常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题4.11.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有()t x ()t y b t a ≤≤b t a ≤≤常数或常数，则和在区间上线形无关。

()()≠t y t x ()()t x t y ()t x ()t y b t a ≤≤证明：假设在，在区间上线形相关()t x ()t y b t a ≤≤则存在不全为零的常数，，使得αβ()()0=+t y t x βα那么不妨设不为零，则有()t x ()()βα-=t x t y 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关βα-()t x ()t y b t a ≤≤2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程()t x 1()t x 2（1）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1（2）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n nn 111()t f 2的解，则+是方程 +的解。

()t x 1()t x 2()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1()t f 2证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解()t x 1()t x 2则： （3）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++--（4）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++-- 那么由（3）+（4）得：+()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121 ()t f 1()t f 2即+是方程是+的解。

常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。

解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。

6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。

8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。

12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

习题 1.21． dy=2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。

dx2特解为 y= e x.22. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。

2dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 11两边积分 : -=-ln|x+1|+ln|c|y特解： y=ln |c(x 1)|2 3．dy 1 y 2 3dx1 y 2dy=dy=4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 y x 1 解：原方程为： dy=- dxyx两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。

5．( y+x ) dy+(x-y)dx=0y x解： 原方程为：dy =1 y2 dxy两边积分： x(1+x 2)(1+y 2)= 2cx解： dy =2xdxy2 两边积分有： ln|y|=x 2+cx 2cy=e +e =cex另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1y=ln |c(x 1)|另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e3xy x y 13 dxx解：原方程为：dx x yu 1 1- 2du= dxu2 1 x22ln(u +1)x =c-2arctgu即ln(y 2+x 2)=c-2arctg y2.x2dy du=u+ xdx dx1du=sgnx dxxyarcsin =sgnx ln|x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：1siny=ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.y2 3xdy e8 + =0dx y解：原方程为：dy=dx e y y3x e3x y22 e -3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dy=y ln y令y =u 则dy=u+x dudx dx 代入有：6. x dydx-y+ x2y2=0解：原方程为：dy=y+|x|dx x x 1 ( y)x则令y=u x11 u2解: 原方程为：dy dxtgy ctgxln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|c另外y=0 也是原方程的解，而c=0 时，y=0.dx x xduu+ x =ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln =cy.x10. dy=e x y dx解：原方程为：e y=cexdu 2-1=udx12du=dx1 u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c解：令x+y=u, 则dy=du-1 dx dx du 1-1=dx -1=u2u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13.dy=2x y 1 dx x 2y 1解: 原方程为： ( x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 22 dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=cdy x y 5dx x y 2解：原方程为： (x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0令y=u ,则dyx dxdu=u+ xdx12.dy=1dx =(x y) 2dy x y=e edx11 dy 2ddyx=(x+y)解：令x+y=u, 则dy du= -1dx dx14:1 2 1 2 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02222y +4y+x +10x-2xy=c.15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 dx解：dy 2原方程为：=( x+4y ) +3dx令x+4y=u 则dy= 1 du- 1dx 4 dx 4 1 du 1 2- =u +34 dx 4du 2=4 u 2+133u= 2tg(6x+c)-12tg(6x+c)= (x+4y+1).316: 证明方程x dy=f(xy), 经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：y dx221) y(1+x y )dx=xdyx dy 2 x 2y2 y dx 2-x 2 y2证明：令 xy=u, 则 x dy+y=du dx dx 则dy=1 du- u2，有：dx x dx x2 x du =f(u)+1 u dx11 du= dx u( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。

第7章　一阶线性偏微分方程1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解：解：（1）两个方程相加得到令u＝x＋y，则上面方程可以写成这是一阶线性微分方程，可解出得即得原方程的一个首次积分为两个方程相减得到解之得于是得到另一个首次积分为所以，原方程组的通积分为（2）两个方程相加，得到解之得两个方程相减得到解之得．于是，原方程的通积分为而满足条件t＝0，x＝－2，y＝0的特解为（3）两个方程相除可以得到令则得到解之得，即另外，由原方程组得到第一项乘以（－y）加上第二项乘以x，则得到变形上式可得两边积分后得到所以原方程组的通积分为把条件t＝0，x＝y＝1代入上面的通解表达式可得，所以，特解满足解之可得（4）将三项相加可得故是原方程组的一个首次积分．将第1项乘x，第2项乘z，第3项乘z可得故可得原方程组的另一个首次积分所以，原方程的通积分为2．求下列方程的通解及满给定条件的解解：（1）特征方程为由可得一个首次积分为由可得另外一个首次积分为容易验证上面两个首次积分是独立的，故原方程的通解可表示为其中是的任意连续可微函数．（2）特征方程为由后两项可得令则有解之得或，故得到方程的一个首次积分为另外，容易得到故可得方程的另一个首次积分所以，原方程的通解可以表示为其中是的任意连续可微函数．（3）特征方程为由前两项可得解之得把代入可得即积分得再把代入上式，则得到显然两个首次积分是独立的，故方程的通解为（4）特征方程为由前两项可得令即y ＝ux ，则上面方程化为解之得或特征方程可以变形为。

习题 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dy x y解：令p dxdy=，则422p x xp y +=， 两边对x 求导，得dxdp p x xp dx dp x p p 3244222+++= ()02213=⎪⎭⎫⎝⎛++p dxdp xxp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2343,21p y p x -=-=；从02=+p dx dp x得 222,c p cy pc x +==， 0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.经检验得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==222c pc y p cx ，（0≠p ）是方程奇解.2、2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dxdp pp 21+=pp dx dp 21-=， 解之得 ()c p p x +-+=21ln 2， 所以()c p p p y +-++=221ln 2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、21⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dy x y解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01122c cx c cx y 中消去c,得到奇解21x y -=.4、02=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dyx dx dy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，从⎩⎨⎧=++=022c x c cx y 中消去c,得到奇解 042=+y y .5、022=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy解：令p dxdy=，则22p xp y +=， 两边对x 求导，得 dxdp p dx dp xp p 222++= 22--=x pdp dx ， 解之得 232-+-=cp p x ， 所以1231-+-=cp p y ， 可知此方程没有奇解.6、0123=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x解：原方程可化为21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy xy ，这是克莱罗方程，因此其通解为21c cx y -=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .7、21⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y解：令p dxdy=，则()21p p x y =+=， 两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ， 所以 ()212+-+=-p e p c y p ， 可知此方程没有奇解.8、()022=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x dx dy x解：()x a x dx dy 22-=⎪⎭⎫⎝⎛xax dx dy -±=dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=2123232ax x y ()()22349a x x c y -=+可知此方程没有奇解.9、3312⎪⎭⎫⎝⎛-+=dx dy dx dy x y解：令p dx dy =，则3312p p x y -+=， 两边对x 求导，得 dxdpp dx dp p 22-+=212p p dx dp --=解之得 ()c p p x +--+-=2ln 3222，所以 c p p p p y +------=2ln 6433123， 且322-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、()012=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dyx dx dy解：2⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dy dx dy x y这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=，从⎩⎨⎧++++=cx c c cx y 212中消去c,得方程的奇解()0412=++y x . （二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=解:对c 求导，得 x+2c=0, 2x c -=, 代入原方程得，442222x x x y -=+-=，经检验得，42x y -=是原方程的包络.2、0122=-+cx y c 解：对c 求导，得 yx c x yc 2,0222-==+，代入原方程得0124424=--y x y yx ，即044=+y x ， 经检验得044=+y x 是原方程的包络.3、()()422=-+-c y c x解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0,2yx c +=, 代入原方程得()82=-y x .经检验,得 ()82=-y x 是原方程的包络. 4、()c y c x 422=+-解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-， 它与X 轴、Y 轴的截距分别为y yx X '-=，y x y Y '-=， 按条件有a y x y y y x ='-+'-，化简得yy a y x y '-'-'=1， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线caccx y --=1， 它的包络是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=21101c acc a x cac cx y ，消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

王高雄版《常微分方程》习题解答3.4习题3.4(一)、解下列方程，并求奇解(如果存在的话)41、y=2x 巴x2巴dx Idx 丿解：令d^ = p，则y = 2xp x2 p4，dx两边对X求导，得2p 2x dP 2xp44x2p3 dx1 +2xp3 2xdP+ ^=0V dx 丿1 3从12xp3,得「0时，…荷；从2x dPp =0 得x=c 2c2 dxcX 2P2c y 二2、X V 喘解：令矽=卩，则y=x，dx两边对x求导，得dp p _1dx 2p ，解之得x=2p+l n( p—仃+c，所以y=2p + p2 +l n( p-l f +c，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解0为任意常数. dpdx2，y=c，经检验得(P = O )是方程奇解f 2y 二 ex .1 cc 中消去c,x 02得到奇解y = J - x 22dx ^dx -^解：这是克莱洛方程，因此它的通解为y = ex c 2，从」丄 2；二0中消去c ，得到奇解y 2 4y=0. 2釦 +2x^=0 idx 丿 dx解：令 d^ p ，则 y =2xp - p 2，dx两边对X求导，得 ^2^2XS +2PSdx dp解之得 所以X - -2p cp ＜，3 ， 1 2 . -1 y 八3 p cp ，可知此方程没有奇解. 窟一弹）2十0 idx 丿 Idx 丿解:原方程可化为厂悄1「百，dx-xdx - dy 2dy dx解：这是克莱洛方程，因此它的通解为y = ex J c 2，这是克莱罗方程，因此其通解为y = cx —」,c r _ 丄从〉cx c2中消去C,得奇解27x2+4y'=0. x+2c^ =07、y=xi d y d y21dx丿a丿解：令d^ = p，则y=x1p =p2,dx两边对X求导，得X =ce" -2p • 2，所以y=cp1e4-p2 2，可知此方程没有奇解.2dy 2 28、x 丄［_(x _a) =0idx八丿解:idx 丿xdy = - 昙dxI Ux丿2 - -y = ± _x2 _2ax2Q 丿9(y + c f = 4x(x -3a f可知此方程没有奇解.9、y=2x 史--dy 3 dx 3 idx 丿解：令乎=P，则y=2x，p--p3，dx 3两边对X求导，得^2 dp -p2dpdx dxdp p 「2 dx 1 - p 22解之得 x = —^^—3lnp —2+c , 所以 y=」p 3_p 2_3p_4_6in p_2 +c ,3且y=2x —2也是方程的解，但不是方程的奇解3解：y=x^ + 鱼+ @4dx dx (dx 丿2y = ex + c+ cx +V^2c中消去c,得方程的奇解（x +1 ）2 +4y = 0. （二）求下列曲线族的包络. 1、 y = cx c 2解:对c 求导，得x+2c=0, c--x,2，222代入原方程得，厂H -，2 442经检验得， 厂丄 是原方程的包络.42、 c 2y ex 2T = 02解：对c 求导，得2yc x 2=0,c —L ， 2y44代入原方程得壬y-》-1=0，即x 4 4^0，4y 2y这是克莱罗方程，因此方程的通解为y = ex c c 2，10、卧x+喘经检验得x4 4^0是原方程的包络.2 2 ’3、(x -c ) + (y -c ) = 4解：对 c 求导，得 72(x-c)-2(y-c)=0,y,代入原方程得X_y 2=8.经检验,得(x —yf=8是原方程的包络. 4、(x _c 丫 + y 2=4c解：对 c 求导，得-2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得4 y^ 4 X 2 , y 2=4xT , 经检验，得y 2 =4 X 1是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距 之和等于常数C.解：设所求曲线方程为 y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任 一点(x,y(x))的切线方程为 Y-yx = y X X -x ， 它与X 轴、Y 轴的截距分别为X =x-^.，Y 二y-xy ，y按条件有x-Ly-xy 丄a ，化简得y=x,ayyacy 二 ex — 1 -ca ac 'x 21 - c (1 - c f消去C 后得我们所求的曲线4ax = (x-y+af .(四) 试证：就克莱洛方程来说，P-判别曲线和方程通解的c-判别 曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解这是克莱洛方程，它的通解为一族直线ac…一仁，它的包络是证：克莱洛方程y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从中消去p后而得的曲线;C学」别曲线就是用C-消去法，从通解及它对求导的所得的方程；y=cx + f(c)中消去心而得的曲线，0 = X 十 f '(C )显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此P-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.。

Good morning.Nearly 150 years ago, in one of the darkest years of our nation's history, President Abraham Lincoln set aside the last Thursday in November as a day of Thanksgiving. America was split by Civil War. But Lincoln said in his first Thanksgiving decree that difficult times made it even more appropriate for our blessings to be (and I quote), "gratefully acknowledged as with one heart and one voice by the whole American people."This week, the American people came together with families and friends to carry on this distinctly American tradition. We gave thanks for loved ones and for our lasting pride in our communities and our country. We took comfort in good memories while looking forward to the promise of change.But this Thanksgiving also takes place at a time of great trial for our people. Across the country, there were empty seats at the table, as brave Americans continue to serve in harm’s way from the mountains of Afghanistan to the deserts of Iraq. We honor and give thanks for their sacrifice, and stand by the families who endure their absence with such dignity and resolve.At home, we face an economic crisis of historic proportions. More and more Americans are worried about losing a job or making their mortgage payment. Workers are wondering if next month's paycheck will pay next month's bills. Retirees are watching their savings disappear, and students are struggling with the cost of tuition.It's going to take bold and immediate action to confront this crisis. That's why I'm committed to forging a new beginning from the moment I take office as President of the United States. Earlier this week, I announced my economic team. This talented and dedicated group is already hard at work crafting an Economic Recovery Plan that will create or save 2.5 million new jobs, while making the investments we need to fuel long-term economic growth and stability.But this Thanksgiving, we're reminded that the renewal of our economy won't come from policies and plans alone. It will take the hard work, innovation, service, and strength of the American people. I've seen this strength firsthand over many months -- in workers who are ready to power new industries, and farmers and scientists who can tap new sources of energy; in teachers who stay late after school, and parents who put in that extra hour reading to their kids; in young Americans enlisting in a time of war, seniors who volunteer their time, and service programs that bring hope to the hopeless.It's a testament to our national character that so many Americans took time outthis Thanksgiving to help feed the hungry and care for the needy. On Wednesday, I visited a food bank at Saint Columbanus Parish in Chicago. And there, as in so many communities across America, folks pitched in time and resources to give a lift to their neighbors in need. It is this spirit that binds us together as one American family -- the belief that we rise and fall as one people; that we want that American Dream not just for ourselves, but for each other.That's the spirit we must summon as we make a new beginning for our nation. Times are tough. There are difficult months ahead. But we can renew our nation the same way that we have in the many years since Lincoln's first Thanksgiving: by coming together to overcome adversity; by reaching for -- and working for -- new horizons of opportunity for all Americans.。

第1章　绪　论一、填空题1．微分方程（y＇＇）2＋（y＇）5 sin x＋2x cos3y＇＇＇＝0的阶数是______．【答案】三阶【解析】微分方程的阶是指这个方程中出现未知函数的最高阶导数的阶数．2．具有特定解y1（x）＝x，y2（x）＝sin x的最低阶实常系数线性齐次微分方程是______．【答案】y（4）＋y＇＇＝0．【解析】所求方程有特征根为λ1,2＝0，λ3,4＝±i5．令X＝x－1，y＝y＋1，原方程可化为克莱罗方程y＝x y＇＋（y＇）2其通解为y＝yc＋（C）2．二、名词解释1．常微分方程．答：常微分方程是指含有一个自变量、未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式．三、解答题1．指出下列微分方程的阶数解：（1）一阶微分方程；（2）二阶微分方程；（3）二阶微分方程；（4）一阶微分方程；（5）四阶微分方程．2．求下列两个微分方程的公共解：解：两方程的公共解满足条件即所以或代入检验可知不符合．所以两方程的公共解为3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图1-1所示图1-1（2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图1-4所示图1-2（3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图1-3所示图1-3（4）所求的方向场及过点的积分曲线如图1-4所示图1-4（5）所求的方向场及经过点（0，0），（0， 1）的积分曲线如图1-5所示图1-5（6）所求的方向场及过点（1，2）的积分曲线如图1-6所示图1-64．当方程的等倾线就是积分曲线时，应满足什么条件？解：由于方程的等倾线就是积分曲线，所以即f（x，y）应满足的条件为5．若方程的等倾线就是积分曲线时，试证此方程必为克莱罗（Clairaut）方程．证明：由于是方程的解；于是是所要求的满足的曲线方程，该曲线具有与切线有关而与切点无关的性质，则＝0一定是克莱罗方程．事实上，设切点（x，y），切线动点坐标为（X，Y），有或于是切线的性质可以用与关系式表示，由此解出可得到：或（克莱罗方程）．6．求微分方程的通解，并分别求满足下列条件的特解．（1）通过点（2，1）；（2）与直线y＝x相切；（3）与直线y＝－3x＋1正交．解：直接积分得方程的通解为（1）将x＝2，y＝1代入通解中得C＝－7，则通过点（2，1）的解为（2）与直线y＝x相切的解满足在切点处斜率相同，有即得切点坐标为和同（1）的解法，与直线y＝x相切的解为和（3）与直线y＝－3x＋1正交的解在正交点处斜率满足即得正交点坐标为和同（1）的解法所求方程的解为和7．求微分方程y＇＋xy＇2－y＝0的直线积分曲线．解：设直线积分曲线为y＝ax＋b，则y＇＝a，代入原方程得。

习题4.21. 解下列方程 （1）045)4(=+''-x x x解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt ttec e c ec ec --+++432221(2)03332=-'+''-'''x a x ax a x解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a=λ故通解为x=atatat et c tec ec 2321++（3）04)5(='''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2故通解为54232221c t c t c e c ec x tt++++=-（4）0102=+'+''x x x 解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t ec t ec x tt3sin 3cos 21--+=(5) 0=+'+''x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--故通解为tec t ec x t t 23sin23cos212211--+=(6) 12+=-''t s a s解：特征方程022=-aλ有根1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=atatec ec -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -==故通解为s=atat ec e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7)32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1齐线性方程的通解为x=ttttec e c ec 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如BtA x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1 故通解为x=tt ttec e c ec 3221++-4-t(8)322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有故齐线性方程的通解为x=ttt t tec ec te c e c --+++4321取特解行如c Bt Atx ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1故通解为x=tttttec e c te c ec --+++4321+12+t(9)t x x cos =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--取特解行如tB t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B故通解为tt t e c t ec t ec x 321221123sin23cos++=--)sin (cos 21t t +-(10)tx x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1故齐线性方程的通解为x=ttec ec 221-+因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B故通解为x=ttec ec 221-+tt 2sin 562cos 52--（11）te x x =-''' 解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i+-=2λ,231i--13=λ故齐线性方程的通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--=λ1是特征方程的根，故tAte x =~代入原方程解得A=31故通解为tt t ec t ec t ec x 321221123sin23cos++=--+tte 31（12）tes a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a当a=-1时，齐线性方程的通解为s=tt tec ec 21+,=λ1是特征方程的2重根，故teAt x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121tte c ec tt++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=atat tec ec --+21,=λ1不是特征方程的根，故tAe x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=atattec ec --+21+tea 2)1(1+（13）te x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5故齐线性方程的通解为x=ttec ec 521--+=λ2不是特征方程的根，故tAe x 2~=代入原方程解得A=211故通解为x=tt ec ec 521--++te2211（14）te x x x tcos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=i ±-1 不是特征方程的根, 取特解行如te t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B故通解为te c t ec x tt2sin2cos21+=+tet t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i故齐线性方程的通解为tc t cx sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-= tx x 2cos -=+''tB t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=31 B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t2cos 31+。

习题4.11. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有()()≠t y t x 常数或()()t x t y 常数，则()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关。

证明：假设在()t x ，()t y 在区间b t a ≤≤上线形相关则存在不全为零的常数α，β，使得()()0=+t y t x βα 那么不妨设()t x 不为零，则有()()βα-=t x t y 显然βα-为常数，与题矛盾，即假设不成立()t x ，()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关 2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设()t x 1，()t x 2分别是非齐线形方程()()=+++--x t a dt xd t a dt x d n n n n n 111()t f 1 （1） ()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n nn 111()t f 2 （2） 的解，则()t x 1+()t x 2是方程 ()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1+()t f 2的解。

证明：由题可知()t x 1，()t x 2分别是方程（1），（2）的解则：()()()()()()t f t x t a dt t x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++-- （3） ()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++-- （4） 那么由（3）+（4）得：()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121 ()t f 1+()t f 2即()t x 1+()t x 2是方程是()()=+++--x t a dt xd t a dt x d n n n n n 111()t f 1+()t f 2的解。