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资本资产定价模型(CAPM)理论及应用资本资产定价模型(CAPM)理论及应用引言资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）是一种用于定量分析风险与收益之间关系的理论模型。
该模型通过对资产收益的风险与市场整体风险的比较，来确定资产的预期收益率。
本文将对CAPM模型的原理和应用进行深入探讨，并分析其在实际投资决策中的应用效果。
一、资本资产定价模型的基本原理1.1 风险与收益的关系在金融领域，风险与收益被广泛认为是密切相关的。
一般来说，投资者对于收益越高的资产风险的承受愿意越低，而对于风险越大的资产，投资者要求的预期收益率也会更高。
1.2 市场组合的重要性CAPM模型假设了市场处于均衡状态，投资者能够以市场组合作为风险基准。
市场组合包含了所有可交易资产的组合，且每个资产的权重与其在整个市场中的市值成正比。
1.3 Beta系数的引入CAPM模型引入了Beta系数，用于度量某一资产相对于市场整体风险的波动程度。
Beta系数为正值，表示资产与市场整体风险具有正相关关系；为负值，则表示二者呈现负相关关系；若为0，则代表二者之间无关。
1.4 资本资产定价模型的公式表示CAPM模型的公式表示为:E(R_i) = R_f + β_i * [E(R_m) - R_f]其中，E(R_i)代表资产i的预期收益率，R_f代表无风险利率，E(R_m)代表市场的预期收益率，β_i代表资产i的Beta系数。
二、资本资产定价模型的应用2.1 风险管理与资产配置利用CAPM模型，投资者可以根据不同资产的预期收益率和风险度量，进行合理的资产配置。
通过控制投资组合中不同资产的权重，投资者可以达到既满足风险可承受程度又能获得足够收益的目标。
2.2 测算资本成本CAPM模型可以用于测算企业的资本成本。
通过测算不同项目或投资的Beta系数，结合市场的预期收益率和无风险利率，可以得出不同项目的资本成本。
投资学中的资产定价模型在投资学中，资产定价模型是一个重要的理论框架，用于评估资产价格和投资回报率的确定性和不确定性。
资产定价模型帮助投资者和金融专业人士了解资本市场如何定价资产，并为他们提供决策依据。
本文将介绍几种常见的资产定价模型，包括资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论（APT）。
一、资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是最被广泛应用的资产定价模型之一。
它基于风险和收益之间的关系，通过衡量资产的系统性风险来确定其期望回报率。
CAPM的核心概念是资产的风险和市场的风险之间的线性关系，因此能够测量资产预期回报率与市场整体风险之间的关系。
CAPM的数学公式为：Er = Rf + β * (Em - Rf)，其中Er表示资产的期望回报率，Rf表示无风险利率，β表示资产的贝塔系数，Em表示市场的期望回报率。
CAPM的优点在于简单直观，且易于计算和应用。
然而，它也存在一些限制，如依赖市场均衡假设、无法适应非线性关系等。
因此，在实际应用中需要结合其他模型和方法进行综合评估。
二、套利定价理论（APT）套利定价理论是另一个常用的资产定价模型。
它认为资产价格取决于多个因素，即因子模型。
APT通过多因子回归分析来确定资产的预期回报率。
和CAPM不同，APT并不要求市场风险与资产回报之间存在线性关系。
APT的数学公式为：Er = Rf + β₁ * f₁ + β₂ * f₂ + ... + βₙ * fₙ，其中Er表示资产的期望回报率，Rf表示无风险利率，β₁、β₂、...、βₙ表示资产对应的因子系数，f₁、f₂、...、fₙ表示对应的因子。
APT的优点在于能够考虑多个因素对资产价格的影响，更接近实际市场情况。
然而，APT也存在一些挑战，如因子选择和有效性验证上的困难。
三、其他资产定价模型除了CAPM和APT，还存在许多其他的资产定价模型。
例如，黑尔-辛格模型（HJM模型）用于研究利率市场，蒙特卡洛模拟在期权定价中有广泛应用，而短息期货模型（STIRF模型）适用于短期利率资产的定价。
资本资产定价模型分析报告资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model 简称CAPM）是由美国学者夏普、林特尔、特里诺和莫辛等人在资产组合理论的基础上发展起来的，是现代金融市场价格理论的支柱，广泛应用于投资决策和公司理财领域。
资本资产定价模型假设所有投资者都按马克维茨的资产选择理论进行投资，投资人可以自由借贷。
主要研究证券市场中资产的预期收益率与风险资产之间的关系，以及均衡价格是如何形成的。
研究的重点在于探求风险资产收益与风险的数量关系，即为了补偿某一特定程度的风险，投资者应该获得多得的报酬率。
作为第一个在不确定性条件下的资本资产定价的均衡模型，CAPM模型具有重大的历史意义，它导致了西方金融理论的一场革命。
它的创新主要体现在：（1）明确了切点组合结构,提出并证明了分离定理；(2) 提出了度量投资风险的新参数：( 3) 提出了一种简化形式的计算方法,这一方法是通过建立单因素模型实现,单因素模型又可推广为多因素模型,多因素模型对现实的近似程度更高,这一简化形式使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能,尤其20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化,极大地促进了现代证券组合理论在实践中的应用。
一、假设条件资本资产定价模型是建立在马科维茨的资产组合理论之上的，马科维茨资产组合理论的假设条件有：1、投资者希望财富越多愈好，效用是财富的函数，财富又是投资收益率的函数，因此可以认为效用为收益率的函数。
2、投资者能事先知道投资收益率的概率分布为正态分布。
3、投资风险用投资收益率的方差或标准差标识。
4、影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险两项。
5、投资者都遵守主宰原则(Dominance rule)，即同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。
CAPM的附加假设条件：6、可以在无风险折现率R的水平下无限制地借入或贷出资金。
7、所有投资者对证券收益率概率分布的看法一致，因此市场上的效率边界只有一条。
精算师的资产定价模型一、概述资产定价模型是精算师在风险评估和投资决策中必备的工具之一。
精算师通过对投资资产的估值和风险分析，帮助机构和个人制定合理的资产配置策略。
本文将介绍常用的资产定价模型及其原理。
二、CAPM（资本资产定价模型）CAPM是最常用的资产定价模型之一，根据资产的风险和预期回报率建立了投资组合的均衡关系。
其核心公式为：E(Ri) = Rf + βi*(E(Rm) - Rf)其中，E(Ri)是资产i的预期回报率，Rf是无风险收益率，E(Rm)是市场整体的预期回报率，βi是资产i的风险系数。
CAPM的原理是，投资者在资产配置时会权衡资产的风险和预期回报率，资产的风险系数βi反映了资产与整个市场波动的关联性。
如果资产i的βi大于1，意味着该资产风险较高，可能获得较高的回报；反之，如果βi小于1，意味着该资产风险较低，预期回报也较低。
通过计算资产的βi，精算师可以帮助投资者评估资产的风险和预期回报率，并根据投资者的风险偏好制定资产配置策略。
三、DCF（贴现现金流量模型）DCF是一种基于现金流量的资产定价模型，适用于估值周期较长的投资项目。
DCF的核心理念是通过估计未来的现金流量，并将其贴现至现值，计算出资产的内在价值。
DCF模型的公式如下：V = Σ(CFt / (1+r)t)其中，V是资产的价值，CFt是第t期的现金流量，r是折现率，t 是时间。
DCF模型的关键在于确定合适的折现率r，折现率通常体现了资产的风险和机会成本。
精算师需要综合考虑资产的风险、行业环境、宏观经济因素等，合理选择折现率。
通过DCF模型，精算师可以较为准确地评估资产的内在价值，为投资决策提供参考。
四、Black-Scholes模型（期权定价模型）Black-Scholes模型是用于定价欧式期权的一种常用数学模型，也可用于评估金融衍生品等。
该模型基于股票价格、期权执行价、时间、无风险利率、波动率等因素，计算出期权的理论价值。
资本资产定价知识点总结一、CAPM理论基本概念资本资产定价模型是一种风险评估模型，它可以帮助投资者分析和计算资产的预期收益率。
CAPM模型的核心思想是，资产的收益率与市场风险溢价成正比，并且与资产的贝塔系数有关。
贝塔系数是一个表示资产相对于市场整体波动的指标，它可以帮助投资者衡量资产的风险。
CAPM模型的基本方程如下：\[E(R_i) = R_f + \beta_i(E(R_m) - R_f)\]其中，\[E(R_i)\]代表资产i的预期收益率，\[R_f\]代表无风险资产的收益率，\[E(R_m)\]代表市场整体资产的预期收益率，\(\beta_i\)代表资产i的贝塔系数。
根据这个方程，投资者可以使用CAPM模型来计算资产的预期收益率，从而帮助他们决定是否进行投资。
二、CAPM理论基本假设CAPM模型建立在一些基本假设之上，这些假设对模型的适用范围有一定的限制。
CAPM模型的基本假设包括市场效率假设、投资者理性假设、资本市场完全竞争假设、无风险利率稳定假设等。
1. 市场效率假设：CAPM模型假设市场是有效的，所有的信息都会被及时反映在资产价格之中。
这意味着投资者不能通过分析信息来获得超额收益，市场上所有的资产价格均反映了其风险和回报的平衡关系。
2. 投资者理性假设：CAPM模型假设投资者都是理性的，他们会根据资产的风险和预期回报来做出投资决策，而不是受情绪或其他非理性因素的影响。
3. 资本市场完全竞争假设：CAPM模型假设资本市场是完全竞争的，没有垄断或垄断力量，所有的投资者都可以自由进入和退出市场，达到资产配置的最佳状态。
4. 无风险利率稳定假设：CAPM模型假设无风险利率是稳定的，投资者可以通过购买无风险资产来规避风险，并且无风险资产的收益率是已知的。
这些假设在一定程度上限制了CAPM模型的适用范围。
在实际应用中，投资者需要根据具体的市场情况和资产特性来对模型进行调整和修正，以提高模型的预测准确性。
资本资产定价模型的主要观点资本资产定价模型的主要观点及主要方面一、资本资产定价模型主要观点资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model，简称CAPM）是现代金融学理论的重要模型之一，主要探讨资产定价和风险管理的相关问题。
该模型提供了在不确定条件下资产定价的基本框架，为投资者和资产管理者提供了评估投资风险和回报的工具。
CAPM的主要观点包括以下几个方面：1. 资产的预期收益取决于它对市场投资组合的贡献。
换句话说，单个资产的预期收益取决于它的市场风险。
2. 资产的定价取决于它相对于市场投资组合的贝塔系数（Beta），即该资产的系统性风险。
贝塔系数度量了资产价格对市场指数变动的敏感程度。
3. 无风险利率是资本资产定价的基础。
在CAPM中，无风险利率是投资者的最低预期回报，因为投资者可以无风险地投资政府债券等低风险资产。
4. 资本资产定价模型假设市场是有效的，即市场能够迅速反映所有可用信息。
这意味着投资者无法通过分析公开信息获得超额收益。
二、资本资产定价模型的主要方面CAPM主要涉及以下几个方面：1. 市场化特征：CAPM假设资本市场是完全市场化的，投资者可以自由进入和退出，且市场价格能够迅速反映所有可用信息。
2. 信息不对称性：根据CAPM，投资者无法通过分析公开信息获得超额收益，因为市场已经迅速反映了所有可用信息。
这意味着投资者在信息获取方面处于劣势。
3. 多重影响因素：CAPM认为资产的预期收益不仅受到无风险利率、贝塔系数等基本因素的影响，还受到市场投资者预期、市场需求等多种因素的影响。
4. 实施风险和挑战：尽管CAPM提供了一个评估投资风险和回报的基本框架，但在实际应用中仍存在许多风险和挑战，如市场有效性问题、数据质量和精度问题等。
综上所述，资本资产定价模型是现代金融学理论的重要模型之一，为投资者和资产管理者提供了评估投资风险和回报的工具。
CAPM主要观点包括资产的预期收益取决于它对市场投资组合的贡献、资产的定价取决于它相对于市场投资组合的贝塔系数、无风险利率是资本资产定价的基础等。
资本资产定价模型资本资产定价模型（CAPM）这个词听起来很复杂，但其实它的核心就是帮助我们理解风险和收益之间的关系。
简单来说，CAPM告诉我们，投资者应该为承担风险而获得相应的回报。
这个模型就像是投资世界里的导航仪，指引着我们在波涛汹涌的市场中找到前进的方向。
一、CAPM的基本概念1.1 风险与收益的关系在投资的世界里，风险和收益永远是密不可分的。
风险越高，潜在的收益也越大。
这就像是走在一条高山上的小路，走得越高，风景越美，但同时也更危险。
CAPM用一个简单的公式来描述这个关系，风险溢价=市场收益率-无风险收益率。
这个公式的意思是，如果你想要获得超出无风险收益率的回报，就得承担一定的市场风险。
1.2 β系数的作用说到风险，β系数就不得不提了。
这个小家伙反映了个别资产相对于市场整体的波动性。
比如说，β值为1的股票，其波动性与市场平均水平一致；而β值大于1的股票，波动性更大，潜在收益也更高。
反之，β值小于1的股票波动性较小，风险和收益都比较低。
这就像是在海滩上，冲浪者总是追逐高浪，那些波涛汹涌的浪头既刺激又危险，但带来的快感也是无与伦比的。
二、CAPM的应用2.1 投资组合的构建使用CAPM，我们可以更好地构建投资组合。
比如，如果你手上有几只不同的股票，想要减少风险，你可以选择那些β值相对较低的股票。
这样一来，即使市场波动很大，你的投资组合也能保持相对的稳定。
这就像是打游戏时，选择不同的角色，每个角色都有自己的优势和劣势，合理搭配才能打出高分。
2.2 企业价值评估除了个人投资者，CAPM对于企业价值评估也非常重要。
企业在融资时，可以使用CAPM来计算所需的资本成本。
如果一个企业的资本成本低于市场平均水平，说明它的风险相对较低，投资者会更愿意投入资金。
就像是选择餐厅，大家都愿意去那些评价高、环境好的地方消费。
2.3 决策分析CAPM还可以帮助企业在进行投资决策时评估项目的可行性。
当企业考虑一个新项目时，可以通过CAPM计算出项目的预期收益。
(一)资本市场线（CML）在建立了上述假设后，现在我们考虑所有投资者的投资行为。
显然，当所有投资者对风险资产（证券）的预期一致，而且每个投资者都可以不受限制地以固定的无风险利率借入或贷出资金时，根据我们上面的分析，每个投资者投资组合的有效界面都表现为从无风险资产出发、并与风险资产有效界面相切的同一条射线；每个投资者最优投资组合（最优证券组合）中所包含的对风险证券的投资部分都可以归结为对同一个风险资产组合M（在上一节我们称之为“切点处的资产组合”）的投资，即在每个投资者的最优证券组合中，对各种风险证券投资的相对比重均与M相同；不同投资者的最优证券组合的唯一区别仅在于，由于每个投资者的风险偏好不同，每个投资者投资于无风险资产和风险资产组合M的比例不同。
资本资产定价模型的这一特征常被称为“分离定理”。
换句话说，投资者对风险和收益的偏好状况与其应当持有的风险资产组合无关。
实际上，根据分离定理，我们还可以得到另一个重要的结论：在均衡状态下，每种证券在切点处的风险资产组合M中都有一个非零的比例，而且这个比例就等于该种证券在整个资本市场的相对市值。
这是因为，根据分离定理，每个投资者都持有相同的风险资产组合M。
如果某种证券在组合M中的比例为零，那么就没有人购买该证券，该证券的价格就会下降，从而使该证券的预期收益率上升，一直到在最终的切点处的风险资产组合M中该证券的比例非零为止。
反之，如果投资者对某种证券的需要量超过其供给量，则该证券的价格将上升，导致其预期收益率下降，从而降低其吸引力，它在切点处的风险资产组合M中的比例也将下降，直至对其需要量等于其供给量为止。
当所有证券的供求达到均衡时，整个市场就被带入一种均衡状态：（1）每个投资者对每一种证券都愿意持有一定的数量；（2）市场上每种证券的价格都处在使得需求与供给相等的水平上；（3）无风险利率的水平正好使得借入资金的总量等于贷出资金的总量。
结果，在均衡状态下，切点处的风险资产组合M中每种证券的比例就等于该种证券的相对市值，也就是每种证券的总市值在所有证券的市值总和中所占的比重。
CAPM 模型资产定价理论是关于金融资产的价格决定理论，这些金融资产包括股票、债券、期货、期权等有价证券。
价格决定理论在金融理论中占有重要的地位，定价理论也比较多，以股票定价为例，主要有：1.内在价值决定理论。
这一理论认为，股票有其内在价值，也就是具有投资价值。
分析股票的内在价值，可以采用静态分析法，从某一时点上分析股票的内在价值。
一般可以用市盈率和净资产两个指标来衡量；也可以采取动态分析法。
常用的是贴现模型。
贴现模型认为股票的投资价值或者价格是股票在未来所产生的所有收益的现值的总和。
2.证券组合理论。
现代证券组合理论最先由美国经济学者Markowitz 教授创立，他于1954年在美国的《金融》杂志上发表了一篇文章《投资组合选择》，提出了分散投资的思想，并用数学方法进行了论证，从而决定了现代投资理论的基础。
3.资本资产定价理论（Capital Assets Pricing Model ，CAPM 模型）。
证券组合理论虽然从理论上解决了如何构造投资组合的问题，但是这一过程相当繁杂，需要大量的计算，和一系列严格的假设条件。
这样就使得这一理论在实际操作上具有一定的困难。
投资者需要一种更为简单的方式来进行处理投资事宜。
于是资本资产定价模型就产生了。
1964年是由美国学者Sharpe 提出的。
这个模型仍然以证券组合理论为基础，在分析风险和收益的关系时，提出资产定价的方法和理论。
目前已经为投资者广泛应用。
4.套利定价模型（Arbitrage Pricing Theory ，APT ）。
1976年由Ross 提出，与CAPM 模型类似，APT 也讨论了证券的期望收益与风险之间的关系，但所用的假设与方法与CAPM 不同。
CAPM 可看作是APT 在某些更严格假设下的特例。
APT 在形式上是把CAPM 的单因子模型变为一个多因子模型。
本文主要就CAPM 理论进行一些探讨，从几个方面对这个重要的资产定价模型进行剖析。
一、CAPM 模型介绍Sharpe 在一般经济均衡的框架下，假定所有投资者都以自变量为收益和风险的效用函数来决策，导出全市场的证券组合的收益率是有效的以及资本资产定价模型（CAPM ）。
CAPM 的基本假定：① 资者根据与其收益和收益的方差来选择投资组合； ②投资者为风险回避者；③投资期为单期； ④证券市场存在着均衡状态； ⑤投资是无限可分的，投资规模不管多少都是可行的；⑥存在着无风险资产，投资者可以按无风险利率借入或借出无风险资产；⑦没有交易成本和交易税； ⑧所有投资者对证券收益和风险的预期都相同；⑨市场组合包括全部证券种类。
在上述假设条件下，可以推导出CAPM 模型的具体形式：()(())i f i m f E r r E r r β-=-，2(,)/()/i i m m im mCov r r Var r βσσ==。
其中()i E r 表示证券i 的期望收益，()m E r 为市场组合的期望收益，f r 为无风险资产的收益，(,)im i m Cov r r σ=为证券i 收益率和市场组合收益率的协方差，2()m m Var r σ=为市场组合收益率的方差。
CAPM 模型认为，在均衡条件下，投资者所期望的收益和他所面临的风险的关系可以通过资本市场线（Capital Market Line ，CML ）、证券市场线（Security Market Line ，SML ）和证券特征线（characteristic line ）等公式来说明。
1.资本市场线（Capital Market Line ，CML ）:()/(())p f p m m f E r r E r r σσ=+-证券有效组合p 的风险p σ与该组合的预期收益率()p E r 关系的表达式。
虽然资本市场线表示的是风险和收益之间的关系，但是这种关系也决定了证券的价格。
因为资本市场线是证券有效组合条件下的风险与收益的均衡，如果脱离了这一均衡，则就会在资本市场线之外，形成另一种风险与收益的对应关系。
这时，要么风险的报酬偏高，这类证券就会成为市场上的抢手货，造成该证券的价格上涨，投资于该证券的报酬最终会降低下来。
要么会造成风险的报酬偏低，这类证券在市场上就会成为市场上投资者大量抛售的目标，造成该证券的价格下跌，投资于该证券的报酬最终会提高。
经过一段时间后，所有证券的风险和收益最终会落到资本市场线上来，达到均衡状态。
资本市场线是把有效组合作为一个整体来加以研究的。
那么单个证券的风险和收益水平是怎样的？证券市场线对此做出了说明。
2.证券市场线（Security Market Line ，SML ）：()(())i f i m f E r r E r r β=+-证券i 与市场组合m 的协方差风险i β与该证券的预期收益率()m E r 关系的表达式。
证券市场线也可以用另一种方式来说明。
对证券市场线的公式进行变换后，就会用一个指标β来表示证券的风险。
实际上，这个系数是表示了某只证券相对于市场组合的风险度量。
对这个β特别作如下的说明：（1）由于无风险资产与有效组合的协方差一定为零，则任何无风险资产的β值也一定为零。
同时任何β值为零的资产的期望回报率也一定为零。
（2）如果某种风险证券的协方差与有效组合的方差相等，β值为1，则该资产的期望回报率一定等于市场有效组合的期望回报率，即这种风险资产可以获得有效组合的平均回报率。
（3）β值高时，投资于该证券所获得的预期收益率就越高；β值低时，投资于该证券所获得的预期收益率就越低。
实际上，证券市场线表明了这样一个事实，即投资者的回报与投资者面临的风险成正比关系。
正说明了：世上没有免费的午餐。
3.证券特征线（characteristic line ）()(())i f i m f E r r E r r β-=-证券的超额预期收益率与市场超额预期收益率之间关系的表达式。
CAPM 模型给出了单个资产的价格与其总风险各个组成部分之间的关系，单个资产的总风险可以分为两部分，一部分是因为市场组合m 收益变动而使资产i 收益发生的变动，即i β值，这是系统风险；另一部分，即剩余风险被称为非系统风险。
单个资产的价格只与该资产的系统风险大小有关，而与其非系统风险的大小无关。
以上简单介绍了CAPM 模型，下面将从几个方面详细的推导CAPM 模型，并且探讨模型背后的含义，最后给出一些CAPM 模型的检验及实证结果。
二、CAPM 模型的推导CAPM 模型的导出有多种方法，下面简要的介绍几种常见的推导方法：1.由Markowitz 证券组合选择理论推出CAPM 模型：Markowitz 证券组合选择理论研究的是这样一个问题：一个投资者同时在许多种证券上投资，如何选择各种证券的投资比例，使得投资收益最大，风险最小。
在这个问题上，Markowitz 的巨大贡献在于他将收益和风险这两个模糊的经济学概念明确的表示为具体的数学概念。
将证券的收益率看做一个随机变量，收益就定义为这个随机变量的数学期望，风险定义为这个随机变量的标准差。
那么证券组合选择问题就归结为一个数学问题：选择什么样的证券投资比例使得随机变量的期望最大，标准差最小。
这样，Markowitz 的问题（均值-方差证券组合选择问题）就表示为：2,1121122min .1n Tp ij i ji j T n T p n n w Vw V w w s t w e w w w w w w w σμμμμμμ====+++===+++=∑这里，,1,2,,1,2,()((,))ij i j n i j i j n V V Cov r r ==== ，V 表示i r 与j r 之间的协方差矩阵，V 是正定的，即对任何0w ≠，有0T w Vw >，这就排除了这n 种证券中存在无风险证券的情况。
Markowitz 证券组合选择理论的基本结论就是：在证券允许卖空的情况下，组合前沿是一条双曲线的一支；在证券不允许卖空的情况下，组合前沿是若干段双曲线段的拼接。
组合前沿的上半部称为有效前沿，对于有效前沿来说，不存在收益和风险两方面都由于它的证券组合。
若证券组合中包含无风险证券，那么，假设除上述n 种证券外，另外还有第0种证券为无风险证券，并且它的无风险利率为常随机变量f r 。
于是组合将定义为满足：0121n w w w w ++++= 的0w ，1w ，2w n w ，记01122p f n n w r w w w μμμμ=++++ ，从而：1122()()()()T p f f f n n f f r w r w r w r w r μμμμμ-=-+-++-=-组合的方差显然仍为2Tp w Vw σ=。
那么，在含有无风险证券的情况下的Markowitz 问题变为2,1min nTp ij i j i j w Vw V w w σ===∑ 1122.()()()()T p f f f f n n f s t r w r w r w r w r μμμμμ-=-=-+-++-形式上比不含有无风险证券的Markowitz 问题少了一个约束条件，这是个二次规划问题，用Lagrange 乘子法求得其解：(,)(()())T T f p f L w w Vw w r r λλμμ=---- 其解w w = 满足的充要条件为：(,)2()f L w V w r wλλμ∂=--∂ (,)()()T p f f L w r w r λμμλ∂=---∂ 由此可解得：11()()()()p ff T f f r w V r r V r μμμμ---=---； 221()()()T p f T f f r w V w r V r μσμμ--==--这就是说，σ与()p f r μ-之间在(,)σμ平面上的双曲线关系在这种情形下退化为两条直线：11/2()(()())p f p T f f r r V r μσμμ-±-=--由于σ必须为正，所以这两条直线只有右边的半条射线，相交于p μ轴上的f r 点。
上半条射线是有效前沿，下半条射线是无效前沿。
并且，从经济意义上看，无风险利率f r 与总体最小风险组合的期望收益率相比应该要小，否则投资者不会投资于风险证券而只投资于无风险证券。
如上所述，含有无风险证券的投资组合的有效前沿是一条射线，称为资本市场线：11/2(()())T p f f f p r r V r μμμσ-=+--，这意味着如下关系：11/2()(()())p f T f f p r r V r μμμσ--=--。
左端的比值称为Sharpe 比，用来衡量风险效益，即因承担风险而可能带来的收益。
含有无风险证券的投资组合的有效前沿的特点就在于其上的Sharpe 比是常数11/2(()())T f f r V r μμ---，它完全由各风险证券的期望收益率μ和它们之间的协方差矩阵V 决定。
