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选修4-5 不等式选讲[最新考纲][考情分析][核心素养] 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1.绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，与绝对值相关的参数问题是2021年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.2.综合法、分析法、比较法证明不等式是2021年高考考查的热点，题型为解答题，分值为10分.1.逻辑推理2.数学运算‖知识梳理‖1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|1|a|＋|b|，当且仅当2ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，3|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当4(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x∈R|x≠0}R①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解． ►常用结论如果把实数a ，b 改为向量也成立，即|a ＋b |≤|a |＋|b |，这里|a ＋b |，|a|，|b|均为向量的模，当且仅当a 与b 方向相同或至少有一个向量为零时等号成立．3．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥立．4．比较法(1)比差法的依据是：a －b >0号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B >0，只需证AB ≥1.5．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的15推理、论证而得出命题(2)已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√二、走进教材2．(选修4－5P20T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为()A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7]C．(－2，－1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7)答案：D3．(选修4－5P20T8改编)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集为________．答案：(－∞，4)三、易错自纠4．设a，b为满足ab<0的实数，那么()A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选B∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.5．若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．解析：∵|x－1|≤1，|y－2|≤1，∴－1≤x－1≤1，－1≤y－2≤1，∴|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤1＋2＋2＝5.答案：56．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，∴要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案：[－2，4]考点一绝对值不等式的解法【例1】(2019年全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当1≤x <2时，f (x )＝2(x －1)≥0；当x ≥2时，f (x )＝2x 2－4x ＋2>0，所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0， 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)． ►名师点津解绝对值不等式的常用方法基本性质法 对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a平方法 两边平方去掉绝对值符号零点分区间法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解|跟踪训练|1．(2020届贵阳摸底)设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|，x ∈R . (1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)如果关于x 的不等式f (x )≥a －(x －7)2在R 上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≤－1，6，－1＜x ≤5，2x －4，x ＞5，当x ≤－1时，由－2x ＋4≤10得－3≤x ≤－1； 当－1＜x ≤5时，f (x )＝6＜10恒成立，则－1＜x ≤5； 当x ＞5时，由2x －4≤10得5＜x ≤7.综上可得，不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}．(2)设g (x )＝a －(x －7)2，则g (x )的图象是以x ＝7为对称轴的抛物线，如图所示，在同一坐标系中作出f (x )的图象．“关于x 的不等式f (x )≥a －(x －7)2在R 上恒成立”等价于2x －4≥a －(x －7)2在(5，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2－12x ＋45在(5，＋∞)上恒成立，令φ(x )＝x 2－12x ＋45＝(x －6)2＋9，当x ＝6时，φ(x )min ＝9，经检验，y ＝2x －4恰为y ＝a －(x －7)2在(6，8)处的切线，∴a ≤9.考点二 不等式的证明——多维探究不等式的证明是考查热点，归纳起来常见的命题角度有：(1)用比较法证明不等式；(2)用综合法证明不等式；(3)用分析法证明不等式．●命题角度一 用比较法证明不等式【例2】 设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． [证明] ∵a ，b 是非负实数，∴a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5]．当a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5， 所以(a －b )[(a )5－(b )5]≥0； 当a <b 时，a <b ，从而(a )5<(b )5， 所以(a －b )[(a )5－(b )5]>0. 故a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ►名师点津作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负．作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与1的大小．●命题角度二 用综合法证明不等式【例3】 (2019年全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，且abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c ，所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有 (a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3 ＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24，所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24. ►名师点津1．综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.●命题角度三 用分析法证明不等式 【例4】 已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )>f (a )－f (－b )． [解] (1)由题意，知|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1<－2x －2， 解得x <－1； ②当－1<x <－12时，不等式可化为x ＋1<－2x －2，即x <－1， 此时不等式无解；③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1.综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|>|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2>|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1>a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1>0， 即证(a 2－1)(b 2－1)>0.因为a ，b ∈M ，所以a 2>1，b 2>1，所以(a 2－1)(b 2－1)>0成立，所以原不等式成立． ►名师点津1．分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式(ab ≤a ＋b2，a >0，b >0)没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．用分析法求证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… …只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 为真．|跟踪训练|2．(2020届石家庄摸底)(1)已知a ，b ，c 均为正实数，a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9；(2)已知a ，b ，c 均为正实数，abc ＝1，证明：a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c.证明：(1)1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝b a ＋c a ＋1＋a b ＋c b ＋1＋a c ＋b c ＋1＝b a ＋ab ＋b c ＋c b ＋a c ＋ca＋3≥2b a ×a b＋2b c ×c b＋2a c ×ca＋3＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． (2)因为1a ＋1b ＋1c ＝121a ＋1b ＋1a ＋1c ＋1b ＋1c ≥12×⎝⎛⎭⎫21ab＋21ac＋21bc ， 又abc ＝1，所以1ab ＝c ，1ac ＝b ，1bc ＝a ，所以1a ＋1b ＋1c ≥c ＋b ＋a ，当且仅当a ＝b ＝c时等号成立．考点三 绝对值不等式的综合应用【例5】 (2020届湖北部分重点中学联考)已知a ，b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)求使得f (x )＞2成立的x 的取值集合M ；(2)求证：当x ∈∁R M 时，|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a ，b 都成立． [解] (1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1＜x ＜2，2x －3，x ≥2，由f (x )＞2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3＞2，解得x ＜12或x ＞52. 所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即M ＝⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.(2)证明：因为M ＝⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，所以当x ∈∁R M 时，f (x )≤2，即f (x )max ＝2. 因为|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，a ≠0，所以|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )在x ∈∁R M 时恒成立． ►名师点津1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．2．f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ； f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .|跟踪训练|3．(2019届湘东五校联考)已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|. (1)当m ＝5时，求不等式f (x )>2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5＋2x ，x <－1，3，－1≤x ≤1，5－2x ，x >1，由f (x )>2，得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，5＋2x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，5－2x >2，解得－32<x <32.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32<x <32.(2)因为y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，所以该函数在x ＝－1处取得最小值2.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2x ，x <－1，m －2，－1≤x ≤1，m －2x ，x >1在x ＝－1处取得最大值m －2，所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.故实数m 的取值范围为{m |m ≥4}．。
§选修4－5 不等式选讲考纲展示►1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法．3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式．考点1 含绝对值不等式的解法1.绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤________，当且仅当________时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤________，当且仅当________时，等号成立．答案：(1)|a|＋|b| ab≥0(3)|a－b|＋|b－c| (a－b)(b－c)≥02．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法(2)|ax＋b①|ax＋b|≤c⇔____________；②|ax＋b|≥c⇔____________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．答案：(1){x |－a <x <a } ∅ ∅ {x |x >a ，或x <－a } {x |x ∈R ，且x ≠0} (2)①－c ≤ax ＋b ≤c ②ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c[典题1] 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.[解] 解法一：如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时|A 1A |＋|A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时|B 1A |＋|B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．解法二：原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－x －－x ＋或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－x －＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)． 解法三：将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2<x <1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象如图所示．由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．[点石成金] 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解：①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3. ②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为xx <－25或x >2.考点2 含参数的绝对值不等式问题[典题2] 已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.∴原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)∵a ＞－1，则－a 2＜12，∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1－a ⎝⎛⎭⎪⎫x <－a 2，a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≤x <12，4x ＋a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1，即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43，∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43.[点石成金] 不等式有解是不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集∅的对立面(如f (x )＞m 的解集是空集，则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min.已知不等式|x ＋1|－|x －3|＞a ，分别求出下列情形中a 的取值范围： (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R ； (3)不等式的解集为∅.解：解法一：因为|x ＋1|－|x －3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (－1)，B (3)距离的差，即|x ＋1|－|x －3|＝|PA |－|PB |.由绝对值的几何意义知， |PA |－|PB |的最大值为|AB |＝4， 最小值为－|AB |＝－4， 即－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，a 只要比|x ＋1|－|x －3|的最大值小即可，故a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立， 只要a 比|x ＋1|－|x －3|的最小值还小，即a ＜－4.(3)若不等式的解集为∅，a 只要不小于|x ＋1|－|x －3|的最大值即可，即a ≥4. 解法二：由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4，|x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，则a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，则a ＜－4. (3)若不等式解集为∅，则a ≥4.考点3 不等式的证明方法1.基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． (1)比较法 ①求差比较法a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法a >b >0⇔ab>1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．答案：(1)①a －b >0 ②a b>1 (2)充分条件 (4)相反[典题3] 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥ 3(a ＋b ＋c )． [证明] (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3，由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3. 即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．∴原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥3， 因此要证原不等式成立，只需证明1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca . 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2，∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立.∴原不等式成立．[点石成金] 1.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.[2015·新课标全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，得 (a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)，得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.[方法技巧] 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法． [易错防范] 1.理解绝对值不等式的几何意义． 2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；所以|f (x )|>1的解集为2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a . 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．3．[2016·江苏卷]设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a . 证明：因为|x －1|<a 3，|y －2|<a 3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a 3＝a . 4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝x －12＋x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |. (1)解：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12. 当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1； 当－12<x <12时，f (x )<2； 当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2， 解得x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝ (a 2－1)·(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.5．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0.当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．课外拓展阅读绝对值三角不等式的应用应用绝对值三角不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |可以很方便地解决很多问题，比如求最值、证明等，但要注意在应用绝对值三角不等式的过程中，至少有一步是放大或缩小的，在放大或缩小时，若从小的一边入手，则只能放大；若从大的一边入手，则只能缩小．[典例1] 求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．[思路分析] 对原绝对值不等式转化→利用绝对值三角不等式求最值[解] |x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(x ＋1)≥0，即－1≤x ≤1时等号成立．故当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.[温馨提示] (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．[典例2] 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.[思路分析] 先将x ＋5y 写成3(x ＋y )－2(x －y )，然后利用绝对值三角不等式即可证得．[证明] ∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|，∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1. 即|x ＋5y |≤1.[典例3] 若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．[思路分析][解析] 因为a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数x 恒成立，所以a <(|x ＋1|－|x －2|)min .因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.所以(|x ＋1|－|x －2|)min ＝－3.所以a <－3，即a 的取值范围为(－∞，－3)．。
选修45 不等式选讲1. （选修45P 5例2改编）解不等式|2x －1|>3.解：不等式|2x －1|＞3可化为2x －1<－3或2x －1>3，解得x<－1或x>2.故不等式的解集为{x| x<－1或x>2}.2. 已知|x －a|<b （a ，b ∈R ）的解集为{x|2<x<4}，求a －b 的值.解：由|x －a|<b ，得a －b<x<a ＋b.又|x －a|<b （a ，b ∈R ）的解集为{x|2<x<4}，所以a－b ＝2.3. 求不等式|2x ＋1|－|5－x|＞0的解集. 解：原不等式化为|2x ＋1|>|5－x|，两边同时平方得 4x 2＋4x ＋1>25－10x ＋x 2，即3x 2＋14x －24>0，解得原不等式的解集为（－∞，－6）∪（43，＋∞）.4. （选修45P 6例4改编）若存在实数x 知足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围.解：由绝对值不等式的几何性质知，|x －4|＋|x －3|≥|（x －4）－（x －3）|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是（1，＋∞）.5. 不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，求实数k 的取值范围. 解：（解法1）按照绝对值的几何意义，设数x ，－1，2在数轴上对应的点别离为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB>k 恒成立.∵ AB＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3，∴ 故当k<－3时，原不等式恒成立.即实数k 的取值范围为（－∞，－3）.（解法2）令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2，作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2的图象（如图），要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可.即实数k 的取值范围为（－∞，－3）.1. 不等式的大体性质 ① a>b ⇔b<a ；② a>b ，b>c ⇒a>c ； ③ a>b ⇒a ＋c>b ＋c ；④ a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；⑤ a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ； ⑥ a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ；⑦ a>b>0⇒a n >b n（n∈N ，且n>1）；⑧ a>b>0⇒n a>nb （n∈N ，且n>1）. 2. 含有绝对值的不等式的解法① |f （x ）|>a （a>0）⇔f （x ）>a 或f （x ）<－a ； ② |f （x ）|<a （a>0）⇔－a<f （x ）<a. 3. 含有绝对值的不等式的性质 ① |a|＋|b|≥|a＋b|； ② |a|－|b|≤|a＋b|；③ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.[备课札记]1 含绝对值不等式的解法1 解不等式：|x －2|＋x|x ＋2|＞2.解：当x≤－2时，不等式化为（2－x ）＋x （－x －2）＞2，解得－3＜x≤－2；当－2＜x ＜2时，不等式化为（2－x ）＋x （x ＋2）＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2； 当x≥2时，不等式化为（x －2）＋x （x ＋2）＞2，解得x≥2. 所以原不等式的解集为{x|－3＜x ＜－1或x ＞0}. 备选变式（教师专享）已知函数f （x ）＝|x ＋a|＋|x －2|.（1） 当a ＝－3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2） 若f （x ）≤|x－4|的解集包括[1，2]，求a 的取值范围.解：（1） 当a ＝－3时，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4. 所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.（2） f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔ 4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔ －2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故知足条件的a 的取值范围为[－3，0]., 2 含绝对值不等式的运用), 2) 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1.证明：因为|x ＋5y|＝|3（x ＋y ）－2（x －y ）|. 由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y|＝|3（x ＋y ）－2（x －y ）|≤|3（x ＋y ）|＋|2（x －y ）|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1. 变式训练设函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|（a ＞0）. （1） 求证：f （x ）≥2；（2） 若f （3）＜5，求实数a 的取值范围.（1） 证明：由a ＞0，有f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a≥2，所以f （x ）≥2.（2） 解：f （3） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a|. 当a ＞3时，f （3） ＝a ＋1a，由f （3） ＜5，得3＜a ＜5＋212；当0＜a≤3时，f （3） ＝6－a ＋1a ，由f （3）＜5，得1＋52＜a≤3.综上，a 的取值范围是（1＋52，5＋212）., 3 含绝对值不等式的综合运用) , 3) 已知函数f （x ）＝|2x ＋1|＋|2x －3|. （1） 求不等式f （x ）≤6的解集；（2） 若关于x 的不等式f （x ）＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围.解：（1） 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x≤－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32≤x ≤2或－12＜x ＜32或－1≤x≤－12，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.（2） ∵ f（x ）＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|（2x ＋1）－（2x －3）|＝4，∴ |a －1|＞4，解此不等式得a ＜－3或a ＞5.故实数a 的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）. 变式训练已知a>0，b>0，且a 2＋b 2＝92，若a ＋b≤m 恒成立.（1） 求m 的最小值；（2） 若2|x －1|＋|x|≥a＋b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围.解：（1） ∵ （a 2＋b 2）（12＋12）≥（a ＋b ）2，∴ a ＋b≤3，当且仅当a 1＝b1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝32时取等号.∵ a ＋b≤m 恒成立，∴ m ≥3. 故m 的最小值为3.（2） 要使2|x －1|＋|x|≥a＋b 恒成立， 则2|x －1|＋|x|≥3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－2x ＋2－x≥3或⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤1，－2x ＋2＋x≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，2x －2＋x≥3.∴ x ≤－13或x≥53.∴ x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞.1. （2021·苏北四市期末）已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式|x ＋1|－2x ＜m.解：因为a ，b ，c>0，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc≥331a 3·1b 3·1c 3＋27abc ＝3abc ＋27abc≥23abc ·27abc＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝313时，取等号，所以m ＝18.所以不等式|x ＋1|－2x<m ，即|x ＋1|<2x ＋18，所以－2x －18<x ＋1<2x ＋18，解得x>－193，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－193，＋∞. 2. （2021·江苏卷）设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.证明：∵ |x－1|<a 3，|y －2|<a3，∴ |2x ＋y －4|＝|2（x －1）＋（y －2）|≤2|x－1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.3. （2021·苏北四市期中） 设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c.证明：因为|x －1|＜c 3，所以|2x －2|＜2c3，故|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1|≤|2x－2|＋|y －1|＜2c 3＋c3＝c ，故|2x ＋y －3|＜c.4. 已知一次函数f （x ）＝ax －2.（1） 当a ＝3时，解不等式|f （x ）|<4； （2） 解关于x 的不等式|f （x ）|<4；（3） 若不等式|f （x ）|≤3对任意x∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1） 当a ＝3时，则f （x ）＝3x －2，∴ |f （x ）|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x<6⇔－23<x<2，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23＜x ＜2.（2） |f （x ）|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4⇔－2<ax<6，当a>0时，不等式的解集为{x|－2a ＜x ＜6a}；当a<0时，不等式的解集为{x|6a ＜x ＜－2a}.（3） |f （x ）|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax－2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax≤5，ax ≥－1.∵ x ∈[0，1]，∴ 当x ＝0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5x，a ≥－1x.∵ 5x ≥5，－1x≤－1，∴ －1≤a≤5. ∴ a 的取值范围为[－1，5].1. （ 2021·苏州期初）已知a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x－1＋a －（x －a ）|＝|2a －1|. 又a≥2，故|2a －1|≥3. 所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.2. 设不等式|x －2|＋|3－x|<a （a∈N *）的解集为A ，且2∈A ，32∉A.（1） 求a 的值；（2） 求函数f （x ）＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值.解：（1） 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤2，所以1<a≤2.因为a∈N *，所以a ＝2.（2） 因为|x ＋2|＋|x －2|≥|（x ＋2）－（x －2）|＝4， 所以f （x ）的最小值是4.3. 已知实数x ，y 知足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16，求证：|y|<518.证明：因为3|y|＝|3y|＝|2（x ＋y ）－（2x －y ）|≤2|x＋y|＋|2x －y|，由题设知|x ＋y|<13，|2x －y|<16，从而3|y|<23＋16＝56，所以|y|<518.4. 对于任意的实数a （a≠0）和b ，不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|（|x －1|＋|x －2|）恒成立，求实数x 的取值范围.解：不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|（|x －1|＋|x －2|）恒成立，即|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b|＋|a －b||a|对于任意的实数a （a≠0）和b 恒成立，只要左侧恒小于或等于右边的最小值即可.因为|a ＋b|＋|a －b|≥|a＋b ＋a －b|＝2|a|，即|a ＋b|＋|a －b||a|≥2，也就是|a ＋b|＋|a －b||a|的最小值为2，于是|x －1|＋|x －2|≤2，由绝对值的意义得12≤x ≤52.1. |ax ＋b|≤c（c ＞0）和|ax ＋b|≥c（c ＞0）型不等式的解法（1） |ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.（2） |ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.2. |x－a|＋|x－b|≥c（c＞0）和|x－a|＋|x－b|≤c（c＞0）型不等式的解法方式1：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形结合的思想；方式2：利用“零点分段法”求解，表现了分类讨论的思想；方式3：通过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想.第2课时 不等式证明的大体方式（对应学生用书（理）210～214页）1. （选修45P 12例2改编）若a ，b ∈{x|0<x<1}，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小. 解：因为0<a<1，0<b<1，所以a －1＜0，b －1<0. 所以（ab ＋1）－（a ＋b ）＝（a －1）（b －1）>0. 故ab ＋1>a ＋b.2. 若a ，b ，c ∈R *，且知足a ＋b ＋c ＝2，求abc 的最大值.解：因为a ，b ，c ∈R *，所以2＝a ＋b ＋c≥33abc ，故abc ≤827.当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立，所以abc 的最大值为827.3. 若实数a ，b ，c 知足a 2＋b 2＋c 2＝4，求3a ＋4b ＋5c 的最大值.解：由柯西不等式得（3a ＋4b ＋5c ）2≤（a 2＋b 2＋c 2）（9＋16＋25）＝200，所以－102≤3a ＋4b ＋5c≤102，所以3a ＋4b ＋5c 的最大值为10 2.4. 已知x ＞0，y ＞0，a ∈R ，b ∈R .求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y . 证明：∵ x＞0，y ＞0，∴ x ＋y ＞0，∴ 要证⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y ， 即证（ax ＋by ）2≤（x ＋y ）（a 2x ＋b 2y ），即证xy （a 2－2ab ＋b 2）≥0，即证（a －b ）2≥0.而（a －b ）2≥0显然成立，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋by x ＋y 2≤a 2x ＋b 2y x ＋y . 5. 已知a ，b ＞0，a ＋b ＝2，x ，y ＞0，求证：（ax ＋by ）（bx ＋ay ）≥4xy .证明：已知（ax ＋by ）（bx ＋ay ）＝ab （x 2＋y 2）＋（a 2＋b 2）·xy，且a ，b ，x ，y ＞0，所以由均值不等式得ab （x 2＋y 2）＋（a 2＋b 2）xy≥（a 2＋2ab ＋b 2）xy ＝（a ＋b ）2xy ＝4xy ，当且仅当x ＝y 时取等号.1. 不等式证明的常常利用方式（1） 比较法：比较法是证明不等式的一种最大体的方式，也是一种常常利用方法，基本不等式就是用比较法证得的.比较法有差值、比值两种形式，但比值法必需考虑正负.比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号.其中的变形主要方式是分解因式、配方，判断进程必需详细叙述.（2） 综合法：综合法就是从题设条件和已经证明过的大体不等式起身，不断用必要条件替换前面的不等式，直到推出要证明的结论，即为“由因导果”，在利用综合法证明不等式时，常常用到基本不等式.（3） 分析法：分析法就是从所要证明的不等式起身，不断地用充分条件替换前面的不等式，直至推出显然成立的不等式，即为“执果索因”.2. 不等式证明的其他方式和技能 （1） 反证法从否定结论起身，通过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否定是错误的，从而肯定结论是正确的证明方式.（2） 放缩法欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得A≥C 1≥C 2≥…≥C n≥B ，利用传递性达到证明的目的.（3） 数学归纳法3. 柯西不等式的二维形式（1） 柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则（a 21＋a 22）（b 21＋b 22）≥（a 1b 1＋a 2b 2）2（当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立）.（2） 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|.（3） 三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2. 4. 柯西不等式的一般形式设n 为大于1的自然数，a i ，b i （i ＝1，2，…，n ）为实数，则∑n i ＝1a 2i ∑n i ＝1b 2i ≥⎝⎛⎭⎫∑ni ＝1a i b i 2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n时成立（当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1，2，…，n ）.5. 算术几何平均不等式a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n （a 1，a 2，…，a n ∈R *），等号当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时成立., 1 用比较法证明不等式), 1) （2021·南京、盐城模拟）设a≠b，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab （a 2＋b 2）.证明：a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab （a 2＋b 2）＝（a 2＋b 2）2－4ab （a 2＋b 2）＋4a 2b 2＝（a 2＋b 2－2ab ）2＝（a －b ）4.因为a≠b，所以（a －b ）4＞0，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab （a 2＋b 2）. 备选变式（教师专享）已知m ，n 是正数，求证：m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2.证明：∵ m 3n ＋n 3m －m 2－n 2＝m 3－n 3n ＋n 3－m 3m ＝（m 3－n 3）（m －n ）mn＝（m －n ）2（m 2＋mn ＋n 2）mn，又m ，n 均为正实数，∴ （m －n ）2（m 2＋mn ＋n 2）mn≥0，∴ m 3n ＋n 3m≥m 2＋n 2，当且仅当m ＝n 时，等号成立., 2 用分析法、综合法证明不等式), 2) （2021·南通、泰州模拟）设x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，求证：1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x≥xy ＋yz ＋zx.证明：因为x ，y ，z 均为正实数，且xyz ＝1，所以1x 3y ＋xy≥2x ＝2yz ，1y 3z ＋yz≥2y ＝2xz ，1z 3x ＋xz≥2z ＝2xy.所以1x 3y ＋1y 3z ＋1z 3x ≥xy ＋yz ＋zx.变式训练已知a ，b ，c 均为正数.求证：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥6 3.证明：因为a ，b ，c 均为正数，由大体不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca.所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ca，故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ca ＋3ab ＋3bc ＋3ca ≥6 3.所以原不等式成立., 3 均值不等式的应用), 3) （2021·南通、扬州、泰州模拟）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd＝1.求证：a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d.证明：因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd ＝1，所以a 5＋b ＋c ＋d≥44a 5bcd ＝4a ①.同理b 5＋c ＋d ＋a≥4b ②，c 5＋d ＋a ＋b≥4c ③，d 5＋a ＋b ＋c≥4d ④，将①②③④式相加并整理，即得a 5＋b 5＋c 5＋d 5≥a ＋b ＋c ＋d. 变式训练已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z.证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以x yz ＋y zx ≥1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ≥2z.同理可得z xy ＋y zx ≥2x ，x yz ＋z xy ≥2y.当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立.将上述三个不等式左、右两边别离相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 备选变式（教师专享）已知正数a ，b ，c 知足abc ＝1，求（a ＋2）（b ＋2）（c ＋2）的最小值.解：∵ （a ＋2）（b ＋2）（c ＋2）＝（a ＋1＋1）（b ＋1＋1）（c ＋1＋1）≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立， ∴ （a ＋2）（b ＋2）（c ＋2）的最小值为27. , 4 柯西不等式的应用) , 4) （2021·苏锡常镇一模）已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值.解：由柯西不等式可得（3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1）2≤（12＋12＋12）·[（3a ＋1）2＋（3b ＋1）2＋（3c ＋1）2]＝3×12，∴ 3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤6，当且仅当3a ＋1＝3b ＋1＝3c ＋1时取等号. ∴ 3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值是6. 变式训练求函数f （x ）＝5x ＋8－2x 的最大值. 解：函数概念域为[0，4]，且f （x ）≥0.由柯西不等式得[52＋（2）2][（x ）2＋（4－x ）2]≥（5·x ＋2·4－x ）2，即27×4≥（5·x ＋2·4－x ）2， 所以5x ＋8－2x ≤6 3.当且仅当2·x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号.所以函数f （x ）＝5x ＋8－2x 的最大值为6 3. 备选变式（教师专享）（2021·南京期末）求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值.解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x.由柯西不等式得y 2＝（3sin x ＋4cos 2x ）2≤（32＋42）·（sin 2x ＋cos 2x ）＝25，所以y max ＝5，此时sin x ＝35.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5.1. （2021·苏州期中）已知a ，b ，c ，d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝1，求证：a21＋a＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15. 证明：∵ [（1＋a ）＋（1＋b ）＋（1＋c ）＋（1＋d ）]·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥（1＋a ·a 1＋a ＋1＋b ·b 1＋b ＋1＋c ·c 1＋c ＋1＋d ·d 1＋d）2＝（a ＋b ＋c ＋d ）2＝1，又（1＋a ）＋（1＋b ）＋（1＋c ）＋（1＋d ）＝5，∴ a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15. 2. （2021·南京、盐城期末）若实数x ，y ，z 知足x ＋2y ＋z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.解：由柯西不等式，得（x ＋2y ＋z ）2≤（12＋22＋12）·（x 2＋y 2＋z 2），即x ＋2y ＋z≤12＋22＋12·x 2＋y 2＋z 2.因为x ＋2y ＋z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥16，当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝z ＝16，y ＝13时取等号.综上，（x 2＋y 2＋z 2）min ＝16.3. （2021·镇江期末）已知a ＞0，b ＞0，求证：（a 2＋b 2＋ab ）·（ab 2＋a 2b ＋1）≥9a 2b 2. 证明：因为a ＞0，b ＞0，由均值不等式知a 2＋b 2＋ab≥33a 3b 3＝3ab ，ab 2＋a 2b ＋1≥33a 3b3＝3ab ，所以两式相乘可得（a 2＋b 2＋ab ）·（ab 2＋a 2b ＋1）≥9a 2b 2.4. （2021·常州期末）已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝6，求4x 2＋y 2的最小值.解：（解法1）按照柯西不等式得[（2x ）2＋y 2]（12＋12）≥（2x ＋y ）2，化简得4x 2＋y 2≥18，当且仅当2x ＝y ＝3，即x ＝32，y ＝3时取等号. 因此，当x ＝32，y ＝3时，4x 2＋y 2取得最小值18. （解法2）由2x ＋y ＝6得y ＝6－2x ；由x ＞0，y ＞0，得0＜x ＜3.因此4x 2＋y 2＝4x 2＋（6－2x ）2＝8x 2－24x ＋36＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋18. 当x ＝32，y ＝3时，4x 2＋y 2取得最小值18. 5. 已知a ，b ，c>0，且1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1＝1，求证：a a 2＋1＋b b 2＋1＋c c 2＋1≤ 2. 证明：因为1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1＝1，所以a 2a 2＋1＋b 2b 2＋1＋c 2c 2＋1＝2. 由柯西不等式，得（1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1）（a 2a 2＋1＋b 2b 2＋1＋c 2c 2＋1）≥（a a 2＋1＋b b 2＋1＋c c 2＋1）2，所以a a 2＋1＋b b 2＋1＋c c 2＋1≤ 2. 1. 已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 证明：因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2（x 1＋x 2＋x 3）＝2， 当且仅当x 1＝x 2＝x 3时取等号.所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. 2. 设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋ c. 证明：由a ，b ，c 均为正数，按照均值不等式，得1a ＋1b ≥2ab ，1b ＋1c ≥2bc ，1c ＋1a ≥2ca. 将此三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ca. 由abc ＝1，则有abc ＝1.所以1a ＋1b ＋1c ≥abc ab ＋abc bc ＋abc ca＝a ＋b ＋ c. 3. （2021·苏北三市模拟）已知a ，b ，c 为正实数，且a 3＋b 3＋c 3＝a 2b 2c 2.求证：a ＋b ＋c≥333.证明：因为a 3＋b 3＋c 3＝a 2b 2c 2≥33a 3b 3c 3，所以abc≥3， 所以a ＋b ＋c≥33abc ≥333，当且仅当a ＝b ＝c ＝33时，取等号.4. 已知a ，b ，c ∈R ，a 2＋2b 2＋3c 2＝6，求a ＋b ＋c 的最大值.解：由柯西不等式，得[a 2＋（2b ）2＋（3c ）2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥（a ＋b ＋c ）2.因为a 2＋2b 2＋3c 2＝6，所以（a ＋b ＋c ）2≤11，所以－11≤a ＋b ＋c≤11.所以a＋b＋c的最大值为11，当且仅当a＝2b＝3c＝时取得.。
第1讲 绝对值不等式[基础题组练]1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|·(x －a )．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f (x )＝x 2－x －1.(1)解不等式：|f (x )|<1；(2)若|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．解：(1)由|f (x )|<1得－1<f (x )<1，即－1<x 2－x －1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，x 2－x －2<0，解得－1<x <0或1<x <2， 所以原不等式的解集为(－1，0)∪(1，2)．(2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1<|2a |＋2＝2(|a |＋1)．4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)若f (x )>a 成立有解，求a 的取值范围；(2)解不等式f (x )<x 2－2x .解：(1)f (x )＝|x －2|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1<x <2，－3，x ≥2，故f (x )∈[－3，3]，所以若使f (x )>a 成立有解，应有a <f (x )max ，即a <3，所以a 的取值范围是(－∞，3)．(2)当x ≤－1时，x 2－2x >3，所以x <－1；当－1<x <2时，x 2－2x >－2x ＋1.所以1<x <2；当x ≥2时，x 2－2x >－3，故x ≥2.综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f (x )＝|4x －1|－|x ＋2|.(1)解不等式f (x )<8；(2)若关于x 的不等式f (x )＋5|x ＋2|<a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14， 当x ≤－2时，由－3x ＋3<8，得x >－53，无解； 当－2<x <14时，由－5x －1<8，得x >－95， 即－95<x <14； 当x ≥14时，由3x －3<8， 得x <113，即14≤x <113. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－95<x <113. (2)f (x )＋5|x ＋2|＝|4x －1|＋|4x ＋8|≥9.则由题可得a 2－8a >9.解得a <－1或a >9.6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f (x )＝|x －2a |，a ∈R ，若∀x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (4－x )．(1)求a 的值；(2)若∃x ∈R ，使得不等式f (2x －1)－f (x )≤4－2m 成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )＝|x －2a |的图象关于直线x ＝2a 对称，所以2a ＝2，a ＝1. (2)令h (x )＝f (2x －1)－f (x )＝|2x －3|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤32，3x －5，32<x <2，x －1，x ≥2，h (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以h (x )min ＝h (32)＝－12，故－12≤4－2m ，解得m ≤94，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94. [综合题组练]1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)解不等式f (x )>2；(2)记函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13x >2，解得x <－23或0<x <1或x ≥1. 故不等式f (x )>2的解集为{x |x <－23或x >0}． (2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋1）≤0（2x －1）（2x ＋1）≤0，即x ∈[－12，12]时取等号， 若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，则|k －1|<g (x )min ＝4，所以－4<k －1<4，解得－3<k <5，即实数k 的取值范围为(－3，5)．2．已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1； (2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3，①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0； ②当13<x <2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x <2； ③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2. 综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈[13，12]上恒成立， 所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43， 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.。
高考一轮复习热点难点精讲精析： 选修系列（第2部分：不等式选讲）一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m 是“|x-y|＜2m ”(x,y,a,m ∈R)的（A ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||x a m y a m -<⎧⎨-<⎩与|x-y|＜2m 的关系即得答案。
解答：选A 。
|||()()|||||2,||,||||23,1,2, 2.5,||252,||5,|| 2.5,||||||2.x y x a y a x a y a m m m x a m y a m x y m x y a m x y m x a x a m x a m y a m x y m -=---≤-+-<+=∴-<-<-<===-=-=<=-=-<=-<-<-< 且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法 〖例〗解下列不等式：2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2| 5.x x x x x x x <-≤+>+-≤+-++<思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。
（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。
（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|f x a a a f x a ≤>⇒-≤≤去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。
（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。
解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3x x ->⎧⎨-≤⎩即13,15x x x <>⎧⎨-≤≤⎩或 解得-1≤x ＜1或3＜x ≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x ＜1或3＜x ≤5}. （2）由不等式|25|7x x +>+，可得250257x x x +≥⎧⎨+>+⎩或250,25(7)x x x +<⎧⎨+<-+⎩解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}（3）原不等式⇔①229093x x x ⎧-≥⎪⎨-≤+⎪⎩或②2290,93x x x ⎧-<⎪⎨-≤+⎪⎩ 不等式①⇔3333 4.34x x x x x ≤-≥⎧⇔=-≤≤⎨-≤≤⎩或或不等式②⇔332 3.32x x x x -<<⎧⇔≤<⎨≤-≥⎩或 ∴原不等式的解集是{x|2≤x ≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。
选修4－5 不等式选讲第1讲绝对值不等式基础知识整合1．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．(2)形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a 01{x|－a<x<a}∅∅|x|>a 02{x|x>a或x<－a}{x|x≠0}R②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔04ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．2．绝对值不等式的应用(1)定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当05ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.③||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．1．不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为( )A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 答案 D解析 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，1－x －x －2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，1－x ＋x ＋2≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x －1＋x ＋2≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ≤－3或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，3≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ≥2，解得x ≤－3或x ∈∅或x ≥2，所以x ≤－3或x ≥2.2．若不等式|a －2x |≤x ＋3对任意x ∈[0,2]恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．[－1,3] C ．(1,3) D ．[1,3]答案 B解析 由题意可得当x ∈[0,2]时，f (x )＝|a －2x |的图象恒在直线y ＝x ＋3的下方或在直线y ＝x ＋3上，如图，所以得①⎩⎪⎨⎪⎧a2<0，f 2＝|a －4|≤5或②⎩⎪⎨⎪⎧a2≥0，f 2＝|a －4|≤5，f 0＝|a |≤3.由①可得－1≤a <0，由②可得0≤a ≤3，故实数a 的取值范围是[－1,3]．3．若关于x 的不等式|x －m |＋|x ＋2|<4的解集不为∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－2,6)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(－∞，－6)∪(2，＋∞)D ．(－6,2) 答案 D解析 关于x 的不等式|x －m |＋|x ＋2|＜4的解集不为∅⇔(|x －m |＋|x ＋2|)min ＜4，∵|x －m |＋|x ＋2|≥|(x －m )－(x ＋2)|＝|m ＋2|，∴|m ＋2|＜4，解得－6＜m ＜2，故选D.4．若不等式|x ＋1|－|2－x |<a 无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，3) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3] D ．(－∞，－3)答案 C解析 由绝对值不等式的性质，得||x ＋1|－|2－x ||≤|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，即|x ＋1|－|2－x |≥－3，因为|x ＋1|－|2－x |<a 无实数解，所以a ≤－3，故选C.5．不等式3≤|5－2x |<9的解集为( ) A ．[－2,1)∪[4,7) B ．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D ．(－2,1]∪[4,7)答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，得所求不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．6．不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1的解集为________． 答案 ⎩⎨⎧x |x <－25或x >2解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，所以x <－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，所以－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为x ＋3＋1－2x <x2＋1，解得x >2，所以x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.核心考向突破考向一 绝对值不等式的解法例1 (1)(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． ①当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；②若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围．解 ①当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0.所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． ②因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )·(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以a 的取值范围是[1，＋∞)．(2)(2019·河南八市压轴)已知函数f (x )＝|2x ＋3|－|x －a |(a ∈R )． ①当a ＝1时，解不等式f (x )≥2；②若关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,5]，求a 的取值范围． 解 ①当a ＝1时，不等式f (x )≥2， 即|2x ＋3|－|x －1|≥2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －4≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，3x ＋2≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x ＋4≥2，解得x ≤－6或x ≥0，所以不等式f (x )≥2的解集为(－∞，－6]∪[0，＋∞)． ②关于x 的不等式f (x )≥|x －3|的解集包含[3,5]， 即|2x ＋3|－|x －3|≥|x －a |在[3,5]上恒成立， 即x ＋6≥|x －a |在[3,5]上恒成立， 即－6≤a ≤2x ＋6在x ∈[3,5]上恒成立， 解得－6≤a ≤12，所以a 的取值范围是[－6,12]．形如|x －a |＋|x －b |≥c 或≤c 的不等式的三种主要解法(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a <b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值符号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |>c (c >0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体．(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解． [即时训练] 1.(2019·湖北恩施质检)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋2|x －1|. (1)当m ＝2时，求不等式f (x )≤8的解集；(2)若不等式f (x ＋1)<3的解集为∅，求正数m 的取值范围． 解 (1)当m ＝2时，f (x )＝|x ＋2|＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－2，－x ＋4，－2≤x ≤1，3x ，x >1.当x <－2时，由－3x ≤8，得x ≥－83，即－83≤x <－2；当－2≤x ≤1时，由－x ＋4≤8，得x ≥－4，即－2≤x ≤1；当x >1时，由3x ≤8，得x ≤83，即1<x ≤83.综上，不等式f (x )≤8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－83≤x ≤83.(2)由f (x ＋1)<3，得|x ＋1＋m |＋2|x |<3， 令g (x ) ＝|x ＋1＋m |＋2|x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－m ，x <－1－m ，－x ＋1＋m ，－1－m ≤x ≤0，3x ＋1＋m ，x >0.若不等式f (x ＋1)<3的解集为∅， 则不等式f (x ＋1)≥3的解集为R ， 即g (x )min ＝g (0)＝1＋m ≥3，解得m ≥2. 所以正数m 的取值范围为[2，＋∞)．2．(2020·广东佛山1月质量检测)已知函数f (x )＝|x －a |＋x ，a ∈R . (1)若f (1)＋f (2)>5，求a 的取值范围；(2)若a ，b ∈N *，关于x 的不等式f (x )<b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，求a ，b 的值．解 (1)由f (1)＋f (2)>5，得|1－a |＋|2－a |>2， 当a ≥2时，a －1＋a －2>2，解得a >52，当1≤a <2时，a －1＋2－a >2，不等式无解， 当a ≤1时，1－a ＋2－a >2，解得a <12，综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (2)因为f (x )<b ，所以|x －a |＋x <b ， 当x ≥a 时，x －a ＋x <b ，得x <a ＋b2，当x <a 时，a －x ＋x <b ，得a <b ，因为不等式f (x )<b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，则⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，a ＋b 2＝32，又因为a ，b ∈N *，所以a ＝1，b ＝2. 考向二 绝对值三角不等式的应用例2 (1)(2019·漳州二模)已知f (x )＝|x ＋a |(a ∈R )． ①若f (x )≥|2x －1|的解集为[0,2]，求a 的值；②若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，求实数a 的取值范围． 解 ①不等式f (x )≥|2x －1|，即|x ＋a |≥|2x －1|， 两边平方整理，得3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2≤0，由题意，知0和2是方程3x 2－(2a ＋4)x ＋1－a 2＝0的两个实数根， 即⎩⎪⎨⎪⎧0＋2＝2a ＋43，0×2＝1－a23，解得a ＝1.②因为f (x )＋|x －a |＝|x ＋a |＋|x －a |≥|(x ＋a )－(x －a )|＝2|a |， 所以要使不等式f (x )＋|x －a |≥3a －2恒成立，只需2|a |≥3a －2， 当a ≥0时，2a ≥3a －2，解得a ≤2，即0≤a ≤2； 当a <0时，－2a ≥3a －2，解得a ≤25，即a <0.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)(2019·长沙一模)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R . ①当f (1)＋f (－1)>1时，求实数a 的取值范围；②若a >0，∀x ，y ∈(－∞，a ]，不等式f (x )≤|y ＋54|＋|y －a |恒成立，求实数a 的取值范围．解 ①f (1)＋f (－1)＝|1－a |－|1＋a |>1， 若a ≤－1，则1－a ＋1＋a >1，得2>1，即a ≤－1； 若－1<a <1，则1－a －(1＋a )>1，得a <－12，即－1<a <－12；若a ≥1，则－(1－a )－(1＋a )>1，得－2>1，此时不等式无解． 综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. ②由题意，知要使不等式恒成立，只需f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|y ＋54|＋|y －a |min . 当x ∈(－∞，a ]时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24.因为|y ＋54|＋|y －a |≥|a ＋54|，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋54·(y －a )≤0，即－54≤y ≤a 时等号成立，所以当y ∈(－∞，a ]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫|y ＋54|＋|y －a |min＝|a ＋54|＝a ＋54.于是a 24≤a ＋54，解得－1≤a ≤5.又a >0，所以实数a 的取值范围是(0,5]．两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．[即时训练] 3.(2019·江西上饶模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式g (x )≥4；(2)若对任意x 2∈R ，都有x 1∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由|x －1|＋2≥4，得|x －1|≥2， 解得x ≤－1或x ≥3.故不等式g (x )≥4的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}．(2)因为对任意x 2∈R ，都有x 1∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝g (x )}⊆{y |y ＝f (x )}．又因为g (x )＝|x －1|＋2≥2，f (x )＝|2x ＋a |＋|2x －1|≥|(2x ＋a )－(2x －1)|＝|a ＋1|，所以|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1， 所以实数a 的取值范围为[－3,1]．4．(2019·湖南怀化质检)设f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)若不等式m |x |≤f (x )恒成立，求m 的取值范围．解 (1)当x <－1时，f (x )＝－(2x －1)－(x ＋1)＝－3x ≤3，解得x ≥－1，故此情况无解；当－1≤x ≤12时，f (x )＝－(2x －1)＋(x ＋1)＝－x ＋2≤3，解得x ≥－1，故－1≤x ≤12；当x >12时，f (x )＝(2x －1)＋(x ＋1)＝3x ≤3，解得x ≤1，故12<x ≤1.综上所述，满足f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}． (2)当x ＝0时，可知∀m ∈R ，不等式均成立； 当x ≠0时，由已知可得m ≤f x |x |恒成立，即m ≤f x|x |的最小值． f x |x |＝|2x －1|＋|x ＋1||x |＝|2－1x |＋|1＋1x |≥|⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x |＝3，当x ≤－1或x ≥12时，等号成立，所以m ≤3.综上所述，使得不等式m |x |≤f (x )恒成立的m 的取值范围为(－∞，3]． 考向三 绝对值不等式的综合应用例3 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. ①求不等式f (x )≤3的解集；②若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围． 解 ①解法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3，解得x ≥0，即0≤x ≤12，当12<x <2时，f (x )＝x ＋1≤3，解得x ≤2，即12<x <2， 当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0,2]． 解法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象，如图．注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象，知不等式f (x )≤3的解集为[0,2]，②解法一：不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立，即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，如图．当直线y ＝ax 过点A (2,3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界点，所以－3≤a <32.解法二：不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立， (ⅰ)当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3>ax ，即(a ＋3)x －3<0恒成立，若a ＋3<0，显然不符合题意，若a ＋3＝0，即a ＝－3，则－3<0恒成立，符合题意，若a ＋3>0，即a >－3，只需(a ＋3)×12－3<0即可，解得a <3，故－3<a <3，所以－3≤a <3；(ⅱ)当12<x <2时，f (x )＝x ＋1>ax ，即(a －1)x －1<0恒成立，若a －1<0，即a <1，(a －1)x －1<0恒成立，符合题意， 若a －1＝0，即a ＝1，则－1<0恒成立，符合题意， 若a －1>0，即a >1，只需(a －1)×2－1≤0即可， 解得a ≤32，故1<a ≤32，所以a ≤32；(ⅲ)当x ≥2时，f (x )＝3x －3>ax ，即(a －3)x ＋3<0恒成立，若a －3<0，即a <3，只需(a －3)×2＋3<0即可， 解得a <32，故a<32，若a －3＝0，即a ＝3，则3<0，不符合题意，若a －3>0，即a >3，则(a －3)x ＋3>0恒成立，不符合题意，所以a <32.综上所述，－3≤a ＜32.(2)(2019·郑州二模)设函数f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |(a >0)，g (x )＝x 2－x . ①当a ＝1时，求不等式g (x )≥f (x )的解集； ②已知f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围． 解 ①当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x <1，2x ，x ≥1，当x ≤－1时，x 2－x ≥－2x ，得x ≤－1；当－1<x <1时，x 2－x ≥2，即x ≤－1或x ≥2，舍去； 当x ≥1时，x 2－x ≥2x ，得x ≥3.综上，原不等式的解集为{x |x ≤－1或x ≥3}． ②f (x )＝|ax ＋1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1x －1＋a ，x ≤－1a ，a －1x ＋1＋a ，－1a <x <a ，a ＋1x ＋1－a ，x ≥a ，当0<a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1≥2，得a ＝1； 当a >1时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝a ＋1a≥2，得a >1.综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决． (2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．[即时训练] 5.(2019·宁德模拟)已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，所以f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤x ＜5，x ＋4≥9 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a <5，∴5a>1， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a ，a ＋2x －6，x >5a .注意到当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a时，f (x )单调递增， ∴f (x )的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得， ∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a <2时，f (x )单调递增；当a ＝2时，f (x )＝4；当2<a <5时，f (x )单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2<a <5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.6．(2019·广州二模)已知函数f (x )＝|2x －1|－a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )＞x ＋1；(2)若存在实数x ，使得f (x )＜12f (x ＋1)成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，由f (x )＞x ＋1，得|2x －1|－1＞x ＋1.当x ≥12时，2x －1－1＞x ＋1，解得x ＞3.当x ＜12时，1－2x －1＞x ＋1，解得x ＜－13.综上可知，不等式f (x )＞x ＋1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞3或x ＜－13.(2)由f (x )<12f (x ＋1)，得|2x －1|－a <12|2x ＋1|－a 2.则a >2|2x －1|－|2x ＋1|，令g (x )＝2|2x －1|－|2x ＋1|，则问题等价于a >g (x )min .因为||2x －1|－|2x ＋1||≤|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，即－2≤|2x －1|－|2x ＋1|≤2，则|2x －1|－|2x ＋1|≥－2.所以g (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|＋|2x －1|≥－2＋|2x －1|≥－2， 当且仅当x ＝12时等号成立．所以g (x )min ＝－2.所以实数a 的取值范围为(－2，＋∞)．。
第七章 不等式第一节 不等关系与不等式[复习要点] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的实际背景． 2．理解不等式的性质，能运用不等式的性质，比较两数的大小．知识点一 比较两个实数的大小(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab >1⇔a b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a b (a ∈R ，b >0)，a b <1⇔a b (a ∈R ，b >0).答案：(1)> ＝ < (2)> ＝ <知识点二 不等式的性质同向可 加性⎭⎬⎫a >b ，c >d ⇒________ ⇒同向同正 可乘性⎭⎬⎫a >b >0，c >d >0⇒________⇒可乘方性 a >b >0⇔______(n ∈N ，n ≥1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)答案：b <a a >c a ＋c >b ＋c ac >bc ac <bc a ＋c >b ＋d ac >bd >0 a n >b n链/接/教/材1．[必修5·P74·例1]设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．c a >c b B ．c a －b >c aC ．|a |c >－bcD ．－a c >－b c答案：B 解析：由题设得a <a －b <0， 所以有1a －b <1a ⇒c a －b <ca ，所以B 中式子不成立．2．[必修5·P75·A 组T3]已知x >0，求证1＋x <1＋x 2. 证明：∵x >0，x 24>0， ∴x 24＋x ＋1>x ＋1>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22>(1＋x )2>0，∴1＋x <1＋x2. 易/错/问/题不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性． (1)若a ＞b ，b ≥c ，则a 与c 的大小关系是________． (2)若a ＞b ，则ac 与bc 的大小关系________． (1)答案：a ＞c 解析：由a ＞b ，b ≥c ，得a ＞c .(2)答案：不确定 解析：若c ＞0，则ac ＞bc ；若c ＜0，则ac ＜bc ；若c ＝0，则ac ＝bc . 通/性/通/法1．比较两个数大小的方法：差值法；商值法． (1)若ab >0，且a >b ，则1a 与1b 的大小关系是________． (2)1618与1816的大小关系是________. (1)答案：1a <1b 解析：∵a >b ，∴b －a <0， 又ab >0，∴1a －1b ＝b －a ab <0，即1a <1b .(2)答案：1618＞1816 解析：16181816＝1616×1621816＝⎝ ⎛⎭⎪⎫161816·162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8916·28＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64818·28＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，故1618＞1816.2．不等式性质的两个应用：确定取值范围；求最值. (1)若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围为________．(2)若实数x ，y 满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________．(1)答案：(－π，0) 解析：因为－π2<α<π2，－π2<－β<π2， 所以－π<α－β<π. 又α<β，所以α－β<0， 所以－π<α－β<0.(2)答案：27 解析：由3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，可知x >0，y >0，且18≤1xy 2≤13，16≤x 4y 2≤81， 可得2≤x 3y 4≤27，故x 3y 4的最大值是27.题型不等式的性质角度Ⅰ.不等关系的判断试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[多选]若a >1>b >0，－1<c <0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a c ≥b c B ．a ＋c >b C ．ac <bcD ．a －c >b －c[答案] CD [解析] 由于⎭⎬⎫a >b ，c <0⇒a c <b c ，故A 错误；特殊值法：可选取a ＝109，b ＝79，c ＝－89，符合大前提，则a ＋c <b ，从而B 错误．故选CD.2．[多选][2021山东日照五莲一中检测]已知a >b ≥2，则( ) A ．b 2<3b －a B ．a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2 C ．ab >a ＋bD ．12＋2ab >1a ＋1b[答案] BC [解析] 本题考查利用不等式的性质比较大小．A 项，已知a >b ≥2，不妨取a ＝3，b ＝2，则b 2＝4,3b －a ＝3，b 2<3b －a 不成立．B 项，a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )>0，故B 成立；C 项，ab －a －b ＝a (b －1)－b ＝(b －1)⎝⎛⎭⎪⎫a －b b －1＝(b －1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b －1>0，故C 成立； D 项，12＋2ab －1a －1b ＝(a －2)(b －2)2ab ≥0，故D 不成立．3．设a >b >0，m >0，n >0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n 由小到大的顺序是____________________．[答案] b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <ab[解析] ∵b a －b ＋m a ＋m ＝b (a ＋m )－a (b ＋m )a (a ＋m )＝m (b －a )a (a ＋m )<0，∴b a <b ＋ma ＋m<1.∵a ＋n b ＋n －a b ＝b (a ＋n )－a (b ＋n )b (b ＋n )＝n (b －a )b (b ＋n )<0， ∴1<a ＋n b ＋n <a b .∴b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <a b.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)不等式中有关倒数和分数的性质1．有关倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b ； ②a <0<b ⇒1a <1b ； ③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd ； ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a . 2．有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m (b －m >0)；②假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m (b －m >0)．角度Ⅱ.待定系数法求代数式的范围试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021东北三省四市联考]已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围． [解] 结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，由不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围．[解] 由题意知，f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b . 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.故f (－2)的取值范围为[5,10]．方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)利用待定系数法求代数式的取值范围已知M 1<f 1(a ，b )<N 1，M 2<f 2(a ，b )<N 2，求g (a ，b )的取值范围． (1)设g (a ，b )＝pf 1(a ，b )＋qf 2(a ，b )； (2)根据恒等变形求得待定系数p ，q ；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g (a ，b )的取值范围．题型代数式的大小比较角度Ⅰ.差值比较法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．若a >1，b <1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b .[答案] < [解析] (ab ＋1)－(a ＋b )＝1－a －b ＋ab ＝(1－a )(1－b )，∵a >1，b <1，∴1－a <0,1－b >0，∴(1－a )(1－b )<0，∴ab ＋1<a ＋b .2．[2021福建厦门模拟]已知a >b >0，x ＝a ＋b e b ，y ＝b ＋a e a ，z ＝b ＋a e b ，则( ) A ．x <z <y B ．z <x <y C ．z <y <xD ．y <z <x[答案] A [解析] 解法一：由题意，令a ＝2，b ＝1， 则x ＝2＋e ，y ＝1＋2e 2，z ＝1＋2e ， 显然有1＋2e 2>1＋2e>2＋e ，即x <z <y .解法二：a >b >0时，e a >e b ， ∴a e a >a e b >b e b ，∴b ＋a e a >b ＋a e b >b ＋b e b ，∴y >z .∵z －x ＝(b －a )＋(a －b )e b ＝(a －b )(e b －1)>0， ∴z >x .∴x <z <y .故选A.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)差值比较法1．原理设a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ；a －b ＝0⇒a ＝b ；a －b <0⇒a <b . 2．步骤作差并变形⇒判断差与0的大小⇒得结论．[注意] 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形． 当两个代数式正负不确定且为多项式形式时，常用作差法比较大小． 角度Ⅱ.商值比较法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．设a >0，b >0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． [解] a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，当a >b >0时，ab >1，a －b >0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，于是a a b b >a b b a ； 当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b >1，于是a a b b >a b b a . 故当a >0，b >0，且a ≠b 时，a a b b >a b b a .4．已知a ，b ，c 都为正实数，试比较a a b b c c 与a a ＋b 2b b ＋c 2c c ＋a2的大小．[解] 不妨设：a ≥b ≥c ，则a a b b c ca a ＋b 2b b ＋c 2c c ＋a2＝a a －b 2b b －c 2c c －a 2＝a a －b 2·b b －c 2·c c －b 2＋b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 2，由a≥b≥c知，ac ，bc都不小于1，a－b2≥0，b－c2≥0，故上式≥1，从而aa b b c c≥aa＋b2bb＋c2cc＋a2.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)商值比较法1．原理设a>0，b>0，则ab>1⇒a>b；ab＝1⇒a＝b；ab<1⇒a<b.2．步骤作商并变形⇒判断商与1的大小⇒得结论．[注意]作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等．一般幂的形式的代数式比较大小，常采用商值比较法．角度Ⅲ.单调性法比较大小关系试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[2019全国卷Ⅱ]若a>b，则()A．ln(a－b)>0 B．3a<3bC．a3－b3>0 D．|a|>|b|[答案]C[解析]解法一：不妨设a＝－1，b＝－2，则a>b，可验证A，B，D错误，只有C正确．解法二：由a>b，得a－b>0，但a－b>1不一定成立，则ln(a－b)>0 不一定成立，故A不一定成立．因为y＝3x在R上是增函数，当a>b时，3a>3b，故B不成立．因为y＝x3在R上是增函数，当a>b时，a3>b3，即a3－b3>0，故C成立．因为当a＝3，b＝－6时，a>b，但|a|<|b|，所以D不一定成立．故选C.6．[多选][2021山东一模]对于实数a，b，m，下列说法正确的是()A．若am2>bm2，则a>bB．若a>b，则a|a|>b|b|C．若a>b>0且|ln a|＝|ln b|，则2a＋b∈(2，＋∞)D．若b>a>0，m>0，则a＋m b＋m>ab[答案]ABD[解析]本题考查根据不等式性质判断大小、利用作差法比较大小．对实数a，b，m.∵am 2>bm 2，∴m 2>0， ∴a >b ，A 正确． ∵a >b ，分三种情况， 当a >0>b 时，a |a |>0>b |b |；当0>a >b 时，a |a |＝－a 2>－b 2＝b |b |； 当a >b >0时，a |a |＝a 2>b 2＝b |b |， ∴a |a |>b |b |成立，B 正确． 若a >b >0且|ln a |＝|ln b |， ∴1b ＝a ，且a >1. ∴2a ＋b ＝2a ＋1a . 设f (a )＝2a ＋1a (a >1)， ∵f ′(a )＝2－1a 2>0，∴f (a )在区间(1，＋∞)上单调递增， ∴f (a )>3，即2a ＋b ∈(3，＋∞)，C 错误． ∵b >a >0，m >0，∴a ＋m b ＋m －a b ＝(a ＋m )b －a (b ＋m )b (b ＋m )＝ab ＋bm －ab －am b (b ＋m )＝(b －a )m b (b ＋m )>0，D 正确．解/题/感/悟(小提示，大智慧)1．利用函数性质比较数式的大小，得到函数的单调区间是问题求解的关键，解题时，指数、对数、三角函数单调性的运用是解题的主要形式．2．通过对称性、周期性，可以将比较大小的数式转化到同一个单调区间，有利于其大小比较． 3．导数工具的应用，拓宽了这类问题的命题形式和解题难度，值得我们关注和重视． 角度Ⅳ.中间量和特殊值法比较大小试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)7．已知a ＝log 23，b ＝log 0.20.3，c ＝e －1，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．b <a <c[答案] B [解析] a ＝log 23>log 22＝1；log 0.20.2<b ＝log 0.20.3<log 0.20.2，所以12<b <1；c ＝e －1<12.所以 c <b <a ，故选B.8．[2017山东卷]若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b ) B ．b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b C ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b2a D ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b2a[答案] B [解析] 解法一：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴log 2(a ＋b )＞log 2(2ab )＝1. ∵b 2a ＝1a2a ＝a －1·2－a ， 令f (a )＝a －1·2－a ，又∵b ＝1a ，a ＞b ＞0，∴a ＞1a ，解得a ＞1.∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a ·(1＋a ln 2)＜0， ∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减． ∴f (a )＜f (1)，即b 2a ＜12.∵a ＋1b ＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，∴b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b .故选B. 解法二：∵a ＞b ＞0，ab ＝1， ∴取a ＝2，b ＝12，此时a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 25－1≈1.3，∴b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1b .故选B.9．[2021江西南昌二中月考]若a >1,0<c <b <1，则下列不等式不正确的是( ) A ．log a 2 020>log b 2 020 B ．log b a <log c a C ．(c －b )c a >(c －b )b a D ．(a －c )a c >(a －c )a b[答案] D [解析] ∵a >1,0<c <b <1， ∴log a b <0，log a 2 020>0，∴log b 2 020＝log a 2 020log a b <log a 2 020，∴A 正确；∵0>log a b >log a c ，∴1log a b <1log a c ，∴log b a <log c a ，∴B 正确； ∵c a <b a ，c －b <0，∴(c －b )c a >(c －b )b a ，∴C 正确； ∵a c <a b ，a －c >0， ∴(a －c )a c <(a －c )a b ， ∴D 错误．故选D.解/题/感/悟(小提示，大智慧)中间量法比较大小的思路利用中间量法比较不等式大小时要根据已知数、式灵活选择中间变量，指数式比较大小，一般选取1和指数式的底数作为中间值；对数式比较大小，一般选取0和1作为中间值，其实质就是根据对数函数f (x )＝log a x 的单调性判断其与f (1)，f (a )的大小．题型不等式与函数知识的综合试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021江西重点中学联考]定义在(－1,1)上的函数f (x )－f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ，当x ∈(－1,0)时，f (x )>0.若P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111，Q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，R ＝f (0)，则P ，Q ，R 的大小关系为( )A ．R >Q >PB ．R >P >QC ．P >R >QD ．Q >P >R[答案] B [解析] 取x ＝y ＝0， 则f (0)－f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0. 设－1<x <y <1，则－1<x －y 1－xy<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy >0， 所以f (x )>f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上为减函数． 由f (x )－f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy ，得 f (x )＝f (y )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －y 1－xy ， 取y ＝15，x －y 1－xy ＝111，则x ＝27，所以P ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27.因为0<27<12，所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫27>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以R >P >Q .2．[多选]若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )>k >1，其中一定正确的结论的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >0B ．f (k )>k 2C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k <2k －11－k[答案] ACD [解析] 令g (x )＝f (x )－kx ， 则g ′(x )＝f ′(x )－k ， ∵f ′(x )>k ，∴g ′(x )>0， ∴g (x )在R 上是增函数，∵k >1，∴0<1k <1，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝f (0)＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >0，∴A 正确； ∵g (k )＝f (k )－k 2>g (1)＝f (1)－k ，f (1)和k 的大小关系不确定， ∴B 不一定正确；由k >1知1k －1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－kk －1>g (0)＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，∴C 正确； 由k >1知11－k <0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k －k1－k <g (0)＝－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11－k <k 1－k －1＝2k －11－k ， ∴D 正确．故一定正确的是ACD. 提醒 完成限时跟踪检测(三十二)第二节 一元二次不等式及其解法[复习要点] 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式．知识点一 一元二次不等式的解法1．将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数________零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)． 2．计算相应的________．3．当________时，求出相应的一元二次方程的根．4．利用二次函数的图象与x 轴的________确定一元二次不等式的解集． 答案：1.大于 2.判别式 3.Δ≥0 4.交点 知识点二 三个二次之间的关系Δ＝b 2－4ac 二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根 有_______实根x 1，x 2 (x 1<x 2) 有_______实根 x 1＝x 2＝－b2a _______实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集 ________ ________ ________ ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集________________________答案：两相异 两相等 没有 {x |x >x 2或x <x 1} {x |x ≠x 1} R {x |x 1<x <x 2} ∅ ∅链/接/教/材1．[必修5·P80·A 组T4]设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3答案：D 解析：易知A ＝(1,3)， B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，∴A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.故选D.2．[必修5·P104·B 组T3]若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集为{x |0<x <2}，则m ＝________. 答案：1 解析：原不等式可化为x 2＋2(m －2)x <0，由题意，得x ＝0与x ＝2即为方程x 2＋2(m －2)x ＝0的两根，所以－2(m －2)＝2，解得m ＝1. 易/错/问/题1．二次不等式的系数的讨论．(1)不等式x (1－2x )＞0的解集是________．(2)不等式(ax －1)(x －2)＜0(a ≤0)的解集是________．(1)答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：由不等式x (1－2x )＞0，得不等式x (2x －1)＜0，解得0＜x ＜12.(2)答案：当a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a 或x >2；当a ＝0时，{x |x ＞2} 解析：当a ＜0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －2)>0，解得x >2或x <1a ；当a ＝0时，不等式(ax －1)(x －2)＜0可化为x －2＞0，解得x ＞2.2．求不等式中参数值的两个方法：判别式；根与系数的关系．(1)若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是________． (2)若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1,2]，则a ＝________，c ＝________. (1)答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14.(2)答案：－1 －2 解析：由题意，得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系，得1＋2＝－3a ，1×2＝ca ，解得a ＝－1，c ＝－2.通/性/通/法一元二次不等式的应用：不等式在R 上恒成立．(1)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． (2)函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． (1)答案：(0,8) 解析：∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.(2)答案：(－23，23) 解析：依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.题型二次不等式和高次不等式的解法角度Ⅰ.不含参的二次不等式的解法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021河南濮阳模拟]已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |α<x <β}(α>0)，则不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集是 ( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1β，1αB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1β∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1α，＋∞C ．(α，β)D ．(－∞，α)∪(β，＋∞)[答案] B [解析] 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是{x |α<x <β}(α>0)，则α，β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，且a <0，∴α＋β＝－b a ，αβ＝c a .不等式 cx 2＋bx ＋a <0化为c a x 2＋ba x ＋1>0，∴αβx 2－(α＋β)x ＋1>0，化为(αx －1)(βx －1)>0，又0<α<β，∴1α>1β>0，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1β或x >1α，故选B.2．解下列不等式： (1)19x －3x 2≥6； (2)8x －1≤16x 2； (3)0<x 2－x －2≤4.[解] (1)原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0，因为函数 y ＝3x 2－19x ＋6的图象开口向上且与x 轴有两个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0和(6,0)，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤6.(2)8x －1≤16x 2⇔16x 2－8x ＋1≥0⇔(4x －1)2≥0，所以对于任意的x ∈R ，原不等式都成立，所以原不等式的解集为R .(3)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.利用数轴(如图)可知，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}．解/题/感/悟(小提示，大智慧)1．熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不等式求解的基础，可结合一元二次方程及判别式或二次函数的图象来记忆求解．2．解一元二次不等式的步骤： (1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 角度Ⅱ.含参二次不等式的解法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． [解] 原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ， 所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <1a； 当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0，解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}． (3)当a <0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0，由于1a <2，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1a 或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}； 当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <2. 4．解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R )． [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0. ②当k ＞0时，若Δ＝4－4k 2＞0， 即0＜k ＜1时，不等式的解为 1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k； 若Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，若Δ＝4－4k 2＞0， 即－1＜k ＜0时， 不等式的解为x ＜1＋1－k 2k或x ＞1－1－k 2k； 若Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 若Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}． 综上所述，当k ≥1时，不等式的解集为∅； 当0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； 当k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； 当k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当k ＜－1时，不等式的解集为R .解/题/感/悟(小提示，大智慧)对于含参二次不等式，应注意参数出现的位置．二次项系数出现参数，需要讨论系数和零的大小；如果可以通过因式分解法求得两个根，根里面含参，那么就需要对根的大小关系进行讨论；如不能因式分解求根，则需要对判别式进行讨论．总之我们一定要关注参数出现的位置，往往既要讨论二次项系数，同时还需要讨论根的大小！角度Ⅲ.分式不等式或高次不等式的解法试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) [答案] A [解析] 不等式x －12x ＋1≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1．分式不等式的转化途径解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式． (1)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； (2)f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； (3)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0； (4)f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≤0，g (x )≠0. 2．“穿针引线法”解一元高次不等式如果分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般使用数轴标根法(亦称穿针引线法)求解．画出符号波浪线，特点是：(1)最右端的区间符号为正；(2)从右至左符号正负交替，并关注因子的指数奇偶的变化，从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，注意应遵循“奇穿偶切”原则．如(x －1)2(x －2)(x －3)>0在数轴上标根穿线时，点1处的线过而不穿．6．不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是________________．[答案] {x |－2<x <－1或x >2} [解析]x －2x 2＋3x ＋2>0⇔x －2(x ＋2)(x ＋1)>0⇔(x －2)(x ＋2)(x ＋1)>0，∴原不等式对应的方程(x －2)(x ＋2)·(x ＋1)＝0的根为2，－2，－1， 在数轴上标根并穿线，如图所示．由穿针引线法，得不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是{x |－2<x <－1或x >2}．题型二次不等式的恒成立问题角度Ⅰ.在R 上的恒成立问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)[答案] C2．[2021河南豫西南五校联考]已知关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案] A [解析] 当k ＝0时，不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0可化为8≥0，其恒成立； 当k ≠0时，要满足关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8≥0对任意x ∈R 恒成立， 只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36k 2－4k (k ＋8)≤0，解得0<k ≤1.综上，k 的取值范围是0≤k ≤1.故选A.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)不等式在实数范围内恒成立的求解方法(1)不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≥0； ②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0对任意实数x 恒成立的条件是： ①当a ＝0时，b ＝0，c ≤0； ②当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ≤0.角度Ⅱ.在给定区间内恒成立求参数问题试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．已知f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，则实数m 的取值范围是________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67 [解析] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6在x ∈[1,3]上恒成立， 又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数，所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数． 因此函数的最小值y min ＝67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.4．[2021内蒙古包头联考]若关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)[答案] A [解析] 关于x 的不等式x 3－3x 2－ax ＋a ＋2≤0在(－∞，1]上恒成立， 等价于a (x －1)≥x 3－3x 2＋2＝(x －1)(x 2－2x －2)在(－∞，1]上恒成立． 当x ＝1时，0≤0成立；当x <1时，x －1<0， 则a ≤x 2－2x －2，因为y ＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3>－3在x <1时恒成立，所以a ≤－3. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．故选A.方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．(1)当a <0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a<α，f (α)<0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f (β)<0或Δ<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (β)>0，f (α)>0.(2)当a >0时，f (x )<0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (β)<0，f (α)<0.f (x )>0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a<α，f (α)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a >β，f (β)>0或Δ<0.[提示] 在求解一元二次不等式时，一定要注意二次项系数的正、负及等号对解集的影响． 角度Ⅲ.给定参数范围内恒成立，求x 的范围试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．[2021江西八校联考]若对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)[答案] B解/题/感/悟(小提示，大智慧)转换主元法解给定参数范围问题解给定参数范围的不等式恒成立问题，若在分离参数时会遇到讨论的情况，或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出，可考虑变换思维角度，即把变量与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，再根据原参数的范围列式求解．题型一元二次方程根的分布问题角度Ⅰ.由根的限制条件求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2021安徽黄山模拟]若函数f (x )＝4x －m ·2x ＋m ＋3有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1∈(0,1)，x 2∈(2，＋∞)，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(7，＋∞)D ．(－∞，－3)[答案] C [解析] 设t ＝2x ，则t >0，则函数f (t )＝t 2－mt ＋m ＋3有两个不同的零点t 1，t 2，且t 1∈(1,2)，t 2∈(4，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)>0，f (2)<0，f (4)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＋m ＋3>0，4－2m ＋m ＋3<0，16－4m ＋m ＋3<0，解得m >7.故选C.2．设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．[解] 设函数f (x )＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2，其图象开口向上． 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，7－(a ＋13)＋a 2－a －2<0，7×22－2(a ＋13)＋a 2－a －2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3，∴－2<a <－1或3<a <4，∴a 的取值范围为(－2，－1)∪(3,4)．方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法)设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两实根为x 1，x 2，且x 1≤x 2，k 为常数，则一元二次方程根和k 的分布(即x 1，x 2相对于k 的位置)有以下若干定理．定理1：x 1<k <x 2(即一个根小于k ，一个根大于k )⇔af (k )<0.定理2：k <x 1≤x 2(即两根都大于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ≥0，af (k )>0，－b 2a >k .定理3：x 1≤x 2<k(即两根都小于k )⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≥0，af (k )>0，－b 2a <k .角度Ⅱ.二次方程在实数范围内有解求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)3．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是____________． [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3][答案] B方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 一元二次不等式在实数范围内有解的求解方法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b ，c ∈R 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac >0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0在实数范围内有解⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2—4ac >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ，c ∈R .角度Ⅲ.二次不等式在区间内有解求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)5．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在[1,4]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4) B ．(－4，＋∞) C ．(－12，＋∞)D ．(－∞，－12)[答案] A [解析] 令函数f (x )＝2x 2－8x －4－a ，其图象开口向上，且对称轴x ＝－－82×2＝2在区间[1,4]内，∴只需在区间[1,4]的端点处的函数值f (1)，f (4)中的最大值大于0，即可保证不等式2x 2－8x －4－a >0在区间[1,4]上有解．又∵2－1<4－2， ∴只需f (4)>0即可，∴2×42－8×4－4－a >0，∴a <－4， 即a 的取值范围为(－∞，－4)，故选A.解/题/感/悟(小提示，大智慧)在区间内有解，可以参变分离为a >f (x )或a <f (x )的形式，转化为a >f (x )min 或a <f (x )max ；也可以通过对立命题转化为在区间内无解，从而转化为恒成立问题．角度Ⅳ.二次不等式有整数解求参数试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)6．[2021广东梅州模拟]关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为 ( )A ．(5,6]B ．(5,6)C ．(2,3]D ．(2,3)[答案] A [解析] 关于x 的不等式x 2－(m ＋2)x ＋2m <0可化为(x －m )(x －2)<0，∵该不等式的解集中恰有3个正整数，∴不等式的解集为{x |2<x <m }，且 5<m ≤6，即实数m 的取值范围是(5,6]．故选A.7．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，求实数a 的取值范围． [解] 不等式(2x －1)2<ax 2等价于(4－a )x 2－4x ＋1<0， ∵不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a >0，Δ＝(－4)2－4(4－a )>0，解得0<a <4，∴不等式的解集为12＋a <x <12－a .∵14<12＋a<12，∴不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数解一定是1,2,3， ∴3<12－a≤4，解得259<a ≤4916， ∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916.解/题/感/悟(小提示，大智慧)本例7中，要使关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中的整数解恰有3个，那么此不等式的解集不可能是无限区间，从而由已知条件先确定解集的一端点的取值范围，解集的另一端点的取值范围也就确定下来了．提醒 完成限时跟踪检测(三十三)第三节 基本不等式及其应用[复习要点] 1.了解基本不等式的证明过程． 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．知识点一 重要不等式a 2＋b 2≥________(a ，b ∈R )(当且仅当________时，等号成立)． 答案：2ab a ＝b知识点二 基本不等式ab ≤a ＋b2 1．基本不等式成立的条件：________.2．等号成立的条件：当且仅当________时，等号成立．3．其中a ＋b2叫做正数a ，b 的________，ab 叫做正数a ，b 的________． 答案：1.a >0，b >0 2.a ＝b 3.算术平均数 几何平均数 知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题1．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当________时，x ＋y 有最小值2P . (简记：“积定和最小”)2．如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24. (简记：“和定积最大”) 答案：1.x ＝y链/接/教/材1．[必修5·P99·例1(2)改编]若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．81答案：A2．[必修5·P100·练习T1改编]设a >0，则9a ＋1a 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案：C3．[必修5·P101·B 组T2]如图，树顶A 离地面a m ，树上另一点B 离地面b m ，在离地面c m 的C 处看此树，离此树多远时看A ，B 的视角最大？解：如图，过C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，设∠BCD ＝α，∠ACB ＝β，CD ＝x ， 在△BCD 中，tan α＝b －cx . 在△ACD 中，tan(α＋β)＝a －cx .则tan β＝tan[(α＋β)－α]＝a －b x1＋a －c x ·b －c x＝a －b x ＋(a －c )(b －c )x≤a －b2x ·(a －c )(b －c )x＝a －b 2(a －c )(b －c ).当且仅当x ＝(a －c )(b －c )x ，即x ＝(a －c )(b －c )时，tan β取得最大值，从而看A ，B 的视角也最大．易/错/问/题1．基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件． (1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.(2)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2的最小值为________．(1)答案：36 解析：∵x >0，a >0， ∴f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即4x 2＝a 时，f (x )取得最小值． 又∵f (x )在x ＝3时取得最小值， ∴a ＝4×32＝36.(2)答案：5 解析：y ＝sin x ＋4sin x ≥2sin x ·4sin x ＝4，当sin x ＝4sin x 时，sin x ＝±2，显然取不到等号．事实上，设t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，则t ∈(0,1]，易知y ＝t ＋4t 在(0,1]上为减函数，故当t ＝1时，y 取得最小值5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时，x 的值为________． (2)若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． (1)答案：12 解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，等号成立． (2)答案：5 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立． 核/心/素/养某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．答案：8 解析：年平均利润为y x ＝－x －25x ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18，因为x ＋25x ≥2x ·25x ＝10，所以y x ＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤18－10＝8，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立．题型利用基本不等式求最值角度Ⅰ.利用基本不等式求最值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)1．[2020江苏卷]已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． [答案] 45 [解析] 由5x 2y 2＋y 4＝1，知y ≠0， ∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取等号．故x 2＋y 2的最小值为45.2．[2020天津卷]已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________．[答案] 4 [解析] 本题考查基本不等式的应用．由已知得，12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b 且ab ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2＋3，b ＝2－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－3，b ＝2＋3时取等号，故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 3．[多选][2021山东潍坊高密模拟]设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( ) A ．a 2a 9的最大值为10 B ．a 2＋a 9的最大值为210 C ．1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200[答案] ABD [解析] 本题考查利用基本不等式求最值． 因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.A ．a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，故A 选项正确；B ．由于⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，故B 选项正确；C ．1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立， 所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 选项错误；D ．结合A 的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－a 22·a 29≥400－2×102＝200， 当且仅当a 2＝a 9＝10时，等号成立，故D 选项正确．方/法/总/结利用对勾函数的性质求函数的最值函数y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)叫“对勾函数”，其图象如下：适用范围：求形如y ＝sin x ＋2sin x ，y ＝x 2＋4x 2＋9的函数最值．角度Ⅱ.配凑法求最值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向)4．[2021安徽江南十校联考]已知实数x 满足log 12x >1，则函数y ＝8x ＋12x －1的最大值为( ) A ．－4 B ．8 C ．4D ．0[答案] D [解析] 由log 12x >1得0<x <12，∴－1<2x －1<0，y ＝8x ＋12x －1＝4(2x －1)＋12x －1＋4＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(1－2x )＋11－2x ＋4≤－4＋4＝0，当且仅当4(1－2x )＝11－2x，即x ＝14时，等号成立，故选D.5．已知0<x <25，则f (x )＝x (2－5x )的最大值为________． [答案] 15 [解析] 因为0<x <25，所以0<5x <2,2－5x >0，则f (x )＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )≤15⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x ＋(2－5x )22＝15， 当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，等号成立，此时f (x )取得最大值15.解/题/感/悟(小提示，大智慧)当拼凑和为定值或积为定值时，经常会遇到系数不匹配，或者常数项不匹配的现象，通过加减常数或者乘除系数的形式构造出满足要求的定值现象．角度Ⅲ.常数代换法求最值试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 6．[2021福建龙岩模拟]已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．7D ．9[答案] C [解析] ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12， ∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8， 当且仅当yx ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时，等号成立，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7，故选C.7．[2021湖南长沙模拟]如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是三棱锥M －P AB 、三棱锥M －PBC 、三棱锥M －PCA 的体积．若f (M )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x ，y ，且1x ＋a y ≥8恒成立，则正实数a 的最小值为________．。
