2018版高考数学文江苏专用一轮复习练习 第二章 函数概

【课时训练】指数与指数函数一、选择题1．(2019某某某某调研)函数f (x )＝2|x －1|的大致图象是( )A B C D 【答案】B【解析】由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，可知f (x )在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．故选B.2．(2018某某某某一中月考)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A【解析】由题意可知a >1, f (－4)＝a 3,f (1)＝a 2，由y ＝a t(a >1)的单调性知a 3>a 2，所以 f (－4)>f (1)．3．(2018某某某某调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f (1)＝19得a 2＝19，又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．4．(2018某某某某一模)已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x >0，g x ，x <0.如果f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x B ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x【答案】D【解析】由题图可知f (1)＝12，∴a ＝12，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .由题意得g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x.故选D.5．(2018某某省实验中学分校月考)函数y ＝16－2x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4) D ．(0,4)【答案】C【解析】函数y ＝16－2x中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y ＝∈[0,4)．故选C.6．(2018某某某某第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4【答案】D【解析】由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．(2018某某某某联考)已知函数f (x )＝e x，如果x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，则下列关于f (x )的性质：①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②y ＝f (x )不存在反函数；③f (x 1)＋f (x 2)<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22；④方程f (x )＝x 2在(0，＋∞)上没有实数根．其中正确的是( )A ．①②B ．①④C ．①③D ．③④【答案】B8．(2018某某某某联考)若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1【答案】B【解析】∵函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f (x )的定义域为[a ，＋∞)． ∵函数f (x )的定义域与值域相同， ∴函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又∵函数f (x )在[a ，＋∞)上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.故选B.二、填空题9．(2018某某某某一模)已知函数f (x )＝e x －e －xe x ＋e －x ，若f (a )＝－12，则f (－a )＝________. 【答案】12【解析】∵f (x )＝e x－e －xe x ＋e －x ，f (a )＝－12，∴e a －e －a e a ＋e －a ＝－12.∴f (－a )＝e －a －e a e －a ＋e a ＝－e a －e －ae a ＋e －a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12. 10．(2018某某一中月考)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.【答案】 3【解析】当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又a >1，∴a ＝ 3.当0<a <1时，f (x )＝a x－1在[0,2]上为减函数，又f (0)＝0≠2，∴0<a <1不成立．综上可知，a ＝ 3.11．(2018某某十校联考)已知max (a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max {e |x |，e|x －2|}，则f (x )的最小值为________．【答案】e【解析】由于f (x )＝max {e |x |，e |x －2|}＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥1，e 2－x，x <1.当x ≥1时，f (x )≥e，且当x ＝1时，取得最小值e ；当x <1时，f (x )>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.12．(2018某某某某海阳一中期中)已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值X 围为________．【答案】[2,4] 【解析】函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．三、解答题13．(2018某某余姚中学月考)已知定义在R 上的函数 f (x )＝2x－12|x |.(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，某某数m 的取值X 围． 【解】(1)当x ＜0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x－2＝0，将上式看成关于2x的一元二次方程， 解得2x ＝2或2x＝－12，∵2x＞0，∴x ＝1.(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)，∵22t－1＞0， ∴m ≥－(22t＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故实数m 的取值X 围是[－5，＋∞)．。

专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。

第7课 函数的奇偶性(本课时对应学生用书第 页)自主学习 回归教材1.(必修1P43练习6改编)函数f (x )=42-1(-1)x x x 是 函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”) 【答案】奇【解析】由题知定义域{x|x ∈R ，且x ≠0，x ≠±1}关于原点对称，且f (-x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.(必修1P94习题28改编)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= . 【答案】-1【解析】f (-2)=-f (2)=-1.3.(必修1P55习题8改编)若函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，则实数a= . 【答案】4【解析】因为函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，所以f (-x )=f (x )，由f (x )=(x+a )(x-4)=x 2+(a-4)x-4a ，得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a ，即a-4=0，a=4.4.(必修1P43习题4改编)已知函数f (x )=4x 2+bx+3a+b 是偶函数，其定义域为[a-6，2a ]，则点(a ，b )的坐标为 . 【答案】(2，0)【解析】因为f (x )为偶函数且定义域为[a-6，2a ]，所以0-(-6)2b a a =⎧⎨=⎩，，即02b a =⎧⎨=⎩，，故点(a ，b )的坐标为(2，0).5.(必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，f(1)=2，则不等式f(lg x)>2的解集为.【答案】110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞)【解析】因为f(x)为偶函数，所以由f(lg x)>2⇔f(|lg x|)>2=f(1)，又因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以|lg x|>1，所以0<x<110或x>10，故不等式f(lg x)>2的解集为110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞).1.奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则称f(x)为偶函数.2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0.(4)定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 【要点导学】要点导学 各个击破函数奇偶性的判定例1 判断下列各函数的奇偶性.(1)f (x )=32--1x x x ；(2)f (x )(3)f (x )=|x+2|-|x-2|；(4)f (x )=220-0.x x x x x x ⎧+<⎨>⎩，，，【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f (-x )与f (x )的关系，分段函数应分情况判断.【解答】(1)定义域是{x|x ≠1}，不关于原点对称， 所以f (x )是非奇非偶函数. (2)定义域是{-1，1}，f (x )=0， 所以f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)定义域是R ，f (-x )=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f (x )， 所以f (x )是奇函数. (4)当x<0时，-x>0，则f (-x )=(-x )2-(-x )=x 2+x=f (x )； 当x>0时，-x<0，则f (-x )=(-x )2+(-x )=x 2-x=f (x ).综上所述，对任意的x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f (-x )=f (x )，所以f (x )为偶函数. 【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称. (2)确定f (-x )与f (x )的关系.(3)作出相应结论：若f (-x )=f (x )或f (-x )-f (x )=0，则f (x )是偶函数；若f (-x )=-f (x )或f (-x )+f (x )=0，则f (x )是奇函数.变式求证：函数f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a(其中a为常数)为偶函数.【解答】易知此函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为f(-x)=-x-112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x212-12xx⎛⎫-⎪⎝⎭+a=x2-111-2-12xx⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=f(x)，所以f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a为偶函数.【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)= .(2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)= ，g(1)= .【思维引导】(1)要求f(x)在(0，+∞)上的表达式，由于已知f(x)在(-∞，0)上的表达式，因此解答本题可先设x∈(0，+∞)，然后将它转化到已知解析式的区间(-∞，0)上，最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论.(2)先利用函数的奇偶性，确定f(x)和g(x)的解析式，然后代值计算.【答案】 (1)-x-x4(2)2-1【解析】(1)当x∈(0，+∞)时，有-x∈(-∞，0)，注意到函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，于是有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.(2)由题意得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，联结f(x)-g(x)=x3+x2+1，解得f(x)=x2+1，g(x)=-x3，所以f(1)=2，g(1)=-1.【精要点评】(1)解决本题第(1)问的关键是利用偶函数的关系式f(-x)=f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当的推导，求出所求区间上的解析式.(2)本题第(2)问也可以直接用赋值法解决，即赋值x=±1，然后利用奇偶性化归为关于f(1)和g(1)的方程组，进行求解.变式(1)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= .(2)已知f(x)=223pxx q++是奇函数，且f(2)=53，那么p= ，q= .【答案】 (1)-3(2)20【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，故当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，即22-3pxx q+++223pxx q++=0，得q=0.又由f(2)=53，得426p+=53，解得p=2.函数奇偶性与单调性的综合应用微课2● 问题提出奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性.那么，求解此类问题的解题模板是怎样的?● 典型示例例3 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，f (-a )+f (a )=0恒成立，若f (-3)=2.(1)试判断函数f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f-m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，其中m ∈R 且m>0. 【思维导图】【规范解答】(1)函数f (x )为R 上的减函数.理由如下：由题知f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，又因为f (x )是R 上的单调函数， 由f (-3)=2，f (0)<f (-3)，知f (x )为R 上的减函数.(2)由f -m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，得f-m x x ⎛⎫⎪⎝⎭<-f (m )=f (-m )， 结合(1)得-m x x >-m ，整理得(1-)-m x mx <0. 当m>1时，不等式的解集为|01-m x x x m ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或； 当m=1时，不等式的解集为{x|x>0}；当0<m<1时，不等式的解集为|01-m x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.● 总结归纳奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得.● 题组强化1.(2014·江苏压题卷)若奇函数f (x )在(0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，则不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0的解集为.(第1题)【答案】[-2，0)∪(0，2]【解析】根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示.不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0⇔()f x x ≥0， 即0()0x f x >⎧⎨≥⎩，或0()0.x f x <⎧⎨≤⎩，由图可知不等式的解集为[-2，0)∪(0，2].2.(2015·全国卷)设函数f (x )=ln(1+|x|)-211x +，则使得f (x )>f (2x-1)成立的x 的取值范围是 .【答案】113⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=ln(1+|x|)-211x +可知f (x )是偶函数，且在[0，+∞)是增函数， 所以f (x )>f (2x-1)⇔f (|x|)>f (|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔13<x<1.3.已知偶函数f (x )在[0，+∞)上是增函数，如果f (ax+1)≤f (x-2)在x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】由于f (x )为偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，则在(-∞，0]上为减函数. 由f (ax+1)≤f (x-2)，知|ax+1|≤|x-2|.又x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故|x-2|=2-x ，即x-2≤ax+1≤2-x. 故x-3≤ax ≤1-x ，1-3x ≤a ≤1x -1在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.由于min 1-1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0，max 31-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-2，故-2≤a ≤0， 即实数a 的取值范围为[-2，0].4.已知奇函数f (x )是定义在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f (x-3)+f (x 2-3)<0，求x 的取值范围.【解答】由题知2-3-33-3-33x x <<⎧⎨<<⎩，，解得0600x x x <<⎧⎪⎨<<<⎪⎩，或故0<x<因为f (x )是奇函数，所以f (x-3)<-f (x 2-3)=f (3-x 2)，又f (x )在(-3，3)上是减函数， 所以x-3>3-x 2，即x 2+x-6>0，解得x>2或x<-3. 综上，2x 的取值范围是{x|2.1.(2015·北京卷改编)已知下列函数：①y=x 2sin x ；②y=x 2cos x ；③y=|ln x|；④y=2-x.其中为偶函数的是 .(填序号) 【答案】②【解析】根据奇偶性的定义知①为奇函数，②为偶函数，③的定义域为(0，+∞)，故③不具有奇偶性，④既不是奇函数，也不是偶函数.2.(2015·南通模拟)已知函数f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，那么实数a= .【答案】1【解析】因为f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，因此f(0)=0，解得a=1.3.(2016·苏州期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x-x2，则f(-1)+f(0)+f(3)= .【答案】-2【解析】由题意知，f(0)=0，f(-1)=-f(1)，又因为当x>0时，f(x)=2x-x2，所以f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-21+12+23-32=-2.4.(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】c<a<b【解析】因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f21log3⎛⎫⎪⎝⎭=21log32-1=2log32-1=3-1=2，b=f(log25)=2log52-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0.所以c<a<b.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，若f(1-a)+f(-2a)<0，求实数a的取值范围.【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，所以f(x)在R上为增函数. 又f(1-a)+f(-2a)<0，所以f(1-a)<-f(-2a)=f(2a).所以1-a<2a，即a>1 3.所以实数a的取值范围为13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.【融会贯通】融会贯通能力提升已知函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.……………………………………………………………2分(2)f(x)为偶函数.证明如下：…………………………………………………………………4分令x1=x2=-1，得f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.…………………………7分(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f (16×4)=f (16)+f (4)=3.…………………………………………………………………………9分将f (3x+1)+f (2x-6)≤3，变形为f [(3x+1)(2x-6)]≤f (64).(*) 因为f (x )为偶函数，所以f (-x )=f (x )=f (|x|). 所以不等式(*)等价于f [|(3x+1)(2x-6)|]≤f (64).………………11分又因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以|(3x+1)(2x-6)|≤64，且(3x+1)(2x-6)≠0，解得-73≤x<-13或-13<x<3或3<x ≤5.所以x 的取值范围是711---335333x x x x ⎧⎫≤<<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.………………………………14分【精要点评】抽象函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y 轴对称.在利用单调性解决抽象不等式时，不仅要注意单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第13~14页.【检测与评估】第7课 函数的奇偶性一、 填空题1.(2015·湖南卷改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )，则f (x )的奇偶性是 .2.(2015·全国卷)若函数f(x)=x ln(x为偶函数，则实数a= .3.(2015·淮安中学)已知函数f(x)=a+x)+bx3+x2，其中a，b为常数，f(1)=3，则f(-1)= .4.已知a为常数，函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数，则a= .5.(2014·福建三明)设f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，且f(1)>1，f(2 015)=2-31aa+，则实数a的取值范围是.6.已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，函数f(x)=30()0. x xg x x⎧≤⎨>⎩，，，若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是.7.(2015·启东联考)若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有1212()-()-f x f xx x<0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f(x)=1x；②f(x)=x2；③f(x)=2-121xx+；④f(x)=22-0x xx x⎧≥⎨<⎩，，，，能被称为“理想函数”的有.(填序号)8.(2014·南京、盐城一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.如果实数t满足f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，那么t的取值范围是.二、解答题9.已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0，常数a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，+∞)上为增函数，求实数a 的取值范围.10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(-∞，0)时，f (x )=-x lg(2-x )，求函数f (x )的解析式.11.设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意的x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f (x +l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数.(1)如果定义域为[-1，+∞)的函数f (x )=x 2为[-1，+∞)上的m 高调函数，求实数m 的取值范围； (2)如果定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=|x -a 2|-a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义域为R 的函数f (x )=1-222x x b +++是奇函数.(1)求实数b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.【检测与评估答案】第7课 函数的奇偶性1.奇函数 【解析】显然，f (x )的定义域为(-1，1)，关于原点对称.又因为f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.1 【解析】由题知y=ln(是奇函数，所以ln(+ln(-=ln(a+x 2-x 2)=ln a=0，解得a=1.3.-1 【解析】已知函数f (x )=a+x )+bx 3+x 2，所以f (x )+f (-x )=2x 2，由f (1)=3，得f (-1)=-1.4. 2 【解析】f (x+a )=(x+a )2-4(x+a )+3=x 2+(2a-4)x+a 2-4a+3.因为f (x+a )为偶函数，所以a=2.5.2-13⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】因为f (2 015)=f (2)=f (-1)=-f (1)<-1，所以2-31a a +<-1，解得-1<a<23.6. (-2，1) 【解析】设x>0，则-x<0.因为当x<0时，g (x )=-ln(1-x )，所以g (-x )=-ln(1+x ).又因为g (x )是奇函数，所以g (x )=ln(1+x )(x>0)，所以f (x )=30ln(1)0x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，，其图象如图所示.由图象知，函数f (x )在R 上是增函数.因为f (2-x 2)>f (x )，所以2-x 2>x ，即-2<x<1.(第6题)7.④ 【解析】依题意，性质(1)反映函数f (x )在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f (x )在定义域上为单调减函数.①f (x )=1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，故排除①；②f (x )=x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f (x )=2-121x x +，定义域为R ，由于y=2x+1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④根据f (x )=22-00x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为理想函数.8.1ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭=f(ln t)+f(-ln t)=2f(ln t)，于是f(lnt)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)⇔f(ln t)≤f(1)⇔|ln t|≤1⇔-1≤ln t≤1⇔1e≤t≤e.9.(1) 当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数.当a≠0时，f(x)=x2+ax(x≠0，常数a∈R)，若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0，所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.(2) 设2≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=21x+1ax-22x-2ax=1212-x xx x[x1x2(x1+x2)-a]，要使函数f(x)在x∈[2，+∞)上为增函数，必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.因为x1-x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1+x2)恒成立.又因为x1+x2>4，所以x1x2(x1+x2)>16，所以实数a的取值范围是(-∞，16].10.因为f(x)是R上的奇函数，可得f(0)=-f(0)，所以f(0)=0.当x>0时，-x<0，由已知得f(-x)=x lg(2+x)，所以-f(x)=x lg(2+x)，即f(x)=-x lg(2+x)(x>0).所以f(x)=-lg(2-)0 -lg(2)0. x x xx x x<⎧⎨+≥⎩，，，即f(x)=-x lg(2+|x|)(x∈R).11. (1) f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，图(1)图(2) (第11题)要使f (-1+m )≥f (-1)，只要m ≥2， 此时恒有f (x+m )≥f (x )， 所以实数m 的取值范围为[2，+∞).(2) 由f (x )为奇函数及x ≥0时的解析式知f (x )的图象如图(2)所示. 因为f (3a 2)=a 2=f (-a 2)，由f (-a 2+4)≥f (-a 2)=a 2=f (3a 2)，得-a 2+4≥3a 2，从而a 2≤1. 又当a 2≤1时，恒有f (x+4)≥f (x ). 所以实数a 的取值范围为[-1，1].12.(1) 因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-122b +=0，解得b=1.(2) 由(1)知f (x )=11-222x x ++=-12+121x+，设x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=1121x +-2121x +=21122-2(21)(21)x x x x++.因为函数y=2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，所以22x -12x >0，又(12x +1)(22x +1)>0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以f (x )在定义域R 上为减函数.(3) 因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k-2t 2).由(2)知f (x )为减函数，所以t 2-2t>k-2t 2，即对一切t ∈R 有3t 2-2t-k>0，从而判别式Δ=4+12k<0，解得k<-13，所以实数k 的取值范围是1-.-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，xn 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)．②n a n＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质1．辨明三个易误点(1)指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则，或在运算变换中方法不当，不注意运算的先后顺序等．(2)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质与a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1.(3)在解形如a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式时，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．2．指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .1.教材习题改编有下列四个式子：①3（－8）3＝－8；② （－10）2＝－10；③4（3－π）4＝3－π；④2 017（a －b ）2 017＝a －b . 其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B ①④正确，（－10）2＝|－10|＝10，②错误； 4（3－π）4＝|3－π|＝－(3－π)＝π－3，③错误，故选B.2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3xD 根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．3．(2017·东北三校联考)函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x－1 D ．y ＝log 2(2x )A 由f (x )＝ax －1(a ＞0，a ≠1)的图象恒过点(1，1)，又0＝1－1，知(1，1)不在y＝1－x 的图象上．4．(2017·皖北协作区联考)函数f (x )＝1－e x的值域为________． 由1－e x ≥0，e x≤1，故函数f (x )的定义域为{x |x ≤0}． 所以0<e x ≤1，－1≤－e x <0，0≤1－e x<1，函数f (x )的值域为 由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. (－2，－1)∪(1，2)指数幂的运算化简下列各式：(1)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫56a 13b －2·(－3a －12b －1)÷(4a 23b －3)12·ab .【解】 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－13－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52a －16b －3÷(2a 13b －32)·a 12b 12＝－54a －12b －32·a 12b 12＝－54b －1＝－54b.化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.(1)原式＝0.32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100.(2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b－32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝21－x的大致图象为()(2)若方程|3x－1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________．【解析】 (1)函数f (x )＝21－x＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，单调递减且过点(0，2)，选项A 中的图象符合要求．(2)函数y ＝|3x－1|的图象是由函数y ＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)A (2){0}∪上单调递减，则k 的取值范围如何？由本例(2)作出的函数y ＝|3x－1|的图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k ∈(－∞，0]．指数函数的图象及应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．)1.函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 D 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出函数f (x )＝ax －b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.2．若函数y ＝21－x＋m 的图象不经过第一象限，求m 的取值范围．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2.指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．高考对指数函数的性质的考查主要有以下三个命题角度： (1)比较指数幂的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)研究指数型函数的性质．(1)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝2－43，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. ①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解】 (1)选B.把b 化简为b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1243，而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上为减函数，43>23>13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1243<⎝ ⎛⎭⎪⎫1223<⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，即b <a <c . (2)①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．②令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ），由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R ) 故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.有关指数函数性质的问题类型及解题策略(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．角度一 比较指数幂的大小 1．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1BA 中，因为函数y ＝1.7x在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73. B 中，因为y ＝0.6x在R 上是减函数，－1<2， 所以0.6－1>0.62. C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． 因为y ＝1.25x在R 上是增函数，0.1<0.2， 所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.角度二 解简单的指数方程或不等式2．(2015·高考江苏卷)不等式2x 2－x <4的解集为________． 因为2x 2－x <4，所以2x 2－x <22，所以x 2－x <2，即x 2－x －2<0，所以－1<x <2. {x |－1<x <2}(或(－1，2))角度三 研究指数型函数的性质 3．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在 因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是 1——换元法解决指数型函数的值域问题函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在x ∈上的值域是________． 【解析】 因为x ∈，若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8.y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57(1)此题利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2－t ＋1，其中t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，将问题转化为求二次函数在闭区间上的最值(值域)问题，从而减少了运算量．(2)对于同时含有a x与a 2x(log a x 与log 2a x )(a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x(t ＝log a x )进行换元巧解，但一定要注意新元的范围．已知函数y ＝9x＋m ·3x－3在区间上单调递减，则m 的取值范围为________．设t ＝3x ，则y ＝9x ＋m ·3x －3＝t 2＋mt －3.因为x ∈，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9.又函数y ＝9x＋m ·3x －3在区间上单调递减，即y ＝t 2＋mt －3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，9上单调递减， 故有－m2≥9，解得m ≤－18.所以m 的取值范围为(－∞，－18]． (－∞，－18]1．下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 D ．y ＝1－2xBA 中，y ＝－5x<0，B 中，因为1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的值域是正实数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x的值域是正实数，C 中，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1≥0，D 中，y ＝1－2x ，由于2x >0，故1－2x <1，又1－2x≥0，故0≤y <1，故符合条件的只有B.2．化简4a 23·b －13÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6abC 原式＝4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a 23－(－13)b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C.3．函数y ＝a x－1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )D 函数y ＝a x －1a 的图象由函数y ＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a>1，平移距离大于1，所以C 项错误．4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >aA 由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .5．(2017·莱芜模拟)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．B 由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 因为g (x )＝|2x －4|在 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a<⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 设f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m＝1＋1a m ＝43.438.614－(π－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫33813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫164－23＝________． 原式＝52－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋(4－3)－23＝32－32＋42＝16. 169．(2015·高考山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________．①当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.－3210．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________．原不等式变形为m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x， 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x恒成立等价于m 2－m ＜2，解得－1＜m ＜2.(－1，2)11．求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2；(2)y ＝ 32x －1－19. (1)显然定义域为R .因为2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，且y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝12. 故函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(2)由32x －1－19≥0，得32x －1≥19＝3－2， 因为y ＝3x为增函数，所以2x －1≥－2，即x ≥－12，此函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 由上可知32x －1－19≥0，所以y ≥0. 即函数的值域为 (1)因为f (x )为偶函数， 所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间 因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋a 的图象经过第二、三、四象限，所以a <－1.则g (a )＝f (a )－f (a ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a.因为a <－1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>3，则23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13a>2，故g (a )的取值范围是(2，＋∞)． 14．(2017·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，0≤x <1，2x －12，x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．画出函数图象如图所示，由图象可知要使a >b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，则12≤b <1. b ·f (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122－14，所以34≤b ·f (a )<2.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，215．已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围． 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间 (－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减，且函数y ＝2t在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，a 2]上单调递增，在区间[a2，＋∞)上单调递减． 又因为函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)上单调递增，所以3≤a2，即a ≥6.16．已知函数f (x )＝1－42a x＋a(a >0且a ≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数的值域；(3)当x ∈(0，1]时，tf (x )≥2x－2恒成立，求实数t 的取值范围． (1)因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数， 所以f (0)＝0，即1－42a 0＋a ＝0.解得a ＝2.(2)因为y ＝f (x )＝2x－12x ＋1，所以2x＝1＋y 1－y .由2x>0知1＋y 1－y >0，所以－1<y <1.即f (x )的值域为(－1，1)． (3)不等式tf (x )≥2x －2等价于t （2x －1）2x＋1≥2x －2，即(2x )2－(t ＋1)2x＋t －2≤0.令2x ＝u ，因为x ∈(0，1]，所以u ∈(1，2]． 又u ∈(1，2]时，u 2－(t ＋1)u ＋t －2≤0恒成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧12－（t ＋1）＋t －2≤0，22－2（t ＋1）＋t －2≤0，解得t ≥0.故所求t 的取值范围为[0，＋∞)．。