宁夏银川一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题

宁夏银川市2020年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）如图是某职业篮球运动员在连续11场比赛中得分的茎叶统计图，则该组数据的中位数是（）A . 31B . 32C . 35D . 362. （2分）若数列满足，则的值为（）A . 2B .C . 1D .3. （2分）(2018·绵阳模拟) 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输出的，则输入的可能是（）A . 15,18B . 14,18C . 12,18D . 9,184. （2分） (2020高二上·林芝期末) 在中，，，，则（）A .B .C .D .5. （2分）我国一直为“低碳生活”努力，根据下面给出的2004年至2013年我国某有害物质排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论正确的是（）A . 逐年比较，2005年减少二氧化硫排放量的效果最显著B . 2008年我国治理二氧化硫排放显现成效C . 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D . 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关6. （2分）某车间加工零件的数量与加工时间y的统计数据如表：零件数（个）182022加工时间y（分钟）273033现已求得上表数据的回归方程 = x+ 中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（）A . 84分钟B . 94分钟C . 102分钟D . 112分钟7. （2分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则=（）A . -B .C . -D .8. （2分） (2016高一下·成都期中) 如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD=200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A . 100 米B . 50（ +1）米C . 米D . 200米二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分） (2019高三上·双流期中) 某校有高一学生名，其中男生数与女生数之比为，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为的样本，若样本中男生比女生多人，则________．10. （2分） (2019高三上·长春月考) 如图，将边长为的正方形沿轴正向滚动,先以为中心顺时针旋转,当落在轴时,又以为中心顺时针旋转,如此下去,设顶点滚动时的曲线为 ,则 ________当时, ________．11. （1分） (2018高一下·渭南期末) 执行如图所示的程序框，则输出的 ________．12. （1分） (2018高二上·怀化期中) 在△ABC中，，b＝2，c＝3，则A＝________13. （1分） (2017高二下·衡水期末) 设A（n）表示正整数n的个位数，an=A（n2）﹣A（n），A为数列{an}的前202项和，函数f（x）=ex﹣e+1，若函数g（x）满足f[g（x）﹣ ]=1，且bn=g（n）（n∈N*），则数列{bn}的前n项和为________．三、解答题： (共4题；共30分)14. （5分） (2016高三上·黄冈期中) 设数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20，数列{bn}的前n项和为Sn ， b1= 且3Sn=Sn﹣1+2（n≥2，n∈N）．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若cn=an•bn ， n=1，2，3，…，Tn为数列{cn}的前n项和，Tn＜m对n∈N*恒成立，求m的最小值．15. （5分）(2017·山东模拟) 设△ABC的三个内角分别为A，B，C．向量共线．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，试判断△ABC的形状．16. （10分） (2017高二上·宜昌期末) 已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且c=2，C= ．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A的值．17. （10分） (2017高一下·安徽期中) 在等差数列{an}中，a2+a7=﹣32，a3+a8=﹣40．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题： (共4题；共30分)14-1、15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、。

期中数学试卷题号 一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1. 与 2019 °）终边同样的角是（A. 37°B. 141 °C. -37 °D. -141 °2.以下四式中不可以化简为的是（）A.B.C.D.3. 在平面直角坐标系 xOy 中，角 θ的极点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（ -3， 1），则 cos2θ=（）A.B.C.D.4.若 cos π +α=- ， π α 2π sin （ 2π-α）（ ） ＜ ＜ ，则）的值为（A.B.C. ±D. -5.已知向量 =（ 1， 1）， 2 + =（ 4， 3）， =（ x ， -2），若 ∥，则 x 的值为（ ）A. 4B. -4C. 2D. -26.ABC中，内角 A B C知足 2sinBcosC=sin AABC的形状为（） 在 △， ，，则 △A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 正三角形7.函数的定义域为（）A.B.C.D.8.函数 f x = sin （ x+ ） +cos x- ）的最大值为（ ）（ ） （A.B. 1C.D.9. 已知向量 ，知足| |= ， | |= ， ⊥（ ），则 与 的夹角是（ ）A.B.C.D.10. 将函数 y=sin2x-cos2x 的图象向左平移 个单位长度， 所得图象对应的函数 （ ）A. 最小正周期为B. 对于 x= 对称C. 对于点（ ， 0）对称D. 在[， ] 上单一递减11.已知G是△ABC的重心，若，则x+y=（）A.-1B.1C.D.12.若tan（2x+）=-，则sin2x-3cos2x=（）A.5或B.或-C.3或D.或-二、填空题（本大题共 4 小题，共12.0 分）13.已知向量 =（ 3， 4）， =（ -2， 4），那么在方向上的投影是 ______．14.王小一问同桌王小二一道题： cos215°- 的值是多少？王小二浅笑着告诉王小一：就等于的值，你以为王小二说得对吗？______（对或不对）15. 平行四边形ABCD 中， AB=4，AD=2，，点 P 在边 CD 上，则的取值范围是______．16. 已知函数的部分图象以下图，将函数f（ x）的图象先向右平移 1 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到本来的π倍，获得函数 g（ x）的图象，若在x0 处获得最大值，则=______ ．三、解答题（本大题共 6 小题，共70.0 分）17.已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10．（1）求弦 AB 所对的圆心角α的大小；（2）求α所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S．18.已知 sin α +cos α=．（Ⅰ）求 sin α?cosα的值；（Ⅱ）若α∈（），求sinα+cos（π-α）的值．19.已知，，函数．求函数图象的对称轴方程；若方程在上的解为，，求的值．20.在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，已知向量且．（Ⅰ）若，求向量的坐标；（Ⅱ）求 y=cos2 2 的值域．θ-cos θ+t21.设是两个不共线的非零向量．（Ⅰ）设，，，那么当实数t 为什么值时， A，B，C三点共线；（Ⅱ）若，且与的夹角为 60°，那么实数 x 为什么值时的值最小？最小值为多少？22.已知函数 f（ x） =2sin sin（π +ωx）cos（3π-ωx）-cos2（π-ωx） + （ω∈R）的最小正周期是π，且在区间 [0， ] 上单一递减．（ 1）求函数的分析式；（ 2）若对于 x 的方程 2a[f（ x+ π）+f（x+ ）]2 -2[f（x+ ）+f（ x π）]-3 a+3=0 在 [0， ] 上有实数解，求 a 的取值范围．答案和分析1.【答案】D【分析】解：终边同样的角相差了360°的整数倍，设与 2019°角的终边同样的角是α，则α=2019°+k?360°，k∈Z，当 k=-6 时，α=-141 °．应选： D．终边同样的角相差了 360°的整数倍，由α=2019°+k?360°， k∈Z，令 k=-6 ，即可得解．本题考察终边同样的角的观点及终边同样的角的表示形式．属于基本知识的考察．2.【答案】C【分析】解：由题意得A：，B：=，C：，因此C不可以化简为，D ：，应选： C．由题意得A：，B：=，C：，D ：；由以上可得只有 C 答案切合题意．解决本题的重点是娴熟掌握数列的运算性质．3.【答案】D【分析】解：∵角θ的极点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，1），∴|OP |=，∴sin θ=．则 cos2θ=1-2sin2θ=．应选： D．由随意角的三角函数的定义求得sin θ，而后睁开二倍角公式求cos2θ．本题考察三角函数的化简求值，考察随意角的三角函数的定义，是基础题．4.【答案】B【分析】【剖析】本题考察了同角三角函数间的基本关系，以及运用引诱公式化简求值，娴熟掌握引诱公式是解本题的重点，同时在计算时注意角度的范围，属于基础题.把已知的等式利用引诱公式化简，求出cosα的值，而后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α的值，而后把所求的式子利用引诱公式化简后，把sin α的值代入即可求出值．【解答】解：由 cos（π+α） =-cosα=-，获得 cosα=，∵π＜α＜ 2π，∴sin α=-=-，则 sin（ 2π-α） =-sin α=-（ - ） = ．应选： B．5.【答案】B【分析】解：；∵；∴x+4=0 ；∴x=-4．应选： B．可求出，进而依据得出x+4=0，解出x=-4．考察向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．6.【答案】B【分析】【剖析】本题考察正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得b=c，进而可得结论．【解答】解：∵2sinBcosC=sin A，∴a=2bcosC，∴a=2b?，∴b2=c2，∴b=c，∴△ABC 的形状是等腰三角形．应选： B．7.【答案】C【分析】解：由题意得：1-tan（ x- ）≥0，故 tan（ x- ）≤1，故kπ- ＜ x- ≤kπ+，解得： x∈（ kπ- ， kπ+]， k∈z，应选： C．依据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可．本题考察了求函数的定义域问题，考察三角函数的性质，是一道基础题．8.【答案】A【分析】【剖析】本题考察引诱公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考察计算能力，属于基础题．利用引诱公式化简函数的分析式，经过正弦函数的最值求解即可．【解答】解：函数 f （ x） = sin（ x+ ）+cos（ x- ）=sin （x+ ） +cos（ -x+ ）=sin （x+ ） +sin（ x+ ）=sin （x+ ）．应选： A．9. 【答案】 B【分析】解：∵；∴；∴；又；∴= ；∴；∴；∴；又；∴与的夹角为．应选： B．依据即可得出，再依据即可求出，而后对两边平方即可求出，进而可求出，这样依据向量夹角的范围即可求出与的夹角．考察向量垂直的充要条件，向量数目积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．10.【答案】D【分析】【剖析】本题考察y=Asin（ωx+φ）的图象及性质，考察函数图象变换，属于基础题.依据函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的分析式，再利用正弦函数的周期性、单一性、以及图象的对称性，得出结论．【分析】解：将函数y=sin2x- cos2x=2sin （ 2x- ）的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数的分析式为y=2sin （ 2x+π- ） =2sin （ 2x+）．故所得图象对应的函数的最小正周期为=π，故清除A；令 x=，求得y=2sin（2× +）=1，不是最值，故清除B；令 x= ，求得 y=2sin（ 2× +）=-，故图象不对于点（，0）对称，故清除C；在 [，]上， 2x+∈[，]，可得 y=2sin （ 2x+）单一递减，故 D 知足条件，应选： D．11.【答案】C【分析】【剖析】本题主要考察三角形重心的定义以及向量的线性运算，本题属基础题．本题可依据三角形的重心的定义和向量的线性运算进行解决．【解答】解：由题意，绘图以下：由重心的定义，可知：=，∴==．∴x+y=．应选： C．12.【答案】B【分析】解： sin2x-3cos2 x==∵tan（ 2x+ ）=- ，∴，∴tan2x= ，∴tan2x= ，∴tanx=2 或 tanx= ，∴当 tanx=2 时，原式 = ，当 tanx= 时，原式 = ，应选： B．依据 tan（ 2x+ ） =- ，求出 tanx 的值，将sin2x-3cos2x 用 tanx 表示，而后求值即可．本题考察了三角函数的化简与求值，考察了转变思想，属基础题．13.【答案】【分析】解：=3×（ -2） +4×4=10．| |= =2 ．∴ 在方向上的投影为| | c os＞= =．? ＜故答案为．计算， | |，代入数目级的投影公式计算．本题考察了平面向量的数目级运算，属于基础题．14.【答案】对【分析】解： cos215°- ==，=因此王小而说得对．故答案为：对．对两式分别化简求值，判断两式的结果能否相等即可．本题考察了三角函数的化简求值，属基础题．15.【答案】[，0]【分析】解：由于点P 在边 CD 上，因此设，则，，因此=-λ（ 1-λ）×16-（ 1-λ）×4= ，又 0≤λ≤1，因此，故答案为：．选择向量为基底，分别表示出向量，而后依据数目积成立函数来求解．本题考察了平面向量数目积的运算以及共线定理，属于中档题目．16.【答案】【分析】解：函数的最大值为A=1 ，最小正周期为8，且过点（ 1， 1），则 =8，得ω=，则 f（ x） =sin（ x+φ），则 f（ 1） =sin（ +φ） =1，∵| φ|＜，∴当 +φ=，得φ=，则 f（ x） =sin（ x+ ），将函数 f（ x）的图象先向右平移 1 个单位长度，获得y=sin （ x），再将图象上各点的横坐标伸长到本来的π倍，获得函数g（ x）的图象，即 g（ x）=sin ，则=sin +2cos = （sin + cos ）= sin（ +θ），此中 cosθ=，sin θ=，当+θ=+2 kπ，k∈Z，即 x=2π-4θ+8kπ，k∈Z 时， h（ x）获得最大值，此时 x0=2π-4θ +8kπ，k∈Z，则 sin =sin（π-2θ+4kπ） =sin2 θ=2sin θcosθ=2××= ，故答案为：由图象可得函数的周期及最值，求得ω和 A，利用最值求出φ，利用两角和差的正弦公式和协助角公式进行化简，联合二倍角公式进行求解即可．本题考察了三角函数分析式确实定，考察了两角和的正弦公式、引诱公式、二倍角公式的应用，重点是求得协助角的三角函数值，属于综合题．17.【答案】解：（1）由⊙O的半径r=10= AB AOB是等边三角形，，知△∴α=∠AOB=60 °= ．（ 2）由（ 1）可知α=， r=10，∴弧长 l=α?r = ×10= ，∴S 扇形 = lr = ××10=，而 S△AOB= ?AB?= ×10 ×=，∴S=S 扇形 -S △AOB =50．【分析】 （ 1）经过三角形的形状判断圆心角的大小，即可求弦 AB 所对的圆心角 α的大小；（ 2）直接利用弧长公式求出 α所在的扇形的弧长 l ，利用扇形的面积减去三角形的面积，即可获得所在的弓形的面积 S ．本题考察扇形弧长公式，以及扇形面积公式的求法，考察计算能力．18.【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵sin α +cos α=，∴ ，即 ，∴；（Ⅱ）∵，又 ∵α∈， ∴sin α＞ 0， cos α＜ 0，则 sin α+cos （π-α） =sin α-cos α=．【分析】 （ Ⅰ ）把已知等式两边平方即可求得 sin α?cos α的值； （ Ⅱ ）求出（ sin α-cos α） 2 的值，联合角的范围开方得答案． 本题考察三角函数的恒等变换及化简求值， 考察同角三角函数基本关系式及引诱公式的应用，是基础题．19.【答案】 解： ∵ = （sinx ，）， = （ cosx ， ），cosx -cosx ∴f （x ） = + =sinxcosx-==sin （2x- ）（ 1）令 2x- =可得 x=k π， k ∈z∴函数 f （ x ）图象的对称轴方程 x=k π， k ∈z（ 2） ∵方程 f （x ） = 在（ 0， π）上的解为x 1， x 2，由正弦函数的对称性可知x 1+x 2=2k ，∵x 1，x 2∈（0， π），∴x 1+x 2=∴cos （ x 1+x 2） =【分析】 （ 1）先依据向量数目积的坐标表示求出f （ x ）联合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；2 f x ） = 在（ 0 π x x 1+x 2，进（ ）由方程 （ ， ）上的解为 1， x 2，及正弦函数的对称性可求 而可求．本题主要考察了向量数目积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，数基础试题．20.，又；【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵∴2t-cos θ +1=0； ∴cos θ-1=2t ①；又 ∵；∴（ cos θ-1） 2+t 2=5②；由①②得， 5t 2=5；2∴t =1； ∴t=±1；当 t=1 时， cos θ=3（舍去）；当 t=-1 时， cos θ=-1，∴B （ -1， -1），即；（ Ⅱ）由（ Ⅰ）可知；∴==；又 ∵cos θ∈[-1， 1]；∴当时，；当 cos θ=-1 时， y max；=3∴y 的值域为．【分析】 （ Ⅰ ）可求出，依据 即可得出 cos θ-1=2t ①，而依据即可得出（ cos θ-1） 2+t 2=5②，联立①②即可解出 t=±1，并可判断 t=1 不合题意，只好取 t=-1，此时 cos θ=-1，进而得出 的坐标；（ Ⅱ ）由上边得出，进而得出，配方即可求出 y 的最大、最小值，即得出 y 的值域．考察函数值域的观点及求法，依据点的坐标求向量的坐标的方法， 平行向量的坐标关系，依据向量坐标求向量长度的方法，配方法求二次函数的值域．21.【答案】 解：（ Ⅰ ）由 A B C三点共线知：存在实数 λ =λ + （ 1-λ ， ， 使） ， 则 （ + ） =λ（ - ） +（1-λ） t则 λ=， t= ，（ Ⅱ ） ? =| || |cos60 °= ，| -2x|2 2+4x 2 22∴= -4x ? =2+16 x -4=16x2-4+4，∴当 x=-=时，| -2x |的最小值为．【分析】（Ⅰ）由 A，B，C 三点共线知：存在实数λ使=λ +（ 1-λ），代入，，可得λ=， t= ；（Ⅱ） ? =| || |cos60 °= | -2x |2 22 2-4x2 2，∴= +4 x ? =2+16 x -4 =16x -4+4，利用二次函数求最值可得．本题考察了平面向量数目积的性质及其运算，属中档题．22.【答案】解：（1）函数f（x）=2sin sin（π+ωx）cos（3π-ωx）-cos2（π-ωx）+（ω∈R）=sin ωx?cos ωx） -cos2ωx+ （ω∈R）=sin2 ωx-+ =sin （2ωx- ）；T==π，因此：ω =±1；当ω=1时；函数 f（x）=sin（ 2x- ）；此时在区间 [0， ] 上单一递加．不合题意，∴ω=-1；当ω=-1 时；函数 f（x）=sin（ 2ωx- ）=-sin（ 2x+ ）；此时在区间[0， ] 上单一递减．符合题意，故 f（ x） =-sin（ 2x+ ）；（ 2）f（ x）=-sin（ 2x+ ）；f（x+π）=-sin（2x+π+）=sin2x；f（x+）=-sin（2x+）=cos2x；f （xπ）=-sin（2x+ +）=-cos2x；方程方程2a[f（x+π）+f（x+）]2-2[ f（x+）+f（xπ）]-3a+3=0即为：2a[sin2 x+cos2x] 2-2[sin2 x-cos2x]-3a+3=0；令 t=sin2 x-cos2x=sin（ 2x- ）∈[-1 ， 1]由于 [sin2x+cos2x]2 +[sin2x-cos2x]2 =2， [sin2 x+cos2x] 2+t2=2，得： [sin2 x+cos2x]2=2-t2，因此原方程化为：2a[2-t] 2-2t-3a+3=0，整理 2at2+2t-a-3=0 ，等价于 2at2+2t-a-3=0 ，在 [-1，1]有解，记 f（ t ）=2at2+2t -a-3，在 [-1 ， 1]有解，（ 1）当 a=0 时， f（ t） =2t-3，若 f（ t） =0，解得： t= ∈[-1， 1]不切合题意，因此a≠0；（ 2）当 a≠0，方程 f（ t）=0 在 [-1， 1]上有解；①方程在 [-1 ，1] 上恰有一解 ? f（ -1）?f（ 1）≤0，解得： 1≤a≤5；②方程在 [-1 ，1] 上恰有两解 ? af（ 1）≥0且 af（ -1）≥0且△=4+8 a（ 3+a）≥0且- ∈[-1，1]同时成立．解得： a≤或a≥5；综上所述， a 的范围是a≤或a≥1．【分析】（ 1）由三角函数引诱公式可得sin ωx?cosωx）-cos2ωx+ （ω∈R），利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数f（ x），利用正弦函数的周期公式可得ω=±1；分别议论即可得函数分析式；（ 2）原方程可化为2a[sin2 x+cos2x] 2-2[sin2 x-cos2x]-3 a+3=0 ；令 t=sin2x-cos2x= sin（ 2x- ）22 2∈[-1， 1]，可得 2a[2- t] -2t-3a+3=0 ，整理 2at +2t-a-3=0，等价于2at +2t-a-3=0 ，在 [-1 ，本题考察三角函数引诱公式二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，考察方程和函数变换求参数的范围，属于中档题．。

高一年级期中考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点则与同方向的单位向量为()()1,3,4,1,A B -ABA. B.C.D.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为(41,13)(3,4)AB =---=- AB，故选A.134(3,4)(,)555AB e AB ==-=-考点：向量运算及相关概念.2. 已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ） i 1i12i-+A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【详解】∵，故， ()()()()1i 2i 11i 13i 2i 12i 12i 155z --+-===--++-+1355z i=-+ ∵ ∴在第二象限，故选B 130,055-z 3. 三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为，1h 2h ，，则它们的大小关系正确的是（ ）3hA. B. C. D.213h h h >>123h h h >>321h h h >>231h h h >>【答案】A【解析】【分析】根据半球、圆锥、圆柱的结构确定正确答案.【详解】喝酒的过程中，酒杯中酒水的水面，面积下降最快是圆锥，其次是半球，而圆柱是不变的， 所以，体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，所以. 2h 3h 213h h h >>故选：A4. 如图，在中，，，若，则的值为ABC ∆23AD AC = 13BP PD = AP AB AC λμ=+λμ+A.B.C.D.1112348979【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.AB AC AP【详解】由题意得： ()11314444AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+3123144346AB AC AB AC =+⨯=+又，可知： AP AB AC λμ=+ 31114612λμ+=+=本题正确选项：A 【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型. 5. 直三棱柱的6个顶点在球的球面上.若，.，，则111ABC ABC -O 3AB =4AC =AB AC ⊥112AA =球的表面积为（ ）O A .B.C.D.1694π169π288π676π【答案】B 【解析】【分析】由于直三棱柱的底面为直角三角形，我们可以把直三棱柱补111ABC A B C -ABC 111ABC A B C -成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体，则球是长方体的外接1111ABEC A B E C -O 1111ABEC A B E C -球.所以体对角线的长为球的直径.因此球的外接圆直径为，故球的1BC O O 213R ==O 表面积. 24169R ππ=故选：B.【点睛】本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.6. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -E F G 1AA 11B C 11C D DE 所成角的余弦值为（ ）FGA.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】连接，，可得即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，由余BD BE 11B D BDE ∠DE FG 弦定理可得答案.【详解】连接，，，则， BD BE 11B D 11////BD B D GF 则即为异面直线与所成角， BDE ∠DE FG设正方体的棱长为2，则，，BE DE ==BD =则 222cos 2BD DC BE BDE BD DC +-∠===⨯即异面直线与DE FG 故选：B.7. 在如图（1）所示的四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面，A BCDE -BCDE ABC BCDE 水平放置的侧面的斜二测直观图如图（2）所示，已知，，则四棱锥ABC 2A B ''=1A C ''=A BCDE -的侧面积是（ ）A. B. 12+20+C. D.2+2++【答案】D 【解析】【分析】先利用题给条件求得四棱锥的棱长以及其中的垂直关系，再利用其结构特征即可求A BCDE -得该四棱锥的侧面积.A BCDE -【详解】四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面， A BCDE -BCDE ABC BCDE 则侧面，侧面CD ⊥ABC BE ⊥ABC 由水平放置的侧面的斜二测直观图可知，， ABC 2,AB AC AB AC ==^由勾股定理可得， BC =AD AE ==所以等腰三角形的面积为， ADE 12⨯=直角三角形与直角三角形的面积均为， ACD ABE 122⨯=等腰直角三角形的面积为， ABC 12222⨯⨯=故该几何体的侧面积是. 2++故选：D8. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB =5，BD =6，AC =4，ABD △AD =3，若点C 恰好在边BD 上，请帮忙计算的值（ ）cos ACD ∠A.B.C.D.1259【答案】D 【解析】【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得cos ADB ∠sin ADB ∠sin ACD ∠，再根据平方关系可求.cos ACD ∠【详解】由题意，在中，由余弦定理，ABD △；222936255cos 22369AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯因为，所以(0,π)ADB ∠∈sin ADB ∠===在中，由正弦定理， ACD ,sin sin AC ADADB ACD=∠∠3sin ACD =∠解得 sinACD ∠=由题意，因为为锐角，所以 ACD ∠cos ACD ∠===故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是（ ）A. 若α⊥β，m ⊥α， 则m //βB. 若α/β，m ⊥α， 则m ⊥βC. 若m //α，m ⊥β， 则α⊥βD. 若m //α，m //β， 则α//β【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面和面面的位置关系依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若，，则或，故A 错误； αβ⊥m α⊥//m βm β⊂对选项B ，若，，则，故B 正确； //αβm α⊥m β⊥对选项C ，若，则平面内存在直线，使得， //m ααl //l m 又，所以，故，故C 正确；m β⊥l β⊥αβ⊥对选项D ，若，，则或与相交，故D 错误. //m α//m β//αβαβ故选：BC10. 设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）,,a b cA. 若，则B. 若，则a b a b +=- a b ⊥ a b = ()()a b a b +⊥-C. 若，则不与垂直D. 不与垂直a cbc ⋅=⋅ a b - c()()b c a a c b ⋅-⋅ c【答案】AB 【解析】【分析】根据模长公式即可判断A ，根据数量积是否为0可判断BCD.【详解】对于A ，由平方可得 a b a b +=- 2222220a b a b a b a b a b a b ++⋅=+-⋅⇒⋅=⇒⊥，故A 正确，对于B,若则，所以，故B 正确，a b = ()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ()()a b a b +⊥- 对于C, 若，则或或（舍去），故可能a c b c ⋅=⋅ ()()00a b c a b -⋅=⇒-= ()0a b c -⊥= 0c =a b - 与垂直，故C 错误，c对于D ，，所以()()()()()()()()0b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，故D 错误， ()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦故选：AB11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ） ABC A B C a b c A. 若，则sin sin A B <A B <B. 若是锐角三角形，恒成立ABC sin cos A B <C. 若，，，则符合条件的有两个 10a =9b =60B =︒ABC D. 若，，则是等边三角形 60B =︒2b ac =ABC 【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦定理可以判断A ；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B ；作出示意图判断C ；根据余弦定理可以判断D.【详解】对A ，由正弦定理可知，正确；a b A B <⇒<对B ，因为三角形为锐角三角形，所以，则02002222A B B A A B πππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⇒<-<<⎨⎪⎪+>⎪⎩，B 错误；sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭对C ，如示意图，点A 在射线上，，易得，则，即符合条件的三BA 'CA BA ''⊥CA '=910<<角形有2个，正确；对D ，由余弦定理可知，，而()2222222cos 0b a c ac B a c ac ac a c a c =+-=+-=⇒-=⇒=，即该三角形为正三角形，正确.60B =︒故选：ACD.12. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，111ABC A B C -AB AC ⊥，，分别为棱，的中点，则（ ）12CC BC ==D E 1AA 11B CA. 四面体为鳖臑 1C ABC -B. 平面 //DE 1ABCC. 若，则与AB =AB DED. 三棱锥 1C ABC -【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A ；连接相交于点，可得四边形11B C C B 、O ADEO 为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可判断B ；由B 选项知与所成角即与//DE AO AB DE AB 所成角为或其补角，求出，在中由余弦定理得，再求出AO BAC ∠AO BO 、ABO cos BAO ∠可得正切值可判断C ；由、均为直角三角形可得点是三棱锥sin BAO ∠BAO ∠1C AB △1C CB △O的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D.1C ABC -【详解】对于A ，在堑堵中，平面，平面， 111ABC A B C -1CC ⊥ABC 、、AC BC AB ÌABC 所以，，，所以、均为直角三角形， 1CC AC ⊥1CC BC ⊥1CC AB ⊥1C AC 1C CB △因为，所以为直角三角形，AB AC ⊥ABC 且，平面，所以平面，平面， 1CC AC C =I 1CC AC ⊂、1ACC AB ⊥1ACC 1AC ⊂1ACC 所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A 正确； 1AB AC ⊥1ABC 1C ABC -对于B ，如图，连接相交于点，所以点为的中点，连接， 11B C C B 、O O 1C B 、EO AO 所以，，因为，，所以，， 1//EO B B 11=2EO B B 1//AD B B 11=2AD B B //AD EO =AD EO 所以四边形为平行四边形，所以，ADEO //DE AO 因为平面，平面，所以平面，故B 正确； DE ⊄1ABC AO ⊂1ABC //DE 1ABC对于C ，，由B 选项知，，AB =//DE AO所以与所成角即与所成角或其补角， AB DE AB AO BAC ∠因为，所以，所以， 12CC BC ==112==BO BC 1A E 111112==A E B C所以，所以，==DE ==AO DE在中，由余弦定理得， ABO 222cos 2+-∠===⨯AO AB BO BAO AO AB所以为锐角，则， BAO ∠sin ∠==BAO则与，故C 错误； AB DE =对于D ，如下图，连接，由A 选项可知，、均为直角三角形， AO 1C AB △1C CB △且，，且点为的中点，190C AB Ð=190C CB =O 1C B所以，1C O CO BO AO ===所以点是三棱锥， O 1C ABC -因为，所以为直角三角形，AB AC ⊥ABC所以三棱锥的外接球的体积为，与长度无关，故D 正确. 1C ABC -34π3=AB AC 、故选：ABD.【点睛】方法点睛：异面直线所成角的求法有几何法和向量，几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中，利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形，求出3边或3边的比例关系，用余弦定理求角.向量法：求两直线的方向向量，求两向量夹角的余弦，因为直线夹角为锐角，所以对2的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知i 为虚数单位，若，则___________． ()ii,,1ia b a b =+∈+R a b +=【答案】1 【解析】【分析】根据复数的四则运算和复数相等即可求出的值，进而求解即可.,a b 【详解】因为，所以， ii 1ia b =++i i(1i)1i 11i i 1i (1i)(1i)222a b -++====+++-所以，，则， 12a =12b =11122a b +=+=故答案为：.114. 如图所示，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_________.AB【答案】## 140π3140π3【解析】【分析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，作出图形，利用圆台和球体体积公式可求得几何体的体积.【详解】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，如下图所示，其中圆台的体积为， ()221156ππ2π5433⨯⨯+⨯⨯=半球的体积，则所求体积为． 31416ππ2233⨯⨯⨯=156π16π140π333-=故答案为：. 140π315. 在中，，满足，则的面积___________.AOB OA a = OB b = ||||2a b a b a ⋅=-==AOB【解析】【分析】由向量模的运算可得，然后结合向量的夹角公式运算即可得解.||2b =【详解】解:由题意可得,||2a b -=即, 2224a b a b +-⋅=又,||2a b a ⋅==则,||2b =设的夹角为,,a bθ则,1cos 2a b a b θ⋅== 则sin θ=则, 11sin 2222ABCS a b θ∆==⨯⨯= 故答案为:【点睛】本题考查了向量的夹角公式及向量模的运算，属基础题.16. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，且ABC A B C a b c ()sin sin sin sin b A B a A c C -=-，则的值为______．ABC 2b a a b +【答案】4 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理可得，再利用余弦定理以及角的范围可得，然后根据三角222ab b a c =+-π3C =形的面积公式即可得出答案.【详解】由正弦定理及，得，()sin sin sin sin b A B a A c C -=-222ab b a c =+-所以①，2221cos 22b ac C ab +-==又，所以，由， ()0,πC ∈π3C =ABC 221sin 2ab C =即，代入①，得，所以．23c ab =224b a ab +=224b a b a a b ab++==故答案为：4【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足（是虚数单位） z (1i)13i z +=-i （1）若复数是纯虚数，求实数的值； (1i)a z +a （2）若复数的共轭复数为，求复数的模． z z 1zz +【答案】（1）12（2 【解析】【分析】（1）根据复数的运算法则求得，得到，结合题意列出方12i z =--(1i)21(2)i a z a a +=--+程组，即可求解；（2）由（1）得到，化简，利用复数模的计算公式，即可求解. 12i z =-+11i 12z z =--+【小问1详解】解：由复数满足，可得， z (1i)13i z +=-()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z -----====--++-可得，(1i)(1i)(12i)21(2)i a z a a a +=+--=--+因为复数为纯虚数，可得，解得，即实数的值为.(1i)a z +21020a a -=⎧⎨+≠⎩12a =a 12【小问2详解】 解：由，可得，12i z =--12i z =-+则， ()12i 2i 12i42i 11i 112i 12i 2i 42z z -+⋅-+--====--+--+-⋅所以，即复数的模为. 1z z ==+1z z +18. 如图，中，，是边长为的正方形，平面⊥平面，若ABC AC BC ==ABED 1ABED ABC 、分别是、的中点．G F EC BD（1）求证：平面； //GF ABC （2）求证：⊥平面．AC EBC 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的AE F AE //FG AC 判定定理可证得结论成立；（2）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再利用勾股定理可得出BE ⊥ABC AC BE ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.AC BC ⊥【详解】（1）证明：连接．AE四边形为正方形，为的中点，为的中点，ABED F BD F ∴AE 又为的中点，所以，，G CE //FG AC 平面，平面，平面；FG ⊄ ABC AC ⊂ABC //FG ∴ABC （2）证明：四边形为正方形，，ABED BE AB ∴⊥因为平面⊥平面，平面平面，平面，ABED ABC ABED ⋂ABC AB =BE ⊂ABED 平面，BE ∴⊥ABC 平面，，AC ⊂ ABC AC BE ∴⊥，由勾股定理可得，， AC BC AB ==222AC BC AB +=AC BC ∴⊥，平面.BC BE B =Q I AC ∴⊥BEC 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．19. 的内角的对应边分别为，. ABC A B C ，，a b c ，，230b B == ，（1）若，求；1c =cos A（2）若，，求a . a c >ABC 1-【答案】（1；（2）. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理，可求得的值，根据同角三角函数关系，可求得值，根据诱导公sin C cos C式及两角和的余弦公式，展开计算，即可得答案.（2）根据面积公式，可求得的值，根据余弦定理，可求得的值，联立即可求得答案. ac a c +【小问1详解】在中，由正弦定理得：， ABC sin sin c bC B=所以，所以 ，12sin 12C =11sin sin 42C B =<=所以，所以， °30C B <=cos C ===所以()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+1124=⨯=【小问2详解】因为 ABC所以，解得， 11sin 124S ac B ac ===-4ac =-在中，由余弦定理得：，ABC (()2222222cos 434b a c ac B a c a c =+-⋅=+-=+-所以，a c +=+所以为方程的两根，,a c 240x x -+-=解得或x =x =因为，所以a c >a =20. 如图，是平面四边形的一条对角线，已知，且.BD ABCD AB DB AD BD ⋅=⋅AB AD DB +=（1）求证：为等腰直角三角形；ABD （2）若，，求四边形面积的最大值. 2BC =1CD =ABCD【答案】（1）见解析；（2. 54【解析】【分析】（1）首先利用题中的条件，结合向量的运算法则，得到，再根AB DB AD BD ⋅=⋅AB AD =据条件，转化得到，从而得到，进而证得结果；AB AD DB += 0AB AD ⋅=u u u r u u u r 2A π=（2）设，利用余弦定理得到，将四边形的面积转化为两个三角形的面C θ=254cos BD θ=-ABCD 积之和，应用辅助角公式化简，从而得到其最大值.【详解】（1）证明：因为，所以， AB DB AD BD ⋅=⋅ 0AB DB AD DB ⋅+⋅=即，()()0AB AD AB AD +⋅-=所以，即，22AB AD =AB AD =又，所以，AB AD DB += 222()()AB AD DB AB AD +==- 整理得，所以，即，0AB AD ⋅=u u u r u u u r AB AD ⊥2A π=所以是等腰直角三角形.ABD （2）设，可得， C θ=241221cos 54cos BD θθ=+-⨯⨯⨯=-则四边形的面积ABCD， 21115521sin sin cos 222444ABD CBD S S S BD πθθθθ⎛⎫=+=⨯+⨯⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以当时，. (0,)θπ∈34πθ=S 54【点睛】该题考查的是有关向量与三角形的问题，涉及到的知识点有向量的运算，向量的数量积，向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量垂直的条件，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，难度一般.21. 如图，在三棱锥中，点在底面上的射影在上，，，-P ABC P ABC D BC PA PB =2AB AC =．60CAB ∠=︒（1）求证：平面平面；PAC ⊥PBC （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理AB E //AC PDE AEEB由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 12AE EB =【解析】【分析】（1）先利用余弦定理得，证得，利用平面，证得BC =AC BC ⊥PD ⊥ABC ，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得结PD AC ⊥AC ⊥PBC 论；（2）连接，利用三角形知识证得是的三等分点，然后利用线面平行证得平面AD D CB //AC PDE ，从而得出结论.【详解】（1）证明：因为，2AB AC =在中，由余弦定理，可得，ABC 2221cos 22AB AC BC CAB AB AC +-∠==⋅可得，所以，所以．BC =222AC BC AB +=AC BC ⊥又因为平面，平面，所以．PD⊥ABC AC ⊂ABC PD AC ⊥又因为，所以平面． BC PD D = AC ⊥PBC 因为平面，所以平面平面． AC ⊂PAC PAC ⊥PBC （2）连接，因为平面，平面，平面，AD PD⊥ABC AD ⊂ABC BD ⊂ABC 所以，．PD AD ⊥PD BD ⊥在和中，由得 Rt ADP Rt BDP PA PB =AD BD =在中，由，得， Rt ACB △2AB AC =30ABC ∠=︒所以， 60ADC ABD BAD ∠=∠+∠=︒所以在中，， Rt ACD △1122CD AD BD ==所以是的三等分点． D CB 在线段上存在点，使得，则有． AB E 12AE BE =//DE AC 因为平面，平面，所以平面． DE ⊂PDE AC ⊄PDE //AC PDE 故在线段上存在点，使得平面，此时． AB E //AC PDE 12AE EB =22. 在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，111ABC A B C -1=A B 1160A AB A AC ∠=∠=︒．（1）证明：平面； 11//A C 1AB C （2）证明：；1BC AA ⊥（3）求直线与平面所成角的正弦值． BC 11ABB A 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3 【解析】【分析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）作出辅助线，得到，即有11A AB A AC ≌△△11=AC A B ，证明出，再有，证明出平面，从而得到；（3）法一：1BC A M ⊥BC AM ⊥BC⊥1AA M 1BC AA ⊥由余弦定理得到，得到，求出，由等体积法求16AA =1AM A M ⊥11123-=⨯⋅=△B AA C AA M V S BM出C 到平面的距离，设直线与平面所成角为，从而得到，法11ABB A d BC 11ABB A θsin ==d BC θ二：作出辅助线，找到线面角，求出各边长，从而得到与平面所成角的正弦值. BC 11ABB A 【小问1详解】证明：在三棱柱中有 111ABC A B C -11//AC AC 又因为平面，平面 11A C ⊄1AB C AC ⊂1AB C 即有平面11//AC 1AB C【小问2详解】取中点M ，连接BC 1,AM AM因为为正三角形，，M 为中点 ABC AC AB =BC 所以，BC AM ⊥因为111160,∠=∠=︒=A AB A AC AA AA 所以，即有 11A AB A AC ≌△△11=AC A B 所以1BC A M ⊥又因为平面平面 1,=⊂ AM A M M AM 11,⊂AA M A M 1AA M 所以平面，BC⊥1AA M 又平面，即有 1AA ⊂1AA M 1BC AA ⊥【小问3详解】法一：在中，由余弦定理得： 1A AB △2221111cos 2+-∠=⋅AA AB A B A AB AA AB 得解得：或（舍去） 21111628224+-=⋅AA AA 16AA =2-，由勾股定理得：1A M BC ⊥1A M ==因为，由勾股定理逆定理得：，AM =22211AM A M A A +=1AM A M ⊥所以 111122A AM S A M AM =⋅=⨯=由平面得，BC⊥1AA M 11123-=⨯⋅=△B AA C AA M V S BM 记C 到平面的距离为 11ABB A d因为， 11113C A AB B AA C A AB V V S d --==⋅=11111sin 46sin 6022ABA S AB AA BAA =⋅∠=⨯⨯︒=所以 d =4BC =记直线与平面所成角为，则 BC 11ABB A θsin ==d BC θ法二：过点B 作于点E ，连接EC ，1BE AA ⊥又因为平面， 1,,,⊥=⊂ BC AA BC BE B BC BE BEC 所以平面 1AA ⊥BEC 过C 作于HCH BE ⊥由平面，则 CH ⊂CBE 1CH AA ⊥因为平面 11,,=⊂ BE AA E AA BE 11ABB A 所以平面， CH ⊥11ABB A则， sin 604BE CE AB ==︒==则， 2221cos 23BE CE BC BEC BE CE +-∠===⋅则， sin BEC ∠==所以 1sin 2BEC S BE CE BEC =⋅∠= CH ==记直线与平面所成角为，则．BC 11ABB A θsin ===CH BC θ。

宁夏2021版高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若a、b、c，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）在中，角的对边分别为，若，则角的值为（）A .B .C . 或D . 或3. （2分）(2020·赣县模拟) 全集，集合，集合，图中阴影部分所表示的集合为（）A .B .C .D .4. （2分）已知等比数列{an}的前n项和Sn ，且a1+a3=， a2+a4=，则=（）A . 4n﹣1B . 4n﹣1C . 2n﹣1D . 2n﹣15. （2分）(2019高三上·珠海月考) 在斜中，角的对边分别为，，则（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·赤峰期中) 记等差数列{ }的前n项和为，若，，则 =（）A . 34B . 35C . 68D . 707. （2分）等比数列{an}中，a4=4，则a3a5=（）A . 8B . -8C . 16D . -168. （2分） (2015高一下·湖州期中) 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A .B .C . 5D . 69. （2分） (2018高二下·湖南期末) 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）设为等比数列的前项和，，则的值为（）A .B .C . 11D .11. （2分）在△ABC中，若，则B的值为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分） (2019高一下·大庆期中) 在等差数列中，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·山东文) 已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________．14. （1分） (2017高一下·芜湖期末) 在△ABC中，边上的高为，则AC+BC=________．15. （1分） (2019高二上·北京月考) 若时，函数的最小值为5，则正实数________.16. （1分） (2020高二上·徐州期末) 已知数列满足，则数列的通项公式为 ________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·月考) 已知集合（1）当时,求集合A中的所有正整数元素;（2）求证:对于任意的 ;（3）若 ,求证: .18. （10分） (2017高二上·正定期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB= ．（1）若b=3，求sinA的值；（2）若△ABC的面积S△ABC=3，求b，c的值．19. （10分） (2016高二上·大名期中) 设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．20. （5分） (2018高二上·六安月考) 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5- （其中0 x a，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t 万件还需投入成本(10+2t)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为5+ 万元/万件.（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．21. （15分） (2016高二上·南城期中) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b+c=16．（1）若a=4，b=5，求cosC的值；（2）若sinA+sinB=3sinC，且△ABC的面积S=18sinC，求a和b的值．22. （10分） (2016高一下·溧水期中) 设m个正数a1 ， a2 ，…，am（m≥4，m∈N*）依次围成一个圆圈．其中a1 ， a2 ， a3 ，…ak﹣1 ， ak（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a1 ， am ， am﹣1 ，…，ak+1 ，ak是公比为2的等比数列．（1）若a1=d=2，k=8，求数列a1 ， a2 ，…，am的所有项的和Sm；（2）若a1=d=2，m＜2015，求m的最大值；（3）是否存在正整数k，满足a1+a2+…+ak﹣1+ak=3（ak+1+ak+2+…+am﹣1+am）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

宁夏 2021 年高一下学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1. （2 分） (2019 高二上·南安月考) 若直线的图象不过第一象限，则（ ）A.B.C.D.2. （2 分） “ A . 充分不必要条件”是“”的（ ）B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） “ ”是“直线与直线平行”的（ ）条件.A . 充要B . 充分不必要C . 必要不充分D . 既不充分也不必要4. （2 分） 现要完成下列 3 项抽样调查：①从 10 盒酸奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有 32 排，每排有 40 个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需 要请 32 名听众进行座谈．第 1 页 共 12 页③东方中学共有 160 名教职工，其中一般教师 120 名，行政人员 16 名，后勤人员 24 名．为了了解教职工对学 校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为 20 的样本．较为合理的抽样方法是（ ） A . ①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B . ①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样 C . ①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样 D . ①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样 5. （2 分） 从 1、2、3、4、5 五个数字中任选两个组成个位和十位数字不同的两位数，这个数字是偶数的概 率为（ ）A.B.C.D.6. （2 分） (2018 高三上·会宁月考)中，角所对的边分别为，若，则为（ ）A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 锐角三角形D . 等边三角形7. （2 分） 若 x1 ， x2 ， x3 ， …，x2013 的方差为 3，则 3（x1﹣2），3（x2﹣2），3（x3﹣2），…，3（x2013 ﹣2）的方差为（ ）A.3第 2 页 共 12 页B.9 C . 18 D . 278. （2 分） 已知圆 ：， 则下列命题：①圆 上的点到最小值为 ；②圆 上有且只有一点 到点的距离与到直线的距离相等；③已知有且只有一点 ， 使得以 为直径的圆与直线 相切.真命题的个数为A.B.C.D.二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)9. （3 分） (2020 高一下·邹城期中) 下列说法正确的是（ ）A.在中，B.在中，若，则C.在中，若，则；若，则的最短距离的 ， 在圆 上D.在中，10. （3 分） (2020 高一下·大丰期中) 若圆 等于 1，则 r 可以取值（ ）上恰有相异两点到直线的距离A. B.5C.第 3 页 共 12 页D.6 11. （3 分） (2020 高一下·常熟期中) 在下列四个命题中，错误的有（ ） A . 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B . 直线的倾斜角的取值范围是C . 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为D . 若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为12. （3 分） (2020 高一下·常熟期中) 一个人连续射击 2 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）A . 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B . 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件 C . 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件 D . 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)13. （1 分） (2016 高一下·南市期中) 如图在某路段检测点，对 200 辆汽车的车速进行检测，检测结果表示 为如下频率分布直方图，则车速不小于 90km/h 的汽车约有________辆．14. （1 分） (2019 高一上·河南月考) 若，________.15. （1 分） (2018 高二上·宁波期末) 已知圆 C：若圆与圆 C 外切，则 a 的值为________．四、 双空题 (共 1 题；共 1 分)第 4 页 共 12 页，三点共线，则实数 m 的值为，则实数 a 的取值范围为________；16. （1 分） (2018·河北模拟) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点 使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．五、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17. （10 分） (2016 高二下·仙游期末) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与 p，且乙投球 2 次均未命中的概率为 ．（1） 求乙投球的命中率 p；（2） 若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ξ，求 ξ 的分布列和数学期望．18. （10 分） 在中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知．（1） 求 ；（2） 若，点 在 边上且，，求 ．19. （10 分） (2019 高二下·温州月考) 已知圆圆于两点．内有一点，过点 作直线 交（1） 当点 P 为 AB 中点时，求直线 的方程；（2） 当直线 的倾斜角为 时，求弦 的长．20.（10 分）(2020 高二上·哈尔滨开学考) 在，求及.中，角所对的边分别为，，21. （5 分） (2017 高二下·临淄期末) 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有 关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队 3 人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对 为本队赢得 10 分，答错得 0 分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中 3 人答对的概率分别为 ， ，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 ξ 表示乙队的总得分．（Ⅰ）求 ξ 的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率．第 5 页 共 12 页22. （15 分） (2018·山东模拟) 已知椭圆 点相同，A 为椭圆 C 的右顶点，以 A 为圆心的圆与直线的一个焦点与抛物线 相交于 P， 两点，且的焦（1） 求椭圆 C 的标准方程和圆 A 的方程；（2） 不过原点的直线 与椭圆 C 交于 M、N 两点，已知 OM，直线 ，ON 的斜率成等比数列，记以OM、ON 为直径的圆的面积分别为 S1、S2 ， 试探究的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 8 题；共 16 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、二、 多选题 (共 4 题；共 12 分)9-1、 10-1、 11-1、 12-1、三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 12 页15-1、四、 双空题 (共 1 题；共 1 分)16-1、五、 解答题 (共 6 题；共 60 分)17-1、17-2、第 8 页 共 12 页18-1、18-2、 19-1、第 9 页 共 12 页19-2、20-1、21-1、第 10 页 共 12 页22-1、22-2、。

宁夏2021年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列事件:①如果a>b,那么a-b>0.②任取一实数a(a>0且a≠1),函数y=logax是增函数.③某人射击一次,命中靶心.④从盛有一红、二白共三个球的袋子中,摸出一球观察结果是黄球.其中是随机事件的为（）A . ①②B . ③④C . ①④D . ②③2. （2分）设θ是第三象限角，且|cos|=﹣cos，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角3. （2分）终边在一、三象限角平分线的角的集合是（）A .B .C .D .4. （2分）若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是.（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·麻城月考) 若，则（）A .B .C .D .6. （2分）“辽宁舰”，舷号16，是中国人民解放军海军第一艘可以搭载固定翼飞机的航空母舰，在“辽宁舰”的飞行甲板后部有四条拦阻索，降落的飞行员须捕捉钩挂上其中一条，则为“成功着陆”，舰载机白天挂住第一条拦阻索的概率为18%，挂住第二条、第三条拦阻索的概率为62%，捕捉钩为挂住拦阻索需拉起复飞的概率约为5%，现有一架歼﹣15战机白天着舰演练20次均成功，则其被第四条拦阻索挂住的次数约为（）A . 5B . 3C . 2D . 47. （2分） (2020高一下·绍兴月考) 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高三上·贵阳期末) 已知，则的值为（）A .B .C . 2D . 49. （2分）(2018·全国Ⅲ卷文) 若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A . 0.3B . 0.4C . 0.6D . 0.710. （2分）已知，则（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·辽宁模拟) 如果一个n位十进制数的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：a1＜a2＞a3＜a4＞a5＜a6…，我们称这种数为“波浪数”；从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数，这个数为“波浪数”的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·邢台期中) 如果cosα= ，且α是第四象限的角，那么 =________．14. （1分）(2018·银川模拟) 某班级有50名学生，现采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生。

宁夏2021年高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·义乌期末) 设角的终边经过点（），则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·菏泽期中) cos135°的值为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·自贡模拟) 若，则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高三上·梅州月考) 若，则（）A .B .C .D .5. （2分）已知sinθ＜0，tanθ＞0，则化简的结果为（）A . cosθB . ﹣cosθC . ±cosθD . 以上都不对6. （2分）已知复数，则的最大值为（）A .B .C .D . 37. （2分） (2015高二上·柳州期末) 已知tanα= ，则 =（）A . ﹣B .C . ﹣3D . 38. （2分）(2020·北京) 已知，则“存在使得”是“ ”的（）．A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分） (2016高二下·郑州期末) 在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A . ﹣24B . 35.6C . 40.5D . 4010. （2分） (2016高一下·枣阳期中) 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为（）A .B . -C .D . -11. （2分） (2017高二下·广安期末) 已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·珠海期末) 把形状、质量、颜色等完全相同，标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入一个不透明的袋子中，从中任意抽取一个小球，记下号码为，把第一次抽取的小球放回去之后再从中抽取一个小球，记下号码为，设“乘积”为事件，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·三明期末) 在区间[0，3]上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为________．14. （1分） (2020高一上·合肥期末) 已知，则 ________．15. （1分）计算sin150°+2cos240°+3tan315°后，所得结果的值为________16. （1分）(2017·潍坊模拟) 在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a的值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分）解答题（1）已知角α终边上一点P（m，5）（m≠0），且．求sinα+cosα+tanα的值；（2）已知β∈（0，）且，求（ I）tanβ的值；（II）sin2α+2cos2α+4sinαcosαsin2β+2cos2β+4sinβcosβ．18. （5分）(2019·定远模拟) 已知的内角所对的边分别为，， .（Ⅰ）求角的大小及的值；（Ⅱ）若，求的面积.19. （10分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．20. （5分） (2019高一下·吉林期末) 已知，，求及的值.21. （5分） (2017高三上·伊宁开学考) 为了参加市中学生运动会，某校从四支较强的班级篮球队A，B，C，D中选出12人组成校男子篮球队，队员来源如下表：对别A B C D人数4323（Ⅰ）从这12名队员中随机选出两名，求两人来自同一个队的概率；（Ⅱ）比赛结束后，学校要评选出3名优秀队员（每一个队员等可能被评为优秀队员），设其中来自A队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．22. （10分） (2017高一下·平顶山期末) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，随机抽取了6个试销售数据，得到第i个销售单价xi（单位：元）与销售yi（单位：件）的数据资料，算得（1）求回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）附：回归直线方程中， = ， = ﹣，其中，是样本平均值．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

【全国百强校】宁夏回族自治区银川一中【最新】高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．与2019终边相同的角是( ) A ．37B ．37-C ．37-D ．141-2．下列四式不能化简为AD 的是（ ） A ．MB AD BM +- B ．()()AD MB BC CM +++ C ．()AB CD BC ++D ．OC OA CD -+3．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，则cos2θ=（ ） A ．35B ．35C ．45-D ．454．1cos()2πα+=-，322παπ<<，()sin 2πα-的值为（ ）A ．B ．12C ．±D 5．已知向量(1,1)a =，2(4,3)a b +=，(,2)c x =-，若//b c ，则x 的值为( ) A ．4B ．4-C ．2D ．2-6．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形7．函数y ）A ．(,],4k k k Z πππ+∈ B ．(,],2k k k Z πππ+∈C ．(-,],42k k k Z ππππ+∈ D ．(-,],4k k k Z πππ∈ 8．函数f (x )=15sin(x +3π)+cos(x −6π)的最大值为A ．65B ．1C ．35 D ．159．已知向量,a b 满足()2,6,a a b a a b =+=⊥+，则a 与b 的夹角是（）A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π10．将函数sin 22y x x =的图象向左平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（）A ．最小正周期为2π B ．关于12x π=对称C ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 11．已知G 是ABC ∆的重心，若GC x AB y AC =+，,x y R ∈，则x y +=（ ） A ．-1B ．1C ．13D ．13-12．若1tan(2)47x π+=-，则2sin 23cos x x -=（ ） A ．5或15B ．15或165-C ．3或13D ．13或163-二、填空题13．已知向量3,4-2,4a b ==（），（），那么a 在b 方向上的投影是________． 14．平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，4AB AD ⋅=，点P 在边CD 上，则PA PC ⋅的取值范围是____________.15．已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数(g x ）的图象，若()()2cos 4xh x g x =+在0x 处取得最大值，则0sin 2x =__________．三、双空题16．小明问同桌小红一道题：21cos 152︒-的值是___？小红微笑着告诉小明：就等于511sin 72cos 66πππ⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，你认为小红说得对吗？____（对或不对）四、解答题17．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. （1）求弦AB 所对的圆心角()π0αα<<的大小； （2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 18．已知1sin cos 5αα+=-． （1）求sin cos αα⋅的值； （2）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，求sin cos()απα+-的值．19．已知()sin a x x =，()cos ,cos b x x =-，函数3()2f x a b =⋅+． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）若方程1()3f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x +的值． 20．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(2,1)a =，(1,0)A ，(cos ,)B t θ. （1）若//a AB ，且5AB OA =，求向量OB 的坐标.（2）若//a AB ，求22cos cos y t θθ=-+的最小值.21．设,a b 是两个不共线的非零向量． （1）设OA a b =-，OB tb =，1()()4OC a b t R =+∈，那么当实数t 为何值时，A ，B ，C 三点共线； （2）若||2a =，2b =且a 与b 的夹角为60°，那么实数x 为何值时2a xb -的值最小？最小值为多少？ 22．已知函数()21()2sinsin()cos(3)cos ()32f x x x x R ππωπωπωω=+---+∈的最小正周期是π，且在区间06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减.(1)求函数的解析式; (2)若关于x 的方程252512[()()]2[()()]330123126a f x f x f x f x a ππππ+++-+++-+= 在0π⎡⎤⎢⎥，上有实数解，求a 的取值范围.参考答案1．D 【分析】终边相同的角相差了360︒的整数倍，由2019360k α=︒+⋅︒，k Z ∈，令6k =-，即可得解． 【详解】终边相同的角相差了360︒的整数倍，设与2019︒角的终边相同的角是α，则2019360k α=︒+⋅︒，k Z ∈， 当6k=-时，141α=-︒．故选D ． 【点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查． 2．A 【分析】根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案； 【详解】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确； 对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确； 对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确； 故选：A. 【点睛】本题考查向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要相同. 3．D 【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin θ，然后展开二倍角公式求cos2θ． 【详解】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1-，∴OP =∴sin θ=则224cos212sin 125θθ=-=-⨯=⎝⎭. 故选D ． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 4．D 【分析】先化简已知得1cos 2α=，再计算得到sin α=，最后化简sin(2π-α)求值得解. 【详解】由题得11cos ,cos 22αα-=-∴=. 因为32π＜α＜2π，所以sin sin(2)sin απαα=∴-=-=故答案为D 【点睛】本题主要考查诱导公式和同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 5．B 【分析】可求出(2,1)b =，从而根据//b c 得出40x +=，解出4x =-． 【详解】∵22(2,1)b a b a =+-=，(,2)c x =-，//b c ，40x ∴+=，4x ∴=-．故选：B ． 【点睛】本题考查向量坐标线性运算、向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.6．B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题． 7．C 【分析】本题是考察复合函数定义域，既要考虑到三角函数的取值范围，也要考虑到带根号的式子的取值范围． 【详解】由题可知，104 42tan x x k k Z ππππ⎧⎛⎫--≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≠+∈⎪⎩， 1tan 04x π⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，tan 14x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，244k x k πππππ-+<-≤+ k Z ∈，x ,42k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦．【点睛】在解决求复合函数定义域问题的时候，要考虑到所有组合而成的基本函数的定义域以及相关的性质问题． 8．A 【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin 6233x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin 53353f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 的最大值为65.所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．9．B 【分析】根据()a ab ⊥+即可得出()·0a a b +=，再根据2a =即可求出2a b =-，然后对6a b +=两边平方即可求出22b =，从而可求出1cos ,2a b =-，这样根据向量夹角的范围即可求出a 与b 的夹角． 【详解】因为2a =，()a ab ⊥+，所以()20a a b a a b +=+=，2a b =-． 又6a b +=，()22222246a ba ab b b +=++=-+=，故28b =也即是22b =，所以1cos ,222a b a b a b===-⨯⨯；又0,a b π≤≤，故a 与b 的夹角为23π． 故选B ． 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用·a a a = ；（2）计算角，·cos ,a ba b a b=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的充要条件是0a b =. 10．D 【分析】先将y sin2x =整理成πy 2sin 2x 3⎛⎫=-⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位长度，得到新的函数解析式，根据正弦函数的性质即可求出结果. 【详解】将函数πy sin2x 2sin 2x 3⎛⎫==-⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为π2πy 2sin 2x π2sin 2x .33⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故所得图象对应的函数的周期为2ππ2=，故排除A ； 令πx 12=，求得2πy 2sin 2x 13⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，不是最值，故排除B ；令πx 3=，求得2πy 2sin 2x 3⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故排除C ； 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，2ππ3π2x ,322⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得2πy 2sin 2x 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，故D 满足条件，故选D ． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质、以及平移的问题，熟记正弦型函数的性质、以及左加右减的平移原则即可，属于常考题型. 11．C【分析】根据三角形重心的性质得到()2133CG CE CB CA ==+，再由向量的基底表示得到()CG xCB x y CA =-++，根据平面向量基本定理得到结果.【详解】已知G 是ABC ∆的重心，则取AB 的中点E ，则()2133CG CE CB CA ==+ 若GC x AB y AC CG =+=-,则CG xAB y AC =--，又因为AB CB CA =-,故CG xAB y AC =--=()xCB x y CA -++根据平面向量基本定理得到x y +=13．故答案为C. 【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底． 12．B 【分析】 由π1tan 247x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得4tan23x =-，再由正切的倍角公式得tan 2x =或1tan 2x =-，化简222tan 3sin23cos tan 1x x x x --=+，代入计算即可.【详解】 由πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ tan2111tan27x x +=--，得4tan23x =-，由正切的倍角公式得22tan 4=-1tan 3x x -，解得tan 2x =或1tan 2x =-；化简222222sin cos 3cos 2tan 3sin23cos sin cos tan 1x x x x x x x x x ---==++，将tan x 的值代入，可得2sin23cos x x -=15或165-. 故选B ． 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形和倍角公式的应用，熟记公式是关键，也考查了计算能力，属于基础题.13【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的投影为cos (2)a b a b a a a b b θ⋅⋅=⨯===-点睛：向量a 在向量b 方向上的投影是一个数，而不是向量，该数可能为正数、也可为负数和零．计算时可利用cos a θ，即结合几何图形求解，也可利用向量的坐标进行求解． 14．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】设PD x =,利用AB AD ，表示PA PC ，，再根据向量数量积得关于x 函数关系式，最后根据二次函数性质求结果. 【详解】设[],0,4PD x x =∈,则()22444441643444444444x x x x x x x x PA PC PD DA PC AB AD AB AB AD AB x x -----⎛⎫⋅=+⋅=--⋅=-⨯-⋅=-⨯⨯-⨯=-- ⎪⎝⎭,所以当32x =时，取最小值254-，当4x =时，取最大值0，即PA PC ⋅的取值范围是25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线位置关系，是解决这类问题的一般方法. 15．45【分析】由图像可得函数的周期及最值，求得ω与A ，利用最值求得ϕ，可得()h x ，利用两角和的正弦公式可得辅助角的正余弦，再利用诱导公式及二倍角公式求得结果. 【详解】由图象得()f x 的最大值为1，最小正周期为8，且过点()1,1，所以1A =，又2π8T ω==，所以π4ω=，将点()1,1代入()f x ，得πsin 14ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，所以π4ϕ=，所以()ππsin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由题意可得()4x g x sin =，所以()()2cos2cos4444x x x x h x g x sin θ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中cos θ= sin θ= 当π2π,42x k k Z θ+=+∈，即2π48π,x k k Z θ=-+∈时()h x 取得最大值，所以02π48π,x k k Z θ=-+∈，所以()0sin sin π24π22sin cos 2x k sin θθθθ=-+== 45=，故答案为45．【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定，考查了两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式的应用，关键是求得辅助角的三角函数值，属于综合题. 16．对. 【分析】由二倍角公式计算出21cos 152︒-， 由诱导公式计算出511sin 72cos 66πππ⎛⎫⎛⎫+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再进行判断． 【详解】51151sin 72cos sin cos 6666224πππππ⎛⎫⎛⎫+⋅-=⋅=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22111cos 152cos 151cos30222︒-=︒-=︒=. 所以说得对． 【点睛】本题考查三角函数值的计算，属于简单题．17．（1）π3（2）10ππ50332⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭； 【分析】（1）根据AOB ∆为等边三角形得出π3AOB α=∠=， （2）代入弧长公式和面积公式计算. 【详解】（1）由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10，所以AOB ∆为等边三角形，所以π3AOB α=∠=. （2）因为π3α=，所以10π3l r α=⋅=.1110π50π102233S lr 扇==⨯⨯=，又110102AOBS=⨯⨯=所以50ππ50332AOBS S S ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭扇. 【点睛】本题主要考查了扇形的相关知识点，弦长、弧长、面积等，属于基础题，解题的关键是在于公式的熟练运用. 18．（1）1225-；（2）75.【解析】 【分析】（1）把已知等式两边平方即可求得sin cos αα⋅的值； （2）求出()2sin cos αα-的值，结合角的范围开方得答案． 【详解】解：（1）∵1sin cos 5αα+=-， ∴()21sin cos 25αα+=，即112sin cos 25αα+=， ∴12sin cos 25αα=-；（2）∵()249sin cos 12sin cos 25αααα-=-=， 又∵,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin 0α>，cos 0α<， 则()7sin cos sin cos 5απααα+-=-=． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题． 19．（Ⅰ）5()212k x k Z ππ=+∈; （Ⅱ）13. 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出()f x ,利用二倍角公式与辅助角公式化简()f x ，结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；（2）由方程1()3f x =在()0,π（上的解为12,x x ，及正弦函数的对称性可求12x x +，进而可得结果．【详解】解：(),a sinx =，(),b cosx cosx =-，()2311212222232cos x f x a b sinxcosx x sin x sin x π+⎛⎫∴=⋅+===-- ⎪⎝⎭()1令112232x k πππ-=+可得512x k ππ=+，k z ∈∴函数()f x 图象的对称轴方程512x k ππ=+，k z ∈ ()2方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，由正弦函数的对称性可知12526x x k ππ+=+，1x ，()20,x π∈，()121256x x cos x x π∴+=∴+=【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，属于基础试题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20．(1) (1,1)OB =-- (2) 15- 【分析】（1）根据向量共线定理和模长计算公式，即可得出． （2）将cos 12t 代入22cos cosy t ，结合二次函数求出最值．【详解】 ．解：（1）∵()cos 1,AB t θ=-，又//a AB ， ∴2cos 10t θ-+= ∴cos 12t θ-= ① 又∵5AB OA = ∴()22cos 15t θ-+= ② 由①②得，255t = ∴21t =，∴1t =±当1t =时，cos 3θ=（舍去） 当1t =-时，cos 1θ=- ∴()1,1B --，∴()1,1OB =-- （2）由（1）可知cos 12t θ-=()222cos 1531cos cos cos cos 4424y θθθθθ-=-+=-+ 22561534cos cos cos 4444520θθθ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当3cos 5θ=时，sin 41205y =-=- 【点睛】对于2cos cos y a x b x c =++型求最值问题，可令cos t x =，转化为二次函数2y at bt c =++来求最值．21．（1）12,43t λ==；（2）92【分析】（1）由A ，B ，C 三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），代入，，可得λ=，t=； （2）•=||||cos60°=，∴|-2x|2=2+4x 22-4x •=2+16x 2-4=16x 2-4+4，利用二次函数求最值可得．【详解】（1）由A ，B ，C 三点共线知：存在实数λ使OC =λOA +（1-λ）OB ，则14（a +b ）=λ（a -b ）+（1-λ）t b 则λ=14，t =23，（2）a •b =|a ||b |cos60°，∴|a -2x b |2=a 2+4x 2b 2-4x a •b =2+16x 2=16x 2+4，∴当x =时，|a -2x b |的最小值为92．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．22．（1）()sin(2)6f x x π=-+；（2）32a -≤或1a ≥. 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化为()=sin 26f x x πω⎛⎫-⎪⎝⎭，利用正弦函数的周期公式可得1ω=±，利用区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，可得1ω=-，从而可得函数解析式；（2）原方程可化为()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=令[]sin2cos221,14t x x x π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，整理可得等价于22230at t a +--=在[]1,1-有解，分0a =，和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时，()221230a t t -+-=在[]1,1-上有解212132t a t-⇔=-在[]1,1-上有解，问题转化为求函数22132t y t -=-在[]1,1-上的值域即可. 【详解】（Ⅰ）()21cos cos 2f x x x x ωωω=-+1cos211cos2222x x x x ωωωω+=-+=- sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22T ππω==，∴1ω=± 当1ω=时，()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭此时()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，不合题意，∴1ω≠；∴1ω=-，∴()sin 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，符合题意，故()sin 26f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅱ）()sin 26f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，55sin 2sin21266f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23sin 2cos232f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos2636f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.方程252522330123126a f x f x f x f x a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即为：()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=令[]sin2cos221,14t x x x t π⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，，由()()22sin2cos2sin2cos22x x x x ++-=，得()22sin2cos22x x t ++=，于是()22sin2cos22x x t +=-，原方程化为()2222330a tt a ---+=，整理得22230att a +--=，则等价于22230at t a +--=在[]1,1-有解. （1）当0a =时，方程为230t -=得[]31,12t =∉-，故0a ≠； （2）当0a ≠时，()221230a t t -+-=在[]1,1-上有解212132t a t-⇔=-在[]1,1-上有解，问题转化为求函数22132t y t-=-在[]1,1-上的值域；设32u t =-，则23t u =-，[]1,5u ∈，()232117622u y u u u --⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，设()7h u u u=+，在⎡⎣时，单调递减，t ⎤∈⎦时，单调递增，∴y 的取值范围是3,1⎤⎦，212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有实数解13,11a a ⎤⇔∈⇔≥⎦或32a +≤-. 【点睛】本题考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式，解题的关键是熟练应用以上公式将函数化简，进行变量替换是要注意变量的取值范围．。

2020-2021学年宁夏省银川市某校高一（下）期中考试数学（文）试卷一、选择题1. 下列结论中正确的为( )A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B.向量AB →与向量BA →的长度相等 C.对任意向量a →，a→|a →|是一个单位向量D.零向量没有方向2. 已知任意两个向量a →，b →，则（ ） A.|a →+b →|=|a →|+|b →| B.|a →−b →|=|a →|−|b →| C.|a →−b →|≤|a →|−|b →| D.|a →−b →|≤|a →|+|b →|3. 已知a →，b →均为单位向量，且|a →−2b →|=√3，则向量a →与b →的夹角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π64. 已知点A(−1, 2)，B(2, y)，向量a →=(1, 2)，若AB → // a →，则实数y 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.85. 在△ABC 中，角A ， B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =2，sin A =2sin C ，cos B =14，则△ABC 的面积S =( ) A.1 B.2√15C.√15D.√1546. 某观察站C 与两灯塔A ，B 的距离分别为3km 和5km ，测得灯塔A 在观察站C 北偏西50∘，灯塔B 在观察站C 北偏东70∘，则两灯塔A ，B 间的距离为（ ）km . A.√34−15√3B.√19C.7D.√34+15√37. 若tan α=√3，且α为第三象限角，则cos α−sin α的值为( ) A.−1+√32B.√3−12C.1−√32D.1+√328. 已知向量a →=(sin θ,−2)，b →=(1,cos θ)，且a →⊥b →，则sin 2θ+cos 2θ的值为( ) A.1 B.2C.12D.39. 在△ABC 中，若a cos C +c cos A =b sin B ，则此三角形为( )A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形10. 数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式是( )A.−12nB.(−1)n 2nC.(−1)n+12nD.(−1)n 2n−111. 在等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 6=12 ，则a 3+a 5=（ ）A.6B.8C.10D.1212. 函数f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0, −π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值为（ ）A.2，2π3 B.2，−π3C.1，π12D.1，−π12二、填空题若平行四边形ABCD 的三个顶点A(−1, −2)，B(3, 1)，C(0, 2)，则顶点D 的坐标为________．已知△ABC的面积为5√3，A=π6，AB=5，则BC=________.在△ABC中，已知sin A:sin B:sin C=3:5:7，则此三角形最大内角度数为________．若数列{a n}为等差数列，且a1+3a8+a15=120，则2a9−a10的值等于________．三、解答题(1)在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8；(2)已知{a n}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75．如图，在平面四边形ABCD中，若∠ADC=90∘，sin A=3√38，AB=8，BD=6．(1)求∠ADB；(2)若DC=2√3，求BC．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+b=6，c=2，cos C=79．(1)求a，b的值；(2)求S△ABC．已知角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35).(1)求sinα的值；(2)求cos(2π−α)sin(π+α)⋅tan(π+α)cos(3π−α)的值．已知向量a→=(3, 2)，b→=(−1, 3)，c→=(5, 2)．(1)求6a→+b→−2c→；(2)求满足a→=mb→+nc→的实数m，n；(3)若(a→+kc→) // (2b→−a→)，求实数k．已知向量a→=(sin x,34)，b→=(cos x,−1)．(1)当a→//b→时，求tan2x的值；(2)设函数f(x)=2(a→+b→)⋅b→，且x∈(0,π2)，求f(x)的最大值以及对应的x的值．参考答案与试题解析2020-2021学年宁夏省银川市某校高一（下）期中考试数学（文）试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】向量的物理背景与概念 零向量 单位向量【解析】直接由单位向量、零向量、向量相等和向量共线的概念逐一核对四个命题得答案． 【解答】解：A ，单位向量的方向任意，两个有共同起点的单位向量，终点不一定相同，故A 错误； B ，向量AB →与向量BA →互为相反向量，方向相反，长度相等，故B 正确； C ，当a →=0→时， a→|a →|无意义，此时a→|a →|不是单位向量，故C 错误；D ，零向量有方向，零向量的方向是任意的，故D 错误． 故选B ． 【点评】本题考查向量的基本概念、考查平行向量、相等向量和相反向量的概念，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，该题是基础的概念题． 2.【答案】 D【考点】 向量的模向量的概念与向量的模 【解析】如果向量a →，b →是反向非零向量，用排除法分析解答． 【解答】解：若a →，b →为共线向量且方向相同，则有|a →−b →|<|a →|+|b →|， 若方向相反，则有|a →−b →|=|a →|+|b →|．若a →，b →不共线，则|a →|，|b →|，|a →−b →|构成三角形， 如图，∴ |a →−b →|<|a →|+|b →|． 故|a →−b →|≤|a →|+|b →|.故选D ． 【点评】本题考查平面向量的基本性质，基础题． 3.【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】设向量a →与b →的夹角为θ，把已知式子平方，代入已知数据可得cos θ的方程，解得结合θ的范围可得． 【解答】解：设向量a →与b →的夹角为θ，θ∈[0, π]， ∵ |a →−2b →|=√3， ∴ a →2−4a →⋅b →+4b →2=3，∴ 1−4cos θ+4=3，解得cos θ=12, ∴ θ=π3.故选B . 【点评】本题考查平面向量的夹角，涉及数量积的运算，属基础题． 4.【答案】 D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】利用向量的坐标公式求出AB →的坐标，利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘相等，列出方程，求出y 的值．【解答】解：AB →=(3,y −2)， ∵ AB → //a →， ∴y−23=21，∴ y =8.故选D .【点评】解决三点共线问题常转化为以三点为始点、终点的两个向量共线，利用向量共线的充要条件找等量关系；两个向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等． 5.【答案】 C【考点】 正弦定理 三角形求面积【解析】由正弦定理求得a 的值，再根据同角的三角函数关系和三角形面积公式求出结果． 【解答】解：△ABC 中，c =2，sin A =2sin C ， 由正弦定理得a sin A=c sin C，解得a =c sin A sin C =2×2sin C sin C=4.又cos B =14，所以sin B =√1−(14)2=√154， 所以△ABC 的面积为 S =12ac sin B =12×4×2×√154=√15．故选C ． 【点评】本题考查了正弦定理与三角形面积计算问题，是基础题． 6.【答案】 C【考点】 余弦定理 【解析】根据题意，△ABC 中，AC ＝3km ，BC ＝5km ，∠ACB ＝120∘，利用余弦定理可求得AB 的距离 【解答】解：由题意，△ABC 中，AC =3km ，BC =5km ，∠ACB =120∘, 利用余弦定理可得：AB 2=32+52−2×3×5×cos 120∘=49， ∴ AB =7km ． 故选C . 【点评】本题以方位角为载体，考查三角形的构建，考查余弦定理的运用，属于基础题 7. 【答案】 B【考点】同角三角函数基本关系的运用 运用诱导公式化简求值 【解析】由tan α=2，即sin αcos α=2，sin 2α+cos 2α=1，且α是第三象限角，即可求解sin α，cos α．从而求解cos α−sin α的值． 【解答】解：∵ tan α=√3，α为第三象限角， ∴ sin α=√3cos α，sin α<0，cos α<0， 由sin 2α+cos 2α=1， 则(√3cos α)2+cos 2α=1， 解得cos α=−12，sin α=−√32． 则cos α−sin α=−12−(−√32) =−12+√32=√3−12． 故选B ．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式的应用，属于基本知识的考查． 8. 【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 数量积判断两个平面向量的垂直关系 二倍角的正弦公式 【解析】由题意可得a →⋅b →=0，即解得tan θ=2，再由sin 2θ+cos 2θ=2sin θcos θ+cos 2θcos 2θ+sin 2θ=2tan θ+11+tan 2θ，运算求得结果．【解答】解：由题意可得：a →⋅b →=sin θ−2cos θ=0，即tan θ=2．∴ sin 2θ+cos 2θ=2sin θcos θ+cos 2θcos 2θ+sin 2θ=2tan θ+11+tan 2θ=1，故选A ． 【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题． 9. 【答案】 C【考点】 正弦定理三角形的形状判断 两角和与差的正弦公式【解析】运用正弦定理进行化解，求出直角即可求解. 【解答】解：在△ABC 中，由a cos C +c cos A =b sin B 以及正弦定理可知，sin A cos C +sin C cos A =sin 2B ， 即sin (A +C )=sin B =sin 2B ， 因为0<B <π， 所以sin B ≠0， 所以sin B =1， 即B =π2，所以三角形为直角三角形. 故选C ． 【点评】本题考查了正弦定理的应用. 10.【答案】 B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】根据已知中数列各项的符号是一个摆动数列，我们可以用(−1)n−1来控制各项的符号，再由各项绝对值为一等比数列，由此可得数列的通项公式． 【解答】解：由已知中数列−12，14，−18，116，⋯可得数列各项的绝对值是一个以−12为首项，以−12公比的等比数列， 又∵ 数列所有的奇数项为负，偶数项为正， 故可用(−1)n−1来控制各项的符号， 故数列−12，14，−18，116，⋯的一个通项公式为(−1)n 2n.故选B . 【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中根据已知数列的前几项分析各项的共同特点是解答本题的关键． 11.【答案】 B【考点】等差数列的性质 【解析】由题意利用等差数列的性质，求得a i ．的值，可得要求式子的值．本题主要考查等差数列的性质，属于基础题． 【解答】解：等差数列{a n }中．若a 2+a 4+a 6=12=3a 4， ∴ a 4=4，∴ a 3+a 5=2a 4=8． 故选B ． 【点评】 此题暂无点评 12.【答案】 B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由( 5π12, 2)确定φ，推出选项． 【解答】解：由图象可知：34T =5π12−(−π3)=9π12，∴ T =π， ∴ ω=2πT=2；∵ (5π12, 2)在图象上，∴ 2×5π12+φ=2kπ+π2，φ=2kπ−π3，(k ∈Z )． ∵ −π2<φ<π2，∴ k =0， ∴ φ=−π3．故选B ． 【点评】本题考查y =A sin (ωx +φ)中参数的物理意义，由y =A sin (ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．二、填空题 【答案】 (−4, −1) 【考点】平面向量的坐标运算 【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形即可得出AB →=DC →，可设D(x, y)，从而得出(−x, 2−y)＝(4, 3)，从而可解出x ，y ，即得出点D 的坐标． 【解答】解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB →=DC →，设D(x, y)，则DC →=(−x,2−y)，且AB →=(4,3)， ∴ {−x =4，2−y =3， 解得{x =−4，y =−1，∴ D(−4, −1)． 故答案为：(−4,−1). 【点评】本题考查了相等向量的定义，根据点的坐标求向量的坐标的方法，考查了计算能力，属于基础题． 【答案】 √13【考点】三角形的面积公式 余弦定理【解析】本题考查三角形面积公式、余弦定理． 【解答】解：∵ S △ABC =12AB ⋅AC sin A =12×5×AC ×12=5√3， ∴ AC =4√3．由余弦定理，得BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC cos A =52+(4√3)2−2×5×4√3×√32=13，∴ BC =√13. 故答案为：√13. 【点评】 此题暂无点评 【答案】 2π3【考点】 余弦定理正弦定理【解析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到三边之比，然后设出三角形的三边长，利用大边对大角找出最大角，根据余弦定理表示出最大角的余弦值，把三边长代入即可求出余弦值，由三角形内角的范围，根据特殊角的三角函数值即可求出最大角的度数． 【解答】解：由sin A:sin B:sin C =3:5:7，根据正弦定理asin A =bsin B =csin C 得：a:b:c =3:5:7. 设a =3k ，b =5k ，c =7k ，显然C 为最大角， 根据余弦定理得： cos C =a 2+b 2−c 22ab=(3k)2+(5k)2−(7k)22⋅3k⋅5k =−12，由C ∈(0, π)，得到C =2π3．故答案为：2π3.【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理及特殊角的三角函数值．掌握正弦定理，余弦定理的特征是解此类题的关键．同时注意要会根据比例式设出各边长． 【答案】 24【考点】等差数列的性质 等差数列的通项公式【解析】根据等差数列的性质，把第一项和第十五项之和写成第八项的二倍，得到第八项的结果，把要求的式子写成首项和公差的形式，结果等于第八项． 【解答】解：∵ 数列{a n }为等差数列，且a 1+3a 8+a 15=120， ∴ 5a 8=120， ∴ a 8=24，∴ 2a 9−a 10=a 1+7d =a 8=24. 故答案为：24． 【点评】本题考查等差数列的性质，解题的关键是利用性质写出一个确定项的值，注意对要求的代数式进行整理． 三、解答题【答案】解：(1)∵ a 3+a 7=a 4+a 6=2a 5， ∴ a 3+a 7+a 4+a 6+a 5=5a 5， ∴ 5a 5=450，解得a 5=90． 又a 2+a 8=2a 5， ∴ a 2+a 8=180．(2)∵ {a n }为等差数列，∴ a 15，a 30，a 45，a 60，a 75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第4项，∴a60=a15+3d，得d=4，∴a75=a60+d=24．【考点】等差数列的性质等差数列的通项公式【解析】无无【解答】解：(1)∵a3+a7=a4+a6=2a5，∴a3+a7+a4+a6+a5=5a5，∴5a5=450，解得a5=90．又a2+a8=2a5，∴a2+a8=180．(2)∵{a n}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为其第4项，∴a60=a15+3d，得d=4，∴a75=a60+d=24．【点评】此题暂无点评【答案】解：(1)在△ABD中，sin A=3√38，AB=8，BD=6，可得BDsin A =ABsin∠ADB，即有sin∠ADB=AB⋅sin ABD =8×3√386=√32.因为∠ADC=90∘，所以0∘<∠ADB<90∘，所以∠ADB=60∘.(2)在△BCD中，BD=6，CD=2√3，∠CDB=90∘−60∘=30∘，可得BC2=DB2+DC2−2DC⋅DB cos∠CDB=36+12−2×2√3×6×√32=12，可得BC=2√3．【考点】解三角形余弦定理正弦定理【解析】（1）在△ABD中，运用正弦定理，计算可得所求角；（2）在△BCD中，运用余弦定理计算可得所求值．【解答】解：(1)在△ABD中，sin A=3√38，AB=8，BD=6，可得BDsin A=ABsin∠ADB，即有sin∠ADB=AB⋅sin ABD=8×3√386=√32.因为∠ADC=90∘，所以0∘<∠ADB<90∘，所以∠ADB=60∘.(2)在△BCD中，BD=6，CD=2√3，∠CDB=90∘−60∘=30∘，可得BC2=DB2+DC2−2DC⋅DB cos∠CDB=36+12−2×2√3×6×√32=12，可得BC=2√3．【点评】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．【答案】解：(1)由余弦定理，c2=a2+b2−2ab cos C=(a+b)2−2ab−2ab×79，∴22=62−329ab，解得ab=9．联立{a+b=6,ab=9.解得a=b=3．(2)∵cos C=79，C∈(0, π)．∴sin C=√1−cos2C=4√29．∴S△ABC=12ab sin C=12×3×3×4√29=2√2．【考点】余弦定理三角形的面积公式同角三角函数间的基本关系【解析】（1）利用余弦定理可得ab，与a+b=6联立即可得出．（2）利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：(1)由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2ab cos C =(a +b)2−2ab −2ab ×79，∴ 22=62−329ab ，解得ab =9．联立{a +b =6,ab =9.解得a =b =3．(2)∵ cos C =79，C ∈(0, π)．∴ sin C =√1−cos 2C =4√29． ∴ S △ABC =12ab sin C =12×3×3×4√29=2√2．【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【答案】解：(1)∵ 角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35)， ∴ x =45，y =−35，r =|OP|= 1， ∴ sin α=yr =−35. (2)由(1)得cos α=xr =45． cos (2π−α)sin (π+α)⋅tan (π+α)cos (3π−α)=cos α−sin α⋅tan α−cos α=1cos α=54．【考点】任意角的三角函数 运用诱导公式化简求值【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值． （2）由题意利用诱导公式，求得要求式子的值． 【解答】解：(1)∵ 角α的终边经过单位圆上的点P(45,−35)，∴ x =45，y =−35，r =|OP|= 1， ∴ sin α=yr =−35. (2)由(1)得cos α=xr =45．cos (2π−α)sin (π+α)⋅tan (π+α)cos (3π−α)=cos α−sin α⋅tan α−cos α=1cos α=54．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题． 【答案】解：(1)6a →+b →−2c →=6(3,2)+(−1,3)−2(5,2) =(18, 12)+(−1, 3)−(10, 4)=(7, 11).(2)∵ a →=mb →+nc →，∴ (3, 2)=m(−1, 3)+n(5, 2)=(5n −m, 3m +2n)， ∴ {5n −m =3,3m +2n =2, 解得{m =417,n =1117.(3)∵ a →+kc →=(3+5k,2+2k)，2b →−a →=(−5,4)， 且(a →+kc →)//(2b →−a →)，∴ 4(3+5k)+5(2+2k)=0，解得k =−1115．【考点】平面向量的坐标运算平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】(1)进行向量坐标的加法、减法和数乘运算即可；(2)根据a →=mb →+nc →即可得出(3, 2)＝(5n −m, 3m +2n)，从而得出{5n −m =33m +2n =2 ，然后解出m ，n 即可；(2)根据a →=mb →+nc →即可得出(3, 2)＝(5n −m, 3m +2n)，从而得出{5n −m =33m +2n =2，然后解出m ，n(3)可先得出a →+kc →=(3+5k,2+2k)，2b →−a →=(−5,4)，然后根据(a →+kc →)//(2b →−a →)即可得出4(3+5k)+5(2+2k)＝0，从而解出k 即可． 【解答】解：(1)6a →+b →−2c →=6(3,2)+(−1,3)−2(5,2) =(18, 12)+(−1, 3)−(10, 4)=(7, 11). (2)∵ a →=mb →+nc →，∴ (3, 2)=m(−1, 3)+n(5, 2)=(5n −m, 3m +2n)，∴ {5n −m =3,3m +2n =2, 解得{m =417,n =1117.(3)∵ a →+kc →=(3+5k,2+2k)，2b →−a →=(−5,4)， 且(a →+kc →)//(2b →−a →)，∴ 4(3+5k)+5(2+2k)=0，解得k =−1115．【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，相等向量的坐标关系，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题． 【答案】解：(1)因为a →//b →， 所以−sin x −34cos x =0，因为cos x ≠0（否则与−sin x −34cos x ≠0矛盾）， 所以tan x =−34， 所以tan 2x =2tan x 1−tan 2x=2×(−34)1−(−34)2=−247.(2)f(x)=2(a →+b →)⋅b →=sin 2x +cos 2x +32=√2sin (2x +π4)+32，因为0<x <π2，所以π4<2x +π4<5π4，所以当2x +π4=π2，即x =π8时，函数f(x)的最大值为√2+32． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 二倍角的正切公式 同角三角函数间的基本关系 三角函数的最值 数量积的坐标表达式 两角和与差的正弦公式【解析】本题考查平面向量共线的充要条件，向量的数量积，正弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式．本题考查平面向量共线的充要条件，向量的数量积，正弦函数的图象与性质，二倍角公式及其应用，辅助角公式．【解答】解：(1)因为a →//b →， 所以−sin x −34cos x =0，因为cos x ≠0（否则与−sin x −34cos x ≠0矛盾）， 所以tan x =−34，所以tan 2x =2tan x 1−tan 2x =2×(−34)1−(−34)2=−247.(2)f(x)=2(a →+b →)⋅b →=sin 2x +cos 2x +3=√2sin (2x +π4)+32， 因为0<x <π2，所以π4<2x +π4<5π4，所以当2x +π4=π2，即x =π8时，函数f(x)的最大值为√2+32．【点评】此题暂无点评。