高中数学一轮复习不等式选讲

第十八章不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望1.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c类型.3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法.4.了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.5.了解柯西不等式的几种不同形式：二维形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式∑∑∑===∙nininiiiiibaba112122)(≥，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.6.了解排序不等式的推导及意义并能简单应用.7.会用数学归纳法证明贝努利不等式：.)1,0,1＞(＞1)1(的正整数为大于nxxnxx n≠-++本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时了解证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只考查上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络18.1 绝对值型不等式典例精析题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0； 当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解； 当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 解绝对值三角不等式【例2】已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对a ≠0，a 、b ∈R 恒成立，求实数x 的范围.【解析】由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x ).又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，则有2≥f (x ).解不等式|x －1|＋|x －2|≤2得12≤x ≤52.【变式训练2】(2010深圳)若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【解析】(－∞，0)∪{2}.题型三 利用绝对值不等式求参数范围 【例3】(2009辽宁)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|.由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3，①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤x f x 的解集为(－∞，－32]；②当－1＜x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立，不等式组⎩⎨⎧-3≥)(1,≤＜1x f x 的解集为∅；③当x ＞1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3，不等式组⎩⎨⎧3≥)(1,＞x f x 的解集为[32，＋∞).综上得f (x )≥3的解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞).(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|不满足题设条件.若a ＜1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-1,≥1),(-2＜1,＜,1,≤,12x a x x a a a x a xf (x )的最小值为1－a .由题意有1－a ≥2，即a ≤－1.若a ＞1，f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧+-++-,≥1),(-2,＜＜1,11,≤,12a x a x a x a x a xf (x )的最小值为a －1，由题意有a －1≥2，故a ≥3.综上可知a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞).【变式训练3】关于实数x 的不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2与x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0 (a ∈R )的解集分别为A ，B .求使A ⊆B 的a 的取值范围.【解析】由不等式|x －12(a ＋1)2|≤12(a －1)2⇒－12(a －1)2≤x －12(a ＋1)2≤12(a －1)2，解得2a ≤x ≤a 2＋1，于是A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}.由不等式x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0⇒(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0， ①当3a ＋1≥2，即a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}，因为A ⊆B ，所以必有⎩⎨⎧++1,3≤1,2≤22a a a 解得1≤a ≤3；②当3a ＋1＜2，即a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}，因为A ⊆B ，所以⎩⎨⎧++2,≤1,2≤132a a a 解得a ＝－1.综上使A ⊆B 的a 的取值范围是a ＝－1或1≤a ≤3.总结提高1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.绝对值不等式的解法中，||x ＜a 的解集是(－a ，a )；||x ＞a 的解集是(－∞，－a )∪(a ，＋∞)，它可以推广到复合型绝对值不等式||ax ＋b ≤c ，||ax ＋b ≥c 的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式，如||3x ＋1≤x －1⇒1－x ≤3x ＋1≤x －1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如||x －a ＋||x －b ≥c 和||x －a ＋||x －b ≤c 型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.18.2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例1】 若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【证明】 由a ，b ，c 为正数，得 lg a ＋b 2≥lg ab ；lg b ＋c 2≥lg bc ；lg a ＋c 2≥lg ac .而a ，b ，c 不全相等，所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c2＞lg ab ＋lg bc ＋lg ac ＝lg a 2b 2c 2＝lg(abc )＝lg a ＋lg b ＋lg c .即lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg a ＋c 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.求证：|ac ＋bd |≤1. 【证明】因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 题型二 用作差法证明不等式【例2】 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ). 【证明】a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＝(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2－a 2－b 2－c 2＝[(a －b )2－c 2]＋[(b －c )2－a 2]＋[(c －a )2－b 2].而在△ABC 中，||b －a ＜c ，所以(a －b )2＜c 2，即(a －b )2－c 2＜0.同理(a －c )2－b 2＜0，(b －c )2－a 2＜0，所以a 2＋b 2＋c 2－2(ab ＋bc ＋ca )＜0. 故a 2＋b 2＋c 2＜2(ab ＋bc ＋ca ).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a ，b 为实数，0＜n ＜1,0＜m ＜1，m ＋n ＝1，求证：a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2.【证明】因为a 2m ＋b2n －(a ＋b )2＝na 2＋mb 2mn －nm (a 2＋2ab ＋b 2)mn＝na 2(1－m )＋mb 2(1－n )－2mnab mn＝n 2a 2＋m 2b 2－2mnab mn ＝(na －mb )2mn≥0，所以不等式a 2m ＋b 2n≥(a ＋b )2成立.题型三 用分析法证明不等式【例3】已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8(1－a )(1－b )(1－c ).【证明】因为a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a ＋b ＋c )＋a ][(a ＋b ＋c )＋b ][(a ＋b ＋c )＋c ] ≥8[(a ＋b ＋c )－a ][(a ＋b ＋c )－b ][(a ＋b ＋c )－c ]，也就是证[(a ＋b )＋(c ＋a )][(a ＋b )＋(b ＋c )][(c ＋a )＋(b ＋c )]≥8(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b ).① 因为(a ＋b )＋(b ＋c )≥2(a ＋b )(b ＋c )＞0， (b ＋c )＋(c ＋a )≥2(b ＋c )(c ＋a )＞0， (c ＋a )＋(a ＋b )≥2(c ＋a )(a ＋b )＞0， 三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分析法也可以作为寻找证题思路的方法，分析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f (x )＝x －a (x ＋1)ln(x ＋1)(x ＞－1，a ≥0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求证：当m ＞n ＞0时，(1＋m )n ＜(1＋n )m . 【解析】(1)f ′(x )＝1－a ln(x ＋1)－a ，①a ＝0时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1，＋∞)上是增函数； ②当a ＞0时，f (x )在(－1，aa -1e －1]上单调递增，在[aa-1e －1，＋∞)单调递减.(2)证明：要证(1＋m )n ＜(1＋n )m ，只需证n ln(1＋m )＜m ln(1＋n )，只需证ln(1＋m )m ＜ln(1＋n )n.设g (x )＝ln(1＋x )x (x ＞0)，则g ′(x )＝x1＋x －ln(1＋x )x 2＝x －(1＋x )ln(1＋x )x 2(1＋x ). 由(1)知x －(1＋x )ln(1＋x )在(0，＋∞)单调递减， 所以x －(1＋x )ln(1＋x )＜0，即g (x )是减函数， 而m ＞n ，所以g (m )＜g (n )，故原不等式成立.总结提高1.一般在证明不等式的题目中，首先考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得较多的是“作差比较法”，其中在变形过程中往往要用到配方、因式分解、通分等计算方法.2.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.3.用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换，它是从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立.4.所谓“综合法”、“分析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真正意义上的证明方法，并不像前面所用的比较法及后面要复习到的三角代换法、放缩法、判别式法、反证法等是一种具体的证明方法(或者手段)，而只是两种互逆的证明题的书写格式.18.3 不等式的证明(二)典例精析题型一 用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【证明】 方法一：(放缩法) 因为a ＋b ＝1，所以左边＝(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2[(a ＋2)＋(b ＋2)2]2＝12[(a ＋b )＋4]2＝252＝右边.方法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2＜252，则 a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8＜252.由a ＋b ＝1，得b ＝1－a ，于是有a 2＋(1－a )2＋12＜252.所以(a －12)2＜0，这与(a －12)2≥0矛盾.故假设不成立，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.【点拨】 根据不等式左边是平方和及a ＋b ＝1这个特点，选用重要不等式a 2 ＋ b 2≥ 2(a ＋ b 2)2来证明比较好，它可以将具备a 2＋b 2形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件a ＋b ＝1，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a 0，a 1，a 2，…，a n －1，a n 满足a 0＝a n ＝0，且有 a 0－2a 1＋a 2≥0， a 1－2a 2＋a 3≥0， …a n －2－2a n －1＋a n ≥0， 求证：a 1，a 2，…，a n －1≤0.【证明】由题设a 0－2a 1＋a 2≥0得a 2－a 1≥a 1－a 0. 同理，a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a 2－a 1≥a 1－a 0.假设a 1，a 2，…，a n －1中存在大于0的数，假设a r 是a 1，a 2，…，a n －1中第一个出现的正数. 即a 1≤0，a 2≤0，…，a r －1≤0，a r ＞0，则有a r －a r －1＞0，于是有a n －a n －1≥a n －1－a n －2≥…≥a r －a r －1＞0. 并由此得a n ≥a n －1≥a n －2≥…≥a r ＞0.这与题设a n ＝0矛盾.由此证得a 1，a 2，…，a n －1≤0成立. 题型二 用数学归纳法证明不等式 【例2】用放缩法、数学归纳法证明：设a n ＝1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)，n ∈N *，求证：n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【证明】 方法一：(放缩法)n 2＜n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2，即n ＜n (n ＋1)＜2n ＋12.所以1＋2＋…＋n ＜a n ＜12[1＋3＋…＋(2n ＋1)].所以n (n ＋1)2＜a n ＜12·(n ＋1)(1＋2n ＋1)2，即n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.方法二：(数学归纳法)①当n ＝1时，a 1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n ＝k (k ≥1)时，不等式成立，即k (k ＋1)2＜a k ＜(k ＋1)22.则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1×2＋2×3＋…＋k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)，所以k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＜a k ＋1＜(k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2).而k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)＞k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋1)＝k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2， (k ＋1)22＋(k ＋1)(k ＋2)＜(k ＋1)22＋(k ＋1)＋(k ＋2)2＝k 2＋4k ＋42＝(k ＋2)22. 所以(k ＋1)(k ＋2)2＜a k ＋1＜(k ＋2)22.故当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综合①②知当n ∈N *，都有n (n ＋1)2＜a n ＜(n ＋1)22.【点拨】 在用放缩法时，常利用基本不等式n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学归纳法的关键步骤也要用到这个公式.在用数学归纳法时要注意根据目标来寻找思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，…，8n (2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算得S 1＝89，S 2＝2425，S 3＝4849，S 4＝8081，观察上述结果推测出计算S n 的公式且用数学归纳法加以证明.【解析】猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2(n ∈N ＋).证明：①当n ＝1时，S 1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1)时等式成立，即S k ＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2.则S k ＋1＝S k ＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2－1(2k ＋1)2＋8(k ＋1)(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝(2k ＋1)2(2k ＋3)2－(2k ＋1)2(2k ＋1)2(2k ＋3)2＝[2(k ＋1)＋1]2－1[2(k ＋1)＋1]2.即当n ＝k ＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n ∈N ＋，等式都成立. 题型三 用不等式证明方法解决应用问题【例3】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量.(1)求a n 的表达式；(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年森林木材量应不少于79a ，如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg 2＝0.30)【解析】(1)依题意得a 1＝a (1＋14)－b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b ＝54(54a －b )－b ＝(54)2a －(54＋1)b ，a 3＝54a 2－b ＝(54)3a －[(54)2＋(54＋1)]b ，由此猜测a n ＝(54)n a －[(54)n －1＋(54)n －2＋…＋54＋1]b ＝(54)n a －4[(54)n －1]b (n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，猜测成立.②假设n ＝k (k ≥2)时猜测成立，即a k ＝(54)k a －4[(54)k －1]b 成立.那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝54⎩⎨⎧⎭⎬⎫(54)k a －4[(54)k －1]b －b ＝(54)k ＋1a －4[(54)k ＋1－1]b ，即当n ＝k ＋1时，猜测仍成立. 由①②知，对任意n ∈N ＋，猜测成立.(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于79a ，所以(54)n a －4[(54)n －1]·1972a ＜79a ，整理得(54)n ＞5，两边取对数得n lg 54＞lg 5，所以n ＞lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈1－0.301－3×0.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0).(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】(1)依题意，y ＝9203＋(v ＋1 600v)≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v，即v ＝40时，上式等号成立，所以y max ＝92083≈11.1(千辆/时).(2)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64.答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.总结提高1.有些不等式，从正面证如果不易说清，可以考虑反证法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.2.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中寻找.常用的放缩方法有：(1)添加或舍去一些项，如a 2＋1＞||a ，n (n ＋1)＞n ； (2)将分子或分母放大(或缩小)；(3)利用基本不等式，如n (n ＋1)＜n ＋(n ＋1)2；(4)利用常用结论，如k ＋1－k ＝1k ＋1＋k ＜12k，1k 2＜1k (k －1)＝1k －1－1k； 1k 2＞1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1(程度大)； 1k 2＜1k 2－1＝1(k －1)(k ＋1)＝12(1k －1－1k ＋1) (程度小). 3.用数学归纳法证明与自然数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样，先要奠基，后进行假设与推理，二者缺一不可.18.4 柯西不等式和排序不等式典例精析题型一 用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a 1，a 2，…，a n 都为正实数，证明：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】方法一：由柯西不等式，有(a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1)(a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1)≥ (a 1a 2·a 2＋a 2a 3·a 3＋…＋a n a 1·a 1)2＝(a 1＋a 2＋…＋a n )2. 不等式两边约去正数因式a 1＋a 2＋…＋a n 即得所证不等式.方法二：不妨设a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n，1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 由排序不等式有a 21·1a 2＋a 22·1a 3＋…＋a 2n －1·1a n ＋a 2n ·1a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， 故不等式成立.方法三：由均值不等式有 a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2na 1＋a 1≥2a n ，将这n 个不等式相加得 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 1≥2(a 1＋a 2＋…＋a n )，整理即得所证不等式. 【点拨】 根据所证不等式的结构形式观察是否符合柯西不等式、排序不等式的结构形式或有相似之处.将其配成相关结构形式是解决问题的突破口，有时往往要进行添项、拆项、重组、配方等方法的处理.【变式训练1】已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.【证明】左边＝[2(a ＋b ＋c )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)≥(1＋1＋1)2＝9，(或左边＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a)＝3＋a ＋b b ＋c ＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c a ＋b ＋b ＋c c ＋a ＋c ＋a a ＋b ＋c ＋a b ＋c≥3＋2b ac b c b b a ++++∙＋2b a a c a c b a ++++∙＋2c b ac a c c b ++++∙＝9) 所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.题型二 用柯西不等式求最值【例2】 若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝2，求x 2＋y 2＋z 2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得，(12＋22＋32)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋3z )2＝4 (当且仅当1＝kx,2＝ky,3＝kz 时等号成立，结合x ＋2y ＋3z ＝2，解得x ＝17，y ＝27，z ＝37)，所以14(x 2＋y 2＋z 2)≥4.所以x 2＋y 2＋z 2≥27.故x 2＋y 2＋z 2的最小值为27.【点拨】 根据柯西不等式，要求x 2＋y 2＋z 2的最小值，就要给x 2＋y 2＋z 2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x ＋2y ＋3z 的形式，从而得到解题思路.由此可见，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值.【解析】因为(x 2＋2y 2＋3z 2)[32＋(2)2＋(13)2]≥(3x ＋2y ·2＋3z ·13)2≥(3x ＋2y ＋z )2，所以(3x ＋2y ＋z )2≤12，即－23≤3x ＋2y ＋z ≤23，当且仅当x ＝－9317，y ＝－3317，z ＝－317时，3x ＋2y ＋z 取最小值，最小值为－2 3. 题型三 不等式综合证明与运用【例3】 设x ＞0，求证：1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .【证明】(1)当x ≥1时，1≤x ≤x 2≤…≤x n ，由排序原理：顺序和≥反序和得 1·1＋x ·x ＋x 2·x 2＋…＋x n ·x n ≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即1＋x 2＋x 4＋…＋x 2n ≥(n ＋1)x n .①又因为x ，x 2，…，x n ，1为序列1，x ，x 2，…，x n 的一个排列，于是再次由排序原理：乱序和≥反序和得1·x ＋x ·x 2＋…＋x n －1·x n ＋x n ·1≥1·x n ＋x ·x n －1＋…＋x n －1·x ＋x n ·1，即x ＋x 3＋…＋x 2n －1＋x n ≥(n ＋1)x n ，②将①和②相加得1＋x ＋x 2＋…＋x 2n ≥(2n ＋1)x n .③ (2)当0＜x ＜1时，1＞x ＞x 2＞…＞x n . 由①②仍然成立，于是③也成立. 综合(1)(2)，原不等式成立.【点拨】 分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序.【变式训练3】把长为9 cm 的细铁线截成三段，各自围成一个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.【解析】设这三个正三角形的边长分别为a 、b 、c ，则a ＋b ＋c ＝3，且这三个正三角形面积和S 满足：3S ＝34(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥34(a ＋b ＋c )2＝934⇒S ≥334.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.总结提高1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用.教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a 2＋b 2≥2ab .有些重要不等式则可以借助排序不等式得到简捷的证明.证明排序不等式时，教科书展示了一个“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，目的是引导学生通过自己的数学活动，初步认识排序不等式的数学意义、证明方法和简单应用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根据所求解(证)的式子结构入手，构造适当的两组数，有难度的逐步调整去构造.对于具体明确的大小顺序、数目相同的两列数考虑它们对应乘积之和的大小关系时，通常考虑排序不等式.。

高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第2部分：不等式选讲）一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m 是“|x-y|＜2m ”(x,y,a,m ∈R)的（A ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||x a m y a m -<⎧⎨-<⎩与|x-y|＜2m 的关系即得答案。

解答：选A 。

|||()()|||||2,||,||||23,1,2, 2.5,||252,||5,|| 2.5,||||||2.x y x a y a x a y a m m m x a m y a m x y m x y a m x y m x a x a m x a m y a m x y m -=---≤-+-<+=∴-<-<-<===-=-=<=-=-<=-<-<-< 且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法 〖例〗解下列不等式：2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2| 5.x x x x x x x <-≤+>+-≤+-++<思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。

（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。

（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|f x a a a f x a ≤>⇒-≤≤去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。

（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。

解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3x x ->⎧⎨-≤⎩即13,15x x x <>⎧⎨-≤≤⎩或 解得-1≤x ＜1或3＜x ≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. （2）由不等式|25|7x x +>+，可得250257x x x +≥⎧⎨+>+⎩或250,25(7)x x x +<⎧⎨+<-+⎩解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}（3）原不等式⇔①229093x x x ⎧-≥⎪⎨-≤+⎪⎩或②2290,93x x x ⎧-<⎪⎨-≤+⎪⎩ 不等式①⇔3333 4.34x x x x x ≤-≥⎧⇔=-≤≤⎨-≤≤⎩或或不等式②⇔332 3.32x x x x -<<⎧⇔≤<⎨≤-≥⎩或 ∴原不等式的解集是{x|2≤x ≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。

选修4-5 不等式选讲第一节绝对值不等式[基础达标]一、填空题(每小题5分,共25分)1.若不等式A={x||3x+2|>1},B={x||x-2|≤3},则A∩B=.【解析】解不等式|3x+2|>1得3x+2<-1或3x+2>1,解得x<-1或x>-,则A=;解不等式|x-2|≤3得-3≤x-2≤3,则-1≤x≤5,则B={x|-1≤x≤5},所以A∩B=.2.(2015·某某统测)不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为.[-2,3]【解析】不等式|x-2|+|x+1|≤5⇔解得-2≤x<-1或-1≤x≤2或2<x≤3,所以不等式|x-2|+|x+1|≤5的解集为[-2,3].3.(2015·某某巴蜀中学三诊)已知关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,则a的取值X围为.(-2,2)【解析】由关于x的不等式|x+2|+|x-2|≤a2解集为空集,得关于x的不等式|x+2|+|x-2|>a2解集为R,则(|x+2|+|x-2|)min>a2.又|x+2|+|x-2|≥|(x+2)-(x-2)|=4,所以a2<4,-2<a<2.4.若关于x的不等式|x-a|+|x-1|≥a恒成立,则实数a的取值X围是.【解析】由题意可得(|x-a|+|x-1|)min≥a,又|x-a|+|x-1|≥|1-a|,所以|a-1|≥a,则a-1≤-a,a≤.5.(2015·某某三模)若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,则|2x+3y+1|的最大值为.7【解析】由|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|≤2|x-1|+3|y+1|≤7,得|2x+3y+1|的最大值为7.二、解答题(每小题10分,共50分)6.(2015·某某高考)解不等式x+|2x+3|≥2.【解析】原不等式可化为解得x≤-5或x≥-.综上,原不等式的解集是.7.(2015·东北三省四市二模)设函数f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,某某数t的取值X围.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-x-4>2,x<-6,∴x<-6;当-1≤x<2时,3x>2,x>,∴<x<2;当x≥2时,x+4>2,x>-2,∴x≥2.综上所述.(2)易得f(x)min=f(-1)=-3,若对于∀x∈R,f(x)≥t2-t恒成立,则只需f(x)min=-3≥t2-t⇒2t2-7t+6≤0⇒≤t≤2,综上所述≤t≤2.8.(2015·某某实验中学质检)设函数f(x)=|x-1|+|x-3|.(1)求不等式f(x)>2的解集;(2)若不等式f(x)≤a的解集非空,某某数a的取值X围.【解析】(1)函数f(x)=方程f(x)=2的根为x1=,x2=3,由函数f(x)的图象知f(x)>2的解集为.(2)设g(x)=a,g(x)表示过点,斜率为a的直线,f(x)≤a的解集非空,即y=f(x)的图象在g(x)图象下方有图象,或与g(x)图象有交点,由图象可知a<-或a≥.9.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+5|,且f(x)≥m恒成立.(1)求m的取值X围;(2)当m取最大值时,解关于x的不等式|x-3|-2x≤2m-8.【解析】(1)f(x)=当-≤x≤时,函数有最小值6,所以m≤6.(2)当m取最大值6时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,等价于可得x≥3或-≤x<3.所以原不等式的解集为.10.(2015·某某模拟)已知函数f(x)=|x-1|+|x+a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≥4;(2)若a>0,且∀x∈R,f(x)≥5恒成立,求a的取值X围.【解析】(1)当a=2时,f(x)=|x-1|+|x+2|,由f(x)≥4得|x-1|+|x+2|≥4.当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+1≥4,其解集为.当-2<x≤1时,不等式化为x+2-x+1≥4,其解集为⌀.当x>1时,不等式化为x+2+x-1≥4,其解集为.综上得f(x)≥4的解集为.(2)因为a>0,所以f(x)=|x-1|+|x+a|=因此f(x)的最小值为a+1,由f(x)≥5恒成立,即a+1≥5恒成立,解得a≥4,所以当a>0时,对于∀x∈R,使f(x)≥5恒成立的a的取值X围是[4,+∞).[高考冲关]1.(5分)集合A=[1,5],集合B={x∈R‖x+3|+|x-2|≤a+2},且A⊆B,则实数a的取值X围是.[9,+∞)【解析】由题意可得当x∈[1,5]时,关于x的不等式|x+3|+|x-2|≤a+2恒成立,则(|x+3|+|x-2|)max≤a+2,又|x+3|+|x-2|=所以当x=5时,|x+3|+|x-2|取得最大值11,故a+2≥11,解得a≥9.2.(5分)(2015·某某调研)设函数f(x)=|x-1|+|2x-a|,若关于x的不等式f(x)≥a2+1对x∈R恒成立,则实数a的取值X围是.[-2,0]【解析】当<1,a<2时,f(x)=f(x)min=f=-a+1≥a2+1,解得-2≤a≤0;当>1,a>2时,f(x)=f(x)min=f a-1≥a2+1,无解;当a=2时,不成立.综上可得实数a的取值X围是[-2,0].3.(10分)(2015·某某测试)设函数f(x)=|x-1+a|+|x-a|.(1)若a≥2,x∈R,证明f(x)≥3;(2)若f(1)<2,求a的取值X围.【解析】(1)|x-1+a|+|x-a|≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,又a≥2,故|2a-1|≥3,所以此时f(x)≥3.(2)f(1)=|a|+|1-a|,当a≤0时,f(1)=(-a)+(1-a)=1-2a,由f(1)<2,得1-2a<2,即-<a≤0;当0<a≤1时,f(1)=a+(1-a)=1<2恒成立,故0<a≤1;当a>1时,f(1)=a+(a-1)=2a-1,由f(1)<2,得2a-1<2,解得1<a<.综上a的取值X围是.4.(10分)(2015·某某监测)(1)已知a和b是任意非零实数.证明:≥4;(2)若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,某某数k的取值X围.【解析】(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|,∴≥4.(2)记h(x)=|2x+1|-|x+1|=如图,若不等式|2x+1|-|x+1|>k(x-1)-恒成立,则函数h(x)的图象在直线g(x)=k(x-1)-的上方,又g(x)的图象恒过定点,即g(x)的图象只能在图中阴影区域内,可得k∈.5.(10分)(2015·某某二中二模)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+3|,g(x)=|x-1|+2.(1)解不等式|g(x)|<5;(2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,某某数a的取值X围.【解析】(1)由‖x-1|+2|<5,得-5<|x-1|+2<5,∴-7<|x-1|<3,-2<x<4,∴不等式|g(x)|<5的解集为(-2,4).(2)∵对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,∴{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)},又f(x)=|2x-a|+|2x+3|≥|(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|,g(x)=|x-1|+2≥2,则|a+3|≥2,解得a≥-1或a≤-5,即实数a的取值X围为(-∞,-5]∪[-1,+∞).。