最新-2018新高考全案高考数学 17-4几何证明选讲2课件 精品
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高考数学复习向导第十八章 第2讲 几何证明选讲选讲课件 理
(1)判定方法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线．
(2)性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径； ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
1 P，若 AB＝3，CD＝1，则 cos∠APD＝___3___.
图 18－2－22 解析：cos∠APD＝DAPP＝CADB ＝13.
1．圆内接四边形的判定和性质： (1)四点共圆判定方法： ①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶 点共圆； ②如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边 形四个顶点共圆． (2)性质：①对角互补；②外角等于其内对角． 2．切线的判定和性质定理：
4．如图 18－2－3，AB 是⊙O 的直径，点 C、D、E 都在⊙ O 上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B＝_1_3_5_°__.
图 18－2－3
考点 1 相似三角形 例 1：如图 18－2－12，△ABC 中，EF∥CD，∠AFE＝∠B， AE＝6，ED＝3，AF＝8，则 AC＝________，CBDB＝PPAC＝ABDC.
设 PB＝x，PC＝y，
则有3xy＝2yx⇒x＝
26y，所以ABDC＝3xy＝
6 6.
四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问 题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点．
【互动探究】 5．如图 18－2－22，AB 为⊙O 的直径，弦 AC、BD 交于点
1．如图 18－2－1，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的有( C )
图 18－2－1 ①∠ADE＝∠C；②∠AED＝∠B；
③AADC＝AAEB；④DBCE＝AAEB；⑤DE∥BC.
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第四章
cos α＝( 1 C.5
) 2 D.5
1 B.－5
解析
5π π ∵sin 2 ＋α＝sin2＋α＝cos
α，
1 ∴cos α＝ .故选 C. 5
答案 C
π 1 4.已知 sin(π －α)＝log84，且 α∈－ ，0 ，则 tan(2π －α)的 2
2.(2017· 泰安模拟)sin 600° 的值为( 1 A.－ 2 3 B.－ 2
) 1 C. 2 3 D. 2
解析
sin 600° ＝sin(360° ＋240° )＝sin 240° ＝sin(180° ＋60° ) 3 ＝－sin 60° ＝－ 2 .
答案 B
3.已知 2 A.－5
5π 1 sin 2 ＋α＝5，那么
)
sin α－cos α＝ 2， (1)由 2 得 2 sin α＋cos α＝1，
2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
) )
(1)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角.(
(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中 π 的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变 化.( ) )
1 1 (4)若 sin(kπ－α)＝3(k∈Z)，则 sin α＝3.(
解析 (1)对于 α∈R，sin(π＋α)＝－sin α 都成立. 1 (4)当 k 为奇数时，sin α＝3， 1 当 k 为偶数时，sin α＝－3. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
第2讲
同角三角函数基本关系式 与诱导公式
最新考纲
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝
sin α π 1， ＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± 2 cos α
2018高考数学理二轮复习课件：1-4-2 高考中的立体几何 精品
[解] ①证明：∵AD⊥侧面 PAB，PE⊂平面 PAB， ∴AD⊥PE. 又∵△PAB 是等边三角形，E 是线段 AB 的中点， ∴PE⊥AB.∵AD∩AB＝A， ∴PE⊥平面 ABCD. 而 CD⊂平面 ABCD，所以 PE⊥CD.
②求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
[解]②以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz.
②求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
[解]②过点 A1 作 A1O⊥AB，垂足为 O，连接 OC， ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC， ∴A1O⊥底面 ABC， ∴∠A1AB＝60°， ∵AA1＝2，∴AO＝1， ∵AB＝2，∴点 O 是 AB 的中点， 又∵点 G 为正三角形 ABC 的重心， ∴点 G 在 OC 上， ∴OC⊥OB，
热点探究悟道
热点一 空间位置关系 (1)[2015·陕西高三质检]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2，E 为棱 CC1 的中点．
①求证：B1D1⊥AE；
[证明] ①连接 BD， 则 BD∥B1D1. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD， ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE＝C， ∴BD⊥平面 ACE. ∵AE⊂平面 ACE， ∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE.
＝ |a·b| |a||b| .
(2)线面角
|l·n|
设 l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，则斜线 l 与平面 α 所成的角满足 sinθ＝ |l||n| .
(3)二面角 →①如→图(ⅰ)，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈AB，CD〉 ．
∵A1O⊥底面 ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC， 以 O 为原点，分别以 OC，OB，OA1 为 x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz，由题意得 A(0，
②求 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值．
[解]②以 E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 E-xyz.
②求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的余弦值．
[解]②过点 A1 作 A1O⊥AB，垂足为 O，连接 OC， ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC， ∴A1O⊥底面 ABC， ∴∠A1AB＝60°， ∵AA1＝2，∴AO＝1， ∵AB＝2，∴点 O 是 AB 的中点， 又∵点 G 为正三角形 ABC 的重心， ∴点 G 在 OC 上， ∴OC⊥OB，
热点探究悟道
热点一 空间位置关系 (1)[2015·陕西高三质检]如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2，E 为棱 CC1 的中点．
①求证：B1D1⊥AE；
[证明] ①连接 BD， 则 BD∥B1D1. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面 ABCD， ∴CE⊥BD. 又 AC∩CE＝C， ∴BD⊥平面 ACE. ∵AE⊂平面 ACE， ∴BD⊥AE， ∴B1D1⊥AE.
＝ |a·b| |a||b| .
(2)线面角
|l·n|
设 l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，则斜线 l 与平面 α 所成的角满足 sinθ＝ |l||n| .
(3)二面角 →①如→图(ⅰ)，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个半平面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 θ＝ 〈AB，CD〉 ．
∵A1O⊥底面 ABC，∴A1O⊥OB，A1O⊥OC， 以 O 为原点，分别以 OC，OB，OA1 为 x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系 O-xyz，由题意得 A(0，
2018版高考数学全国人教B版理大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 第4讲 精品
【例1】 (1)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8
相切”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件
3 (2)直线 y＝－ 3 x＋m 与圆 x2＋y2＝1 在第一象限内有两个不同的 交点，则 m 的取值范围是( A.( 3，2)
C.
) B.( 3，3)
2 3 D.1， 3
(2)法一
将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，
直线与圆没有公共点的充要条件是 Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0， 解得－ 3＜k＜ 3. 法二 2 圆心(0，0)到直线 y＝kx＋2 的距离 d＝ 2 ， k ＋1 2 ＞1， 2 k ＋1
(2)当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m＝1； 当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d＝ |m|
1＋
32 3
＝1，
2 3 解得 m＝ 3 (切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有 2 3 两个不同的交点，则 1＜m＜ . 3
答案 (1)A (2)D
规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3) 点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内， 可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用 于动直线问题.
【训练1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋
解析 如图，过 O 点作 OD⊥AB 于 D 点， 在 Rt△DOB 中，∠DOB＝60° ， ∴∠DBO＝30° ， |3×0－4×0＋5| 又|OD|＝ ＝1， 5 ∴r＝2|OD|＝2.
答案 2
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十四章鸭部分14.1几何证明选讲第2课时圆的进一步认识课件理
5.与圆有关的比例线段
定理 名称 相交弦 定理 基本图形 条件 结论 应用 (1)在PA，PB，PC， PD 四线段中知三求一；
PD ； 弦AB，CD相 (1)PA· PB＝ PC· △BDP 交于圆内点P (2)△ACP∽______
(2)求弦长及角
割线 定理
PD； PAB，PCD是 (1)PA· PB＝ PC· PD； △ PDB ⊙O的割线 (2)△PAC∽_______ (2)应用相似求AC，BD
解答
题型分类
深度剖析
题型一 圆周角、弦切角和圆的切线问题
例1 (2016· 全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形， 1 ∠AOB＝120°.以O为圆心， 2 OA为半径作圆. (1)证明：直线AB与⊙O相切； 证明 设E是AB的中点，
连结OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°， 1 在Rt△AOE中，OE＝ AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径， 2 所以直线AB与⊙O相切.
(1)证明线段相等，
已知PA求PB；
(2)求角
6.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角 互补 . (2)判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆.
考点自测
1.(2016· 南通二模)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C 为切点.求证：AP· BC＝AC· CP.
2.圆的切线的性质及判定定理 (1)判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 . (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点 . 推论2：经过切点且与切线垂直的直线必经过 圆心 . 3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等 . 4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的 度数的一半 .
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：17-解三角形(含答案)
【解】 (1)由已知可得 tan A=- 3,所以 A= . 在△ABC 中,由余弦定理得 28=4+c
2
2
即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. π (2)由题设可得∠CAD= , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 故△ABD 面积与△ACD
1 2 π 6
2π -4ccos , 3
2π 3
1 π ������������ · ������������ · sin 6 面积的比值为2 1 =1. ������������ 2������������·
又△ABC 的面积为 × 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3.
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
【答案】 1
1 2 π 6
1 2
π 6
.
5π 6 5π B= , 6 ������ π,解得 sin6
【解析】 由 sin B= 解得 B= 或 B= . 根据三角形内角和定理,舍去 所以 B= ,A= .
������ 根据正弦定理 sin������ π 6 2π 3
=
������ 3 ,得 2 π sin������ sin
sin������ sin������
2 2 1 1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD,S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 2
=
������������ ������������
= .
1 2
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
正弦、余弦定理
定理 正弦定理
2
2
即 c2+2c-24=0.解得 c=-6(舍去),c=4. π (2)由题设可得∠CAD= , 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD= . 故△ABD 面积与△ACD
1 2 π 6
2π -4ccos , 3
2π 3
1 π ������������ · ������������ · sin 6 面积的比值为2 1 =1. ������������ 2������������·
又△ABC 的面积为 × 4× 2sin∠BAC=2 3, 所以△ABD 的面积为 3.
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
【答案】 1
1 2 π 6
1 2
π 6
.
5π 6 5π B= , 6 ������ π,解得 sin6
【解析】 由 sin B= 解得 B= 或 B= . 根据三角形内角和定理,舍去 所以 B= ,A= .
������ 根据正弦定理 sin������ π 6 2π 3
=
������ 3 ,得 2 π sin������ sin
sin������ sin������
2 2 1 1 (1)S△ABD= AB· ADsin∠BAD,S△ADC= AC· ADsin∠CAD. 2 2
=
������������ ������������
= .
1 2
考点37
考点38
考点39
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
正弦、余弦定理
定理 正弦定理
《新高考全案》高考数学 173几何证明选讲(1)课件 人教
• 4．直角三角形射影定理 • 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影 的 比 例 中项，两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比 例 中项．
1．(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，在直角 梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2， 点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF＝________.
• (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分 线的比，对应中位线的比，周长的比都等于相似比 ， 面 积 的 比等于 相似比的平方．
• (3)相似三角形的判定： • ① 两角对应相等 的两个三角形相似； • ② 三边对应成比例 的两个三角形相似； • ③ 两边对应成比例 ，并且 夹角相等 的两个三 角形 相似．
[证明] ∵S△BCD2＝S△ABC·S△ADC，∴SS△△BADBCC＝SS△△ABDDCC ∴BADB··CCDD＝BADD··CDDC即BADB＝BADD ∴BD2＝AB·AD，又 AC2＝AD·AB ∴AC2＝BD2，∴AC＝BD.
• 1．由等积式转化为比例式是一种基本方法，作平行线找 中间比是解决问题的主要思想方法之一．
2．(2011·深圳一模)(几何证明选讲)如下图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上异于 A，B 的点，CD⊥AB，垂足为 D， 已知 AD＝2，CB＝4 3，则 CD＝________.
[解析] 由射影定理得， CB2＝BD·BA⇔(4 3)2＝BD(BD＋2)⇔BD＝6. CD2＝AD·BD＝2×6＝12. [答案] 12
∵AD∥CE，∴DBDC＝BAAE 又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，AD 平分∠BAC ∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AC＝AE ∴AACB＝CBDD. • 证法二：过D作DE∥AC交AB于E，则∠2＝∠3.
1．(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，在直角 梯形 ABCD 中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2， 点 E，F 分别为线段 AB，AD 的中点，则 EF＝________.
• (2)相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分 线的比，对应中位线的比，周长的比都等于相似比 ， 面 积 的 比等于 相似比的平方．
• (3)相似三角形的判定： • ① 两角对应相等 的两个三角形相似； • ② 三边对应成比例 的两个三角形相似； • ③ 两边对应成比例 ，并且 夹角相等 的两个三 角形 相似．
[证明] ∵S△BCD2＝S△ABC·S△ADC，∴SS△△BADBCC＝SS△△ABDDCC ∴BADB··CCDD＝BADD··CDDC即BADB＝BADD ∴BD2＝AB·AD，又 AC2＝AD·AB ∴AC2＝BD2，∴AC＝BD.
• 1．由等积式转化为比例式是一种基本方法，作平行线找 中间比是解决问题的主要思想方法之一．
2．(2011·深圳一模)(几何证明选讲)如下图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上异于 A，B 的点，CD⊥AB，垂足为 D， 已知 AD＝2，CB＝4 3，则 CD＝________.
[解析] 由射影定理得， CB2＝BD·BA⇔(4 3)2＝BD(BD＋2)⇔BD＝6. CD2＝AD·BD＝2×6＝12. [答案] 12
∵AD∥CE，∴DBDC＝BAAE 又∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，AD 平分∠BAC ∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AC＝AE ∴AACB＝CBDD. • 证法二：过D作DE∥AC交AB于E，则∠2＝∠3.
2018年高考数学总复习几何证明选讲
似.
(3) 直角三角形相似的特殊判定：斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三相似三角形对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积， 的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积 .
不等式
不等式和绝对值不等式
不等式
证明不等式的基本方法
柯西不等式、 排序不等式
不等式的基本性质
不等式 绝对不等式
基本不等式
三个正数的算数 -几何平均不等式 绝对值三角不等式
绝对值不等式的解法 比较法 综合 法与分 析
反证法与放缩法 数学归纳法
第一节 几何证明选讲
考纲解读
1.了解平行线截截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理
（ 2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形的对应线 段成比例．
二、 相似三角形
1.相似三角形的判定 （ 1）判定定理：
①两角对应相等的两个三角形相似 .
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． ③三边对应成比例，两三角形相似 .
（ 2）推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相
.
知识点精讲
一、平行截割定理
1.平行线等分线段定理及其推论 （ 1）定理：如果一组平行线在一条线段上截得的线段相等，那么在任意一条（与这组 平行线相交的）直线上截得的相等也相等 .
(2) 推论：经过梯形一腰的中点而平行与底边的直线平分另一腰
.
2. 平行截割定理及其推论
（1）定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．
DE OE EF OE
DE EF
2018届高考数学理二轮复习江苏专用课件：专题四 立体几何 精品
考点整合
1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直 平行六面体、长方体之间的关系.
2.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： ①S 柱侧＝ch(c 为底面周长，h 为高)； ②S 锥侧＝12ch′(c 为底面周长，h′为斜高)； ③S 台侧＝12(c＋c′)h′(c′，c 分别为上下底面的周长，h′为斜高)； ④S 球表＝4πR2(R 为球的半径).
(2)(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线， 有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β. ④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的 角相等. 其中正确的命题有________.(填写所有正确命题的编号)
法二 在线段 CD 上存在点 N，且当 N 为 CD 的中点时，D1N∥平面 A1BC， 证明如下： 取 C1D1 的中点 M，连接 AN、A1M、D1N、MC， 因为四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB∥CD，AB ＝1，CD＝2，所以 A1B1∥C1D1，A1B1＝1，C1D1 ＝2，所以 A1B1∥MC1 且 A1B1＝MC1，所以四边 形 A1B1C1M 为平行四边形，
(2)柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh(S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； ③V 球＝43πR3.
3.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α， b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
高考专题复习(几何证明选讲、参数方程)PPT教学课件
四、本部分考查能力 1、识图能力； 2、逻辑推理能力； 3、概念、定理灵活运用的能力。
2020/12/09
7
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
2020/12/09
8
2020/12/09
1
第一部分：几何证明选讲
一、高考考查内容和要求
1、理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理 2、会证明和应用以下定理 （1）直角三角形射影定理； （2）圆周角定理； （3）圆的切线判定定理与性质定理； （4）相交弦定理； （5）圆内接四边形的性质定理与判定定理； （6）切割线定理
2020/12/09
3
(2008)如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP
垂直直线OM，垂足为P。
（1）证明：OM·OP = OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点。过B点
的切线交直线ON于K。证明：∠OKM = 90°。
B A
N
O
P
K M
考查内容：1、割线定理的运用； 2、相似三角形的判定及应用
考查内容： 1、弦切角定理； 2、三角形相似性的判定（证两次相似，找边角关系）
2020/12/09
6
三、本部分常考知识点： 1、相似三角形的判定及应用； 2、四点共圆的判定及性质的应用； 3、圆弧与圆周角的关系（同弧所对的圆周角相等）； 4、 弦切角定理（过同一点的切线与割线构成的夹角问题）； 5、切割线定理； 6、相交弦定理；
几何证明选讲、坐标系与参数方程
几何证明选、坐标系与参数方程为高考3道选修题 中的两道，是每年高考必考题，从2007年—2012年考 查的情况来看，两道题考查的知识点均与课本上所提及 的公理、定理、定义、公式等的运用为主，题型变化不 大。因高考中考生从3道题中选择一道题作答，下面就 分几何证明选讲、坐标系与参数方程两部分对高考考查 情况进行分析
2018届高考数学理二轮复习全国通用课件 专题四 立体几何 第2讲 精品
∵棱柱 ADE－BCF 是直三棱柱，∴AB⊥平面 BCF，∴B→A是平面 BCF 的一个法向量，且 OM⊄平面 BCF，∴OM∥平面 BCF. (2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n1＝(x1，y1， z1)，n2＝(x2，y2，z2).∵D→F＝(1，－1，1)，D→M＝12，－1，0， D→C＝(1，0，0)，C→F＝(0，－1，1)，由nn11· ·DD→→FM＝＝00，.
(2)线面夹角
设直线 l 与平面 α 的夹角为 θ0≤θ≤π2 ，则 sin θ＝||aa|·|μμ||＝|cos a，μ |.
(3)面面夹角
设平面 α，β的夹角为 θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝||μμ|·|vv||＝|cos μ，v |.
热点一 向量法证明平行与垂直 【例1】 如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面
ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M为 AB的中点，O为DF的中点，运用向量方法求证： (1)OM∥平面 BCF； (2)平面 MDF⊥平面 EFCD.
证明 法一 由题意，得 AB，AD，AE 两 两垂直，以 A 为原点建立如图所示的空间 直角坐标系. 设正方形边长为 1，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)， C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(1，0，1)，M12，0，0， O12，12，12. (1)O→M＝0，－12，－12，B→A＝(－1，0，0)， ∴O→M·B→A＝0，∴O→M⊥B→A.
(4)面面垂直
α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.
2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，平面 α，β的法向量分别为 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4， c4)(以下相同). (1)线线夹角 设 l，m 的夹角为 θ0≤θ≤π2 ， 则 cos θ＝||aa|·|bb||＝ a21|＋a1ab212＋ ＋bc211b2a＋22＋c1bc222＋| c22.
A版2018版高考数学理一轮专题复习课件专题16 几何证明选讲 精品
3
➢ 考点87 相似三角形与比例线段
1.平行线分线段成比例定理 2.相似三角形的判定 3.直角三角形相似的判定
(1)平行线等分线段成比例定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线 段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行 的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行 的直线平分另一腰．
(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两 条直角边对应成比例，那么它们相似．
(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一 条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
➢ 考点87 相似三角形与比例线段
1.平行线分线段成比例定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和 对应角平分线的比都等于相似比． (2)相似三角形周长的比等于相似比.
易错警示 防范措施
①写相似三角形时，两个三角形的顶点顺序不对应 ②应用射影定理时，记错线段的位置
根据三角形相似写比例式时，首先寻找对应 角，对应角所对的线段就是对应线段，从而 准确写出比例式
10
11
12
600分基础 考点&考法
➢ 考点88 圆周角定理与圆的切线 ✓ 考法3 圆的切线的性质及判定的应用 ✓ 考法4 弦切角定理的应用
15
16
17
18
19
✓ 考法4 弦切角定理的应用
圆周角定理及其推论 弦切角定理及其推论
推出角的关系 证明三角形全等或相似
求线段或角的大小
圆的切线
注意弦切角的转化
圆周上的点
作直径(或半径) 画圆周角(或作弦切角)
20
21
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➢ 考点87 相似三角形与比例线段
1.平行线分线段成比例定理 2.相似三角形的判定 3.直角三角形相似的判定
(1)平行线等分线段成比例定理
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线 段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行 的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行 的直线平分另一腰．
(2)判定定理2：如果两个直角三角形的两 条直角边对应成比例，那么它们相似．
(3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一 条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角 边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
➢ 考点87 相似三角形与比例线段
1.平行线分线段成比例定理
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和 对应角平分线的比都等于相似比． (2)相似三角形周长的比等于相似比.
易错警示 防范措施
①写相似三角形时，两个三角形的顶点顺序不对应 ②应用射影定理时，记错线段的位置
根据三角形相似写比例式时，首先寻找对应 角，对应角所对的线段就是对应线段，从而 准确写出比例式
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600分基础 考点&考法
➢ 考点88 圆周角定理与圆的切线 ✓ 考法3 圆的切线的性质及判定的应用 ✓ 考法4 弦切角定理的应用
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✓ 考法4 弦切角定理的应用
圆周角定理及其推论 弦切角定理及其推论
推出角的关系 证明三角形全等或相似
求线段或角的大小
圆的切线
注意弦切角的转化
圆周上的点
作直径(或半径) 画圆周角(或作弦切角)
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2018年高考数学专题讲解：立体几何证明(二)
2018年高考数学专题讲解：立体几何证明（二）平行证明（二）主编：宁永辉老师主编单位：《高考150分》题型解法设计中心方法二：平行四边形对边平行【方法描述】1、方法描述：四边形一组对边平行且相等平行四边形→另外一组对边平行。
第一步：证明一个四边形为平行四边形：方法为一组对边平行且相等。
第二步：根据平行四边形对边平行得到另外一组对边平行。
2、图示说明：如下图所示：AB//⇒四边形ABCD为平行四边形BC⇒。
AD//AB=，CDCD3、为什么只能选择根据一组对边平行且相等证明一个四边形为平行四边形？证明一个四边形为平行四边形的所有方法：方法一：四边形中两组对边平行。
如下图所示：⇒。
AD//BCAD//，CDAB//⇒四边形ABCD为平行四边形BC需要得到的结论在题目中已经已知，没有必要再去证明四边形是平行四边形。
方法二：四边形中两组对边相等。
如下图所示：BC AD =，⇒=CD AB 四边形ABCD 为平行四边形BC AD //⇒。
斜二测法：原来平行于x 轴的直线长度不变，原来平行于y 轴的直线长度变为原来一半。
可见，立体图形和对应的实物图长度发生了改变，这样也导致了计算边长相等的难度很多，特别是本方法需要计算两组，那就是难上加难，一般情况下不采用。
方法三：四边形中对角线互相平分。
如下图所示：CO AO =，⇒=DO BO 四边形ABCD 为平行四边形BC AD //⇒。
斜二测法：原来平行于x 轴的直线长度不变，原来平行于y 轴的直线长度变为原来一半。
可见，立体图形和对应的实物图长度发生了改变，这样也导致了计算边长相等的难度很多，特别是本方法需要计算两组，那就是难上加难，一般情况下不采用。
方法四：四边形中两组对角相等。
如下图所示：C A ∠=∠，⇒∠=∠D B 四边形ABCD 为平行四边形BC AD //⇒。
斜二测法：在实物图的底面上建立一个平面直角坐标系，在空白处建立一个夹角为4π或者43π的斜坐标系。
高考数学复习几何证明选讲2圆理选修市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
11/56
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
12/56
2．(2015·天津)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，
弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线
段NE的长为( )
8 A.3
B．3
10
5
C. 3
D.2
13/56
答案 A 解析 由题意可得CM×MD＝AM×MB，则2×4＝2AM2， AM＝2.又CN×NE＝AN×NB，即3NE＝4×2，解得NE＝83.
22/56
探究1 (1)圆周角定理是一个十分重要的定理，涉及圆周角 相等的结论很难用其他结论代替．由圆周角定理易知，同一条 弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍．
(2)三角形的内心是内切圆的圆心，是三角形三条内角平分 线的交点．
23/56
思考题1 (1)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝ 4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．
45/56
(1)证明：EF∥BC； (2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2 EBCF的面积．
3 ，求四边形
46/56
【解析】 (1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥ BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF， 故AD⊥EF.从而EF∥BC.
30/56
探究2 与圆的切线有关的问题及处理方法 (1)证明直线是圆的切线的常用方法： ①若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连 线垂直于已知直线即可． ②若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直 线的距离等于圆的半径．
31/56
(2)求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角． (3)求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理． 提醒：利用弦切角定理时，一定要注意是弦切角与同弧上 的圆周角相等．
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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2．(2015·天津)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，
弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线
段NE的长为( )
8 A.3
B．3
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C. 3
D.2
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答案 A 解析 由题意可得CM×MD＝AM×MB，则2×4＝2AM2， AM＝2.又CN×NE＝AN×NB，即3NE＝4×2，解得NE＝83.
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探究1 (1)圆周角定理是一个十分重要的定理，涉及圆周角 相等的结论很难用其他结论代替．由圆周角定理易知，同一条 弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍．
(2)三角形的内心是内切圆的圆心，是三角形三条内角平分 线的交点．
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思考题1 (1)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝ 4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．
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(1)证明：EF∥BC； (2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2 EBCF的面积．
3 ，求四边形
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【解析】 (1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥ BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF， 故AD⊥EF.从而EF∥BC.
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探究2 与圆的切线有关的问题及处理方法 (1)证明直线是圆的切线的常用方法： ①若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连 线垂直于已知直线即可． ②若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直 线的距离等于圆的半径．
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(2)求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角． (3)求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理． 提醒：利用弦切角定理时，一定要注意是弦切角与同弧上 的圆周角相等．
高三数学二轮复习课件几何证明选讲
• (7)相似三角形的判定定理：如果一个三角 形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两 角对应相等，两三角形相似)；如果一个三 角形的两条边和另一个三角形的两条边对 应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角 相等，两个三角形相似)；如果一个三角形 的三条边与另一个三角形的三条边对应成 比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三 边对应成比例，两个三角形相似)．
• 1．了解平行截割定理，会证明并应用直 角三角形射影定理；
• 2．会证明并应用圆周角定理、圆的切线 的判定定理及性质定理；
• 3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性 质定理及判定定理、切割线定理，并会应 用相交弦定理；
• 4．平行投影的性质与圆锥曲线的统一定 义．
• 几何证明选讲是选考内容，也是新课标新 增的内容，从各地高考试题看，几年来， 这部分的考查题型，大题、小题都有，但 难度不大，从能力要求上来看，主要考查 学生的读图、识图能力，分析问题和解决 问题的能力．
• (3)经过三角形一边的中点与另一边平行的 直线必经过三角形第三边的中点．
• (4)经过梯形一腰的中点，且与底边平行的 直线必经过梯形另一腰的中点．
• (5)平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线)所得的对应线段成比 例．
• (6)相似三角形的性质定理：相似三角形的 对应角相等．相似三角形的对应边成比 例．相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比都等于相似比；相 似三角形周长的比、外接圆的直径比、外 接圆的周长比都等于相似比；相似三角形 面积的比、外接圆的面积比都等于相似比 的平方．
• (2011·广东文，15)如右图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分 别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB， 则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ________．
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• 1．熟悉下列与圆有关的概念 • 圆的切线、割线、三角形的内切圆与旁切圆，圆心角，圆 弧的度数，圆周角，弦切角．
• 2．圆的切线的判定 • 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线，是圆 的切线．
• 3．圆的切线的性质 • 圆的切线 垂直 过切点的半径． • 推论：①从圆外的一个已知点所引的两条切线长 相等 ． • ②经过圆外的一个已知点和圆心的直线， 平分 从这点向 圆所作的两条切线所夹的角． • 4．圆周角定理 • 圆周角的度数 等于 它所对弧的度数的一半． • 推论：①直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 ． • ②同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． • ③等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径 ．
∴CP＝PPAD2＝
223a2＝98a.
3a
[答案]
9 8a
•
如图，梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：A
、B、C、D共圆．
• [证明] ∵梯形ABCD是等腰梯形． • ∴∠A＝∠D • 又∵AD∥BC • ∴∠C＋∠D＝180° • ∵∠A＋∠C＝180° • ∴A、B、C、D共圆． • [点评与警示] 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或 它的一个外角等于它的内角的对角．
• 8．圆内接四边形的判定 • 如果一个四边形的一组对角 互补 内接于圆．
，那么这个四边形
• 9．圆内接四边形的性质
• 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都 等于 它的内对角．
• 1．(2011·广州一模)(几何证明选讲选做题)如下图所示， CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1， ∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
• [答案] 3
3．(2011·惠州二模)(几何证明选讲选做题)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝2，AC 和 AD 是⊙O 的两条弦，AC ＝ 2，AD＝ 3，则∠CAD＝________.
[解析] 连结 BC、BD，则∠ACB＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ABC 中，cos∠CAB＝AACB＝ 22，∴∠CAB＝4π；
• (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°. • 由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝ 30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得 ∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.
• (2010·天津，11)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四
• (2009·宁夏海南卷理)如图，已知△ABC的两条角平分 线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. • (1)证明：B，D，H，E四点共圆； • (2)证明：CE平分∠DEF.
• [证明] (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋ ∠BCA＝120°， • 因为AD，CE是角平分线， • 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， • 故∠AHC＝120°. • 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， • 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， • 所以B，D，H，E四点共圆．
• 2．在圆中证明线段的关系式首要考虑的是几个重要定理 ，结合相似三角形进行等比代换或等线代换，圆中角的关系 ，则往往利用圆周角，弦切角，圆心角与弧的关系转化．
[解析] ∵AC、AD 分别是⊙O′、⊙O 的切线，AB 是 两圆的公共弦，由弦切角定理得∠CAB＝∠ADB，
∠DAB＝∠ACB， ∴△ABC∽△DBA， ∴BACB＝BADB，∴AB2＝BC·BD＝2×6， ∴AB＝2 3. • [[答点案评]与警2 示3.] 本题根据弦切角定理推出角相等，从而转 化为相似三角形问题来解决．
在 Rt△ABD 中，cos∠DAB＝AADB＝ 23， ∴∠CAB＝π6；∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝51π2.
[答案]
5π 12.
• 如下图所示，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的 切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，若 BC＝2，BD＝6，则AB的长为________．
(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ＝23a，∠OAP＝30°，则 CP＝________.
[解析] ∵P 是弦 AB 的中点，∴OP⊥AB.
在 Rt△AOP 中，∠OAP＝30°，OA＝a，
∴AP＝ 23a＝BP.又∵CP·PD＝PA·PB，
• [ 解 析 ] ∠A ＝ ∠BCD ＝ 30° ， 从 而 ∠BOC ＝ 60°.∴△OBC是等边三角形． • ∴圆的半径为1，面积为π. • [答案] π
• 2．(2009·深圳二模)如下图所示，已知EB是半圆O的直径 ，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C ，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.
边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的 值为________．
[解析] 由切割线定理知 PB·PA＝PC·PD.
令 PB＝x，则 PA＝2x，
PC＝y，则 PD＝3y， ∴PB·PA＝2x2，PC·PD＝3y2，
∴2x2＝3y2，xy＝
2 3.
∵△PBC∽△PDA，
• 5．弦切角定理 • 弦切角的度数 等于 它所夹的弧的度数的一半． • 推论：弦切角 等于 它所夹弧所对的圆周角．
• 6．相交弦定理 • 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积 相等 ．
• 7．切割线定理
• 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项 ．
已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB＝3，则切线 AD 的长为 ________．
[解析] 由 OC＝3，O 到 AC 距离为 2 2知 BC＝2
由 AD2＝AB·AC＝3×5 知 AD＝ 15.
[答案] 15
• 1．解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作 辅助线，使得分散的条件集中，并要分析待证明的结论与已 知条件关系，逐步消除差距．
∴DBCA＝PPAC＝2yx＝12
23＝
6 6.
[答案]
6 6
• 如图：PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且 不过圆心 O，已知∠BPA＝30°，PA＝2 3，PC＝1，则圆 O 的半径等于__________．
• [解析] 由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA并 反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD＝4 ， DA ＝ 2 ， 故 CD ＝ 3 ， DB ＝ 8 ， 记 圆 的 半 径 为 R ， 由 于 ED·DA＝CD·DB • 因此，(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7. • [答案] 7
• 2．圆的切线的判定 • 经过圆的半径的外端且 垂直 于这条半径的直线，是圆 的切线．
• 3．圆的切线的性质 • 圆的切线 垂直 过切点的半径． • 推论：①从圆外的一个已知点所引的两条切线长 相等 ． • ②经过圆外的一个已知点和圆心的直线， 平分 从这点向 圆所作的两条切线所夹的角． • 4．圆周角定理 • 圆周角的度数 等于 它所对弧的度数的一半． • 推论：①直径(或半圆)所对的圆周角是 直角 ． • ②同弧或等弧所对的圆周角 相等 ． • ③等于直角的圆周角所对的弦是圆的 直径 ．
∴CP＝PPAD2＝
223a2＝98a.
3a
[答案]
9 8a
•
如图，梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，求证：A
、B、C、D共圆．
• [证明] ∵梯形ABCD是等腰梯形． • ∴∠A＝∠D • 又∵AD∥BC • ∴∠C＋∠D＝180° • ∵∠A＋∠C＝180° • ∴A、B、C、D共圆． • [点评与警示] 证明四点共圆通常证四边形的对角互补或 它的一个外角等于它的内角的对角．
• 8．圆内接四边形的判定 • 如果一个四边形的一组对角 互补 内接于圆．
，那么这个四边形
• 9．圆内接四边形的性质
• 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都 等于 它的内对角．
• 1．(2011·广州一模)(几何证明选讲选做题)如下图所示， CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1， ∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．
• [答案] 3
3．(2011·惠州二模)(几何证明选讲选做题)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AB＝2，AC 和 AD 是⊙O 的两条弦，AC ＝ 2，AD＝ 3，则∠CAD＝________.
[解析] 连结 BC、BD，则∠ACB＝∠ADB＝90°，
在 Rt△ABC 中，cos∠CAB＝AACB＝ 22，∴∠CAB＝4π；
• (2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°. • 由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝ 30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得 ∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.
• (2010·天津，11)如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四
• (2009·宁夏海南卷理)如图，已知△ABC的两条角平分 线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF. • (1)证明：B，D，H，E四点共圆； • (2)证明：CE平分∠DEF.
• [证明] (1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋ ∠BCA＝120°， • 因为AD，CE是角平分线， • 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， • 故∠AHC＝120°. • 于是∠EHD＝∠AHC＝120°， • 因为∠EBD＋∠EHD＝180°， • 所以B，D，H，E四点共圆．
• 2．在圆中证明线段的关系式首要考虑的是几个重要定理 ，结合相似三角形进行等比代换或等线代换，圆中角的关系 ，则往往利用圆周角，弦切角，圆心角与弧的关系转化．
[解析] ∵AC、AD 分别是⊙O′、⊙O 的切线，AB 是 两圆的公共弦，由弦切角定理得∠CAB＝∠ADB，
∠DAB＝∠ACB， ∴△ABC∽△DBA， ∴BACB＝BADB，∴AB2＝BC·BD＝2×6， ∴AB＝2 3. • [[答点案评]与警2 示3.] 本题根据弦切角定理推出角相等，从而转 化为相似三角形问题来解决．
在 Rt△ABD 中，cos∠DAB＝AADB＝ 23， ∴∠CAB＝π6；∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝51π2.
[答案]
5π 12.
• 如下图所示，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的 切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D，若 BC＝2，BD＝6，则AB的长为________．
(2010·广东，14)(几何证明选讲选做题)如图，AB，CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦，它们相交于 AB 的中点 P，PD ＝23a，∠OAP＝30°，则 CP＝________.
[解析] ∵P 是弦 AB 的中点，∴OP⊥AB.
在 Rt△AOP 中，∠OAP＝30°，OA＝a，
∴AP＝ 23a＝BP.又∵CP·PD＝PA·PB，
• [ 解 析 ] ∠A ＝ ∠BCD ＝ 30° ， 从 而 ∠BOC ＝ 60°.∴△OBC是等边三角形． • ∴圆的半径为1，面积为π. • [答案] π
• 2．(2009·深圳二模)如下图所示，已知EB是半圆O的直径 ，A是BE延长线上一点，AC切半圆O于点D，BC⊥AC于点C ，DF⊥EB于点F，若BC＝6，AC＝8，则DF＝________.
边形，延长 AB 和 DC 相交于点 P.若 PB＝1，PD＝3，则ABDC的 值为________．
[解析] 由切割线定理知 PB·PA＝PC·PD.
令 PB＝x，则 PA＝2x，
PC＝y，则 PD＝3y， ∴PB·PA＝2x2，PC·PD＝3y2，
∴2x2＝3y2，xy＝
2 3.
∵△PBC∽△PDA，
• 5．弦切角定理 • 弦切角的度数 等于 它所夹的弧的度数的一半． • 推论：弦切角 等于 它所夹弧所对的圆周角．
• 6．相交弦定理 • 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积 相等 ．
• 7．切割线定理
• 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项 ．
已知圆 O 的半径为 3，从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC，圆心 O 到 AC 的距离为 2 2，AB＝3，则切线 AD 的长为 ________．
[解析] 由 OC＝3，O 到 AC 距离为 2 2知 BC＝2
由 AD2＝AB·AC＝3×5 知 AD＝ 15.
[答案] 15
• 1．解决平面几何问题时，当条件较分散时，可适当添作 辅助线，使得分散的条件集中，并要分析待证明的结论与已 知条件关系，逐步消除差距．
∴DBCA＝PPAC＝2yx＝12
23＝
6 6.
[答案]
6 6
• 如图：PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且 不过圆心 O，已知∠BPA＝30°，PA＝2 3，PC＝1，则圆 O 的半径等于__________．
• [解析] 由圆的性质PA2＝PC·PB，得PB＝12，连接OA并 反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD＝4 ， DA ＝ 2 ， 故 CD ＝ 3 ， DB ＝ 8 ， 记 圆 的 半 径 为 R ， 由 于 ED·DA＝CD·DB • 因此，(2R－2)·2＝3·8，解得R＝7. • [答案] 7