2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(数学理)Word版含答案

2015年高考陕西省理科数学真题一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+ 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．|?|||||a b a b ≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22(a b)(a b)a b +-=-8.根据下边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ．29.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q r p =< B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点 C ．3是()f x 的极值D ．点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空题13.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p=15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题17.C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．18.如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19.设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：()I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． ()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21.设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．22.如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ；()II 若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．23.在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23sin ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．2015年高考陕西省理科数学真题答案一、选择题 1.答案：A 解析过程： 由==⇒=2{x }{0,1},M xx M=≤⇒=<≤N {x lg 0}N {x 0x 1}x所以0,1MN ⎡⎤=⎣⎦，选A2.答案：B解析过程：由图可知该校女教师的人数为，选B3.答案：C 解析过程：试题分析：由图像得， 当时，求得， 当时，，选C4.答案：B 解析过程：二项式(1)nx +的展开式的通项是1r rr n T C x +=，令2r =得2x 的系数是2n C ，因为2x 的系数为15，所以215n C =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-， 因为n N +∈，所以6n =，选C 5.答案：D 解析过程：试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为，选 6. 答案：A11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+=sin()16x π+Φ=-min 2y =5k =sin()16x π+Φ=max 3158y =⨯+=21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+D解析过程：ααα=⇒-=22cos 20cos sin 0αααα⇒-+=(cos sin )(cos sin )0所以sin cos 或sin =-cos αααα=，选A 7.答案：B 解析过程：因为cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b -≤-不成立，所以选项B 错误； 向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；22(a b)(a b)a b +-=-所以选项D 正确，选B8.答案：C 解析过程：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：； 第3次运行：；；第1003次运行：； 第1004次运行：．不满足条件，停止运行， 所以输出的，故选 B ．9.答案：B 解析过程：()ln p f ab ab ==，()ln22a b a bq f ++==， 11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b ab +>，所以()()2a bf f ab +>， 所以q p r >=，故选C10.答案：D 解析过程：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润2006x =2004x =2002x =2000x =⋅⋅⋅⋅⋅⋅0x =2x =-0?x ≥23110y =+=x y 34z x y =+由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值， 所以，故选D 11.答案：D解析过程：如图可求得，，阴影面积等于 若，则的概率是，故选B ． 12.答案：A 解析过程：假设选项A 错误，则选项B 、C 、D 正确，()2f x ax b '=+， 因为1是()f x 的极值点，3是()f x 的极值，所以(1)0(1)3f f '=⎧⎨=⎩，203a b a b c +=⎧⎨++=⎩，解得23b ac a=-⎧⎨=+⎩，因为点(2,8)在曲线()y f x =上，所以428a b c ++=， 解得：5a =，所以10b =-，8c =， 所以2()5108f x x x =-+因为()215(1)10(1)8230f -=⨯--⨯-+=≠，所以1-不是()f x 的零点，所以假设成立，选A 二、填空题 13.答案：5 解析过程：设数列的首项为，则，32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩340x y z +-=(2,3)A z max 324318z =⨯+⨯=2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤(1,1)A (1,0)B 21111114242ππ⨯-⨯⨯=-||1z ≤y x ≥211142142πππ-=-⨯1a 12015210102020a +=⨯=所以，故该数列的首项为 14.答案：22 解析过程：抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2px =-， 双曲线221x y -=的一个焦点1(2,0)F -， 因为抛物线22(0)y px p =>的准线 经过双曲线221x y -=的一个焦点， 所以22p-=-，解得22p = 15.答案：（1,1） 解析过程：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则， 因为，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率， 因为，所以，即，解得， 因为，所以，所以，即的坐标是 16.答案：1.2 解析过程：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是， 设抛物线的方程为（）， 因为该抛物线过点，所以，15a =5xy e =xy e '=xy e =()0,10101x k y e ='===P ()00,x y 00x >001y x =1y x =21y x'=-1y x=P 02201x x k y x ='==-121k k ⋅=-2011x -=-21x =01x =±00x >01x =01y =P ()1,1()11010222162⨯+-⨯⨯=22x py =0p >()5,22225p ⨯=解得，所以，即， 所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是三、解答题 17.答案：（I ）；（II ）．解析过程：（I ）因为，所以，由正弦定理，得 又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故ABC 的面积为2sin sin3B=，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B =故sin sin()C A B =+sin()3B π=+sin coscos sin33B B ππ=+=254p =2252x y =2225y x =()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰161.2403=3π//m n sin 3cos 0a B b A sinAsinB 3sinBcos A 0sin 0B ≠tan 3A 0A π<<3A π=2222cos a b c bc A 7b 2,a 3πA =2742c c 2230c c 0c3c ∆133bcsinA 22所以ABC ∆的面积为133sin 2bc A = 18.答案：（I ）证明见解析；（II ）解析过程：（I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，BAD=，所以BE AC 即在图2中，BE ，BE OC 从而BE 平面又CD BE ，所以CD 平面. (II)由已知，平面平面BCDE ， 又由（1）知，BE ，BE OC所以为二面角的平面角，所以.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为, 所以 得 ，.设平面的法向量， 平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取， 6∠2π⊥⊥1OA ⊥⊥1A OC ⊥1A OC 1A BE ⊥⊥1OA ⊥1A OC ∠1--C A BE 1OC 2A π∠=11B=E=BC=ED=1A A BC ED 12222(,0,0),E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B 22BC(,,0),122A C(0,,)CD BE (2,0,0)1BC A 1111(,,)n x y z 1CD A 2222(,,)n x y z 1BC A 1CD A θ1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩1(1,1,1)n 2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22200x y z =⎧⎨-=⎩2(0,1,1)n =从而， 即平面与平面夹角的余弦值为 19.答案：()I T 的分布列为：ET=32（分钟）()II解析过程：以频率估计概率得T 的分布列为从而 （分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟， 所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.20.答案：()I ()II22x y +=1123 解析过程：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，12cos |cos ,|n n θ=〈〉==1BC A 1CD A 30.910.4400.132⨯+⨯=12,T T 12,T T 121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=(A)1P(A)0.91P 0bx cy bc则原点O 到直线的距离，由， 得，解得离心率. (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且. 易知，AB 不与x 轴垂直， 设其直线方程为，代入(1)得设则 由，得解得. 从而.于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2)依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且. 设则，，两式相减并结合 得.bc d a==12d c 2222a b a c 3c a 22244x y b |AB |10(2)1y k x 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b 1122(,y ),B(,y ),A x x 221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k 124x x 28(21)4,14k k k 12k 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 22244x y b |AB |101122(,y ),B(,y ),A x x 2221144x y b 2222244x y b 12124,y 2,x x y 1212-4()80x x y y易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为， 代入(2)得所以，. 于是. 由，得，解得. 故椭圆E 的方程为. 21.答案： （I ）证明见解析；（II ）当时， ， 当时，，证明见解析． 解析过程：（I ）则 所以在内至少存在一个零点. 又，故在内单调递增， 所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，12x x ≠12121k .2ABy y x x 1(2)12yx 224820.x x b 124x x 21282x x b 12|AB ||x x =-==|AB |1022)1023b 221123x y 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2()()212,n n n F x f x x x x (1)10,n F n 1211111112()1220,12222212n n n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x 1()120n n F x x nx -'=++>1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()n F x 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭n x n x ()n F x ()=0n n F x即，故. (II)解法一：由题设， 设 当时,当时, 若, 若,所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时 解法二 由题设， 当时,当时, 用数学归纳法可以证明. 当时, 所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，11201n n nx x 111=+22n n n x x 11().2nn n x g x 211()()()1,0.2nn n n n x h x f x g x x x x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-01x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22n n n n n n x x 1x ()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-11110.22n n n n n n x x ()h x (0,1)(1,)+∞()(1)0h x h ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 211()1,(),0.2n n n n n x f x x xx g x x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x 2n 2221()()(1)0,2f x g x x 22()()f x g x (2)n k k =≥()()k k f x g x +1n k. 又 令，则 所以当,,在上递减；当,,在上递增. 所以，从而 故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为, 则，，所以, 令当时, ,所以. 当时, 而，所以，.若, ,, 当,,, 从而在上递减,在上递增.所以， 111k+1k 11()()()2k k k k k k x f x f x x g x x x 12112k k x k x k 11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x 1()11(x 0)k k k h x kx k x ()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-01x ()0k h x '<()k h x (0,1)1x ()0kh x '>()k h x (1,)+∞()(1)0k k h x h 1k+1211()2k k x k x k g x 11()()k k f x g x +1n k 2n ≥()()n n f x g x k a k b k1,2,, 1.n 111a b 11n n n a b x ()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤1(2),k k b x k n -=≤≤()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n ---=-=+->≤≤1x =k k a b ()()n n f x g x 1x ≠()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--2k n ≤≤10k 11n k -+≥01x 11nk x ()0k m x '<1x 11n k x ()0km x '>()k m x (0,1)()k m x (1,)+∞()(1)0k k m x m所以当又,，故 综上所述，当时, ；当时 22.答案：()I 见解析()II 直径为3解析过程：（Ⅰ）因为是的直径，则， 又，所以，又切于点，得，所以； （Ⅱ）由（Ⅰ）知平分，则， 又，从而，由，解得，所以， 由切割线定理得，解得， 故，即的直径为3.23.答案： ()I 22（-3x y +=()II （3,0）解析过程：（1）由，得，从而有，所以 （2）设，又， 则 24.已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． ()I 求实数a ，b 的值；()II答案：()I a=-3,b=1()II 4解析过程：（Ⅰ）由，得，01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,11a b 11n n a b ()()n n f x g x 1x ()()n n f x g x 1x ≠()()n n f x g x DE O 90BED EDB ∠+∠=︒BC DE ⊥90CBD EDB ∠+∠=︒AB O B DBA BED ∠=∠CBD DBA ∠=∠BD CBA ∠3BA AD BC CD ==BC=AB =222AB BC AC =+4AC =3AD =2AB AD AE =⋅6AE =3DE AE AD =-=O ρθ=2sin ρθ=22x y +=(223x y +-=132P t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C PC ==x a b +<b a x b a --<<-由题意得，解得；，时等号成立， 故24b a b a --=⎧⎨-=⎩3,1a b =-==+≤4===1t =min 4=。

2015年普通高等学校招生全国统一考试陕西理科数学1.本试卷分为两部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后,先按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后,将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共12小题,每小题5分,共60分).1.(2015陕西,理1)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=()A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1]答案:A解析:解x2=x,得x=0或x=1,故M={0,1}.解lg x≤0,得0<x≤1,故N=(0,1].故M∪N=[0,1],选A.2.(2015陕西,理2)某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该校女教师的人数为()A.93B.123C.137D.167答案:C解析:由题图知,初中部女教师有110×70%=77人;高中部女教师有150×(1-60%)=60人.故该校女教师共有77+60=137(人).选C.3.(2015陕西,理3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπx+φ +k.据此函数6可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案:C解析:因为sinπx+φ ∈[-1,1],所以函数y=3sinπx+φ +k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.4.(2015陕西,理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4答案:B解析:(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n−2=C n2=15,解得n=6,故选B.5.(2015陕西,理5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3πB.4πC.2π+4D.3π+4答案:D解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,圆柱的底面半径r=1,高h=2.所以几何体的侧面积S1=C底·h=(π×1+2)×2=2π+4.几何体的底面积S2=12π×12=12π.故该几何体的表面积为S=S1+2S2=2π+4+2×π2=3π+4.故选D.6.(2015陕西,理6)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由cos 2α=0,得cos2α-sin2α=0,即cos α=sin α或cos α=-sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.7.(2015陕西,理7)对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案:B解析:A项,a·b=|a||b|cos<a,b>≤|a||b|,所以不等式恒成立;B项,当a与b同向时,|a-b|=||a|-|b||;当a与b非零且反向时,|a-b|=|a|+|b|>||a|-|b||.故不等式不恒成立;C项,(a+b)2=|a+b|2恒成立;D项,(a+b)·(a-b)=a2-a·b+b·a-b2=a2-b2,故等式恒成立.综上,选B.8.(2015陕西,理8)根据右边框图,当输入x为2 006时,输出的y=()A.2B.4C.10D.28答案:C解析:由算法框图可知,每运行一次,x的值减少2,当框图运行了1 004次时,x=-2,此时x<0,停止循环,由y=3-x+1可知,y=3-(-2)+1=10,故输出y的值为10,故选C.9.(2015陕西,理9)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(ab),q=f a+b2,r=12(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是()A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q答案:B解析:因为0<a<b,所以a+b>ab.又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f a+b2>f(ab),即p<q.而r=1(f(a)+f(b))=1(ln a+ln b)=12ln(ab)=ln ab,所以r=p,故p=r<q.选B.10.(2015陕西,理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案:D解析:设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y≤12,x+2y≤8,x≥0,y≥0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B 时,目标函数取得最大值.由 3x +2y =12,x +2y =8,解得 x =2,y =3.故利润函数的最大值为z=3×2+4×3=18(万元).故选D .11.(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+y i (x ,y ∈R ),若|z|≤1,则y ≥x 的概率为( )A.34+12π B.12+1πC.12-1πD.14-12π答案:D解析:由|z|≤1,得(x-1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1,0)为圆心,半径r=1的圆及其内部,y ≥x 表示直线y=x 左上方部分(如图所示). 则阴影部分面积S=1π×12-S △OAC =1π-1×1×1=π-1.故所求事件的概率P=S 阴S 圆=π4−12π×12=14-12π.12.(2015陕西,理12)对二次函数f (x )=ax 2+bx+c (a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( ) A.-1是f (x )的零点 B.1是f (x )的极值点 C.3是f (x )的极值 D.点(2,8)在曲线y=f (x )上 答案:A解析:f'(x )=2ax+b.若A 正确,则f (-1)=0,即a-b+c=0, ① 若B 正确,则f'(1)=0,即2a+b=0, ② 若C 正确,则f'(x 0)=0,且f (x 0)=3, 即f −b=3,即c-b2=3.③ 若D 项正确,则f (2)=8,即4a+2b+c=8.④假设②③④正确,则由②得b=-2a ,代入④得c=8,代入③得8-4a 24a=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f (x )=5x 2-10x+8,f (-1)=5×(-1)2-10×(-1)+8=5+10+8=23≠0,即A 不成立.故B ,C ,D 可同时成立,而A 不成立.故选A .第二部分(共90分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题5分,共20分).13.(2015陕西,理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案:5解析:由题意知,1 010为数列首项a 1与2 015的等差中项,故a 1+2 015=1 010,解得a 1=5.14.(2015陕西,理14)若抛物线y 2=2px (p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点,则p= .答案:2解析:双曲线x 2-y 2=1的焦点为F 1(- 2,0),F 2( 2,0).抛物线的准线方程为x=-p 2.因p>0,故-p2=- 2,解得p=2 2.15.(2015陕西,理15)设曲线y=e x 在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案:(1,1)解析:曲线y=e x 在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x |x=0=1;由y=1,可得y'=-12,因为曲线y=1(x>0)在点P 处的切线与曲线y=e x 在点(0,1)处的切线垂直,故-1P2=-1,解得x P =1,由y=1,得y P =1,故所求点P 的坐标为(1,1). 16.(2015陕西,理16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .答案:1.2解析:以梯形的下底为x 轴,上、下底边的中点连线为y 轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax 2,则抛物线过点(5,2),故2=25a ,得a=2,故抛物线的方程为y=2x 2.最大流量的比,即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6,故梯形的面积为(10+6)×2=16,而当前的截面面积为2 52−2x 2 d x=2 2x −2x 3 |05=40,故原始流量与当前流量的比为16403=1.2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m=(a , 3b )与n=(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a= 7,b=2,求△ABC 的面积.(1)解:因为m ∥n ,所以a sin B- b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B- 3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A= 3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a= 7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3 3.解法二:由正弦定理,得 7sin π3=2sin B ,从而sin B= 21.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2 7.故sin C=sin (A+B )=sin B +π=sin B cos π3+cos B sin π3=3 2114.所以△ABC 的面积为12ab sin C=3 32. 18.(本小题满分12分)(2015陕西,理18)如图①,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD=π,AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,O 是AC 与BE 的交点,将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置,如图②.图①图②(1)证明:CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ,求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点,∠BAD=π,所以BE ⊥AC ,即在题图②中,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC , 从而BE ⊥平面A 1OC ,又CD ∥BE ,所以CD ⊥平面A 1OC. (2)解:由已知,平面A 1BE ⊥平面BCDE ,又由(1)知,平面A 1BE ⊥平面BCDE , 又由(1)知,BE ⊥OA 1,BE ⊥OC ,所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE-C 的平面角, 所以∠A 1OC=π.如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系,因为A 1B=A 1E=BC=ED=1,BC ∥ED , 所以B 2,0,0 ,E −2,0,0 ,A 1 0,0,2,C 0,2,0 ,得BC = − 2, 2,0 ,A 1C = 0, 2,− 2,CD =BE =(-2,0,0).设平面A 1BC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面A 1CD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2),平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ,则 n 1·BC =0,n 1·A 1C =0,得 −x 1+y 1=0,y 1−z 1=0,取n 1=(1,1,1); n 2·CD =0,n 2·A 1C =0,得x 2=0,y 2−z 2=0,取n 2=(0,1,1), 从而cos θ=|cos <n 1,n 2>|=3× 2= 63, 即平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值为 6.19.(本小题满分12分)(2015陕西,理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解:(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T1+T2≤70)=P(T1=25,T2≤45)+P(T1=30,T2≤40)+P(T1=35,T2≤35)+P(T1=40,T2≤30)=0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(=P(T1+T2>70)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40)=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09,故P(A)=1-P(A)=0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西,理20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=5的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.(1)解:过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=bcb+c2=bc,由d=1c,得a=2b=2 a2−c2,解得离心率c=3.(2)解法一:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.①依题意,圆心M (-2,1)是线段AB 的中点,且|AB|= 10.易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y=k (x+2)+1,代入①得,(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2-4b 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k (2k +1)1+4k2,x 1x 2=4(2k +1)2−4b21+4k2.由x 1+x 2=-4,得-8k (2k +1)1+4k2=-4,解得k=1.从而x 1x 2=8-2b 2.于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 2−2)= 10,解得b 2=3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23=1.解法二:由(1)知,椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2.②依题意,点A ,B 关于圆心M (-2,1)对称,且|AB|= 10. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12+4y 12=4b 2,x 22+4y 22=4b 2,两式相减并结合x 1+x 2=-4,y 1+y 2=2, 得-4(x 1-x 2)+8(y 1-y 2)=0. 易知AB 与x 轴不垂直,则x 1≠x 2, 所以AB 的斜率k AB =y 1−y 2x 1−x 2=12. 因此,直线AB的方程为y=12(x+2)+1,代入②得,x 2+4x+8-2b 2=0.所以x 1+x 2=-4,x 1x 2=8-2b 2. 于是|AB|= 1+ 122|x 1-x 2|= 5(x 1+x 2)2−4x 1x 2= 10(b 2−2). 由|AB|= 10,得 10(b 2−2)= 10,解得b 2=3.故椭圆E 的方程为x 2+y 2=1.21.(本小题满分12分)(2015陕西,理21)设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在 12,1 内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n +1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明:F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n 12 =1+12+ 12 2+…+ 12 n-2 =1− 12n +11−12-2=-1n <0,所以F n (x )在 1,1 内至少存在一个零点. 又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在 12,1 内单调递增,所以F n (x )在 1,1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0,即1−x nn +1n -2=0,故x n =1+1x n n +1. (2)解法一:由假设,g n (x )=(n +1)(1+x n )2.设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n +1)(1+x n ),x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n +1)x n−1. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)x n-1=n (n +1)x n-1-n (n +1)x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n +1)2x n-1=n (n +1)2x n-1-n (n +1)2x n-1=0.所以h (x )在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).解法二:由题设,f n (x )=1+x+x 2+…+x n ,g n (x )=(n +1)(x n +1)2,x>0. 当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,用数学归纳法可以证明f n (x )<g n (x ).①当n=2时,f 2(x )-g 2(x )=-1(1-x )2<0, 所以f 2(x )<g 2(x )成立.②假设n=k (k ≥2)时,不等式成立,即f k (x )<g k (x ). 那么,当n=k+1时,f k+1(x )=f k (x )+x k+1<g k (x )+x k+1=(k +1)(1+x k )2+x k+1 =2x k +1+(k +1)x k +k +1.又g k+1(x )-2x k +1+(k +1)x k +k +12=kx k +1−(k +1)x k +1,令h k (x )=kx k+1-(k+1)x k +1(x>0),则h k '(x )=k (k+1)x k -k (k+1)x k-1=k (k+1)x k-1(x-1). 所以,当0<x<1时,h k '(x )<0,h k (x )在(0,1)上递减; 当x>1时,h k '(x )>0,h k (x )在(1,+∞)上递增. 所以h k (x )>h k (1)=0, 从而g k+1(x )>2x k +1+(k +1)x k +k +12.故f k+1(x )<g k+1(x ),即n=k+1时不等式也成立. 由①和②知,对一切n ≥2的整数,都有f n (x )<g n (x ).解法三:由已知,记等差数列为{a k },等比数列为{b k },k=1,2,…,n+1.则a 1=b 1=1,a n+1=b n+1=x n , 所以a k =1+(k-1)·x n −1(2≤k ≤n ), b k =x k-1(2≤k ≤n ),令m k (x )=a k -b k =1+(k−1)(x n −1)n-x k-1,x>0(2≤k ≤n ), 当x=1时,a k =b k ,所以f n (x )=g n (x ). 当x ≠1时,m k '(x )=k−1·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1). 而2≤k ≤n ,所以k-1>0,n-k+1≥1. 若0<x<1,x n-k+1<1,m k '(x )<0;若x>1,x n-k+1>1,m k '(x )>0,从而m k (x )在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, 所以m k (x )>m k (1)=0.所以当m>0且m ≠1时,a k >b k (2≤k ≤n ), 又a 1=b 1,a n+1=b n+1,故f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).考生注意:请在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 切☉O 于点B ,直线AO 交☉O 于D ,E 两点,BC ⊥DE ,垂足为C.(1)证明:∠CBD=∠DBA ;(2)若AD=3DC ,BC= 2,求☉O 的直径. (1)证明:因为DE 为☉O 直径,则∠BED+∠EDB=90°.又BC ⊥DE ,所以∠CBD+∠EDB=90°, 从而∠CBD=∠BED.又AB 切☉O 于点B ,得∠DBA=∠BED , 所以∠CBD=∠DBA. (2)解:由(1)知BD 平分∠CBA ,则BA =AD=3, 又BC= 2,从而AB=3 2.所以AC=2−BC 2=4,所以AD=3. 由切割线定理得AB 2=AD ·AE ,即AE=AB 2=6,故DE=AE-AD=3,即☉O 直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为 x =3+12t ,y = 3t(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C 的极坐标方程为ρ=2 3sin θ. (1)写出☉C 的直角坐标方程;(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标. 解:(1)由ρ=2 θ,得ρ2=2 3ρsin θ,从而有x 2+y 2=2 3y ,所以x 2+(y- 3)2=3. (2)设P 3+1t , 3t ,又C (0, 3),则|PC|= 3+1t + 3t − 3 2= t 2+12,故当t=0时,|PC|取得最小值, 此时,P 点的直角坐标为(3,0).24.(本小题满分10分)(2015陕西,理24)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解:(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则−b−a=2,b−a=4,解得a=-3,b=1.(2)−3t+12+t=34−t+t≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]=24−t+t=4,当且仅当4−t3=t,即t=1时等号成立.故(−3t+12+t)max=4.11。

2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.2.考生领到试卷后，先按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填上对应的试卷类型信息.3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷及答题卡一并交回.第一部分(共60分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共12小题，每小题5分，共60分).1.(2015陕西，理1)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝()A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案：A解析：解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0，1}.解lg x≤0，得0＜x≤1，故N＝(0，1].故M∪N＝[0，1]，选A．2.(2015陕西，理2)某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93 B．123 C．137 D．167答案：C解析：由题图知，初中部女教师有110×70%＝77人;高中部女教师有150×(1－60%)＝60人.故该校女教师共有77+60＝137(人).选C．x+3.(2015陕西，理3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6φ+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：C解析：因为sinπ6x+φ ∈[－1，1]，所以函数y＝3sinπ6x+φ +k的最小值为k－3，最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k－3＝2，解得k＝5.所以y的最大值为k+3＝5+3＝8，故选C．4.(2015陕西，理4)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15，则n＝() A．7 B．6 C．5 D．4答案：B解析：(x+1)n的展开式通项为T r+1＝C n r x n－r.令n－r＝2，即r＝n－2.则x2的系数为C n n−2＝C n2＝15，解得n＝6，故选B．5.(2015陕西，理5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4答案：D解析：由三视图可知，该几何体是一个半圆柱，圆柱的底面半径r＝1，高h＝2.所以几何体的侧面积S1＝C底·h＝(π×1+2)×2＝2π+4.几何体的底面积S2＝12π×12＝12π.故该几何体的表面积为S＝S1+2S2＝2π+4+2×π2＝3π+4.故选D．6.(2015陕西，理6)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：由cos 2α＝0，得cos2α－sin2α＝0，即cos α＝sin α或cos α＝－sin α.故“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.7.(2015陕西，理7)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a+b)2＝|a+b|2D．(a+b)·(a－b)＝a2－b2答案：B解析：A项，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞≤|a||b|，所以不等式恒成立;B项，当a与b同向时，|a－b|＝||a|－|b||;当a与b非零且反向时，|a－b|＝|a|+|b|＞||a|－|b||.故不等式不恒成立;C项，(a+b)2＝|a+b|2恒成立;D项，(a+b)·(a－b)＝a2－a·b+b·a－b2＝a2－b2，故等式恒成立.综上，选B．8.(2015陕西，理8)根据下边框图，当输入x为2 006时，输出的y＝()A．2B．4C．10D．28答案：C解析：由算法框图可知，每运行一次，x的值减少2，当框图运行了1 004次时，x＝－2，此时x＜0，停止循环，由y＝3－x+1可知，y＝3－(－2)+1＝10，故输出y的值为10，故选C．9.(2015陕西，理9)设f(x)＝ln x，0＜a＜b，若p＝f(，q＝f a+b2，r＝12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是()A．q＝r＜p B．p＝r＜qC．q＝r＞p D．p＝r＞q答案：B解析：因为0＜a＜b，所以a+b2＞ab.又因为f(x)＝ln x在(0，+∞)上单调递增，所以f a+b2＞f(ab)，即p＜q.而r＝12(f(a)+f(b))＝12(ln a+ln b)＝12ln(ab)＝ln，所以r＝p，故p＝r＜q.选B．10.(2015陕西，理10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元答案：D解析：设该企业每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利z元.则由题意知3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，利润函数z＝3x+4y.画出可行域如图所示，当直线3x+4y－z＝0过点B时，目标函数取得最大值.由 3x +2y ＝12，x +2y ＝8，解得 x ＝2，y ＝3.故利润函数的最大值为z ＝3×2+4×3＝18(万元).故选D ．11.(2015陕西，理11)设复数z ＝(x －1)+y i(x ，y ∈R)，若|z|≤1，则y ≥x 的概率为( ) A ．34+12π B ．12+1π C ．12－1πD ．14－12π答案：D解析：由|z|≤1，得(x －1)2+y 2≤1.不等式表示以C (1，0)为圆心，半径r ＝1的圆及其内部，y ≥x 表示直线y ＝x 左上方部分(如图所示).则阴影部分面积S ＝14π×12－S △OAC ＝14π－12×1×1＝π4－12.故所求事件的概率P ＝S 阴S 圆＝π4−12π×12＝14－12π.12.(2015陕西，理12)对二次函数f (x )＝ax 2+bx+c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值D ．点(2，8)在曲线y ＝f (x )上 答案：A解析：f'(x )＝2ax+b.若A 正确，则f (－1)＝0，即a －b+c ＝0， ① 若B 正确，则f'(1)＝0，即2a+b ＝0， ②若C 正确，则f'(x 0)＝0，且f (x 0)＝3， 即f −b2a ＝3，即c －b 24a ＝3.③若D项正确，则f(2)＝8，即4a+2b+c＝8.④假设②③④正确，则由②得b＝－2a，代入④得c＝8，代入③得8－4a 24a＝3，解得a＝5，b＝－10，c＝8.此时f(x)＝5x2－10x+8，f(－1)＝5×(－1)2－10×(－1)+8＝5+10+8＝23≠0，即A不成立.故B，C，D可同时成立，而A不成立.故选A．第二部分(共90分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13.(2015陕西，理13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为.答案：5解析：由题意知，1 010为数列首项a1与2 015的等差中项，故a1+2 0152＝1 010，解得a1＝5.14.(2015陕西，理14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝.答案：2解析：双曲线x2－y2＝1的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0).抛物线的准线方程为x＝－p2.因p＞0，故－p2＝－2，解得p＝22.15.(2015陕西，理15)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为.答案：(1，1)解析：曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k＝y'＝e x|x＝0＝1;由y＝1x ，可得y'＝－1x2，因为曲线y＝1 x (x＞0)在点P处的切线与曲线y＝e x在点(0，1)处的切线垂直，故－1x P2＝－1，解得x P＝1，由y＝1x，得y P＝1，故所求点P的坐标为(1，1).16.(2015陕西，理16)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.答案：1.2解析：以梯形的下底为x轴，上、下底边的中点连线为y轴，建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为y＝ax2，则抛物线过点(5，2)，故2＝25a，得a＝225，故抛物线的方程为y＝225x2.最大流量的比，即截面的面积比，由图可知，梯形的下底长为6，故梯形的面积为(10+6)×22＝16，而当前的截面面积为2502−225x2d x＝22x−23×25x3|05＝403，故原始流量与当前流量的比为16403＝1.2.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分).17.(本小题满分12分)(2015陕西，理17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m ＝(a，)与n＝(cos A，sin B)平行.(1)求A;(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.(1)解：因为m∥n，所以a sin B－3b cos A＝0.由正弦定理，得sin A sin B－3sin B cos A＝0.又sin B≠0，从而tan A＝3.由于0＜A＜π，所以A＝π3.(2)解法一：由余弦定理，得a2＝b2+c2－2bc cos A，而a＝7，b＝2，A＝π3，得7＝4+c2－2c，即c2－2c－3＝0.因为c＞0，所以c＝3.故△ABC的面积为12bc sin A＝332.解法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B，从而sin B＝217.又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝277.故sin C＝sin(A+B)＝sin B+π3＝sin B cosπ3+cos B sinπ3＝32114.所以△ABC的面积为12ab sin C＝332.18.(本小题满分12分)(2015陕西，理18)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB ＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图②.图①图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ;(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.(1)证明：在题图①中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在题图②中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC ． (2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1－BE －C 的平面角， 所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ， 所以B22，0，0 ，E − 22，0，0 ，A 1 0，0， 22 ，C 0， 22，0 ，得BC ＝ − 22， 22，0 ，A 1C ＝ 0， 22，− 22，CD ＝BE ＝(－ ，0，0). 设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 夹角为θ，则n 1·BC ＝0，n 1·A 1C ＝0，得 −x 1+y 1＝0，y 1−z 1＝0，取n 1＝(1，1，1);n 2·CD ＝0，n 2·A 1C ＝0，得 x 2＝0，y 2−z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos<n1，n2>|＝3×263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.19.(本小题满分12分)(2015陕西，理19)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.解：(1)由统计结果可得T的频率分布为以频率估计概率得T的分布列为从而ET＝25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1＝32(分钟).(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A)＝P(T1+T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)+P(T1＝30，T2≤40)+P(T1＝35，T2≤35)+P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5＝0.91.解法二：P(＝P(T1+T2＞70)＝P(T1＝35，T2＝40)+P(T1＝40，T2＝35)+P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1＝0.09，故P(A)＝1－P(A)＝0.91.20.(本小题满分12分)(2015陕西，理20)已知椭圆E：x2a +y2b＝1(a＞b＞0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c，0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率;(2)如图，AB 是圆M ：(x+2)2+(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程. (1)解：过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx+cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝b 2+c 2bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2 a 2−c 2， 解得离心率ca ＝32. (2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB|＝ 10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x+2)+1，代入①得，(1+4k 2)x 2+8k (2k+1)x+4(2k+1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1+x 2＝－8k (2k +1)1+4k ，x 1x 2＝4(2k +1)2−4b 21+4k .由x 1+x 2＝－4，得－8k (2k +1)1+4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2|＝52(x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB|＝ 10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12+4y 12＝4b 2，x 22+4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1+x 2＝－4，y 1+y 2＝2， 得－4(x 1－x 2)+8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1−y 2x 1−x 2＝12.因此，直线AB 的方程为y ＝12(x+2)+1，代入②得，x 2+4x+8－2b 2＝0.所以x 1+x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB|＝ 1+ 12 2|x 1－x 2| ＝ 52 (x 1+x 2)2−4x 1x 2＝ 10(b 2−2).由|AB|＝ 10，得 10(b 2−2)＝ 10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212+y 23＝1.21.(本小题满分12分)(2015陕西，理21)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2.(1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在 12，1 内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12+12x n n +1; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )和g n (x )的大小，并加以证明.(1)证明：F n (x )＝f n (x )－2＝1+x+x 2+…+x n －2，则F n (1)＝n －1＞0，F n 12 ＝1+12+ 12 2+…+ 12n －2 ＝1− 12 n +11−1－2＝－12＜0，所以F n (x )在 12，1 内至少存在一个零点.又F n '(x )＝1+2x+…+nx n －1＞0， 故F n (x )在 12，1 内单调递增，所以F n (x )在 12，1 内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0，即1−x nn +11−x n －2＝0，故x n ＝12+12x n n +1. (2)解法一：由假设，g n (x )＝(n +1)(1+x n )2.设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1+x+x 2+…+x n －(n +1)(1+x n )2，x ＞0. 当x ＝1时，f n (x )＝g n (x ).当x ≠1时，h'(x )＝1+2x+…+nxn －1－n (n +1)x n −12. 若0＜x ＜1，h'(x )＞x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 若x ＞1，h'(x )＜x n －1+2x n －1+…+nx n －1－n (n +1)2x n －1 ＝n (n +1)2x n －1－n (n +1)2x n －1＝0. 所以h (x )在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，所以h(x)＜h(1)＝0，即f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).解法二：由题设，f n(x)＝1+x+x2+…+x n，g n(x)＝(n+1)(x n+1)2，x＞0.当x＝1时，f n(x)＝g n(x).当x≠1时，用数学归纳法可以证明f n(x)＜g n(x).①当n＝2时，f2(x)－g2(x)＝－12(1－x)2＜0，所以f2(x)＜g2(x)成立.②假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即f k(x)＜g k(x).那么，当n＝k+1时，f k+1(x)＝f k(x)+x k+1＜g k(x)+x k+1＝(k+1)(1+x k)2+x k+1＝2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)－2x k+1+(k+1)x k+k+12＝kx k+1−(k+1)x k+12，令h k(x)＝kx k+1－(k+1)x k+1(x＞0)，则h k'(x)＝k(k+1)x k－k(k+1)x k－1＝k(k+1)x k－1(x－1).所以，当0＜x＜1时，h k'(x)＜0，h k(x)在(0，1)上递减;当x＞1时，h k'(x)＞0，h k(x)在(1，+∞)上递增.所以h k(x)＞h k(1)＝0，从而g k+1(x)＞2x k+1+(k+1)x k+k+12.故f k+1(x)＜g k+1(x)，即n＝k+1时不等式也成立.由①和②知，对一切n≥2的整数，都有f n(x)＜g n(x).解法三：由已知，记等差数列为{a k}，等比数列为{b k}，k＝1，2，…，n+1.则a1＝b1＝1，a n+1＝b n+1＝x n，所以a k＝1+(k－1)·x n−1n(2≤k≤n)，b k＝x k－1(2≤k≤n)，令m k(x)＝a k－b k＝1+(k−1)(x n−1)n－x k－1，x＞0(2≤k≤n)，当x＝1时，a k＝b k，所以f n(x)＝g n(x).当x≠1时，m k'(x)＝k−1n·nx n－1－(k－1)x k－2＝(k－1)x k－2(x n－k+1－1).而2≤k≤n，所以k－1＞0，n－k+1≥1.若0＜x＜1，x n－k+1＜1，m k'(x)＜0;若x＞1，x n－k+1＞1，m k'(x)＞0，从而m k(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，所以m k(x)＞m k(1)＝0.所以当m＞0且m≠1时，a k＞b k(2≤k≤n)，又a1＝b1，a n+1＝b n+1，故f n(x)＜g n(x).综上所述，当x＝1时，f n(x)＝g n(x);当x≠1时，f n(x)＜g n(x).考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015陕西，理22)选修4—1：几何证明选讲如图，AB切☉O于点B，直线AO交☉O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．(1)证明：∠CBD＝∠DBA;(2)若AD＝3DC，BC＝2，求☉O的直径.(1)证明：因为DE为☉O直径，则∠BED+∠EDB＝90°.又BC⊥DE，所以∠CBD+∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED．又AB切☉O于点B，得∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA．(2)解：由(1)知BD平分∠CBA，则BABC ＝ADCD＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝ AB2−BC2＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝AB 2AD＝6，故DE＝AE－AD＝3，即☉O直径为3.23.(本小题满分10分)(2015陕西，理23)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3+12t，y＝32t(t为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，☉C的极坐标方程为ρ＝2θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，从而有x2+y2＝2，所以x2+(y－2＝3.(2)设P3+12t，32t ，又C(0，3)，则|PC|＝3+12t2+32t−32＝2+12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0).24.(本小题满分10分)(2015陕西，理24)选修4—5：不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值;(2)求at+12+bt的最大值.解：(1)由|x+a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则−b−a＝2，b−a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)−3t+12+t＝34−t+t ≤[(3)2+12][(4−t)2+(t)2]＝24−t+t＝4，当且仅当4−t3t1，即t＝1时等号成立.故(+t)max＝4.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 7.对任意向量,a b ，下列关系式中u 恒成立的是A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 8.根据右边框图，当输入x 为2005时，输出的y =A28 B10 C4 D29.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率 A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数．．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上 二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= 15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则P 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17、（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()I 求A ； ()II 若a =2b =求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =，D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．()I 证明：CD ⊥平面1C A O ；()II 若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：I 求T 的分布列与数学期望ET ；()II 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．()I 求椭圆E 的离心率；()II 如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．21、（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．()I 证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； ()II 设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．()I 证明：C D D ∠B =∠BA ； ()II 若D 3DC A =，C B =，求O 的直径．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=．()I 写出C 的直角坐标方程；()II P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．()I 求实数a ，b 的值； ()II 的最大值．参考答案： 一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.A7. B8.C9. B 10.D 11.D 12.A 二、填空题13. 5 14. 15.（1,1） 16. 1.2 三．解答题17. （满分12分）（I ）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB 0-=又sin 0B ≠，从而tan A由于0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-而2,a =3πA =得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =.故∆ABC 的面积为1bcsinA 22=.2sin sin 3=B ，从而sin 7B =，又由a b >，知A B >，所以cos B .故()sinC sin A B sin sin cos cos sin 333B B πππ⎛⎫=+=B +=+= ⎪⎝⎭所以∆ABC 的面积为1bcsinA 2.18.（本小题满分12分） （I ）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC 即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1AOC 又CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC .(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为11B=E=BC=ED=1A A , BCED所以1((0,0,2222B -得2BC(22-12A C(0,)22-，CD BE (==-. 设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z =，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n =，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x yz =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =， 从而12cos |cos ,|3n n θ=〈〉== 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为319.（本小题满分12分）0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==12P(40,40)T T +== 0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯= 故(A)1P(A)0.91P =-=. 20.（本小题满分12分） 解：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O到直线的距离bcd a ==，由12d c =，得2a b ==c a =.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且|AB|易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (2)依题意，点A ，B关于圆心M(-2,1)对称，且|AB|设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b +=，2222244x y b +=， 两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x -==- 因此AB 直线方程为1(2)12y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12|AB ||x x =-=由|AB|23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.21.（本小题满分12分）解：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x xx ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <.当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x x x +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k kkh x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立.所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x-+<,()0k m x '<, 当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分） 解：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA.（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD =,又BC AB =所以4AC =，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ×，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.23. （本小题满分10分）解：（I ）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(II)设1(3t,t),22P +又,则|PC |==故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.24. （本小题满分10分）解：（I）由||x a b+<，得b a x b a--<<-则2,4,b ab a--=⎧⎨-=⎩解得3a=-,1b=（II=≤4==，即1t=时等号成立，故max4=.。

2015年高考真题——理科数学（陕西卷）（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习2015年高考真题——理科数学（陕西卷）（含答案解析）1 1.设集合，，则（）A． B． C． D．【答案解析】 A试题分析，，所以，故选A．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．167 B．137 C．123 D．93【答案解析】 B试题分析:该校女老师的人数是，故选B.考点：扇形图．3 3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案解析】 C试题分析：由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．考点：三角函数的图象与性质．4 4.二项式的展开式中的系数为15，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案解析】 C试题分析：二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为15，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C.考点：二项式定理．5 5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C． D．【答案解析】 D试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6 6. “”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案解析】 A试题分析：因为，所以或，因为“”“”，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．7 7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）A． B．C． D．【答案解析】 B试题分析：因为，所以选项A正确，当与方向相反时，不成立，所以选项B错误，向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确，，所以选项D正确，故选B.考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8 8.根据右边的图，当输入x为2006时，输出的（）A．28 B．10 C．4 D．2【答案解析】 B试题分析：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B．考点：程序框图．9 9.设，若，，，则下列关系式中正确的是A． B． C． D．【答案解析】 C试题分析：函数在上单调递增，因为所以，所以，故选C.考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10 10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）228【答案解析】 D试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．考点：线性规划．11 11.设复数，若，则的概率为A． B． C． D．【答案解析】 B试题分析：如图可求得，阴影面积等于若，则的概率是，故选B．考点：1、复数的模；2、几何概型．12 12.对二次函数（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．-1是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D.点在曲线上【答案解析】 A试题分析：选项A错误，选项B,C,D正确，，因为1是的极值点，3是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，因为，所以-1是的零点，所以选项A错误，选项B,C,D正确，故选A.考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．13 13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案解析】试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．考点：等差中项．14 14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p=【答案解析】试题分析：抛物线的准线方程式，双曲线的一个焦点,因为抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，所以，解得，所以答案应填：.考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．15 15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p处的切线垂直，则p 的坐标为【答案解析】试题分析：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为，则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为，因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．17 17．（本小题满分12分）的内角所对的边分别为．向量与平行．求；若，求的面积．【答案解析】（I）；（II）．试题分析：（I）先利用可得,再利用正弦定理可得的值，进而可得A的值，(II)由余弦定理可得的值，进而利用三角形的面积公式可得.试题解析：（I）因为，所以，由正弦定理，得又，从而，由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得而得，即因为，所以.故的面积为.解法二：又正弦定理，得，从而又由，知，所以故所以的面积为.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.18 18．如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案解析】（I）证明见解析；（II）．试题分析（I）先证,再可证平面,进而可证平面；（II）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值.试题解析：（I）在图1中，因为,是的中点，，所以即在图2中，从而平面又，所以平面.(II)由已知，平面平面，又由（1）知，所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为.所以得，.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则，得，取，，得，取，从而，即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.19 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为的样本进行统计，结果如下：（分钟）25303540频数（次）20304010求的分布列与数学期望；刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.【答案解析】（I）分布列见解析，；（II）．试题分析：（I）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出的概率．试题解析：（I）由统计结果可得T的频率分布为（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40.1从而（分钟）(II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率.20 20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．求椭圆的离心率；如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案解析】（I）；（II）．试题分析：（I）先写过点的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II）先由（I）知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．试题解析：（I）过点的直线方程为，则原点O到直线的距离，由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I）知，椭圆E的方程为. ①依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入①得设则由，得解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.设则，，两式相减并结合得.易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率因此AB直线方程为，代入(2)得所以.于是.由，得，解得.故椭圆E的方程为.考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21 21．（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．【答案解析】（I）证明见解析；（II）当时，，当时，，证明见解析．试题分析：（I）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II）先设，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小．试题解析：（I）则,所以在内至少存在一个零点.又，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点，所以，即，故. (II)解法一：由题设，.设当时,当时, .若若所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时, ；当时解法二由题设，当时,当时, 用数学归纳法可以证明.当时, ,所以成立.假设时，不等式成立，即.那么，当时，. 又令，则所以当,在上递减；当在上递增.所以，从而故.即时不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以,令当时, ,所以当时,而，所以.若, ,当,,从而在上递减, 在上递增.所以，所以当且时又,，故综上所述，当时, ；当时考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.22 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．证明：；若，，求的直径．【答案解析】（I）证明见解析；（II）．试题分析：（I）先证，再证，进而可证；（II）先由（I）知平分，进而可得的值，再利用切割线定理可得的值，进而可得的直径．试题解析：（I）因为DE为圆O的直径，则，又BC DE，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.又AB切圆O于点B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.（II）由（I）知BD平分CBA，则,又，从而，所以，所以.由切割线定理得，即，故DE=AE-AD=3，即圆O的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.23 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．写出的直角坐标方程；为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．【答案解析】（I）；（II）．试题分析：（I）先将两边同乘以可得，再利用可得的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．试题解析：（I）由得，从而有所以.(II)设，又,则，故当t=0时，|PC|取最小值，此时P点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质.24 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．求实数，的值；求的最大值．【答案解析】（I），；（II）．试题分析：（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．试题解析：（I）由，得则解得（II）当且仅当，即时等号成立，故.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.2015年高考真题——理科数学（陕西卷）（含答案解析）20。

左视團C . 2 n +4D . 3 n +42015年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分21. ( 5 分)(2015?陕西)设集合 M={x|x 2=x} , N={x|lgx O }，贝U M U N=( )A . [0, 1]B . (0, 1]C . [0, 1)D . ( - s, 1] 2. （ 5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有 150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（3. （ 5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数4. ( 5分)(2015?陕西)二项式(x+1 ) n ( n 3 +)的展开式中x 2的系数为15,则n=( A . 7B . 6C . 5D . 45. （ 5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（C . 137D . 167y=3sinm ）的最大值为（）D . 106. （ 5 分）（2015?陕西）sin a =cos a 是 Cos2%=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件/输也/r —■~结束C . 10D . 289. ( 5 分)(2015?陕西)设 f (x ) =lnx , 0v a v b ,若 p=f (真E ), q=f (牟半)，r* (f ( a )+f ( b)),则下列关系式中正确的是( )A . q=r v pB . p=r v qC . q=r > pD . p=r >q10. （5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用 A 、B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A （吨） 3 212B （吨）17. （ 5分）（2015?陕西）对任意向量 (-■ ■) ? (「- ,'.)= r 2- I ，& （ 5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入 x 为2006时，输出的y （/ 输 Ax /F 列关系式中不恒成立的是（X-X-212. （5分）（2015?陕西）对二次函数f （x ） =ax 2+bx+c （a 为非零整数），四位同学分别给出 下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A . -1是f （x ）的B . 1是f （x ）的极零点值点C . 3是f （x ）的极D .点（2, 8）在曲值线 y=f （x ）上二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13.（ 5分）（2015?陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015,则该数列的首项为 _________________ .14. ______________ （5分）（2015?陕西）若抛物线y 2=2px （ p > 0）的准线经过双曲线 x 2 - y 2=1的一个焦点， 贝 y p= ___ .15. （5分）（2015?陕西）设曲线y=e x 在点（0, 1 ）处的切线与曲线 沪二（x > 0） 上点P 的切线垂直，则P 的坐标为 _____________________ .16 . （ 5分）（2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值三、解答题，共5小题，共70分17 . （12分）（2015?陕西）△ ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.向量i = （ a ， V3b ）与 n= （cosA ， sinB ）平行. (I )求 A ;(n )若 a= •'，b=2，求△ ABC 的面积.A .12万元B . 16万元C .仃万元D . 18万元11. （5 分）（2015?陕西） 设复数 z= (x - 1) +yi (x , y€R ), 十一C ；-_若|z|<l ，则y 汰的概率为D. I4A .18. （12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC , / BAD=AD=2 , E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.（I ）证明：CD丄平面A1OC;（n ）若平面A1BE丄平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.19. （12分）（2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T, T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T （分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（I ）求T的分布列与数学期望ET;（n ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,AB=BC=1 ,过两点(c，0)，( 0，b)的直线的距离为丄c.2(I )求椭圆E的离心率；(n )如图，AB是圆M : (x+2 ) 2+ ( y- 1) 2J<的一条直径，若椭圆E经过A、B两点,21. (12分)(2015?陕西)设f n (x)是等比数列1, x, x2,…，x n的各项和，其中x>0, n 3 ,(1)证明：函数Fn(x)=fn(x) - 2在(^, 1)内有且仅有一个零点(n )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (X),比较f n ( x )和g n ( x)的大小，并加以证明.四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分.选修何证明选讲20. (12分)(2015?陕西)已知椭圆22” +y2 a b2c,原点O到经(记为xn),且xnj」：x ：L -4-1 :几E:=1 (a> b > 0)的半焦距为22. （10分）（2015?陕西）如图，AB切O O于点B ,直线AO交O O于D, E两点，BC丄DE , 垂足为C.（I ）证明：/ CBD= / DBA ;（H ）若AD=3DC，BC= _ ［，求O O 的直径.五、选修4-4 :坐标系与参数方程23. （2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，O C的极坐标方程为（I ）写出O C的直角坐标方程；（n）P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.六、选修4-5 :不等式选讲24. （2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|v b的解集为{x|2 v x v 4}（t为参数），以原sin 0.(I )求实数a, b的值；(n)求11「+1；卜-「的最大值.2015年陕西省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1. ( 5 分)考点：并集及其运算.专题：集合.分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N,然后利用并集运算得答案.解答：解：由M={x|x 2=x}={0 , 1},N={x|lgx O}= (0, 1],得M U N={0 , 1} U (0, 1]=[0 , 1].故选：A .点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题.2. ( 5 分)考点：收集数据的方法.专题：计算题；概率与统计.分析：利用百分比，可得该校女教师的人数.解答：解：初中部女教师的人数为110>70%=77 ;高中部女教师的人数为40X150%=60, •••该校女教师的人数为77+60=137 ,故选：c.点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础.3. （5 分）考点：由y=Asin （w x+ $）的部分图象确定其解析式.专题：三角函数的图像与性质. 分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值. 解答：解：由题意可得当sin （-一x+ 0）取最小值-1时，6函数取最小值y min= - 3+k=2，解得k=5 ,••• y=3sin （x+ 0）+5,&•当当sin （―^x+ 0）取最大值1时，6函数取最大值y max=3+5=8 ,故选：C.点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题.4. （5 分）考点：二项式定理的应用.专题：二项式定理.分析：由题意可得C 2丿（门- 1）=15，解关于n的方程可得.f 2解答：解：•••二项式（x+1 ）n（n€N+）的展开式中x2的系数为15,n （n = 1）• C 2=15，即----- =15，解得n=6,九z故选：B.点评：本题考查二项式定理，属基础题.5. （5 分）考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积.解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，•该几何体的表面积为2S 几何体=n?K+ n W+2 >2=3 T+4 .故选：D.点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目.6. （5 分）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：由COS2a=COS2a- Sin2a,即可判断出.解答：解：由cos2 a=cos2a - sin2a,• sin a=cos a是“os2 a=O"的充分不必要条件.故选：A .点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题.7. （5 分）考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用.分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得.解答：_•一—一 _解：选项A正确,••爲•习F l o底||COS V D，用〉I，又|cos v方，b＞鬥，冃n||b恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得匚=j^hl- L 'll；选项C正确，由向量数量积的运算可得（..2=|「• “2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（色十b） ?=32-b2.故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题.& （5 分）考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x= - 2时不满足条件x%,计算并输出y的值为10. 解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006 ,x=2004满足条件X%,x=2002满足条件X%,x=2000满足条件X%,x=0满足条件X%,x= - 2不满足条件x%, y=10输出y的值为10.故选：C.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.9. （5 分）考点：不等关系与不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：由题意可得p—（Ina+lnb）, q=ln （空出）沏=p, r—（Ina+lnb ）,可得大小2 2 2关系.解答：解：由题意可得若p=f =ln d七Inab=-^ （Ina+lnb）,q=f =ln 沏=p,r=2 (f (a ) +f (b )) 午(Ina+lnb ), ••• p=r v q ,故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题.10. (5 分)考点： 简单线性规划的应用. 专题： 不等式的解法及应用.分析：设每天生产甲乙两种产品分别为 x , y 顿，利润为z 兀，然后根据题目条件建立约束条 件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值.解答： 解：设每天生产甲乙两种产品分别为x , y 顿，利润为z 兀，r3^2y<12< x+2y^8K ACL y^Q目标函数为 z=3x+4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域. 由 z=3x+4y 得 y=-上x+三,4 4平移直线y =违x 违由图象可知当直线y =违违经过点B 时，直线y = W 唱的截距 最大， 此时z 最大, 3x+2y=12 i+2y=8即B 的坐标为x=2 , y=3, • . z max =3x+4y=6+12=18 . 即每天生产甲乙两种产品分别为 2, 3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是 18万元， 故选：D .点评： 本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题 的关键.解方程组，解得11.( 5考点：)分)几何概型.专题：概率与统计.分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得.解答：解：T复数z= (x - 1) +yi (x, y €R)且点(x, 丫)在(1, 0)为圆心1为半径的圆及其内部, 而y汰表示直线y=x左上方的部分，(图中阴影弓形)12. (5 分)考点：二次函数的性质.专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用.分析：可米取排除法.分别考虑A , B , C, D中有一个错误，通过解方程求得a,判断是否为非零整数，即可得到结论.解答：解：可采取排除法.若A 错，贝V B , C, D 正确.即有f (x) =ax2+bx+c 的导数为f'(x) =2ax+b, 即有f' (1) =0，即2a+b=0,①又f (1) =3，即a+b+c=3 ②，又f ( 2) =8，即4a+2b+c=8 ,③ 由①②③ 解得，a=5, b= - 10, c=8 .符合a为非零整数.若B 错，贝U A , C, D 正确，则有a- b+c=0 ,且4a+2b+c=8 ,且. =3,解得a€?,4a不成立；p若C错，则A , B , D正确，则有a- b+c=0 ,且2a+b=0,且4a+2b+c=8 ,解得a=—不为非零整数，不成立;若D 错，贝U A , B, C 正确，则有a-b+c=O,且2a+b=0,且 _______________ =3，解得a=-二1 p 11 _ 117T l2 4 2H•••所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,点评:•••所求概率P=属基础题.24忍4不为非零整数，不成立. 故选：A .点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力, 属于中档题.二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13. （5 分） 考点：等差数列.专题：等差数列与等比数列. 分析： 由题意可得首项的方程，解方程可得. 解答：解：设该等差数列的首项为 a , 由题意和等差数列的性质可得 2015+a=1010 X2解得a=5 故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题.14. （5 分）考点： 抛物线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析： 先求出x 2-y 2=l 的左焦点，得到抛物线 y 2=2px 的准线，依据p 的意义求出它的值. 解答： 解：双曲线x 2 - y 2=l 的左焦点为（-A /文，0）,故抛物线y 2=2px 的准线为x= - V2 ,•专任，••• p=^2, 故答案为：2 ：:.点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y 2=2px 中p 的意义.15. （5 分）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题：导数的概念及应用.分析： 利用y=e x 在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标.解答：解：T f （x ） =e x ,• f （0） =e o =1.•/ y=e x 在（0,1）处的切线与y=- （x >0） 上点P 的切线垂直•••点P 处的切线斜率为-1. 又 y'=-冷，设点 P （x o , y 0）x 0= ± , ■/ x >0, • x 0=1• y 0=1•••点P (1, 1)故答案为：(1, 1)点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中.16. (5 分)考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果.解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过(5,2),可得a』,25所以抛物线方程：y=三2,25 s横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2x ( 「'2^2 _ 丄乂2X2)=2 (2 J I 5- 2)」,J屹护2 F 5 3，等腰梯形的面积为：型E X2=16,当前最大流量的横截面的面积16-卫，2 3原始的最大流量与当前最大流量的比值为:=1.2.故答案为：1.2.点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键.三、解答题，共5小题，共70分17. (12 分)考点：余弦定理的应用；平面向量共线(平行)的坐标表示.专题：解三角形.分析：(I )利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解 A ;(n )利用A，以及a=. _, b=2，通过余弦定理求出c,然后求解△ ABC的面积.解答：解：(I )因为向量1' = (a, .「；b)与丨i= (cosA, sinB)平行，所以as inB - L J X=0,由正弦定理可知：si nAsi nB - ': ；sin BcosA=0，因为sinB M D,所以tanA= 二可得A=.二；3(n ) a= 一：，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2- 2bccosA，可得7=4+c2-2c,解得 c=3,△ ABC 的面积为：丄businA 色匡•二 2点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力.18.( 12 分)考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质. 专题： 空间位置关系与距离；空间角.分析：(I )根据线面垂直的判疋疋理即可证明：CD 丄平面 A 1OC ;(n )若平面A 1BE 丄平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面 A 1BC 与平面 A 1CD 夹角的余弦值.解答：TT 证明：(I )在图 1 中，•/ AB=BC=1 , AD=2 , E 是 AD 的中点，/ BAD=U ,2••• BE 丄 AC ,即在图2中，BE 丄OA 1 , BE 丄OC , 贝U BE 丄平面A 1OC ;•/ CD // BE ,• CD 丄平面A 1OC ;(n )若平面A 1BE 丄平面BCDE , 由(I )知 BE 丄 OA 1, BE 丄 OC , •Z A 1OC 为二面角 A 1 - BE - C 的平面角，TT--Z A 10C=,2如图，建立空间坐标系，I''=(-CD=BE= ( -^2，0, 0)设平面 A 1BC 的法向量为n|= (x , y , z ),平面 A 1CD 的法向量为n = (a , b , c ),D • BC =0 I - x+y=0 -H则｛ — 得.，令 x=1，则 y=1 , z=1，即 n| = (1, 1, 1),w AjC=C \y -z=0取 11= (0, 1, 1),•••平面A 1BC 与平面 A 1CD 为钝二面角,n C 二Q、n *■ CD ~0•/ A 1B=A 1E=BC=ED=1 . BC // ED0),0), A 】C= (0，年，贝 ycosv•••平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为-点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法.19. （12 分）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.专题：概率与统计.分析：(I)求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数T样本容量，数学期望ET=25 X0.2+30 >0.3+35 >0.4+40 >0.1=32 (分钟);(n)设T1, T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于刘教授在路途中的时间不超过70 分钟”先求出PC.) =P (T1=35 , T2=40) +P (T1=40 , T2=35) +P (T1=40 , T2=40)=0.09，即P (A ) =1 - P (二)=0.91 .解答：解(I )由统计结果可得T的频率分布为T (分钟) 25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25 >0.2+30 >0.3+35 >0.4+40 >0.仁32 (分钟)(n )设T1, T2分别表示往、返所需时间，T1, T2的取值相互独立，且与T的分布列相冋，设事件A表示刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P (入)=P (T1+T2> 70) =P (T1=35, T2=40) +P (T1=40 , T2=35) +P (T1=40, T2=40) =0.4X).1+0.1 XJ.4+0.1 >0.1=0.09故P (A) =1 - P (二)=0.91故答案为：(I )分布列如上表，数学期望ET=32 (分钟)(n ) 0.91点评：本题考查了频率频数讶羊本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题.20. （12 分）考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程.专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：(I )求出经过点(0, 3和(c, 0)的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；(n )由(I )知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3, 即可得到椭圆方程.解答：解：(I )经过点(0，b )和(c，0)的直线方程为bx+cy - bc=0，(H )由(I )知，椭圆E 的方程为x 2+4y 2=4b 2,①由题意可得圆心 M (-2, 1)是线段AB 的中点，贝U |AB|= . 'I, 易知AB 与x 轴不垂直，记其方程为 y=k (x+2) +1，代入①可得(1+4k 2) x 2+8k (1+2k ) x+4 (1+2k ) 2 - 4b 2=0,A (x1, y 1),B (x 2, y 2).=」：・:=I",解得b 2=3, 2 2则有椭圆E 的方程为 £+』一=1.12 3点评： 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立 直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以 及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题.21. (12 分)考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合.当x M l 时，利用导数求得 h ( x )在(0, 1 )内递增，在(1, +s)内递减，得到f n (x ) < g n ( x ).x i +x 2=-8k (142k).x 1x 2=4 (1+处)'- 4b l+4k 2X 1+x 2= - 4，得-8k Cl+2k)144k 2从而X 1X 2=8 - 2b 2，于是解得k=i专题： 综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列.分析：(I )由 F n (x ) =f n (x ) - 2=1+X +X 2+ --++x n - 2 ,求得 F n (1) > 0 , F n (二)< 0.再F n ( x )在(2，1)内单调递增，得到厶且仅有个零点 X n ,由F n (x n ) =0，得到(n )先求出Z1)(心) 2构造函数 h ( x ) =f n (x ) - g n (x )=1+x+x 2+ ••++x n(n+l) (2)2，当x=1时,f n (x ) =g n ( x ).则原点到直线的距离为即为a=2b .|AB|=Ji+ (寺)2?殆F n (x )在(丄,1)内有由导数判断出函数证明：(I)由 F n (X )=f n (x ) - 2=1+x+x 2+・・++x n — 2, 则 F n ( 1) =n - 1 > 0,1-(丄)曲F n (g ) =1+斗J …+ 冷)_ 2= --------------------- 台 ------ ~2=_2 2 £ 1 - 1 212F n (x )在(-y , 1 )内至少存在一个零点，• h (乂)在(0, 1)内递增，在(1, +s)内递减,• h ( x )v h ( 1 ) =0，即卩 f n ( X ) v g n ( X ). 综上，当 X=1 时，f n ( x ) =g n ( x )； 当 X M l 时，f n ( x )V g n (x ).解答: 又 '::,- :n. ■ I, 二 F n ( x )1)内单调递增,••• Fn ( X )在(寺1)内有且仅有一个零点x n,设 h ( x ) =f n (x ) - g n (x ) =1+X+X 2+ ••++x n(n+1)(1十？)2当 X=1 时，f n (x ) =g n (x ).当X 鬥时，h‘ (宜)二L+戈肝…+n 占一】-匕色气若 O v x v 1, h' (x )>x n_1+2x nn (n 十L)2(n+1) 2 n- 1一二 0T X n 是 F n (x )的一个零点, • F n ( x n ) =0 ,(n )由题设,若 x > 1, h' (x )v点评：本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题.四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分.选修4-1 :几何证明选讲22. （10 分）考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.分析：（I）根据直径的性质即可证明：/ CBD= / DBA ;（n）结合割线定理进行求解即可求O O的直径.解答：证明：（I）•/ DE是O O的直径，贝U / BED+ / EDB=90 °•/ BC 丄DE,••• / CBD+ / EDB=90 ° 即/ CBD= / BED ,••• AB切O O于点B ,•/ DBA= / BED，即 / CBD= / DBA ;（n ）由（I ）知BD 平分 / CBA ,则」-」J=3,BC~CD••• BC=：:,•AB=3近,AC=血护_甌亠4，则AD=3 ,由切割线定理得AB 2=AD ?AE ,即AE=^—|.：AD故DE=AE - AD=3 ,即可O O的直径为3.点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键.五、选修4-4 :坐标系与参数方程23. （2015?陕西）考点：点的极坐标和直角坐标的互化.专题：坐标系和参数方程.分析：r 2- 2 2（I）由OC的极坐标方程为P=^3sinB.化为p=^^p£in日，把-'亠丫代入即可得出;|PC|= - 厂「再利用二次函数的性质即可得出.P sin9(II) ，又C解答： 解：(I )由O C 的极坐标方程为尸2. isin 0.日，化为x 2+y 2=2』^y\,'=3.•-|PC|=J 〔因此当t=0时，|PC 取得最小值2.；此时P (3, 0).点评： 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函 数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.六、选修4-5 :不等式选讲24. (2015?陕西)考点： 专题： 分析：解：(I )关于x 的不等式|x+a|v b 可化为-b - a v x v b - a , 又•••原不等式的解集为{x|2 v x v 4},(n )由I )可得 | :+•[_[=■i~+ .1=._L+. V.「1 「I :-■ ■-=2 申—=4,•••所求最大值为4本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题.配方为•，彳V — (II )设 P ::二.：，又 C 二；.• p 2=2|V3P sin不等关系与不等式. 不等式的解法及应用.(I )由不等式的解集可得 ab 的方程组，解方程组可得； (n )原式'+ 一 »*—“+-，由柯西不等式可得最大值.■ b - 3=2f a- - 3，解方程组可得b 一 a=4 1 [b=l解答: 当且仅当即t=i 时取等号,点评:。

第1页，总13页…○…………外…………装…………○…………订…_姓名：___________班级：___________考号…○…………内…………装…………○…………订2015年高考理数真题试卷（陕西卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.(2015·陕西）设集合M={x|x 2=x}，N={x|lgx≤0}，则M ∪N （ ） A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(-∞,1]2.(2015·陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(π6x+φ)+k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A.5B.6C.8D.103.·二项式(x +1)n (n ∈N +)的展开式中x 2的系数为15，则n=（ ）A.4B.5C.6D.74.(2015·陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.3πB.4π答案第2页，总13页……○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※……○…………装…………○……C.2π+4 D.3π+45.(2015·陕西）“sin α=cos α”是“cos2α=0”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.(2015·陕西）对任意向量a →,b →，下列关系式中不恒成立的是（ ） A.|a →·b →|≤|a →||b →| B.|a →−b →|≤|a →|−|b →| C.(a →+b →)2=|a →+b →|2D.(a →+b →)(a →−b →)=a →2−b →27.(2015·陕西）根据如图框图，当输入x 为2006时，输出的y=（ ）A.28B.10C.4D.28.(2015·陕西）设f(x)=lnx, 0<a<b ，若p=f(√ab )，q=f(a+b 2)，r=12(f(a)+f(b))，则下列关系式中正确的是（ ）A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q9.(2015·陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）第3页，总13页…外…………○学…内…………○ A.12万元 B.16万元 C.17万元D.18万元10.(2015·陕西）设复数z=(x-1)+yi(x, y ∈R)，若|z|≤1，则y≥x 的概率为（ ） A.34+12π B.14-12π C.12-1π D.12+1π11.(2015·陕西）对二次函数f （x ）=ax 2+bx+c （a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x) 上第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）12.(2015·陕西）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 13.(2015·陕西）若抛物线y 2=2px(p>0)的准线经过双曲线x 2-y 2=1的一个焦点，则p= ． 14.(2015·陕西）设曲线y=e x 在点（0,1）处的切线与曲线y=1x (x>0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学（理科）一、选择题 1.设集合，，则A ．B ．C ．D ．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为A ．167B ．137C ．123D ．933.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．104.二项式的展开式中的系数为15，则 A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ． B ． C ． D ．6.“”是“”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 7.对任意向量，下列关系式中u 恒成立的是 A ． B ． C ． D ．22()()a b a b a b +-=- 8.根据右边的图，当输入x 为2005时，输出的 A28 B10 C4 D2 9.设，若，，，则下列关系式中正确的是A ．B ．C ．D ．10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元 11.设复数，若，则的概率 A ． B ． C ． D ． 12.对二次函数（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A ．-1是的零点B ．1是的极值点C ．3是的极值 D.点在曲线上 二、填空13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p=15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p 处的切线垂直，则p 的坐标为 16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 17、（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行． 求；若，求的面积． 18、（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．证明：平面；若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 20、（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． 求椭圆的离心率；如图，是圆()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．21、（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为． 证明：； 若，，求的直径． 23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为． 写出的直角坐标方程；为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式的解集为． 求实数，的值； 求的最大值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师 的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数 可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．考点：三角函数的图象与性质．4.二项式的展开式中的系数为15，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以或，因为“” “”，但“” “”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件． 7.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ． B ． C ． D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.根据右边的图，当输入x 为2006时，输出的（ ）A ．28B ．10C ．4D ．2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：；第1次运行：；第2次运行：；第3次运行：；；第1003次运行：；第1004次运行：．不满足条件，停止运行，所以输出的，故选B ． 考点：程序框图．9.设，若，，，则下列关系 式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料 的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ． 考点：线性规划．11.设复数，若，则的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=≤⇒-+≤如图可求得，，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若，则的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有 一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是的零点B ．1是的极值点C ．3是的极值 D. 点在曲线上 【答案】A考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】 【解析】试题分析：设数列的首项为，则12015210102020a +=⨯=，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：． 考点：等差中项．14.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则p= ． 【答案】考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．15.设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点p 处的切线垂直，则p 的坐标 为 ． 【答案】 【解析】试题分析：因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表 示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】 【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403，所以答案应填：． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量 与平行． （I ）求；（II ）若，求的面积． 【答案】（I ）；（II ）．试题解析：（I）因为，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sinAsinB A 0-=又，从而， 由于，所以(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+- 而 得，即因为，所以.故ABC 的面积为.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式.18．（本小题满分12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（I）证明：平面；（II）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（I）证明见解析；（II）．试题解析：（I）在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，BAD=，所以BE AC即在图2中，BE，BE OC从而BE平面又CDBE，所以CD平面.(II)由已知，平面平面BCDE，又由（1）知，BE，BE OC 所以为二面角的平面角，所以.如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为,所以1(,0,0),E(A(0,0,2222 B-得，CD BE(==-.设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，则111n BCn A C⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，取，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得，取，从而12cos |cos ,|3n n θ=〈〉==， 即平面与平面夹角的余弦值为.考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用. 19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，（II ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，；（II ）． 【解析】试题分析：（I ）先算出的频率分布，进而可得的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望；（II ）先设事件表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过分钟”，再算出的概率． 试题解析：（I ）由统计结果可得T的频率分步为从而 3350.4400⨯+⨯=（分钟） (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T =+>===+==0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P =-=.考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立事件的概率. 20．（本小题满分12分）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点 ，的直线的距离为． （I ）求椭圆的离心率；（II ）如图，是圆()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方 程．【答案】（I ）；（II ）． 【解析】试题分析：（I ）先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆的方程，设的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程．试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，则原点O 到直线的距离， 由，得，解得离心率.(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k++-+=-=-++ 由，得解得.从而.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆E 的方程为.解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为. (2) 依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且. 设则，，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得()1212-4()80x x y y -+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则，所以AB 的斜率 因此AB 直线方程为，代入(2)得 所以，.于是12|AB ||x x =-==由，得，解得.故椭圆E 的方程为.考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设是等比数列，，，，的各项和，其中，， ．（I ）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较 与的大小，并加以证明． 【答案】（I ）证明见解析；（II ）当时，，当时，，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证在内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证在内有且仅有一个零点，进而利用是的零点可证；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对的取值范围进行讨论来判断与的大小，进而可得和的大小．试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以在内至少存在一个零点. 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在内单调递增，所以在内有且仅有一个零点. 因为是的零点，所以，即，故.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x xx ++=-=+++->当时,当时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若,()11111()22n n n n n n h x x x nxx ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-=若,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以在上递增，在上递减，所以，即.综上所述，当时,；当时解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当时,当时, 用数学归纳法可以证明. 当时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以成立. 假设时，不等式成立，即. 那么，当时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx +++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kxk x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当, ,在上递减； 当, ,在上递增. 所以，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故.即，不等式也成立.所以，对于一切的整数，都有.解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤, 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当时, ,所以. 当时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而，所以，. 若, , , 当, , ,从而在上递减,在上递增.所以，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又,，故 综上所述，当时,；当时考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为． （I ）证明：； （II ）若，，求的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）． 【解析】试题分析：（I ）先证，再证，进而可证；（II ）先由（I ）知平分，进而可得的值，再利用切割线定理可得的值，进而可得的直径．试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则， 又BCDE ，所以CBD+EDB=90°，从而CBD=BED.又AB 切圆O 于点B ，得DAB=BED ，所以CBD=DBA. （II ）由（I ）知BD 平分CBA ，则,又，从而，所以4AC =，所以.由切割线定理得，即=6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．（I ）写出的直角坐标方程；（II ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标． 【答案】（I ）；（II ）． 【解析】试题分析：（I ）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（II ）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．试题解析：（I）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以.(II)设1(3t),2P +又,则|PC |== 故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集为．（I）求实数，的值；（II）求的最大值．【答案】（I），；（II）．【解析】试题分析：（I）先由可得，再利用关于的不等式的解集为可得，的值；（II）先将变形为，再利用柯西不等式可得的最大值．试题解析：（I）由，得则解得,（II=≤当且仅当，即时等号成立，故max4 =.考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.。