宁夏银川一中高一数学期中试卷(含答案)

宁夏银川一中2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．5sin 3π的值是A ．12B ．12-C D ．2．已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63．已知1tan 2α=，则2sin sin cos ααα+=（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．函数f (x )=lg (1+2cosx )的定义域为（ ）A ．-2233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，()k Z ∈B ．22-2233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈ C ．-2266k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈D ．22263k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈5．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+的值为（ ）A ．3B ．C ．13D ．13-6．已知点(0,0)O ，(1,3)A -，(2,4)-B ，OP OA mAB =+.若点P 在y 轴上，则实数m 的值为 A ．13B ．14C ．15D ．167．已知13sin cos ,844ππααα=-<<，则sin cos αα+的值等于（ ）A B ．C ．34D ．34-8．在ABC 中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为A ．()2sin 263f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()13sin 236f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()2sin 366f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D ．()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭10．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，AD 3CAB π∠=，点F是线段AB 上的一点，M 为直线BC 上的动点，若2BC CE =，AF AB λ=，且17=4AE DF －，则MF DM 的最大值为（ ） A ．14B ．6364－C ．1－D ．2364－11．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论：①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根.其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．如图，已知ABC 为钝角三角形，AC AB BC ，点P 是ABC 外接圆上的点，则当PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅取最小值时，点P 在（ ）A ．BAC ∠所对弧上（不包括弧的端点）B ．ABC ∠所对弧上（不包括弧的端点） C ．ACB ∠所对弧上（不包括弧的端点）D ．ABC 的顶点二、填空题13．已知角α终边上一点(3,4)(0)P t t t ≠，则sin α=______________.14．已知某扇形的圆心角为2弧度，弧长为6，则扇形的面积为__________．15．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()f x a ≤恒成立，则实数a 的最小值是_________． 16．如图，在ABC 中，12AD AB =，13AE AC =，CD 与BE 交于点P ，2AB =，4AC =，2AP BC ⋅=，则AB AC ⋅的值为______.三、解答题17．已知α为第四象限角，()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--⋅--． （1）化简()f α；（2）若π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α的值．18．在平行四边形ABCD 中，AB a →=，AD b →=（1）若E 为DC 上一点，且2DE EC →→=，用基底{},a b →→表示AE ； （2）若()1,2a →=，()3,2b →=-，且2k a b →→+与24a b →→-平行，求实数k 的值. 19．已知向量1sin ,,(cos ,1)2a x b x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.（1）当a b ⊥时，求x 的值.（2）求()()f x a b b =+⋅在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.20．已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42f x x x x =-⋅+.（1）求f (x )的最小正周期及单调递减区间；（2）若α∈(0，π)，且f (4a －8π)＝2，求tan(α＋3π)的值．21．某同学用“五点法”画函数()()πsin 02f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式；（2）将()f x 的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小及OQP 的面积．22．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）若方程()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有解，求实数m 的取值范围． （2）设()π1122g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，已知区间[],a b （,R a b ∈且a b <）满足：()y g x = 在[],a b 上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中求b a -的最小值．参考答案1．D 【详解】试题分析：5sinsin 2sin sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． 考点：三角函数值 2．B 【分析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可 【详解】 因为向量()3,1a =，()3,1b =-，所以·31cos ,231?·a b a b a b-===+,又因为[],0,a b π∈,所以,3a b π=,故选B. 【点睛】本题考查平面向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，121·cos ,·x x a b a b a bx ==+3．C 【分析】根据三角函数的基本关系式，化简为“齐次式”，代入即可求解. 【详解】 因为1tan 2α=， 由2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+222211()tan tan 32211tan 51()2ααα++===++. 故选：C. 4．B 【分析】根据真数大于零，再解三角不等式得结果. 【详解】由题意得12cos 0x +>，所以1cos 2x >-，即得222233x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭， ()k Z ∈ 故选：B 【点睛】本题考查对数定义域以及解三角函数不等式，考查基本分析求解能力，属中档题. 5．D 【分析】 根据题意，得出()424πππαα+=+-，进而由cos()cos[()]sin()4244ππππααα+=+-=--，即可求解．【详解】由1sin()43πα-=且()442πππαα+--=，即()424πππαα+=+-，则1cos()cos[()]sin()42443ππππααα+=+-=--=-．故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式的化简、求值，其中解答中得到()424πππαα+=+-，结合诱导公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．A 【分析】利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P 在y 轴上，即横坐标为0，可得结果. 【详解】由题，可得()()1,3,3,7OA AB =-=- 所以()31,37OP OA mAB m m =+=-- 点P 在y 轴上，即1310,3m m -==故选A 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题. 7．A【分析】首先确定sin cos αα+的正负，再计算()2sin cos αα+的值. 【详解】1sin cos 08αα=-<，344ππα<<，324ππα∴<<，sin cos 0αα∴+>，()22213sin cos sin cos 2sin cos 144αααααα+=++=-=，即sin cos αα+=. 故选：A 8．A 【分析】首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据A B C π++=把C 换成A 与B 的关系，进一步化简即可． 【详解】 211cos cos222C C =+，A B C π++=， ()()2111111111cos cos cos cos cos cos sin sin 2222222222C C A B A B A B A B π⎡⎤∴=+=+-+=-+=-+⎣⎦111sin sin cos cos sin sin 222A B A B A B ∴=-+ ()cos 1A B ∴-=0,0A B ππ<<<<()cos 1cos00A B A B A B ∴-==⇒-=⇒=,选A.【点睛】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题． 9．D 【详解】 试题分析：，解得，由图像可知函数的周期是，即，，当时，，解得，所以函数解析式是，故选D.考点：的图像【方法点睛】本题考查了的图像，函数的最大值，函数的最小值，解方程组求，根据周期求的值，相邻最高点或是最低点的横坐标的长度是,相邻最大值和最小值的横坐标的差值是,有时也会出现等，,一般可通过五点法求解，即带入“五点”中的一个点，求，有时也可通过图像平移求.10．D 【分析】以A 为原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由向量的共线定理和向量的坐标表示，即可求出结果. 【详解】以A 为原点，,AB AD 所在直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系如图//,,2,3AB CD AB AD AB AD CAB π⊥==∠=,易求得1DC =由已知可得()(()()(0,0,,2,0,2,0,A D F B C λ设(),E m n ，则()(1,3,1,BC CE m n =-=-由2BC CE =可得((22,2m n -=--解得1,2m n ==所以(1133,,,2,222E AE DF λ⎛⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由174AE DF ⋅=-得117224λ⋅=-，解得14λ=，此时1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭设BM xBC =，则(DM BM BD xBC BD x =-=-=-+3,2MF BF BM BF xBCx ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭所以())231324322MF DM x x x x ⎛⎫⋅=-+-+=-+- ⎪⎝⎭当1316x =时，MF DM ⋅取得最大值2364- 故选：D 【点睛】方法点睛：用坐标法来解决平面几何和向量的综合题是常用的方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 11．D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-，由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误；对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误； 对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 12．C 【分析】先利用平面向量线性运算与数量积将已知向量关系转化为2222222a b c PA PB PC ++++-，再利用三角形重心在平面向量中的应用进一步转化为23PG λ+，得到所求量只与PG 有关，最后由AC AB BC 确定点P 的位置． 【详解】因为()22222AB PB PA PA PB PA PB =-=+-⋅，所以()()2222221122PA PB PA PB AB PA PB c ⋅=+-=+-，同理()()22222211,22PB PC PB PC a PC PA PC PA b ⋅=+-⋅=+- 故 2222222a b c PA PB PB PC PC PA PA PB PC ++⋅+⋅+⋅=++-，设ABC 的重心为G ，可证22222223PA PB PC PG GA GB GC ++=+++所以22222222233a b c PA PB PB PC PC PA PG GA GB GC PG λ++⋅+⋅+⋅=+++-+=（λ为定值），故只需要P 到重心G 最小，所以点P 在圆心O 与重心G 的连线上， 因为AC AB BC ，易得点P 在C ∠所对弧上．故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，还考查了三角形重心性质在向量中的应用，属于较难题． 13．45±【分析】由任意角三角函数定义得4sin 5||tt α==，讨论0t >和0t <即可得解.【详解】由任意角三角函数定义得：4sin 5||t t α=.当0t >时，4sin 5α；当0t <时，4sin 5α=-；故答案为：45±.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义，涉及分类讨论的思想，属于基础题. 14．9 【分析】记圆心角为α，弧长为l ，扇形所在圆的半径为r ，根据题中条件，由扇形面积公式，即可求出结果. 【详解】记圆心角为α，弧长为l ，扇形所在圆的半径为r ， 由题意可得，2α=，6l =，所以3lr α==，因此扇形的面积为192S lr ==.故答案为：9. 【点睛】本题主要考查求扇形的面积，熟记公式即可，属于基础题型.15【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式为()6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的基本性质可求得()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，即可求得实数a 的最小值.【详解】()13sin cos sin sin sin 6226f x x x x x x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--==-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故()max 6f x π==a ≥因此，实数a16．2【分析】利用C 、P 、D 三点共线以及B 、P 、E 三点共线，可以推出2155AP AB AC =+，再根据2AP BC ⋅=结合向量的运算法则求解即可.【详解】令BP mBE =，CP nCD =，13=-+BE AB AC ，12=-+CD AC AB ，13⎛⎫=+=+=+-+ ⎪⎝⎭AP AB BP AB mBE AB m AB AC ，()13mm AB AC =-+， 12⎛⎫=+=+=+-+ ⎪⎝⎭AP AC CP AC nCD AC n AC AB ，()12nAB n AC =+-， 所以1213n m m n⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3545m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155AP AB AC =+， 因为()AP BC AP AC AB ⋅=⋅-， ()21255AB AC AC AB ⎛⎫=+⋅-= ⎪⎝⎭，即221122555AC AB AC AB +⋅-=， 又因为2AB =，4AC =， 所以2AB AC ⋅=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量基本定理及平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于难题. 17．（1）cos α-；（2）【分析】（1）由诱导公式可直接化简；（2）由π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1sin 5α=-，即可求出cos α，得出()f α的值.【详解】（1）()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--⋅-- ()()()cos sin tan cos tan sin αααααα-⋅⋅-==--⋅.（2）因为π1cos 25α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin 5α-=，从而1sin 5α=-．又α为第四象限角，所以cos α==， 所以()cos f αα=-=． 【点睛】本题考查利用诱导公式化简，考查同角三角函数的求解，属于基础题. 18．（1）23AE a b =+；（2）1k =-．【分析】（1）根据三角形法则和共线定理即可求出结果；（2）首先根据坐标运算求出2k a b →→+与24a b →→-的坐标表示，再根据平面向量平行的坐标运算公式，列出关于k 方程，即可求出结果. 【详解】解：（1）222333AE AD DE AD DC b a a b =+=+=+=+（2）因为()1,2a =，()3,2b =-所以()()()2,26,46,24ka b k k k k +=+-=-+ ()()()242,412,814,4a b -=--=-由于()()2//24ka b a b +- 则()()-461424k k -=+ 所以1k =-. 【点睛】本题主要考查了平面向量的三角形法则、共线定理、以及平面向量坐标运算再向量平行中的应用，属于基础题.19．（1）()4x k k Z ππ=+∈；（2）max 3()2f x =，min ()1f x =【分析】（1）根据平面向量垂直的性质，结合二倍角正弦公式、正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据平面向量加法和数量积的坐标表示公式，结合正余弦的二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可. 【详解】 （1）因为a b ⊥，所以10sin cos (1)0sin 2122()22a b x x x x k k Z ππ⋅=⇒+⨯-=⇒=⇒=+∈，即()4x k k Z ππ=+∈；（2）111cos 21()()(sin cos ,)(cos ,1)sin 22222x f x a b b x x x x +=+⋅=+-⋅-=++，即11()sin 2cos 21)1224f x x x x π=++=++，当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，有32444x ，所以max 3()12f x ==，min ()(1)11f x -+=.20．（1）2T π=；5,,216216k k k Z ；（2）2.【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间； （2）根据条件可以求出34πα=，代入即可计算tan(α＋3π). 【详解】（1）f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x )sin(4x ＋4π)，∴f (x )的最小正周期T ＝242ππ=， 令3242,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈，得5,Z 216216k kx kππππ+≤≤+∈，∴f(x)的单调递减区间为5,, 216216k kkZ ；（2）48afπ⎛⎫-⎪⎝⎭，sin14πα⎛⎫∴-=⎪⎝⎭，∵α∈(0，π)，3444πππα-<-<，42ππα∴-=，故34πα=，因此3tan tan43tan2331tan tan43πππαππ+⎛⎫+===⎪⎝⎭-.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.21．（1）1232410333x x x=-==，，；()ππ23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）π6OQP∠=；【分析】（1）由函数的最值求出A的值，由表中的数据列关于ω和ϕ的二元一次方程组可得ω和ϕ的值，即可得函数的解析式，进一步可求出1x、2x、3x；（2）由三角函数图象的平移变换求出()g x的解析式，可得,,P Q M的坐标，利用平面向量的夹角公式可求解OQP∠，根据函数图象的对称性可知线段PQ必过点M，由OQP POM QOMS S S=+即可求得面积.【详解】（1）由题意可得A=1π32ωϕ+=，73π32ωϕ+=，解得：π2=ω，π3ϕ=，所以()ππ23f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，由1ππ23x+=，2πππ23x+=，3ππ2π23x+=，可得：123x=-，243x=，3103x=；（2）将()fx的图象沿x轴向右平移23个单位得到π2ππ()2332g x x x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为P、Q分别为该图象的最高点和最低点，所以(P ，(Q 3,，所以(QO =-，(QP =-，23QO =4QP =，()3212QO QP ⋅=-⨯-，12cos 2QO QP OQP QO QP⋅∠=== 因为0πOQP <∠<，所以π6OQP ∠=． （3）22TOM ==，根据函数图象的对称性可知线段PQ 必过点M ，（如图）， 所以1122OQPPOMQOMP Q SS Sy OM y OM =+=⋅+⋅ 112222=+=22．（1）1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，；（2）148π3 【分析】（1）令()t f x =，根据π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求出112t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，，将方程转化为关于t 的方程，再分离m ，转化为求关于t 的二次函数函数值域即可；（2）求出()g x 的解析式，令()0g x =，得零点x 的值，可得零点间隔为π3和2π3，若b a -最小，则a b ，均为零点，再结合至少含有100个零点即可求解. 【详解】（1）已知()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ7π2666x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2162x ⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，即()112f x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，令()t f x =，则112t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，， 所以方程()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有解， 即方程23m t t =-+在112t ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，上有解， 又221133612y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭在1126t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上单调递增，在116t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调递减， 当16t =时，取得最大值112，当1t =时取得最小值2-， 所以222311y t t -+≤=-≤，即1212m -≤≤．所以实数m 的取值范围为1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）()ππ1π1sin 2sin 2126232g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()0g x =，得π1sin 232x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36x k +=+或π5π22πZ 36x k k +=+∈，， 所以ππ12x k =-或ππZ 4x k k =+∈， 所以函数()g x 的零点间隔依次为π3和2π3， 若b a -最小，则a b ，均为零点．因为函数()g x 在[]()a b a b <，上至少含有100个零点，()min π2π148π5049333b a -=⨯+⨯=，所以b a -的最小值为148π3.。

宁夏银川市2016-2017学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知是锐角，则是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 小于的正角D. 第一或第二象限角【答案】C【解析】是锐角,∴，∴是小于的正角2. 设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则M+m的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的最大值和最小值，∴M+m的值为3. 点从（1,0）出发，沿单位圆按逆时针方向运动弧长到达点，则的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】点P从(0,1)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,所以∠QOx=，所以Q(cos,sin),所以Q.故选：A4. 已知，（）A. -6B.C. 6D.【答案】C5. 函数，则下列命题正确的是（）A. 是周期为1的奇函数B. 是周期为2的偶函数C. 是周期为1的非奇非偶函数D. 是周期为2的非奇非偶函数【答案】B【解析】由题得函数的周期为T= =2，又f(x)=sin(πx−)−1=−cosπx−1，从而得出函数f(x)为偶函数。

故本题正确答案为B。

6. 设D为△ABC所在平面内一点,，则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】∵∴=−−.故选：C.7. 已知，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为点睛：利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．8. 下列函数中，以为最小正周期的偶函数，且在上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A:y=sin x，周期T=2π，是奇函数，∴A不对；对于B:y=sin2|x|，是偶函数，不是周期函数，∴B不对；对于C:y=−cos2x,周期T=π,是偶函数,∵cos x在(0,)单调递减,∴−cos2x(0,)上单调递增，∴C对。

对于D:y=cos2x,周期T=π,是奇函数,∵cos2x在(0,)单调递减，∴D不对。

高一年级期中考试数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点则与同方向的单位向量为()()1,3,4,1,A B -ABA. B.C.D.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A 【解析】【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为(41,13)(3,4)AB =---=- AB，故选A.134(3,4)(,)555AB e AB ==-=-考点：向量运算及相关概念.2. 已知为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（ ） i 1i12i-+A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【详解】∵，故， ()()()()1i 2i 11i 13i 2i 12i 12i 155z --+-===--++-+1355z i=-+ ∵ ∴在第二象限，故选B 130,055-z 3. 三位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为，1h 2h ，，则它们的大小关系正确的是（ ）3hA. B. C. D.213h h h >>123h h h >>321h h h >>231h h h >>【答案】A【解析】【分析】根据半球、圆锥、圆柱的结构确定正确答案.【详解】喝酒的过程中，酒杯中酒水的水面，面积下降最快是圆锥，其次是半球，而圆柱是不变的， 所以，体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，所以. 2h 3h 213h h h >>故选：A4. 如图，在中，，，若，则的值为ABC ∆23AD AC = 13BP PD = AP AB AC λμ=+λμ+A.B.C.D.1112348979【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.AB AC AP【详解】由题意得： ()11314444AP AB BP AB BD AB AD AB AB AD =+=+=+-=+3123144346AB AC AB AC =+⨯=+又，可知： AP AB AC λμ=+ 31114612λμ+=+=本题正确选项：A 【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型. 5. 直三棱柱的6个顶点在球的球面上.若，.，，则111ABC ABC -O 3AB =4AC =AB AC ⊥112AA =球的表面积为（ ）O A .B.C.D.1694π169π288π676π【答案】B 【解析】【分析】由于直三棱柱的底面为直角三角形，我们可以把直三棱柱补111ABC A B C -ABC 111ABC A B C -成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径，求出外接球的直径后，代入外接球的表面积公式，即可求出该三棱柱的外接球的表面积.【详解】解：将直三棱柱补形为长方体，则球是长方体的外接1111ABEC A B E C -O 1111ABEC A B E C -球.所以体对角线的长为球的直径.因此球的外接圆直径为，故球的1BC O O 213R ==O 表面积. 24169R ππ=故选：B.【点睛】本题主要考查球的内接体与球的关系、球的半径和球的表面积的求解，考查运算求解能力，属于基础题型.6. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与1111ABCD A B C D -E F G 1AA 11B C 11C D DE 所成角的余弦值为（ ）FGA.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】连接，，可得即为异面直线与所成角，设正方体的棱长为2，由余BD BE 11B D BDE ∠DE FG 弦定理可得答案.【详解】连接，，，则， BD BE 11B D 11////BD B D GF 则即为异面直线与所成角， BDE ∠DE FG设正方体的棱长为2，则，，BE DE ==BD =则 222cos 2BD DC BE BDE BD DC +-∠===⨯即异面直线与DE FG 故选：B.7. 在如图（1）所示的四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面，A BCDE -BCDE ABC BCDE 水平放置的侧面的斜二测直观图如图（2）所示，已知，，则四棱锥ABC 2A B ''=1A C ''=A BCDE -的侧面积是（ ）A. B. 12+20+C. D.2+2++【答案】D 【解析】【分析】先利用题给条件求得四棱锥的棱长以及其中的垂直关系，再利用其结构特征即可求A BCDE -得该四棱锥的侧面积.A BCDE -【详解】四棱锥中，底面为正方形，且侧面垂直于底面， A BCDE -BCDE ABC BCDE 则侧面，侧面CD ⊥ABC BE ⊥ABC 由水平放置的侧面的斜二测直观图可知，， ABC 2,AB AC AB AC ==^由勾股定理可得， BC =AD AE ==所以等腰三角形的面积为， ADE 12⨯=直角三角形与直角三角形的面积均为， ACD ABE 122⨯=等腰直角三角形的面积为， ABC 12222⨯⨯=故该几何体的侧面积是. 2++故选：D8. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想．某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下．为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求．该同学取端点绘制了，测得AB =5，BD =6，AC =4，ABD △AD =3，若点C 恰好在边BD 上，请帮忙计算的值（ ）cos ACD ∠A.B.C.D.1259【答案】D 【解析】【分析】先根据三条边求出，利用平方关系得到，结合正弦定理可得cos ADB ∠sin ADB ∠sin ACD ∠，再根据平方关系可求.cos ACD ∠【详解】由题意，在中，由余弦定理，ABD △；222936255cos 22369AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯因为，所以(0,π)ADB ∠∈sin ADB ∠===在中，由正弦定理， ACD ,sin sin AC ADADB ACD=∠∠3sin ACD =∠解得 sinACD ∠=由题意，因为为锐角，所以 ACD ∠cos ACD ∠===故选：D.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知两个不重合的平面α，β及直线m ，下列说法正确的是（ ）A. 若α⊥β，m ⊥α， 则m //βB. 若α/β，m ⊥α， 则m ⊥βC. 若m //α，m ⊥β， 则α⊥βD. 若m //α，m //β， 则α//β【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面和面面的位置关系依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若，，则或，故A 错误； αβ⊥m α⊥//m βm β⊂对选项B ，若，，则，故B 正确； //αβm α⊥m β⊥对选项C ，若，则平面内存在直线，使得， //m ααl //l m 又，所以，故，故C 正确；m β⊥l β⊥αβ⊥对选项D ，若，，则或与相交，故D 错误. //m α//m β//αβαβ故选：BC10. 设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）,,a b cA. 若，则B. 若，则a b a b +=- a b ⊥ a b = ()()a b a b +⊥-C. 若，则不与垂直D. 不与垂直a cbc ⋅=⋅ a b - c()()b c a a c b ⋅-⋅ c【答案】AB 【解析】【分析】根据模长公式即可判断A ，根据数量积是否为0可判断BCD.【详解】对于A ，由平方可得 a b a b +=- 2222220a b a b a b a b a b a b ++⋅=+-⋅⇒⋅=⇒⊥，故A 正确，对于B,若则，所以，故B 正确，a b = ()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ()()a b a b +⊥- 对于C, 若，则或或（舍去），故可能a c b c ⋅=⋅ ()()00a b c a b -⋅=⇒-= ()0a b c -⊥= 0c =a b - 与垂直，故C 错误，c对于D ，，所以()()()()()()()()0b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，故D 错误， ()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦故选：AB11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（ ） ABC A B C a b c A. 若，则sin sin A B <A B <B. 若是锐角三角形，恒成立ABC sin cos A B <C. 若，，，则符合条件的有两个 10a =9b =60B =︒ABC D. 若，，则是等边三角形 60B =︒2b ac =ABC 【答案】ACD 【解析】【分析】由正弦定理可以判断A ；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B ；作出示意图判断C ；根据余弦定理可以判断D.【详解】对A ，由正弦定理可知，正确；a b A B <⇒<对B ，因为三角形为锐角三角形，所以，则02002222A B B A A B πππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⇒<-<<⎨⎪⎪+>⎪⎩，B 错误；sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭对C ，如示意图，点A 在射线上，，易得，则，即符合条件的三BA 'CA BA ''⊥CA '=910<<角形有2个，正确；对D ，由余弦定理可知，，而()2222222cos 0b a c ac B a c ac ac a c a c =+-=+-=⇒-=⇒=，即该三角形为正三角形，正确.60B =︒故选：ACD.12. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，111ABC A B C -AB AC ⊥，，分别为棱，的中点，则（ ）12CC BC ==D E 1AA 11B CA. 四面体为鳖臑 1C ABC -B. 平面 //DE 1ABCC. 若，则与AB =AB DED. 三棱锥 1C ABC -【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A ；连接相交于点，可得四边形11B C C B 、O ADEO 为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可判断B ；由B 选项知与所成角即与//DE AO AB DE AB 所成角为或其补角，求出，在中由余弦定理得，再求出AO BAC ∠AO BO 、ABO cos BAO ∠可得正切值可判断C ；由、均为直角三角形可得点是三棱锥sin BAO ∠BAO ∠1C AB △1C CB △O的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D.1C ABC -【详解】对于A ，在堑堵中，平面，平面， 111ABC A B C -1CC ⊥ABC 、、AC BC AB ÌABC 所以，，，所以、均为直角三角形， 1CC AC ⊥1CC BC ⊥1CC AB ⊥1C AC 1C CB △因为，所以为直角三角形，AB AC ⊥ABC 且，平面，所以平面，平面， 1CC AC C =I 1CC AC ⊂、1ACC AB ⊥1ACC 1AC ⊂1ACC 所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A 正确； 1AB AC ⊥1ABC 1C ABC -对于B ，如图，连接相交于点，所以点为的中点，连接， 11B C C B 、O O 1C B 、EO AO 所以，，因为，，所以，， 1//EO B B 11=2EO B B 1//AD B B 11=2AD B B //AD EO =AD EO 所以四边形为平行四边形，所以，ADEO //DE AO 因为平面，平面，所以平面，故B 正确； DE ⊄1ABC AO ⊂1ABC //DE 1ABC对于C ，，由B 选项知，，AB =//DE AO所以与所成角即与所成角或其补角， AB DE AB AO BAC ∠因为，所以，所以， 12CC BC ==112==BO BC 1A E 111112==A E B C所以，所以，==DE ==AO DE在中，由余弦定理得， ABO 222cos 2+-∠===⨯AO AB BO BAO AO AB所以为锐角，则， BAO ∠sin ∠==BAO则与，故C 错误； AB DE =对于D ，如下图，连接，由A 选项可知，、均为直角三角形， AO 1C AB △1C CB △且，，且点为的中点，190C AB Ð=190C CB =O 1C B所以，1C O CO BO AO ===所以点是三棱锥， O 1C ABC -因为，所以为直角三角形，AB AC ⊥ABC所以三棱锥的外接球的体积为，与长度无关，故D 正确. 1C ABC -34π3=AB AC 、故选：ABD.【点睛】方法点睛：异面直线所成角的求法有几何法和向量，几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中，利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形，求出3边或3边的比例关系，用余弦定理求角.向量法：求两直线的方向向量，求两向量夹角的余弦，因为直线夹角为锐角，所以对2的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知i 为虚数单位，若，则___________． ()ii,,1ia b a b =+∈+R a b +=【答案】1 【解析】【分析】根据复数的四则运算和复数相等即可求出的值，进而求解即可.,a b 【详解】因为，所以， ii 1ia b =++i i(1i)1i 11i i 1i (1i)(1i)222a b -++====+++-所以，，则， 12a =12b =11122a b +=+=故答案为：.114. 如图所示，图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_________.AB【答案】## 140π3140π3【解析】【分析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，作出图形，利用圆台和球体体积公式可求得几何体的体积.【详解】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，如下图所示，其中圆台的体积为， ()221156ππ2π5433⨯⨯+⨯⨯=半球的体积，则所求体积为． 31416ππ2233⨯⨯⨯=156π16π140π333-=故答案为：. 140π315. 在中，，满足，则的面积___________.AOB OA a = OB b = ||||2a b a b a ⋅=-==AOB【解析】【分析】由向量模的运算可得，然后结合向量的夹角公式运算即可得解.||2b =【详解】解:由题意可得,||2a b -=即, 2224a b a b +-⋅=又,||2a b a ⋅==则,||2b =设的夹角为,,a bθ则,1cos 2a b a b θ⋅== 则sin θ=则, 11sin 2222ABCS a b θ∆==⨯⨯= 故答案为:【点睛】本题考查了向量的夹角公式及向量模的运算，属基础题.16. 在中，内角，，的对边分别是，，．若，且ABC A B C a b c ()sin sin sin sin b A B a A c C -=-，则的值为______．ABC 2b a a b +【答案】4 【解析】 【分析】由条件结合正弦定理可得，再利用余弦定理以及角的范围可得，然后根据三角222ab b a c =+-π3C =形的面积公式即可得出答案.【详解】由正弦定理及，得，()sin sin sin sin b A B a A c C -=-222ab b a c =+-所以①，2221cos 22b ac C ab +-==又，所以，由， ()0,πC ∈π3C =ABC 221sin 2ab C =即，代入①，得，所以．23c ab =224b a ab +=224b a b a a b ab++==故答案为：4【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足（是虚数单位） z (1i)13i z +=-i （1）若复数是纯虚数，求实数的值； (1i)a z +a （2）若复数的共轭复数为，求复数的模． z z 1zz +【答案】（1）12（2 【解析】【分析】（1）根据复数的运算法则求得，得到，结合题意列出方12i z =--(1i)21(2)i a z a a +=--+程组，即可求解；（2）由（1）得到，化简，利用复数模的计算公式，即可求解. 12i z =-+11i 12z z =--+【小问1详解】解：由复数满足，可得， z (1i)13i z +=-()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z -----====--++-可得，(1i)(1i)(12i)21(2)i a z a a a +=+--=--+因为复数为纯虚数，可得，解得，即实数的值为.(1i)a z +21020a a -=⎧⎨+≠⎩12a =a 12【小问2详解】 解：由，可得，12i z =--12i z =-+则， ()12i 2i 12i42i 11i 112i 12i 2i 42z z -+⋅-+--====--+--+-⋅所以，即复数的模为. 1z z ==+1z z +18. 如图，中，，是边长为的正方形，平面⊥平面，若ABC AC BC ==ABED 1ABED ABC 、分别是、的中点．G F EC BD（1）求证：平面； //GF ABC （2）求证：⊥平面．AC EBC 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的AE F AE //FG AC 判定定理可证得结论成立；（2）利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再利用勾股定理可得出BE ⊥ABC AC BE ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.AC BC ⊥【详解】（1）证明：连接．AE四边形为正方形，为的中点，为的中点，ABED F BD F ∴AE 又为的中点，所以，，G CE //FG AC 平面，平面，平面；FG ⊄ ABC AC ⊂ABC //FG ∴ABC （2）证明：四边形为正方形，，ABED BE AB ∴⊥因为平面⊥平面，平面平面，平面，ABED ABC ABED ⋂ABC AB =BE ⊂ABED 平面，BE ∴⊥ABC 平面，，AC ⊂ ABC AC BE ∴⊥，由勾股定理可得，， AC BC AB ==222AC BC AB +=AC BC ∴⊥，平面.BC BE B =Q I AC ∴⊥BEC 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．19. 的内角的对应边分别为，. ABC A B C ，，a b c ，，230b B == ，（1）若，求；1c =cos A（2）若，，求a . a c >ABC 1-【答案】（1；（2）. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理，可求得的值，根据同角三角函数关系，可求得值，根据诱导公sin C cos C式及两角和的余弦公式，展开计算，即可得答案.（2）根据面积公式，可求得的值，根据余弦定理，可求得的值，联立即可求得答案. ac a c +【小问1详解】在中，由正弦定理得：， ABC sin sin c bC B=所以，所以 ，12sin 12C =11sin sin 42C B =<=所以，所以， °30C B <=cos C ===所以()cos cos cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+1124=⨯=【小问2详解】因为 ABC所以，解得， 11sin 124S ac B ac ===-4ac =-在中，由余弦定理得：，ABC (()2222222cos 434b a c ac B a c a c =+-⋅=+-=+-所以，a c +=+所以为方程的两根，,a c 240x x -+-=解得或x =x =因为，所以a c >a =20. 如图，是平面四边形的一条对角线，已知，且.BD ABCD AB DB AD BD ⋅=⋅AB AD DB +=（1）求证：为等腰直角三角形；ABD （2）若，，求四边形面积的最大值. 2BC =1CD =ABCD【答案】（1）见解析；（2. 54【解析】【分析】（1）首先利用题中的条件，结合向量的运算法则，得到，再根AB DB AD BD ⋅=⋅AB AD =据条件，转化得到，从而得到，进而证得结果；AB AD DB += 0AB AD ⋅=u u u r u u u r 2A π=（2）设，利用余弦定理得到，将四边形的面积转化为两个三角形的面C θ=254cos BD θ=-ABCD 积之和，应用辅助角公式化简，从而得到其最大值.【详解】（1）证明：因为，所以， AB DB AD BD ⋅=⋅ 0AB DB AD DB ⋅+⋅=即，()()0AB AD AB AD +⋅-=所以，即，22AB AD =AB AD =又，所以，AB AD DB += 222()()AB AD DB AB AD +==- 整理得，所以，即，0AB AD ⋅=u u u r u u u r AB AD ⊥2A π=所以是等腰直角三角形.ABD （2）设，可得， C θ=241221cos 54cos BD θθ=+-⨯⨯⨯=-则四边形的面积ABCD， 21115521sin sin cos 222444ABD CBD S S S BD πθθθθ⎛⎫=+=⨯+⨯⨯⨯=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以当时，. (0,)θπ∈34πθ=S 54【点睛】该题考查的是有关向量与三角形的问题，涉及到的知识点有向量的运算，向量的数量积，向量的模的平方与向量的平方是相等的，向量垂直的条件，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，难度一般.21. 如图，在三棱锥中，点在底面上的射影在上，，，-P ABC P ABC D BC PA PB =2AB AC =．60CAB ∠=︒（1）求证：平面平面；PAC ⊥PBC （2）在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理AB E //AC PDE AEEB由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，. 12AE EB =【解析】【分析】（1）先利用余弦定理得，证得，利用平面，证得BC =AC BC ⊥PD ⊥ABC ，然后利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用面面垂直的判定定理证得结PD AC ⊥AC ⊥PBC 论；（2）连接，利用三角形知识证得是的三等分点，然后利用线面平行证得平面AD D CB //AC PDE ，从而得出结论.【详解】（1）证明：因为，2AB AC =在中，由余弦定理，可得，ABC 2221cos 22AB AC BC CAB AB AC +-∠==⋅可得，所以，所以．BC =222AC BC AB +=AC BC ⊥又因为平面，平面，所以．PD⊥ABC AC ⊂ABC PD AC ⊥又因为，所以平面． BC PD D = AC ⊥PBC 因为平面，所以平面平面． AC ⊂PAC PAC ⊥PBC （2）连接，因为平面，平面，平面，AD PD⊥ABC AD ⊂ABC BD ⊂ABC 所以，．PD AD ⊥PD BD ⊥在和中，由得 Rt ADP Rt BDP PA PB =AD BD =在中，由，得， Rt ACB △2AB AC =30ABC ∠=︒所以， 60ADC ABD BAD ∠=∠+∠=︒所以在中，， Rt ACD △1122CD AD BD ==所以是的三等分点． D CB 在线段上存在点，使得，则有． AB E 12AE BE =//DE AC 因为平面，平面，所以平面． DE ⊂PDE AC ⊄PDE //AC PDE 故在线段上存在点，使得平面，此时． AB E //AC PDE 12AE EB =22. 在斜三棱柱中，底面是边长为4的正三角形，111ABC A B C -1=A B 1160A AB A AC ∠=∠=︒．（1）证明：平面； 11//A C 1AB C （2）证明：；1BC AA ⊥（3）求直线与平面所成角的正弦值． BC 11ABB A 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3 【解析】【分析】（1）由线线平行证明线面平行；（2）作出辅助线，得到，即有11A AB A AC ≌△△11=AC A B ，证明出，再有，证明出平面，从而得到；（3）法一：1BC A M ⊥BC AM ⊥BC⊥1AA M 1BC AA ⊥由余弦定理得到，得到，求出，由等体积法求16AA =1AM A M ⊥11123-=⨯⋅=△B AA C AA M V S BM出C 到平面的距离，设直线与平面所成角为，从而得到，法11ABB A d BC 11ABB A θsin ==d BC θ二：作出辅助线，找到线面角，求出各边长，从而得到与平面所成角的正弦值. BC 11ABB A 【小问1详解】证明：在三棱柱中有 111ABC A B C -11//AC AC 又因为平面，平面 11A C ⊄1AB C AC ⊂1AB C 即有平面11//AC 1AB C【小问2详解】取中点M ，连接BC 1,AM AM因为为正三角形，，M 为中点 ABC AC AB =BC 所以，BC AM ⊥因为111160,∠=∠=︒=A AB A AC AA AA 所以，即有 11A AB A AC ≌△△11=AC A B 所以1BC A M ⊥又因为平面平面 1,=⊂ AM A M M AM 11,⊂AA M A M 1AA M 所以平面，BC⊥1AA M 又平面，即有 1AA ⊂1AA M 1BC AA ⊥【小问3详解】法一：在中，由余弦定理得： 1A AB △2221111cos 2+-∠=⋅AA AB A B A AB AA AB 得解得：或（舍去） 21111628224+-=⋅AA AA 16AA =2-，由勾股定理得：1A M BC ⊥1A M ==因为，由勾股定理逆定理得：，AM =22211AM A M A A +=1AM A M ⊥所以 111122A AM S A M AM =⋅=⨯=由平面得，BC⊥1AA M 11123-=⨯⋅=△B AA C AA M V S BM 记C 到平面的距离为 11ABB A d因为， 11113C A AB B AA C A AB V V S d --==⋅=11111sin 46sin 6022ABA S AB AA BAA =⋅∠=⨯⨯︒=所以 d =4BC =记直线与平面所成角为，则 BC 11ABB A θsin ==d BC θ法二：过点B 作于点E ，连接EC ，1BE AA ⊥又因为平面， 1,,,⊥=⊂ BC AA BC BE B BC BE BEC 所以平面 1AA ⊥BEC 过C 作于HCH BE ⊥由平面，则 CH ⊂CBE 1CH AA ⊥因为平面 11,,=⊂ BE AA E AA BE 11ABB A 所以平面， CH ⊥11ABB A则， sin 604BE CE AB ==︒==则， 2221cos 23BE CE BC BEC BE CE +-∠===⋅则， sin BEC ∠==所以 1sin 2BEC S BE CE BEC =⋅∠= CH ==记直线与平面所成角为，则．BC 11ABB A θsin ===CH BC θ。

银川一中2020/2020学年度(上)高一期中考试数 学 试 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题 5分，共计 60分)。

1．若集合{}11A x x =-≤≤，{}02B x x =<≤则A B ⋂=（ ） A ．{}10x x -≤< B ．{}01x x <≤ C ．{}02x x ≤≤D ．{}01x x ≤≤2．已知A 、B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(C U C B )∩A={9},则A=（ ）A. {1,3}B. {3,7,9}C. {3,5,9}D. {3,9}3．已知,x y 为正实数,则 ( )A. lg lg lg lg 222x y x y+=+B. lg lg lg 222x y x y+=⋅（）C. lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+D.lg lg lg 222xy x y = 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ） A.（-∞，1）B.（1，+∞）C.（-1,1）∪（1，+∞）D.（-∞，+∞） 5. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()01,f x g x x == B ．()(),0,,0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩C ．()()242,2x f x x g x x -=+=- D ．()()2,f x x g x ==6. 若函数f(x)=3x +3x -与g(x)=33x x --的定义域均为R ，则（ ） A. f(x)与g(x)均为偶函数 B. f(x)为奇函数，g(x)为偶函数C. f(x)与g(x)均为奇函数D. f(x)为偶函数，g(x)为奇函数7. 已知243log 3.4,log 3.6,log 0.3a b c ===则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b >>8．已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)-- C ．(2,1)(1,2)--U D ．(1,1)-9．设函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤，，，，1x x log -11x 22x -1则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）A ．[-1，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）10．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）11．设函数f(x)=log a |x|在(-∞,0)上是增函数,则f(a+1)与f(2)的大小关系是( )A. f(a+1)=f(2)B. f(a+1)<f(2)C. f(a+1)>f(2)D. 不确定12． 在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 恒成立的函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13．已知15x x -+=，则22x x -+= .14. 设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为_________.15. 已知log 73=a ，log 74=b ，用a ，b 表示log 4948为 ．21y••16．已知⎩⎨⎧≥<--=1,log 1,4)6()(x x x a x a x f a是R 上的增函数,则a 的取值范围为 .三、解答题：(满分70分) 17.(本小题满分 10 分) 计算:（1()()4114432(3)0.0080.252π----⨯；（2）21log 31324lg 824522493+-18. (本小题满分 12 分)已知集合A={x|2m-1<x<3m+2},B={x|x ≤-2或x ≥5}.是否存在实数m,使A∩B≠∅?若存在,求实数m 的取值范围;若不存在,请说明理由.19. (本小题满分 12 分)如图,幂函数y=x 3m-7(m ∈N)的图象关于y 轴对称, 且与x 轴,y 轴均无交点,求此函数的解析式及不等式(2)16f x +<的解集20. (本小题满分 12 分)已知函数f(x)=log a (3+2x),g(x)=log a (3-2x)(a>0,且a ≠1). (1)求函数y=f(x)-g(x)的定义域.(2)判断函数y=f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明.21. (本小题满分 12 分)已知指数函数f(x)=a x (a>0,且a ≠1). (1)求f(x)的反函数g(x)的解析式.(2)解不等式:g(x )≤log a (2-3x).22. (本小题满分 12 分)已知函数)(1222)(R a aa x f xx ∈++-⋅=． （1）试判断f （x ）的单调性，并证明你的结论； （2）若f （x ）为定义域上的奇函数，①求函数f （x ）的值域；②求满足f （ax ）＜f （2a ﹣x 2）的x 的取值范围．高一期中考试数学试卷参考答案 一、选择题： 题号 123456789101112答案B D DC BD A C D B C B二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13．23 14. -1. 15.16． ≤a<6 三、解答题： 17. 本题满分10分）(1)解:原式=()130.20.54352πππ--+-⨯=-+-=(2)解:原式=()235log 32221241lg lg 2lg 57222732-+⨯+⨯=()()5411lg 252lg 26lg 212lg 2622⨯-+=+-+ =13218【解题指南】可先求A∩B=∅时m 的取值范围,再求其补集,即为使A∩B≠∅的m的取值范围.【解析】当A∩B=∅时. (1)若A=∅,则2m-1≥3m+2, 解得m≤-3,此时A∩B=∅. (2)若A≠∅,要使A∩B=∅,则应用即所以-≤m≤1.综上所述,当A∩B=∅时,m≤-3或-≤m≤1,所以当m>1或-3<m<-时,A∩B≠∅19.【解析】由题意,得3m-7<0,所以m<.因为m∈N,所以m=0,1或2.因为幂函数的图象关于y轴对称,所以3m-7为偶数,因为m=0时,3m-7=-7,m=1时,3m-7=-4,m=2,3m-7=-1.故当m=1时,y=x-4符合题意,即y=x-4.20. (1)使函数y=f(x)-g(x)有意义,必须有解得-<x<.所以函数y=f(x)-g(x)的定义域是.(2)由(1)知函数y=f(x)-g(x)的定义域关于原点对称.f(-x)-g(-x)=loga (3-2x)-loga(3+2x)=-[loga (3+2x)-loga(3-2x)]=-[f(x)-g(x)],所以函数y=f(x)-g(x)是奇函数.21.【解析】(1)由题意知g(x)=logax(a>0,且a≠1).(2)当a>1时,loga x≤loga(2-3x),得0<x≤,所以不等式的解集为.同理,当0<a<1时,不等式的解集为. 综上,当a>1时,不等式的解集为(0,];当0<a<1时,不等式的解集为.22. 解：（1）函数f（x）为定义域（﹣∞，+∞），且，任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2则∵y=2x在R上单调递增，且x1＜x2∴，，，，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调增函数．（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即对任意实数x恒成立，化简得，∴2a﹣2=0，即a=1，…（8分）（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）①由a=1得，∵2x+1＞1，∴，∴，∴故函数f（x）的值域为（﹣1，1）．②由a=1，得f（x）＜f（2﹣x2），∵f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴x＜2﹣x2，解得﹣2＜x＜1，故x的取值范围为（﹣2，1）．。

宁夏银川一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1,0,1,2=-A ，{}0,1=B ，则()=A C B A （ ）A ．{}1,2-B ．[]0,1C ．{}1,0,1,2-D ．[]1,2-2．函数()1lg 1=+-f x x x 的定义域是（ ） A ．()0,+∞B ．()()0,11,+∞ C ．()0,1 D ．()1,+∞3．函数()2-=xf x 在区间[]1,1-上的最小值是（ ） A ．12-B ．12C ．-2D ．2 4．下列函数中，在区间()0,+∞上单调递减的函数是（ ） A ．2log =y x B．=y C ．=y x D ．1=y x5．已知函数()()2log ,0,2,0,>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩x x f x f x x ，则()3-=f （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．26．已知幂函数()()21=--mf x m m x 在()0,+∞上是增函数，则实数=m （ ）A ．2B ．-1 C.-1或2D ．127．已知lg lg 0+=a b ，则函数=xy a 与函数log =-b y x 的图象可能是（ ）8．设0x 是函数()=2+3-7xf x x 的零点，且0(,+1)()Z ∈∈x k k k ，则k 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．函数()=f x ） A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(2,5)D ．(1,2)-10．函数21()2=-x f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．下列结论正确的是（ ） A ．53log 2log 2> B ．30.90.93> C.20.3log 20.3> D ．3121log log 32> 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则=[]y x 称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数e 1()=-1+e 2x x f x ，则函数=[()]y f x 的值域是（ ）A ．{0,1}B ．{1}C ．{-1,0,1}D ．{-1,0}二、填空题：每题5分，满分20分.13．已知函数(-1)=2+1f x x ，则(+1)=f x _________．14．函数=log (2-3)+4a y x 的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数()f x 的图像上，则(3)=f ．15．已知346==xy，则21+=x y_________． 16．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的12,(-,0]∈∞x x （12≠x x ），有2121(-)[()-()]<0x x f x f x ，且(2)=0f ，则不等式3()+(-)<05f x f x x的解集是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)计算：（121-03212+8+log 16-(π+e)+25；（2）已知11-22+=x x 2-2-1+-6+-5x x x x 的值.18．(12分)已知()()0=+>kf x x k x. （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当1=k 时，判断函数()f x 在()0,1单调性，并证明你的判断.19．(12分)已知函数()21212,1,21,11,log , 1.⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩x x f x x x x x（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间；（2）若函数()()=-g x f x m 有四个零点，求实数m 的取值范围.20．(12分)已知集合+11={|216}8≤≤x A x ，={|+13-1}≤≤B x m x m . （1）求集合A ；（2）若⊆B A ，求实数m 的取值范围.21．(12分)已知函数1()=-()3+1R ∈xf x a x . （1）判断函数()f x 在R 的单调性.（不需要证明）；（2）探究是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，解不等式2(+1)+(2-4)0≤f t f t .22．(12分)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，2()=-2f x x x . （1）直接写出函数()f x 的增区间（不需要证明）； （2）求出函数()f x ，R ∈x 的解析式；（3）若函数()=()-2+2g x f x ax ，[1,2]∈x ，求函数()g x 的最小值.【参考答案】一、选择题1-5:ABBDB 6-10:ADBCC 11-12：DD 二、填空题13. 2+5x 14. 9 15.2 16.三、解答题17. 解：（1）原式=.（Ⅱ）由已知可得：，，原式=.18.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，它关于原点对称，对于任意(),0∈-∞x ()0,+∞，()()-=--=-kf x x f x x，∴()f x 是奇函数. ()()11-=-+f k ，()11=+f k ，0>k ，∴()()11-≠f f ，∴()f x 不是偶函数，∴()f x 是奇函数，不是偶函数； （2）当1=k 时，函数()1=+f x x x在()0,1上是单调减函数. 证明：设1201<<<x x ，则()()()12121212121111⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x x x x x x x x x .1201<<<x x ，∴1201<<x x ，120-<x x ，∴12110-<x x . ∴()()()121212110⎛⎫-=--> ⎪⎝⎭f x f x x x x x . ∴()()12>f x f x ，∴()f x 在区间()0,1上是减函数.19.解：（1）函数()f x 的图象如图所示，由图象可得函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(]0,1，单调递减区间为[]1,0-和()1,+∞；（2）由函数()f x 的图象可知，当且仅当102-<<m 时，函数()()=-g x f x m 有四个零点，∴实数m 的取值范围为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 20. 解：（1）由已知：，，.（2）若时符合题意；若时有，即；综上可得：的取值范围为.21.解：（1）任取且，则， 在R 上是增函数，且，，，，，即函数在上是增函数.（2）是奇函数，则，即，，故. 当时，是奇函数.（III）在（Ⅱ）的条件下，是奇函数，则由可得：，又在上是增函数，则得，.故原不等式的解集为：.22. 解：（1）的增区间为 .（2）设，则，，由已知，当时，，故函数的解析式为：.（3）由（2）可得：，对称轴为：，当时，，此时函数在区间上单调递增，故的最小值为，当时，，此时函数在对称轴处取得最小值，故的最小值为，当时，，此时函数在区间上单调递减，故的最小值为.综上：所求最小值为.。

2020-2021学年宁夏银川一中高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x 2−4<0}，B ={x|x 2−4x +3<0}，则A ∪B =( )A. {x|−2<x <1}B. {x|1<x <2}C. {x|−2<x <3}D. {x|−2<x <2}2.二次函数y =x 2−4x +3在区间(1,4]上的值域是( )A. [−1,+∞)B. (0,3]C. [−1,3]D. (−1,3]3.已知函数f(x)={lnx,x >0f(x +2),x ≤0，则f(−5)=( )A. −2B. −1C. 0D. 14.设M =11+√2+1√2+√3+1√3+2+⋯+1√2013+√2014，则下列正确的是( )A. 42<M <43B. 43<M <44C. 44<M <45D. 45<M <465.函数y =log 13(x 2−2x −3)的单调递增区间是( ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (−∞,−1)D. (3,+∞)6.设，，，则的大小顺序为( )A.B.C.D.7.下列函数既是偶函数又在(0,1)上是增函数的是( )A. y =−|x|+1B. y =x 3C. y =3x 2，x ∈(−1,1]D. y =x 2−11+x 28.若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0.当x ∈[0,1]，f(x)=1−x 2，则( )A. f(log 132)>f(52)>f(log 23)B. f(52)>f(log 132)>f(log 23)C. f(log 132)>f(log 23)>f(52)D. f(52)>f(log 23)>f(log 132)9. 已知点在直线上，点Q 在直线上，PQ 的中点为，且，则的取值范围是( )A.B.C.D.10.给定函数①y=x12，②y=log12(x+1)，③y=|x2−2x|，④y=x+1x，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④11.(滚动单独考查)设f(x)=x−sinx，则f(x)()A. 既是奇函数又是减函数B. 既是奇函数又是增函数C. 是有零点的减函数D. 是没有零点的奇函数12.已知f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，若f(0)=1，则f(2016)的值为()A. 0B. 1C. 2015D. 2016二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合M={y|y=1−2x}，集合N={y|y=lg(x2+1)}，则M∩N=______．14.若集合A={x|4≤2−x2+2x+a≤9}中恰有唯一的元素，则实数a的值为______．15.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(−1)=．16.已知函数，则．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等比数列{a n}满足，a2=3，a5=81．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log3a n，求{b n}的前n项和为S n．18.已知函数f(x)=(x−t)|x|(t∈R)．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若∃t∈(0,2)，对于∀x∈[−1,2]，不等式f(x)>x+a都成立，求实数a的取值范围．19.已知二次函数f(x)满足f(−1)=f(3)=−6且f(0)=0．(1)求f(x)的解析式；(2)求y=f(x)在区间[−1,2]上的值域．20.已知函数g(x)=2e x−ae x，是奇函数．(1)求a的值，并证明函数g(x)的单调性；(2)若对任意的t∈(1,9)，使得不等式g(1−log3t)+g(k⋅log t3)>0成立，求实数k的取值范围．21.(本题12分)已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间有表达式．(1)求出，的值；(2)若函数在区间的最大值与最小值分别为，且，求的值．22. 已知二次函数f(x)=ax2−(2a−1)x−lnx(a为常数，a≠1)．(Ⅰ)当a<0时，求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值；(Ⅱ)记函数y=f(x)图象为曲线C，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：集合A ={x|x 2−4<0}={x|−2<x <2}， B ={x|x 2−4x +3<0}={x|1<x <3}， 则A ∪B ={x|−2<x <3}． 故选：C ．解不等式得出集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：本题主要考查二次函数在给定区间上的值域问题，求出对称轴，利用开口朝上的抛物线的一部分即可判断最值点．解：y =x 2−4x +3=(x −2)2−1，在区间(1,4]上，x =2时，y 有最小值−1， x =4时，y 有最大值3， 故y 的值域为：[−1,3]； 故答案为C ．3.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lnx,x >0f(x +2),x ≤0，∴f(−5)=f(−3)=f(−1)=f(1)=ln1=0． 故选：C ．推导出f(−5)=f(−3)=f(−1)=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：M =1+√2√2+√3√3+2⋯+√2013+√2014 =(√2−1)+(√3−√2)+(2−√3)+⋯+(√2014−√2013) =√2014−1，∵1936<2014<2025，∴44<√2014<45， ∴43<√2014−1<44．∴43<M<44．故选：B，通过分母有理化，然后求出表达式的值，判断值的大小即可．本题考查数列求法，拆项法的应用，数值大小的比较，考查计算能力．5.答案：C解析：解：定义域为{x|x>3或x<−1}，∵13<1，∴递增区间为(−∞,−1)．故选：C．先求出函数定义域，再根据同增异减可得．本题考查了复合函数的单调性，属基础题．6.答案：A解析：试题分析：∵，∴，故选A考点：本题考查了指数、对数函数的单调性点评：掌握指数(对数)函数的单调性及图象是解决此类问题的关键，属基础题7.答案：D解析：解：对于A，y=−|x|+1为偶函数，在(0,1)上，y=−x+1为减函数，不符合题意；对于B，幂函数y=x3为奇函数，不符合题意；对于C，y=3x2，x∈(−1,1]，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y=x2−11+x2的定义域为R，且为偶函数，y=x2−11+x2=1−21+x2，当x∈(0,1)时，由复合函数的单调性可知，函数为增函数，符合题意．故选：D．由函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，考查基本初等函数的性质以及复合函数单调性的判断，属于基础题．8.答案：A解析：解：因为定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=0．所以f(2+x)+f(−x)=0即f(2+x)=−f(−x)=−f(x)，所以f(4+x)=f(x)，即函数的周期为4，因为当x ∈[0,1]，f(x)=1−x 2单调递减，因为f(52)=−f(−12)=−f(12)<0，f(log 23)=−f(log 243)<0，f(log 132)=f(−log 32)=f(log 32)>0，因为0<log 243<12<1， 所以−f(log 243)<−f(12)，所以，f(log 132)>−f(12)>−f(log 243)，即f(log 132)>f(52)>f(log 23)，故选：A ．根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．9.答案：A解析：解：，，，故答案选：A ．10.答案：C解析：本题考查函数的单调性的判断与证明，着重考查学生对基本初等函数的图象与性质的掌握与应用，属于中档题．①y =x 12为[0,+∞)的增函数；②y =log 12(x +1)可由复合函数的单调性可判断其单调性；③y =|x 2−2x|，可借助其图象作出判断；④y=x+1可利用其图象与性质予以判断．x解：①y=x12为[0,+∞)上的增函数，可排除；x为减函数，根据复合函数的单调性(同增异减)可知②②因为y=x+1(x>−1)为增函数，y=log12正确；③y=|x2−2x|，在(0,1]，(2,+∞)单调递增，在(−∞,0]，(1,2]单调递减，可知③错误；④由y=x+1，在(0,1]单调递减，(1,+∞)单调递增，可知④正确．x故选C．11.答案：B解析：试题分析：f(x)的定义域为R且关于原点对称，又f(x)=x−sin x⇒f(−x)=(−x)−sin(−x)=−x+sin x=−(x−sin x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数;f′(x)=1−cos x≥0⇒f(x)是增函数．考点：利用函数的奇偶性及函数的增减性可作出判断12.答案：B解析：解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，f(0)=1，∴f(−3)=f(3)；∵对x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，∴f(−3+6)=f(−3)+f(3)，∴f(3)=f(−3)+f(3)，∴f(3)=2f(3)，f(3)=0．∴f(x+6)=f(x)∴函数f(x)周期T=6．∴f(2016)=f(6×336)=f(0)=1．故选：B．由已知条件推导出f(x+6)=f(x)，即函数f(x)周期T=6，由此能求出f(2016)的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．13.答案：[0,1)解析：解：∵集合M={y|y=1−2x}={y|y<1}，集合N={y|y=lg(x2+1)}={y|y≥0}，∴M∩N={y|0≤y<1}=[0,1)．故答案为：[0,1)．分别求出集合M，集合N，由此能求出M∩N．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：2解析：解：∵集合A={x|4≤2−x2+2x+a≤9}中恰有唯一的元素，∴2≤−x2+2x+a≤log29恰有唯一解，∵1≤a−(x−1)2≤log29−1，∴实数a的值为2．故答案为：2．推导出2≤−x2+2x+a≤log29恰有唯一解，从而2≤a−(x−1)2≤log29−1，由此能求出实数a的值．本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合中元素个数、指数函数的性质的合理运用．15.答案：3解析：本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f(x+4)=f(x)是解决本题的关键，比较基础．根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f(x+4)=f(x)，即可得到结论．解：因为偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(2+x)=f(2−x)=f(x−2)，即f(x+4)=f(x)，则f(−1)=f(−1+4)=f(3)=3，故答案为：3．16.答案：解析：试题分析：．考点：1.分段函数；2.指数与对数运算．17.答案：解：(1)∵等比数列{a n }满足，a 2=3，a 5=81，∴{a 1q =3a 1q 4=81，解得a 1=1，q =3， ∴数列{a n }的通项公式a n =3n−1． (2)∵b n =log 3a n =log 33n−1=n −1， ∴{b n }的前n 项和：S n =(1+2+3+⋯+n)−n=n(n +1)2−n =n(n−1)2．解析：本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，属于简单题． (1)利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出数列{a n }的通项公式． (2)由b n =log 3a n =log 33n−1=n −1，即可求出{b n }的前n 项和． 18.答案：解：(Ⅰ)f(x)={x 2−tx,x ≥0−x 2+tx,x <0，…(1分) 当t >0时，f(x)的单调增区间为[t2,+∞),(−∞,0)，单调减区间为[0,t2]…(4分) 当t =0时，f(x)的单调增区间为(−∞,+∞)…(5分)当t <0时，f(x)的单调增区间为[0,+∞)，(−∞,t2]，单调减区间为[t2,0)…(8分) (Ⅱ)设g(x)=f(x)−x ={x 2−(t +1)x,x ∈[0,2]−x 2+(t −1)x,x ∈[−1,0]，当x ∈[0,2]时，∵t+12∈(0,2)，∴g min (x)=g(t+12)=−(t+1)24…(9分)当x ∈[−1,0]时，∵g(−1)=−t ，g(0)=0，∴g min (x)=−t …(10分)故只须∃t ∈(0,2)，使得：{−(t+1)24>a −t >a成立，即{−14≥a0≥a …(13分)∴a≤−1…(14分)4另解：设ℎ(t)=f(x)−x=−|x|⋅t+x|x|−x，t∈(0,2)…(9分)只须ℎ(t)max≥a，对x∈[−1,2]都成立．…(10分)则只须ℎ(0)=x|x|−x≥a，对x∈[−1,2]都成立．…(12分)再设m(x)=x|x|−x，x∈[−1,2]，…(14分)只须m(x)min≥a，易求得a≤−14解析：(Ⅰ)讨论x的取值范围，将函数表示为分段函数形式，然后判断函数的单调性即可．(Ⅱ)将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数转化法是解决本题的关键．19.答案：解：(1)∵f(0)=0，∴设f(x)=ax2+bx，(a≠0)，又f(−1)=f(3)=−6，∴{a−b=−69a+3b=−6，解得a=−2，b=4，∴f(x)=−2x2+4x；(2)f(x)=−2(x−1)2+2，且x∈[−1,2]，∴x=1时，f(x)取最大值2；x=−1时，f(x)取最小值−6，∴f(x)在区间[−1,2]上的值域为[−6,2]．解析：本题考查二次函数的一般形式，待定系数法求函数解析式的方法，配方求二次函数最值的方法．(1)根据二次函数f(x)满足f(0)可设f(x)=ax2+bx，a≠0，再根据f(−1)=f(3)=−6即可求出a=−2，b=4，从而得出f(x)的解析式；(2)对f(x)配方即可求出f(x)在区间[−1,2]上的最大值和最小值，从而得出f(x)在区间[−1,2]上的值域．20.答案：解：(1)函数g(x)=2e x−a的定义域为R，且g(x)是奇函数，e x可得g(0)=0，即2−a=0，解得a=2，则g(x)=2e x−2e−x，)，设x1<x2，则g(x1)−g(x2)=2e x1−2e−x1−2e x2+2e−x2=2(e x1−e x2)(1+1e x1+x2由x 1<x 2，可得e x 1<e x 2，即有e x 1−e x 2<0，1+1e x 1+x 2>0，则g(x 1)−g(x 2)<0，即g(x 1)<g(x 2)，可得g(x)在R 上为增函数；(2)对任意的t ∈(1,9)，使得不等式g(1−log 3t)+g(k ⋅log t 3)>0成立，即为g(1−log 3t)>−g(k ⋅log t 3)，由y =g(x)为奇函数，可得g(1−log 3t)>g(−k ⋅log t 3)，由g(x)在R 上为增函数，可得1−log 3t >−k ⋅log t 3在t ∈(1,9)恒成立，由1<t <9，log 3t ∈(0,2)，log t 3∈(12,+∞)，则−k <1−log 3tlog t 3=log 3t −(log 3t)2，可设m =log 3t ，m ∈(0,2)，则log 3t −(log 3t)2=m −m 2=−(m −12)2+14在(0,12)递增，在(12,2)递减，当m =12即t =√3时，上式取得最大值14，m =0时，上式为0；m =2时，上式为−2，则−k ≤−2，即k ≥2．解析：(1)由g(x)为R 上的奇函数，可得g(0)=0，解得a ，再由单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，即可得到单调性；(2)由g(x)的奇偶性和单调性可得原不等式等价为1−log 3t >−k ⋅log t 3在t ∈(1,9)恒成立，再由对数函数的单调性和换元法、二次函数的值域求法，结合不等式恒成立思想，解不等式可得所求范围． 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力、推理能力，属于中档题． 21.答案：(1)(2)解析：本题考查的是函数解析式的代入问题，最值问题。

银川一中2014/2015学年度(上)高一期中考试数 学 试 卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题4分共计48分)。

1．如果{}1,2,3,4,5U =，{}3,2,1=M ，{}5,3,2=N ，那么()U C M N 等于（ ）.A.φB.{}3,1C.{}4D.{}52．已知⎩⎨⎧---=221)(22x x x x f ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡)2(1f f 的值是（ ） A ．161 B ．43-C ．43 D ． 83．函数f （x ）=－x 2－2x+3在[-5，2]上的最小值和最大值分别为（ ） A ．-12，-5B ．-12，4C ．-13，4D ．-10，64．已知52)121(-=-x x f ，且 6)(=a f ，则a 等于 （ ） A ．47-B.47C. 34D.34- 5．设()f x 为定义于R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数， 则()()()f f f --23、、π的大小顺序是（ ）()()().32A f f f π->>- ()()().23B f f f π->->()()().32C f f f π-<<-()()().23D f f f π-<-<6．已知f （x ）的定义域为[-2，2]，则函数12)1()(+-=x x f x g ,则)(x g 的定义域为（ ）A. ]3,21(-B. ),1(+∞-C. )3,0()0,21(⋃-D. )3,21(- 7．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1）8．已知函数y=14log x 与y=kx 的图象有公共点A ，且A 点的横坐标为2，则k=( )A.21 B. 21- C. 41 D. 41- 9．若lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于( ) （x ≤1） （x ＞1）A ．b a b a +-+12 B ．b a b a +++12 C ．b a b a +-+12 D ． ba ba +++1210．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．10-11．若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-1，0）∪（0，1）B ．（-∞，-1）∪（1,+∞）C ．（-1，0）∪（1,+∞）D ．（-∞，-1）∪（0,1） 12．定义在R 上的函数)(x f 满足：1()()(),(1)f x f x f x f x -=-+=，当()1,0x ∈-时，()21x f x =-，则2(log 20)f =（ ）A ．52-B ．15C ．41-D ．43 二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分共计16分)。

银川一中2021/2021学年度(上)高一期中考试数 学 试 卷命题教师：一、选择题〔每题5分，共60分〕1．集合{}5,3,1=A ,{}5,4,2=B ，那么=⋃B A ( ) A ．{}5,4,3,2,1B ．{}5,4,2C ．{}5,3 D ．{}52．函数()()21ln -+=x x x f 的定义域是( )A ．()()+∞⋃-,22,1B ．[)()+∞⋃-,22,1C ．()2,1-D ．()+∞-,13．函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=1,1,223x ax x x x x f ，假设()()2-0=f f ，实数=a ( )A ．2B ．3C ．4D ．54．定义在R 上的函数)(x f 满足()()2+=x f x f ，且121=⎪⎭⎫⎝⎛f ，那么()=5.10f ( ) A ．-1B ．C ．D ．15．函数()32221+-⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调减区间为( )A ．()3,1-B ．()1,∞-C ．()+∞,1D ．R6．不等式()1013<<>--a a a x x 中x 的取值范围是( )A ．()()∞+⋃∞，，22- B ．()∞+，2 C ．()2-，∞ D ．()2,2- 7．()x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()x x x f -+=22，那么()=-1f ( ) A ．25B ．23 C ．23－D ．25－8．函数()x f 在),0[+∞上是增函数，那么()()()1,5log ,3log 22f r f n f m ===的大小关系正确的选项是( ) A ．m >n >rB ．n >m >rC ．m >r >nD ．r >m >n9．函数||21)(x x f ⎪⎭⎫⎝⎛=的图象大致是( )A B C D10．假设函数()()⎩⎨⎧>+--≤+-=1,63121,22x a x a x ax x x f 是在R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是〔〕A ．⎥⎦⎤⎝⎛121，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 C ．[]2,1D ．[)∞+，1 11．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的[)()2121,,0,x x x x ≠+∞∈，有()()01212<--x x x f x f ，且0)2(=f ，那么不等式()0<x xf 的解集是( )A ．()2,2-B ．()()+∞⋃-,20,2C ．()()2,02--⋃∞，D ．()()+∞⋃-∞-,22, 12．设函数|13|ln |13|ln )(--+=x x x f ，那么f (x )〔〕A ．是偶函数，且在)31,31(-单调递增B ．是偶函数，且在)31,(--∞单调递增 C ．是奇函数，且在)31,31(-单调递减 D ．是奇函数，且在)31,(--∞单调递减二、填空题〔每题5分，共20分〕13．集合{}1>=x x A ，集合{}30<<=x x B ，那么=⋂B A .. 14．函数)10(22≠>+=-a a a y x 且恒过定点(m ,n )，那么m +n =______. 15．函数f (x )=ax 3-bx +3，假设4)(=a f ，那么=-)(a f ___________．16．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm /s 和燃料的质量Mkg 、火箭(除燃料外)的质量mkg 的函数关系是)1ln(2000mMv +=，当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12000m /s ． 三、解答题〔共70分〕 17．〔此题10分，每题5分〕计算： 18．〔此题12分〕函数)1(112)(≠-+=x x x x f ． (1)利用定义证明函数f (x )在()1,∞-上的单调性；(2)假设f (x )在区间[]0,a 上的最大值与最小值之差为2，求a 的值． 19．〔此题12分〕设)1,0)(3(log )1(log )(≠>-++=a a x x x f a a 且，且2)1(=f ．(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡230，上的最大值．20．〔此题12分〕定义在R 上的奇函数f (x)，当0>x 时，()x x x f 22+-=(1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)在坐标系中作出f (x )的图象；(3)假设函数f (x )在区间[]21--a ，上单调递增， 求实数a 的取值范围． 21．〔此题12分〕函数)10()(≠>=a a a x f x且．(1)假设函数f (x )在[]1,2-上的最大值为2，求a 的值；(2)假设10<<a ，求使得1)1(log 2>-x f 成立的x 的取值范围． 22．(此题12分〕a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+.〔1〕当1a =时，解不等式()f x >1；〔2〕假设关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；〔3〕设a >0，假设对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.银川一中2021/2021学年度(上)高一期中数学试卷答案一、选择题1-5：AABDC 6-10：CDBDC 11-12：BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AABDCCDBDCBD二、填空题13.()3,1 14.5 15.2 16.17.【答案】解：原式．…………………5分解：原式．…………………10分18.【答案】解：设,121〈〈x x …………………1分 那么=)1)(1()(32112---x x x x . …………………3分又,121〈〈x x ∴x 1-1<0,x 2-1<0, x 2-x 1>0. …………………5分，故在上的单调递减. …………………6分由可知在上的单调递减，………………8分故当时，函数取得最大值，时，函数取得最小值，…………………10分因此，．…………………12分19.【答案】解：，，…………2分解得，…………………3分由，得．…………………5分函数的定义域为．…………………6分…………………8分当时，是增函数；当时，是减函数．…………………10分所以函数在上的最大值是．…………………12分20.【答案】解：设，，那么，又为奇函数，所以，于是时，…………………2分所以．…………………4分画出函数的图象，如下图：…………………8分(3)要使在上单调递增，结合的图象知，…………………10分所以，故实数a的取值范围是．…………………12分21.【答案】解：当时，在上单调递减，，解得，…………………3分当时，在上单调递增，，解得，…………6分综上所述或…………………7分，，，………………9分即，解得…………………12分22.试题解析：〔1〕由21log 11x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得112x +>，解得{}|01x x <<．………4分〔2〕()2221log log 0a x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭有且仅有一解， 等价于211a x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意； 当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-．综上，0a =或14-．…………………8分 〔3〕当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．…………………12分。

宁夏银川一中10-11学年高一上学期期中试题（数学）数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题，每小题4分共计48分。

1．集合P={x|x 2-1=0}，T ＝｛-1，0，1｝，则P 与T 的关系为（ ）A. P TB. P TC. P = TD. P T 2．设A={x|20≤≤x }，B={y|12≤≤y },下列图形表示集合A 到集合B 的函数图形的是（ ） A B C D 3．设5.205.2)21(,5.2,2===c b a ，则a,b,c 大小关系（ ） A. a>c>b B. c>a>b C. a>b>c D.b>a>c 4．下列图像表示的函数能用二分法求零点的是（ ）A B C D 5．已知x x f 2log )(=，则=)8(f （ ） A.31B. 8C. 3 D .-3 6．已知)(x f 是定义在R 上的单调减函数，若)2()(x f x f ->，则x 的范围是（ ） A ．x>1 B. x<1 C.0<x<2D. 1<x<27．若函数c bx x x f ++=2)(对任意实数都有)2()2(x f x f -=+，则（ ） A ．)4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C.)1()4()2(f f f << D.)1()2()4(f f f <<8. 设函数），在（且∞+≠>=0)10(,log )(a a x x f a 上单调递增，则)2()1(f a f 与+的大小关系为（ ）A. )2()1(f a f =+ B )2()1(f a f >+ C. )2()1(f a f <+ D.不确定9. 已知a>0，a 0，函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是( )⊂≠≠⊃⊆1 2 o 2 1y x 1 2 o 2 1y x 1 2 o 2 1y x 1 2o 2 1y xo 1yxxoyxoyxoy10. 已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是( )A.0<m ≤4B.0≤m ≤1C.m ≥4D.0≤m ≤411．函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A. ),2[+∞B.[2,4]C.(]2,∞- D 。

银川一中2024/2025学年度(上)高一期中考试数 学 试 卷命题教师：朱建锋一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2(,)21,(,)23,A x y y x x B x y y x C A B ==-+==-=⋂∣∣，则C 的真子集的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】联立方程组221, 23,y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩得2440x x -+=有一解，即C 有一个元素，即可求解.【详解】联立方程组221, 23,y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，整理得2440x x -+=，解得2x =，则{(2,1)}C =，故C 的真子集的个数为1．故选：B.2. 已知点(),27a 在幂函数()()()2,m f x a x a m =-∈R 的图象上，则a m +=（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【分析】直接由幂函数的定义列方程组即可求解.【详解】由题意2136273m a a a m a m -==⎧⎧⇒⇒+=⎨⎨==⎩⎩.故选：C.3. 函数||x y x x=+的图象是（ ）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断.【详解】1,01,0x x xy x x x x +>⎧=+=⎨-<⎩，对比选项可知，只有C 符合题意.故选：C.4. 函数()f x =的单调递减区间是（ ）A. []1,0- B. []0,1 C. [)2+∞， D. (]2-∞，【答案】A【解析】【分析】求得()f x 的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.【详解】函数()f x =中，220x x --≥，解得20x -≤≤，又22y x x =--的开口向下，对称轴方程为1x =-，函数22yx x =--在[1,0]-上单调递减，在[2,1]--上单调递增，又y =在[0,1]上单调递增，因此函数()f x =在[1,0]-上单调递减，在[2,1]--上单调递增，所以函数()f x =的单调递减区间是[1,0]-.故选：A5. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A. 若a b >，c d >，则a b c d+>+ B. 若22a b >，则a b -<-C. 若0c a b >>>，则a b c a c b >-- D. 若0a b >>且0m >，则a m a b m b+>+【答案】C【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】选项A ，取1a =，0b =，2c =，1d =，则a b c d +<+，A 错误；选项B ，当1a =-，0b =时，22a b >，但a b ->-，不成立，B 错误；选项C ，当0c a b >>>时，()()a b a c b b c a ac bc a b c a c b >⇔->-⇔>⇔>--，C 正确；选项D ，根据糖水不等式可知0b m b a m a +>>+，再根据倒数不等式可得a m a b m b +<+，D 错误.故选:C ．6. 函数()y f x =为定义在R 上的减函数，若0a ≠，则（ ）A. ()()2f a f a > B. ()()2f a f a >C. ()()2f a a f a +< D. ()()21f a a f a +>+【答案】C【解析】【分析】根据()f x 是定义域R 上的减函数，且0a ≠，然后比较a 与2a 的大小关系，从而得出选项A 错误；比较2a 与a 的大小即可得出选项B 错误；可得出2a a a +>，从而得出选项C 正确；比较2,1a a a ++大小即可判断D.【详解】()y f x = 是定义在R 上的减函数，0a ≠，a 与2a 的大小关系不能确定，从而()(),2f a f a 关系不确定，故A 错误；2(1)-=-a a a a ，1a >时，2a a >；01a <<时，2a a <，故()()2,f a f a 的关系不确定，故B 错误；220a a a a -=+>，2a a a ∴+>，()2()f a a f a ∴+<，故C 正确．()()221111a a a a a a +--=-=+-，1a >时，21a a a +>+；01a <<时，21a a a +<+，故()()2,1f a a f a ++关系不确定，D 错误，故选：C ．7. 已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩在(),1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (][),21,-∞-+∞ B. []2,1-C. (][),12,-∞-⋃+∞ D. []1,2-【答案】A【解析】【分析】作出分段函数的函数图象，由图象得到单调区间，建立不等式，得出m 取值范围.【详解】画出分段函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩的图象，如图所示，所以要使函数()f x 在(),1m m +上单调递增，则1m ≥或11m +≤-，解得1m ≥或2m ≤-，所以实数m 的取值范围为(][),21,-∞-+∞ ．故选：A8. 定义{}max ,,a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28max ,,63h x x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则()h x 的最小值为（）．A. 649 B. 4 C. 0 D. 4811【答案】D【解析】【分析】分别画出28,,63y x y x y x ===-的图象，即可得函数ℎ(x )的图象，根据图象分析最值.【详解】分别画出28,,63y x y x y x ===-的图象，则函数ℎ(x )的图象为图中实线部分.由图知：函数ℎ(x )的最低点为A ，由836y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ，解得18114811x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1848,1111A ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以ℎ(x )的最小值为4811.故选：D.二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9. 下列说法中正确的有（）A. 命题0:p x ∃∈R ，200220x x ++<”则命题p 的否定是2,220∀∈++≥R x x x B. “11x y>”是“x y <”的必要不充分条件C. 命题“2,0x x ∀∈>Z ”是真命题D. “0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件【答案】AD【解析】【分析】利用特称量词命题否定求解选项A ；利用不等式的性质确定选项B ；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D.【详解】对于A ，命题p 的否定是2220x x x ∀∈++≥R ，，故A 正确；对于B ，由11x y>可知由两种情况，①0xy >且y x >；②0y x <<，故11x y >不能推出x y <，由x y <也不能推出11x y>，所以11x y>是x y <的既不充分也不必要条件，故B 错误；对于C ，当x =0时，20x =，故C 错误；对于D ，关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根，则4400m m ->⎧⎨<⎩，解得0m <.所以"0m <"是"关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根"的充要条件，故D 正确.故选：AD.的10.已知函数)1fx +=+，则（ ）A. ()()21f x x x =-∈R B. ()f x 的最小值为0C. ()23f x -定义域为[)2,+∞D. 1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为()1,-+∞【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数()f x 的解析式，再逐项判断即得答案.详解】由)211)1f x +=+=+-11+≥，所以()()211f x x x =-≥，故A 错误；当1x ≥时，()210f x x =-≥，因此()f x 的最小值为0，故B 正确；在函数()23f x -中，231x -≥，即2x ≥，所以函数()23f x -的定义域为[)2,+∞，故C 正确；2111f x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由11x ≥，即01x <≤，所以[)211,x ∞∈+，所以1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭值域为[)0,∞+，故D 错误.故选：BC.11. 已知函数()328x f x x -=-，则（ ）A. ()f x 的定义域为()(),44,-∞⋃+∞ B. ()f x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()f x 的图象关于点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D. 若()f x 在(),1a a +上单调递减，则4a ≥【答案】ABC【解析】【分析】求出函数的定义域和值域可判断A 、B ；根据图象的平移法可判断C ；根据函数的单调性解不等式的【的可判断D【详解】由280x -≠得4x ≠，所以()f x 的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，A 正确；由()341112828228x x f x x x x --+===+---及1028x ≠-，可得()f x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；()11228f x x =+-的图象可由奇函数12y x=的图象向右平移4个单位，再向上平移12个单位得到，所以()f x 的图象关于点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，C 正确；()f x 在(),1a a +上单调递减，则4a ≥或14a +≤，即4a ≥或3a ≤ ，D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =____________．【答案】223x x --【解析】【分析】根据题意，当0x <时，0x ->，由函数的解析式求出()f x -的表达式，结合奇偶性分析可得答案．详解】解：根据题意，当0x <时，0x ->，则22()()2()323f x x x x x -=-+--=--，又由函数()f x 为R 上的偶函数，则2()()23f x f x x x =-=--．则0x <时，2()23f x x x =--．故答案为：223x x --．13. 已知函数1,0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则(3)f 的值等于________【答案】1-【解析】【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可．【【详解】由分段函数可知，(2)(3(1))f f f =-，而(1)(2(0))f f f =-，∴(3)(2)(1)(1)(0)(1)(0)1f f f f f f f =-=--=-=-.故答案为：1-.【点睛】本题考查分段函数求值的问题，属于基础题.14. 若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是____________(用区间表示)【答案】[]10,14【解析】【分析】根据“Ω函数”的定义确定()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的值域为[0,]m ，结合每段上的函数的取值范围列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可知()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩的定义域为[0,4]，又因为函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，故其值域为()()[0,4]f f ；而()()00,4f f m ==，则值域为[0,]m ；当02x ≤≤时，()5[0,10]f x x =∈，当24x <≤时，()24f x x x m =-+，此时函数在(2,4]上单调递增，则()(4,]f x m m ∈-，故由函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”可得041010m m ≤-≤⎧⎨≥⎩，解得1014m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]10,14，故答案为：[]10,14四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （1）求函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知0x >，0y >且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．【答案】（1）9；（2）16m ≤【解析】【分析】（1）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值；（2）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值；【详解】（1）由1x >-，得10x +>，因此1(5)(2[()4][(1))11]1x x x y x x x +++++=+=++2(1)5(1)44155911x x x x x ++++==+++≥+=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以原函数的最小值为9.（2）由191x y+=，则()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭．当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16．若x y m +≥恒成立，则16m ≤．16. 已知函数()f x 的解析式为()22,1,126,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩（1）画出这个函数的图象，并解不等式()2f x <；（2）若直线y k =（k 为常数）与函数()f x 的图象有两个公共点，直接写出k的范围．【答案】（1）图象见解析，{|x x <4}x >（2）0k <或14k <<【解析】【分析】（1）根据解析式画出图像，结合图像即可求解不等式；（2）由图像即可求解.【小问1详解】根据分段函数的解析式，画出函数的图象，当1x ≤-时，11x +≤，所以()2f x <恒成立，当12x -<≤时，22x x <⇔<<，所以1x -<<当2x >时，624x x -+<⇒>，所以4x >，综上可知，x <或4x >，所以不等式的解集为{x x <或4}x >；【小问2详解】如图，y k =与()y f x =有2个交点，则0k <或14k <<.17. 已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且(1)2f =.（1）若函数2()()h x x m f x =+⋅在区间[2,)+∞递增，求实数m 的取值范围；（2）设2()21(0)g x kx kx k =++≠，若对1[1,1]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）[)2,-+∞；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）利用奇函数求出()f x ，再利用二次函数单调性求出m 的范围.（2）分别求出函数()f x 在[1,1]-上的值域、函数()g x 在区间[1,2]-上值域，利用集合的包含关系列式求解即得.【小问1详解】由函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且(1)2f =，得(0)0(1)2f b f a b ==⎧⎨=+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，由函数2()2h x x mx =+在区间[2,)+∞上单调递增，得2m -≤，解得2m ≥-，所以实数m 的取值范围是[)2,-+∞.【小问2详解】对于()2f x x =，当[1,1]x ∈-，()f x 的值域为[]22-,，由对1[1,1]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，得函数()f x 在区间[1,1]-的值域为()g x 在区间[1,2]-上值域的子集，2()21(0)g x kx kx k =++≠的对称轴为1x =-，当0k >时，函数()g x 在区间[1,2]-上单调递增，()g x 的值域为[]1,18k k -+，由[][]2,21,18k k -⊆-+，得21218k k -≥-⎧⎨≤+⎩，解得3k ≥；当0k <时，函数()g x 在区间[1,2]-上单调递减，()g x 的值域为[]18,1k k +-，由[][]2,218,1k k -⊆+-，得21821k k -≥+⎧⎨≤-⎩，解得1k ≤-，所以实数k 的取值范围(][),13,∞∞--⋃+.18. 已知函数()31x f x x x =++.（1）证明：函数()f x 是奇函数；（2）用定义证明：函数()f x 在()0,∞+上是增函数；（3）若关于x 的不等式()()2310f ax ax f ax ++-≥对于任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）[]0,1【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证；（2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证；（3）根据题意，得到函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为231ax ax ax +≥-对于任意实数x 恒成立，分0a =和0a ≠，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】证明：由函数()31x f x x x =++，可得其定义域为R ，关于原点对称，又由()()3(3)11x x f x x x f x x x -=--=-+=--++，所以函数()f x 为定义域R 上的奇函数.【小问2详解】证明：当(0,)x ∈+∞时，()133111x f x x x x x =+=+-++，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，可得()()1212121221111131(31)3()(1111f x f x x x x x x x x x -=+--+-=-+-++++()()()()121212212113()()[3]1111x x x x x x x x x x -=-+=-⋅+++++因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，可得120x x -<，()()21110x x ++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(0,+∞)上是增函数.【小问3详解】因为函数()f x 为定义域R 上的奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，所以函数()f x 在(),0∞-上也是增函数，又因为()00f =，所以函数()f x 在R 上是增函数，又由()()2310f ax ax f ax ++-≥，可得()()231(1)f ax x f ax f ax α+≥--=-，因为不等式()()2310f ax ax f ax ++-≥对于任意实数x 恒成立，即不等式()23(1)f ax ax f ax +≥-对于任意实数x 恒成立，可得不等式231ax ax ax +≥-对于任意实数x 恒成立，即不等式2210ax ax ++≥对于任意实数x 恒成立，当0a =时，不等式即为10≥恒成立，符合题意；当0a ≠时，则满足()20Δ240a a a >⎧⎪⎨=-≤⎪⎩，解得01a <≤，综上可得，01a ≤≤，即实数a 的取值范围[0,1].19. 设函数()y f x =的定义域为M ，且区间I M ⊆．若函数()y f x x =+在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质A ；若函数()y f x x =-在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质B ．（1）试证明：“函数()f x 在区间I 上具有性质B ”是“函数()f x 位区间I 上单调递增”的充分不必要条件；（2）若函数()k f x x=在区间[)2,+∞上具有性质A ，求实数k 的取值范围；（3）若函数()32f x x x =+在区间[],1a a +上同时具有性质A 和性质B ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）{}4k k ≤（3）{1a a ≤-∣或a ≥【解析】【分析】（1）根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断；（2）分析可知()()k g x f x x x x =+=+在区间[)2,+∞上单调递增，结合单调性的定义分析求解；（3）分析可知13y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[],1+a a 上单调递增，3y x x =+在区间[],1+a a 上单调递增，结合对勾函数单调性分析求解.【小问1详解】若函数()f x 在区间I 上具有性质B ，对任意12,x x I ∈且12x x <，由条件可知()()2211f x x f x x ->-变形可得()()21210f x f x x x ->->，即()()210f x f x ->，所以()f x 在区间I 上单调递增，即充分性成立；若函数()f x 位区间I 上单调递增，如()f x x =在任意区间I 上单调递增，但()0f x x -=，故不符合性质B ，即必要性不成立；所以“()f x 在区间I 上具有性质B ”是“()f x 在区间I 上单调递增”的充分不必要条件.【小问2详解】若具有性质A ，即可知()()k g x f x x x x=+=+在区间[)2,+∞上单调递增．对任意[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()1212212121120x x k x x k k g x g x x x x x x x --⎛⎫-=+-+=> ⎪⎝⎭，因为122x x ≤<，则12120,40x x x x ->，可得12k x x <恒成立，则4k ≤，所以实数k 的取值范围是{}4k k ≤．【小问3详解】由条件可知，()f x 具有性质A ，即()13y f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭在区间[],1+a a 上单调递增；由条件可知，()f x 具有性质B ，即()3y f x x x x =-=+在区间[],1+a a 上单调递增；由对勾函数可知：13y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的增区间为(][),1,1,∞∞--+，3y x x =+的增区间为(),,∞∞-+，要使得条件成立，需要1a +≤或a ≥所以实数a 的取值范围是{1a a ≤-∣或a ≥．。

宁夏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数的定义域为集合，集合，则（）A．B．C．D．2.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②f(x)=x与；③与；④与。

A．②④B．③④C．②③D．①④3.若在区间（4，+）上是增函数，那么实数的取值范围是 ( ) A．B．C．D．4.已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（）A．函数图象经过点（﹣1，1）B．当x∈[﹣1，2]时，函数f（x）的值域是[0，4]C．函数满足f（x）+f（﹣x）=0D．函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0]5.函数的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（2，+∞）6.若奇函数f（x）在[1，3]上为增函数，且有最小值0，则它在[﹣3，﹣1]上（）A．是减函数，有最小值0B．是增函数，有最小值0C．是减函数，有最大值0D．是增函数，有最大值07.已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．8.已知，则的值是（）A．B．C．D．9.设f（x）＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[－2，－1]D．[－1,0]10.某沙漠地区的某时段气温与时间的函数关系是，则该沙漠地区在该时段的最大温差是（）．A．B．C．D．11.已知幂函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．12.若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()A．(－1,0)B．(－∞，0)∪(1,2)C．(1,2)D．(0,2)二、填空题1.函数（的图象必定经过的点坐标为_______________.2.函数y=的值域是__________.3.已知是上的增函数，那么的取值范围是___________4.下列各式：（1）;（2）已知，则；（3）函数的图象与函数的图象关于y轴对称；（4）函数的定义域是R，则m的取值范围是;（5）函数的递增区间为.正确的有______________________.（把你认为正确的序号全部写上）三、解答题1.计算下列各式的值：（Ⅰ）设，求的值；（Ⅱ）．2.已知集合，.（Ⅰ）分别求（Ⅱ）已知集合，求实数的取值范围3.已知函数（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）判断的奇偶性。

银川一中2018—2019学年度(上)高一期中考试数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．【详解】∵，，∴={﹣1，2}∵，∴故选：A．【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由解，得x＞0且x≠1．∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1）∪（1，+∞）．故选：B．【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．3.函数在区间上的最小值是（）A. B. C. -2 D. 2【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的单调性，求出函数闭区间上的最小值即可．【详解】函数f（x）=（）x在区间[﹣1，1]上是减函数，所以函数的最小值为：f（1）=．故选：B．【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用，基本知识的考查．4.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析给定四个函数在区间（0，+∞）上的单调性，可得结论．【详解】函数y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；函数y=在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；函数y=|x|在区间（0，+∞）上单调递增，不符合题意；函数y=在区间（0，+∞）上单调递减，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，熟练掌握各种基本初等函数的单调性是解答本题的关键．5.已知函数，则（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用分段函数，通过函数的周期性，转化求解函数值即可．【详解】函数f（x）=，则f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=log21=0．故选：B．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6.已知幂函数在上是增函数，则实数（）A. 2B. -1C. -1或2D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质，列出方程组求出m的值．【详解】幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上增函数，则，解得m=2．故选：A．【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．7.已知，则函数与函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，的函数与函数互为反函数，二者的单调性一至，且图象关于直线对称，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、对数函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.8.设是函数的零点，且，则的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】因为函数是单调递增函数，，故，所以，故选B.9.函数的单调减区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得﹣x2+4x+5≥0，解不等式结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得答案．【详解】由﹣x2+4x+5≥0可解得﹣1≤x≤5，结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得：函数y=的单调减区间是故选：C．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y ＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．10.函数的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答时，可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题．继而问题可获得解答．【详解】由题意可知：要研究函数f（x）的零点个数，只需研究函数y=，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象由图象可得有3个交点，如第一象限的A（-2，4），B（-4，16）及第一象限的点C．故选：C．【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．11.下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数与对数函数单调性即可判断结论．【详解】A．∵＜，∴log52＜log32，因此不正确．B．∵0.93＜1＜30.9，因此不正确．C．∵log0.32＜0＜0.32，因此不正确．D．∵=﹣log32＞﹣1，=﹣log23＜﹣1，∴∵＞．因此正确．故选：D．【点睛】本题考查了指数与对数函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，为奇函数，函数化简得出：，，，当时，，当时，，当时，，函数的值域为，故选D.【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则_________．【答案】【解析】【分析】令t=x-1，则x=t+1，代入可得f（t），即可得到f（x）的解析式【详解】由函数，令t=x-1，则x=t+1，即有f（t）=2（t+1）+1=2t+3，即f（x+1）=2x+5．故答案为：．【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意运用换元法，考查运算能力，属于基础题．14.函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图像上，则__________．【答案】9【解析】【分析】由log a1=0得2x﹣3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．【详解】∵log a1=0，∴当2x﹣3=1，即x=2时，y=4，∴点M的坐标是P（2，4）．幂函数f（x）=xα的图象过点M（2，4），所以4=2α，解得α=2；所以幂函数为f（x）=x2则f（3）=9．故答案为：9．【点睛】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．15.已知，则_________．【答案】2【解析】【分析】由可得代入目标，利用换底公式即可得到结果.【详解】∵∴，∴故答案为：2【点睛】本题考查对数的运算性质，考查了指数式和对数式的互化，考查了计算能力，属于基础题.16.定义在上的偶函数满足：对任意的（），有，且，则不等式的解集是__________．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式组，解出即可．【详解】由题意：在区间（﹣∞，0]上，f（x）是减函数，又是偶函数，则在区间（0，+∞）上，f（x）是增函数．由＜0⇒＜0，则或，又f（2）=0，所以或，⇒x＜﹣2或0＜x＜2．故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，2），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．【点睛】函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.计算：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）。

2019-2020学年银川一中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 角733°是( )A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是A.B.C.D.3. 半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为( )A.B.C.D.4. sin(3π2−x)=35，则cos2x =( )A. −725B. 1415C. −1625D. 19255. 在△ABC 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为AN ：NC =1：2，BN 与CM 相交于E ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 13a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +23b ⃗ C. 25a⃗ +15b ⃗ D. 35a⃗ +45b ⃗ 6. 在△ABC 中，若a 2−c 2=2b ，tanAtanC =2，则b 等于( )A. 3B. 4C. 6D. 77. 已知f(x)=x 2，则f(3)的值为( )A. 0B. 2xC. 6D. 98. 已知sinα=√32，则sin(π−α)的值为( )A. 12B. −12C. √32D. −√329. 已知|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=4，且a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，则a ⃗ 与b ⃗ 所成的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π610. 函数y =sinx −cosx 的图象可由函数y =sinx +cosx 的图象经过下列哪种变换得到( )A. 向右平移π4个单位 B. 向右平移π2个单位 C. 向左平移π4个单位D. 向左平移π2个单位11. 如图，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( ) A. √32 B. 2√33C. 12 D. 212. 已知，则=( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知B ，C 两点在圆O ：x 2+y 2=1上，A(a,0)为x 轴上一点，且a >l.给出以下命题：①OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为一1； ②△OBC 面积的最大值为1；③若a =√2，且直线AB ，AC 都与圆O 相切，则△ABC 为正三角形；④若a =√2，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，则当△OBC 面积最大时，|AB|=√6−√22； ⑤若a =√52，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，圆O 上的点D 满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线BC 的斜率是±12． 其中正确的是______ (写出所有正确命题的编号)．14. 已知α∈(π6,π)，a ⃗ =(sin(2α+β),sinβ)，b ⃗ =(3,1)，且a ⃗ //b ⃗ ，设tanα=x ，tanβ=y ，记y =f(x)，当f(x)=13时，α=______．15. 在△ABC 中，BC =3，CA =4，AB =5，M 是边AB 上的动点(含A ，B 两个端点).若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λCA⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则|λCA ⃗⃗⃗⃗⃗ −μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是______ ． 16. 如图为函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π )的图象的一部分，该函数的解析式是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，一个角形海湾AOB，∠AOB=2θ(常数为锐角)⋅拟用长度为l(l为常数)的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中PQ⏜=l；方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD=l．(1)求方案一中养殖区的面积S1；(2)求方案二中养殖区的最大面积(用θ，l表示)；(3)为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．18.已知0<α<π2，−π2<β<0，cosα=3√1010，cos(π4−β2)=√33．(1)求cos(α+π4)的值；(2)求sin(α+β2)的值．19. 已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，函数．(1 )求的值；(2)求的表达式；(3)若关于的方程有解，那么将方程在取某一确定值时所求得的所有解的和记为，求的所有可能取值及相应的的取值范围．20. 平面曲线C 上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y =−1的距离．(1)求曲线C 的方程；(2)点P 在直线y =−1上，过点P 作曲线C 的切线PA 、PB ，A 、B 分别为切点，求证：A 、B 、F 三点共线；(3)若直线PF 交曲线C 于D 、E 两点，设DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFE ⃗⃗⃗⃗⃗ , DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证λ+μ为定值，并求这个定值．21.已知a⃗=(√3sin(π+ωx),cosωx)，b⃗ =(sin(32π−ωx),−cosωx)，ω>0，设f(x)=a⃗⋅b⃗ 的最小正周期为π．(Ⅰ)求f(x)的单调增区间；(Ⅱ)当x∈(−π3,π6)时，求f(x)的值域；(Ⅲ)求满足f(α)=0且−1<α<π的角α的值．22.已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x−sin2x.(I)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间．【答案与解析】1.答案：A解析：解：733°=2×360°+13°，733°的终边与13°终边相同，是第一象限角，故选：A．直接利用终边相同的角化简，判断象限角即可．本题考查象限角的判断，终边相同角的判断方法，基本知识的考查．2.答案：C解析：试题分析：根据题意，由于向量的大小和方向相等就是相等向量，故成立，对于B，由于，对于D，，故排除法．应该是，选C．考点：向量的加减法点评：主要是考查了向量的加减法是运算，属于基础题。

宁夏银川市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题, 每小题５分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的。

１．已知A ={1,3,5,7}，B ={2,3,4,5},则集合A ∪B 的元素个数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．52．已知集合M ={x|-1<x <3},N ={x |-2<x <1},则M ∩N =( ) A. (-2,1) B. (-1,1) C. (1,3) D. (-2,3)3．函数23-=x y 的定义域是（ ）A ．),1[+∞B ．),32[+∞C ．]1,32[D ．]1,32(4．下列函数中，是偶函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝－lg xD ．y ＝e x －e －x5．若函数()f x 的图象是连续不断的，且(0)0>f ，(1)0>f ，(2)0<f ，则加上下列哪个条件可确定()f x 有唯一零点（ ） A. (3)0<fB. (1)0->fC. 函数在定义域内为增函数D. 函数在定义域内为减函数6．若01x <<，则2x，12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2x之间的大小关系为（ ） A. 2x<()0.2x<12x⎛⎫⎪⎝⎭B. 2x<12x⎛⎫⎪⎝⎭<()0.2xC. 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭<()0.2x < 2xD. ()0.2x< 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭< 2x7．函数)23(log )(231+-=x x x f 的单调递增区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，23） D ．（23，+∞） 8．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为( ) A ．3 000×1.06×7元 B ．3 000×1.067元 C ．3 000×1.06×8元D ．3 000×1.068元9．函数2()log 10f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．（0，6）B ．（6，8）C ．（8，10）D ．（9,+∞）10．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的 速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则 H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是A ．B ．C ．D ．11．函数()()111f x x x =--最大值是（ ）A.43 B.34C.45 D.5412．设函数⎩⎨⎧>++≤++=)0(2)1ln()0()(2x x x c bx x x f ，若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题：本大题4小题, 每小题５分, 共20分。

宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}2(,)21,(,)23,A x y y x x B x y y x C A B ==-+==-=⋂∣∣，则C 的真子集的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知点(),27a 在幂函数()()()2,mf x a x a m =-∈R 的图象上，则a m +=（）A ．4B ．5C ．6D ．73．函数||x y x x=+的图象是（）．A ．B ．C ．D ．4．函数()f x =）A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[)2+∞，D ．(]2-∞，5．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若a b >，c d >，则a b c d +>+B ．若22a b >，则a b -<-C ．若0c a b >>>，则a b c a c b>--D ．若0a b >>且0m >，则a m ab m b+>+6．函数()y f x =为定义在R 上的减函数，若0a ≠，则（）A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a >C ．()()2f a a f a +<D ．()()21f a a f a +>+7．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩在(),1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围为（）A ．(][),21,-∞-+∞ B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-8．定义{}max ,,a b c 为,,a b c 中的最大值，设()28max ,,63h x x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则()h x 的最小值为（）．A ．649B ．4C ．0D ．4811二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．命题0:p x ∃∈R ，200220x x ++<”则命题p 的否定是2,220∀∈++≥R x x x B ．“11x y>”是“x y <”的必要不充分条件C ．命题“2,0x x ∀∈>Z ”是真命题D ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充要条件10．已知函数)1fx =+，则（）A ．()()21f x x x =-∈R B ．()f x 的最小值为0C ．()23f x -的定义域为[)2,+∞D ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的值域为()1,-+∞11．已知函数()328x f x x -=-，则（）A ．()f x 的定义域为()(),44,-∞⋃+∞B ．()f x 的值域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()f x 的图象关于点14,2⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()f x 在(),1a a +上单调递减，则4a ≥三、填空题12．已知函数()f x 为R 上的偶函数，当0x >时，2()23f x x x =+-，则0x <时，()f x =．13．已知函数1,0()(1)(2),0x x f x f x f x x +≤⎧=⎨--->⎩，则(3)f 的值等于14．若函数()f x 在定义域[],a b 上的值域为()(),f a f b ⎡⎤⎣⎦，则称()f x 为“Ω函数”．已知函数()25,024,24x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则实数m 的取值范围是(用区间表示)四、解答题15．（1）求函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值；（2）已知0x >，0y >且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．16．已知函数()f x 的解析式为()22,1,126,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩(1)画出这个函数的图象，并解不等式()2f x <；(2)若直线y k =（k 为常数）与函数()f x 的图象有两个公共点，直接写出k 的范围．17．已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且(1)2f =.(1)若函数2()()h x x m f x =+⋅在区间[2,)+∞递增，求实数m 的取值范围；(2)设2()21(0)g x kx kx k =++≠，若对1[1,1]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得()()12f x g x =成立，求实数k 的取值范围.18．已知函数()31x f x x x =++.(1)证明：函数()f x 是奇函数；(2)用定义证明：函数()f x 在()0,∞+上是增函数；(3)若关于x 的不等式()()2310f ax ax f ax ++-≥对于任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.19．设函数()y f x =的定义域为M ，且区间I M ⊆．若函数()y f x x =+在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质A ；若函数()y f x x =-在区间I 上单调递增，则称函数()f x 在区间I 上具有性质B ．(1)试证明：“函数()f x 在区间I 上具有性质B ”是“函数()f x 位区间I 上单调递增”的充分不必要条件；(2)若函数()kf x x=在区间[)2,+∞上具有性质A ，求实数k 的取值范围；(3)若函数()32f x x x=+在区间[],1a a +上同时具有性质A 和性质B ，求实数a 的取值范围．。