +=-，12c x x a=. 证法二：（待定系数法）若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，那么方程可以表示为()()120a x x x x --=系数一一对应，就可以得到12b x x a +=-，12cx x a=. 例题精讲1. 已知关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无穷多个解，那么a 、b 值应分别为__________.2. 方程2121x x x -+-=+的实数解的个数是__________.3. 求方程()()323223247615180x x x xx x x x -+---++-+=全部相异实根.4. 解方程组11121113111.4x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩，，5. 设1x 、2x 为方程()()222350x k x k k --+++=的两个实根，求2212x x +的最大值与最小值.6. 若k 为正整数，且关于x 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值.7. 关于x 的二次方程()()2222682644k k x k k x k -++--+=的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值.8. 关于x 的方程4324520x x mx nx -+++=的四根成等差数列，求方程的解.9. 若222222222222222222222222222222222222222222222222121232527141434547161636567181838587x y z u xy z u x y z u x y z u ⎧+++=⎪----⎪⎪+++=⎪⎪----⎨⎪+++=⎪----⎪⎪+++=⎪----⎩，，，，那么，2222x y z u +++的值为__________.10. 设a 、b 、c 分别为ABC ∆的三边，求证：关于x 的二次方程()2222220b x b c a x c ++-+=无实根.11.1=. 习题巩固12. 方程22320060x xy x y --++=的正整数解()x y ，共有多少对？13. 解方程组：2222,2,2.x yz x y zx z z xy y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩14. 求所有正实数a ，使得方程240x ax a -+=仅有整数根.15. 是否存在质数p 、q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？ 16. 求所有有理数r ，使得方程()()2110rx r x r +++-=的所有根为整数.17. 设方程2310x x -+=的根α、β也是方程620x px q -+=的根，试求整数p 、q 的值.18. 设a 与b 为方程210x px ++=的两个实根，c 与d 为方程210x qx ++=的两个实根.求证：()()()()22a c b c a d b d q p --++=-.19. 设r 、s 、t 是方程38100120160x x ++=的三个根，求()()()333r s s t t r +++++的值.20. 已知p 为质数，使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，求出所有可能的p 的值.21. 已知方程()()810x a x ---=有两个整数根，求a 的值.22. 已知关于x 的二次方程()22320ax a x a --+-=至少有一个整数根，求负整数a 的值. 自招链接23. 若方程()()2214x x k --=有4个非零实数根，且它们的数轴上对应的4个点等距离排列，求k 的值.24. 解方程组()()()222222123x y z y x z z x y ⎧=+-⎪⎪=+-⎨⎪=+-⎪⎩，，.参考答案例题精讲1. 因为关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-，即()328237a b x a b +-=+-有无穷多个解.所以33802370a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，，可得21a b =⎧⎨=⎩，.2. 当1x ≤-时，原方程化为()()()2121x x x ----=-+，解得2x =（舍去），所以方程无解； 当112x -<≤时，原方程化为()()2121x x x ----=+，解得12x =，所以12x =； 当122x <≤时，原方程化为()()2121x x x ---=+，解得x 为任意实数，所以122x <≤； 当2x >时，原方程化为()()2121x x x -+-=+，解得2x =（舍去），所以方程无解.综上所述，原方程的解为122x <≤；那么实数解的个数是无数个. 3. 设3235222x x x A --+=，25922x x B -+=则原方程化为 ()()690A B A B B -++-=，则 22690A B B -+-=，即()2230A B --=，即 ()()330A B A B -++-=，可得30A B -+=或30A B +-=.因此有32235592302222x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+--++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，或32235592302222x x x x x ⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则32440x x x --+=或32310x x x -++=.因此 ()()2140x x --=或()()21210x x x ---=，可得1x =或2x =±或1x =±所以，原方程的根为121x x ==，32x =，42x =-，51x =，61x =.4. 原方程组化为()()()234.xy xz x y z yz yx x y z zz zx x y z +=++⎧⎪+=++⎨⎪+=++⎩，，令x y z k ++=，则234xy xz k yz yx k zx zy k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，①，②，③()2++÷①②③，得92xy yz zx k ++=，④由④分别减去①、②、③得125232xy k yz k zx k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，⑤，⑥，⑦4xyz =⑧由⑧分别除以⑤、⑥、⑦得6x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩所以x y z k ++===，解得52930k =. 所以原方程组的解为231023623.2x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，，5. 因为关于x 的一元二次方程()()222+350x k x k k --++=有两个实根，所以()()2224135k k k ∆=---⨯⨯++⎡⎤⎣⎦()231616k k =-++()()43+40k k =-+≥，可得443k -≤≤-. 由韦达定理，得()12221k x x k --+=-=-，221235351k k x x k k ++==++所以 ()2221212122x x x x x x +=+-()()222235k k k =--++()22106519k k k =---=-++.当4k =-时，()()22212max51918x x k +=-++=；当43k =-时，()()22212min 505199x x k +=-++=.6. 原方程变形、因式分解为()()()211631720k k x k x +---+=，()()112160k x k x +---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.即1121x k =+，261x k =-. 由121k +为正整数得k =1，2，3，5，11；由为正整数得k =2，3，4，7. 所以k =2，3使得1x 、2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以只有2k =为所求.7. 一元二次方程的整数解的典型难题，由根为整数无法得知实数k 是否为整数，解题的基本思路是消去实数k ，得到关于整数解1x 、2x 的典型方程. 由()()2222682644k k x k k x k -++--+=可知，()()()()42220k x k k x k -+--++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故124k x k -=--，222k x k +=--.（由题意可知，26802k k k -+≠⇒≠且4k ≠） 因为122144k x k k -⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，224142k x k k +⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，于是有1241k x -=-+，2421k x -=-+，两式相减可得，2142211x x =-+++，则121320x x x ++=.故()1232x x +=-，从而可知，12132x x =⎧⎨+=-⎩，；或12132x x =-⎧⎨+=⎩，；或12231x x =⎧⎨+=-⎩，；或12231x x =-⎧⎨+=⎩，； 又11x ≠-且21x ≠-，故1215x x =⎧⎨=-⎩，；或1224x x =⎧⎨=-⎩，；或1222x x =-⎧⎨=-⎩，. 故6k =，3，103. 注：得出122144k x k k -⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，后224122k x k k +⎛⎫=-=-+ ⎪--⎝⎭，直接有41k -=±，2±；21k -=±，2±，4±，由于上述两个等式是同时成立的，故这样的k 只能取6k =，3.此法不严密，如果是整数，此法可用，如果不是，就不能用.8. 首先我们推导一下四次方程的韦达定理.设4个根分别为：1x 、2x 、3x 、4x ，则有()()()()12340x x x x x x x x ----=，展开：()()22121234340x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-++-++=⎣⎦⎣⎦，()()()22321234123413142324x x xx x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++，()13423412312412340x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++=，根据韦达定理（根与系数的关系）有：()1234x x x x -+++为3x 项的系数；123413142324x x x x x x x x x x x x +++++为2x 项的系数；()134234123124x x x x x x x x x x x x -+++为x 项的系数；1234x x x x 为常数项.下面我们来解答这道试题.根据题意，设根为3a b -，a b -，a b +，()30a b b +>，那么根据推导的韦达定理有：()()()()334a b a b a b a b -+-++++=；（3x 项根与系数的关系） ()()()()3352a b a b a b a b --++=；（常数项根与系数的关系）上面两个式子化简，得44a =，即1a =，代入第二个式子得()()()()13131152b b b b -+-+=，则()()2219152bb --=，即42910510bb --=，可知23b =或2179b =-（舍）.又0b >，所以b =1a =，b =故原方程的解为11x =-21x =，31x =，41x =+. 注：有兴趣的同学可以尝试求出m 、()2456n m n =-=，. 9. 已知条件的结构特征，可构造一个关于t 的方程2222222211357x y z u t t t t +++=----， 则22、24、26、28是关于t 的方程2222222211357x y z u t t t t +++=----的根. 将2222222211357x y z u t t t t +++=----化为整式方程，得 ()4222232234840t x y z u t a t a t a -+++++++=.由一元次方程的根与系数的关系，得22222222246884x y z u +++=++++.所以222236x y z u +++=.10. 关于x 的二次方程()2222220b x b c ax c++-+=的判别式为()222224b c a b c ∆=+--⨯⨯()()22222222b c abc bc a bc ⎡⎤⎡⎤=+--+-+⎣⎦⎣⎦ ()()2222b c a b c a ⎡⎤⎡⎤=+---⎣⎦⎣⎦()()()()b c a b c a b c a b c a =+++--+-- ()()()()a b c b c a a b c c a b =-+++-+-+-.因为在三角形中两边之和大于第三边，即a b c +>，b c a +>，c a b +>，所以0a b c +->，0b c a +->，0c a b +->.因为0a b c ++>，所以()()()()0a b c b c a a b c c a b ∆=-+++-+-+-<. 所以关于x 的二次方程()2222220b x b c ax c++-+=无实根.11.（法一）设a =b =，原方程化为1a b +=，因为3361a b +=，又因为()()()()233223a b a b a ab b a b a b ab ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦，所以20ab =-.所以a 、b 是二次方程2200y y --=的两个根，而()()540y y -+=，5y =或4y =-；所以54a b ⎧==⎪⎨==-⎪⎩，，或45a b ⎧==-⎪⎨==⎪⎩，，所以80x =或109x =-.经检验，180x =，2109x =-是原方程的根.0=.a =b =c =所以原方程化为0a b c ++=. 因为()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，所以3333a b c abc ++=，即()()()451613x x ++-+-=，20=2+2987200x x -=，()()801090x x -+=，解得80x =或109x =-；经检验，180x =，2109x =-是原方程的根.习题巩固12. 本题利用因式分解比较复杂，不易得出，注意到y 的最高次数是一次，用x 来表示y ，题目迎刃而解.223200620052111x x y x x x -+==-+--.由x 、y 均为正整数，可得，5，401，2005.所以方程共有四对正整数解.13. 222222.x yz x y zx z xy y ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，，z①+②+③得222222x y z xy yz zx x y z +++++=++，即()2x y z x y z ++=++，()()10x y z x y z ++++-=，0x y z ++=或1x y z ++=.（1）当0x y z ++=时，()x y z =-+，代入②和③，得2222y z z yz =++， 2222z y y yz =++，由④－⑤得()223y zz y -=-，()()3310y z y z -++=，解得y z =或13y z +=-. 若y z =，代入④，得230y y +=，()310y y +=，0y =或13y =-. 所以009x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，，或231313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，，，，若13y z ==-，则13x =代入①，得19yz =，无实数解. （2）当1x y z ++=时，1x y z =--，代入②和③，得2222y z z yz +=+，2222z y y yz +=+.由⑥－⑦得()223y zy z -=-，()()3310y z y z -+-=，解得y z =或13y z +=. 若y z =，代入⑥，得230y y -=，()310y y -=，0y =或13y =. 所以100x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，或131313x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，，. 14. a =16，18，2515. 本题虽然形式上是有理数根的问题，但是因为p 、q 都是整数，则∆也为整数，要求方程有有理数根，那么∆为平方数 ，和例题3、例题4的本质相同.令2224q p n ∆=-=，其中n 是一个非负整数，则()()24q n q n p -+=.由于1q n q n ≤-≤+，且q n -与q n +同奇偶，故同为偶数.因此，有如下几种可能情形：222q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，24q n q n p -=⎧⎨+=⎩，，4q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，22q n p q n p -=⎧⎨+=⎩，，24.q n p q n ⎧-=⎨+=⎩，消去n ，解得21q p =+，222p q =+，52p q =，2q p =，222pq =+. 对于第1、3种情形，2p =，从而5q =，对于第2、5种情形，2p =，从而4q =（不合题意，舍去），对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）. 又当2p =，5q =时，方程为22520x x -+=，它的根为112x =，22x =，它们都是有理数.综上所述，存在满足题设的质数.16. 首先对0r =和0r ≠进行讨论.时.0r =原方程是关于x 的一次方程，0r ≠时，原方程是关于x 的二次方程，由于r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或判别式来做，均不能奏效.可用韦达定理，先把这个有理数r 消去. 当0r =时，原方程为10x -=，所以1x =.当0r ≠时，原方程是关于x 的一元二次方程，设它的两个整数根为1x 、2x ，且12x x ≥，12121111x x r x x r ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，则消去r 得()()1121212213211311x x x x x x x x -=⎧--=⇔--=⇔⎨-=⎩，，或121113x x -=-⎧⎨-=-⎩，.即1242x x =⎧⎨=⎩，，或1202x x =⎧⎨=-⎩，，所以121117r x x ==--或1. 综上所述，当17r =-，0，1时，方程的所有根都是整数. 17. 因为α、β是方程2310x x -+=的两个根，()2341150∆=--⨯⨯=>，所以由韦达定理，得3αβ+=，1αβ=，αβ≠，从而()222223217αβαβαβ+=+-=-⨯=， ()()22442222272147αβαβαβ+=+-=-⨯=因为α、β是方程620x px q -+=的根，所以626200.p q p q ααββ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 因为αβ≠，所以()()66442222244222222.11p q αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=⎪-⎪⎪⎨-=+⨯⎪⎪-⎪⎩=++=47+1=48，==17=7 18. 由韦达定理，得a b p +=-，1ab =，c d q +=-，1cd =因为()()()221a c b c c a b c ab c pc --=-++=++， ()()()221a d b d d a b d ab d pd ++=+++=-+，又因为c 与d 为方程210x qx ++=的两个实根，所以210c qc ++=，210d qd ++=即21c qc +=-，21d dq +=-所以()()()21a c b c c pc c q p --=++=--，()()()21a d b d d pd d q p -+=-+=-+，所以()()()()()()22a cbc ad b d c q p d q p q p --++=---+=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.19. 因为三次方程没有2x 项，所以它的所有根之和为0，即.0s r t ++=.故()()()()()()()333333333r s t s r t t s r r s t +++++=-+-+-=-++.由于r 为方程的根，故38100120160r r ++=. 对s 和t 也有同样的式子，所以()()33381001320160r s t s r t ++++++⨯=.故()3331001320163201675688s r t r s t +++⨯⨯++===---.因此()()()()333333756r s t s r t r s t+++++=-++=.20. 典型的方程整数解问题，注意充分利用p 是质数这个条件. 由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以()()224451451p p p p ∆=---=+是完全平方数，从而51p +是完全平方数.令251p n +=，n 是整数，则()()511p n n =-+.所以，()()511n n -+，即51n -或51n +.若51n -，令15n k -=，则()52p k k =+，由于p 是质数，故1k =，7p =，此时方程为214130x x -+=，11x =，213x =满足条件.若51n +，令15n k +=，则()52p k k =-，故1k =，3p =此时方程为2670x x --=，11x =-，27x =满足条件.综上所述，所求的质数p 为3或7.21. 原方程整理为()28810x a x a -++-=.设1x 、2x 为方程的两个整数根，由韦达定理，128x x a +=+，所以128a x x =+-，a 为整数.所以x a -、8x -均为整数，所以81x a x -=-=±，所以8a =. 22. 4a =-或10-. 自招链接23. （法一）令2x t =，则原方程为()()14t t k --=，整理的2540t t k -+-=，则由求根公式和题意得1,20t =>，所以四个非零实数根分别为1x =2x =3x =4x =由题意它们在数轴上对应的点等距离排列，所以得到=，化简得74k =. （法二）由题意，4个非零实数根在数轴上对应的4个等距点中有两对关于原点对称，则可令()()()()()()221433xx k x a x a x a x a ---=++--，即42422454109x x k x a x a -+-=-+，于是有2410594a a k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，，解得74k =.24. 原方程组变为()()()222222123.x y z y x z z x y ⎧--=⎪⎪--=⎨⎪--=⎪⎩，，即()()()()()()123.x y z x z y x y z y z x x z y y z x +-+-=⎧⎪+-+-=⎨⎪+-+-=⎩，，⨯⨯①②③可得()()()2226x y z x z y y z x +-+-+-=，即()()()x y z x z y y z x +-+-+-=，当()()()x y z x z y y z x +-+-+-=时，原方程组变为y z x x z y x y z ⎧⎪+-=⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩解得123x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩同理，当()()()x y z x z y y z x +-+-+-=4x y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎪⎩。

初升高自主招生研讨——函数（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、函数初步（正比例、反比例、一次、概念等）（1）函数概念、应用题等（2）正比例函数、一次函数、反比例函数等（3）一次函数、直线（高中解析几何）2、二次函数（1）思想：数形结合、分类讨论（2）基础问题（求方程、增减性、定点、图像平移、判别式、韦达定理等）（3）三个“二次”（函数、方程与不等式的关系）（4）二次函数的值域问题（定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间等）（5）一元二次方程根的分布定理（8常3特）3、函数综合题（二次函数背景下的几何问题，例面积问题、将军饮马等）4、绝对值问题与高斯函数（1）绝对值函数（分类讨论、数轴分析、中位数定理等）（2）图像翻折（内翻、外翻）（3）高斯函数（不等式、分类讨论结合）5、解析几何问题（坐标系定义、对称问题等）【题型一】函数初步（正比例、反比例、一次、概念等）1、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示， 那么水瓶的形状是（ ）【参考答案】B2、已知函数()223143m m y m m x-+=-+是反比例函数，则实数m =（ ）1A m =、 =2B m 、 12C m =、或 =2D m 、 【参考答案】D3、如果()3,4是反比例函数y =221m m x+-图像上的一点，那么此函数必定经过点( )A 、()2,6B 、 ()2,6-C 、 ()4,3-D 、()3,4-【参考答案】A4、直线1=-y x 与反比例函数xky =的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第 象限。

【参考答案】四5、如图,A B 是双曲线(0)ky k x=>上的点，,A B 两点横坐标分别是,2a a ，线段,A B 的延长线 交x 轴于点C ，若6AOC S =V ，则K= 。

【参考答案】46、已知函数()c f x b x a =+-（c ≠0）的对称中心为(),a b ，试回答：42()3x f x x +=-的对称中心 为___________。

一、 函数、方程与不等式一、函数与方程例1. 已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，那么()()f f x x =是否有实数根？并证明你的结论？练习：已知函数2()0f x x px q =++=且(())0f f x =仅有一实根.求证：0,0p q ≥≥.例2. 设()()()4321324f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ,（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，恒有()00f x ≠.练习：432()(58)69f x axx a x x a =++-+-.证明：对任意实数a ,存在0x ，（1）总有()00f x =；（2）总有()00f x ≠.例3. 若方程320xax bx c +++=的三个根恰为,,a b c ，且,,a b c 为不全为零的有理数，求实数,,a b c 的值.练习：设,(,),0a b b ∈-∞+∞≠，,,αβγ是三次方程30xax b ++=的三个根，则总以111111,,αββγγα+++为根的三次方程是（ ） A ．232220a x abx b x a ++-= B. 232220b x abx a x b ++-=C.232220a x ab x bx a ++-= D. 232220b x a bx ax b ++-=例4. 设θ是三次多项式()3310f x x x =-+的一个根，且222θθα+-=.若()h x 是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=，则()0h = .例5. 设9k≥，解方程32229270x kx k x k ++++=.例6. 求方程2x x =+++（n 重根）的解.27101x +-=的实根的个数.约)例7. 记函数2()1,1,22!!nn x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根nθ，且2n n θθ+＞.例8. 已知12,,,a a a∈R ，满足120a a a +++=，且122334201312222a a a a a a a a-=-=-==- .求证：1220130a a a ====.例9. 1为两根的有理系数多项式的次数最小为 . 练习：试求出一个整数系数多项式()110n n n n f x a x a x a--=+++，使得()0f x =二、不等式例10. 实数()()1,2,3,1,2,3i i a i b i ==满足123123a a a b b b ++=++，122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++，()()123123min ,,min ,,a a a b b b ≤，求证：{}{}123123max,,max ,,a a a b b b ≤.例11.下列不等式中正确的是（ ）A ．1201617k =<< B ．12011819k =<< C ．1202021k =<< D. 12012223k =<< 练习：求证：313n+++<. 例12. 已知：0,0ab >>，求证：1112a b a ba nb +++<+++.练习：有小于1的正数12,,,n x x x ，且121n x x x +++=.求证：33311221114n nx x x x x x +++>---. 例13. 若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：111100027a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.练习：已知0,0a b >>，且1a b+=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.例14. （1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥.(2),,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为 ,,a b c 的一种排列. 例15. 设0,0,0a b c ≥≥≥，且3a b c ++≤.证明：22231111112111a b c a b c a b c++≤≤++++++++. 例16. 设12,,,n x x x 都是正数，求证：222211212231n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.例17.求()12120111f x x x x =-+-++-的最小值.例18.设函数()1x m f x x +=+，且存在函数1()(,0)2s φt at b t a ==+>≠， 满足2121()t s f t s-+=. （1） 证明：存在函数(s)(0)t φcs d s ==+>，满足2121().s t f s t+-= （2） 设13x =，()1,1,2,n n x f x n +==，证明：1123n n x --≤. 例19. 111()ln ,1,()x n n e f x a a f a x+-===.（1） 求证：10xx e x e -+≥恒成立；（2）试求()f x 的单调区间；（3） 求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.例20. 已知()(1)1xf x x e =--； （1）求证：当0x >时()0f x <；（2）数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=，求证：数列{}n x 递减且12n nx >二、简单数论与组合杂题一、 整除与同余 例1. 证明：1109|n n a a a a -的充分必要条件是 09|ni i a =∑（其中011,,,,n n a a a a -是十进制数码，110n n a a a a -表示1n +位数码组成8例2. 设m 为非负整数，证明()22157|78m m +++.例3. 是否存在10个正奇数的倒数之和等于1？例4. 证明：任意100个整数中，必有两个整数之差能被99整除. 例5. 求正整数区间[,]()m n m n <中，不能被3整除的数之和. 例6. 求公差是8，由三个质数组成的数列. 例7. 10003在十进制中最后4位是多少？例8.2004818(736)+的个位数是多少？例9. 2005！末尾有连续多少个零？ 例10. 证明：当x 为任何整数时，9753694x x x x -+-可被8640整除.二、不定方程例11. 3个自然数倒数和为1，求所有解. 例12. （1）求三直线160,,02x y y x y +===所围成三角形上的整点个数； （2）求方程组2,1,260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩ 的整数解的个数.例13. 证明：方程22317xy -=没有整数解.练习： 证明：当a 为任意整数时，方程223x y a -=有整数解.例14．设,,a b c 为除1以外没有公因数的三个整数，并且111a b c+=. 求证：(),(),()a b a c b c +--都是完全平方数.例15. 在正整数范围内求方程组的解：33323,2().a b c abc a b c ⎧--=⎨=+⎩ 例16． 求出方程!(1)!!n n m +=的全部整数解. 例17. 证明：1的任何正整数次幂均可写成的形式，其中s 为正整数. 例如))2311==三、组合数学例18．用有限多条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面?（一条抛物线将平面分成两部分区域，其中包含焦点的区域乘坐抛物线的内部.例19. 100个集装箱内有200件货物（每箱两件），运抵某一货场堆放. 但在堆放过程中货物的顺序被完全打乱了，现在希望将货物重新装入集装箱运走，由于货物只有一条传送带，而且作业空间有限，因此采取如下方案：（200件货物已经被排列成某种顺序）每次从传送带上取下一件货物，如果能装进当前的集装箱则装箱；否则将当前的集装箱密封，并使用一个新的集装箱. 已经放过的货物不能再从集装箱取出，密封的集装箱不能再被打开. 在最坏的情况下，一共需要多少个集装箱？证明你的结论.例20．有333人考试，一共做对了1000道题，做对不多于3道为不及格，做对不少于6道为优秀，不是所有人答对的题的数量奇偶性都相同，问不及格的多还是优秀的多？例21．一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。

初升高自主招生研讨——方程与不等式（答案）【题型一】一元一次方程、一元二次方程1、解关于x 的方程：2(1)1m x mx -=+【参考答案】0,1,101m m m m m x m==--≠≠=无解一切实数解且，2、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．【参考答案】-13、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围______.【参考答案】112a -<<-4、若关于x 的方程20x x a ++=与210x ax ++=至少有一个相同的实数根，则实数a =（ ）2A ±、 2B 、 -2C 、 D 、不存在【参考答案】C5、设1212p p q q ，，，为实数，12122()p p q q =+，若方程，甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则 ( )A ．甲必有实根，乙也必有实根 B. 甲没有实根，乙也没有实根 C ．甲、乙至少有一个有实根 D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定【参考答案】C6、如果一直角三角形的三边为︒=∠90B c b a ，、、，那么关于x 的方程()()221210a x cx b x --++=的根的情况为（ ）A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况【参考答案】A7、已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=， 则实数a = ．【参考答案】38、已知：227373a a b b =-=-，且a b ≠，则22b a a b+=________. 【参考答案】9049-9、若方程22102x px p+-=的根12,x x 满足44122x x +≤p = . 【参考答案】182-±10、已知θ为锐角，且关于x 的方程232sin 0x x θ++=，则θ=_________。

第一讲 多项式一、数域的判定 1、数域的概念设P 是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P 中的数，则称P 为一个数域。

2、常见的数域有理数域Q ，实数域R 和复数域C 。

3、数域的有关结论（1）所有的数域都包含有理数域Q ，即有理数域是最小的数域；（2）在有理数域Q 与实数域R 之间存在无穷多个数域；在实数域R 与复数域C 之间不存在其他数域。

要求准确掌握数域的定义，能用定义正确判断一个数集是不是一个数域，能用定义推导数数域的性质。

例1、设P 是一个数集，有一个非零数a P ∈，且P 关于减法，除法（除数不为0）封闭，证明P 是一个数域。

例2、下列各数集是否构成数域？说明原因。

（1）{}1,P a a b Q =+∈；（2）{}2,P a b Q =+∈。

例3、证明：实数域和复数域之间不存在其他的数域。

二、一元多项式的概念 1、一元多项式的概念 形式表达式()1110n n n n f x a x a x a x a --=++++称为数域P 上文字x 的一元多项式，其中01,,,n a a a P ∈ ，n 是非负整数。

当0n a ≠时，称多项式()f x 的次数为n ，记为()()f x n ∂=或()()deg f x n =，并称n n a x 为()f x 的首项系数。

i i a x 称为()f x 的i 次项，i a 称为()f x 的i 次项系数。

当10n a a === ，00a ≠时，称多项式()f x 为零次多项式，即()()0f x ∂=；当100n a a a ==== 时，称()f x 为零多项式。

零多项式是唯一不定义次数的多项式。

注：这里多项式中的x 看作一般的文字或符号，它可以是变数（中学讲述的多项式即为如此），也可以是矩阵、线性变换等，具有更一般的意义。

这里把多项式看成一种形式上的表达式（中学数学将多项式看成一类函数），其中的“+”号并不意味着“加”， i i a x 也并不意味“乘”和“乘方”。