微分方程,概率问题作业

微分方程单元测试题(含答案)题目一已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。

答案：根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。

首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。

然后我们进行积分，得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。

将积分限写入，得到 $\int\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。

对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则$du = 2dx$。

将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。

对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中$C_2$ 是常数）。

将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。

对等式两边同时取指数函数，得到$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}e^{C_3}$。

最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。

因此，微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目二已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$，求出这个微分方程的特解。

第七章 微分方程例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为62.0dtdVQ ⋅=＝孔口截面面积 重力加速度,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ①设在微小的时间间隔],,[t t t ∆+水面的高度由h 降至,h h ∆+则,2dh r dV π-=,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ②比较①和②得:,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h gdt ---=π,1000==t h ,101514262.05⨯⨯=∴gC π所求规律为 ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π例10 求解微分方程.2222xyy dyy xy x dx -=+-解 原方程变形为=+--=2222y xy x xy y dx dy ,1222⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎭⎫⎝⎛x y x y x y x y 令,xy u =则,dx dux u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dxdu = 两边积分得,ln ln ln 21)2ln(23)1ln(C x u u u +=----整理得.)2(12/3Cx u u u =--所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=-例13 抛物线的光学性质. 实例:车灯的反射镜面 ——旋转抛物面. 解 设旋转轴Ox 轴，光源在),0,0( ),(:x y y L =设),(y x M 为L 上任一点，MT 为切线，斜率为,y 'MN 为法线，斜率为,1y '-,NMR OMN ∠=∠ ,t a n t a n N M R O M N ∠=∠∴由夹角正切公式得,11tan y x y x yy OMN '--'-=∠ ,1t a n y N M R '=∠ 得微分方程 ,02=-'+'y y x y y ,12+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-='y x yxy 令 ,x y u =方程化为 ,112uu dx du x u +±-=+ 分离变量得,1)1(22xdxu u udu -=+±+ 令 ,122t u =+得,)1(xdxt t tdt -=±积分得 ,ln |1|ln xCt =± 即.112±=+x C u平方化简得,2222x CxC u += 代回,xyu =得 .222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x C y所求旋转轴为Ox 轴得旋转抛物面的方程为 .2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+C x C z y 例14（E07）设河边点O 的正对岸为点A , 河宽h OA =, 两岸为平行直线, 水流速度为a, 有一鸭子从点A 游向点O , 设鸭子(在静水中)的游速为)(a b b >, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 求鸭子游过的迹线的方程.解 设水流速度为),|(|a a a =鸭子游速为),|(|b b b = 则鸭子实际运动速度为.b a v += 取坐标系如图，设在时刻t 鸭子位于点),,(y x P 则鸭子运动速度},,{},{t t y x y x v v v == 故有.yxt t v v y x dy dx ==现在),0,(a a = 而,be b = 其中e 为与PO 同方向的单位向量. 由},,{y x PO -=故,},{22y x y x e +-=于是},,{22y x yx b b +-==+=b a v .,2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-y x byy x bxa 由此得微分方程,22yx by y x a v v dy dx y x++-== 即 ,12y xy x bady dx ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 初始条件为.0|==h y x 令,u yx =则,yu x =,u dy du y dy dx +=代入上面的方程,得,12+-=u ba dy du y分离变量得,12dy byau du -=+ 积分得),ln (ln C y b a arshu +-=即b a Cy sh u /)ln(-=],)()[(21//b a b a Cy Cy -=-故].)()[(21])()[(2/1/1//b a b a b a b a Cy Cy CCy Cy y x +---=-=将初始条件代入上式得,/1h C =故所求迹线方程为 2h x =,/1/1⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-b a b a h y h y .0y h ≤≤一、一阶线性微分方程 形如)()(x Q y x P dxdy=+ (3.1) 的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(x P 、)(x Q 是某一区间I 上的连续函数. 当,0)(≡x Q 方程(3.1)成为0)(=+y x P dxdy(3.2) 这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.方程(3.2)的通解.)(⎰-=dx x P Ce y (3.3)其中C 为任意常数.求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C 变易为待定函数)(x u ，并设一阶非齐次方程通解为 ,)()(⎰-=dxx P ex u y一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为[]⎰-⎰+=⎰dx x P dx x P e C dx e x Q y )()()( (3.5)二、伯努利方程：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (3.7) 的方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以ny ，得),()(1x Q y x P dxdyy n n=+-- 或 ),()()(1111x Q y x P y nn n =+'⋅--- 于是，令nyz -=1，就得到关于变量z 的一阶线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+. 利用线性方程的求解方法求出通解后，再回代原变量，便可得到伯努利方程(3.7)的通解.)1)(()()1()()1(1⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰⎰----C dx e n x Q e y dx x P n dx x P n n 例5（E03）求方程0)12(23=-+dy xy dx y 的通解.解 当将y 看作x 的函数时，方程变为2321xy y dx dy -=这个方程不是一阶线性微分方程，不便求解.如果将x 看作y 的函数，方程改写为1223=+x y dydxy 则为一阶线性微分方程，于是对应齐次方程为0223=+x y dy dx y 分离变量，并积分得,2⎰⎰-=y dy x dx 即211yC x = 其中1C 为任意常数，利用常数变易法，设题设方程的通解为,1)(2y y u x =代入原方程,得yy u 1)(=' 积分得 C y y u +=||ln )(故原方程的通解为)||(ln 12C y yx +=，其中C 为任意常数.例6（E04）在一个石油精炼厂，一个存储罐装8000L 的汽油，其中包含100g 的添加剂. 为冬季准备，每升含2g 添加剂的石油以40L/min 的速度注入存储罐. 充分混合的溶液以45L/min 的速度泵出. 在混合过程开始后20分钟罐中的添加剂有多少？解 令y 是在时刻t 罐中的添加剂的总量. 易知100)0(=y . 在时刻t 罐中的溶液的总量 ()()t t t V 5800045408000-=-+= 因此，添加剂流出的速率为()()()()tt y t t y t V t y 58000454558000-=⋅-=⋅溶液流出的速率 添加剂流入的速率80402=⨯，得到微分方程 t ydt dy 580004580--= 即805800045=⋅-+y tdt dy 于是，所求通解为()()9580004558000451600101600080-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=---⎰t C t C dt e e y dt t dt t由100)0(=y 确定C ，得()()016000010160009=-+⨯-C ，8160010=C ，故初值问题的解是()()9816001600101016000-+-=t t y ， 所以注入开始后20分钟时的添加剂总量是()()58.1512160020160010201016000)20(98≈-+⨯-=y g. 注：液体溶液中（或散布在气体中）的一种化学品流入装有液体（或气体）的容器中，容器中可能还装有一定量的溶解了的该化学品. 把混合物搅拌均匀并以一个已知的速率流出容器. 在这个过程中，知道在任何时刻容器中的该化学品的浓度往往是重要的. 描述这个过程的微分方程用下列公式表示：容器中总量的变化率=化学品进入的速率—化学品离开的速率.例10（E06） 求方程1)()(23=-+-+x y x x y x dxdy的通解. 解 令,u x y =-则,1+=dx du dx dy 于是得到伯努利方程.23u x xu dxdu -=+ 令,121u u z ==-上式即变为一阶线性方程.3x xz dxdz=- 其通解为 22x e z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-C dx e x x 232.2222--=x Ce x 回代原变量，即得到题设方程的通解.211222--+=+=x Ce x zx y x例11（E07）求解微分方程.)(sin 12xy xy x dx dy -= 解 令,xy z =则,dxdy x y dx dz += ∴x y dxdz+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y xy x )(sin 12,sin 12z = 利用分离变量法解得 ,42s i n2C x z z +=- 将xy z =代回，得所求通解为 .4)(2s i n2C x xy xy +=- 二、),(y x f y '=''型这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，).,(p x f p ='设其通解为),,(1C x p ϕ=然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程).,(1C x dxdyϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解.),(21⎰+=C dx C x y ϕ三、),(y y f y '=''型这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有.dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 这样就将原方程就化为).,(p y f dydpp= 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为),,(1C y p y ϕ=='这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解.),(21C x C y dy+=⎰ϕ例7设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.解 设绳索的最低点为.A 取y 轴通过点A 铅直向上，并取x 轴水平向右，且||OA 等于某个定值(这个定值将在以后说明).设绳索曲线的方程为).(x y y =考察绳索上点A 到另一点),(y x M 间的一段弧,AM 设其长为.s 假定绳索的线密度为，ρ则弧AM 的重量为.gs ρ由于绳索是柔软的，因而在点A 处的张力沿水平的切线方向，其大小设为;H 在点M处的张力沿该点处的切线方向，设其倾角为,θ其大小为T (如图).因作用于弧段AM 的外力相互平衡，把作用于弧段AM 上的力沿铅直及水平两方向解得.cos ,sin H T gs T ==θρθ两式相除得 .1t a n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==g H a s aρθ由于⎰'+='=xdx y s y 02,1,tan θ代入上式即得 .1102⎰'+='x dx y ay 将上式两端对x 求导，便得)(x y y =满足得微分方程 .112y ay '+='' (1) 取原点O 到点A 的距离为定值,a 即,||a OA =则初始条件为.0,00='===x x y a y对方程(1)，设,p y ='则,dxdpy ='''代入并分离变量得： adxp dp =+21.1C a x p arsh +=由00='=x y 得01=C .a x p arsh =即a x sh y =' .2C axa c h y += 将条件a y x ==0代入上式，得 .02=C于是该绳索的曲线方程为 .2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x a c h y 这曲线叫做悬链线.),(y y f y '=''型二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1⎰=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式.1)(21211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰dx e y C C y y dx x P三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22x f y x Q dx dyx P dx y d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如2211*y u y u y += (5.11)的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数. 降阶法例2（E01）已知x xy sin 1=是方程0222=++y dx dy x dxy d 的一个解, 试求方程的通解. 解 作变换⎰=,1zdx y y 则有dxdy⎰+=,11zdx dx dy z y 22dx y d ⎰++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有,022111=⎪⎭⎫+ ⎝⎛+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得x z dx dzcot 2-=⇒.sin 21xC z = 故所求通解为y ⎰=zdx y 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤+=.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 21C x C x x+-=).cos sin (112x C x C x -= 常数变易法例3（E02）求方程x dx dyx dxy d =-122的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.由0122=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 122＝ dx x dx dy d dxdy 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ，||ln ||ln lnC xdxdy+= 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y +=为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212121201.21,21221x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6,21321x u x u -== 于是，题设原方程得一个特解为.3621333221x x x u x u y =-=⋅+⋅=*从而题设方程的通解为 .33221x C x C y ++= 例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y xy x x y 的通解. 解 因为,01111=---+xx x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解2y dx e eedx x xx x⎰--⎰=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'102121x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得,1x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x内容要点一、二阶常系数齐次线性微分方程及其解法0=+'+''qy y p y (6.1) 特征方程 ,02=++q pr r (6.2) 称特征方程的两个根,1r 2r 为特征根.)sin cos ()(,002121212121212121x C x C e y i r i r e x C C y r r e C e C y r r qy y p y q pr r x xr xr x r βββαβαα+=-=+=+==+==+'+''=++有一对共轭复根有二重根有二个不相等的实根的通解微分方程的根特征方程 这种根据二阶常系数齐次线性方程的特征方程的根直接确定其通解的方法称为特征方程法.二、 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为01)1(1)(=+'+++--y p y p y p y n n n n (6.6)其特征方程为0111=++++--n n n n p r p r p r (6.7)根据特征方程的根，可按下表方式直接写出其对应的微分方程的解:xk k k k rxk k e x x D x D D x x C x C C i k e x C x C C r k αβββα]sin )(cos )[()(111011101110------+++++++±+++ 复根重共轭是重根是通解中的对应项特征方程的根注: n 次代数方程有n 个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各含一个任意常数. 这样就得到n 阶常系数齐次线性微分方程的通解为 .2211n n y C y C y C y +++=例8（E05）求方程x x y y 2cos =+''的通解.解 对应齐次方程的特征方程的特征根为,2,1i r ±=故对应齐次方程的通解x C x C Y sin cos 21+=作辅助方程.2ix xe y y =+''i 2=λ 不是特征方程的根，故设,)(2*ix e B Ax y +=代入辅助方程得,034=-B Ai 13=-A ⇒,31-=A i B 94-=∴*y =⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431ix e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--i x 9431)2sin 2(cos x i x +i x x x -+-=2sin 942cos 31⎪⎭⎫⎝⎛+x x x 2sin 312cos 94取实部得到所求非齐次方程的一个特解:.2sin 942cos 31x x x y +-=所求非齐次方程的通解为.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=例11 已知函数x x e x e y )1(2++=是二阶常系数非齐次线性微分方程x ce by y a y =+'+''的一个特解, 试确定常数b a ,与c 及该方程的通解. 解 将已知方程的特解改写为,2x x x xe e e y ++=因对应齐次方程的解应是rx e 型的,如x e 2是对应齐次方程的解, x e 也可能是，因原方程的自由项是,x Ce 而x xe 或x e x )1(+是原非齐次方程的解,故x e 也是对应齐次方程的解(即1=r 也是特征方程的根).故原方程所对应的齐次方程的特征方程为,0)1)(2(=--r r 即,0232=+-r r于是得.2,3=-=b a 将x xe y =*代入方程x Ce y y y =+'-''23得,2)1(3)2(x x x x Ce xe e x e x =++-+原方程的通解为 .221x x x xe e C e C y ++=内容要点形如)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++--- 的方程称为欧拉方程, 其中n p p p ,,,21 为常数.欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 t e x = 或 ,ln x t =将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(8.1)化为以t 为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t 换为ln x , 即得到原方程的解. 如果采用记号D 表示对自变量t 求导的运算,dtd则上述结果可以写为 ,Dy y x =' y D D y x )1(2-=''，y D D D y D D D y x )2)(1()23(233--=+-='''，一般地，有y k D D D y x k k )1()1()(+--= .例3 设有方程 ,0)0(),0(),1ln(])1(2[)1(02='≥+-''++=+⎰y x x dx y x y y x x求由此方程所确定的函数).(x y 解 将方程两边对x 求导，整理后得y y x y x +'+-''+)1()1(2,11x+=且有,0)0(=y ,0)0(='y 这是欧拉方程,令t e x =+1或),1ln(x t +=将它化为常系数非齐次线性微分方程,222t e y dt dydty d -=+- 其通解为,41)(21t t e e t C C y -++=故原方程的通解为,)1(41)1)](1ln([21x x x C C y +++++=由初始条件,0)0(=y ,0)0(='y 可求得,411-=C ,212=C故由题设方程确定的函数为.)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=例1（E01）求解微分方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++)2(035)1(02y x dty x dtdydt dx 解 由(2)得,5351y dt dy x --=,535122dt dy dt y d dt dx --= (3) 把(3)代入(1),得.022=+y dtyd 这是一个二阶常系数线性微分方程,易求出它的通解为.sin cos 21t C t C y += (4)将上式代入(3),得.cos )3(51sin )3(512121t C C t C C x +--= (5)联立(4),(5)即得所求方程组的通解.例3（E03）解微分方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+.0,2222y dt dx dt y d e x dt dydtx d t解 记,dtdD =则方程组可写成 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-0)1()1(22y D Dx e Dy x D t )2()1( 设法消去变量,x 为此作如下运算:D ⨯-)2()1(得t e y D x =--3 (3)D ⨯+)2()1(得t De y D D =++-)1(24，即t e y D D =++-)1(24 (4)方程(4)对应的齐次方程的特征方程为0124=++-r r 特征根为,2512,1+±=±=αr 2514,3-±=±=βi r 又易求得方程(4)一个特解为,*t e y =故方程(1)的通解为t t t e t C t C e C e C y ++++=-ββααsin cos 4321 (5)将其代入方程(3),可得t t e C e C x αααα2313-=-t e t C t C 2sin cos 4333-+-ββββ (6)联立(5),(6)即得所求方程组的通解.追迹问题例3（E03）设开始时甲、乙水平距离为1单位, 乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速0v 向正北行走；甲从乙的左侧O 点出发, 始终对准乙以)1(0>n nv 的速度追赶. 求追迹曲线方程, 并问乙行多远时, 被甲追到.解 设所求追迹曲线方程为).(x y y =经过时刻,t 甲在追迹曲线上的点为),,(y x P 乙在点).,1(0t v B 于是 .1tan 0xyt v y --='=θ (1) 由题设，曲线的弧长OP 为 ⎰='+xt nv dx y 002,1解出,0t v 代入(1)，得⎰'+=+'-xdx y n y y x 02.11)1( 整理得.11)1(2y ny x '+=''- 追迹问题的数学模型 设,),(p y x p y '=''='则方程化为 211)1(p np x +='- 或 ,)1(12x n dxp dp -=+两边积分，得|,|ln |1|ln 1)1ln(12C x n p p +--=++ 即 .1112n xC p p -=++将初始条件000=='==x x p y 代入上式，得.11=C 于是 ,1112nxy y -='++' (2)两边同乘,12y y '+-'并化简得,112n x y y --='+-' (3)(2)式与(3)式相加得 ,11121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---='nnx x y 两边积分得 .)1(1)1(121211C x n n x n ny nn nn +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+- 代入初始条件00==x y 得,122-=n nC 故所求追迹曲线为 ),1(1)1(1)1(121211>-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++---=+-n n n x n n x n n y nn nn 甲追到乙时，即点P 的横坐标,1=x 此时.)1(2-=n n y 即乙行走至离A 点)1(2-n n 个单位距离时被甲追到.例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dtdyt v =由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,222ykMdt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数. 因为当R y =时，g dtyd -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).,,22gR kM RkM g ==代入得到,2222ygR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y先求物体到达地面时的速度. 由,v dtdy=得 ,22dy dvv dt dy dy dv dt dv dty d =⋅== 代入并分离变量得dy y gR vdv 22-=.2122C y gR v +=把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=l y gR v 11222 .112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为.)(2lR l gR v --= 再求物体落到地面所需的时间.,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==l y g R v dt dy,0l y t == 分离变量得 .21dy yl yg l R dt --=由条件,0l y t ==得.02=C.a r c c o s 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为.arccos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l R l R lR g l R t例6（E06）在图7-10-8的电路中, 设,1,40H L R =Ω= ,10164F C -⨯= t t E 10cos 100)(=且初始电量和电流均为0, 求电量)(t Q 和电流).(t I解 由已知条件知，可得到方程,10cos 1006254022t Q dt dQdt Q d =++其特征方程为 ,0625402=++r r 特征根,15202,1i r ±-= 故对应齐次方程的通解为).15sin 15cos ()(2120t C t C e t Q t c +=- 而非齐次方程的特解可设为.10sin 10cos )(t B t A t Q p += 代入方程，并比较系数可得 .69764,69784==B A 所以 .10sin 6410cos 84(6971)(）t t t Q p += 从而所求方程的通解为 .10sin 1610cos 21(6974)15sin 15cos ()(2120）t t t C t C et Q t+++=- 利用初始条件,0)0(=Q 得到 ,069784)0(1=+=C Q .697841-=C 又 t C C t C C e dtdQt I t 15sin )2015(15cos )1520[()(212120--++-==- )],10cos 1610sin 21(69740t t +-+ 由,06976401520)0(21=++-=C C I 得.20914642-=C 于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-)10sin 1610cos 21()15sin 11615cos 63(36974)(20t t t t e t Q t[].)10cos 1610sin 21(120)15sin 1306015cos 1920(20911)(20t t t t e t I t +-++-=- 解)(t Q 中含有两部分，其中第一部分[])(0.)15sin 11615cos 63(20911)(20∞→→--=-t t t e t Q t c 即当t 充分大时，有).10sin 1610cos 21(6974)()(t t t Q t Q p +=≈ 因此，)(t Q p 称为稳态解。

第十章微分方程习题一.填空题：（33）1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y 的阶数是 . 1-2-41、微分方程0'2'2xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 22sxs x s的阶数是 .1-4-43、x y y y y sin 5''10'''4)()4(的阶数是 .1-5-44、微分方程xyxy2d d 满足条件1|'0xy 的特解是 .1-6-45、微分方程0d d yxy的通解是 .1-7-46、方程y e y x'的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '的通解是 .1-9-48、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''yy y 的通解是 .1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221r r 则二阶常系数齐次微分方程为1-13-52、微分方程xe y ''的通解为 . 1-14-53、微分方程x e y xsin ''2的通解为 .1-15-54、若0d ),(dx ),(yy x Q y x P 是全微分方程, 则Q P,应满足 .1-16-55、与积分方程xy x f yx x d ),(0等价的微分方程初值问题是 .1-17-56、方程0d )2(d )(22yxy xx y xy 化为齐次方程是 .1-18-57、通解为21221,(C C e C eC yxx 为任意常数)的微分方程为 .1-19-58、方程yx e y 2'满足条件0xy 的特解是 .1-19-59、方程0dy1dx2x xy 化为可分离变量方程是1-20-60、方程xy y 2'的通解是1-21-61、方程x yxyxy xyd d d d 22化为齐次方程是1-22-62、若t ycos 是微分方程09''yy 的解, 则.1-23-63、若ktCe Q 满足Qdt dQ03.0, 则k.1-24-64、y y 2'的解是1-25-65、某城市现有人口50(万), 设人口的增长率与当时的人口数x (万)和x 1000的积成正比, 则该城市人口)(t x 所满足的微分方程为1-26-66、圆222r yx 满足的微分方程是1-27-67、ax ae y满足的微分方程是1-28-68、一阶线性微分方程)()(d dyx Q yx P x的通解是 .1-29-69、已知特征方程的两个根3,221r r , 则二阶常系数线性齐次微分方程为 .1-30-70、方程25x y是微分方程y xy 2'的解.1-31-71、二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72、二阶常系数齐次线性微分方程0'''qypy y 对应的特征方程有两个不等实根，则其通解为 .1-33-73、将微分方程0)2()(22dyxy xdxy xy写成齐次微分方程的标准形式为二.选择题：（29）2-1-56、微分方程yx2dxdy 的通解是 ( )A.2x yB.25x y C.2Cx yD.Cxy 2-2-57、微分方程0dy 1dx 2x xy 的通解是 ( ) A.21x eyB.21x CeyC.x C yarcsin D.21xC y 2-3-58、下列方程中是全微分方程的是 ( )A.0dy dx )(2x y xB. 0dy dx x yC.0dy)(1dx)1(xy y xy D.dydx)(22xy y x2-4-59、下列函数组中,线性无关的是 ( ) A.xxe e 32, B.x x 2sin ,2cos C. x x x sin cos ,2sin D.2ln ,ln xx 2-5-60、方程03'2''y y y 的通解是 ( )A.xxe C eC y 321 B. xxeC eC y 321 C.xx eC eC y 321 D.xxeC e C y3212-6-61、方程0''y y 的通解是 ( ) A.x C ysin B.x C ycos C.x C xycos sin D.xC xC ycos sin 212-7-62、下列方程中是可分离变量的方程是( )A.xyyx 33dxdy B.dy 2dx)3(2xy y exC.234dxdy xyyx D.yx xyy321dxdy 2-8-63、微分方程0cot 'x y y 的通解是 ( ) A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC ycsc2-9-64、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx,则p 的值是 ( )A.1B.0C.21D.412-10-65、微分方程02'yy 的通解是 ( )A.C x y2sin B.C eyx24 C.xCe y2 D.xCey 2-11-66、方程xy2dx dy的通解是 ( )A.C ex2B.Cxe2C.2CxeD.2)(C x e2-12-67、xe y ''的通解为y( )A.xe B.xe C.21C xC exD.21C x C ex2-13-68、微分方程xe21dxdy满足1xy 的特解为 ( )A.1221xeyB.3221x ey C.C ey x212 D.212121xey2-14-69、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( ) A.Cyx2422B.Cyx2422C.2422yxD.12422yx2-15-70、微分方程0ydy-dx 3x 的通解是 ( )A.222yxB.933yxC.133yxD.13333yx2-16-71、过点,0()2的曲线,使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程是( )A.32xyB.52xy C.53xey D.5xCe y 2-17-72、齐次方程x yxy tandx dy化为可分离变量的方程, 应作变换 ( )A.2ux yB.22x u yC.ux yD.33xu y2-18-73、设方程)()('x Q y x P y 有两个不同的解21,y y ,若21y y 也是方程的解,则( ) A.B.0 C. 1 D.,为任意常数2-19-74、方程dx 2dx dy y x x 的通解是 ( ) A.x Cxy2B. x xC y2sin C.C xy 2cos D.Cxy 22-20-75、下面各微分方程中为一阶线性方程的是 ( )A.xyxy 2'B .xxyy sin 'C .xyy' D.xyy 2'2-21-76、曲线上任一点P 的切线均与OP 垂直的曲线方程是 ( )A.y xy' B.y xy'C.x yy' D.xy y'2-22-77、方程2)3(,0'y yy 的解是 ( )A.xey 32 B.xey 32 C.32x ey D.32x ey 2-23-78、微分方程x y y ln '的通解是 ( ) A.xx eyln B. xx Ceyln C.xx x ey ln D.xx x Cey ln 2-24-79、下列哪个不是方程y y 4''的解 ( )A. xey22 B.xe y2 C.xey 2 D.xey 22-25-80、方程0sin '''653)4(yy y y x xyy的阶是 ( )A. 6B. 5C. 4D. 32-26-81、如果一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y x2，则这条曲线是( )A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D. 圆2-27-82、下列可分离变量的方程是 ( )A.xyy x dxdy33B.2)3(2xydy dxy exC. xy yx dxdy D.yx xyy dxdy 3212-28-83、微分方程0cot 'xy y 的通解是 ( )A.x C ycos B.x C ysin C.x C ytan D.xC y csc 2-29-84、已知微分方程0''pyy 的通解为)(212x C C e yx ,则p 的值( )A. 1B. 0C.21D.41三.计算题：（59）3-1-52、0d tan sec d tan sec 22y x y x y x 3-2-53、0ln 'yy xy 3-3-54、0d sec )2(d tan 32yy e x y e x x3-4-55、yx y y x xy22222')1(3-5-56、yx eye x dxdy3-6-57、0)1()1(xdy y ydxx3-7-58、x x y yy x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-8-59、0)0(,02')1(22y xy y x3-9-60、1)(,ln 2'e y x y y 3-10-61、x x y y y x d sin cos d sin cos ,4|0xy 3-11-62、0y)dx -(x dy)(y x3-12-63、)ln (ln dx d x y y y x 3-13-64、0)2(22dyx dx xy y3-14-65、xy x y xy tan'3-15-66、xyx y x y xy ln)('3-16-67、dxdy xydxdy xy223-17-68、x y yx y', 2|1x y 3-18-69、x y xy y', ey ex|3-19-70、2|,'122xy y xyxy3-20-71、xx yxy sin 1', 1|xy 3-21-72、xex y xy 43'3-22-73、342'xxyy 3-23-74、xyxy ln 11'3-24-75、xeyxxy x21'3-25-76、x xy y sec tan ', 0|0xy 3-26-77、xx yxy sin 1', 1|xy 3-27-78、22112'xy xx y ,|0xy 3-28-79、x x yxy ln ', ey ex|3-29-80、22d dyx xexy x3-30-81、)sin (cos d dy2x xy yx3-31-82、5d dyxyy x3-32-83、02d dy4xyxy x3-33-84、4)21(3131d dy yx yx3-34-85、xyxy x 2d dy23-35-86、xy y '''3-36-87、01)'(''2y yy 3-37-88、01''3y y 3-38-89、y y 3'', 1|0xy , 2|'0xy 3-39-90、223''yy ,1|3xy ,1|'3xy 3-40-91、02''yy 3-41-92、013'4''y y y 3-42-93、0'2''y y y 3-43-94、04'5''y y y 3-44-95、04'3''y y y , 0|0xy , 5|'0xy 3-45-96、029'4''y y y , 0|0x y ,15|'0xy 3-46-97、0'4''4y y y , 2|0x y , 0|'0x y 3-47-98、0'4''4y y y , 2|0xy , 0|'0xy 3-48-99、013'4''y y y , 0|0x y , 3|'0x y 3-49-100、04'4''y y y , 0|0x y , 1|'0xy 3-50-101、xey y y 2'''23-51-102、x eyy xcos ''3-52-103、xex y y y 3)1(9'6''3-53-104、'''22xy y ye3-54-105、123'2''x y y y 3-55-106、''sin 20y yx, 1|xy , 1|xy 3-56-107、52'3''yy y , 1|0xy , 2|'0xy 3-57-108、xe y y y 29'10'',76|0x y ,733|'0x y 3-58-109、xxe yy 4'', 0|0xy , 1|'0xy 3-59-110、xxeyy y 26'5''四.应用解答题：（14）4-1-9、一曲线通过点)3,2(, 它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分, 求这曲线方程.4-2-10、已知xxxy t t y tt 03231d )(12, 求函数)(x y 4-3-13、求一曲线, 这曲线通过原点, 并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x2.4-4-14、试求x y ''的经过点)1;0(M 且在此点与直线12x y相切的积分曲线.4-5-15、设某曲线,它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2,求这条曲线的方程所满足的微分方程. 4-6-16、已知某曲线经过点)1,1(, 它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.4-7-17、设可导函数)(x 满足xx t t t x x 01d sin )(2cos )(, 求)(x .4-8-10、已知某商品需求量Q 对价格p 的弹性为22pEpEQ, 最大需求量为1000Q, 求需求函数)(p f Q.4-9-11、设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12、在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).4-11-13、如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为02v , 求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14、根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dL L Ak x，（其中0,0Ak）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且A L 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.4-13-15、在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101,投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31. 设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.4-14-16、试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（2）5-1-18、设),(1x y )(2x y 是二阶齐次线性方程0)(')(''y x q y x p y 的两个解,令)()(')(')()(')(')()()(21212121x y x y x y x y x y x y x y x y x w 证明: )(x w 满足方程0)('wx p w5-2-19、设1y , 2y , 3y 是线性方程)()(d dyx Q y x P x的3个相异特解,证明1213y y y y 为一常数.部分应用题答案487．在串联电路中, 设有电阻R, 电感L 和交流电动势tE Esin 0, 在时刻0t时接通电路, 求电流i 与时间t 的关系(0E ,为常数).解. 设)(t i i, 由回路电压定律tE dtdi LRisin 0, 即tLE LR dtdisin 0]sin [)(0C dt teLE et i t dtLRLR =]sin [0C dt te LE et t LR LR =)cos sin (2220t L t R LRE CetLR将0|0ti 代入通解得222LRLE C)cos sin ()(2220t L t R LeLRE t i t LR488.设质量为m 的物体在高空中静止下落, 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间t 的关系, 再求物体下落距离与时间t 的关系解：.物体重力为mg w, 阻力为kv R , 其中g 是重力加速度, k 是比例系数.由牛顿第二定律得kvmg dtdv m ,从而得线性方程gv mk dtdv ,|0tv tmkdtdtCeg km C dt gee v km m k ][, 将0|0tv 代入通解得gkm C)1(t mk eg km v, 再积分得122C gekm gtkm Stmk,将0|0t S 代入求得gkm C 221)1(22t mkeg km gtkm S 489. 如图, 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上)0,1(A 点处的敌舰发射制导鱼雷, 鱼雷始终对准敌舰, 设敌舰以常数0v 沿平行与y 轴的直线行驰, 又设鱼雷的速度为2v , 求鱼雷的航行曲线方程.解：设鱼雷的航行曲线方程为)(x y y, 在时刻t , 鱼雷的坐标巍巍),(y x P , 敌舰的坐标为),1(0t v Q .因鱼雷始终对准敌舰, 故x yt v y 1'0, 又弧OP 的长度为x tv dxy 0022'1,从以上两式消去t v 0得''121''')1(2y y y y x , 即2'121'')1(y y x 根据题意, 初始条件为0)0(y , 0)0('y 令p y', 原方程化为2121')1(pp x , 它是可分离变量得方程,解得21)1(112x C pp , 即21)1('1'12x C y y 将0)0('y 代入上式得11C , 故21)1('1'2x y y 而21)1(''1'1'122x y y y y , 得2121)1()1(21'x x y 积分得22321)1(31)1(C x x y, 将0)0(y 代入上式得322C ,所以鱼雷的航行曲线为32)1(31)1(2321x x y490．根据经验可知, 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系)(d dLL A k x ，（其中0,0Ak ）, 若不做广告, 即0x时纯利润为0L , 且AL 0, 试求纯利润L 与广告费x 之间的函数关系.解：依题意得)(L A k dx dL,|L L x, 解可分离变量得微分方程, 得通解kxCeAL , 将00|L L x 代入通解, 得AL C 0, 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为kxeA LAx L )()(.491．在宏观经济研究中, 知道某地区的国民收入y , 国民储蓄S 和投资I 均是时间t 的函数, 且在任一时刻t , 储蓄)(t S 为国民收入)(t y 的101, 投资额)(t I 是国民收入增长率t d dy的31.设0t时国民收入为5(亿元), 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资,试求国民收入函数.解：依题意:yS101,dt dyI31, 解之得通解tCe y103, 将5|0ty 代入通解得5C, 所以国民收入函数为tey 1035492．试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t , 商品的价格为)(t p , 因供需差价, 促使价格变动. 对新的价格,又有新的供需差, 如此不断地调节价格, 就构成了市场价格形成的动态过程.假设价格)(t p 的变化率dt dp与需求和供给之差成正比. 记需求函数为),(r p f , 供给函数为)(p g , 其中r 为参数. 于是得微分方程)](),([p g r p f k dtdp,)0(p p , 其中0p 为0t时商品的价格, k 为正常数.若需求供给函数均为线性函数, b kpr p f ),(, d cpp g )(, 则方程为)()(d b k p c k k dtdp ,)0(p p , 其中d c b k ,,,均为正常数, 其解为ckd b eckd b p t p tc k k )(0)()(下面对所得结果进行讨论:(1) 设p 为静态均衡价格, 则应满足0)(),(p g r p f , 即dpc bpk ,则c kdb p, 从而价格函数pep p t p c k k )(0)()(,取极限:pt p t)(lim .它表明: 市场价格逐步趋于均衡价格. 若初始价格p p 0, 则动态价格就维持在均衡价格p 上, 整个动态过程就变为静态过程.(2) 由于tc k k ec kk p pdtdp)(0)()(, 所以当p p 0时, 0dtdp,)(t p 单调下降向p 靠拢, 这说明: 初始价格高于均衡价格时,动态价格会逐渐降低, 逐渐接近均衡价格; 而当初始价格低于均衡价格时, 动态价格会逐渐增高, 逐渐接近均衡价格.。

高等数学测试题（十）微分方程部分（答案）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、若 12,y y 是方程 ()()(()y P x y Q x Q x '+=≡0) 的两个特解，要使12y y αβ+ 也是解，则 α 与 β 应满足的关系是（ D ）A 12αβ+=B 1αβ+=C 0αβ=D 12αβ== 2、下列方程中为全微分方程的是（ C ） A 22(22)(1)0xy y dx x y dy ---+-= B 2222()()0x xy dx y x y dy ---= C 22(1)20e d e d θθρρθ--+-= D 22()(2)0x y dx xy x dy +++=3、设 λ 为实常数，方程 220y y y λλ'''++= 的通解是（ D ）A 12x C e C λ-+B 12cos sinC x C x λλ+ C 12(cos sin )x e C x C x λλλ-+D 12()x C C x e λ-+ 4、方程 22cos x y y y e x '''-+= 的特解 *y 形式为（ B ） A cos xaxe x B cos sin xxaxe x bxe x + C 22cos sin xxax e x bx e x + D 2cos xax e x 5、已知 0()xxy e y t dt =+⎰，则函数 ()y x 的表达式为（ D ）A xy xe C =+ B xy xe = C xxy xe Ce =+ D (1)xy x e =+ 二、填空题（每小题4分，共20分）1、 方程212y dy dx x e=+ 的通解是 2()y x e y C =+ 2、 方程 (1)x y y '-= 的通解是 (ln )y x x C =+3、 以 2212,x x y e y xe == 为特解的二阶常系数线性齐次微分方程为440y y y '''-+=4、 已知方程 0y y ''-= 的积分曲线在点 (0,0)O 处与直线 y x = 相切，则该积分曲线的方程为 1()2x xy e e shx -=-= 5、 方程 0xdy ydx -= 的一个只含有 x 的积分因子为 21xμ= 三、（共60分）1、（8分）求方程 (1)(223)0y x dx y x dy -+--+= 的通解 解：令 1y x u -+=，则 dy du dx =+，代入原方程得(1)(21)u dx u du -+=+ 即 1(2)1du dx u -=-+，两边积分得 12ln(1)u u x C -+=-+，代回原方程，得通解2ln(2)y x y x C ---+=2、（6分）求方程 22(1)(233)x dy xy x dx +=++的通解 解：方程改写为 2231xy y x'-=+，则通解为 22ln(1)ln(1)2[3](1)(3arctan )x x y e e dx C x C x +-+=+=++⎰3、（8分）求微分方程 21(1)()02yy xe dx x e y dy +++= 的通解解：设 21(,)1,(,)2yy P x y xe Q x y x e y =+=+有y P Qxe y x∂∂==∂∂ ，则原方程为全微分方程，于是 2222001111(,)(1)()2222x y y y u x y x dx x e y dy x x x e y =+++=+++⎰⎰故 原方程的通解为 2222y x x x e y C +++=4、（10分）求解 2312,(0)1,(0)2yy y y y y ''''+===解：此方程不含x ，令 y P '=，则 dPy Pdy''=，原方程化为 232212,2dP dP yPP y P P y dy dy y+=+= 此方程为贝努力方程，令 2P z =，上述方程化为21dz z y dy y+= 则 ln 2ln 1[]yy z ey e dy C -=+⎰， 即 24311111()44C y y C y y y'=+=+，由初始条件 1(0)1,(0)2y y '==得 10C =，于是，方程化为 2314y y '=，或3212dy y dx =± 由初始条件应取3212dy y dx =，即 3212y dy dx -=，积分得214x C =-+，再由初始条件(0)1y =得 21C =，所以原方程的特解为114x =- 或 21(1)4y x =-5、（6分）求方程 (4)30yy ''+= 的通解解：特征方程为 4230r r +=，特征根为 123,40,r r r ===方程的通解为 1234y C C x C C =+++ 6、（10分）求方程 223y y x '''+=- 的通解解：对应的齐次方程为 0y y '''+=，其特征方程为 20r r +=特征根为 120,1r r ==-，齐次方程的通解为 12x Y C C e -=+因 0λ= 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解形式为 *2012()y x b x b x b =++ 代入原方程，比较系数得 0122,2,13b b b ==-=，于是得到一个特解 *22(21)3y x x x =-+，所求方程的通解为*2122(21)3xy Y y C C e x x x -=+=++-+7、（12分）求满足条件 (0)1,(0)1f f '=-= 且具有二阶连续导数的函数()f x ，使方程 3()[sin 2()]02f x ydx x f x dy '+-= 是全微分方程。

微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程相关习题和答案微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数与其导数之间的关系。

微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，是解决实际问题的有力工具。

在学习微分方程的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解习题可以加深对微分方程理论的理解和掌握。

下面我将给大家介绍几个微分方程相关的习题和答案。

1. 题目：求解一阶线性微分方程y' + 2xy = 3x。

解答：这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。

首先，将方程改写成标准形式y' + p(x)y = q(x)，其中p(x) = 2x，q(x) = 3x。

然后，求出齐次线性微分方程y' + 2xy = 0的通解y_h(x)。

通过分离变量法可得y_h(x) =Ce^{-x^2}，其中C为常数。

接下来，我们猜测特解y_p(x)为形如y_p(x) = Ax + B的一次多项式。

将y_p(x)代入原方程，整理得到2Ax + 2(Ax + B)x = 3x，比较系数可得A = 3/2，B = -1/4。

因此，特解为y_p(x) = (3/2)x - 1/4。

最后，将通解和特解相加，得到原方程的通解为y(x) = Ce^{-x^2} + (3/2)x - 1/4，其中C为常数。

2. 题目：求解二阶常系数齐次线性微分方程y'' - 4y' + 4y = 0。

解答：这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，可以使用特征方程法求解。

首先，写出特征方程r^2 - 4r + 4 = 0，并求出其特征根r_1 = r_2 = 2。

由于特征根相等，所以通解形式为y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}，其中C_1和C_2为常数。

如果题目给出了初始条件，可以利用初始条件求解出具体的解。

例如，若已知y(0) = 1和y'(0) = 2，代入通解中的x = 0和x = 0的导数，得到C_1 = 1和C_2 = 1。

微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。

（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。

（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。

（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。

§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。

微分方程例题选解3 1. 求解微分方程 x ln xdy ( y ln x)dx 0 , y |x e。

2解：原方程化为dy1 y1dx，xln xx1 dx 1 e 1dxy eC ] 通解为x ln x[ xln xdxx1 [ ln xdx C ]1 [ 1ln 2 x C ]ln xxln x 2由 xe ， y3 ，得 C1 ，所求特解为y11ln x 。

2ln x 22. 求解微分方程 x 2 y ' xy y20 。

解：令 y ux ， y uxu ，原方程化为 uxuu u 2 ，分离变量得du 1dx ，1 u 2x积分得ln x C，ux原方程的通解为y。

ln x C3. 求解微分方程 ( x 3 xy 2 ) dx ( x 2 y y 3 )dy 。

解：此题为全微分方程。

下面利用“凑微分”的方法求解。

原方程化为 x 3dx xy 2 dx x 2 ydy y 3 dy 由x 3 dx xy 2 dx x 2 ydy y 3dy 1dx41( y 2 dx 2x 2 dy 2 )421d (x 4 2x 2 y 2 y 4 ) ，4 得d (x 4 2x 2 y 2y 4 ) 0 ，原方程的通解为x 42 x 2 y 2 y 4 C 。

注：此题也为齐次方程。

0 ，1 dy 444. 求解微分方程 y '' 1 ( y ') 2 。

解：设 py ，则 y dp，原方程化为 dp1 p2 ，dp dxdx分离变量得dx ，积分得 arctan px C 1 ，1 p2于是 yp tan(x C 1 ) ， 积分得通解为yln cos(x C 1 ) C 2 。

5. 求解微分方程 解：特征方程为通解为 y e x (C 1y '' 2y ' 2 y 0 。

r 2 2r 2 0 ，特征根为 r1 i ，cos C 2 sin x) 。

第７章 微分方程练习题习题７.11．选择题 〔1〕〔 〕是微分方程〔〔A 〕〕dx x dy )14(-=． (〔B 〕)12+=x y ． (〔C 〕)0232=+-y y ． (〔D 〕)⎰=0sin xdx ．〔2〕( )不是微分方程〔〔A 〕〕03=+'y y ． (〔B 〕)x x dxyd sin 322+=． (〔C 〕)0232=+-y x y ． (〔D 〕)0)()(2222=-++dy y x dx y x ．〔3〕微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为〔 〕(〔A 〕) 2． (〔B 〕) 3． (〔C 〕) 1． (〔D 〕) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解〔填“是〞或“否〞〕 〔1〕25,2x y y y x =='． 〔 〕(2)C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4)xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=． (3) yx ey -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1)0)()(=-+'+y x y y x ． (2)dxdyxy dx dy xy =+22． (3) xyx y y tan +='． 3．解微分方程(1)xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．1．选择题 〔1〕〔 〕是微分方程〔〔A 〕〕dx x dy )14(-=． (〔B 〕)12+=x y ． (〔C 〕)0232=+-y y ． (〔D 〕)⎰=0sin xdx ．〔2〕( )不是微分方程〔〔A 〕〕03=+'y y ． (〔B 〕)x x dx yd sin 322+=． (〔C 〕)0232=+-y x y ． (〔D 〕)0)()(2222=-++dy y x dx y x ．〔3〕微分方程x xy y sin 43)(2=+'的阶数为〔 〕(〔A 〕) 2． (〔B 〕) 3． (〔C 〕) 1． (〔D 〕) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解〔填“是〞或“否〞〕 〔1〕25,2x y y y x =='． 〔 〕(2)C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(. ( )(3)C x y y dydx+==+arccos ,0sin . ( )(4)xy y x y 1,22=+=''. ( ) 习题7.21．解微分方程(1) x dx dy 1=． (2) 2211xy dx dy --=． (3) yx ey -='2． (4)0)1()1(22=++-dx y x dy x y ．(5) 4,212==+'=x y y xy y x ．2．解微分方程(1)0)()(=-+'+y x y y x ． (2)dxdyxy dx dy xy =+22． (3) xyx y y tan +='． 3．解微分方程 (1)xey y -=+'． (2) 1sin cos =+'x y x y ．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4)2y x y dx dy +=． (5)yy x y 2sin cos 1+='． 习题7.31．解以下微分方程(1)2x y =''． (2)2,1,300='==''==x x y y y y ．(3)x y y ='-''． (4)0='+''y y x ． (5)0)(2='-'-''y y y y ． (6)1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解以下微分方程〔1〕02=-'+''y y y ． (2)09=-''y y ． (3)044=+'+''y y y ． (4)0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5)0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解以下微分方程(1)1332+=-'-''x y y y ． (2)xe y y y 232=-'-''．(3)733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ． (4)x y y y 2sin 82=-'+''． (5)x y y sin =+''． (6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初马王堆一号墓开掘时，假设测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的*湖泊在t 时的污染物总量，假设污染源已排除．当采取*治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被去除的时间． 5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开场下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=〔N 〕的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是〔 〕〔A 〕1； 〔B 〕2； 〔C 〕3； 〔D 〕4．2．以下函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是〔 〕〔A 〕x y cos =； 〔B 〕x y =； 〔C 〕x y sin =； 〔D 〕xe y =．3．以下方程中是一阶线性方程的是〔 〕〔A 〕0ln )3(=--xdy xdx y ； 〔B 〕xyy dx dy 212-=； 〔C 〕x x y y x sin 22+='； 〔D 〕02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是〔 〕〔A 〕xxe e y 33+=； 〔B 〕xxe e y 332+=； 〔C 〕xxe e y 324+=；〔D 〕xxe C e C y 321+=． 5．在以下微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是〔 〕〔A 〕0='-''y y ； 〔B 〕0='+''y y ； 〔C 〕0=+''y y ； 〔D 〕0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕〔A 〕2ax ； 〔B 〕c bx ax ++2； 〔C 〕)(2c bx ax x ++； 〔D 〕)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕 〔A 〕x b sin ； 〔B 〕x a cos ； 〔C 〕x b x a sin cos +； 〔D 〕)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是． 10．微分方程03=+''y y 的通解是．11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为． 13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为．三、计算题17．求以下微分方程的通解(1)21xxydx dy +=． (2)x y y cos =+'． (3)0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4)x y y sin =+''． (5)02=-'-''y y y ． (6)x y y y 2345-=+'+''． 18．求以下微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3)211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ． (4)1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2． 20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开场变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．〔1〕求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． 〔2〕最终尸体温度将如何.〔3〕假设发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的. 21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比〔比例系数为k 1〕的力作用于它，此外还受一与速度成正比〔比例系数为k 2〕的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．(3)3,12=+=+=x y xx x y dx dy ．(4)2y x y dx dy +=． (5)yy x y 2sin cos 1+='．习题7.31．解以下微分方程(1)2x y =''． (2)2,1,300='==''==x x y y y y ．(3)x y y ='-''． (4)0='+''y y x ．(5)0)(2='-'-''y y y y ． (6)1,1,00='=''='==x x y y y y y ．2．解以下微分方程〔1〕02=-'+''y y y ． (2)09=-''y y ． (3)044=+'+''y y y ． (4)0,2,03400='-==+'-''==x x y y y y y ．(5)0,2,04400='==+'+''==x x y y y y y ．3．解以下微分方程(1)1332+=-'-''x y y y ． (2)xe y y y 232=-'-''．(3)733,76,910002='==+'-''==x x xy y e y y y ． (4)x y y y 2sin 82=-'+''． (5)x y y sin =+''． (6) 1,1,02sin ='==++''==ππx x y y x y y ．习题7.41．一条曲线通过点)1,0(P ,且该曲线上任一点),(y x M 处的切线斜率为23x ，求这曲线的方程．2．生物活体含有少量固定比的放射性C 14，其死亡时存在的C 14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初马王堆一号墓开掘时，假设测得墓中木炭C 14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，物体在10s 时与原点相距100m ，在20s 时与原点相距200m ，求物体的运动规律．4．设Q 是体积为V 的*湖泊在t 时的污染物总量，假设污染源已排除．当采取*治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k 为比例系数，且0)0(Q Q =，求该湖泊的污染物的化规律，当38.0=Vk时，求99％污染物被去除的时间． 5．一质量为m 的质点从水面由静止状态开场下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t 的函数关系．6．一弹簧挂有质量为2kg 的物体时，弹簧伸长了0.098m ，阻力与速度成正比，阻力系数24=μN/(m/s)．当弹簧受到强迫力t f 10sin 100=〔N 〕的作用后，物体产生了振动．求振动规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．复习题七一、选择题1．微分方程0432=+'''+'xy y y y 阶数是〔 〕〔A 〕1； 〔B 〕2； 〔C 〕3； 〔D 〕4．2．以下函数中，可以是微分方程0=+''y y 的解的函数是〔 〕〔A 〕x y cos =； 〔B 〕x y =； 〔C 〕x y sin =； 〔D 〕xe y =．3．以下方程中是一阶线性方程的是〔 〕〔A 〕0ln )3(=--xdy xdx y ； 〔B 〕xyy dx dy 212-=； 〔C 〕x x y y x sin 22+='； 〔D 〕02=-'+''y y y ．4．方程034=+'-''y y y 满足初始条件10,600='===x x y y 特解是〔 〕〔A 〕xxe e y 33+=； 〔B 〕xxe e y 332+=； 〔C 〕xxe e y 324+=；〔D 〕xxe C e C y 321+=． 5．在以下微分方程中，其通解为x C x C y sin cos 21+=的是〔 〕〔A 〕0='-''y y ； 〔B 〕0='+''y y ； 〔C 〕0=+''y y ； 〔D 〕0=-''y y ． 6．求微分方程223x y y y =+'+''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕〔A 〕2ax ； 〔B 〕c bx ax ++2； 〔C 〕)(2c bx ax x ++； 〔D 〕)(22c bx ax x ++．7．求微分方程 x y y y sin 23=+'-''的一个特解时，应设特解的形式为〔 〕 〔A 〕x b sin ； 〔B 〕x a cos ； 〔C 〕x b x a sin cos +； 〔D 〕)sin cos (x b x a x +． 二、填空题 9．微分方程x x y dxdyxsin 2+=的通解是． 10．微分方程03=+''y y 的通解是． 11．微分方程054=+'+''y y y 的通解是．12．以 xxe C xe C y 21+=为通解的二阶常数线性齐次分方程为．13．微分方程044=+'+''y y y 满足初始条件0,200='===x x y y 的特解是．14．微分方程054=+'-''y y y 的特征根是．15．求微分方程1222-='+''x y y 的一个特解时，应设特解的形式为 ．16．21x e y =及22x xe y =都是微分方程0)24(42=-+'-''y x y x y 的解，则此方程的通解为．三、计算题17．求以下微分方程的通解(1)21xxydx dy +=． (2)x y y cos =+'． (3)0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x ． (4)x y y sin =+''． (5)02=-'-''y y y ． (6)x y y y 2345-=+'+''． 18．求以下微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sin cos sin cos 0π==-=x y ydy x xdx y ．(2) 2,1,06500='==+'-''==x x y y y y y ．(3)211,3,4151640023-='==+'+''==-x x x y y e y y y ． (4)1,0,cos 295200='=='+''==x x y y x y y ．19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(y x 处的切线斜率等于y x +2． 20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C ︒37按牛顿冷却律开场变凉，设3小时后尸体温度为C ︒31 ，且周围气温保持C ︒20不变．〔1〕求尸体温度H 与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． 〔2〕最终尸体温度将如何.〔3〕假设发现尸体时其温度是C ︒25，时间为下午4时，死者是何时被害的.21.设有一质量为m 的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致．大小与时间成正比〔比例系数为k 1〕的力作用于它，此外还受一与速度成正比〔比例系数为k 2〕的阻力作用.求质点运动的速度与时间的函数关系．。

微分方程部分：1．求微分方程x dy y e dx -+=的通解． 解：()()()dx dx x x x y e e e dx C e dx C e x C ----⎰⎰=+=+=+⎰⎰． 2．求微分方程011x y dx dy y x-=++满足条件(0)1y =的特解． 解：将微分方程分离变量，得：(1)(1)x x dx y y dy +=+ 两边积分得2323(1)(1)2323x x dx y y dy x x y y C +=++=++⎰⎰ 所以332211()()32x y x y C -+-= 代入(0)1y =得56C =-， 原方程特解为：33222()3()5y x y x -+-=．3．求解微分方程'31xy y x -=+． 解：将原方程整理得'211y y x x x-=+ 为一阶线性齐次微分方程，此时211(),()p x q x x x x =-=+，代入公式，得： 11(()2ln 2ln ln 222()1(())1[()]1[()]1()212dx dx x dx dx xx x x x y e e e dx C e x e dx C xe x e dx C x e x dx C xx x C x x Cx ------⎰⎰=+⎰⎰=++=++=++=-++=-+⎰⎰⎰⎰．4．求微分方程221(1)dy y dx y x +=-的通解． 解：对原方程进行分离变量，得2211ydy dx y x ∞=+-，两边积分得2211ydy dx y x =+-⎰⎰ 即有2111x y C x -+=+（C 为任意常数）． 5．求微分方程y xdy e dx dx --=满足初始条件1|0x y ==的特解． 解：将原方程分离变量，得1y y e dy dx e x=+ 两边积分，得1y y e dy dx e x=+⎰⎰，有ln(1)ln ln x e x C +=+ 即1x e Cx +=，代入初始条件1|0x y ==，得2C =，于是，所求得特解为ln(21)y x =-．6.微分方程'210y y x x--=的通解． 解：将原方程写为'21y y x x -= 1123[][]2dx dx x x y e x e dx C x xdx C x Cx -⎰⎰=+=+=+⎰⎰．7．求微分方程(ln ln )dy xy y x dx=-的通解． 解：将方程变形为ln dy y y dx x x= 可见方程为一个齐次方程。