2015年浙江省数学竞赛试卷及答案

2015浙江省高等数学竞赛试题答案一、计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限201cos cos 2lim x x xx→-。

解： 0sin cos 22cos sin 2lim 2x x x x xx→+=20sin cos 24cos sin lim 2x x x x xx→+=20sin (cos 24cos )lim 2x x x x x →+=52=2．求不定积分221(4)x dx x x ++⎰ 解：22111()44x dx x x +=-+⎰222111)444(4)4(4)x dx x x x x =+--++⎰ 22ln 11)444(4)4(4)x x dx x x x =-+--++⎰2arctan ln 1ln(4)24488x x x C x +=---+3．设1()ln()xf x t x dt =+⎰，求(1)f '的值。

解：令u t x =+211()ln()ln()x xxf x t x dt u du +=+=⎰⎰()2ln 2ln(1)f x x x '=-+ (1)2ln 2ln 2ln 2f '=-=4．已知()y y x =由方程31xye y +=确定，求0x dy dx= 。

解：2()30xye y xy y y ''++=23xyxy ye y xe y '=-+2033xy xyx ye e y y y='=-=- 因为当0x =时0y = 所以0x y ='=-∞5．求极限 221limnn k kn k→+∞=+∑。

解：222111lim lim 1()nnn n k k kk n k n k n n→+∞→+∞===++∑∑ 由定积分定义知，极限可以变为11220011ln(1)ln 2122x dx x x =+=+⎰二、（满分20分）设数列{}n a 为单调递增的正数列，试讨论极限1/lim n a nn a →∞解：当{}n a 有界时，lim n n a →∞一定存在，设lim n n a a →∞=,则11/lim na ann a a→∞=当{}n a 无界时，lim n n a →∞=+∞，1ln 1/0lim lim lim 1n n n nn na a a a a a n n n n a eee ''→∞→∞→∞====三、（满分20分）已知面积为S 的直角三角形绕其斜边旋转一周所得的旋转体体积为V ，求V解： 213V ah π=因为211sin cos 22ah S a θθ== h ⇒== 2)32V ππθ⇒=<<所以当4πθ=时 322max 3V S π=四、求定积分220sin 1cos x xdx x π+⎰ 解： 220sin 1cos x xdx xπ+⎰ 2220sin sin 1cos 1cos x x x x dx dx x x πππ-=+++⎰⎰ 22sin 1cos x x dx x ππ-+⎰20()sin()1cos ()u x u u du u πππππ=--++−−−→++⎰ 20()sin 1cos u u du u ππ+=+⎰ 因此220sin 1cos x x dx xπ+⎰=2200sin sin 21cos 1cos x x xdx dx x x πππ+++⎰⎰ 20sin 1cos x x dx x π+⎰02()sin()1cos ()t xt t dt t πππππ=---−−−→-+-⎰20()sin 1cos t tdt tππ-=+⎰2200sin sin 1cos 21cos x x xdx dx x x πππ⇒=++⎰⎰20arctan cos 24x πππ=-=所以2220sin 1cos x x dx xππ=+⎰五、（满分20分）证明：23ln(1)(1)23x x x x x +≤-+>- 。

2015年浙江省高中数学竞赛模拟卷五一、选择题（每小题5分，共50分）1、已知{x|x 2-3x-10≤0}∩{x|m+1≤x ≤2m-1} =Φ，则实数m 的取值范围是 （）（A ）2＜m ＜4（B ）m ＜2或m ＞4（C ）21-＜m ＜4 （D ）m ＜21-或m ＞4 2、已知()x f 是定义在R 上的奇函数，且()1+=x f y 为偶函数，若()11=-f ， 则()()=+20142013f f （A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（）3、内直径为2334+，高为20的圆柱形容器中最多可放入直径为2的小球的个数是（A ）30 （B ）33 （C ）36 （D ）39（ ） 4、方程6)5)(2()4)(1(33=-++-+x x x x 的实数解的个数为（）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）大于25、已知b a ,为正整数，b a ≤，实数x ，y 满足()b y a x y x +++=+4，若x+y 的最大值为40，则满足条件的数对()b a ,的数目为（）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）76、球O 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内切球，则面ACD 1截球O 的截面面积为 （A ）6π （B ）3π （C ）6π（D ）3π（ ）7、定义在R 上的函数()x f 是减函数，且函数()x f 的图象关于（2，0）成中心对称，若m ，n 满足不等式()()0321222≤++-++-n n f m m f ，则当41≤≤m 时，mn的取值范围是 （A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,41 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,41（C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21（D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21（ ）8、已知函数()x x x f 2sin cos =，下列结论中错误的是（）（A ）()x f 的图象关于点（π，0）成中心对称（B ）()x f 的图象关于直线2π=x 成轴对称（C ）()x f 的最大值为23（D ）()x f 是奇函数且是周期函数9、过四面体ABCD 的顶点D 作半径为1的球，该球与四面体ABCD 的外接球相切于点D ，且与平面ABC 相切，若AD=32，∠BAD=∠CAD=45°，∠BAC=60°，则四面体ABCD 的外接球的半径r 为（A ）2（B ）22（C ）3（D ）32 （）10、已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，|F 1F 2|=10，P 是y 轴正半轴上一点，PF 1交椭圆于A ，若AF 2⊥PF 1，且△APF 2的内切圆半径为22，则椭圆的离心率为（A ）45 （B ）35 （C ）410 （D ）415（ ）二、填空题（每小题7分，共49分）11、若ba ba+=+222，cb ac b a ++=++2222，则c2的最大值为_____。

试卷设计说明本试卷设计是在《学科教学指导意见》的基础上，通过对《浙江考试2015第1期增刊高考考试说明》的学习与研究，精心编撰形成。

注重考查学生的基础知识的同时，注重考查对数学思想方法、数学本质的理解，考查涉及空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据图表处理能力以及应用意识和创新意识等。

同时也注重学生对通解通法的掌握，不追求解题的技巧。

题目基本上追求原创，部分题目进行了改编，每个题目都呈现出编者的意图，说明考查的知识点。

整个试卷的结构、题型、分数的分布、内容的选择都力求与高考保持一致，同时也为了更适合本校学生的整体水平与现阶段的考查要求。

对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，强化基础知识，着力于能力考查，对相关知识联系设问。

从了解、理解、掌握三个层次要求学生。

对能力考查做到多层次、多方位，选题以能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。

试卷结构和《考试说明》中2015年高考数学（文科）参考试卷保持一致，各题型赋分如下：选择题共8小题，每小题5分，共40分；填空题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分；解答题共5小题，共74分。

试卷命题双向细目表说明：题型及考点分布按照《2015考试说明》参考样卷。

2015年高考模拟试卷数学（文科）卷本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．参考公式：棱柱的体积公式： V =Sh （其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高） 棱锥的体积公式： V =31Sh （其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高）棱台的体积公式：)2211(31S S S S h V ++=（其中S 1, S 2分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高 ）球的表面积公式： S = 4πR 2球的体积公式： V =34πR 3其中R 表示球的半径第I 卷（共40分）一、 选择题: 本大题共8小题, 每小题5分,共40分． 1．（原创题）已知a R ∈，则 “22a a <”是“2a <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件（命题意图：考查不等式以及充要条件的判定，属容易题）2．(2014·广东一模改编)已知直线l 、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,，则下列命题中正确的是A.若m l //，则必有βα//B.若m l ⊥，则必有βα⊥C. 若β⊥l ，则必有βα⊥D.若βα⊥，则必有α⊥m （命题意图：考查点线面位置关系，属容易题）3．(2014·全国卷Ⅰ引用) 设函数)(),(x g x f 的定义域都是R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数A. 向左平移12个单位长度得到 B. 向右平移12个单位长度得到 C. 向左平移4π个单位长度得到 D. 向右平移4π个单位长度得到（第11题图）（命题意图：考查诱导公式及函数图象的平移，属中档题）5.（金华一中13届4月模拟改编）若双曲线的焦点关于渐近线对称的点恰在双曲线上,则双曲线的离心率为A ．55 B ．25C ．2D ．5 （命题意图：考查双曲线的定义及几何性质，中档题）6．（2015全品第二轮改编）设点G 是ABC ∆的重心，若,1,1200-=∙=∠AC AB A的最小值是A.33 B. 32C. 32D. 43（命题意图：考查平面向量概念及数量积运算，属中档题）7．（改编）已知函数()2sin()f x x ω=(其中常数0ω>)，若存在122[,0)(]34,,0ππ∈∈-x x ，使得12()()f x f x =，则ω的取值范围为A.)23,(-∞ B. ]23,(-∞ C. ),23[+∞ D. ),23(+∞ （命题意图：考查三角函数图像与性质，属中档题）8．（改编）已知函数()M f x 的定义域为实数集R ,满足()1,0,M x Mf x x M∈⎧=⎨∉⎩(M 是R 的非空真子集),在R 上有两个非空真子集,A B ,且A B =∅,则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++的值域为A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．{}1 C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（命题意图：考查分析问题能力，分类讨论思想，属偏难题）第II 卷(共110分)二、 填空题: 本大题共7小题, 其中9、10、11、12每题6分,13、14、15每题4分， 共36分．9．（原创）设全集U =R ，集合2{|20}A x x x =--≤，{}2log 1,B x x =≤则AB =___▲_____，=B A ___▲_____，()U A C B = ▲ ．（命题意图：考查集合的运算，属容易题）10．（原创）设函数)2sin(sin 3)(x x x f ++=π，则该函数的最小正周期为__▲__，最大值为__▲__，单调递增区间为_______▲______。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）1．“a =2， 2b =”是“曲线C ：22221(,,0)x y a b R ab a b+=∈≠经过点()2,1”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++，则实数m 的取值范围为( )．A ． 1m >B ． 312m <<C ．332m << D ．3m >3． 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1的中点， 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( )．A ．36 B ． 12C ． 33D ．63 4．若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值为( )． A ． 1 B ．54 C ． 75D ． 2 5． 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQR ABCS S ∆∆的最小值为( )．A ．12 B ． 13 C ． 14 D ． 156. 已知数列{}n a 的通项(1)(21)(1)n nxa x x nx =+++ ，*n N ∈，若1220151a a a +++<，则实数x 等于（ )．A ．32-B ．512-C ．940-D ．1160- 7． 若过点P （1，0），Q （2，0），R （4，0），S （8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 ( )． A ．1617 B ． 365 C ． 265 D ． 196538．若集合{}2015*(,)(1)(2)()10,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合A第3题图MC 1B 1D 1A 1C D AB中的元素个数为( )．A ．4030B ．4032C ． 20152D ． 20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）9．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ．10．若数列{}n a 的前n 项和nS =32n n -，*n N ∈，则20151182i i a i =+-∑= ．11． 已知F 为抛物线25y x =的焦点，点A (3，1)， M 是抛物线上的动点．当||||MA MF +取最小值时，点M 的坐标为 ． 12．若22sin cos 161610xx+=，则cos 4x = .13. 设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．若(2)()f a f a +>，则实数a 的取值范围为 ．14． 已知向量,a b 的夹角为3π， 5a b -=，向量c a -，c b -的夹角为23π，23c a -=，则a c ⋅的最大值为 ．15．设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则______a =,_______.b = 三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18每题18分，共52分）16． 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．17．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，右焦点为圆222:(3)7C x y -+=的圆心．(I)求椭圆1C 的方程；(II)若直线l 与曲线C 1，C 2都只有一个公共点，记直线l 与圆C 2的公共点为A ，求点A 的坐标．18．已知数列{}{},n n a b 满足1*1111,0,0,,1n n nn n n a a b a b n N b b a ++⎧=+⎪⎪>>∈⎨=+⎪⎪⎩．证明:505020a b +>．四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）附加1已知数列{}n a 满足11a =，213221n n n a a a +=+-，*n N ∈．(I) 证明：{}n a 是正整数数列；(II) 是否存在*m N ∈，使得2015m a ，并说明理由．附加2 设k 为正整数，称数字1~31k +的排列1231,,,k x x x +为“N 型”的，如果这些数满足（1）121k x x x +<<<； （2）1221k k k x x x +++>>>；（3）212231k k k x x x +++<<<．记k d 为所有“N 型”排列的个数．(I)求1d ，2d 的值； (II)证明：对任意正整数k ，k d 均为奇数．。

EDBC′FCD ′A2015年春季七年级数学竞赛试卷第 Ⅰ 卷一、选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在第Ⅱ卷的答题卡内。

）A.2014B.2015C.2016D.20172.已知关于x 的方程mx+3=2(x-m)的解满足|x-2|-3=0，则m 的值为（ ） A.-5 B.1 C.5或-1 D.-5或13.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x k95y x 的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k 的值为（ ）4.已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+933y 23mx my x 的解为坐标的点（x,y ）在第二象限，则符合条件的实数m 的值可能是（ ）A.-3B.-2C.-1D.05.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是x<31，则bx-a<0的解集是（ ）A.x>-3B.x<-3C.x>3D.x<3二、填空题：（本大题共15小题，每小题3分，共45分，把最终正确答案填在第Ⅱ卷的答题卡内。

）6.已知a,b 是有理数，且032091412123412331=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ，则a= , b= 。

7. 已知a,b 均为正整数，且32,7<>b a ，则a+b 的最小值是 。

8.若实数x,y 使得x+y ，x-y ，xy ，yx四个数中的三个数相等，则 |y| - |x| = 。

9. 已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=+2242016y a y cx b x 的解为⎩⎨⎧-==108y x ,小明解题时把c 抄错了，因此得到的解是⎩⎨⎧-==1312y x ，则222c b a ++= 。

10.已知不等式3x-a ≤0的正整数解是1，2，3，则实数a11.若7123,5321=++=++z y x z y x ，且0≠xyz ,则=++zy x 111 。

试卷设计说明本试卷设计是在通过对《2015年考试说明》与近几年高考试卷的学习与研究前提下，精心编撰形成。

总体题目可分为二类：原创题、改编题。

整张试卷的结构从题型，分数的分布到内容的选择力求与高考保持一致。

对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，强化基础知识，着力于能力考查，对相关知识联系设问。

从了解、理解、掌握三个层次要求学生。

对能力考查做到多层次、多方位，选题注重能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。

检验学生对知识理解上更高层次的数学思想方法的掌握程度，其中对函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化及整体思想都有一定的涉及。

同时也注重学生的通性通法的掌握，但不追求解题的技巧。

其中原创题有12道，改编题有3道。

2015年高考模拟数学(文科)试题注意：本卷共20题，满分l50分，考试时间l20分钟。

参考公式：球的表面积公式：24S R π=，其中R 表示球的半径；球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径； 棱柱体积公式：V Sh =，其中S 为棱柱底面面积，h 为棱柱的高；棱锥体积公式：13V Sh =，其中S 为棱柱底面面积，h 为棱柱的高；棱台的体积公式：1213V h(S S )=+，其中1S 、2S 分别表示棱台的上、下底面积，h为棱台的高如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+第I 卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（摘录）已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（摘录）已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，nl ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则（ ）A ．βα//且α//lB ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 3．（原创）设ααcos 32sin -=，)0,2(πα-∈，则tan 2α的值是（ ）A ．3B ．3-C ．33D ．33-4．（摘录）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B ．4π C ．0 D ．4π- 5．（原创）若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为 （ ）A ．4B ．6C ．9D ．166．（原创）已知向量b a,满足22≤-b a ，则b a ⋅的最小值为（ ） A ．21 B ．21- C ．1- D ．1 7．（摘录）已知双曲线12222=-by a x 的焦点到渐近线的距离为32，且双曲线右支上一点P 到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．3C ．2D ．218．（摘录）如图，正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面 C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点P 的轨迹是 （ ）B 'DA ．两段圆弧B ．两段椭圆弧C ．两段双曲线弧D ．两段抛物线弧第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共7小题，9-12小题每小题6分，13-15小题每小题4分，共36分） 9．（原创）设全集集U R =，集合}22{≤≤-=x x M ，}1{x y x N -==，那么MN = ▲ ， =N M ▲ ，C N U = ▲10．（改编）已知{}n a 为等差数列，若π8951=++a a a ，则前9项的和9S = ▲ ，)cos(73a a +的值为 ▲ ．11．(原创)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6， 某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的， 则该视图修改正确后对应图形的面积为 ▲ ． 该正四面体的体积为 ▲12．(原创)若将向量(3,3)a =围绕起点按逆时针方向旋转23π，得到向量，则向量的坐标为 ▲ ．a b -= ▲ .13．（改编）已知函数11log )(-+=x x x f a (0,1)a a >≠， 当(,2)x r a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，则实数a = ▲ ．14．（原创）若变量,x y 满足：2202403110x y x y x y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，且满足(1)(2)0t x t y t ++++=，则参数t 的取值范围为 ▲ ．15．（原创）若关于x 的不等式02lg)20(≤-xaax 对任意的正整数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分15分）（原创）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知函数)62sin()(π-=x x f 满足：对于任意R x ∈，)()(A f x f ≤恒成立.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若3=a ，求BC 边上的中线AM 长的取值范围.17．（本小题满分15分）（改编）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ．（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．18．（本小题满分15分）（原创）如图，四棱锥BCDE A -，平面⊥ABC 平面BCDE ，ABC ∆边长为2的等边三角形，底面BCDE 是矩形，且2=CD ．（Ⅰ）若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG ；（Ⅱ）试问点F 在线段AB 上什么位置时，二面角F CE B --的大小为4π．19．（本小题满分15分）（原创）已知抛物线2:2(0)M y p x p =>,其焦点F 到直线:l 02=--t y x 的EDFB GAC距离为223. （Ⅰ）若1=t ,求抛物线M 的方程；（Ⅱ）已知,0<t 直线l 与抛物线M 相交于B A ,两点，直线PQ 与抛物线M 相交于Q P ,两点，且满足0=⋅，32=⋅=⋅,若Q B P A ,,,四点在同一个圆Γ上，求圆Γ上的动点到焦点F 最小距离.20．（本小题满分14分）（原创）设函数()||f x x x a a =-+， (0)a ≥ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的零点；（Ⅱ）若x ∈[]1,1-时，()1f x ≤恒成立，求实数a 的最大值．2015年高考模拟数学(文科)答题卷一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）二.填空题（共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分） 9．10． 11． 12．13．14．15．三.解答题（共5小题，共74分）2015年高考模拟数学(文科)参考答案及评分标准一.1．D 【解题思路】 等比数列}{n a 中， 01<a ，若1>q ，则数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则10<<q ，所以选D ．2．D 【命题意图】 本题考查线面位置关系判定，属于中档题．【解题思路】 若βα//，且α⊥m ，β⊥n ，则n m //，矛盾，故A 不正确；所以α与β相交．由α⊥m ，m l ⊥，α⊄l ，可知α//l ，同理β//l ，可得l 平行两个平面的交线．所以选D ．3． A 【命题意图】 本题考查三角恒等变换，属于容易题． 【解题思路】ααααcos 3cos sin 22sin -==，23sin -=α，32πα=，所以32tan =α，选A ．4．B 【命题意图】 本题考查三角函数图象平移和奇偶性，属于容易题． 【解题思路】 平移后的新函数为)42sin(ϕπ++=x y ，该函数为偶函数，则ππϕπk +=+24，Z k k ∈+=,4ππϕ，所以选B ．5．A 【命题意图】 本题考查基本不等式，属于中档题． 【解题思路】 由111=+b a ，可得a b a =-11，b a b =-11，所以441411≥+=-+-baa b b a ，选A ．6．B 【命题意图】 本题以向量为依托考查最值，属于较难题．【解题思路】 设2,2≤-=t b a t ，则b a2+=，所以2188)4(2)2(222-≥-≥-+=⋅+=⋅t t t b b b t b a ，故选B ．法二：几何意义7．C 【命题意图】 本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．【解题思路】焦点到渐近线的距离为b =P 到右焦点的距离的最小值为2c a -=，解得2,4a c ==，所以2e =8．D 【命题意图】 本题考查空间位置关系【解题思路】PAC MAC ''∠=∠=定值，所以，点P 在空间的轨迹是以直线截AC '为轴的圆锥面，而平面D C B A ''''与圆锥母线AM 平行，根据圆锥曲线的定义可知，点P 在平面D C B A ''''内的轨迹是抛物线，同理，点P 在平面C D CD ''内的轨迹也是抛物线的一段二、填空题：（共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分） 9．{2}MN x x =≤，{21}MN x x =-≤≤，{1}U C N x x =>【命题意图】本题考查集合的基本运算. 属于容易题． 10．124,2π-【命题意图】本题考查等差数列性质，基本量运算，诱导公式，属于容易题．11. ，【命题意图】 本题考查解三视图，属于中档题． 【解题思路】正视图错误，属于中档题．正视图是错误图形，正视图底边长为6，高为63⨯=116,23S V =⨯⨯==⨯，12．(3,3)b =-，6a b -=【命题意图】本题考查向量运算及几何意义，属于容易题．13．2 本题考查对数函数的性质、复合函数的值域问题，属于稍难题． 当1a >时，使值域为()1,+∞则()121,11x t a x x +==+∈+∞--，所以定义域 为()1,2a-即1213a a a a a >⎧⎪⇒=-⎨=⎪-⎩01a <<时，无解.14. 423t -≤≤-【命题意图】 本题考查可行域及直线恒过定点，属于稍难题． :(1)(2)0l t x y x y ⇒++++=，所以直线恒过定点(2,1)-，画出可行域，由题意知，直线恒过定点(2,1)-点及可行域内一点，直线l 方程可改写成：(2)(1)t y t x t +=-+-，（1）由图知，当斜率不存在时，符合题意；（2）当斜率存在时，11[,)22t k t +⇒=-∈+∞+⇒423t -<≤-；综上：423t -≤≤-。

2015年全国高中数学联赛浙江省预赛一、选择题:本大题共8小题,每小题6分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“2,a b =是“曲线2222:1(,,0)x y C a b R ab a b+=∈≠经过点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必邀条件2.已知一个角大于120 的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++,则实数m 的取值范围是A.(1,)+∞B.3(1,)2 C.3(,3)2D.(3,)+∞ 3.在正方体1111ABCD A BC D -中,M 为1BB 的中点,则二面角1M CD A --的余弦值为B.124.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则22a b a b ++的最大值为 A.1 B.54 C.75D.2 5.已知等腰直角PQR ∆的三个顶点分别在等腰直角ABC ∆的三条边上,记,PQR ABC ∆∆的面积分别为,PQR ABC S S ∆∆,则PQR ABC S S ∆∆的最小值为 A.12 B.13 C.14D.15 6.已知数列{}n a 的通项*,(1)(21)(1)n nx a n N x x nx =∈+++ ,若1220151a a a +++< ,则实数x 等于A.32-B.512- C.940- D.1160- 7.若过点(1,0),(2,0),(4,0),(8,0)P Q R S 作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能．．．等于 A.1617 B.365 C.265 D.196538.若集合2015*{(,)|(1)(2)()10,,}A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈ ,则集合A 中的元素个数为A.4030B.4032C.22015D.22016二、填空题:本大题共7小题,第9题至第14题每小题7分,第15题8分,共50分,请将答案填在题后的横线上.9.已知函数()f x 满足:(1)(1)0,(2)(2)f x f x f x f x ++-=+=-且2()13f =,则1000()3f = 10.若数列{}n a 的前n 项和32*,n S n n n N =-∈,则20151182i ia i ==+-∑ 11.已知点F 为抛物线25y x =的焦点,点(3,1),A M 为抛物线上的动点,当||||MA MF +取最小值时,点M 的坐标是12.若22sin cos 161610x x +=,则cos 4x = 13.设函数2()min{1,1,1}f x x x x =-+-+,其中m i n {,,x y z 表示,,x y z 中的最小者,若(2)()f a f a +>,则实数a 的取值范围是14.已知向量,a b 的夹角为,||5,3a b π-= ,向量,c a c b --的夹角为2,||3c a π-= 则c a ⋅ 的最大值是15.设,a b Z ∈,若对任意0x ≤,都有2(2)(2)0ax x b ++≤,则a = b =三、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分16分)设,a b R ∈,函数2()(1)2f x ax b x =++-,若对任意实数b ,方程()f x x =有两个相异的实数根,求实数a 的取值范围17(本小题满分18分) 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>右焦点为圆222:(7C x y +=的圆心. (Ⅰ)求椭圆1C 的方程;(Ⅱ)若直线l 与曲线12,C C 都只有一个公共点,记直线l 与圆2C 的公共点为A ,求点A 的坐标.18(本小题满分18分)已知数列{},{}n n a b 满足:*1111110,0,,,n n n n n na b a a b b n N b a ++>>=+=+∈证明:505020a b +>.四、附加题:本大题共2小题,共50分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19(本小题满分25分)已知数列{}n a 满足:*111,3.n n a a a n N +==+∈(Ⅰ)证明:数列{}n a 是正整数数列;(Ⅱ)是否存在*m N ∈,使得2015|m a ,并说明理由.20(本小题满分25分)设k 为正整数,称数字1~(31)k +的排列1231,,,k x x x + 为“N 型的”如果这些数满足:(1)121k x x x +<<< ; (2)1221k k k x x x +++>>> ; (3)212231k k k x x x +++<<< .记k d 为所有“N 型的”排列的个数.(Ⅰ)求12,d d 的值;(Ⅱ)证明:对任意正整数,k k d 均为奇数.。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷说明：（1）本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

（2）考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）1、“a=2，是“曲线C: 22221(,,0)y x a b R ab a b+=∈≠经过点1)”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m ，m+1，m+2，则实数m 的取值范围为（ ）A.m>1B.1<m<32C. 32<m<3D.m>33、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是BB 1的中点，则二面角M －CD 1－A 的余弦值为 （ ）B.124、若实数a ，b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨≤⎪⎩，则22a b a b ++的最大值为 （ ）A.1B.54C.75D.25、已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上，记△PQR ，△ABC 的面积分别为S △PQR ，S △ABC ，则PQRABCS S ∆∆的最小值为（ ）A.12B.13C.14D.156、已知数列{a n }的通项a n =(1)(21)(1)nxx x nx +++，n ∈N *，若a 1+a 2+…+a 2015<1，则实数x 等于（ ）A.32-B.5-C.9-D.11-7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能．．．等于 （ ） A.1617B.365C.265D.196538、若集合A={(m ，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m ∈Z ， n ∈N *}，则集合A 的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f(23)=1，则f(10003)=10、若数列{a n }的前n 项和S n =n 3－n 2，n ∈N *，则20151182ii a i =+-∑＝ 11、已知F 为抛物线y 2=5x 的焦点，点A(3，1)，M 是抛物线上的动点。