常微分方程第三版的课后答案

常微分方程第三版课后答案常微分方程 2.11.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

习题2.52．ydy x xdy ydx 2=- 。

解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。

6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。

8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。

10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。

12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

常微分方程第三版课后习题答案习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy=-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令x y =udx dy =u+ x dxdu 211u - du=sgnx x1dxarcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x32 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10.dxdy=e y x - 解：原方程为：dxdy=e x e y - e y =ce x 11dxdy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1 dx du-1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程1.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

1．Dy/dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：dy/y=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e2x .2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|，1+ln x y =cy.10. dx dy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y -，e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1，dxdu -1=u2，211u +du=dx ，arctgu=x+c ，arctg(x+y)=x+c12. dx dy =2)(1y x +，解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1，dx du -1=21u u-arctgu=x+c ，y-arctg(x+y)=c.13. dx dy =1212+-+-y x y x （x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx ，xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=， xy-y 2+y-x 2-x=c15: dx dy =(x+1) 2+(4y+1)2+8xy1+解dxdy =（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dxdy =41dx du -41，dx du =4 u 2+13，u=23tg(6x+c)-1=tg(6x+c)=32(x+4y+1).，这也就是方程的解。

常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyx y 321++=解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

习题 1.21． dy=2xy, 并满足初始条件： x=0,y=1 的特解。

dx2特解为 y= e x.22. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件： x=0,y=1 的特解。

2dy 1 解： y dx=-(x+1)dy 2 dy=- dx y x 11两边积分 : -=-ln|x+1|+ln|c|y特解： y=ln |c(x 1)|2 3．dy 1 y 2 3dx1 y 2dy=dy=4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 y x 1 解：原方程为： dy=- dxyx两边积分： ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。

5．( y+x ) dy+(x-y)dx=0y x解： 原方程为：dy =1 y2 dxy两边积分： x(1+x 2)(1+y 2)= 2cx解： dy =2xdxy2 两边积分有： ln|y|=x 2+cx 2cy=e +e =cex另外 y=0 也是原方程的解， c=0 时， y=0原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1 时 c=1y=ln |c(x 1)|另外 y=0,x=-1 也是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e3xy x y 13 dxx解：原方程为：dx x yu 1 1- 2du= dxu2 1 x22ln(u +1)x =c-2arctgu即ln(y 2+x 2)=c-2arctg y2.x2dy du=u+ xdx dx1du=sgnx dxxyarcsin =sgnx ln|x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0两边积分：1siny=ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.y2 3xdy e8 + =0dx y解：原方程为：dy=dx e y y3x e3x y22 e -3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dy=y ln y令y =u 则dy=u+x dudx dx 代入有：6. x dydx-y+ x2y2=0解：原方程为：dy=y+|x|dx x x 1 ( y)x则令y=u x11 u2解: 原方程为：dy dxtgy ctgxln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|c另外y=0 也是原方程的解，而c=0 时，y=0.dx x xduu+ x =ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx|y1+ln =cy.x10. dy=e x y dx解：原方程为：e y=cexdu 2-1=udx12du=dx1 u2arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c解：令x+y=u, 则dy=du-1 dx dx du 1-1=dx -1=u2u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13.dy=2x y 1 dx x 2y 1解: 原方程为： ( x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 22 dxy-d(y -y)-dx +x=c22xy-y +y-x -x=cdy x y 5dx x y 2解：原方程为： (x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0令y=u ,则dyx dxdu=u+ xdx12.dy=1dx =(x y) 2dy x y=e edx11 dy 2ddyx=(x+y)解：令x+y=u, 则dy du= -1dx dx14:1 2 1 2 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02222y +4y+x +10x-2xy=c.15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 dx解：dy 2原方程为：=( x+4y ) +3dx令x+4y=u 则dy= 1 du- 1dx 4 dx 4 1 du 1 2- =u +34 dx 4du 2=4 u 2+133u= 2tg(6x+c)-12tg(6x+c)= (x+4y+1).316: 证明方程x dy=f(xy), 经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：y dx221) y(1+x y )dx=xdyx dy 2 x 2y2 y dx 2-x 2 y2证明：令 xy=u, 则 x dy+y=du dx dx 则dy=1 du- u2，有：dx x dx x2 x du =f(u)+1 u dx11 du= dx u( f(u) 1) x所以原方程可化为变量分离方程。

常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。

故特解是时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dyx y 321++= 解：原式可化为：x x y xx y x yx y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y ydx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dxdy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dx xx du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee e ee e ee x y uu xy x u u xyxy y x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。

3t15t=e ( e +c)5=c e 3t +15e 2t 是原方程的解ds 13． =-s cost + sin2tdt 2cos tdt 13dt解：s=e ( sin2t e dt c )=esint( sin t coste sin t dt c) sin tsint sint= e( sin tee c )常微分方程 习题 2.2求下列方程的解1． dy = y sin x dx解： y=e ( sinxe dx c)x1 x=e x [- e x (sinx cos x )+c]= ce sint sint 1 是原方程的解。

4．dy xy e x x n，n 为常数. dx n解：原方程可化为：dy xy e x x n dx n方程的解。

=c e(sinx cos x )是原yendxx x ( e x x e n n dx n xdx c)2．dx+3x=e 2tnxx (ec)dt 解：原方程可化为：dx=-3x+edt是原方程的解 .所以：3dtx=ee2te 3dt5．dy +1 22x y 1=0 dx x 2dt c)ds23P(x) ,Q(x) (x 1)3 x1P(x)dxee=(x+1) 2((x 21) c)即： 2y=c(x+21+)(x+14) 为方程的通解。

8.d dy x =x y y 33dx x+y 1 2 解： xy 2dy y yP(y)dy P(y)dy( e Q(y)dy c) =y( 1*y 2dy c)y3= y cy23即 x=y +cy 是方程的通解 ，且 y=0也是方程的解。

2解：原方程可化为：dy dx1x 22xy 1x7.dy 2y (x 1)3dx x 1 解：dy 2y(x 1)3 dx x 1 (x 1)2(ln x 2e方程的通解为：ln x 2 1( e x dx c)1= x 2(1 ce x )P(x)dx P(x)dxy=e ( e Q(x)dx c) =(x+1)(=(x+1)((x 11)2 *(x+1)3dx+c) (x+1)dx+c) 是原方程的解.x=edx c )2则P(y)=y 1,Q(y) y 2方程的通解9. dy ay x 1,a 为常数 dx x x解：(P x) a ,Q(x) x 1xP(x )dxeedx方程的通解为：y=(x)dx P (x)dx(e Q(x)dx=xa(1 x+1dx+c)x a时，x 方程的通解为11.dy xy x 3y 3 dx 解：dy xyx 3y 3dx 两边除以3y c)d 3y xy 2 x 3 ydxdy2( xy 2 x 3)y=x+ln/x/+c当 y=cx+xln/x/-1当 a 1时， 方程 的通解为a 0，1时，方程的通解为y=cxa x 1 +-1- a adx 令y 2 z dz 2( xz x 3) dx P(x) 2x,Q(x) 2x 3 epx dx e2xdxe x 2 方程的通解为：z= e dx( e dxQ(x)dx c)10.x d d x y y x 3解：d dy x 1x y x 3P(x) 1,Q(x) x =e =xx(e x (2x 3)dx c) 22ce x1故方程的通解为y ：2(x 2 ce x 1) 1,且y 0也是方程的解。

求下列方程的解。

dy_ 1. —=ysinxdx解：y=e 心(Jsinx e1心dx +c )=e x [--e(sinxcosx )+c]2=ce x-1 2Odx 2t 2. —+3x=edxc 2t ——=-3x+e 2t dt _3t /15t 、 =e(-e+c)1=ce ^t +1e 2t 是原方程的解。

5ds1. —s cost+—sin2t dt2-costdt 13dt s=e(sin2t edtc) 2=e -sint (sintcoste s1ntdtc ) .sintsintsint=e(sinte-ec)=ce 7nt 十sint-1是原方程的解。

4.dy-xy=e xx n ,n 为常数. dxn解：原方程可化为：曳=xye x x ndxnndx-ndxy=e x (e x x n e x dxc) =x n(e x +c)是原方程的解.习题2.2(sinx+cosx )是原方程的解。

解：原方程可化为:2t (.eJ3dt e -dt c )3. 解:dy1-2x 5.+2y-1=0dxx解：原方程可化为:dy1-2x ———=-dxy=e2x2x」-x2dx6. dydx43xx2-xy解: dydx43xx2-xy因此：udux=dxdudxx-2u1-2u2.udu =dx(Inx2二e,2Jinx(edxc)1x dxc)1=x2(1+ce')是原方程的解.dydu=ux——dxdxu3-3x=xc将y=u带入(*)中x得：y3—3x4=cx3是原方程的解.嚏-黑=")3解:dy=-2y(x1)3dxx1P(x)=3，Q(x)=(x1)3x1e P(x)dx=e、x=(x-1)2方程的通解为：y=e P(x)dx_P(x)dx (e Q(x)dxc)=(x+1)(2—1--*(x+1)c3x+c)(x1)2=(x+1)(2(x+1)dx+c)2=(x+1)2(^—2—c)即：2y=c(x+1)2+(x+1)4为方程的通解。