海涅定理在函数极限证明中的应用

海涅定理数列极限摘要：一、海涅定理简介二、海涅定理与数列极限的关系三、海涅定理的应用举例四、总结正文：一、海涅定理简介海涅定理，又称海涅- 博雷尔定理，是数学分析中的一个重要定理。

该定理是由德国数学家卡尔·弗里德里希·海涅（Carl Friedrich Heine）和法国数学家亨利·博雷尔（Henri Borel）分别于1870 年和1895 年独立发现的。

海涅定理主要描述了实数域上有限区间上的连续函数的性质，为实数域上的函数极限运算提供了一个重要依据。

二、海涅定理与数列极限的关系海涅定理与数列极限密切相关。

在数列极限的定义中，我们常常需要求解一个数列满足某种条件时的极限。

而海涅定理正是为我们提供了这样一个求解方法。

通过海涅定理，我们可以判断一个数列的极限是否存在，以及求解该极限的值。

三、海涅定理的应用举例下面我们通过一个具体的例子来说明如何运用海涅定理求解数列极限。

例：设数列{an}满足：an = (1/n)^(1/n)，求数列{an}的极限。

解：根据海涅定理，我们需要判断函数f(x) = (1/x)^(1/x) 在区间(0, +∞) 上是否连续。

由于f(x) 在区间(0, +∞) 上显然连续，因此我们可以直接运用海涅定理求解数列{an}的极限。

根据海涅定理，数列{an}的极限为：lim(an) = lim(f(n)) = f(lim(n)) = 1所以，数列{an}的极限为1。

四、总结海涅定理在数列极限的求解中发挥着重要作用。

通过运用海涅定理，我们可以方便地判断一个数列的极限是否存在，以及求解该极限的值。

海涅定理反证引言海涅定理是数学分析中的一个重要定理，也被称为海涅-博雷定理。

它是由德国数学家埃德蒙·海涅和恩斯特·博雷于19世纪提出的。

该定理在数学分析、实分析和复分析等领域有广泛的应用。

本文将详细介绍海涅定理的背景、原理和证明过程，并通过反证法展示其重要性和应用。

背景在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。

一个函数在某点上连续，意味着在该点的邻域内，函数的值可以无限接近于该点的函数值。

然而，并非所有函数都满足连续性的要求。

因此，数学家们提出了一系列定理和方法来研究函数的连续性和不连续性。

海涅定理的原理海涅定理是关于函数连续性的一个重要定理。

它给出了一个函数在闭区间上连续的充要条件。

具体来说，对于一个实函数f(x)，如果它在闭区间[a, b]上满足以下两个条件：1.函数f(x)在[a, b]上有界，即存在一个常数M，使得对于所有的x∈[a, b]，有|f(x)|≤M；2.函数f(x)在[a, b]上满足达布(Darboux)性质，即对于任意的实数α和β(α<β)，存在一个实数γ，使得对于[a, b]上的任意x，都有f(γ)=γ。

那么，函数f(x)在闭区间[a, b]上连续。

证明过程为了证明海涅定理，我们使用反证法。

假设函数f(x)在闭区间[a, b]上不连续，即存在某点c∈[a, b]，使得函数f(x)在c点不连续。

根据函数的连续性定义，对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得对于[a, b]上的任意x，如果|x-c|<δ，则有|f(x)-f(c)|<ε。

现在我们选择一个特殊的ε，令ε=1。

根据函数的不连续性定义，对于任意的δ>0，存在一个x∈[a, b]，使得|x-c|<δ，但是|f(x)-f(c)|≥1。

我们可以构造一个数列{δn}，其中δn=1/n，n∈N。

根据函数的不连续性定义，对于每个δn，都存在一个x∈[a, b]，使得|x-c|<δn，但是|f(x)-f(c)|≥1。

海涅归结原理海涅定理是德国数学家海涅（Heine）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。

海涅原理搭建起了数列极限和函数极限之间的桥梁，求函数极限问题可以转化成为求数列极限的问题，求数列极限的问题也可以转化成为求函数极限的问题。

同样也可以利用此定理及间接的判断敛散性。

定义：若函数f(x)在Uo(x0)有定义 , limx→x0f(x)=A∈R⟺∀xn∈Uo(x0) limn→∞xn=x0, limn→∞f(xn)=A 注：是子数列(注：xn是子数列)应用一：证明函数极限不存在时可以用海涅定理1∘: 若存在子数列xn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0 使{f(xn)} 发散，则limx→x0f(x) 不存在。

2∘: (双子数列方法)若存在xn,yn∈U∘(x0),limn→∞xn=x0,limn→∞yn=x0 ,且满足limn→∞f(xn)=A,limn→∞f(yn)=B ，若A≠B ,则limx →x0f(x) 不存在,反之则存在。

3∘: 若limx→x0f(x) 存在，xn∈U∘(x0), 且xn≠x0 , limn→∞xn=x0，limn→∞f(xn)=A ⟹limx→x0f(x)=A例：求证limx→∞sin⁡x 不存在。

证明：方法一：任取子数列：时xn=π2+nπ(n→∞时,xn→∞)f(xn)=1,−1,1,−1,1,−1,1,−1⋯⋯由于limn→∞f(xn) 不存在，所以limx→∞sin⁡x .方法二：任取两个收敛的子数列，但是可证出极限值不相等——发散令yn=nπ,limn→∞yn=0,xn=2nπ+π2,limn→∞xn=1 ,两个子数列均是收敛的，但是收敛的极限值不同，所以函数f(x)=sin⁡x 是发散的.例：若f(x) 为R 上以t 为周期的周期函数，limx→∞f(x)=A ,求f(x) . 在证明过后应当作结论记住(在证明过后应当作结论记住)注解：利用周期函数的性质找出趋向于∞的子数列.解：xn=x,x+t,x+2t⋯⋯x+ntf(x)=f(x+t)=f(x+2t)=⋯⋯=f(x+nt) , 则当x→∞时，[xn+nt]⟶+∞，∀x0 , limn→∞f(x0+nt)=f(x0) ,所以limn→∞f(x)=f(x0)又∵x0 的任意性∴f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(3x) , limn→0+f(x)=A求f(x)解：∵f(x)=f(x3)=f(x32)=f(x33)=⋯⋯=f(x3n)limn→+∞x3n=0+ ⇒∀x0 , limn→∞f(x03n)=f(x0) ⇒limx→0+f(x)=f(x0)因为x0 的任意性，所以f(x0)=f(x)=A例：设f(x) 在(0,+∞) 上有定义，∀x∈R+, 有f(x)=f(x3) , limx→∞f(x)=A∈R求f(x)解：f(x)=f(3x)=f(32x)=⋯⋯=f(3nx) ，limn→∞3nx→∞∀固定x0 ,有limn→∞f(3nx0)=f(x0) limn→∞f(x)=f(x0)又由于x0 的任意性，推广得到f(x0)=f(x)所以：f(x)=A总结：先依据周期性找到合适的递推公式，先固定任意的x0 ,根据海涅定理得到limx→∞f(x)=f(x0) ,最后根据x0 的任意性推广到所有的x .。

目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。

它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。

国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。

国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。

比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。

海涅定理极限海涅定理是极限理论中的一个重要概念，它由德国数学家海涅·韦洛斯基提出。

海涅定理在实数域中给出了数列收敛的必要和充分条件，以及收敛数列的性质。

本文将对海涅定理进行详细介绍，并探讨其在极限理论中的应用。

1. 引言极限理论是微积分和数学分析中的基础理论之一，它研究数列和函数的极限性质。

在极限的定义和性质中，海涅定理占据着重要的地位。

海涅定理不仅被广泛应用在数学分析领域，也在物理、工程学等科学领域具有重要作用。

2. 海涅定理的定义在数学中，海涅定理给出了数列收敛的必要和充分条件。

对于一个实数数列{a_n}，当存在实数L，对于任意给定的正实数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|a_n - L|<ε成立，即对于任意给定的精度ε，总存在一个正整数N，使得数列的后续项都与实数L的差的绝对值小于ε。

如果满足这个条件，那么数列{a_n}就是收敛的，L为数列的极限。

3. 收敛数列的性质根据海涅定理，我们可以得出一些关于收敛数列的性质。

首先，收敛数列是有界的，即存在一个正实数M，使得对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M成立。

其次，数列的极限是唯一的，即如果数列收敛，那么它的极限是唯一确定的。

此外，收敛数列的任意子列都收敛于相同的极限。

4. 应用举例：极限计算海涅定理在实际计算中具有重要作用。

例如，我们可以利用海涅定理来计算一些复杂极限。

假设我们需要计算极限lim(n→∞)(1+1/n)^n，可以构造数列{a_n}，其中a_n=(1+1/n)^n。

利用数列的性质和海涅定理，我们可以证明这个极限等于常数e≈2.71828。

这个例子展示了海涅定理在极限计算中的应用。

5. 应用举例：泰勒展开海涅定理在泰勒展开中也有重要应用。

泰勒展开是将函数在某一点展开成无穷级数的形式，可以用于近似计算函数的值。

根据海涅定理，我们可以证明如果函数在某一点可导，那么其泰勒展开式在该点处收敛于该函数本身。

这为我们提供了一种近似计算复杂函数的方法。

海涅(heine)定理的推广及其应用海涅(Heine)定理是一种复数分析函数的理论，即函数的复杂度在某些重要的性质上可以被表示为极小的误差。

海涅定理的推广与应用也在很大程度上对提高现代技术的效率起到了重要的作用，它在许多领域都有广泛的用途。

一、海涅(heine)定理的推广1. 闭弦定理：认为在某一条闭合弦上，函数上有若干个圆点，若函数在它们不同点上有不同值，则在此弦上函数可以用有限项及有限次次数的弦节上的相等改变构成，即在一定条件下可以表示函数值。

2. Weierstrass定理：即给定一个无穷级数和一个连续函数，那么有无穷多个函数可以用给定的无穷级数表示，即无论有多高的精度要求，都可以用某个无穷级数来表示函数。

3. 高尔夫定理：这是一种特殊的海涅定理，它对三次多项式函数推广了海涅定理，即当使用一组有限点坐标序列表示三次多项式时，它的起点和终点的坐标用有限次的差值表示，假定其经过的所有点都可以用有限次的差商表示。

二、海涅(heine)定理的应用1. 对分段函数进行拟合：可以使用海涅定理，将函数细分成多段，有无限多处拟合细节，在每一段上用海涅定理可以将函数精确表示。

2. 对大量数据的拟合：在实际的数学处理中，使用海涅定理通常可以有效地处理大量数据，使其具有拟合效果，可以大大提高运算速度，有助于减少冗余数据，减轻小规模计算机的负担。

3. 用于动态可视化展示：可以将海涅定理用于多维动态可视化展示中，将复杂的应用场景、多维数据拟合在二、三维表面，更好地将数据动态展现出来，增强用户的可视体验。

4. 机器学习：机器学习中的模型往往都与海涅定理相关，可以使用海涅定理的拟合算法，让模型的拟合更加准确、鲁棒。

总的来说，海涅定理的推广与应用对提高技术的效率有着重要的作用，在几乎所有领域都有其重要的应用，可以给人们带来极大的方便。

海涅定理应用条件
嘞个海涅定理啊，它在数学里头算是个有板有眼的好东西，但用起它来，还是得讲究点儿门道，不是随便拿过来就能使的。

首先嘞，你得晓得它主要是讲啥子——就是函数在某点处的极限，跟它在这个点附近函数值的变化有莫子关系。

说白了，就是看你能不能通过“夹逼”或者“放大缩小”那些个函数值，来揣摸出那个极限到底是个啥子样子。

要想用好这个定理，条件得摆得板正：第一，你研究的这个函数，在你要找极限的那个点附近，得有定义，不能是空的，也不能是断的，得连续不断才行；第二，还得有个“逼近”的数列，这个数列的极限得是你想要求的那个函数极限的点，而且啊，这个数列在函数里头对应的函数值，也得能反映出函数在那个点附近的“性格”，就是说，这些函数值得能随着数列的极限靠近而靠近那个真正的函数极限。

所以啊，用海涅定理的时候，心里头得有个谱，既要看好函数的“脸色”，又要选好数列这个“探路先锋”，两者配合好了，才能把那复杂的极限问题给捋顺了。

不然的话，就像瞎子摸象，摸了半天也不晓得大象到底长啥样。

用海涅定理证明函数连续全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在数学领域中，函数的连续性是一个非常重要的概念。

连续函数在数学分析、微积分以及其他数学领域中都有着广泛的应用。

在证明一个函数的连续性时，通常会使用一些重要的定理来帮助进行推导。

海涅定理（Heine Theorem）就是其中的一个经典定理，它被广泛应用于证明函数的连续性。

海涅定理是德国数学家埃德华·海涅在19世纪提出的一则定理，它是一种用来判断函数在某一点处是否连续的方法。

海涅定理的主要内容是：如果函数f在某一点a附近的每一个点处极限存在且相等，则该函数在点a处连续。

简而言之，海涅定理是一个判断函数在某一点处是否连续的非常有用的方法。

接下来，我们将通过一个具体的例子来演示如何使用海涅定理来证明一个函数在某一点处的连续性。

考虑以下函数：\[ f(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 2 \\4 & \text{if } x = 2\end{cases}\]我们将使用海涅定理来证明函数f在点x=2处是连续的。

我们需要验证函数f在点x=2附近的每个点处的极限。

由于我们已经知道当x=2时，函数f取值为4，因此我们只需要验证当x接近2时，函数f在这些点处的极限。

首先考虑x>2时的情况，即极限\lim_{x\to 2^+} f(x)。

根据函数f 的定义，当x>2时，函数f(x)等于x^2。

我们可以直接计算极限值：\[ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} x^2 = 4 \]通过以上计算，我们得知当x>2和x<2时，函数f在点x=2的附近的每个点处的极限都等于4。

根据海涅定理，我们可以得出结论：函数f在点x=2处是连续的。

通过以上例子，我们可以看到海涅定理在证明函数连续性时的重要性和有效性。

海涅定理为我们提供了一种简单而直接的方法来判断函数在某一点处的连续性，使得数学分析问题更加清晰和简明。

用海涅定理证明函数连续1. 引言1.1 海因定理简介海涅定理（Heine's theorem）是数学分析中的一个重要定理，用于证明某些函数的连续性。

这一定理最初由德国数学家埃德华·海因（Eduard Heine）于19世纪提出，被广泛运用于分析学中的函数理论和极限理论中。

海因定理简要地描述了一个连续函数的性质：如果一个函数在某一点处连续，那么它在该点的某个邻域内也是连续的。

换言之，函数在某一点处的连续性可以通过该点附近的情况来刻画。

海因定理为我们提供了一种简单而直观的方法来证明函数的连续性。

通过分析函数在某一点的邻域内的变化情况，我们可以推断出函数在该点处是否连续，从而帮助我们更深入地理解函数的性质和行为。

下面我们将详细介绍海因定理的证明方法以及函数连续性的概念，以便更好地理解这一重要定理在数学分析中的应用和意义。

1.2 函数连续性概念函数连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

简单来说，如果函数在某点处的极限等于该点的函数值，那么我们就说这个函数在该点是连续的。

换句话说，如果函数的图像在该点处没有突变或断裂，就可以称之为连续函数。

连续性的概念在数学中具有重要的意义，它为我们研究函数的性质提供了基本的判断依据。

通过连续性的概念，我们可以推断函数在某个区间内的性质，例如是否存在极值点、是否可积等。

而且，在实际应用中，连续函数经常出现在物理学、工程学以及经济学等领域中，因此理解函数的连续性对于解决实际问题具有重要的指导作用。

函数连续性是数学分析中一个基本而重要的概念，它不仅帮助我们理解函数的性质和行为，还在实际应用中有着广泛的应用。

在本文中，我们将通过海因定理来证明函数的连续性，进一步探讨函数连续性的定义及其在数学分析中的应用。

【2000字】2. 正文2.1 海因定理的证明方法海因定理的证明方法可以分为几个关键步骤。

我们需要先了解海因定理的表述：若函数f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，且在开区间(a,b) 上可导，则在开区间(a,b) 上必存在一点\xi，使得f'(\xi)=0。

海涅定理数列极限摘要：一、引言1.介绍海涅定理2.阐述数列极限的重要性二、海涅定理与数列极限的关系1.海涅定理的定义与内容2.数列极限与海涅定理的联系三、海涅定理在数列极限中的应用1.利用海涅定理求解数列极限2.海涅定理在数列极限证明中的应用四、结论1.总结海涅定理在数列极限中的重要作用2.展望数列极限在数学领域的发展前景正文：一、引言海涅定理，作为数学分析领域中的一个重要定理，对于广大数学研究者来说并不陌生。

它不仅丰富了数学理论体系，还在解决实际问题中发挥着关键作用。

而数列极限，作为微积分的基础概念，同样具有重要意义。

本文将围绕海涅定理与数列极限的关系展开讨论，以期加深对此的理解。

二、海涅定理与数列极限的关系1.海涅定理的定义与内容海涅定理，又称柯西- 施瓦茨- 海涅定理（Cauchy-Schwarz-Harnack Inequality），是数学分析中的一个基本不等式。

该定理指出，对于任意两个实数a 和b，以及任意正整数n，都有(a^n + b^n)^2 ≤ (a^2 + b^2)(a^n + b^n)。

海涅定理在数学分析的许多领域都有着广泛的应用，如求解微分方程、证明不等式等。

2.数列极限与海涅定理的联系数列极限，作为微积分的基础概念，表示数列{a_n}的一种性质，即当n 趋向于无穷大时，a_n 的值趋于某个确定的常数。

数列极限在数学分析中占据着重要地位，它是研究函数极限、连续性、微积分等概念的基础。

在海涅定理中，我们可以将数列极限运用到求解和证明过程中。

例如，在证明海涅定理时，我们可以通过利用数列极限的性质，将不等式逐步逼近，从而证明海涅定理的正确性。

三、海涅定理在数列极限中的应用1.利用海涅定理求解数列极限在求解数列极限时，海涅定理为我们提供了一种有效的方法。

例如，对于数列{a_n} = (1 + 1/n)^n，我们可以利用海涅定理求解其极限。

通过计算可得，该数列的极限为e（自然对数的底数），即lim (1 + 1/n)^n = e。

海涅定理的一些应用郭金生;王爱斌【摘要】总结了海涅定理,归纳列举了海涅定理及其推广的实际应用.【期刊名称】《河西学院学报》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】6页(P32-37)【关键词】海涅定理;极限;导数【作者】郭金生;王爱斌【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000,;双岘初级中学,甘肃静宁743406【正文语种】中文【中图分类】O171海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的平台，它给出了两者之间的内在联系.由文献［1］有关知识，我们可以根据海涅定理的必要性，将求函数的极限转化为求数列的极限；同样根据海涅定理的充分性，也可以将求数列的极限转化为求函数的极限.即函数极限的全部性质都可用数列极限的一些性质来加以证明.根据文献［2］，判断函数极限是否存在还可以用归结原则的必要条件.文章总结了文献［3］和文献［4］中的海涅定理的推广知识.此外，文献［5］和文献［6］中的一些例题在应用海涅定理及其推广知识解题时更加方便了.定理1［1］（海涅定理）设在内有定义.存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列极限都存在且相等.海涅定理的逆否命题是:若可找到一个以为极限的数列使不存在，或找到两个都以为极限的数列与使与都存在而且不相等，则不存在.定理2［1］设内有定义，若对任何数列且，极限都存在，则所有这些极限都相等.3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明例1 若与皆存在，且则有证明设又设是任何一个含于函数f, g的定义域并且以x0为极限的数列.因此由海涅定理的必要性可得而根据数列极限的运算法则有又由于数列的任意性和海涅定理的充分性得例2 证明:若对任意的有则有证明任作一数列且则由海涅定理知因为所以所以由数列极限的迫敛性知又由海涅定理的充分性知存在且收敛于b.例3 若极限存在，则此极限是唯一的.证明设A和B都是f(x)当时的极限，即作数列且由海涅定理知由数列极限存在唯一性知A=B.3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限我们在求数列的极限时，在直接求不好求的情况下，就可转换为求与它相对应函数极限，再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限.例4 求极限解因为在处连续.当由海涅定理可知例5 求极限解由海涅定理可知再由洛必达法则可得所以3.3 海涅定理在判断常量函数中的应用判断当x→+∞时，f(x)的极限为A的周期函数是否为常量函数.例6 设函数在(0,+∞)上满足 f(2x)=f( x)，且.证明证明设在(0,+∞)上不恒为A，则存在一点使得又因为在上满足方程，于是则得到数列而，由归结原则知这与B≠A相矛盾，故3.4 利用海涅定理的逆否命题证明某些函数极限不存在如果能够找到一个以为极限的函数列，使得不存在；或者可以找到两个都以为极限的数列与数列，使得与都存在而且都不相等，那么不存在.例7 证明不存在.证明取数列则易知由海涅定理逆否命题可知3.5 利用海涅定理判断函数在某点的可导性利用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断函数在某点的可导性.例8 证明函数为Dirichlet函数）在原点可导而在其他点处不可导.证明因为所以在x=0处可导且，当时，设数列是大于且趋于的有理数列，数列是大于且趋于x0的无理数列.于是当x0为无理数时，因为而故由海涅定理可知，在无理点x0处不可导.当x0为非零有理数时，因为而由海涅定理可知，在有理点x0处也不可导，所以只在原点可导，而在其他点处不可导.3.6 海涅定理的推广的应用例9 设函数在区间内有定义，且单调递增，则对任意与都存在，且证明设是区间内任意收敛于的递增数列.由已知条件知也是递增数列，且有上界就是的一个上界），所以数列收敛.由定理7，知存在.又因为任意，有，所以，根据极限的保号性，有同理可证故结论得证.例10 若函数在开区间单调递增且有界，则极限与都存在.证明对内任意收敛于a的单调减数列，由条件知函数列也单调递减且有界.故由数列的单调有界收敛原理知也收敛，由定理6的充分性知存在.同理可证也存在. ［1］华东师范大学数学系.数学分析（第3版）［M］.北京：高等教育出版社，2001：53.［2］程其囊.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，1990.［3］欧启钩.关于海涅定理的一个推广［J］.三明师专学报，1999，28（2）：12-13.［4］鲜思东.Heine定理在极限判别及运算中的应用［J］.重庆邮电学院学报：自然科学版，2006，18（1）：139-140.［5］张祖峰，宁群.函数极限性质和存在性得证明［J］.宿州师专学报，2004，19（1）：85-88.［6］朱国卫.以海涅定理为例谈数学分析中的直觉、证明与感悟［J］.吉林省教育学院学报，2010，26：153-154.。

２００６年９月保山师专学报Ｓｅｐ．，２００６第２５卷第５期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＢａｏｓｈａｎＴｅａｃｈｅｒｓ′ＣｏｌｌｅｇｅＶｏｌ．２５Ｎｏ．５收稿日期：２００６－０７－０４作者简介：李成林（１９６８—），男，云南曲靖人，保山师范高等专科学校数学系，讲师，硕士，研究方向为应用泛函分析和非光滑分析。

海涅定理及其运用李成林郑继刚（保山师范高等专科学校数学系，云南保山６７８０００）摘要：揭示了海涅定理的内涵，分别给出了不同函数极限的海涅定理，归纳总结了它的应用并举出实例。

关键词：海涅定理；极限；导数中图分类号：Ｏ１７文献标识码：Ａ文章编号：１００８－６５８７（２００６）０５－０５０－０３海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。

根据海涅定理，求函数极限可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。

因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。

根据海涅定理的必要条件还可以判断函数极限是否存在。

所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。

１海涅定理的内涵海涅定理是德国数学家海涅（Ｈｅｉｎｅ）给出的，应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。

海涅定理ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ!任意数列｛ｘｎ｝，ｘｎ≠ｘ０，且ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝ｘ０，有ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａ。

两点说明：（１）根据海涅定理的充分性，可以把数列极限转化成函数极限，但要注意，数列｛ｘｎ｝是任意的。

例如，取ｘｎ＝２ｎ，ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝＋∞，有ｌｉｍｎ→∞（－１）ｘ２ｎ＝１，但ｌｉｍｘ→∞（－１）ｘ不存在。

（２）若可找到一个以ｘ０为极限的数列｛ｘｎ｝，使ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）不存在，或找到两个都以ｘ０为极限的数列｛ｘ＇ｎ｝与｛ｘ＂ｎ｝，使ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘ＇ｎ）与ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘ＂ｎ）都存在而不相等，则ｌｉｍｘ→ｘ０ｆ（ｘ）不存在。

对于下列三种函数极限，分别有其如下的海涅定理ｌｉｍｘ→∞ｆ（ｘ）＝Ａ!对任意数列｛ｘｎ｝，且ｌｉｍｎ→∞ｘｎ＝＋∞，有ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）＝Ａ!对任意数列｛ｘｎ｝和任意!＞０，存在Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ＜ａ＜ｘｎ＋!，且ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａｌｉｍｘ→ａ＋ｆ（ｘ）＝Ａ!对于任意数列｛ｘｎ｝和任意!＞０，存在，当Ｎ＞０，当ｎ＞Ｎ时，有ｘｎ－!＜ａ＜ｘｎ，且ｌｉｍｎ→∞ｆ（ｘｎ）＝Ａ．２海涅定理的应用海涅定理的应用非常广泛，主要用于求函数和数列的极限，归纳起来主要有以下几方面。

目录1引言 (1)2文献综述 (1)2.1 国外研究现状 (1)2.2 国内研究现状 (1)2.3 国内外研究现状评价 (2)2.4 提出的问题 (2)3 Heine定理及其不同结论 (2)3.1 Heine定理的证明 (2)3.2 Heine定理的推广 (4)4 Heine定理的应用 (6)4.1 判断、证明函数极限的存在性 (6)4.2 利用Heine定理求极限 (8)4.2.1 求函数极限 (8)4.2.2 求数列极限 (8)4.3 证明函数极限的性质 (9)4.4 判断函数在某点的可导性 (11)4.5 判断级数敛散性 (12)4.6 对函数()x f的局部利用海涅定理，求函数()x f的极限 (13)4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 (14)5 总结 (16)5.1 主要发现 (16)5.2 启示 (17)5.3 局限性 (17)5.4 努力方向 (17)参考文献 (18)1Heine定理及其应用摘要Heine定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。

它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。

国内外有关Heine定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。

国外对Heine定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine定理的定义及应用仍有值得研究的问题。

比如：Heine定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。