常微分方程王高雄第三版答案

习题4.11.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有()t x ()t y b t a ≤≤b t a ≤≤常数或常数，则和在区间上线形无关。

()()≠t y t x ()()t x t y ()t x ()t y b t a ≤≤证明：假设在，在区间上线形相关()t x ()t y b t a ≤≤则存在不全为零的常数，，使得αβ()()0=+t y t x βα那么不妨设不为零，则有()t x ()()βα-=t x t y 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关βα-()t x ()t y b t a ≤≤2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程()t x 1()t x 2（1）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1（2）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n nn 111()t f 2的解，则+是方程 +的解。

()t x 1()t x 2()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1()t f 2证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解()t x 1()t x 2则： （3）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++--（4）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++-- 那么由（3）+（4）得：+()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121 ()t f 1()t f 2即+是方程是+的解。

第7章　一阶线性偏微分方程一、填空题与曲面族z＝axy（a为任意常数）正交的曲面为______．【答案】F（x2＋z2，x2－y2）＝0，其中F（u，v）为任意连续可微函数．【解析】与曲面族z＝axy正交的曲面z＝z（x，y）满足偏微分方程；其特征方程组为二．判断题1．偏微分方程的通解可表示为其中是其变元的任意连续可微函数．（）【答案】√2．偏微分方程的特征方程为．（）【答案】×【解析】偏微分方程的特征方程应为．三、解答题1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解．（1）；（2）；当t＝0时，x＝y＝1；（3）解：（1）将方程组的两式相加，得；将x＋y视为未知函数，则上方程为一阶线性方程，解之得即得一个首次积分为方程组的两式相减，得解之得另一个首次积分为易验证．因此，Φ1（t，x，y）＝C1和Φ2（t，x，y）＝C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为从中可解得通解为其中.（2）方程组的两式相比得，变形得恰当方程xdx＋2ydy－ydx－xdy＝0解之得一个首次积分为x2＋2y2－2xy＝C21，即Φ1（t，x，y）＝（x－y）2＋y2＝C21给方程组第一式乘以y，第二式乘以x，再相减得两边积分，得另一个首次积分为易验证Φ1（t，x，y）＝C21和Φ2（t，x，y）＝C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为（x－y）2＋y2＝C21，，通解为其中'1C＝C1sinC2，'2C＝C1cosC2．容易得满足t＝0时，x＝y＝1的解为（3）三个分式相加，得则得一个首次积分为x＋y＋z＝C1．给三个分式的分子分母分别乘以x，y，z，再相加，得又得另一个首次积分为x 2＋y 2＋z 2＝C2．容易验证x ＋y ＋z ＝C 1，x 2＋y 2＋z 2＝C 2是两个独立的首次积分，所以方程组的通积分为x ＋y ＋z ＝C 1，x 2＋y 2＋z2＝C 2．2．求解下列微分方程（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）特征方程组为由可得一个首次积分为 x 2z ＝C 1再由得x d y ＋y d x －xy 2ln x d x＝0即两边积分，有，得另一个首次积分容易验证这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为其中 为任意二元连续可微函数．（2）方程的特征方程组为利用比例性质，有由以上三式分别得再积分，得到三个首次积分容易验证它们是独立的，且它们的个数等于原方程未知函数自变量的个数，故所求方程的通解为其中F （v 1，v 2，v 3）为v 1，v 2，v 3的任意连续可微函数．（3）方程的特征方程组为对于方程分离变量后积分得到一个首次积分t （ln t －1）＋x 2＝C 1．再利用比例的性质有从而有d （tx ＋y ）＝0，由此得到另一个首次积分tx ＋y ＝C 2．容易验证这两个首次积分相互独立，故原方程的通解为u ＝φt （ln t －1）＋x 2，tz ＋y ]其中F 为任意的二元连续可微函数．（4）由原方程组可得即d （x 2＋y 2）＝2（x 2＋y 2）（x 2＋y 2－1）dt 令x 2＋y 2＝z ，则上式可变为积分得因此易求得原方程组的一个首次积分再由原方程组得即有由此得到原方程组的另一个首次积分由于，雅可比矩阵为而，所以这两个首次积分是相互独立的，它们构成方程组的通积分．如果要得到显式通解，考虑到首次积分的具体形式，采用极坐标变换x ＝rcosθ，y ＝rsinθ得，由此解得．因此微分方程组的通解为．另外，方程组有零解x ＝0，y ＝0．（5）把原方程组写为。

习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。

解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。

6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。

8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。

12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

第7章　一阶线性偏微分方程1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解：解：（1）两个方程相加得到令u＝x＋y，则上面方程可以写成这是一阶线性微分方程，可解出得即得原方程的一个首次积分为两个方程相减得到解之得于是得到另一个首次积分为所以，原方程组的通积分为（2）两个方程相加，得到解之得两个方程相减得到解之得．于是，原方程的通积分为而满足条件t＝0，x＝－2，y＝0的特解为（3）两个方程相除可以得到令则得到解之得，即另外，由原方程组得到第一项乘以（－y）加上第二项乘以x，则得到变形上式可得两边积分后得到所以原方程组的通积分为把条件t＝0，x＝y＝1代入上面的通解表达式可得，所以，特解满足解之可得（4）将三项相加可得故是原方程组的一个首次积分．将第1项乘x，第2项乘z，第3项乘z可得故可得原方程组的另一个首次积分所以，原方程的通积分为2．求下列方程的通解及满给定条件的解解：（1）特征方程为由可得一个首次积分为由可得另外一个首次积分为容易验证上面两个首次积分是独立的，故原方程的通解可表示为其中是的任意连续可微函数．（2）特征方程为由后两项可得令则有解之得或，故得到方程的一个首次积分为另外，容易得到故可得方程的另一个首次积分所以，原方程的通解可以表示为其中是的任意连续可微函数．（3）特征方程为由前两项可得解之得把代入可得即积分得再把代入上式，则得到显然两个首次积分是独立的，故方程的通解为（4）特征方程为由前两项可得令即y ＝ux ，则上面方程化为解之得或特征方程可以变形为。

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习题1.21．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2ydy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dx dy =y y 21+31xx + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y −1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx yx +− 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y. 6. xdxdy -y+22y x −=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1xy − 则令x y =u dx dy =u+ x dxdu 211u − du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y −=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdx du=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy =cy. 10.dxdy =e yx − 解：原方程为：dxdy =e x e y− e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u+du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du-1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+−+−y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25−−+−y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2y x 2y + 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

21常微分方程习题 2.11.dy = 2xy ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.dx解：对原式进行变量分离得1 dy y= 2 xdx , 两边同时积分得： ln y = x 2 + c ,即 y = c e x 2把 x = 0, y = 1代入得 c = 1, 故它的特解为 y = e x 2。

2. y dx + (x + 1)dy = 0, 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.解：对原式进行变量分离得：-1 x + 1 dx = 1 dy ,当y ≠ 0时，两边同时积分得；ln x + 1 = 1 + c ,即y = y 2y 1 c + ln x + 1当y = 0时显然也是原方程的解。

当x = 0, y = 1时，代入式子得c = 1,故特解是 y =1 + ln1 + x 。

3dy =1 + y 2dx xy + x 3 y解：原式可化为：22dy = 1 + y • 1 显然1 + y ≠ 0,故分离变量得 y dy = 1dxdx y x + x 3 y1 + y x + x 3两边积分得 1 ln1 + y 2 = ln x - 1 ln1 + x 2 + ln c (c ≠ 0),即(1 + y 2)(1 + x 2) = c x 22 2故原方程的解为（1 + y 2）(1 + x 2) = c x24：(1 + x ) ydx + (1 - y )xdy = 0解：由y = 0或x = 0是方程的解，当xy ≠ 0时，变量分离1 + x dx =1 - y dy = 0x y两边积分ln x + x + ln y - y = c ,即ln xy + x - y = c , 故原方程的解为ln xy = x - y = c ; y = 0; x = 0.2x2(1 - u 2) u c21 ： = 5 : ( y + x )dy + ( y - x )dx = 0dy = y - x ,y = , =, dy = + du解： 令 dx y + x xu y ux u xdx dx 则u + x du = u + 1 , 变量分离，得：- u + 1 du = 1dxdx u + 1 u2 + 1x 两边积分得：arctgu + 1ln(1 + 2) = - ln x + c 。

习题 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dy x y解：令p dxdy=，则422p x xp y +=， 两边对x 求导，得dxdp p x xp dx dp x p p 3244222+++= ()02213=⎪⎭⎫⎝⎛++p dxdp xxp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2343,21p y p x -=-=；从02=+p dx dp x得 222,c p cy pc x +==， 0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.经检验得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==222c pc y p cx ，（0≠p ）是方程奇解.2、2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dxdp pp 21+=pp dx dp 21-=， 解之得 ()c p p x +-+=21ln 2， 所以()c p p p y +-++=221ln 2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、21⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dy x y解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01122c cx c cx y 中消去c,得到奇解21x y -=.4、02=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dyx dx dy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，从⎩⎨⎧=++=022c x c cx y 中消去c,得到奇解 042=+y y .5、022=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy解：令p dxdy=，则22p xp y +=， 两边对x 求导，得 dxdp p dx dp xp p 222++= 22--=x pdp dx ， 解之得 232-+-=cp p x ， 所以1231-+-=cp p y ， 可知此方程没有奇解.6、0123=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x解：原方程可化为21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy xy ，这是克莱罗方程，因此其通解为21c cx y -=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .7、21⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y解：令p dxdy=，则()21p p x y =+=， 两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ， 所以 ()212+-+=-p e p c y p ， 可知此方程没有奇解.8、()022=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x dx dy x解：()x a x dx dy 22-=⎪⎭⎫⎝⎛xax dx dy -±=dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=2123232ax x y ()()22349a x x c y -=+可知此方程没有奇解.9、3312⎪⎭⎫⎝⎛-+=dx dy dx dy x y解：令p dx dy =，则3312p p x y -+=， 两边对x 求导，得 dxdpp dx dp p 22-+=212p p dx dp --=解之得 ()c p p x +--+-=2ln 3222，所以 c p p p p y +------=2ln 6433123， 且322-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、()012=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dyx dx dy解：2⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dy dx dy x y这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=，从⎩⎨⎧++++=cx c c cx y 212中消去c,得方程的奇解()0412=++y x . （二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=解:对c 求导，得 x+2c=0, 2x c -=, 代入原方程得，442222x x x y -=+-=，经检验得，42x y -=是原方程的包络.2、0122=-+cx y c 解：对c 求导，得 yx c x yc 2,0222-==+，代入原方程得0124424=--y x y yx ，即044=+y x ， 经检验得044=+y x 是原方程的包络.3、()()422=-+-c y c x解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0,2yx c +=, 代入原方程得()82=-y x .经检验,得 ()82=-y x 是原方程的包络. 4、()c y c x 422=+-解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-， 它与X 轴、Y 轴的截距分别为y yx X '-=，y x y Y '-=， 按条件有a y x y y y x ='-+'-，化简得yy a y x y '-'-'=1， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线caccx y --=1， 它的包络是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=21101c acc a x cac cx y ，消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

第1章　绪　论一、填空题1．微分方程（y＇＇）2＋（y＇）5 sin x＋2x cos3y＇＇＇＝0的阶数是______．【答案】三阶【解析】微分方程的阶是指这个方程中出现未知函数的最高阶导数的阶数．2．具有特定解y1（x）＝x，y2（x）＝sin x的最低阶实常系数线性齐次微分方程是______．【答案】y（4）＋y＇＇＝0．【解析】所求方程有特征根为λ1,2＝0，λ3,4＝±i5．令X＝x－1，y＝y＋1，原方程可化为克莱罗方程y＝x y＇＋（y＇）2其通解为y＝yc＋（C）2．二、名词解释1．常微分方程．答：常微分方程是指含有一个自变量、未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式．三、解答题1．指出下列微分方程的阶数解：（1）一阶微分方程；（2）二阶微分方程；（3）二阶微分方程；（4）一阶微分方程；（5）四阶微分方程．2．求下列两个微分方程的公共解：解：两方程的公共解满足条件即所以或代入检验可知不符合．所以两方程的公共解为3．利用等倾线作下列方程的方向场，并且描出经过指定点的积分曲线（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）所求方向场和经过（1，1）的积分曲线如图1-1所示图1-1（2）所求方向场及经过（0，0），（0，1）的积分曲线如图1-4所示图1-2（3）所求方向场，及过点（1，0）的积分曲线如图1-3所示图1-3（4）所求的方向场及过点的积分曲线如图1-4所示图1-4（5）所求的方向场及经过点（0，0），（0， 1）的积分曲线如图1-5所示图1-5（6）所求的方向场及过点（1，2）的积分曲线如图1-6所示图1-64．当方程的等倾线就是积分曲线时，应满足什么条件？解：由于方程的等倾线就是积分曲线，所以即f（x，y）应满足的条件为5．若方程的等倾线就是积分曲线时，试证此方程必为克莱罗（Clairaut）方程．证明：由于是方程的解；于是是所要求的满足的曲线方程，该曲线具有与切线有关而与切点无关的性质，则＝0一定是克莱罗方程．事实上，设切点（x，y），切线动点坐标为（X，Y），有或于是切线的性质可以用与关系式表示，由此解出可得到：或（克莱罗方程）．6．求微分方程的通解，并分别求满足下列条件的特解．（1）通过点（2，1）；（2）与直线y＝x相切；（3）与直线y＝－3x＋1正交．解：直接积分得方程的通解为（1）将x＝2，y＝1代入通解中得C＝－7，则通过点（2，1）的解为（2）与直线y＝x相切的解满足在切点处斜率相同，有即得切点坐标为和同（1）的解法，与直线y＝x相切的解为和（3）与直线y＝－3x＋1正交的解在正交点处斜率满足即得正交点坐标为和同（1）的解法所求方程的解为和7．求微分方程y＇＋xy＇2－y＝0的直线积分曲线．解：设直线积分曲线为y＝ax＋b，则y＇＝a，代入原方程得。