高考数学一轮复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法(理)选修4-5

课后课时作业1.[2015·重庆高考]若函数f(x)＝|x ＋1|＋2|x －a|的最小值为5，则实数a ＝________.答案 －6或4解析 当a ≤－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤a )x －2a －1(a<x ≤－1)3x －2a ＋1(x>－1)，∴f(x)min ＝－a －1，∴－a －1＝5，∴a ＝－6. 当a>－1时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1(x ≤－1)－x ＋2a ＋1(－1<x ≤a )3x －2a ＋1(x>a )，∴f(x)min ＝a ＋1，∴a ＋1＝5，∴a ＝4. 综上，a ＝－6或a ＝4.2．不等式|2x ＋1|－2|x －1|>0的解集为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>14解析 |2x ＋1|－2|x －1|>0⇔|2x ＋1|>2|x －1|⇔(2x ＋1)2>4(x －1)2⇔12x>3⇔x>14，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x>14.3．[2016·南昌月考]若实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝4，则3a ＋4b ＋5c 的最大值为________．答案 10 2解析 由柯西不等式得(3a ＋4b ＋5c)2≤(a 2＋b 2＋c 2)(9＋16＋25)＝200，所以－102≤3a ＋4b ＋5c ≤102，所以3a ＋4b ＋5c 的最大值为10 2.4．[2015·黄陵一模]设关于x 的不等式|x|＋|x －1|<a(a ∈R )．若a ＝2，则不等式的解集为________；若不等式的解集为∅，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－12，32 (－∞，1]解析 a ＝2时，不等式|x |＋|x －1|<2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－x ＋1－x <2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1x ＋1－x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋x －1<2，解得－12<x ≤0或0<x <1或1≤x <32，即－12<x <32，故不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.因为|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，所以若不等式|x |＋|x －1|<a 的解集为∅，则a 的取值范围是(－∞，1]．5．[2015·江苏高考]解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－323x ＋3≥2.解得x ≤－5或x ≥－13.综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－5或x ≥－13. 6．设不等式|2x －1|<1的解集为M . (1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小． 解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1， 解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b .7．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <aa －x ＋3x ≤0，即⎩⎨⎧x ≥ax ≤a 4或⎩⎨⎧x <a x ≤－a2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8．[2013·福建高考]设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0， 即－1≤x ≤2时取到等号． 所以f (x )的最小值为3.9．[2015·课标全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ， 则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 10．[2016·大连模拟]已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )． (1)当m ＝5时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥1的解集是R ，求m 的取值范围． 解 (1)由题意知，|x ＋1|＋|x －2|－5>0，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋1＋x －2>5或⎩⎨⎧－1<x <2x ＋1－x ＋2>5或⎩⎨⎧x ≤－1－x －1－x ＋2>5，解得x <－2或x >3.∴函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(3，＋∞)． (2)由对数函数的性质知，f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－m )≥1＝log 22， ∴不等式f (x )≥1等价于|x ＋1|＋|x －2|≥2＋m .∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，而不等式|x ＋1|＋|x －2|≥m ＋2的解集是R ，∴m ＋2≤3，故m 的取值范围是(－∞，1]． 11．[2016·大同月考]设函数f (x )＝|2x －7|＋1. (1)求不等式f (x )≤|x －1|的解集；(2)若存在x 使不等式f (x )≤ax 成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意得|2x －7|＋1≤|x －1|. 当x <1时，－(2x －7)＋1≤－(x －1)，解得x ≥7，∴x 不存在．当1≤x ≤72时，－(2x －7)＋1≤x －1，解得x ≥3， ∴3≤x ≤72.当x >72时，(2x －7)＋1≤x －1，解得x ≤5， ∴72<x ≤5.综上，不等式的解集为[3,5]． (2)|2x －7|＋1≤ax .当x ≥72时，(a －2)x ＋6≥0能成立， 若a －2≥0，则a ≥2满足．若a －2<0，则(a －2)×72＋6≥0，解得27≤a <2. ∴a ≥27.当x <72时，(a ＋2)x －8≥0能成立， 若a ＋2<0，则a <－2满足． 若a ＋2＝0，则a ＝－2不满足． 若a ＋2>0，则(a ＋2)×72－8>0，解得a >27. ∴a >27或a <－2. 综上，a ≥27或a <－2.12．[2015·大庆二模]已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.解 (1)由f (x ＋1)≥0得|x |＋|x －1|≤m . ∵|x |＋|x －1|≥1恒成立，∴若m <1，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不合题意． 若m ≥1，①当x <0时，得x ≥1－m 2，所以1－m2≤x <0； ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m ，即m ≥1恒成立； ③当x >1时，得x ≤m ＋12，所以1<x ≤m ＋12.综上可知，不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－m 2，m ＋12.由题意知，原不等式的解集为[0,1]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m2＝0m ＋12＝1，解得m ＝1.(2)证明：∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ， 三式相加，得x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz . 由题设及(1)，知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ＝1， ∴2≥2(ax ＋by ＋cz )，即ax ＋by ＋cz ≤1，得证．。