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2022年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二（教师版）2022年竞赛与自主招生专题第十六讲解析几何二从2022年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。
一、知识精讲一．椭圆中的经典结论：某2y21.点P0(某0，y0)在椭圆上221上，则过P0的椭圆的切线方程是ab某0某y0y21．a2b某2y22.点P0(某0，y0)在椭圆上221外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，ab则切点弦PP12的直线方程是某0某y0y21．2ab某2y23.椭圆221(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2，点P为椭圆上一点，abF1PF2，则椭圆的焦点三角形的面积为SF1PF2b2tan二．双曲线中的经典结论：2．某2y21.点P0(某0，y0)在双曲线上221（a＞0，b＞0）上，则过P0的双曲线的切ab线方程是某0某y0y21．a2b某2y22点P0(某0，y0)在双曲线上221（a＞0，b＞0）外，则过P0作双曲线的两条ab切线切点为P12的直线方程是1、P2，则切点弦PP某0某y0y21．2ab某2y23.双曲线221（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上ab一点，F1PF2，则双曲线的焦点三角形的面积为SF1PF2b2tan三．抛物线：2．1.过抛物线y22p某(p0)的焦点F的一条弦AB,记准线与某轴交点为E，AE、BE分别交y轴于P、Q两点，则：线段EF平分角PEQKAEKBE02.端点坐标积恒定：过抛物线y22p某(p0)的焦点F的直线l，交抛物线于112p2则：(1)某1某2，y1y2P2；(2)A(某1,y1)、B(某2,y2)，FAFBp43.共线：过抛物线y22p某(p0)的焦点F的直线l，交抛物线于A、B两点，如图示，有下列三个结论：（1）A、O、B1三点共线．（2）B、O、A1三点共线．（3）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于某轴．（4）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于某轴．【知识拓展】一．圆锥曲线和直线的参数方程某rco,1.圆某2y2r2的参数方程是其中是参数。
第 9 讲9.1 分析几何综合知识点睛分析几何（ 2）本讲的目标是娴熟应付一试分析几何大题 .近三年来的命题趋向是，一试解几大题难度向高考难度趋近，一般来说是一道圆锥曲线类的综合问题，同时与不等式、向量、数列包含数论（不定方程等）相联系；当与不等式相联系时，一般来说以均值为主；与数论相联系时，常常会给出一些参数，在确立参数过程中可能需要用到不定方程等数论知识；与数列相联系的问题常常给出的是一个递归定义的图形和式子，问题归纳为对某个等比或递归数列乞降，最后还有可能与极限相联系，这类问题实质上在高考模拟试题中也多有出现；经典精讲2 2【例 1】 椭圆xy 1 a b 0上随意两点 P ，Q ，若OP OQ ，a 2b 2则乘积 OP OQ 的最小值为 ．【例 2】 设曲线 C 1:x2y 21(a 为正常数 )与 C 2:y 2 =2( x+m)在 x 轴上方公有一个公共点 P ．a 2⑴ 实数 m 的取值范围（用a 表示）；1⑵ O 为原点，若C1与 x 轴的负半轴交于点A，当 0<a<时，试求△ OAP的面积的最大值（用 a 表示） .【例 3】一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内必定点 A，且 OA＝ a. 恰好与 A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当拆叠纸片，使圆周上某一点P 取遍圆周上全部点时，P求全部折痕所在直线上点的会合．【例 4】如题图，P是抛物线 y22x 2 y 1 0 上的动点，点B, C在直线 x 1 上，圆x2( y1)2 1 内切于PBC，求PBC面积的最小值．【例 5】AB 为y 1 x2上在y轴双侧的点，求过AB 的切线与x轴围成面积的最小值．22【例 6】 设直线 l : ykx m （此中 k ， m 为整数）与椭圆xy交于不一样两点 A ， B ，与双曲线16 112x 2y 2l ，使得向量 AC BD 0 ，若存在，指出1 交于不一样两点 C ， D ，问能否存在直线4 12这样的直线有多少条？若不存在，请说明原因．【例 7】 给定整数 n 2 ，设 M 0 ( x 0 , y 0 ) 是抛物线y 2 nx1与直线 y x 的一个交点 . 试证明关于随意正整数 m ，必存在整数k 2 ，使 (x0m , y0m ) 为抛物线y2kx 1与直线y x 的一个交点 .【例 8】过抛物线y22px (p为不等于2的素数)的焦点F,作与 x 轴不垂直的直线l 交抛物线于 M,N 两点 ,线段 MN 的垂直均分线交MN 于 P 点 ,交x轴于 Q 点 .⑴求PQ中点 R的轨迹 L的方程 ;⑵证明 :L 上有无量多个整点,但 L 上随意整点到原点的距离均不是整数.【例 9】在x轴同侧的两个圆：动圆C1和圆4a2x24a 2 y24abx 2ay b 20 外切（ a, b N , a 0 ），且动圆 C1与 x 轴相切，⑴求动圆 C1的圆心轨迹方程L;⑵若直线 4( 7 1) abx 4ay b 2 a 26958a0 与曲线L有且仅有一个公共点，求 a, b之值。
1．以知过点(0,1)的直线l 与曲线1:(0)C y x x x=+>交于两个不同点M 和N ，求曲线C 在点M 、N 处的切线的交点轨迹。
解：设,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为12,l l ，其交点P 的坐标为(,)p p x y 。
若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+由方程组11y x x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得11x kx x +=+，即2(1)10k x x -+-=。
由题意知，该方程在(0,)+∞上有两个相异的实根12,x x ，故1k ≠，且121214(1)0(1)130(2)11410(3)1k x x k k x x k ⎧⎪=+->⎪⎪+=>⇒<<⎨-⎪⎪=>⎪-⎩对1y x x=+求导，得1''221111,1x x y y x x ==-=-则，2'2211x x y x ==-。
于是，直线1l 的方程为 11211(1)()y y x x x -=--，即1121111()(1)()y x x x x x -+=--， 化简后得到直线1l 的方程为：21112(1)(4)y x x x =-+，同理可求得直线2l 的方程为：22212(1)(5)y x x x =-+，(4)(5)-得：2221121122()0p x x x x x -+-=，因为12x x ≠，故有：12122(6)p x x x x x =+， 将(2),(3)两式代入(6)式得2p x =(4)(5)+得：22121211112(2())2()(7)p p y x x x x x =-+++，其中121212111x x x x x x ++== 2222121212122222221212121212()2112()12(1)21x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x ++-++===-=--=-代入(7)得：2(32)2p p y k x =-+，而2p x =，得42p y k =-，又由314k <<得： 522p y <<，即点P 的轨迹为(2,2)，5(2,)2两点间的线段（不含端点）。
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。
正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。
高中数学竞赛专题讲座解析几何高中数学竞赛专题讲座-解析几何高中数学竞赛专题讲座——解析几何一、选择题部分x2y2？？1在任意点P，使椭圆C（H为垂直底脚）的右引导线的垂直线pH为1。
（训练试题）穿过椭圆C:，将pH延伸到点Q，使| HQ |=32λ| pH |（λ≥1） .当P点在椭圆C上移动时，q点轨迹的偏心范围为a．(0,（）3] 3b。
（33，]32c.[3,1）3D.（3,1）2HP？1？Pq1？解：设P（x1，Y1），q（x，y）。
由于右侧的准直方程为x=3，h点的坐标为（3，y） HQ=λPH，所以3(1??)?x?[x?3(1??)]2y2x??1所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得q点轨迹为??1，所以离心率?223y1?ye=3.2.223?? 1.23? [，1）。
因此，选择c.233？2（2022年的南昌）。
如果抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x-4y=12上，抛物线方程是（d）a．y??12x2b.y？12倍22c．y??16x2d.y？16x23．（2021年江苏）已知抛物线y?2px，o是坐标原点，f是焦点，p是抛物线上的点，使得△pof是直角三角形，那么这样的点P股（b）a．0个b．2个c、 4 d.6x2y24．（2006天津）已知一条直线l与双曲线2?2?1（b?a?0）的两支分别相交于p、q两点，o为原点，当阿博普？OQ，双曲线中心到直线L的距离d等于（a）aba．b．2222b?ab?a5．(2021全国)方程abb2？a2b2？a2c.d。
ababx2sin2?sin3?y2cos2?cos3?1表示的曲线是（）a．焦点在x轴上的椭圆b．焦点在x轴上的双曲线c、聚焦于Y轴D的椭圆。
聚焦于Y轴的双曲解：？2.3.0 2? 2.3.2.cos（？2）？cos（3？），222?? sin2？sin3。
又0?2,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,222? 32? 3.罪？？(?) 2242? 3.2.3.罪恶（？）？方程式02424表示的曲线是椭圆(sin2sin3)(cos2cos3)22sin2.2.323.0罪？0 2222? 33? 3.244? (?) 风格0.即sin2?sin3?cos2?cos3.?曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选c。
高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲，含详细答案)目录§1数学方法选讲（1） (1)§2数学方法选讲（2） (11)§3集合 (22)§4函数的性质 (30)§5二次函数41§7指、对数函数,幂函数 (63)§8函数方程 (73)§9三角恒等式与三角不等式 (76)§10向量与向量方法 (85)§11数列 (95)§12递推数列 (102)§13数学归纳法 (105)§14不等式的证明 (111)§15不等式的应用 (122)§16排列，组合 (130)§17二项式定理与多项式 (134)§18直线和圆，圆锥曲线 (143)§19立体图形，空间向量 (161)§20平面几何证明 (173)§21平面几何名定理 (180)§22几何变换 (186)§23抽屉原理 (194)§24容斥原理 (205)§25奇数偶数 (214)§26整除 (222)§29覆盖 (245)§29涂色问题 (256)§30组合数学选讲 (265)§1数学方法选讲（1）同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。
看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。
例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。
从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。
1. 两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高中数学竞赛教练入门教案
主题：解析几何初步
目标：通过本节课的学习，学生将能够掌握解析几何基本知识，能够灵活运用解析几何知
识解决问题，并提高解决问题的思维能力。
教学过程：
一、引入（5分钟）
教师引导学生思考：解析几何与几何的其他分支有哪些区别？解析几何在哪些领域有应用？为什么解析几何在数学竞赛中占有重要地位？
二、讲解基础知识（15分钟）
1. 介绍解析几何的基本概念和方法。
2. 讲解解析几何中常用的坐标系及其性质。
3. 引导学生理解解析几何中直线、圆的方程及性质。
三、例题讲解（20分钟）
1. 给出一道基础的解析几何题目，在黑板上解题过程。
2. 鼓励学生积极参与讨论，思考不同解题方法的异同。
四、练习与巩固（15分钟）
1. 学生进行解析几何的练习题，巩固所学的知识。
2. 指导学生解决一些较难的问题，提高解决问题的能力。
五、课堂小结（5分钟）
1. 教师总结本节课的主要内容，强调学生需要掌握的重点知识。
2. 鼓励学生在课后及时复习巩固所学的知识。
扩展活动：对于有兴趣的学生，可以提供更复杂的解析几何问题，挑战他们的思维能力。
教学资源：课件、练习题目、解析几何教科书。
备注：本教案为解析几何初步内容，后续将会有更深入的解析几何知识讲解。
高中数学竞赛与自主招生专题全套精品讲义第十五讲 解析几何一（教师版）从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分，也是高考与自主招生常见新颖题的板块，各种解题方法在解析几何这里得到了充分的展示，尤其是平面向量与解析几何的融合，提高了综合性，形成了题目多变、解法灵活的特色。
一、知识精讲1.点到直线的距离 ：d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).2.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 3.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.4.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:①0<∆⇔⇔>相离r d ; ②0d r =⇔⇔∆=相切; ③0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.5.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.6.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.7.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y ==-=-（1122(,),(,)A x y B x y1.三角形四心的坐标设ABC ∆三边的长度分别为a,b,c ，三个顶点A 、B 、C 的坐标分别记为(,)A A x y 、(,)B B x y 、(,)C C x y ，则重心G 、内心I 、垂心H 、外心O 坐标分别为,33A A x y G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑∑、,A A ax ay I a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、cos cos ,cos cos A A ax ay A A H a a A A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑、sin 2sin 2,sin 2sin 2A A x A y A O A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑。
2.直线系若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合111222()()0a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。
当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。
特别的，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即为1110a x b y c ++=。
对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1.又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。
3.圆幂定理：过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.►备注：切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d ，圆半径为r ，则这个定值为22d r -.①当定点在圆内时，220d r -＜，22d r -等于过定点的最小弦的一半的平方； ②当定点在圆上时，22=0d r -；③当定点在圆外时，220d r -＞，22d r -等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地，我们把22d r -称为定点对于圆的幂.4.两圆的“根轴”：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．►对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．5.各曲线的定义：PF P F PH P l PH ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭=1， 为定点， 是到定直线的距离，（1）椭圆：{}121212222P PF PF a a F F F F a +=， ＞，、为定点， 为正常数，； （2）双曲线：{}121212-222PP F P F a a=， ＜，、为定点， 为正常数，； （3）抛物线：PF P F PH P l PH ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭=1， 为定点， 是到定直线的距离，． 6.圆锥曲线的统一定义：平面上，到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为一个常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）．当01e ＜＜时，曲线是椭圆；当1e ＞时，曲线是双曲线；当1e =时，曲线是抛物线．这个定点F 叫做曲线的焦点，定直线l 叫做曲线的准线，定点F 到定直线的距离P 叫做焦参数． 7.圆锥曲线的标准方程：（1）椭圆：22221(0)x y a b a b +=＞＞，22221(0)y x a b a b +=＞＞；（2）双曲线：22221x y a b -=，22221x y a b-=（0a b ＞0，＞）；（3）抛物线：22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-（p ＞0）． ►备注：比值e 叫圆锥曲线的离心率，其中c e a=。
三、典例精讲例1．（2011复旦）椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离的最大值是（ ）。
（A ）11 （B （C ） （D ）9►分析与解答：由平面几何知识，椭圆2212516x y +=上的点到圆22(6)1x y +-=上的点的距离最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。
设圆22(6)1x y +-=圆心为'O ，(5cos ,4sin )P θθ是椭圆上的点，则|'|PO ===10≤=（当sin 1θ=-时取等号）。
故所求距离最大值为11.►注：或者考虑222(6)x y k +-=与2212516x y +=的相交情况，用判别式法解决。
例2．（2012“卓越联盟”）抛物线22y px =(0)p >，F 为抛物线的焦点，,A B 是抛物线上两点，线段AB 的中垂线交x 轴于(,0)D a ，0a >，||||m AF BF =+。
（1）证明：a 是,p m 的等差中项；（2）若3m p =，l 为平行于y 轴的直线，其被以AD 为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l 的方程。
►分析与解答： （1）设112(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义知1212||||22p pAF BF x x x x p +=+++=++。
又AB 中垂线交x 轴于(,D a，故2222112212122()()(2)()x a y x a y x x ax x y-+=-+⇒+--= 21212()y p x x -=-，因为21x x ≠，所以1222x x a p +-=-，1222x x a p +=-，故||||m AF BF =+= 122,2m px x p a p a +++=-=，a 是,p m 的等差中项。
（2）因为3m p =，所以2a p =。
设2(2,2)A p t p t ，(2,0)D p 。
圆心2'(,)O p pt pt +。
设直线l 的方程为x n =。
由于弦长为定值，故22R d -为定值，这里R 为圆的半径，d 为圆心'O 到l 的距离。
2222222222222221[(22)(2)]()[(1)]()34R d pt p pt p pt n p t t p pt n p t -=-+-+-=-+-+-=-2222222(23)(2)np npt n np p t np n ++-=-+-。
令2230np p -=，即32n p =时，22R d -为定值22293344p p p -=，故这样的直线l 的方程为32x p =。
例3．（2006复旦）已知抛物线2y ax =，直线12,l l 都过点(1,2)-且互相垂直。
若抛物线与直线12,l l 中至少有一条相交，求实数a 的取值范围。
►分析与解答：先看0a <的情形，如图13-8，显然，无论(1,2)-在抛物线2y ax =形内，还是在形外。
2y ax =与12,l l 始终至少有一条相交，故0a <符合题意。
若0a >，过(1,2)-作抛物线2y ax =的切线，设这两条切线的张角为θ。
若090θ<，则我们总可以找出两条互相垂直的直线，使这两条直线与2y ax =不相交，（如图13-9）；若090θ≥，则过(1,2)-的两条直线中，必有一条与2y ax =相交（如图13-10）。
图13-8 图13-9图13-10于是，原问题转化为如下一个问题：过(1,2)-作抛物线2y ax =的切线，这两条切线对抛物线的张角090≥。
设过(1,2)-的切线方程为(1)2y k x =--，由2,(1)2y a x y kx ⎧=⎨=--⎩，知220ax kx k -++=。
令2480k ak a ∆=--=。
设方程两根为12,k k ，则012901k k θ≥⇔≥-。
由韦达定理，81a -≥-，故18a ≤。
综上，a 的取值范围是1(,0)0,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦。
