2019高考数学浙江专用优编增分二轮复习 专题四+解析几何+规范答题示例6+Word版含答案

(二)立体几何1．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面．(1)求证：平面SBD⊥平面SAC；(2)若SA与平面SCD所成的角为30°，求SB的长．(1)证明连接AC，BD，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又因为SB⊥底面ABCD，所以AC⊥SB，因为BD∩SB＝B，BD，SB⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD.又因为AC⊂平面SAC，所以平面SAC⊥平面SBD.(2)解将四棱锥补形成正四棱柱ABCD－A′SC′D′，连接A′D，作AE⊥A′D，垂足为点E，连接SE .由SA ′∥CD 可知，平面SCD 即为平面SCDA ′. 因为CD ⊥侧面ADD ′A ′，AE ⊂侧面ADD ′A ′， 所以CD ⊥AE ，又因为AE ⊥A ′D ，A ′D ∩CD ＝D ，A ′D ，CD ⊂平面SCD ， 所以AE ⊥平面SCD ，于是∠ASE 即为SA 与平面SCD 所成的角． 设SB ＝x ，在Rt△ABS 中，SA ＝1＋x 2， 在Rt△DAA ′中，AE ＝x1＋x2.因为∠ASE ＝30°，所以1＋x 2＝2x 1＋x2，解得x ＝1，即SB 的长为1.2．(2018·浙江省金华十校模拟)如图，在几何体ABCDE 中，CD ∥AE ，∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，CD ＝2EA ＝2，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，F 为BD 的中点．(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值． (1)证明 取BC 的中点G ，连接FG ，AG ，∵F 为BD 的中点，CD ＝2EA ，CD ∥AE ， ∴FG ＝12CD ＝EA ，且FG ∥AE ，∴四边形AGFE 是平行四边形， ∴EF ∥AG ，∵EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴EF ∥平面ABC .(2)解 ∵∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，且平面EACD ∩平面ABC ＝AC ，EA ⊂平面EACD ， ∴EA ⊥平面ABC ，由(1)知FG ∥AE ，∴FG ⊥平面ABC ， 又∵AB ＝AC ，G 为BC 的中点， ∴AG ⊥BC ，如图，以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，B (0，3，0)，D (0，－3，2)，E (1,0,1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BD →＝(0，－23，2)，BE →＝(1，－3，1)， 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧z －3y ＝0，x －3y ＋z ＝0，令y ＝1，得n ＝(0,1，3)，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为 |AB →·n ||AB →||n |＝34. 3．在三棱锥D —ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F . (1)求证：平面ABD ⊥平面DEF ；(2)若AD ⊥DC ，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值． (1)证明 由题意知DE ⊥平面ABC ，所以AB ⊥DE ， 又AB ⊥DF ，且DE ∩DF ＝D ， 所以AB ⊥平面DEF ，又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面DEF . (2)解 方法一 由DA ＝DB ＝DC ，知EA ＝EB ＝EC ，所以E 是△ABC 的外心．又AB ⊥BC ，所以E 为AC 的中点，如图所示． 过E 作EH ⊥DF 于H ，连接BH ， 则由(1)知EH ⊥平面DAB ，所以∠EBH 即为BE 与平面DAB 所成的角． 由AC ＝4，∠BAC ＝60°，得AB ＝AE ＝BE ＝2， 所以EF ＝3，又DE ＝2，所以DF ＝DE 2＋EF 2＝7，EH ＝237，所以sin∠EBH ＝EH BE ＝217. 方法二 如图建系，则A (0，－2，0)，D (0,0,2)，B (3，－1,0)，所以DA →＝(0，－2，－2)， DB →＝(3，－1，－2)．设平面DAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧－2y －2z ＝0，3x －y －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫33，－1，1. 设EB →与n 的夹角为θ，则cos θ＝EB →·n |EB →|·|n |＝2273＝217，所以BE 与平面DAB 所成角的正弦值为217. 4．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝1，BF ＝3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．(1)求证：CD ⊥BE ； (2)求线段BH 的长度；(3)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值． (1)证明 ∵BH ⊥平面CDEF ，∴BH ⊥CD ， 又CD ⊥DE ，BH ∩DE ＝H ，BH ，DE ⊂平面DBE ， ∴CD ⊥平面DBE ，∴CD ⊥BE .(2)解 方法一 设BH ＝h ，EH ＝k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ， ∵线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变， 根据勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧BE 2＝BH 2＋EH 2，BF 2＝BH 2＋FH 2＝BH 2＋FG 2＋GH 2，即⎩⎪⎨⎪⎧5＝h 2＋k 2，9＝22＋h 2＋(2－k )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝2，k ＝1，∴线段BH 的长度为2.方法二 如图，过点E 作ER ∥DC，过点E 作ES ⊥平面EFCD ，以点E 为坐标原点，分别以ER ，ED ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设点B (0，y ，z )(y >0，z >0)， 由于F (2,2,0)，BE ＝5，BF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝5，4＋(y －2)2＋z 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝2，于是B (0,1,2)，∴线段BH 的长度为2.(3)解 方法一 延长BA 交EF 于点M ，∵AE ∶BF ＝MA ∶MB ＝1∶3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13，∴点A 到平面EFCD 的距离为23，而AF ＝13，故直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为21339.方法二 由(2)方法二知FB →＝(－2，－1,2)， 故EA →＝13FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13，23，FA →＝FE →＋EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，－73，23，设平面EFCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ， 则sin θ＝|FA →·n ||FA →||n |＝21339.5.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点．(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成的角．方法一 (1)证明 因为AC ＝BC ，M 是AB 的中点， 所以CM ⊥AB .又EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以EA ⊥CM ， 因为AB ∩EA ＝A ，AB ，EA ⊂平面ABDE ， 所以CM ⊥平面ABDE ，又因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥EM .(2)解 过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足为H ，连接CH 并延长交ED 于点F ，连接MF ，MD ，∠FCM是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，ED ⊂平面CDE ，所以MH ⊥ED ， 又因为CM ⊥平面EDM ，ED ⊂平面EDM ， 所以CM ⊥ED ，因为MH ∩CM ＝M ，MH ，CM ⊂平面CMF ， 所以ED ⊥平面CMF ，因为MF ⊂平面CMF ，所以ED ⊥MF . 设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ， 在直角梯形ABDE 中，AB ＝22a ，M 是AB 的中点，所以DE ＝3a ，EM ＝3a ，MD ＝6a ， 所以EM 2＋MD 2＝ED 2，所以△EMD 是直角三角形，其中∠EMD ＝90°， 所以MF ＝EM ·MDDE＝2a . 在Rt△CMF 中，tan∠FCM ＝MFMC＝1， 又因为∠FCM ∈(0°，90°)，所以∠FCM ＝45°，故CM 与平面CDE 所成的角是45°.方法二 如图，以点C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系，设EA ＝a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0)，E (2a,0，a )，D (0,2a,2a )，M (a ，a,0)．(1)证明 因为EM →＝(－a ，a ，－a )，CM →＝(a ，a,0)，所以EM →·CM →＝0，故EM ⊥CM . (2)解 设向量n ＝(1，y 0，z 0)为平面CDE 的一个法向量，则n ⊥CE →，n ⊥CD →，即n ·CE →＝0，n ·CD →＝0. 因为CE →＝(2a,0，a )，CD →＝(0,2a,2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋az 0＝0，2ay 0＋2az 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，z 0＝－2，即n ＝(1,2，－2)，cos 〈n ，CM →〉＝CM →·n |CM →|·|n |＝22，因为〈n ，CM →〉∈[0°，180°]，所以〈n ，CM →〉＝45°.直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM →夹角的余角，所以θ＝45°，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45°.6.如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2， 所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点， 则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角． 在Rt△BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217.21 7.所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为。

)解析几何(四2kkxpypFE 的＝2作斜率分别为(的焦点1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线>0)：，21CDABECDkklEABlll ，＋相交于点＝2，，以且与与相交于点，两条不同直线，，，212211lNMNM . ，圆为圆心()，为直径的圆的公共弦所在直线记为→→2pkkFMFN >0，证明：<2·；(1)若>0，2157EMl (2)若点的距离的最小值为到直线，求抛物线的方程．5p ????FE ，0 ，(1)证明 由题意知，抛物线的焦点为 ??2pxlyk . ＝直线＋的方程为 112p ??xky ，＋＝ 1222?ppkxx 0. ＝由－2得－1?2?pyx ，＝2ABxyxy )，，设)，，两点的坐标分别为((， 2211xx 是上述方程的两个实数根， ，则212pypkxxpky ＝＝22，，＋从而＋＋122111p ??→22pkpk ??FMpkpkM ＋，)．( ∴点，的坐标为，＝ 1111??2p ??2pkpk ??N ＋， 的坐标为同理可得点， 22??2→2pkpkFN )，，＝( 22→→222FMFNpkkkk )(．于是 ·＋＝2211kkkkkk ，≠>0∵，＋ ＝2，>0，221121→→22kkFMFNpp . 2＝<1，故(1·＋∴0<<1)21(2)解 由抛物线的定义得ppyFAyFB |＋|＝|，|＝＋， 21222pyAByppk ＋2＋＝2，＋∴||＝1122ppkMr . 的半径＋＝从而圆1132222pxpkxMypyk ＋故圆的方程为＋－2－(20－1)＝， 114． 32222pyxpkNxypk ，(2同理可得圆＝的方程为＋＋1)－20－－ 22422ykklkxk )∴直线0的方程为(－－)＝＋(，1122yx 0.2即＝＋2kkp 1|＋＋|211dlM .的距离为∴点＝到直线5p 71dk .＝－故当时，取最小值 1458p 577p 8. ＝，解得＝由已知得5582yEx .故所求抛物线的方程为16＝22yx ??23)(()??EFCabF 点，>的两焦点分别是>0)2．已知椭圆＋：＝1(，022，0，－，2 2122ba ??2C 在椭圆上．C (1)求椭圆的方程；→→PFyPCMNMPPN 为直径的圆面(2)设是，使得轴上的一点，若椭圆，求以上存在两点＝，21积的取值范围．c (1)由已知，得半焦距，＝2解293EFEFa ，|＝＝4|＋|8|2＝＋2＋2122222caab ，＝6＝8所以＝22，所以－＝2－22yxC 1. ＝的方程是所以椭圆＋68tP )(2)设点，的坐标为(0，MN 斜率不存在时，当直线NM ，可得分别是短轴的两端点，262tt . 得到＝＝±， 33MN 斜率存在时， 当直线MNykxtMxyNxy )，)的方程为＝，＋，，((， 设直线2211→→MPPNxx ，①2得 则由＝－＝221tkxy ，＝＋???22联立yx ，1＝＋? ?68222txktxk ，0＝24－4＋8＋)4＋(3得．2222tkkt )(4，4由题意，得Δ＝64－24)>0－4(3＋22kt 6<8，整理得＋ 由根与系数的关系得kt 8－xx ，＝＋ 212k 43＋2t －244xx ＝，②·212k 43＋2t 6－＋2kxx ，＝得，由①②，消去 212t 812－2t 6＋－??≥0，2t 8－122?2t <6由， 解得< 32t 6－＋?2t ?，＋6<8·2t 812－22t <6， 综上≤ 32t ＋2SFP ·，又因为以＝π为直径的圆面积142π????S π2，.的取值范围是所以 ??322ymxmmCxy ＝－2与抛物线＋3．(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线：＝－21????MAB 1，－.，两点，定点相交于 ??2AByx 平分； (1)证明：线段＝－被直线MABm 的值． 面积取得最大值时(2)求△AxyBxy)，( 设 (，，)，(1)证明22112mmymx，2＝－2＋－??联立方程组?2xy，＝??22mxmxm 0＋2－得，＋2＝2mxxxmxm＝－2－，·，＝2∴＋2211xx＋21m，则＝－2222xxxxxxyy＋＋?－2＋?22111122m，＝＝＝222．mmAB，(－)∴线段，的中点坐标为xABy∴线段被直线平分．＝－22yABxxy?＝?－－?＋(2)解∵|?|221122mmmm 4，(0<－4<1)＝1＋4＋2mm|＋22－|1dMAB＝的距离为，点到直线2m41＋1dMABSAB |＝|∴△的面积222mmmmm )|(0<|1－2(－，＝－＋＋<1)22tttmmS |1－令－2＋＝，，则|＝11??3t??ttSt≤0< －＝又∵0<2≤，∴，??221??23t??tttfttf≤0< 6，则′(令(，)＝)－2＝1－??2????6166????ttfft取得最大值，(上单调递减，故当在时，上单调递增，在则)(＝)，，06????266363±2mmmMAB. ＝＋即△，解得面积取得最大值，此时有－＝6622yxCMaCbABx的上顶点，，4．已知椭圆1(：＋＝轴的两个交点，>是椭圆与>0)，为椭圆22ba2kkkMAkMB. ，，直线设直线＝－的斜率为的斜率为22113C(1)求椭圆的离心率；→→OPQQDxDPQDPl的＝(－3，0)，交椭圆于3，，当△(2)设直线与两点，且满足轴交于点C的方程．面积最大时，求椭圆bbka,kbMAa,B 0)，＝(解 (1)，(0，)，，(－0)，＝－21aa2cbbb32ekk.＝·＝－＝－＝－，＝212aaaa33c3e＝知＝，(2)由(1)a32222cbac＝得2＝3，，222cxCy＝36可设椭圆2的方程为，＋mylx，－设直线的方程为3＝222cxy，＝632＋??由?myx，3－＝222cmmyy＝0，＋得(2＋3)6－－436ylCPxyQx因为直线)与椭圆，相交于((两点，，，)2211222cmm )>0所以Δ＝486－4(2，＋3)(6－2cm6643－yyyy.＝由根与系数的关系得，＝＋，212122mm322＋＋3→→yQDDPy＝3，所以，＝－又3212m362c ＝－，6－6代入上述两式得2m32＋??31m38??ySODy－||所以＝＝||OPQ21△222m??32＋m1212|| ＝，＝≤62m33|2|＋m|＋2|m||3522mc＝，时，等号成立，此时当且仅当＝22代入Δ，此时Δ>0成立，22yx2C1.＋所以椭圆＝的方程为515yxNPxy1. 5．已知在平面直角坐标系中，动点≥0)到点(轴的距离大，(1,0))(的距离比到CP (1)求动点的方程；的轨迹→OAyABQxMC且满足1两点，设点＝在直线(2)若过点0(2,0)的直线与轨迹＋相交于上，，－→→tOOBtOQ)＋，求实数＝的最小值．(为坐标原点PNyyxNPx－所以|(1,0)的距离比到解 (1)方法一因为点|(轴的距离大，)(1≥0)到点，2xNyx. 的坐标代入，并整理得4|，将点1＝|＝2xyPC.＝的轨迹的方程是故点4NPPNy的所以点方法二因为平面上动点(1,0)到点到点(1,0)的距离比到轴的距离大1，PPx焦点到准线的距离为的轨迹是以原点为顶点，1距离与点的距离相等，到直线即点＝－2xyPC.的轨迹＝的方程为2，并且为开口向右的抛物线，所以点42yABAByx：40且与抛物线有两个交点，设直线由题意知直线(2)＝的斜率存在且斜率不为xyk，2??－＝??2222kxxAykxyQBxyxkxk＝，)，(，，)＋(，1)＝(－2)，()，由－4(得＋4?21212xy ，4＝??k ≠0)． 0(2k 1)>0恒成立，Δ＝16(2＋2k ??＋14xxxx 4·＝所以＋，＝， 21122k →→→OAOBtOQxxyytxy )，(＋ ，，因为＋＋)＝＝，所以(21212yykxkxkxxkxxk 4－＋?4－＋1?2＋???－2?＋?＋4?21111222xy ＝＝＝，＝，即 ＝＝2tktttttkQxy －1＝0又点上，在 ＋2k 41??＋40. 1＝所以＋－2kttk 1111????2????t ＋＋1＋＋3≥3.44 所以＝＝ 2kkk ????2t 的最小值为3.故实数2x 2CFAMy 作直线交椭圆于的右焦点两点．6.如图，过椭圆，：＋＝1 2ACxQAQFCQF ；，使得∠变化时，在 轴上求定点(1)当＝∠，QAMBBFDABCD 的面当四边形，连接(2)设直线，交椭圆并延长交椭圆于点的另一个交点为AC 的方程． 积取得最大值时，求直线AxyCxyQq,0)，(()，，)，( 解 (1)设，2112ACxACxty ＋1，当的方程为， 不在＝轴上时，设直线22tyyMt 0. 2＝的方程，可得(2＋－)1＋代入椭圆t 12－yyyy ，，＋＝＝－ 211222tt ＋2＋2yy 21kk ＝由意题知＋＋ CQAQ qxxq －－21yxqyxq ???－－?＋1212＝ qxxq ????－－21ytyqytyq ?－?＋＋??＋1－11122＝ qqxx ?－??－?21tyyqyy ?1－2＋??＋?2211＝0，＝ qxqx ????－－21tyyqyy )＝0)(，＋即2 (1＋－2211ttq )＝0(1－，整理得－2－2tq ＝2，取何值，上式恒成立，则 由题知无论ACxQAQFCQFQ 的坐标是(2,0)．＝∠当成立，所以点，在 轴上时，定点(2,0)依然可使∠AQFCQFBQFDQF . ，∠由(2)(1)知∠＝∠＝∠BCxADx 轴对称，关于，轴对称，关于，所以．ABCD 是一个等腰梯形．所以四边形2ytyyABCDStxxy |·||－则四边形－的面积|(＝)|＝－||·|2111222tt ||1??＋. ＝8· 22t ?＋?224tt 23－－tSt )＝－8·′(，由对称性不妨设，求导可得>032t ??2＋17＋32tSt ＝，可得令，′()＝02??17＋3??tS 上单调递增，)由于(在，0??2??17＋317＋32??SABCDt 取得最大的面积上单调递减，所以当＝在时，四边形，＋∞2??2 值．173＋yACx 1.的方程是此时，直线＝±＋2．。

解析几何(限时120分钟,满分150分)一、选择题(共10小题,满分40分)1.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=()A.45°B.30°C.15°D.60°答案A解析由题意,|MF|=p,则设点M,∵K-,∴k KM=1,∴∠MKF=45°,故选A.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2答案A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为() A.(2,1) B.(-2,1)C.-D.答案D解析如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为,故选D.4.当双曲线=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为()-A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案B解析由题意,焦距2c=2-=2-,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.5.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为() A.B.2C.2D.2答案D解析双曲线C:=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,∴x0=-,四边形OFMN的面积为cb,∴|y0|c=cb,即|y0|=b,∴M-,代入双曲线可得=1,整理得-2=1.由e=,∴e2=12,由e>1,解得e=2,故选D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=()A.1B.C.2D.3答案C解析因为e==2,c2=a2+b2⇒b=a,故两条渐近线的方程为y=±x.由-得两个交点坐标为-,-,-,所以S△AOB=|AB|·⇒p=2.7.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为() A.B. 1 C.-D. 1答案B解析过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,∴.设PA的倾斜角为α,则sinα=,当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(-1),+1.故选B.∴双曲线的离心率为-8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案B解析设双曲线半焦距为c(c>0),则双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=.由题意得.①∵双曲线的离心率为,∴.②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2,c=4.∴所求双曲线的方程为=1.故选B.9.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得-消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16, 当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ不妨令∈.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cosθ+2=|AF|,.即|AF|=-同理可得|BF|=,所以|AB|=.-又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.10.设F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,点A是抛物线与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且AF⊥x轴,则双曲线的离心率为()A.2B.C.D.答案D解析由题意知F,0,不妨取双曲线的渐近线为y=x,由得x=.因为AF⊥x,所以x A=,即x=,解得b2=4a2,即b2=4a2=c2-a2,所以c2=5a2,即e2=5,所以离心率e=.二、填空题(共7小题,满分36分)11.已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a=.答案-1或2解析设P(x,y)(x≥2),则|PA|2=(x-a)2+y2=-a2-1,当a>0时,x=a,|PA|的最小值为a2-1=3,解得a=2;当a<0时,2-a=3,解得a=-1.故答案为-1或2.12.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D 两点.若|AB|=2,则|CD|=.答案4解析因为|AB|=2,且圆的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为-=3.由-=3,解得m=-.将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=°=4.13.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案(1)Q1(2)p2解析(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.14.(2018浙江丽水,衢州,湖州质量检测)已知直线l1:2x-y+1=0,直线l2:4x-2y+a=0,圆C:x2+y2-2x=0.若C上任意一点P到两直线l1,l2的距离之和为定值2,则实数a=.答案-18解析直线l2方程可化为2x-y+=0,由题意可知-=2,解得a=-18或a=22.当l1与l2分别位于圆C两侧时,符合题意.故a=-18.15.抛物线y2=ax(a>0)上的点P,y0到焦点F的距离为2,则a=;△POF的面积为.答案2解析准线方程为x=-,所以=2,∴a=2.抛物线方程变为y2=2x,焦点为F,点P坐标代入方程得y0=±,所以△POF的面积为.16.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线l:kx-y-2k-3=0与圆C相交于A,B 两点,使△ABC为直角三角形,则k=;若直线l上至少存在一点,使得以该点为圆心,为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值为.答案1或-解析要使△ABC为直角三角形,只要点C到l的距离为,可求得k=1或;当点C到l的距离为时,k 的最小值即为所求,可求得k min=-.17.(2018浙江学军中学4月)已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的离心率为.答案解析|BF1|=|CF1|-|CF2|=2a,BF1方程为y=(x+c),所以B-,因此-=1,解得e=.三、解答题(共5个题,满分74分)18.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.解(1)由题意得解得a=2,b=.故椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,),由题意可得S四边形ABNM=|AN|·|BM|,∵P(x0,y0),-2<x0<0,0<y<,3+4=12.∴直线PA的方程为y=-(x-2).令x=0,得y M=--.从而|BM|=|-y M|=-.直线PB的方程为y=-x+.令y=0,得x N=--.从而|AN|=|2-x N|=-.∴|AN|·|BM|=--=--=--=4.∴S四边形ABNM=|AN|·|BM|=2,即四边形ABNM的面积为2.19.已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+交抛物线E于A,B两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-,求直线l的斜率.解(1)联立消去x得y2-3py+=0,由题设得|AB|=y A++y B+=y A+y B+p=4p=8,∴p=2,故抛物线E的方程为x2=4y.(2)设A,B,联立消去y得x2-2pkx-p2=0,∴x1+x2=2pk,x1·x2=-p2,由y=x2得y'=x,∴直线l1,l2的方程分别为y=x-,y=x-,联立--得点P的坐标为-,∴k PF=-,∴-+k=-.∴k=-2或,∴直线l的斜率为k=-2或k=.20.设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解(1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P--,故Q-.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=-.由点B异于点A,可得点B--由Q-1,,可得直线BQ的方程为-(x+1)--+1y-=0.令y=0,解得x=-,故D-,0.所以|AD|=1--.又因为△APD的面积为,所以,整理得3m2-2|m|+2=0,解得m=±.所以直线AP的方程为3x+y-3=0,或3x-y-3=0.综上所述,直线AP的方程为3x+y-3=0,或3x-y-3=0.21.已知点P t,在椭圆C:+y2=1内,过P的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,O为坐标原点.(1)是否存在实数t,使直线l和直线OP的倾斜角互补?若存在,求出t的值,若不存在,试说明理由;(2)求△OAB面积S的最大值.解(1)存在.由题意直线l的斜率必存在,设直线l的方程是y-=k(x-t),代入x2+2y2=2得(1+2k2)x2+4k-x+2-kt+2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2t,即-=2t,解得:k=-t,此时方程①即(1+2t2)x2+4k t2+x+2t2+2-2=0,由Δ=-8t2+8t2+6>0,解得0<t2<,或由解得当t=0时,显然不符合题意;当t≠0时,设直线OP的斜率为k1,只需k1+k2=0,即+(-t)=0,解得t=±,均符合题意.(2)由(1)知l的方程是y=-tx+t2+,所以S=t2+|x1-x2|,-=t2+=-,因为0<t2<,所以当t2=时,S max=.22.如图,已知椭圆Γ:=1(a>b>0)经过不同的三点A,B-,-,C(C在第三象限),线段BC的中点在直线OA上.(1)求椭圆Γ的方程及点C的坐标;(2)设点P是椭圆Γ上的动点(异于点A,B,C)且直线PB,PC分别交直线OA于M,N两点,问|OM|·|ON|是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.解(1)由点A,B在椭圆Γ上,得解得所以椭圆Γ的方程为=1.由已知,求得直线OA的方程为x-2y=0.①从而m=2n-1.又点C在椭圆Γ上,故2m2+8n2=5.②由①②解得n=(舍去)或n=-.从而m=-,所以点C的坐标为-,-.(2)设P(x0,y0),M(2y1,y1),N(2y2,y2).因P,B,M三点共线,故,整理得y1=--.因P,C,N三点共线,故,整理得y2=---.因点P在椭圆Γ上,故2+8=5,即-4.从而y1y2=----=---=----=--.所以|OM|·|ON|=|y1|·|y2|=5|y1y2|=为定值.。

典例8 (15分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．审题路线图 求f ′(x )―――――→讨论f ′(x )的符号f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2.评分细则 (1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给3分；(4)构造函数g (a )＝ln a ＋a －1给3分；(5)通过分类讨论得出a 的范围，给3分．跟踪演练8 (2018·天津)已知函数f (x )＝a x ，g (x )＝log a x ，其中a >1. (1)求函数h (x )＝f (x )－x ln a 的单调区间；(2)若曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线与曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线平行，证明x 1＋g (x 2)＝－2lnln a ln a；(3)证明当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线． (1)解 由已知得h (x )＝a x －x ln a ，则h ′(x )＝a x ln a －ln a ．令h ′(x )＝0，解得x ＝0. 由a >1，可知当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：所以函数h (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)证明 由f ′(x )＝a x ln a ，可得曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线斜率为1xa ln a . 由g ′(x )＝1x ln a ，可得曲线y ＝g (x )在点(x 2，g (x 2))处的切线斜率为1x 2ln a .因为这两条切线平行，所以有1xa ln a ＝1x 2ln a ，即x 21xa (ln a )2＝1， 两边取以a 为底的对数，得 log a x 2＋x 1＋2log a ln a ＝0， 所以x 1＋g (x 2)＝－2lnln aln a.(3)证明 曲线y ＝f (x )在点(x 1，1xa )处的切线为l 1：y －1xa ＝1xa ln a ·(x －x 1)．曲线y ＝g (x )在点(x 2，log a x 2)处的切线为l 2：y －log a x 2＝1x 2ln a(x －x 2)．要证明当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线，只需证明当a ≥1ee 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，x 2∈(0，＋∞)，使得l 1与l 2重合．即只需证明当a ≥1ee 时，下面的方程组有解⎩⎨⎧1x a ln a ＝1x 2ln a ， ①1x a－x 11x a ln a ＝log a x 2－1ln a，②由①得，x 2＝11x a (ln a )2，代入②，得1x a －x 11xa ln a ＋x 1＋1ln a ＋2lnln a ln a＝0.③因此，只需证明当a ≥1ee 时，关于x 1的方程③存在实数解． 设函数u (x )＝a x －xa x ln a ＋x ＋1ln a ＋2lnln a ln a， 即要证明a ≥1ee 时，函数u (x )存在零点．u ′(x )＝1－(ln a )2xa x ，可知当x ∈(－∞，0)时，u ′(x )>0；当x ∈(0，＋∞)时，u ′(x )单调递减，又u ′(0)＝1>0，u ′⎝⎛⎭⎫1(ln a )2＝1－()1ln a a <0，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得u ′(x 0)＝0，即1－(ln a )2x 00xa ＝0.由此可得u (x )在(－∞，x 0)上单调递增，在(x 0，＋∞)上单调递减． u (x )在x ＝x 0处取得极大值u (x 0)． 因为a ≥1ee ，所以lnln a ≥－1，所以u (x 0)＝0x a －x 00xa ln a ＋x 0＋1ln a ＋2lnln a ln a＝1x 0(ln a )2＋x 0＋2lnln a ln a ≥2＋2lnln aln a ≥0.下面证明存在实数t ，使得u (t )<0. 由(1)可得a x ≥1＋x ln a ， 当x >1ln a 时，有u (x )≤(1＋x ln a )(1－x ln a )＋x ＋1ln a ＋2lnln a ln a ＝－(ln a )2x 2＋x ＋1＋1ln a ＋2lnln aln a， 所以存在实数t ，使得u (t )<0.因此当a ≥1ee 时，存在x 1∈(－∞，＋∞)，使得u (x 1)＝0.所以当a ≥1ee 时，存在直线l ，使l 是曲线y ＝f (x )的切线，也是曲线y ＝g (x )的切线.。

(四)解析几何1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．(1)证明 由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2是上述方程的两个实数根， 从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)． ∵k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2， ∴0<k 1k 2<1，故FM →·FN →<p 2(1＋1)＝2p 2. (2)解 由抛物线的定义得 |FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ， 从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0，同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0，∴直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0， 即x ＋2y ＝0.∴点M 到直线l 的距离为d ＝p |2k 21＋k 1＋1|5.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p85 .由已知得7p 85＝755，解得p ＝8.故所求抛物线E 的方程为x 2＝16y .2．已知椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝⎛⎭⎪⎫2，322在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围． 解 (1)由已知，得半焦距c ＝2， 2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )， 当直线MN 斜率不存在时， 可得M ，N 分别是短轴的两端点， 得到t ＝±63，t 2＝23. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y26＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0， 整理得t 2<8k 2＋6， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt3＋4k2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k2，②由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8，由⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6，综上23≤t 2<6，又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t24，所以S 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，2π.3．(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分； (2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2，得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ， 则x 1＋x 22＝－m ，y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ，∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )， ∴线段AB 被直线y ＝－x 平分． (2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋4m2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)， 令－m 2＋m ＝t ，则S ＝t |1－2t 2|， 又∵0<t ≤12，∴S ＝t －2t 3⎝⎛⎭⎪⎫0<t ≤12， 令f (t )＝t －2t 3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2，则f (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，66上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a,0)，B (a,0)，k 1＝b a ，k 2＝－b a，k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33.(2)由(1)知e ＝ca ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2， 设直线l 的方程为x ＝my －3，由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0，因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c22m 2＋3.又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2， 代入上述两式得6－6c 2＝－36m22m 2＋3，所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52，代入Δ，此时Δ>0成立， 所以椭圆C 的方程为2x 215＋y25＝1.5．已知在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足OA →＋OB →＝tOQ →(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解 (1)方法一 因为点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN |－1＝|x |，将点N 的坐标代入，并整理得y 2＝4x . 故点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x .方法二 因为平面上动点P 到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以点P 到点N (1,0)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，即点P 的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知直线AB 的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y 2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0(k ≠0)．Δ＝16(2k 2＋1)>0恒成立， 所以x 1＋x 2＝4(k 2＋1)k2，x 1·x 2＝4， 因为OA →＋OB →＝tOQ →，所以(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，即x ＝x 1＋x 2t ＝4(k 2＋1)k 2t ，y ＝y 1＋y 2t ＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)t ＝k (x 1＋x 2)－4k t ＝4tk， 又点Q 在x ＋y －1＝0上， 所以4(k 2＋1)k 2t ＋4tk－1＝0. 所以t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1k ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋122＋3≥3.故实数t 的最小值为3.6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1， 代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0. 则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2，由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q )＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0，即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0， 整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)． (2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，∠BQF ＝∠DQF . 所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称， 所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2.由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3，令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172，由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3＋172上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减，所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1.。

专题四 解析几何[析考情·明重点]小题考情分析大题考情分析常考点1.双曲线的渐近线、离心率及焦点问题(5年4考)2.椭圆的离心率问题，椭圆与直线、双曲线的综合问题(5年3考)直线与圆锥曲线解答题是高考的热点也是重点部分，主要涉及以下两种考法：(1)直线与椭圆有关范围、最值的综合问题； (2)直线与抛物线有关范围、最值的综合问题.偶考点 1.圆与不等式的交汇问题 2.抛物线的焦点、准线问题第一讲 小题考法——直线与圆考点(一) 直 线 的 方 程主要考查直线方程、两条直线的位置关系及三个距离公式的应用.[典例感悟][典例] (1)已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2(2)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 (3)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________________________________________________________.[解析] (1)由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.(2)易知BC 所在直线的方程是x ＋y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形(图略)知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12. 考虑极限位置，即当a ＝0时，易得b ＝1－22，故b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] (1)C (2)B (3)y ＝2或4x －3y ＋2＝0[方法技巧]解决直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．[演练冲关]1．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a,1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a ＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.2．(2018·浙江名师预测卷)“m ＝－1”是“直线l 1：mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线l 2：3x ＋my ＋3＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若直线l 1：mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线l 2：3x ＋my ＋3＝0垂直， 则3m ＋m (2m －1)＝0，即2m (m ＋1)＝0， 解得m ＝0或m ＝－1，则“m ＝－1”是“直线l 1：mx ＋(2m －1)y ＋1＝0与直线l 2：3x ＋my ＋3＝0垂直”的充分不必要条件．故选A.3．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823.考点(二) 圆 的 方 程主要考查圆的方程的求法，常涉及弦长公式、直线与圆相切等问题.[典例感悟][典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53 B.213C.253D.43(2)(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是______________．[解析] (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝2[方法技巧]圆的方程的2种求法1．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，故选D.2．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 根据题意，直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，即圆心为(－1,0)．因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径r ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A.3．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4考点(三)直线(圆)与圆的位置关系主要考查直线圆与圆位置关系的判断、根据直线与圆的位置关系解决参数问题或与圆有关的轨迹问题.[典例感悟][典例] (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)(2018·丽水、衢州、湖州高三联考)已知直线l 1：2x －y ＋1＝0，直线l 2：4x －2y ＋a ＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0.若圆C 上任意一点P 到两直线l 1，l 2的距离之和为定值25，则实数a ＝________.[解析] (1)由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，即圆M 的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N 的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，半径之和为3,1<2<3，故两圆相交．(2)由题可知l 1∥l 2，若圆C 上任意一点到两直线的距离之和为定值25，则两平行线之间的距离为25，且位于圆的两侧．因为直线l 1：2x －y ＋1＝0，直线l 2：2x －y ＋a2＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－a 25＝25，解得a ＝－18或a ＝22，当a ＝22时，两条直线在圆的同侧，此时圆C 上的点到两直线的距离之和大于25，舍去，故a ＝－18.[答案] (1)B (2)－18[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．直线截圆所得弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解．[演练冲关]1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A ．510B ．－510C ．910D ．－910解析：选D 因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－12＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.2．(2018·浙江名师预测卷)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线，交l 于点A ，则|PA |的最小值为( )A.12 B ．1 C.2－1D ．2－ 2解析：选D 由题意可知，直线PA 平行于坐标轴，或与坐标轴重合．不妨设直线PA ∥y轴，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)， ∴|PA |＝|2－cos α－sin α|＝|2－2sin(α＋45°)|， ∴|PA |的最小值为2－ 2.故选D.3．已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意得，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C的一条直径，此时圆心C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝2－12＋－1＋22＝2<5，所以点M 位于圆C 内，所以当点M 为线段EF的中点时，|EF |最小，其最小值为252－22＝2 3.答案：2 3[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．直线方程的五种形式 点斜式y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不能表示y 轴和平行于y 轴的直线)斜截式y ＝kx ＋b (b 为直线在y 轴上的截距，且斜率为k ，不能表示y 轴和平行于y 轴的直线)两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不能表示坐标轴和平行于坐标轴的直线)截距式x a ＋yb ＝1(a ，b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不能表示坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)一般式 Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含． (二) 二级结论要用好1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0； (3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[针对练1] 若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．若点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则圆过该点的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2. [针对练2] 过点(1，3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线l 的方程为____________． 解析：∵点(1，3)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴切线方程为x ＋3y ＝4，即x ＋3y －4＝0. 答案：x ＋3y －4＝0 (三) 易错易混要明了1．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为x a ＋ya＝1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定点P (x 0，y 0)的直线设为y －y 0＝k (x －x 0)等．[针对练3] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，代入P (1,5)，得a ＝6，∴直线方程为x ＋y －6＝0.答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 解析：把直线6x ＋4y ＋5＝0化为3x ＋2y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋22＝151326. 答案：1513264．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y －6)2＝61－m .当两圆外切时，有5－12＋6－32＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有5－12＋6－32＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测]A 组——10＋7提速练一、选择题1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |k 2＋－12＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(2018·宁波十校高三5月适应性考试)已知直线l 过圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，当原点到直线l 距离最大时，直线l 的方程为( )A ．y ＝2B ．x －2y －5＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：选D 设圆心为M ，则M (1,2)．当l 与OM 垂直时，原点到l 的距离最大．作出示意图如图， ∵k OM ＝2，∴l 的斜率为－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋－12＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．(2018·温州模拟)在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B (2,0)，过A 的直线交x 轴于点C (a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a ＝( )A.14B.34C ．1D.43解析：选 B 设直线AC 的倾斜角为β，直线AB 的倾斜角为α， 即有tan β＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 又tan β＝1a ，tan α＝12，所以1a ＝2×121－14，解得a ＝34.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．(2018·长沙模拟)若直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R)被圆C ：(x －1)2＋y 2＝4所截得的弦为MN ，则|MN |的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 直线方程(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R)可化为λ(2x ＋y ＋1)＋(－x ＋2y ＋2)＝0(λ∈R)，若⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，所以直线恒过圆C ：(x－1)2＋y 2＝4内的定点P (0，－1)，当直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R)与直线CP 垂直时，|MN |最小，此时|MN |＝2r 2－|CP |2＝24－22＝2 2.故选C.8．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 由题可知，圆心C (1,1)，半径r ＝2.当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.9．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．3 2B ．－3 2C ．6D ．－6解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.10．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题11．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P (1，1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0，x ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．不妨记Q(－2,3)，则P (1,1)到直线l 的距离的最大值为|P Q|＝－32＋22＝13.答案：(－2,3)1312．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18.答案：1813．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过点M 的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－3，得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1514．已知⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋x －2k ＝0与⊙C 交于A ，B 两点，当|AB |取最大值时，k ＝________；当△ABC 的面积最大时，k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB 为直径，|AB |最大，此时k ＝1.设∠ACB ＝θ，则S △ABC ＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，当θ＝90°时，△ABC 的面积最大，此时圆心到直线的距离为22，由d ＝|1－k |k ＋12＋1＝22，解得k ＝0或k ＝6.答案：1 0或615．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP的斜率是________，r ＝________.解析：两圆的方程相减得，4x －4＝0，则点P 的横坐标x ＝1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，所以∠APO ＝60°，因为AB ∥x 轴，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案： 3 216．(2018·浦江模拟)设A 是直线y ＝x －4上一点，P ，Q 是圆C ：x 2＋(y －2)2＝17上不同的两点，若圆心C 是△AP Q 的重心．则△AP Q 面积的最大值为________．解析：如图，∵圆心C 是△AP Q 的重心，∴AC ⊥P Q ， 设C 到P Q 的距离为x ，则P Q ＝217－x 2， 则A 到P Q 的距离为3x ， ∴S △PA Q ＝12×217－x 2×3x＝317－x 2·x ≤3·17－x 2＋x 22＝512.当且仅当17－x 2＝x ，即x ＝342时等号成立． ∴△AP Q 面积的最大值为512.答案：51217．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|x －x 02＋y －y 02<r }⊆A ，则称A 为一个开集，给出下列集合：①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}；②{(x ，y )|x ＋y ＋2>0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}；④{(x ，y )|0<x 2＋(y －2)2<1}． 其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号) 解析：集合{(x ，y )|x －x 02＋y －y 02<r }表示以(x 0，y 0)为圆心，以r 为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[]22a 2＋1＋2b22＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |2＝1，解得k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故|k |2<2，即k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋－32＝2.当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1； 当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1. 综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 解析：选B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以x －32＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤t ＋12＋2t －42≤3，开方得1≤5t 2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，26．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质考点(一)圆锥曲线的定义与标准方程主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.[典例感悟][典例] (1)已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B. 3 C. 5D.12(2)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1[解析] (1)在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. (2)由题可知椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，而抛物线y 2＝－4x 的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选A.[答案] (1)A (2)A[方法技巧]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误． 2．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1解析：选A 易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.2．(2018·杭二中高三期中)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的直线l ：y＝3x －43与双曲线C 只有一个公共点，则双曲线C 的焦距为________，C 的离心率为________．解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为过双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的直线l ：y ＝3x －43与双曲线C 只有一个公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝3，0＝3c －43，又因为a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝2，b ＝23，c ＝4，所以2c ＝8，e ＝c a＝2.答案：8 23．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：法一：令l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，所以|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.法二：如图所示，∠AFO ＝30°， ∴∠PAF ＝30°， 又|PA |＝|PF |，∴△APF 为顶角∠APF ＝120°的等腰三角形， 而|AF |＝2cos 30°＝433，∴|PF |＝|AF |3＝43.答案：43考点(二) 圆锥曲线的几何性质主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.[典例] (1)(2018·浙江名师预测卷)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] (1)因为抛物线C 的方程为y 2＝2px (p >0)，所以焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设M (x ，y )，由抛物线的性质可得|MF |＝x ＋p2＝5，所以x ＝5－p2.因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心横坐标为52，又由已知可得圆的半径也为52，故可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p2，4.将点M 的坐标代入抛物线方程，得p 2－10p ＋16＝0，所以p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C.(2)双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin60°＝ab c，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. [答案] (1)C (2)233[方法技巧]1．椭圆、双曲线的离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[演练冲关]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C.3或233D.233或2解析：选D ∵两条渐近线的夹角为60°，且两条渐近线关于坐标轴对称，∴b a＝tan 30°＝33或ba＝tan 60°＝ 3. 由b a ＝33，得b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝13，∴e ＝233(舍负)；由b a ＝3，得b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1＝3，∴e ＝2(舍负)．故选D.2．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则a b ≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．3．如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＝2y 1，y 4＝12y 2，|EG |＝y 4－y 3＝12y 2－2y 1.因为AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝12y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝12y 2＋8y 2≥212y 2×8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.答案：4考点(三)圆锥曲线与圆、直线的综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线与圆相结合的问题.[典例感悟][典例] (1)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－3,0)D ．(－2,0)(2)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率为( )A.53B.54C.53或2516D.53或54[解析] (1)因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，解得t >0或t <－3.故选A.(2)圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径r ＝1.当m <0，n >0时，由mx 2＋ny 2＝1得y 21n－x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，即8a 2－6ab ＝0，则b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，即c 2＝259a 2，则c ＝53a ，离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，同理可得e ＝54，故选D. [答案] (1)A (2)D[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43 B.53C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋2c ，∴|PA |＝12·|PF 1|＝a ＋c ，则在Rt △APF 2中，4c2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.2．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，则直线OM 与直线l 的斜率之积为( )A ．－9B ．－92C ．－19D ．－3解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M＋b ＝9b k 2＋9，故直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－9k，所以k OM ·k ＝－9，即直线OM 与直线l 的斜率之积为－9.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质 名称椭圆 双曲线 抛物线 定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)图形几何性质轴长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b离心率e ＝c a ＝ 1－b 2a 2(0<e <1)e ＝c a ＝ 1＋b 2a2(e >1)e ＝1渐近线y ＝±b ax1．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S △PF 1F 2＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ； 若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a . 3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)； (4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径。

第3讲 空间角[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具．热点一 异面直线所成的角(1)几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形．(2)向量法：设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．设l ，m 的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则cos θ＝|a ·b ||a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 22.例1 (1)(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B.56C.55D.22 答案 C解析 方法一 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的一侧补上一个相同的长方体A ′B ′BA －A 1′B 1′B 1A 1.连接B 1B ′，由长方体性质可知，B 1B ′∥AD 1，所以∠DB 1B ′为异面直线AD 1与DB 1所成的角或其补角．连接DB ′，由题意，得DB ′＝12＋(1＋1)2＝5，B ′B 1＝12＋(3)2＝2，DB 1＝12＋12＋(3)2＝ 5.在△DB ′B 1中，由余弦定理，得DB ′2＝B ′B 21＋DB 21－2B ′B 1·DB 1·cos ∠DB 1B ′， 即5＝4＋5－2×25cos ∠DB 1B ′，∴cos ∠DB 1B ′＝55.故选C.方法二 如图，以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz .由题意，得A (1,0,0)，D (0,0,0)， D 1(0,0，3)，B 1(1,1，3)， ∴AD 1→＝(－1,0，3)， DB 1→＝(1,1，3)，∴AD 1→·DB 1→＝－1×1＋0×1＋(3)2＝2， |AD 1→|＝2，|DB 1→|＝5，∴cos 〈AD 1→，DB 1→〉＝AD 1→·DB 1→|AD 1→|·|DB 1→|＝225＝55.故选C.(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线a ，b 所成的角为50°，过空间一定点P 最多可作n 条直线与直线a ，b 均成θ角，则下列判断不正确的是( ) A ．当θ＝65°时，n ＝3 B ．当n ＝1时，θ只能为25° C ．当θ＝30°时，n ＝2 D ．当θ＝75°时，n ＝4答案 B解析 将空间直线平移，异面直线的夹角不变，则可将异面直线a ，b 平移到同一平面α内，使得点P 为平移后的直线a ′，b ′的交点，则当0°≤θ<25°时，n ＝0；当θ＝25°时，n ＝1，此时该直线为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线；当25°<θ<65°时，n ＝2，此时这两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线；当θ＝65°时，n ＝3，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a ′，b ′所成钝角的角平分线所在的直线；当65°<θ<90°时，n ＝4，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成锐角的角平分线所在的直线，另外两条直线在平面α内的投影为直线a ′，b ′所成钝角的角平分线所在的直线；当θ＝90°时，n ＝1，此时直线为过点P 且与平面α垂直的直线．综上所述，B 选项的说法错误，故选B. 思维升华 (1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行． (2) 两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.跟踪演练1 (2018·浙江省衢州二中模拟)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，O 为BC 的中点，动点P 在线段OB 上(不含端点)，记∠APC ＝θ，现将△APC 沿AP 折起至△APC ′，记异面直线BC ′与AP 所成的角为α，则下列结论一定成立的是( )A ．θ>αB ．θ<αC ．θ＋α>π2D ．θ＋α<π2答案 A解析 设PC →＝λBC →，则cos θ＝|P A →·PC →||P A →||PC →|＝|P A →·λBC →||P A →||λBC →|＝|P A →·BC →||P A →||BC →|＝|P A →·(BP →＋PC →)||P A →|·(|BP →|＋|PC →|)，因为cos α＝|P A →·BC ′→||P A →||BC ′→|＝|P A →·(BP →＋PC ′→)||P A →||BC ′→|，且P A →·PC →＝P A →·PC ′→，|BP →|＋|PC →|＝|BP →|＋|PC ′→|>|BC ′→|， 所以cos θ<cos α，又θ，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以θ>α，故选A. 热点二 直线与平面所成的角(1)几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形． (2)向量法：设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为μ＝(a 2，b 2，c 2)，设直线l 与平面α的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则sin θ＝|a ·μ||a ||μ|＝|cos 〈a ，μ〉|. 例2 (2018·浙江省名校协作体联考)在如图所示的几何体中，平面DAE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为等腰梯形，四边形DCFE 为菱形．已知AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，CD ＝12AB ＝1.(1)线段AC 上是否存在一点N ，使得AE ∥平面FDN ？证明你的结论；(2)若线段FC 在平面ABCD 上的投影长度为12，求直线AC 与平面ADF 所成角的正弦值．解 (1)在线段AC 上存在点N ，使得AE ∥平面FDN ，且N 是AC 的中点．如图，取AC 的中点N ，连接NF ，DN ，连接EC 交DF 于点O ，连接ON . ∵四边形CDEF 为菱形， ∴O 为EC 的中点．在△ACE 中，由中位线定理可得ON ∥AE .∵ON ⊂平面FDN ，AE ⊄平面FDN ，∴AE ∥平面FDN ，∴在线段AC 上存在点N ，使得AE ∥平面FDN ，且N 是AC 的中点． (2)方法一 ∵DE ∥CF ，∴DE 在平面ABCD 上的投影长度为12，过点E 作EO ⊥AD 于点O ，∵平面DAE ⊥平面ABCD ，且平面DAE ∩平面ABCD ＝AD ，EO ⊂平面DAE ， ∴EO ⊥平面ABCD ，则OD ＝12，∵在等腰梯形ABCD 中，由已知易得AD ＝BC ＝1，∴点O 为线段AD 的中点． 设点C 到平面FDA 的距离为h ， ∵V C －FDA ＝V F －ADC ， ∴h ·S △FDA ＝EO ·S △ADC ， 易知S △ADC ＝34，EO ＝32， 取AB 的中点M ，连接CM ，取CM 的中点P ，连接AP ，DP ，FP ，OP .∵O ，P 分别为AD ，MC 的中点，AM ∥DC ∥EF ，且AM ＝DC ＝EF ，∴OP ∥EF 且OP ＝EF ， ∴四边形OPFE 为平行四边形，∴OE ∥FP ，OE ＝FP ， ∴FP ⊥平面ABCD . 易求得AP ＝72，DP ＝FP ＝32， ∴AF ＝102，DF ＝62， ∴DF 2＋AD 2＝AF 2，∴△ADF 为直角三角形， ∴S △FDA ＝64.∴h ＝EO ·S △ADC S △FDA ＝32×3464＝64.设直线AC 与平面FDA 所成的角为θ， 在△ADC 中，易得AC ＝3，则sin θ＝h AC ＝24.方法二 ∵DE ∥CF ，∴DE 在平面ABCD 上的投影长度为12，过点E 作EO ⊥AD 于点O ，∵平面DAE ⊥平面ABCD ，且平面DAE ∩平面ABCD ＝AD ，EO ⊂平面DAE . ∴EO ⊥平面ABCD ，则OD ＝12，。

典例9 (15分)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围．审题路线图 (1)求导f ′(x )＝m (e mx －1)＋2x ―→讨论m 确定f ′(x )的符号―→证明结论 (2)条件转化为(|f (x 1)－f (x 2)|)max ≤e －1――――→结合(1)知f (x )min＝f (0)⎩⎪⎨⎪⎧f (1)－f (0)≤e －1，f (－1)－f (0)≤e －1―→⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1―→构造函数g (t )＝e t －t －e ＋1―→研究g (t )的单调性―→寻求⎩⎪⎨⎪⎧g (m )≤0，g (－m )≤0的条件―→对m 讨论得适合条件的范围评分细则 (1)求出导数给1分；(2)讨论时漏掉m ＝0扣1分；两种情况只讨论正确一种给2分； (3)确定f ′(x )符号时只有结论无中间过程扣1分； (4)写出f (x )在x ＝0处取得最小值给1分； (5)无最后结论扣1分； (6)其他方法构造函数同样给分．跟踪演练9 (2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2， 证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②若a >2，令f ′(x )＝0，得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )>0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．(2)证明 由(1)知，f (x )存在两个极值点当且仅当a >2. 由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0， 所以x 1x 2＝1，不妨设0<x 1<x 2，则x 2>1. 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2<0.设函数g (x )＝1x－x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0. 所以1x 2－x 2＋2ln x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。