2017届高考数学一轮复习 选考部分 第十四篇 不等式选讲 第1节 绝对值不等式及其解法应用能力提升 文

第十四章选考内容不等式选讲一、2017年考试大纲(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式nx x n +>+11）（ （x 〉—1,x ≠0，n 为大于1的正整数)，了解当n 为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

(7）会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式，柯西不等式求一些特定函数的极值。

（8）了解证明不等式的基本方法：比较法，综合法，分析法，反证法,放缩法。

二、真题汇编1。

【2016课标Ⅰ理24】已知函数f （x ）=｜x+1｜﹣｜2x ﹣3|． (Ⅰ）在图中画出y=f(x ）的图象；（Ⅱ）求不等式|f （x)|＞1的解集．2. 【2016课标Ⅱ理24】已知函数|21||21|)(++-=x x x f ，M 为不等式f （x ）＜2的解集．（Ⅰ)求M ； （Ⅱ）证明：当a ，b∈M 时，|a+b|＜|1+ab ｜．3。

【2016课标Ⅲ理24】已知函数f （x ）=|2x ﹣a|+a ．（Ⅰ）当a=2时,求不等式f （x ）≤6的解集;（Ⅱ)设函数g （x ）=|2x ﹣1|，当x∈R 时，f （x)+g(x)≥3，求a 的取值范围．4。

【2015课标Ⅰ理24】 已知函数f(x ）=|x+1|﹣2|x ﹣a|，a ＞0．(Ⅰ)当a=1时,求不等式f（x）＞1的解集;（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．5. 【2015课标Ⅱ理24】设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；(2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d｜的充要条件．6。

【2014课标I理24】若a＞0，b＞0,且+=．(Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6?并说明理由．7.【2014课标Ⅱ理24】设函数f(x)=|x+|+｜x﹣a｜（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；(Ⅱ）若f（3）＜5,求a的取值范围．8.【2013课标Ⅰ理24】已知函数f（x）=｜2x﹣1|+｜2x+a｜，g（x）=x+3．(Ⅰ)当a=﹣2时，求不等式f(x)＜g（x)的解集;（Ⅱ）设a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．9．【2013课标Ⅱ理24】设a，b，c均为正数，且a+b+c=1,证明：(Ⅰ）（Ⅱ）．10。

第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．法二：利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想．法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．常用结论1．两个等价关系(1)|x|<a⇔－a<x<a(a>0)．(2)|x|>a⇔x<－a或x>a(a>0)．2．掌握一组主要关系|a ＋b |与|a |－|b |，|a －b |与|a |－|b |，|a |＋|b |之间的关系： (1)|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立．(2)|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时，左边等号成立，当且仅当ab ≤0时，右边等号成立．二、教材衍化1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：(－2，1]∪[4，7)2．不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________．解析：①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，所以x <4，所以1<x <4； ③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为{x |x <4}． 答案：{x |x <4}一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解．1．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________．解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2.答案：22．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3.答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)含绝对值不等式的解法(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|·(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0.所以，a的取值范围是[1，＋∞)．绝对值不等式常见的3种解法(1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|<c(c>0)或|x－a|－|x－b|>c(c>0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[提醒]用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．1．设函数f(x)＝|x＋4|.(1)若y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4，求a的值；(2)求不等式f(x)>1－12x的解集．解：(1)因为f(x)＝|x＋4|，所以y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)＝|2x＋a＋4|＋|2x－a＋4|≥|2x＋a＋4－(2x－a＋4)|＝|2a|，又y＝f(2x＋a)＋f(2x－a)的最小值为4.所以|2a|＝4，所以a＝±2.(2)f(x)＝|x＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋4，x>－4，0，x＝－4，－4－x，x<－4，所以不等式f(x)>1－12x等价于⎩⎪⎨⎪⎧x＋4>1－12x（x>－4），0>1－12x（x＝－4），－4－x>1－12x（x<－4），解得x>－2或x<－10，故不等式f(x)>1－12x的解集为{x|x>－2或x<－10}．2．已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3.(1)求不等式f(x)≤2的解集；(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围．解：(1)由f(x)≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧x≤1，2－2x≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x<4，0≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x≥4，2x－8≤2，解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为{x|0≤x≤5}．(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x，x≤1，0，1<x<4，2x－8，x≥4，作出函数f (x )的图象，如图所示，易知直线y ＝kx －2过定点C (0，－2)， 当此直线经过点B (4，0)时，k ＝12；当此直线与直线AD 平行时，k ＝－2. 故由图可知，k ∈(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.绝对值不等式性质的应用(师生共研)设不等式|x －2|<a (a ∈N +)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 【解】 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32，又因为a ∈N +，所以a ＝1.(2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，经常用于证明含绝对值的不等式．1．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值． 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)|≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.2．设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 解：(1)因为|x 2－x －15|>5，所以x 2－x －15<－5或x 2－x －15>5， 即x 2－x －10<0或x 2－x －20>0， 解得1－412<x <1＋412或x <－4或x >5，所以不等式|f (x )|>5的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <－4或x >5或1－412<x <1＋412. (2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)， 即|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．恒成立与存在性问题(师生共研)(2020·玉溪模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|. (1)解不等式f (x )≤x ＋3；(2)若g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|，对任意的x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解】 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤12，－x ＋2≤x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，3x ≤x ＋3，得－12≤x ≤32，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤32.(2)由f (x )＝|x ＋1|＋|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x ≤12，3x ，x >12，可知当x ＝12时，f (x )最小，无最大值，且f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.设A ＝{y |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝g (x )}， 则A ＝{y |y ≥32}，因为g (x )＝|3x －2m |＋|3x －2|≥|(3x －2m )－(3x －2)|＝|2m －2|， 所以B ＝{y |y ≥|2m －2|}．由题意知A ⊆B ，所以|2m －2|≤32，所以m ∈⎣⎡⎦⎤14，74. 故实数m 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |14≤m ≤74.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题，利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．1．(2020·陕西彬州质监)已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋2|. (1)求函数f (x )的值域；(2)若存在x ∈[－2，1]，使f (x )≥x 2＋a 成立，求a 的取值范围． 解：(1)依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，x ≥3，－2x ＋1，－2<x <3，5，x ≤－2.当－2<x <3时，－5<－2x ＋1<5， 所以f (x )的值域为[－5，5]． (2)因为－2≤x ≤1，所以f (x )≥x 2＋a 可化为－2x ＋1≥x 2＋a ， 得存在x ∈[－2，1]，使得a ≤－x 2－2x ＋1成立． 令g (x )＝－x 2－2x ＋1＝－(x ＋1)2＋2， 则当x ∈[－2，1]时，g (x )max ＝2， 所以a 的取值范围为(－∞，2]．2．已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R )． (1)若f (1)<11，求a 的取值范围；(2)若对任意的a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围．解：(1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1<a <2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a <11，解得a >－4， 所以－4＜a ≤1；当1<a <2时，1<11恒成立； 当a ≥2时，2a －3＜11， 解得a <7，所以2≤a <7.综上，a 的取值范围是(－4，7)．(2)因为任意的a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立， 又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， 所以|x |≥x 2－x －3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x <0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， 所以x 的取值范围为[－3，3]．[基础题组练]1．(2020·商洛模拟)已知不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 的解集为M . (1)若a ＝6，求集合M ；(2)若M ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝6时，原不等式为|2x ＋3|＋|2x －1|<6， 当x ≤－32时，原不等式化为－2x －3＋1－2x <6，解得x >－2，所以－2<x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式化为2x ＋3＋1－2x <6，解得4<6，所以－32<x <12；当x ≥12时，原不等式化为2x ＋3＋2x －1<6，解得x <1，所以12≤x <1.综上所述，集合M ＝{x |－2<x <1}．(2)因为M ≠∅，所以不等式|2x ＋3|＋|2x －1|<a 恒有解． 令f (x )＝|2x ＋3|＋|2x －1|，则f (x )＝2⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x ＋32＋⎪⎪⎪⎪x －12≥4， 所以a >4，即实数a 的取值范围是(4，＋∞)． 2．(2020·贵州质量测评)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|.(1)若对任意的x ∈R ，f (x )≥5a －a 2恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝6围成的封闭图形的面积． 解：(1)f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|≥|(x ＋3)－(x －1)|＝4， 所以f (x )min ＝4.对任意的x ∈R ，f (x )≥5a －a 2恒成立，所以f (x )min ≥5a －a 2， 所以4≥5a －a 2⇒a 2－5a ＋4≥0，解得a ≤1或a ≥4， 所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)． (2)f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≥1，4，－3<x <1，－2x －2，x ≤－3，当f (x )＝6时，x ＝－4或x ＝2.画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，一条底边长为4，高为2，所以封闭图形的面积S ＝12×(6＋4)×2＝10.3．(2020·四川绵阳一诊)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |(m ∈R )． (1)当m ＝1时，解不等式f (x )≥2；(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3，4]，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，当x ≤－12时，f (x )＝－2x －1＋(x －1)＝－x －2，由f (x )≥2得x ≤－4，综合得x ≤－4； 当－12<x <1时，f (x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x ，由f (x )≥2得x ≥23，综合得23≤x <1；当x ≥1时，f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2， 由f (x )≥2得x ≥0，综合得x ≥1.所以当m ＝1时，f (x )≥2的解集是{x |x ≤－4或x ≥23}．(2)因为f (x )＝|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|的解集包含[3，4]， 所以当x ∈[3，4]时，|2x ＋1|－|x －m |≥|x －3|恒成立．x ∈[3，4]时，原式可变为2x ＋1－|x －m |≥x －3，即|x －m |≤x ＋4， 所以－x －4≤x －m ≤x ＋4，则－4≤m ≤2x ＋4在[3，4]上恒成立，显然当x ＝3时，2x ＋4取得最小值10， 则m 的取值范围是[－4，10]．4．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )>9；(2)对任意的x 1∈R ，存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1<x <12，－3x ，x ≤－1.f (x )>9等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x >9或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x >9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x >9.综上，原不等式的解集为{x |x >3或x <－3}． (2)因为|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |. 由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32，所以2|a |≤32，即|a |≤34，所以－34≤a ≤34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34. [综合题组练]1．已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a . (1)若a ＝0，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若方程f (x )＝x 有三个不同的实数解，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝|x ＋1|－|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0.所以当x <－1时，f (x )＝－1<0，不合题意； 当－1≤x <0时，f (x )＝2x ＋1≥0，解得－12≤x <0；当x ≥0时，f (x )＝1>0，符合题意． 综上可得f (x )≥0的解集为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)设u (x )＝|x ＋1|－|x |，y ＝u (x )的图象和y ＝x 的图象如图所示．易知y ＝u (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.所以实数a 的取值范围为(－1，0)．2．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值．解：(1)因为f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5，所以当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，所以x >2； 当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，所以－2<x <0； 当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，所以x ≤－2. 综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(2)因为f (x )＝|2x －3|，所以g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |.所以依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.3．设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，所以f (x )>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x <－2或0<x ≤1或x >1. 综上，不等式f (x )>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立⇔a ＋1>f (x )min ， 由(1)得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，f (x )min ＝52，所以a ＋1>52，所以a >32， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )<4的解集为{x |x 1<x <x 2}，求x 1＋x 2的值；(2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|<4.当x >2时，原不等式可化为2x <5，所以2<x <52； 当x <－1时，原不等式可化为－2x <3，所以－32<x <－1； 当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3<4，所以－1≤x ≤2.综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <52， 即x 1＝－32，x 2＝52. 所以x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k .当x ＝2时，即不等式3k ≥k 成立，所以k ≥0.当x ≤－2或x ≥0时，因为|x ＋1|≥1，所以不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立．当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ，可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2， 所以k ≤3.当－1<x <0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x， 所以k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3.。

第十四篇不等式选讲(选修4-5)第1节绝对值不等式及其解法知识点、方法题号解绝对值不等式1,3,4与绝对值不等式有关的证明2,3与绝对值不等式有关的恒成立问题2,4 1.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1时,且当x∈[-错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=错误!未找到引用源。

其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[-错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

)时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈[-错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

)都成立.故-错误!未找到引用源。

≥a-2,即a≤错误!未找到引用源。

.从而a的取值范围是(-1,错误!未找到引用源。

].2.(2016贵阳一测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:错误!未找到引用源。

≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-错误!未找到引用源。

恒成立,求实数k的取值范围.(1)证明:|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,所以错误!未找到引用源。

≥4.(2)解:记h(x)=|2x+1|-|x+1|=错误!未找到引用源。

若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-错误!未找到引用源。

恒成立,则函数h(x)的图像在直线y=k(x-1)-错误!未找到引用源。

的上方,因为y=k(x-1)-错误!未找到引用源。

经过定点(1,-错误!未找到引用源。