解析几何与平面几何选讲(精.选)

FED CBA 2014年高考数学试题汇编 平面几何选讲1 (2014天津)如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF Ð；②2FB FD FA = ；③AE CE BE DE ? ；④AF BDAB BF ? .则所有正确结论的序号是（ ）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③（D ）①②④1.(2014重庆)过圆外一点P 作圆的切线PA （A 为切点），再作割线PB ，PC 分别交圆于B ，C ，若6=PA ，AC =8，BC =9，则AB =________.2(2014湖北)（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于DC ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB .3 (2014湖南)，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥，AB =BC =O 的半径等于________ .4 (2014陕西)（几何证明选做题）如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，若2AC AE =,则EF =5. (2014广东)（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿1. (2014新课标I)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E ；（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，- 2 -2. (2014新课标II)（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲。

第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用范围 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb ＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D 正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． [小题纠偏]1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数，故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．又k PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值． 解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－AB .考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1， 解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________． (2)过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3x ＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：(1)3x －y ＋6＝0 (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题． 常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )． ∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k－4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k，即k ＝－22时等号成立． 故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－k ＝－1k ， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率k ＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B. 2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2 解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4. 6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝07．若直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.答案：2x ＋3y ＋12＝08．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0， ∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x ＞0，所以e x ＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2 B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________． 解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________． 解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)． 2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( ) A ．6x ＋5y －1＝0 B ．5x ＋6y ＋1＝0 C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的。

MBA联考数学-平面几何与解析几何(总分456, 做题时间90分钟)一、问题求解1.已知△ABC的两个顶点的坐标：A(1，0)和B(5，0)，并且C在Y轴上，要使得△ABC的外接圆和Y轴相切，则C的坐标为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示]2.半圆ABD以C为圆心，半径为1，且CD⊥AB，延长BD和AD，分别与以B、A为圆心，2为半径的圆弧交于E，F两点，则图6-72中阴影部分的面积是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C[提示]3.正方形ABCD边长为1，延长AB到E，延长BC到F，使得BE=CF=1，DE分别和BC，AF交于H，G，如图6-64．则四边形ABHG的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示] 由，可得∠E=∠F，∠FHG=∠EHB，∠FGH=∠HBE=90°，Rt△FGH∽Rt△FBA，FH=1.5，FA=，相似比=4.直角三角形ABC的斜边AB=13 cm，直角边AC=5cm，把AC对折到AB上去与斜边相重合，点C与点E重合，折痕为AD，如图6-63．则图中阴影部分的面积为( )cm2．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示] 设DE=x，则CD=DE=x．5.光线从A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x-5)5+(y-7)2=4的最短路程是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C[提示] 如图6-98，设圆C的圆心为Q(5，7)，从A点出发经y轴上的点B(0，6)反射到曲线C的路程最短．最短路程是|AB|+|BQ|-2．设点A关于y轴对称点为A'(-1，1)，则6.求圆周(x-4)2+(y-2)2=2上的点和原点连线的斜率的变化范围．SSS_FILL该问题分值: 3答案:1/7≤k≤1．[提示] 介于过原点的两条切线的斜率之间．7.P是正方形ABCD外的一点，PB=10 cm，如图6-54，S△APB =80，S△CPB=90，则SABCD=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B8.直角三角形的一条直角边长度等于斜边长度的一半，则它的外接圆面积与内切圆面积的比值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示]9.在圆x2+y2-6x-8y+21=0所围区域(含边界)中，P(x，y)和Q(x，y)是使得分别取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C10.满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D11.在一个平面直角坐标系中，直线l的方程为x=5，点A和B的坐标分别为(3，2)和(-1，3)．动点C在l上，则AC+CB的最小值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示] 设A'是A关于直线l的对称点，则AC+CB=A'C+CB，当A'，C，B共线时最小．12.如图6-52，一条由西向东流的河宽50m．A，B分别位于河的南、北侧，B在A 的东400 m，北350 m．要从AB间筑一小路，过河处架设和河垂直的浮桥，则此路的最短距离(包括桥长)为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A[提示] 作AD垂直于河，长50 m，则路长为(50+折线DCB长)m(见图6-86)．13.若一个圆柱和圆锥的底的直径和高都与一个球的直径相等，则圆柱、圆锥与球的体积之比为( )．SSS_SINGLE_SELA 6:4:3B 6:3:4C 5:1:3D 3:2:1E (E) 3:1:2该问题分值: 3答案:E14.两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0公共弦所在的直线方程是( )．SSS_SINGLE_SELA x+2y+4=0B x-2y-4=0C x+2y-4=0D x-2y+4=0E (E) 以上结果均不正确该问题分值: 3答案:D[提示] C2-C1：4x-8y+16=0，x-2y+4=0．15.若，耶么直线y=kx+(m+n)一定经过( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B16.三角形的面积为60cm2，有一条边长为10cm，则它的周长的最小值为( )cm．SSS_SINGLE_SELA 32B 33C 34D 35E (E) 36该问题分值: 3答案:E[提示] 见图6-89．设AB边长10 cm，则C在平行于AB，并且和AB的距离为12 cm的直线l上变动．设A'是A关于直线l的对称点，则三角形的周长=10 cm+折线A'CB长，当A'，C，B共线时最短．17.两个半径都为r的圆盘的圆心间的距离也是r，则它们的公共部分的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示] 见图6-87，所求面积=两个扇形面积-菱形面积．18.如图6-69，Rt△ABC，∠C=90°，以各边为直径作半圆，且两直角边分别为a，b，则图中阴影部分的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示]19.扇形半径为12，圆心角为60°，O为扇形的内切圆圆心，则图6-68中阴影部分的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A[提示] 设扇形内切圆的半径为r，则20.A，B是两个不同点，则一个圆到A和B距离相等的切线( )．SSS_SINGLE_SELA 有2条，3条或4条B 一定有4条C 有2条或4条D 一定有2条E (E) 一定有3条该问题分值: 3答案:A[提示] 到A和B距离相等的切线有两类，和AB平行或过AB的中点．前者有两条，后者的条数随AB的中点的位置而不同．21.求平行直线x+3y+8=0和x+3y-6=0的中位线．SSS_FILL该问题分值: 3答案:x+3y+1=0．[提示] 中位线有形如x+3y+c=0的方程，利用它到x+3y+8=0和x+3y-6=0的距离相等求c．22.如图6-71，直角梯形ABCD上底长5，下底长7，高为4，△ADE，△ABF与四边形AECF面积相等，则△AEF的面积是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A[提示] .23.底半径为5的等边圆锥，它的侧面积为( )．SSS_SINGLE_SELA 15πB 20πC 25πD 40πE (E) 50π该问题分值: 3答案:E24.如图6-73，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，S△AOB =4，S△COD=9，则四边形ABCD的最小面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示]25.如图6-62，已知BE平分∠ABC，∠CBF=∠CFB=65°，∠EDF=50°，则在下列四个结论中正确的是( )．①BC∥AE ②ABCD是平行四边形③∠C=65° ④△EFD是正三角形SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A[提示] ∠C=180°-(∠CBF+∠CFB)=50°=∠EDF，有BC∥AE，①正确；③不正确．由BC∥AE得∠E=∠CBF=65°，④不正确．∠ABF=∠CBF=65°，∠A=180°-(∠E+∠ABF)=50°=∠EDF，AB∥DC，ABCD是平行四边形，②正确．26.周长为24的矩形ABCD，将△ABC沿对角线AC折叠，得到△AB'C，(点B变到B')，AB'交CD于P，如图6-74．则△ADP面积的最大值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示]27.过点A(2，0)向圆x2+y2=1作两条切线AM和AN，(如图6-59)，则两切线与圆所围成的图形面积(图中阴影部分)为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E28.一个角为30°的直角三角形的短的直角边长为a，求它的内切圆的半径．SSS_FILL该问题分值: 3答案:.[提示] 方法一作图(见图6-88)，可求出a和内切圆的半径r的关系．方法二利用公式：三角形面积=三角形周长×内切圆的半径/2．29.如图6-55，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的重点，则图中阴影部分面积为( )SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C30.如图6-60，ABCD是边长为1的正方形，AC=CE，△AFC的面积是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A31.已知两点P1(3，-2)，P2(-9，4)，线段P1P2与25轴的交点P分有向线段所成比为λ，则有( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示]32.如图6-70，直角△ABC中，AB为圆的直径，且AB=20，若面积Ⅰ比面积Ⅱ大7，那么△ABC的面积S△ABC等于( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示]33.平行四边形四边所在直线依次为2x-y-5=0，3x+2y+6=0，2x-y+1=0和3x+2y-2=0，求其中心的坐标．SSS_FILL该问题分值: 3答案:(2/7，-10/7)．[提示] 中心是两双对边中位线的交点．用19题的方法求这两条中位线．34.底半径相等的等边圆柱(轴截面是正方形)和等边圆锥(轴截面是正三角形)表面积之比为( )．SSS_SINGLE_SELA 4:1B 3:1C 2.5:1D 2:1E (E) 1:1该问题分值: 3答案:D35.在边长为1的正方形ABCD内画两条半径1的圆弧：以A为圆心的BD弧，以B 为圆心的AC弧，它们的交点为E，如图6-66．则曲边三角形CDE的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C[提示] 如图6-93，连接BE，AE，△ABE是等边三角形，∠CBE=∠EAD=30°．S曲边△CDE =S正方形ABCD-2S扇形BCE-S△ABE36.如图6-56，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10 cm，则图中阴影部分的面积是( )cm2．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B37.直角三角形的直角边长度为3和4，求内切圆的半径．SSS_FILL该问题分值: 3答案:暂无答案[提示] 见8题的方法二．38.过点A(-1，2)，且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程为( )．SSS_SINGLE_SELA x-y+3=0B x+y-1=0C x-y+3=0或y=-2xD x+y-1=0或y=-2xE (E) x-y+1=0或y=2x该问题分值: 3答案:D[提示] (1)直线过原点．y=kx，点A(-1，2)在直线上，k=-2，y=-2x．39.求过原点的圆周(x-3)2+(y+2)2=4的两条切线的方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:y=0，12x+5y=0．[提示] 有Ax+By=0的形式，用圆心到它的距离为2求A和B的比值．40.从点P(5，4)作圆：(x-3)2+(y+2)2=4的切线PA，PB，则切点A，B间的距离为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示] 设圆的圆心为Q(3，-2)．PQ交AB于R，切点B的坐标为(5，-2)．BR 是Rt△PBQ斜边PQ上的高，41.求过两条直线x+y-2=0和7x+y-6=0的交点，并且平行于直线2x-y-5=0的直线的方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:2x-y=0．[提示] 用直线束比较简单．42.把一个等边圆锥削成球，则削下部分的体积与球体积之比至少为( )．SSS_SINGLE_SELA 2:1B 3:2C 4:3D 5:4E (E) 6:5该问题分值: 3答案:D43.梯形ABCD(AB∥DC)中，∠A=∠DBC(见图6-49)，AB:DC=25:16，则AD:BC=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示] 两个三角形相似．注意对应关系．44.若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线L：ax+by=0的距离为，则直线L倾斜角范围是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B45.△ABC的内切圆的半径为5，它和AB，AC边的切点相距6，则内切圆心到A的距离为( )．SSS_SINGLE_SELA 6B 6.25C 4.5D 5E (E) 5.4该问题分值: 3答案:B[提示] 见图6-92．类似于15题．46.梯形ABCD各顶点的坐标为A(1，2)，B(5，2)，C(4，5)，D(2，5)，则它的两条对角线的交点的坐标为( )．SSS_SINGLE_SELA (2.5，3.5)B (3.5，3.5)C (4，4)D (3，4)E (E) (4，3)该问题分值: 3答案:D[提示] 交点分AC的定比就是AB:DC．47.A和B是圆周(x-3)2+(y+2)2=4上的两点，圆在A，B两条切线的交点为P(5，4)．求AB的长度d．SSS_FILL该问题分值: 3答案:.[提示] 求出圆周半径和P到圆心的距离，再用15题的方法．48.已知直线L：3x+4y-1=0，L1：2x+y-4=0，则L1关于L对称的直线L2的方程为( )．SSS_SINGLE_SELA 2x-11y+16=0B 2x-11y-16=0C 2x+11y+16=0D 3x-11y+16=0E (E) 3x+11y-16=0该问题分值: 3答案:C[提示]49.求点A(1，-1)关于直线x+y-1=0的对称点的坐标．SSS_FILL该问题分值: 3答案:(2，0)50.设A，B是两个圆(x-2)2+(y+3)2=5和(x-1)2+(y+1)2=3的交点．求过A，B的直线方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:2x-4y-9=0．[提示] 见30题．51.如图6-67，⊙O直径AB=10 cm，C是AB弧的中点，ABD是以AB为半径的扇形，则图中阴影部分的面积是( )cm2．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B[提示] 如图6-94，连接OC，△OBC是等腰直角三角形．注：如果我们连接AC，S弓形AC =S弓形BC，则可直接得到S阴影=S扇形ABD-S△ABC．52.如图6-58中，△ABC的面积为1，且△AEC，△DEC，△BED的面积相等，则△AED与△ABC的面积之比是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:B53.正方体ABCDA'B'C'D'的棱长为2，E，F分别是棱AD，C'D'的中点(见图6-53)．位于E点处的一个小虫要在这个正方体的表面上爬到F处，它爬行的最短距离为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C[提示] 请注意，有多种爬行路线：可以先在“前面”(ABCD面)上爬到CD棱，再在“上面”爬到F点；也可以先在“侧面”(AA'D'D面)上爬到D'D棱，再在“上面”爬到F点；还可以先在“侧面”(AA'D'D面)上爬到A'D'棱，再在“后面”爬到F点；……54.平面直角坐标系中，A点在x轴的正半轴上，B点在y轴的正半轴上，C点在x轴的负半轴上，且已知∠ABC=90°，，则过A、B、C三点的圆的方程为( )．(E) 以上结论都不正确SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A55.如图6-65，长方形ABCD中，AB=10 cm，BC=5 cm，以AB和AD分别为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( )cm2．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示] 图中阴影部分的面积等于的面积减去曲边四边形ABCF的面积，而曲边四边形ABCF的面积又等于长方形ABCD的面积减去的面积．因此，图中阴影部分的面积等于56.把一个等边圆锥削成球，则削下部分的体积与球体积之比至少为( )．SSS_SINGLE_SELA 2:1B 3:2C 4:3D 5:4E (E) 6:5该问题分值: 3答案:D57.把面积为3π，顶角为120°的扇形卷成一个圆锥，则圆锥体积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D58.直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交所得弦长为，则a=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D59.实数x，y，满足(x-1)2+(y+2)2=5，求x-2y的最大值．SSS_FILL该问题分值: 3答案:10．[提示] 最大值在平行于x-2y=0的切线(下面那条)上达到．60.梯形ABCD下底AB和上底CD的长度比为3:2，E是两腰延长线的交点，则△ABE 面积和梯形面积比为( )．SSS_SINGLE_SELA 3:2B 9:4C 9:5D 3:1E (E) 2:1该问题分值: 3答案:C61.等腰三角形的腰长为5，底边长为6，求内切圆的半径．SSS_FILL该问题分值: 3答案:[提示] 见8题的方法二．62.SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E63.平面上有一组间隔距离a的水平直线和一组间隔距离a的竖直直线，A是1，5位交叉点(即第一条水平直线和第五条竖直直线的交点)，B是3，1位交叉点，C是5，2位交叉点(见图6—51)，则∠ABC( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示] 有多种方法，请用不少于3种方法解此题．64.球内接等边圆锥体积与球体积之比为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D65.△ABC的顶点B的坐标为(3，4)，AB边上的高CE所在直线的方程为2x+3y-16=0，BC边上的中线AD所在直线的方程为2x-3y+1=0，则A点的坐标为( )．SSS_SINGLE_SELA (1，2)B (2，1)C (1，1)D (-1，1)E (E) (1，-1)该问题分值: 3答案:C[提示] 求出AB所在直线的方程(它过B点并且垂直于CE所在的直线)．A点是AB与AD所在直线的交点．66.把一个木制的正方体旋成尽可能大的球，那么球体积约占正方体体积的( )(精确到1%)．SSS_SINGLE_SELA 45%B 46%C 48%D 50%E (E) 52%该问题分值: 3答案:E67.球的表面积为S，则它的体积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C68.A和B是圆周(x-3)2+(y+2)2=16上的两点，圆在A，B两条切线的交点为P(5，4)．求AB所在直线的方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:x+3y-5=0．[提示] 求出以P为圆心，并且过A和B的圆周的方程，把它和(x-3)2+(y+2)2=16相减，消掉平方项，所得一次方程即所求．69.等腰直角三角形的外接圆的面积和内切圆的面积的比值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示] 面积比即半径比的平方．70.等边圆柱切割为球，切割下来部分的体积占球体积至少为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C71.有一个深50 m，顶圆半径为100 m的圆锥形储水器储满了水，假设水位以0.02 m/h的速度均匀下降，当水深为30 m时，水池水量的流失速度是( )．SSS_SINGLE_SELA 32πm/hB 42πm/hC 52πm/hD 62πm/hE (E) 72πm/h该问题分值: 3答案:E72.一个圆的半径为r，圆外点P到圆心O的距离h＞r，过P的圆的两条切线的切点为A和B．(1)求AB的长度．(2)求O到AB的距离d．SSS_FILL该问题分值: 3答案:[提示] 见图6-90．记M是OP和AB的交点．利用直角△AOP和直角△OMA相似求d．利用△AOP的面积求AB．73.△ABC的顶点A的坐标为(0，3)，B的坐标为(2，-3)，垂心(三条高的交点)M 的坐标为(3，0)，则C的坐标为( )．SSS_SINGLE_SELA (1，6)B (1，5)C (1，7)D (2，6)E (E) (6，1)该问题分值: 3答案:E[提示] 设点C的坐标为(xC ，yC)．74.如图6-57，正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，则图中阴影部分的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A75.把一个半球削成底半径为球半径一半的圆柱，则球体积与圆柱体积之比为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E76.把一个母线为2 cm的等边圆锥石料打磨成球，则球的最大体积为( )cm3．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:A77.直角三角形的一条直角边长度等于斜边长度的一半，则它的外接圆面积与内切圆面积的比值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示] 面积比即半径比的平方．78.菱形ABCD的中心为M(0，1)，又知道A(1，-1)和AB所在直线的方程为x+y=0．求另外三条边的方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:CD：x+y-2=0；AD：7x+y-6=0；BC：7x+y+4=0．[提示] 求CD所在直线的方程，设为x+y+c=0，用M到各边的距离相等求c．求AD所在直线的方程，设为a(x-1)+b(y+1)=0(因为它过点A(1，-1))，再利用M到各边的距离相等求出a和b的比值．79.已知点M1(6，2)和M2(1，7)，直线y=mx-7与线段M1M2的交点M分有向线段比为3:2，则m的值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示]80.等边圆柱轴截面的面积是32，那么它的侧面积是( )．SSS_SINGLE_SELA 8πB 16πC 32πD 48πE (E) 64π该问题分值: 3答案:C81.一个直径为32 cm的圆柱形水桶，放入一个实心铁球后，水面升高了9 cm，则铁球半径是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:C82.一个棱长为3 cm的正方体所有表面油成红漆，再切割成棱长为1 cm的小正方体，仅一面为红色的小正方体的个数为( )．SSS_SINGLE_SELA 4B 6C 8D 10E (E) 12该问题分值: 3答案:B83.写出过点M(-1，1)和N(1，3)，圆心在x轴上的圆的方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:(x-2)2+y2=10．[提示] 圆心是线段MN的中垂线和z轴上的交点．84.如图6-61，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点M，且分正方形为四个三角形，O1，O2，O3，O4分别为△AMB、△BMC、△CMD、△DMA的内切圆圆心，已知AB=1，则图中阴影部分的面积为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E85.在一个平面直角坐标系中，直线l的方程为x=4，点A和B的坐标分别为(3，1)和(1，5)．由A处出发的射线在l上的C点处反射后经过B点，则C的坐标为( )．SSS_SINGLE_SELA (4，1)B (4，2)C (4，3)D (4，4)E (E) (4，5)该问题分值: 3答案:B[提示] 设A'是A关于直线l的对称点，则它和B，C共线．86.设F，G分别是平行四边形ABCD的边BC，CD的中点，O是AG和DF的交点(见图6-50)，则AO:0G为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:D[提示] 过G作平行于AD的直线，交DF于H，则AO:0G=AD:GH．87.⊙O1和⊙O2的半径分别为2和6，O1O2=5，它们的一条公切线切点为A，B，则AB=( )．SSS_SINGLE_SELA 4B 16C 2D 9E (E) 3该问题分值: 3答案:E[提示] 见图6-91．过小圆圆心作公切线的平行线．88.平行四边形ABCD的边AB和BC所在直线分别为2x-y-5=0，3x+2y+6=0，中心的坐标为，求BD所在直线的方程．SSS_FILL该问题分值: 3答案:17x+2y-2=0．[提示] 用直线束比较简单．89.三角形的周长为10，有一条边长为4，则它的面积的最大值为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D E该问题分值: 3答案:E[提示] 利用13题的结论．二、条件充分性判断•A．条件(1)充分，但条件(2)不充分．•B．条件(2)充分，但条件(1)不充分．•C．条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分．•D．条件(1)充分，条件(2)也充分．•E．条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分．SSS_FILL1.已知凸四边形ABCD的对角线BD平分∠B，∠A=∠BDC．要使得△ABD和△DBC的面积比为3:2(见图6-75)．该问题分值: 3答案:(A)．[提示] 两个三角形相似．注意对应关系．SSS_FILL2.边长为1的正方形ABCD的各边上各有点E，F，G，H(见图6-76)，并且AE=BF=CG=DH=a．要使得中间的小正方形的面积为.该问题分值: 3答案:(A)．SSS_FILL3.矩形ABCD和矩形A'B'C'D'的面积比为1:9．(1)它们的周长之比为1:3；(2)AB:A'B'=BC:B'C'=1:3．该问题分值: 3答案:(B)．SSS_FILL4.平面上有一组间隔距离为n的水平直线和一组间隔距离为b的竖直直线．A是1，4位交叉点(即第一条水平直线和第四条竖直直线的交点)，B是3，1位交叉点，C是5，2位交叉点(见图6-77)．要使∠ABC是直角．(1)a:b=3:4；(2)a2:b2=3:4．该问题分值: 3答案:(B)．[提示] 设1，1位交叉点为D，3，1位交叉点为E，则∠ABC是直角∠ABD+∠EBC=90°．SSS_FILL5.E是平行四边形ABCD的AB边上的点，DE垂直于AB．要使得△AED的面积是平行四边形的(见图6-78).(1)∠A=60°；(2)∠ADB是直角．该问题分值: 3答案:(C)．[提示] △AED的面积是平行四边形的1/8AE=AB/4．SSS_FILL6.△ABC和△A'B'C'的面积比为9．(1)△ABC和△A'B'C'的周长比为3；(2)△ABC和△A'B'C'有两对对应角相等．该问题分值: 3答案:(C)．SSS_FILL7.凸四边形是正方形．(1)它有内切圆和外接圆，并且它们的圆心相同；(2)它的两条对角线互相垂直平分．该问题分值: 3答案:(A)．[提示] (1)此时，内切圆和外接圆的公共圆心到各边距离相等，并且到各顶点的距离相等．它和4个顶点的连线分割四边形为4个全等的等腰三角形．(2)等同于四边形是菱形．SSS_FILL8.凸四边形有内切圆．(1)它的两条对角线互相垂直；(2)它的两条对角线互相平分．该问题分值: 3答案:(C)．[提示] 条件(1)和条件(2)联合说明四边形是菱形，有内切圆．SSS_FILL9.四边形O1O2O3O4是平行四边形．(1)O1O3=O2O4，并且它们互相垂直；(2)O1，O2，O3，O4依次是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点．该问题分值: 3答案:(B)．[提示] 条件(2)成立时(见图6-99)，O1O2和O3O4都平行于AC并且等于AC的一半。

二、命题分析从近几年各省份的高考信息可以看出，高考对本单元的命题呈现如下特点：(1)高考题型中选择、填空、解答题均有所涉及，分值约占20分左右，比重较高．3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为；(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为；(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为；[解析] 由已知，直线的斜率解得tan α＝3或tan α＝－13(舍去)．由点斜式得y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －3＝02x －3y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5y ＝－4，即两条直线的交点为(－5，－4)．由两点式得y －1－4－1＝x －2－5－2，即5x －7y －3＝0.（四）典型例题1.命题方向：直线的倾斜角与斜率[例1] 已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围．[分析] 求m 的范围，关键是能够画出它们的图像，结合图像求解，能够知道直线l 过定点(0，－1)．[解析] 当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，显然l 与PQ 相交． 当m ≠0时，k PA ＝－1－10－－＝－2，k QA ＝－1－20－2＝32，l ：y ＋1＝－1mx .因为l 与线段PQ 相交， －1m ≥32或－1m≤－2， ∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，0或m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.所以m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.[点评] 解答已知直线过定点A 且与已知线段PQ 有交点，求其中参数的取值范围问题时，常用数形结合法，求出定点A 与线段PQ 的两个端点连线的斜率，根据图形列出不等式组，解不等式组即可． 注意：研究两直线的位置关系时，一定要注意斜率不存在的情况．跟踪练习1：(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数到π2(α≠π2)时，k 由0增大到＋∞，当负无穷大趋近于0.解决此类问题时，也可采用数形结合思想，借助图形直观作出判断．，d<0，a>c，d>0，a<cd>0，从而c<a<0，b<0，c始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝A ．(－∞，1]B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(－∞，1)[答案] A[解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a －2b ＋4＝0，∴a ＋b ＝2， ∴ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，∴ab ≤1.4．已知直线l 1∶y ＝x ，l 2∶ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a 的取值范围是( ) A ．(33，1)∪(1，3) B ．(33，3) C ．(33，1)D ．(1，3)[答案] A[解析] 因为k 1＝1，k 2＝a ，由数形结合知，直线l 2的倾斜角α∈(π6，π4)∪(π4，π3)，所以直线l 2的斜率a ∈(33，1)∪(1，3)． 5．过点P (－1,2)且方向向量为a ＝(－1,2)的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．x －2y ＋5＝0 C ．x －2y ＝0D ．x ＋2y －5＝0[答案] A[解析] 因为方向向量a ＝(－1,2)， 所以直线的斜率k ＝－2，又过点P (－1,2)， 所以由点斜式求得直线方程为2x ＋y ＝0.6．(2011·山东济宁)已知点A (1,3)，B (－2，－1)，若直线l ∶y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围( )A ．k ≥12B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12[答案] D[解析] 如图，l 过P (2,1)，k PA ≤k ≤k PB ，k PA ＝3－11－2＝－2，而k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.7．过抛物线y 2＝43x 的焦点，且与圆x 2＋y 2－2y ＝0相切的直线方程是( ) A.3x ＋y －3＝0，y ＝0B.3x －y －3＝0，y ＝0C.3x ＋y ＋3＝0，3x －y ＋3＝0D.3x ＋3y －3＝0，3x －3y －3＝0 [答案] A[解析] 抛物线焦点F (3，0)，圆的方程x 2＋(y －1)2＝1，由图知过焦点F 且与圆相切的直线有两条，其中一条是y ＝0故排除C 、D.另一条斜率小于0，故选A.8．已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f a a ，f b b ，f cc的大小关系是( ) A.f a a >f b b >f cc B.f c c >f b b >f aa C.f b b >f a a >f ccD.f a a >f c c >f bb[答案] B[解析] 作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图像，易知f x x 表示直线的斜率．∴f c c >f b b >f a a，故选B.二、填空题9．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋y b＝1(a ，b >0)． 因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16，所以S △AOB ＝12ab ≥8.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0－x ＋－y ＋3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113y ＝163，k ＝163－0113－3＝8.∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 方法二 设所求的直线方程y ＝k (x －3)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2y A＝4kk －2由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1y B＝－6kk ＋1∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6k k ＋1＝0， ∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 又∵当k ＝0时，x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，∴所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.方法三 设点A (x 1，y 1)在l 1上，点B (x 2，y 2)在l 2上，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－y 1－2＝0x 2＋y 2＋3＝0x 1＋x 2＝6y 1＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝113y 1＝163或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝73y 2＝－163∴k ＝k AB ＝－163－16373－113＝8，∴所求的直线方程为8x －y －24＝0.13．已知i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，经过原点O 以u ＝i ＋m j 为方向向量的直线与经过定点A (0,1)，以v ＝m i －j 为方向向量的直线相交于点P ，其中m ∈R ，当点P 变动时，试问是否存在一个定点Q ，使得|PQ |为定值？若存在，求出的前提下，参数的个数越少越好．．有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始分钟内既进水又出水，得到时间x(分)本题是一个实际应用问题，综合性较强，通过分析题意可知是一个分段函数问题，即直线的方程．因此，由直线的点斜式方程即可求出．时，直线段过点O(0,0)，A(10＝2010＝＝30－2040－10＝13，＝13(＝13x ＋503.＝13，所以＝－53.＝－53，又过点＝－53(＝－53＋2903.综上所述，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x13x ＋503x ，－53x ＋2903x若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 3．直线l 1A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点坐标就是⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的 ．4．点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 125．点P (x 0，y 0)到直线lAx ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.6．两平行线间距离： 两平行直线l 1Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. （三）基础自测1．(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A[解析] 该题考查直线方程的求法(点斜式)所求直线斜率为12，过点(1,0)由点斜式y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.2．(2009·安徽文)直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝0 [答案] A[解析] 本题考查直线方程的点斜式，以及两条的垂直关系．∵直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直， ∴直线l 的斜率k ＝－32，又∵直线l 过点(－1,2)， ∴其方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.3．曲线y ＝k |x |及y ＝x ＋k (k >0)能围成三角形，则k 的取值范围是( ) A ．0<k <1 B ．0<k ≤1 C ．k >1 D ．k ≥1 [答案] C[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图像，可见k ≤1时围不成三角形，k >1时能围成三角形．4．(2011·庐江模拟)若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( )∴－3a ＋b ＋4＝0，即b ＝3a －4(不合题意) ∴此种情况不存在，即k 2≠0. 若k 2≠0，即k 1，k 2都存在，∵k 1＝a b，k 2＝1－a ，l 1⊥l 2， ∴k 1·k 2＝－1，即a b(1－a )＝－1①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在，∴k 1＝k 2. 即a b＝1－a ③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2. ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数． 即4b＝b ④由③④联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23b ＝2.∴a ，b 的值为2和－2或23和2.（四）典型例题1.命题方向：两直线的位置关系[例1] 已知两条直线l 1(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 22x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？[解析] 当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m， 它们在y 轴上的截距分别为b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .(1)由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m，m ≠－7且m ≠－1.∴当m ≠－7且m ≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m ，解得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4·(－25＋m )＝－1，解得m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．[点评] 运用有斜率的两直线平行或垂直的条件处理两直线位置关系时，要紧紧抓住k 1，k 2及b 1，b 2之间的关系，需要注意的是“有斜率”这一前提条件，否则会使解题不严谨甚至导致错误．如题：当k 取何值时，两直线x ＋ky ＝0和kx ＋(1－k )y ＝0互相垂直？很可能漏掉解k ＝0.判断两条直线平行、垂直、重合时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线的斜率均不存在的情况．在两条直线l 1、l 2斜率都存在且不重合的条件下，才有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2与l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.在斜率不存在或斜率为零情况下讨论两直线位置关系宜用数形结合求解． 跟踪练习1已知两直线l 1x ＋y sin θ－1＝0和l 22x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.[解析] (1)方法1：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，l 1显然不平行于l 2， 当sin θ≠0时，k 1＝－1sin θ，k 2＝－2sin θ.欲使l 1∥l 2，只要－1sin θ＝－2sin θ，即sin θ＝±22.∴θ＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线截距不相等．∴当θ＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法2：要使l 1∥l 2，需2sin 2θ－1＝0，且1＋sin θ≠0， 即sin θ＝±22，∴θ＝k π±π4，k ∈Z. ∴当θ＝k π±π4，k ∈z 时，l 1∥l 2.(2)方法1：当sin θ＝0时，l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，故l 1⊥l 2.此时θ＝k π(k ∈Z)． 当sin θ≠0时，k 1＝－1sin θ，k 2＝－2sin θ，要使l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1，即－1sin θ·(－2sin θ)＝－1， 显然无解，故当θ＝k π(k ∈Z)时，l 1⊥l 2.[解析] 解法1：若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A ′(3，－4)、B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意. 若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1(k ≠－1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋1＝0，得A (3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －＋1，x ＋y ＋6＝0，得B (3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1)．由|AB |＝5.得(3k －2k ＋1－3k －7k ＋1)2＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之得，k ＝0，∴直线l 方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. 解法2：因为平行线间的距离d ＝|6－1|2＝522，如图，直线l 被两平行线截得的线段为5， 设直线l 与两平行线的夹角为θ， 则sin θ＝22，∴θ＝45°. 因为两平行线的斜率是－1， 故所求直线的斜率不存在或零． 又因为直线l 过点P (3,1)， 所以直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.3.命题方向：对称问题[例3] 求直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程． [分析] 转化为点关于直线的对称，利用方程组求解．[解析] 解法1：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x ＋1得直线l 1与l 2的交点坐标为(－2，－1)，在l 1上任取一点A (0,3)，则A 关于直线l 的对称点B (x 1，y 1)一定在l 2上，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1－3x 1＝－1y 1＋32＝x 12＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝1，即B (2,1)．∴l 2的方程为y －1＝1＋12＋2(x －2)．即x －2y ＝0.解法2：设所求直线上一点P (x ，y )，则在直线l 1上必存在一点P 1(x 0，y 0)与点P 关于直线l 对称． 由题设：直线PP 1与直线l 垂直，且线段PP 1的中点P 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在直线l 上．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－yx 0－x ·1＝－1y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，变形得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －1y 0＝x ＋1，代入直线l 1：y ＝2x ＋3得x ＋1＝2×(y －1)＋3， 整理得x －2y ＝0.所以所求直线方程为x －2y ＝0.解法3：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x ＋1知直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1、l 2的距离相等， 由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|12＋k 2＝|2－2＋3|22＋－2， 解得k ＝12(k ＝2舍去)，[点评] 对称问题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一．两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决．求点P (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点Q (x 1，y 1)的坐标，可利用PQ ⊥l 及线段PQ 被l 平分这两个条件建立方程组求解，本题解法2就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题的．这是解这类问题的一个通法．∴直线l 2的方程为x －2y ＝0.跟踪练习3在直线l 3x －y －1＝0上求一点P ，使得： (1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小．[分析] (1)在直线l 上求一点P ，使P 到两定点的距离之和最小①当两定点A 、B 在直线l 的异侧时，由两点之间线段最短及三角形中任意两边之和都大于第三边可知，点P 为AB 连线与l 的交点；点P 到两定点距离之和的最小值为②当两定点A 、B 在直线l 的同侧时，作点A 、B 的距离之和最小．(2)在直线上求一点P ，使P 到两定点的距离之差的绝对值最大①当两定点A 、B 在直线l 的同侧时l 上任取一点P ′，则有||P ′B②当两定点A 、B 在直线l 的异侧时，作点||PB |－|PA ′||＝|A ′B |时，达到最大．∵||P ′B |－|P ′A ′||≤|A ′B[解析] (1)如图(1)所示，设点则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －a∴a ＋3b －12＝0①又由于线段BB ′的中点坐标为即3a －b －6＝0②解①②得a ＝3，b ＝3.∴B ′(3,3)．∴3×a 2－b ＋42－1＝0.即3a －b －6＝0②解①②得a ＝3，b ＝3.∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝02x ＋y －9＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．(2)如图(2)所示，设C 关于l 的对称点为C ′，求出C ′的坐标为(35，245)，∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 交点坐标为(117，267)，故P 点坐标为(117，267).（五）思想方法点拨1．求两直线交点坐标就是解方程组．即把几何问题转化为代数问题．2．要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点．特别提示：求两平行线间的距离时，一定化成l 1Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2Ax ＋By ＋C 2＝0的形式．3．在使用点到直线的距离公式时，应注意以下几点：(1)若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求点到直线的距离； (2)若P 在直线l 上，则点P 到直线l 的距离为0，公式仍成立．4．在使用两平行线间的距离公式时，要先把两直线中x 、y 的系数化为相同，且都化成一般式后再用公式． 5．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两条直线l 1、l 2斜率都存在，且不重合的条件下，才有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2与l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.用直线的一般式方程判断两直线的位置关系时，A 1A 2＋B 1B 2＝0⇔两直线垂直，但A 1B 2－A 2B 1＝0与两直线平行不等价．用比例关系A 1A 2≠B 1B 2判断相交，A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2判断平行，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2判断重合，应用方便，但前提是A 2B 2C 2≠0，它们都不是等价条件．6．直线系方程有些问题中所给的直线方程常常含有一个参数，对于含有一个参数的直线方程，往往不是平行线系，就是过定点的直线系．(1)平行线系．①与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，其中m 为参数． ②与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋m ＝0，其中m 为参数． ③斜率为k (定值)的平行线系方程为y ＝kx ＋b ，其中k 为常数，b 为参数． (2)过定点的直线系．①过定点P (x 0，y 0)的直线系方程为A (x －x 0)＋B (y －y 0)＝0(A 、B 不全为零)．②过两条直线l 1A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R)(不包括直线l 2)．7．对称问题对称性问题是解析几何应用较为广泛的的一类问题，归纳起来有 (1)点关于点的对称点．①点P (x ，y )关于O (0,0)的对称点P ′(－x ，－y )． ②点P (x ，y )关于点(a ，b )的对称点P ′(2a －x,2b －y )． (2)点关于直线的对称点．①点(x ，y )关于x 轴，y 轴，直线y ＝x 的对称点分别为(x ，－y )，(－x ，y )，(y ，x )． ②点A (a ，b )关于直线x ＋y ＋C ＝0的对称点A ′的坐标为(－b －C ，－a －C )． ③点A (a ，b )关于直线x －y ＋C ＝0的对称点A ′的坐标为(b －C ，a ＋C )．④点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′的坐标为(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a －AB＝－1，A a ＋m 2＋B b ＋n2＋C ＝0.(3)曲线Cf (x ，y )＝0与曲线C ′g (x ，y )＝0关于点P (a ，b )对称，则曲线C ′上任一点M ′(x ，y )，关于P 的对称点M (2a －x,2b －y )在曲线C 上，即f (2a －x,2b －y )＝0.(4)曲线Cf (x ，y )＝0关于直线y ＝kx ＋b 对称曲线为C ′g (x ，y )＝0，则C ′上任一点P 关于直线y ＝kx＋b 对称的点，必在曲线C 上，即曲线关于直线的对称问题转化为点．关于直线的对称问题。