数字信号处理 第7章 上

N 1 2 在这种情况下，N=5， 2
零点是互为倒数的两组共轭对。
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2）零点zi在单位圆上，但不在实轴上
即： zi ri e
j i
, ri 1, i 0或
1 j i 1 j i 2
H i ( z ) (1 z e )(1 z e 1 2 cos i z z
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四种线性相位FIR滤波器的群延 迟响应都是：
当N为奇数时，滤波器的群延迟响 应为整数个抽样间隔；当N为偶数时， 滤波器的群延迟为整数个抽样间隔加上 1/2个抽样间隔。
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5*、零点位置
线性相位FIR滤波器的零点必是 互为倒数的共轭对（共轭镜像）。
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线性相位FIR滤波器的零点结构:
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1）零点zi既不在实轴上，也不在单位圆上
15
特点：
幅度函数H(ω)(不同于幅频响应)包 括正负值，相位函数是严格线性相位， 说明滤波器有(N-1)/ 2个抽样的延时，它 等于单位抽样响应h(n)长度的一半。
小结： 当h(n)为偶对称时，FIR滤波器是准 确的线性相位滤波器。
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( )
0

2

N 1 ( ) 2
( N 1)
即：zi
H i ( z ) (1 z ri e )(1 z ri e
ri e , ri 0, i 0
1 j i 1 j i
j i
)
四个 零点
1 1 j i 1 1 j i 1 z e 1 z e ri ri 1 2 3 4 1 az bz az z
jn
H (e ) e
j
比较等式两边的实部和虚部，有：
N 1 j H (e ) cos( ) h(n) cos(n) n 0 N 1 H (e j ) sin( ) h(n) sin(n) n 0
8
sin( ) 所以： tan( ) cos( )
第七章 有限长单位冲激响应(FIR) 数字滤波器的设计方法
IIR滤波器优点在于可利用模拟滤波器设计的 结果，但有明显缺点：就是相位非线性，若 需要线性相位，则要采用全通网络进行校正。 FIR 滤波器的优点正在于线性相位的可实现 性，因此，我们最感兴趣的是具有线性相位 的滤波器。而对非线性相位的FIR滤波器，一 般不作研究，可用IIR滤波器来代替。
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最简单的办法是直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地想象为h(n)是通过 一个“窗口”所看到的一段hd(n)，因此 ，h(n) 也可表达为hd(n)和一个“窗函数”的乘积， 即 h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数RN（n ），以后还可看到，为了改善设计滤波器的 特性，窗函数还可以有其它的形式，相当于 在矩形窗内对hd(n)作一定的加权处理。
2
N ( 1) 2 3 ( N ) 2

20
正交变换网络
h(n)偶对称时的线性相位特性
h(n)奇对称时的 相移线性相位待性
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4、幅度函数的特点（分四种情况）
1）h（n）偶对称，N为奇数
N 1 N 1 cos n cos ( N 1 n) 2 2
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线性相位FIR滤波器的 H ( z )只可能 由以上这几种因子的组合构成。 可以根据实际的频率响应的需要， 选择合适的零点组合方式，以达到控 制频率响应的目的。
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二、FIR滤波器的设计方法
1、窗函数设计法（傅立叶级数法）
1）思路和设计方法 一般来说，理想频响 是分段恒定， 在边界频率处有突变点，所以，这样得到的 理想单位脉冲响应hd(n)往往都是无限长序 列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限 长的，问题：怎样用一个有限长的序列去近 似无限长的hd(n)？
H ( z)
1 sin n 2
处为零， 在 0,2 处为零， 在 z 1 处为零点。 在 0,2 处呈奇对称，
因此 H ( ) 在 0,2 处呈奇对称， 在 (对称中心) 处呈偶对称。 H ( ) H (2 )
其对称中心在n＝( N-1 ) / 2 (不一定为 整数)处，则滤波器具有准确的线性相位。 具体: n＝0 和n＝N-1, n＝1 和n＝N-2, … 对称.
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线性相位条件推导：
系统函数可以写成：
H (e ) H (e ) e
j j j ( )
H ( )e
j ( )
如果是线性相位特性，则有：
4
一、线性相位FIR滤波器的特点
1、单位冲激响应h(n)的特点：
FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的， 其Z变换为：
在有限z平面有（N-1）个零点， 在z=0处有（N-1）阶极点。
5
2、线性相位条件
如果FIR滤波器的单位抽样响应h(n)为 实数，而且满足以下任一条件：
偶对称 h(n)＝h(N-1-n) 奇对称 h(n)＝-h(N-1-n)
1
)
N 1 1 在这种情况下，N=3， 2
零点是一组共轭对。
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3）零点zi在实轴上，但不在单位圆上
即： zi ri e
j i
, ri 1, i 0或
1
取“+”相当于 i ，取“-”相当于 i 0
1 1 H i ( z ) (1 ri z ) 1 z r i 1 1 2 1 r z z i r i
注意：
前面已介绍过IIR滤波器的设计，但它 的各种变换法，对FIR滤波器设计是不适 用的， 其原因在于系统函数只是Z-1的多项 式，而IIR设计中是利用Z-1的有理分式。
3
内容包括：
一、线性相位FIR滤波器的特点
二、FIR滤波器的设计方法
1、窗函数设计法； 2、频率抽样设计法； 3、最优化设计法 ——切贝雪夫最佳一致逼近法
（偶对称）
此时，除产生线性相移外，还有

2
固定相移
10
四种类型线性相位FIR数字滤波器: N为奇数 N为奇数
N为偶数
N为偶数
11
12
3、线性相位FIR滤波器频率响应的特点
由
及 又
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上式两边同时加H（Z），再用2去除得：
取“+”表示偶对称： 取“-”表示奇对称：
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1）h（n）为偶对称
幅度函数 相位函数
（如希尔伯特变换）
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可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个 900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900， 因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信 号为正交的）。 0, ( )
2
0
( )
2

N , ( ) ( 1) 2 3 2 , ( ) ( N ) 2
处呈奇对称。 H () H (2 ) 所以低通、高通或带阻滤波 器不能用，但适合于设计带 通、微分器和线性相位900 移相器（希尔伯特变换器）。
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4）h（n）奇对称，N为偶数
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因此 H ( )
1 sin n 在 0,2 2
2
ri 1 1 2 a 2 r cos i , b ri r 2 4 cos i38 i i
也可转化成两个实系数二阶多项式：
1 H i ( z ) 2 1 2ri cos i z 1 ri 2 z 2 ri 2 2ri cos i z 1 z 2 ri
N 1 n 0 N 1 n 0
h(n) cos(n)
n 0
n 0 N 1
h(n) sin(n)
N 1

h(n) sin( ) cos(n) h(n) cos( ) sin(n) 0 h(n) sin( n) 0
n 0 N 1
1
FIR滤波器的的特点：
1）可以具有严格的线性相位特性及 任意的幅度特性，波形失真小；
2）FIR滤波器的单位抽样响应是有限长的， 极点在z-平面原点，因而系统稳定； 3）只要经过一定的延时，任何非因果有 限长序列都能变成因果的有限长序列， 因而可用因果系统逼近非因果系统；
2
4） FIR滤波器的单位抽样响应是有限 长的，可用FFT快速高效处理信号； 5）同样幅度衰减特性，FIR比IIR阶次高；
上式也是一个偶对称。
22
所以：
即：
23
cos(n ) 在 0, ,2 处均为偶对称
因此
H ( ) 在 0, , 2 (对称中心)处
四种滤波器都可设计。
也为偶对称,
（低通、高通、带通、带阻） H ( ) H (2 )
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2）h（n）偶对称，N为偶数
有
N 1 , , ( ( ) (N 1) ) 2 ) ( 2
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2）h（n）为奇对称
幅度函数 相位函数
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特点：
相位函数仍是线性，但在零频率(ω＝ 0 )处有π/2的截距。不仅有( N-1)个抽样的 延时，还产生一个π/ 2的相移。 小结 ： 当 h( n )为奇对称时，FIR滤波器将是 一个具有准确相位的正交变换网络。
( )
d ( ) 即群延时响应 为常数。 d
7
或 ( ) 0

将
( )
j
代入
j j ( )
H (e ) H (e ) e
H ( )e) h( n)e