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习题4.11.设和是区间上的连续函数，证明：如果在区间上有()t x ()t y b t a ≤≤b t a ≤≤常数或常数，则和在区间上线形无关。
()()≠t y t x ()()t x t y ()t x ()t y b t a ≤≤证明：假设在，在区间上线形相关()t x ()t y b t a ≤≤则存在不全为零的常数，，使得αβ()()0=+t y t x βα那么不妨设不为零，则有()t x ()()βα-=t x t y 显然为常数，与题矛盾，即假设不成立，在区间上线形无关βα-()t x ()t y b t a ≤≤2.证明非齐线形方程的叠加原理：设，分别是非齐线形方程()t x 1()t x 2（1）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1（2）()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n nn 111()t f 2的解，则+是方程 +的解。
()t x 1()t x 2()()=+++--x t a dtxd t a dt x d n n n n n 111()t f 1()t f 2证明：由题可知，分别是方程（1），（2）的解()t x 1()t x 2则： （3）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 1111111=+++--（4）()()()()()()t f t x t a dtt x d t a dt t x d n n n n n 2212112=+++-- 那么由（3）+（4）得：+()()()()()()()()()()()=++++++--t x t x t a dt t x t x d t a dt t x t x d n n n n n 211211121 ()t f 1()t f 2即+是方程是+的解。
第7章 一阶线性偏微分方程一、填空题与曲面族z＝axy（a为任意常数）正交的曲面为______．【答案】F（x2＋z2，x2－y2）＝0，其中F（u，v）为任意连续可微函数．【解析】与曲面族z＝axy正交的曲面z＝z（x，y）满足偏微分方程；其特征方程组为二．判断题1．偏微分方程的通解可表示为其中是其变元的任意连续可微函数．（）【答案】√2．偏微分方程的特征方程为．（）【答案】×【解析】偏微分方程的特征方程应为．三、解答题1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解．（1）；（2）；当t＝0时，x＝y＝1；（3）解：（1）将方程组的两式相加，得；将x＋y视为未知函数，则上方程为一阶线性方程，解之得即得一个首次积分为方程组的两式相减，得解之得另一个首次积分为易验证．因此，Φ1（t，x，y）＝C1和Φ2（t，x，y）＝C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为从中可解得通解为其中.（2）方程组的两式相比得，变形得恰当方程xdx＋2ydy－ydx－xdy＝0解之得一个首次积分为x2＋2y2－2xy＝C21，即Φ1（t，x，y）＝（x－y）2＋y2＝C21给方程组第一式乘以y，第二式乘以x，再相减得两边积分，得另一个首次积分为易验证Φ1（t，x，y）＝C21和Φ2（t，x，y）＝C2是两个独立的首次积分，所以，方程组的通积分为（x－y）2＋y2＝C21，，通解为其中'1C＝C1sinC2，'2C＝C1cosC2．容易得满足t＝0时，x＝y＝1的解为（3）三个分式相加，得则得一个首次积分为x＋y＋z＝C1．给三个分式的分子分母分别乘以x，y，z，再相加，得又得另一个首次积分为x 2＋y 2＋z 2＝C2．容易验证x ＋y ＋z ＝C 1，x 2＋y 2＋z 2＝C 2是两个独立的首次积分，所以方程组的通积分为x ＋y ＋z ＝C 1，x 2＋y 2＋z2＝C 2．2．求解下列微分方程（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）特征方程组为由可得一个首次积分为 x 2z ＝C 1再由得x d y ＋y d x －xy 2ln x d x＝0即两边积分，有，得另一个首次积分容易验证这两个首次积分相互独立，因此所求方程的通解为其中 为任意二元连续可微函数．（2）方程的特征方程组为利用比例性质，有由以上三式分别得再积分，得到三个首次积分容易验证它们是独立的，且它们的个数等于原方程未知函数自变量的个数，故所求方程的通解为其中F （v 1，v 2，v 3）为v 1，v 2，v 3的任意连续可微函数．（3）方程的特征方程组为对于方程分离变量后积分得到一个首次积分t （ln t －1）＋x 2＝C 1．再利用比例的性质有从而有d （tx ＋y ）＝0，由此得到另一个首次积分tx ＋y ＝C 2．容易验证这两个首次积分相互独立，故原方程的通解为u ＝φt （ln t －1）＋x 2，tz ＋y ]其中F 为任意的二元连续可微函数．（4）由原方程组可得即d （x 2＋y 2）＝2（x 2＋y 2）（x 2＋y 2－1）dt 令x 2＋y 2＝z ，则上式可变为积分得因此易求得原方程组的一个首次积分再由原方程组得即有由此得到原方程组的另一个首次积分由于，雅可比矩阵为而，所以这两个首次积分是相互独立的，它们构成方程组的通积分．如果要得到显式通解，考虑到首次积分的具体形式，采用极坐标变换x ＝rcosθ，y ＝rsinθ得，由此解得．因此微分方程组的通解为．另外，方程组有零解x ＝0，y ＝0．（5）把原方程组写为。
习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。
解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
第7章 一阶线性偏微分方程1．求下列方程组的通积分及满足指定条件的解：解：（1）两个方程相加得到令u＝x＋y，则上面方程可以写成这是一阶线性微分方程，可解出得即得原方程的一个首次积分为两个方程相减得到解之得于是得到另一个首次积分为所以，原方程组的通积分为（2）两个方程相加，得到解之得两个方程相减得到解之得．于是，原方程的通积分为而满足条件t＝0，x＝－2，y＝0的特解为（3）两个方程相除可以得到令则得到解之得，即另外，由原方程组得到第一项乘以（－y）加上第二项乘以x，则得到变形上式可得两边积分后得到所以原方程组的通积分为把条件t＝0，x＝y＝1代入上面的通解表达式可得，所以，特解满足解之可得（4）将三项相加可得故是原方程组的一个首次积分．将第1项乘x，第2项乘z，第3项乘z可得故可得原方程组的另一个首次积分所以，原方程的通积分为2．求下列方程的通解及满给定条件的解解：（1）特征方程为由可得一个首次积分为由可得另外一个首次积分为容易验证上面两个首次积分是独立的，故原方程的通解可表示为其中是的任意连续可微函数．（2）特征方程为由后两项可得令则有解之得或，故得到方程的一个首次积分为另外，容易得到故可得方程的另一个首次积分所以，原方程的通解可以表示为其中是的任意连续可微函数．（3）特征方程为由前两项可得解之得把代入可得即积分得再把代入上式，则得到显然两个首次积分是独立的，故方程的通解为（4）特征方程为由前两项可得令即y ＝ux ，则上面方程化为解之得或特征方程可以变形为。
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习题1.21．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
习题2.2求下列方程的解1．dxdy =x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。
2．dtdx +3x=e t 2 解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ⎰-dt 3 (⎰e t 2 e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3- (51e t 5+c) =c e t 3-+51e t 2 是原方程的解。
3．dtds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c + ) =e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．dx dy n x x e y nx =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x nn x dx x n+⎰⎰=⎰-)(c e x x n += 是原方程的解.5．dx dy +1212--y xx =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ⎰=-dx x x e y 212(c dx e dx x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xyx x += 解：dx dy 234xyx x += =23yx +x y 令xy u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2c x u +=331 c x x u +=-33 （*）将xy u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为：y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye y Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：x=e e 2331*)22y dy c yy cy y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。
()()()19.,1),()(())01adx P x dx a x P x dx P x dxa a dy ay x a dx x xa x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c当 时，方程01a a a≠a 的通解为y=cx+xln/x/-1当 ，时，方程的通解为x 1 y=cx +- 1-3331()()()310.11(),()1(())(*)dx P x dx x P x dx P x dx dy x y x dxdy y x dx xP x Q x x xe e xe e Q x dx c x x dx c c xc x --+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++⎰⎰33解：方程的通解为： y=1 =xx =4x 方程的通解为： y=4()()()223333233232332311.2()2()()2,()2(())((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dxxy x y dxxy x y dxxy x dxy zdz xz x dxP x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰⎰==⎰⎰+-⎰⎰23-2x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：z= =e 222)11)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。
22212111()()222ln 112.(ln 2)424ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x xy dy x y y dx x xdy x y dx x xy zdz x z dx x xx P x Q x x xz e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())ln 1424ln 1:()1,424x dx c x x c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。
13222(2)2122xydy y x dxdy y x y dx xy x y=--==- 这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以1y， 212dy y y dx x =- 令2y z = 2dz dy y dx dx= 22211dz y z dx x x=-=-P(x)=2xQ(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式22()dx dx x x z e e dx c -⎰⎰=-+⎰ =2x x c +22y x x c =+14 23y dy e x dx x+= 两边同乘以y e 22()3y yydy e xe e dx x += 令y e z = ydz dy e dx dx= 222233dz z xz z z dx x x x+==+ 这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以2z22131dz z dx xz x =+ 令1T z= 21dT dz dx z dx =- 231dT T dx x x-=+ P （x ）=3x - Q(x)=21x - 由一阶线性方程的求解公式3321()dx dx x x T e e dx c x--⎰⎰=+⎰ =321()2x x c --+ =1312x cx ---+ 131()12z x cx ---+= 131()12y e x cx ---+= 2312y y x e ce x -+= 2312y x x e c -+=15 331dy dx xy x y =+33dx yx y x dy =+ 这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以3x 3321dx y y x dy x=+ 令2x z -= 32dz dx x dy dy-=- 3222dz y y dy x=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式223(2)ydy ydy z e y e dy c ---⎰⎰=-+⎰=223(2)y y e y e dy c --+⎰=221y y ce --++ 222(1)1y x y ce --++=22222(1)y y y x e y ce e --++=22222(1)y e x x y cx -+=16 y=x e +0()x y t dt ⎰ ()x dy e y x dx=+ x dy y e dx=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式11()dx dx x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰=()x x x e e e dx c -+⎰=()x e x c +0()()xx x x e x c e e x c dx +=++⎰ c=1y=()x e x c +17 设函数ϕ(t)于-∞<t<+∞上连续，'ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)试求此函数。
令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ=（1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ=(t ∀∈-∞,+∞)(2) 当(0)1ϕ=时 '0()()()lim t t t t t t ϕϕϕ∆→+∆-=∆=0()()()lim t t t t t ϕϕϕ∆→∆-∆=0()(()1)lim t t t t ϕϕ∆→∆-∆=0(0)(0)()lim t t t t ϕϕϕ∆→∆+-∆='(0)()t ϕϕ 于是'(0)()d t dtϕϕϕ= 变量分离得'(0)d dt ϕϕϕ= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0ce ⇒c=1故'(0)()t t e ϕϕ=20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：()()dy P x y Q x dx=+ （2.28） ()dy P x y dx = （2.3）（1） 设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解则 11()()dy P x y Q x dx=+ （1） 22()()dy P x y Q x dx=+ （2） （1）-（2）得()1212()()d y y P x y y dx-=- 即12y y y =-是满足方程（2.3）所以，命题成立。
（2） 由题意得：()()dy x P x y dx= （3） ()()()()d y x P x y x Q x dx=+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。
