函数极限的性质和收敛准则

函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。

在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。

一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。

也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。

这个性质可以通过反证法来证明。

假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。

2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。

也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。

这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。

3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。

也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。

这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。

4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。

二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。

那么函数f(x)在x→a时收敛。

函数的极限知识点总结一、函数极限的定义1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。

如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立，则称当x自变量趋于x0时，函数f(x)以A为极限（或者以A收敛），记作lim(x→x0)f(x)=A。

2. 函数极限概念解释：函数的极限就是描述了当自变量趋于某一特定的常数时，函数的值随之趋于的一个确定的常数。

3. 极限的图像解释：函数f(x)的极限lim(x→x0)f(x)=A，表示当x自变量在点x0的邻域内取值时，函数图像与直线y=A的距离可以任意小。

即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。

二、函数极限的性质1. 唯一性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值是唯一的。

即如果lim(x→x0)f(x)=A1，又有lim(x→x0)f(x)=A2，那么A1=A2。

2. 有界性：若函数f(x)在x0附近有极限，那么它在x0附近是有界的。

即存在一个正数M>0，使得当x自变量在点x0的邻域内取值时，总有|f(x)|<M。

3. 保序性：若函数f(x)的极限存在，那么它的极限值保持不变。

即如果lim(x→x0)f(x)=A，且f(x)≤g(x)，那么lim(x→x0)g(x)也存在，并且lim(x→x0)g(x)≤A。

4. 逼近性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在x0附近与它的极限可以任意接近。

即对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-x0|<δ时，总有|f(x)-A|<ε成立。

三、函数极限的运算规律1. 四则运算法则：设lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，且A，B存在，那么有lim(x→x0)[f(x)± g(x)]=A±B，lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·B，lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B（B≠0）。

函数极限柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛性的一个重要判别准则，具体描述为：一个数列{a_n}收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。

换句话说，柯西收敛准则要求当数列索引足够大时，数列中的元素之差可以任意小，即数列中的数逐渐趋向于一个固定的极限。

这个极限值被称为该数列的极限。

柯西收敛准则的一个重要应用是证明数列的收敛性。

我们可以通过柯西收敛准则证明一个数列收敛的方法如下：步骤一：假设数列{a_n}是一个满足柯西收敛准则的数列。

步骤二：根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。

步骤三：根据步骤二中得到的N，选择n=N+1，则有，a_n-a_N，<ε。

步骤四：根据步骤三中所得到的不等式，我们可以推断出子数列{a_n}（n > N）是一个 Cauchy 数列，因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε。

步骤五：由步骤四可知，子数列 {a_n}（n > N）是一个有界数列，即存在常数 M，使得，a_n，≤ M。

这是因为对于任意给定的ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε，因此取 M = max{，a_1，, ，a_2，, ..., ，a_N，+ ε}。

步骤六：根据步骤五可知，在数列{a_n}中，从第N+1项开始的所有项都在一个有界的区间内。

步骤七：由于步骤六中提到的有界性质，我们可以找到一个闭区间[a,b]，使得数列{a_n}（n>N）中所有的项都在该区间内。

步骤八：由于闭区间[a,b]是一个有界的闭区间，根据闭区间套定理，可以证明在该有界闭区间内存在一个数c，使得数列{a_n}（n>N）的极限等于c。

三大收敛定理引言在数学领域，收敛是一个重要的概念。

当一个数列或函数的值越来越接近一个确定的极限值时，我们称之为收敛。

收敛定理是指一系列定理，用于判断数列或函数是否收敛以及极限的性质。

本文将介绍三大收敛定理，分别是柯西收敛准则、夹逼定理和单调有界数列定理。

这些定理是数学分析中最重要的基本定理之一。

一、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断数列是否收敛的一种重要方法。

柯西收敛准则的基本思想是：如果对于任意给定的正数ε，存在一个自然数N，使得当n和m大于等于N时，数列的前n个元素和前m个元素之差的绝对值小于ε，则该数列是收敛的。

表达式表示如下：对于任意给定的ε>0，存在自然数N，对于任意n,m>N，有|an - am| < ε。

二、夹逼定理夹逼定理是用来判断函数极限的一种重要方法。

夹逼定理的基本思想是：如果一个函数在某个区间上的两个函数夹住，且两个函数的极限相等，则这个函数的极限也相等。

具体的说：假设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]内定义，并且当x在这个区间上时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。

如果当x趋于某个值c时，有lim(g(x)) = lim(h(x)) = L，则lim(f(x))也等于L。

三、单调有界数列定理单调有界数列定理是判断数列是否收敛的一种常用方法。

该定理分为两部分：单调有上界的数列必有极限，以及单调有下界的数列必有极限。

单调有上界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递增且有上界，那么这个数列是收敛的。

同理，单调有下界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递减且有下界，那么这个数列也是收敛的。

实例应用下面我们通过一个实例来应用上述三大收敛定理。

例：判断数列{(-1)^n/n}是否收敛。

首先，我们可以通过柯西收敛准则来判断数列是否收敛。

对于任意给定的ε>0，我们有：|an - am| = |(-1)^n/n - (-1)^m/m| ≤ 2/n ≤ ε。

高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。

2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。

二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。

2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。

3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。

三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。

函数极限的柯西收敛准则柯西收敛准则是指数列收敛的一种判据，它是由法国数学家柯西（Augustin Cauchy）在19世纪初提出的。

柯西收敛准则主要应用于函数极限的研究中，通过判断数列的柯西条件是否满足来确定数列是否收敛。

柯西收敛准则的数学表述如下：对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，对任意的m,n≥ N，都有，an - am，< ε 成立。

直观来解释柯西收敛准则就是当数列中的一段数列的值无限接近时，整个数列也会收敛。

柯西收敛准则可以用来证明一个数列收敛，但是对于具体的极限值并没有给出明确的方法。

对于函数极限来说，柯西收敛准则可以用来证明一个函数在特定点处的极限存在。

具体来说，对于函数f(x)，如果对任意给定的正数ε，存在正实数δ，使得对于所有的x1，x2∈（c-δ，c+δ），都有，f(x1)-f(x2)，<ε成立，则f(x)在点c处的极限存在。

柯西收敛准则的证明通常通过数列的收敛性和函数的连续性来进行。

对于函数极限的柯西收敛准则，可以通过数列的柯西性和函数的其中一种性质（例如连续、有界等）来进行证明。

以函数极限的柯西收敛准则的证明为例，我们先假设函数f(x)在点c 处具有极限L，然后构造一个数列{x_n}，使得{f(x_n)}满足柯西收敛准则。

首先，对于给定的正数ε，由于f(x)在点c处极限存在，存在正实数δ1，使得当，x-c，<δ1时，，f(x)-L，<ε/2成立。

然后，我们选取一个数列{x_n}，使得对于任意的正整数n，，x_n-c，<δ1/n成立。

显然，当n较大时，x_n-c，较小，这意味着{x_n}收敛于c。

接下来，我们考虑数列{f(x_n)}。

由于f(x)在点c处连续，根据ε-δ定义，存在正整数N，使得对于任意的m,n≥N，都有，x_n-x_m，<δ1，从而有，f(x_n)-f(x_m)，<ε/2成立。

综上所述，数列{f(x_n)}满足柯西收敛准则，从而根据柯西收敛定理，数列{f(x_n)}收敛于一些极限值，假设为L'。

判断收敛发散的常用公式一、数列的收敛性判定公式1. 极限定义法：若数列{an}的极限存在且为L，则数列收敛；若不存在极限或极限不为L，则数列发散。

2. 夹逼准则：若数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim(an)=lim(cn)=L，则数列{bn}的极限存在且为L。

3. 单调有界准则：若数列{an}单调递增且有上界（或单调递减且有下界），则数列收敛。

4. 零极限法则：若lim(an)=0，则数列{an}收敛。

二、级数的收敛性判定公式1. 正项级数收敛准则：若级数∑an的各项非负且单调递减，则该级数收敛当且仅当其部分和有上界。

2. 比较判别法：若级数∑an和级数∑bn满足0≤an≤bn，若级数∑bn收敛，则级数∑an也收敛；若级数∑an发散，则级数∑bn也发散。

3. 极限判别法：若lim(an/bn)=L（L为常数），且级数∑bn收敛（或发散），则级数∑an也收敛（或发散）。

4. 比值判别法：若lim|an+1/an|=L（L为常数），则当L<1时，级数∑an绝对收敛；当L>1时，级数∑an发散；当L=1时，级数∑an的收敛性不能确定。

5. 根值判别法：若lim|an|^(1/n)=L（L为常数），则当L<1时，级数∑an绝对收敛；当L>1时，级数∑an发散；当L=1时，级数∑an的收敛性不能确定。

三、函数的收敛性判定公式1. 函数极限定义：若对于任意给定的ε>0，都存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)的极限为L。

2. 函数单调有界准则：若函数f(x)在[a, +∞)上单调递增且有上界（或在[a, +∞)上单调递减且有下界），则函数f(x)在[a, +∞)上收敛。

3. 函数一致连续准则：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则称函数f(x)在区间[a, b]上一致连续。

函数极限的柯西收敛准则引言函数极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在无穷接近某个值时的性质。

柯西收敛准则是判断函数极限存在与否的一种方法，它通过定义了一个收敛准则来判断函数是否趋于某个极限值。

本文将深入探讨函数极限的柯西收敛准则，并详细介绍其定义、性质和应用。

一、柯西收敛准则的定义柯西收敛准则是由法国数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）提出的，它给出了一种判断函数极限存在的准则。

在数学中，函数极限存在的定义是：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量足够接近某个值时，函数值与极限值之间的差距小于ε。

具体来说，对于函数f(x)在某点x₀附近的任意两个点x₁和x₂，如果它们的函数值f(x₁)和f(x₂)的差距足够小，即满足|f(x₁)-f(x₂)|<ε，那么我们可以说函数f(x)在x₀处收敛。

换句话说，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当|x-x₀|<δ时，有|f(x)-f(x₀)|<ε，那么函数f(x)在x₀处收敛。

二、柯西收敛准则的性质柯西收敛准则具有以下几个重要性质：1. 收敛性的唯一性如果一个函数在某点处收敛，那么它在该点处的极限值是唯一确定的。

这意味着如果一个函数在某点处收敛，那么它只能趋于一个确定的极限值，而不可能同时趋于多个不同的极限值。

2. 收敛性的传递性如果一个函数在某点处收敛，并且它的极限值恰好是另一个函数在该点处的极限值，那么这两个函数的复合函数在该点处也收敛，并且它的极限值与原函数的极限值相同。

换句话说，如果f(x)在x₀处收敛于A，g(x)在A处收敛于B，那么复合函数g(f(x))在x₀处也收敛，并且它的极限值也是B。

3. 收敛性的局部性如果一个函数在某点处收敛，那么它在该点附近的任意一个小区间内也收敛。

换句话说，如果f(x)在x₀处收敛，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当|x-x₀|<δ时，有|f(x)-f(x₀)|<ε。

函数极限的柯西收敛准则柯西（Cauchy）收敛准则是判断数列收敛性的一种常用方法，它是分析数学中非常基础且重要的定理之一，可用于证明数列的极限存在性。

柯西收敛准则的基本思想是：一个数列收敛的充分必要条件是该数列是柯西数列。

首先，我们来定义柯西数列。

对于一个实数数列{a_n}，若对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有，a_n-a_m，<ε，则称该数列为柯西数列。

进一步解释，柯西数列的定义表明，当数列的后续项无限接近，趋于无穷大靠拢，无限接近一个常数时，该数列是柯西数列。

现在，我们来证明柯西收敛准则。

假设{a_n}是一个柯西数列，我们需要证明该数列收敛。

首先，由柯西数列的定义可知，对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，有，a_n-a_m，<ε。

这意味着数列中的后续项无限接近，也就是说，存在一个常数L，使得对任意给定的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_n-L，<ε。

换言之，我们可以对任意小的正实数ε，找到一个正整数N，使得当数列的项数超过了N时，数列中的每一项与L的差值都小于ε。

这里的L就是数列的极限值。

所以，根据柯西数列的定义，我们可以得出结论：如果一个数列是柯西数列，那么该数列是收敛的，且极限值是该数列的柯西极限。

具体而言，柯西收敛准则说明了这个性质，对于任何收敛数列，它一定是柯西数列，而柯西数列不一定收敛。

另外，需要注意的是，柯西收敛准则只适用于完备度量空间，而不适用于不完备度量空间。

完备度量空间指的是该度量空间中的任何柯西数列都是收敛的。

总结来说，柯西收敛准则用于判断数列的极限是否存在，它是极限存在性的一个有效判据。

通过验证柯西收敛准则，能够判断数列是否收敛，并找到其极限值。

这一准则在实际问题中具有重要的意义，可用于证明一些数列收敛的性质及其应用。

数列极限和函数极限极限概念是数学分析中最重要的概念，如连续、导数、积分等都要用极限来定义，而且由极限出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好的理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是继续学习数学分析的关键.本文将主要阐述极限的概念、性质、判别方法等问题.1.极限定义1．1 数列极限定义设有数列{}n a 与常数A ，如果对于任意给定的正数ε（不论它有多么小），总存在正整数N ，使得当n N >时，不等式n a A ε-< 都成立，那么就称常数A 是数列{}n a 的极限，或者称数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=.读作“当趋n 于无穷大时，n a 的极限等于A 或n a 趋于A ”.数列极限存在，称数列{}n a 为收敛数列，否则称为发散数列.关于数列极限的N ε-定义，着重注意以下几点：（1）ε的任意性: 定义中正数的ε作用在于衡量数列通项n a 与定数的a 接近程度越ε小，表示接近的越好.而正数可ε以任意的小,说明n a 与可a 以接近到任何程度，然而，尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时的被确定下来，以便依靠它来求出N .（2）N 的相应性: 一般说，N 随的ε变小而变大，由此常把N 写作()N ε，来强调N 是依赖与的ε，但这并不意味着N 是由ε所唯一决定的，重要的是N 的存在性，而不在于它值得大小.另外,定义中n N >的也可以改写成n N ≥.（3）几何意义:对于任何一个以A 为中心，ε为半径的开区间(),A A εε-+，总可以在数列{}n a 中找到某一项N a ，使得其后的所有项都位于这个开区间内，而在该区间之外，最多只有{}n a 的有限项（N 项）.数列是定义在自然数集上的函数,当自变量从小到大依次取自然数时,便得到相应的一系列函数值,其解析表达式为()n a f n =;我们把数列中的n 用x 来替换后就得到了一个函数()f x ,数列和函数的区别在于数列中的点是离散的,而函数是连续的,那么类似的我们也有函数极限的定义. 1．2 函数极限定义1.2.1 x →+∞时函数的极限：设函数()f x 为[),a +∞上的函数，A 为定数，若对任给的0ε>，总存在着正数()M a ≥，使得当x M >时有()f x A ε-<，则称函数()f x 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作()lim x f x A →+∞=.即有()lim 0,0,,x f x A M x M ε→+∞=⇔∀>∃>∀>有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()lim ,lim x x f x A f x A →∞→-∞==的相应的M ε语言成立.对于函数极限的M ε定义着重注意以下几点:（1）在定义中正数M 的作用与数列极限定义中的N 类似,表明x 充分大的程度；但这里所考虑的是比M 大的所有实数x ,而不仅仅是正整数n .（2）当x →+∞时,函数()f x 以A 为极限意味着: A 的任意小邻域内必含有()f x 在+∞的某邻域内的全部函数值.（3）几何意义是:对任给0ε>的,在坐标平面上,平行于x 轴的两条直线y A ε=+与y A ε=-,围成以直线y A =为中心线,宽2ε为的带形区域；定义中的“当x M >时,有()f x A ε-<”表示:在直线x M =的右方,曲线()y f x =全部落在这个带形区域之内.1.2.2 0x x →时函数的极限：设函数()f x 在点0x 的某一去心邻域()'0;Ux δ︒内有定义，A 为定数，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数()'δδ<，使得当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<，则常数A 为函数()f x 在0x x →时的极限，记作()0lim x x f x A →=.即()000lim 0,0,:,x x f x A x x x x εδδδ→=⇔∀>∃>∀-<<+有()f x A ε-<.对应的,我们也有()()0lim ,lim x x x x f x A f x A +-→→==的相应的εδ语言成立.对于函数极限的εδ定义着重注意以下几点:（1）定义中的正数δ,相当于数列极限N ε定义中的N ,它依赖于ε,但也不是由ε所唯一确定的,一般来说, ε愈小, δ也相应地要小一些,而且把δ取得更小些也无妨. （2）定义中只要求函数在的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑在点处的函数值是否有意义,这是因为,对于函数极限我们所研究的是当x 趋于0x 过程中函数值的变化趋势.（3）定义中的不等式00x x δ<-<等价于()0;x U x δ∈，而不等式()f x A ε-<等价于()();f x U A ε∈.于是，εδ定义又可写成：任给0ε>,存在0δ>,使得一切()0;x U x δ∈有()();f x U A ε∈.或更简单的表为:任给0ε>,存在0δ>,使得()()()0;;f Ux U A δε⊂.（4）几何意义是：将极限定义中的四段话用几何语言表述为对任给0ε>的,在坐标平面上画一条以直线y A =为中心线,宽2ε为的横带,则必存在以直线0x x =为中心线、宽为2δ的数带，使函数()y f x =的图像在该数带中的部分全部落在横带内，但点()()0,x f x 可能例外（或无意义）.2.极限性质2．1 数列极限的性质收敛数列有如下性质：（1）极限唯一性:若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限. （2）若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列.（3）若数列{}n a 有极限，则其任一子列{}n a 也有极限.（4）保号性，即若()lim 00n n a a →∞=><，则对任何()()()''0,,0a a a a ∈∈,存在正整数1N ，n 1N 时,()''n n a a a a ><.（5）保不等式性:即若{}n a 与{}n b 均为收敛数列, 若存在正整数1N ，使得当n1N 时有n n a b ，则lim lim n n n n a b →∞→∞≤.（6）数列极限的基本公式（四则运算） 设lim ,lim n n n n x y →∞→∞存在,则()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim lim lim n n n nn n n n n n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n x y x y x y x y x x y y y x y x y →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅=≠≤≤2．2函数极限性质（1）极限唯一性；若极限()0lim x x f x →存在，则此极限是唯一的.（2）局部有界性若()0lim x x f x →存在，则()f x 在0x 的某空心邻域()U x ︒内是有界的，当0x 趋于无穷大时，亦成立. （3）局部保号性若()()0lim 00x x f x A →=><，则对任何正数()r A A <<-,存在()0U x ︒使得对一切()0x U x ︒∈有()()()00f x r f x r >><<，当趋于无穷大时，亦成立.（4）保不等式性若()0lim x x f x A →=，()0lim x x g x B →=，且在某邻域()'0;Ux δ内有()()f x g x ≤，则()()0lim lim x x x x f x g x →→≤.（5）函数极限的基本公式（四则运算）设()()lim ,lim x ax af xg x →→存在,则()()()()()()()()()()()()()()()()lim lim lim lim lim lim lim lim lim 0lim x a x ax ax ax ax ax a x a x ax af xg x f x g x f x g x f x g x f x f x g x g x g x →→→→→→→→→→±=±⋅=⋅=≠通过以上对数列极限与函数极限的介绍,可以知道数列极限与函数极限的本质相同,性质一致.3.极限的判别法3.1 数列极限的判别法（1）单调有界定理：单调有界数列必有极限.证明:不妨设{}n a 为有上界的递增数列.由确界原理,数列{}n a 有上确界,记{}sup n a a =.下面证明a 就是{}n a 的极限.事实上,任给0ε>,按上确界的定义,存在数列{}n a 中某一项N a ,使得N a a ε-<.又由{}n a 的递增性，当n N >时有N n a a a ε-<≤。

函数极限性质一、局部有界性1，若)(lim 0x f x x →存在，则存在0>δ，)(x f 在);(00δx U （即在),(),(0000δδ+⋃-x x x x ）内有界。

2，若)(lim 0x f x x +→存在，则存在0>δ，)(x f 在);(00δx U +（即在),(00δ+x x ）内有界。

3，若)(lim 0x f x x -→存在，则存在0>δ，)(x f 在);(00δx U -（即在)),(00x x δ-）内有界。

4，若)(lim x f x +∞→存在，则存在0>M , )(x f 在),(+∞M 有界。

5，若)(lim x f x -∞→存在，则存在0>M , )(x f 在),,(M --∞有界。

6, 若)(lim x f x ∞→存在，则存在0>M , )(x f 在),(),(+∞⋃-∞M M 有界。

二、局部保号性1，若)0(0)(l im 0<>=→或A x f x x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>δ，在);(00δx U 内有)()(r r x f <>或。

2, 若)0(0)(lim 0<>=+→或A x f x x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>δ，在);(00δx U +(即在),(00δ+x x )内有)()(r r x f <>或。

3, 若)0(0)(lim 0<>=-→或A x f x x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>δ，在);(00δx U -(即在)),(00x x δ-)内有)()(r r x f <>或。

4，若)0(0)(lim <>=∞→或A x f x ，则对任意正数)(A r A r ><或，存在0>M ，在),(),(+∞⋃--∞M M 内有)()(r r x f <>或。

高数大一下知识点总结收敛高等数学是大学理工类学生所必修的一门重要基础课程，它是提高数学素养、培养逻辑思维能力的重要手段。

在大一下学期，我们学习了一系列涉及到收敛的知识点，下面就对这些知识进行总结。

一、收敛的概念与判定在高等数学中，收敛是一个重要的概念，它在数列、函数以及级数等数学对象中都有着重要的应用。

所谓收敛，就是当自变量趋于某一特定值时，函数或数列的值趋近于一个确定的常数。

我们可以通过极限的概念来判定一个函数或数列是否收敛。

对于数列来说，如果数列的极限存在且唯一，则该数列收敛；对于函数来说，如果函数的极限值存在且唯一，则函数收敛。

二、数列的收敛性判定准则1. 单调有界准则：如果一个数列既单调递增，又有上界（下界），则它收敛。

2. 夹逼准则：如果对于数列的每一项，总存在两个数列，一个上界一个下界，它们都收敛于同一个极限，那么原数列也收敛于该极限。

3. 敛散性的判定：如果一个数列没有极限，或者它的极限值为无穷大或无穷小，则该数列发散。

三、函数的收敛性判定准则1. 函数极限存在性：如果一个函数在某一点的左极限和右极限都存在且相等，则该函数在该点处收敛。

2. 柯西收敛准则：如果对于任意正数ε，存在一个正数δ，使得当x满足0 < |x - x0| < δ时，对应的函数值满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在x0处收敛于L。

四、级数的收敛性判定准则级数是由数列的和所构成的数列，在判断级数的收敛性时，我们可以使用以下准则：1. 正项级数收敛准则：如果一个级数的各项都为非负数且单调递减，则该级数收敛。

2. 比值判别法：对于一个级数，如果存在正数q，使得当n趋于无穷大时，|an+1/an| < q，那么级数收敛；如果 |an+1/an| > 1，那么级数发散；如果 |an+1/an| = 1，那么该判别法不确定。

3. 积分判别法：对于一个正项级数，如果存在一个正函数f(x)，使得当n趋于无穷大时，an = f(n)关于x的定积分收敛，则级数收敛；如果an = f(n)关于x的定积分发散，则级数发散。

函数极限的柯西收敛准则函数极限是微积分学中的重要内容，它描述了函数在某一点处的趋近性质。

柯西收敛准则是判定函数极限存在与否的一种准则，它告诉我们如何根据函数的收敛性质来判断函数极限的存在性。

本文将围绕柯西收敛准则展开讨论，并详细解释该准则的原理和应用。

柯西收敛准则是由法国数学家柯西提出的，它是基于数列收敛性质推广而来的。

在数列收敛的情况下，柯西收敛准则告诉我们，当数列中的元素足够接近时，它们的极限存在且唯一。

同样地，对于函数而言，柯西收敛准则也可以用来判断函数极限的存在性。

柯西收敛准则的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当函数f(x)中的任意两个自变量x1和x2满足|x1-x2|<δ时，对应的函数值f(x1)和f(x2)满足|f(x1)-f(x2)|<ε。

换句话说，对于任意给定的精度ε，只要自变量足够接近，函数值也会足够接近。

柯西收敛准则的原理是基于函数的连续性和函数极限的定义。

在数学中，连续性描述了函数在某一点处的光滑性，而函数极限描述了函数在某一点处的趋近性。

柯西收敛准则将这两个性质结合起来，通过自变量的足够接近来推断函数值的足够接近。

柯西收敛准则的应用非常广泛。

在实际问题中，我们经常需要判断函数极限的存在性并进行相关的计算。

通过柯西收敛准则，我们可以确定自变量的取值范围，从而得到函数极限的近似值。

这对于优化问题、数值计算和科学研究等领域都具有重要意义。

举个例子来说明柯西收敛准则的应用。

考虑函数f(x) = 1/x，在x 趋于无穷大时，该函数的极限应为0。

为了验证这个结论，我们可以使用柯西收敛准则。

对于任意给定的正数ε，我们需要找到一个正数δ，使得当|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<ε成立。

由于f(x) = 1/x是一个单调递减的函数，所以只需考虑x1>x2的情况。

假设x1>x2，则有f(x1)-f(x2) = 1/x1-1/x2 = (x2-x1)/(x1*x2)。

任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}高数定理定义总结高数定理定义总结高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那么数列{xn}肯定有界。

假如数列{xn}无界，那么数列{xn}肯定发散；但假如数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}肯定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)假如数列{xn}收敛于a，那么它的收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。