陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析

高考卷,一般高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·理科）（附答案，完全word版）通过整理的高考卷,一般高等学校招生全国统一考试数学（陕西卷·理科）（附答案，完全word版）相关文档，渴望对大家有所扶植，感谢观看！2008年一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．1．复数等于（）A．B．C．1D．2．已知全集，集合，，则集合中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．4 3．的内角的对边分别为，若，则等于（）A．B．2C．D．4．已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A．64B．100C．110D．120 5．直线与圆相切，则实数等于（）A．或B．或C．或D．或6．“”是“对随意的正数，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数，是的反函数，若（），则的值为（）A．B．1C．4D．10 8．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．如图，到的距离分别是和，与所成的角分别是和，在内的射影分别是和，若，则（）A B a b lA．B．C．D．10．已知实数满足假如目标函数的最小值为，则实数等于（）A．7B．5C．4D．3 11．定义在上的函数满足（），，则等于（）A．2B．3C．6D．9 12．为提高信息在传输中的抗干扰实力，通常在原信息中按确定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息确定有误的是（）A．11010B．01100C．10111D．00011 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．，则．14．长方体的各顶点都在球的球面上，其中．两点的球面距离记为，两点的球面距离记为，则的值为．15．关于平面对量．有下列三个命题：①若，则．②若，，则．③非零向量和满足，则与的夹角为．其中真命题的序号为．（写出全部真命题的序号）16．某地奥运火炬接力传递路途共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．假如第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最终一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）17．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，推断函数的奇偶性，并说明理由．18．（本小题满分12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第次击中目标得分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其各次射击结果互不影响．（Ⅰ）求该射手恰好射击两次的概率；（Ⅱ）该射手的得分记为，求随机变量的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，，，，．A1 A C1 B1 B D C （Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的大小．20．（本小题满分12分）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个微小值点，其中一个是．（Ⅰ）求函数的另一个极值点；（Ⅱ）求函数的极大值和微小值，并求时的取值范围．22．（本小题满分14分）已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对随意的，，；（Ⅲ）证明：．2008年一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、1．D2．B3．D4．B5．C6．A7．A8．B9．D10．B11．C12．C 二、13．114．15．②16．96 三、17．解：（Ⅰ）．的最小正周期．当时，取得最小值；当时，取得最大值2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．．．函数是偶函数．18．（Ⅰ）设该射手第次击中目标的事务为，则，．（Ⅱ）可能取的值为0，1，2，3．的分布列为0 1 2 30.008 0.032 0.16 0.8. 19．解法一：（Ⅰ）平面平面，．在中，，，，又，，，即．又，平面，平面，平面平面．（Ⅱ）如图，作交于点，连接，A1 A C1 B1 B D C F E （第19题，解法一）由已知得平面．是在面内的射影．由三垂线定理知，为二面角的平面角．过作交于点，则，，．在中，．A1 A C1 B1 B D C z y x （第19题，解法二）在中，．，即二面角为．解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则，，．点坐标为．，．，，，，又，平面，又平面，平面平面．（Ⅱ）平面，取为平面的法向量，设平面的法向量为，则．，如图，可取，则，，即二面角为．20．解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，x A y 1 1 2 M N B O 由韦达定理得，，，点的坐标为．设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得，直线与抛物线相切，，．即．（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，．由（Ⅰ）知．轴，．又．，解得．即存在，使．解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得．由韦达定理得．，点的坐标为．，，抛物线在点处的切线的斜率为，．（Ⅱ）假设存在实数，使．由（Ⅰ）知，则，，，解得．即存在，使．21．解：（Ⅰ），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（Ⅱ）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．22．解法一：（Ⅰ），，，又，是以为首项，为公比的等比数列．，．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，原不等式成立．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对随意的，有．取，则．原不等式成立．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设，则，当时，；当时，，当时，取得最大值．原不等式成立．（Ⅲ）同解法一．B卷选择题答案：1．D2．C3．A4．B5．C6．A 7．D 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D。

2015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2015•陕西）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．解答：解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．（5分）（2015•陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A．93 B．123 C．137 D．167考点：收集数据的方法．专题：计算题；概率与统计．分析：利用百分比，可得该校女教师的人数．解答：解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60，∴该校女教师的人数为77+60=137，故选：C．点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．3．（5分）（2015•陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值．解答：解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时，函数取最小值y min=﹣3+k=2，解得k=5，∴y=3sin（x+φ）+5，∴当当sin（x+φ）取最大值1时，函数取最大值y max=3+5=8，故选：C．点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题．4．（5分）（2015•陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n=（）A．7B．6C．5D．4考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：由题意可得==15，解关于n的方程可得．解答：解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，∴=15，即=15，解得n=6，故选：B．点评：本题考查二项式定理，属基础题．5．（5分）（2015•陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，∴该几何体的表面积为V几何体=π•12+π×1×2+2×2=3π+4．故选：D．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2015•陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．解答：解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．7．（5分）（2015•陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）•（）=2﹣2考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．解答：解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|，又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2；选项D正确，由向量数量积的运算可得（）•（）=2﹣2．故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题．8．（5分）（2015•陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（）A．2B．4C．10 D．28考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．9．（5分）（2015•陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．解答：解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．10．（5分）（2015•陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，则，目标函数为z=3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z=3x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得，即B的坐标为x=2，y=3，∴z max=3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）（2015•陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．解答：解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P==故选：D．点评：本题考查几何概型，涉及复数以及圆的知识，属基础题．12．（5分）（2015•陕西）对二次函数f（x）=ax2+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．﹣1是f（x）的零点B．1是f（x）的极值点C．3是f（x）的极值D．点（2，8）在曲线y=f（x）上考点：二次函数的性质．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：可采取排除法．分别考虑A，B，C，D中有一个错误，通过解方程求得a，判断是否为非零整数，即可得到结论．解答：解：可采取排除法．若A错，则B，C，D正确．即有f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x）=2ax+b，即有f′（1）=0，即2a+b=0，①又f（1）=3，即a+b+c=3②，又f（2）=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=﹣10，c=8．符合a为非零整数．若B错，则A，C，D正确，则有a﹣b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈∅，不成立；若C错，则A，B，D正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=﹣不为非零整数，不成立；若D错，则A，B，C正确，则有a﹣b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=﹣不为非零整数，不成立．故选：A．点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力，属于中档题．二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2015•陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为5．考点：等差数列．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得首项的方程，解方程可得．解答：解：设该等差数列的首项为a，由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．14．（5分）（2015•陕西）若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点，则p=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，∴p=2，故答案为：2．点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义．15．（5分）（2015•陕西）设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：利用y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．解答：解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．16．（5分）（2015•陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果．解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2，因为抛物线经过（5，2），可得a=，所以抛物线方程：y=，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2×=2（）=，等腰梯形的面积为：=16，当前最大流量的横截面的面积16﹣，原始的最大流量与当前最大流量的比值为：=1.2．故答案为：1.2．点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键．三、解答题，共5小题，共70分17．（12分）（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB≠0，所以tanA=，可得A=；（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，△ABC的面积为：=．点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18．（12分）（2015•陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC 与平面A1CD夹角的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC；∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，由（Ⅰ）知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC=，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1．BC∥ED∴B（，0，0），E（﹣，0，0），A1（0，0，），C（0，，0），=（﹣，，0），=（0，，﹣），设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），平面A1CD的法向量为=（a，b，c），则得，令x=1，则y=1，z=1，即=（1，1，1），由得，取=（0，1，1），则cos＜＞===，∵平面A1BC与平面A1CD为钝二面角，∴平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为﹣．点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．19．（12分）（2015•陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25 30 35 40频数（次）20 30 40 10（Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET；（Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）求T的分布列即求出相应时间的频率，频率=频数÷样本容量，数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）；（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，先求出P（）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.09，即P（A）=1﹣P（）=0.91．解答：解（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25 30 35 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T的分布列为T 25 30 35 40P 0.2 0.3 0.4 0.1从而数学期望ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）（Ⅱ）设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同，设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”P（）=P（T1+T2＞70）=P（T1=35，T2=40）+P（T1=40，T2=35）+P（T1=40，T2=40）=0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09故P（A）=1﹣P（）=0.91故答案为：（Ⅰ）分布列如上表，数学期望ET=32（分钟）（Ⅱ）0.91点评：本题考查了频率=频数÷样本容量，数学期望，对学生的理解事情的能力有一定的要求，属于中档题．20．（12分）（2015•陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c．（Ⅰ）求椭圆E的离心率；（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；曲线与方程．专题：创新题型；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出经过点（0，b）和（c，0）的直线方程，运用点到直线的距离公式，结合离心率公式计算即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①设出直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径和中点坐标公式，解方程可得b2=3，即可得到椭圆方程．解答：解：（Ⅰ）经过点（0，b）和（c，0）的直线方程为bx+cy﹣bc=0，则原点到直线的距离为d==c，即为a=2b，e===；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆E的方程为x2+4y2=4b2，①由题意可得圆心M（﹣2，1）是线段AB的中点，则|AB|=，易知AB与x轴不垂直，记其方程为y=k（x+2）+1，代入①可得（1+4k2）x2+8k（1+2k）x+4（1+2k）2﹣4b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=．x1x2=，由x1+x2=﹣4，得=﹣4，解得k=，从而x1x2=8﹣2b2，于是|AB|=•|x1﹣x2|=•==，解得b2=3，则有椭圆E的方程为+=1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线和圆的位置关系，以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．21．（12分）（2015•陕西）设f n （x ）是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2．（Ⅰ）证明：函数F n （x ）=f n （x ）﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为x n ），且x n =+x ；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n （x ），比较f n （x ）和g n （x ）的大小，并加以证明．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合． 专题： 综合题；创新题型；导数的综合应用；等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）由F n （x ）=f n （x ）﹣2=1+x+x 2+…++x n ﹣2，求得F n （1）＞0，F n （）＜0．再由导数判断出函数F n （x ）在（，1）内单调递增，得到F n （x ）在（，1）内有且仅有一个零点x n ，由F n （x n ）=0，得到；（Ⅱ）先求出，构造函数h （x ）=f n （x ）﹣g n （x ）=1+x+x 2+…++x n ﹣，当x=1时，f n （x ）=g n （x ）．当x ≠1时，利用导数求得h （x ）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减，得到f n （x ）＜g n （x ）． 解答： 证明：（Ⅰ）由F n （x ）=f n （x ）﹣2=1+x+x 2+…++x n ﹣2， 则F n （1）=n ﹣1＞0，F n （）=1+．∴F n （x ）在（，1）内至少存在一个零点， 又，∴F n （x ）在（，1）内单调递增，∴F n （x ）在（，1）内有且仅有一个零点x n ， ∵x n 是F n （x ）的一个零点，∴F n （x n ）=0， 即，故；（Ⅱ）由题设，，设h （x ）=f n （x ）﹣g n （x ）=1+x+x 2+…++x n ﹣，x ＞0．当x=1时，f n （x ）=g n （x ）． 当x ≠1时，．若0＜x ＜1，h ′（x ）＞=．若x ＞1，h ′（x ）＜=．∴h （x ）在（0，1）内递增，在（1，+∞）内递减， ∴h （x ）＜h （1）=0，即f n （x ）＜g n （x ）． 综上，当x=1时，f n （x ）=g n （x ）； 当x ≠1时，f n （x ）＜g n （x ）．点评： 本题考查了函数零点的判定方法，考查了等比数列的前n 项和，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化与化归等思想方法，是中档题．四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．（10分）（2015•陕西）如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ；（Ⅱ）若AD=3DC ，BC=，求⊙O 的直径．考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析：（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA ； （Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O 的直径．解答：证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．解答：解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（Ⅱ）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值．解答：解：（Ⅰ）关于x的不等式|x+a|＜b可化为﹣b﹣a＜x＜b﹣a，又∵原不等式的解集为{x|2＜x＜4}，∴，解方程组可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得+=+=+≤=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，∴所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题．。

WORD整理版分享绝密★启用前2018年一般高等学校招生全国一致考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及底稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题 5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．12i12iA．43iB．43i C．34i D．34i55555555 2．已知会合A x，yx2y2≤3，x Z，y Z，则A中元素的个数为A．9B．8C．5D．4e xe x3．函数f x x2的图像大概为．已知向量a，b知足|a|1，ab1，则a(2ab)A．4B．3C．2D．0 x223，则其渐近线方程为．双曲线y21(a0,b0)的离心率为a bA．y2x B．y3x C．y 2D．y3 x x22．在△ABC中，cos C5，BC1，AC5，则AB25A．42B．30C．29D．25范文典范参照指导WORD整理版分享7．为计算S 11111开始1?，设计了右边的程序框图，23499100则在空白框中应填入N0,T0 A．i i1i1B．i i2是否100 C．i i31N SNTN D．i i4iT T1输出Si1结束8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界当先的成就．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数能够表示为两个素数的和”，如30723．在不超出30的素数中，随机选用两个不一样的数，其和等于30的概率是A．1B．1C．1D．1121415189．在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABBC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A．1B．5C．5D．25652 10．若f(x)cosx sinx在[a,a]是减函数，则a的最大值是A ．πB．π3πD．πC．42411．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，知足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)?f(5 0)A．50B．0C．2D．50 12．已知F1，F2 是椭圆C：xa222y21(ab0)的左，右焦点，A是C的左极点，点P在过A且斜率b为3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为6A．2B．1C．1D．13234二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2017年陕西省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}3．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A．90πB．63πC．42πD．36π5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．96．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A．2 B．3 C．4 D．59．（5分）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2 B．C．D．10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3 D．112．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕【老师简评】2021年是新课改全面施行后的第一次高考，今年高考数学试题从整体看，表达“总体稳定，深化才能〞的特点，在主体内容保持2021年特点的同时，力争创新与变化；试题不仅注意对根底知识的考察，更注重了对才能的考察.从考生角度来说，试卷总体有较好的梯度，注重认知才能和数学运用才能的考察，稳中求新.1. 忠实地遵循了?普通高中新课程HY 教学要求?和2021年?考试说明?.2. 题型稳定，突出对根本知识但考察，全卷没有一道偏题、怪题.全卷构造、题型包括难度根本稳定.填空题比拟平和.不需要太繁的计算，考生感觉顺手.许多试题源于课本，略高于课本.附加题局部，选做题对知识的考察单一，解决要求明确，学生容易入手. 3. 把关题一改正去最后一题或者者两题把关的习惯，多题把关，有很好的区分度.第19题的第三问，第20题的第二问和第21题第三问，更能有效区分不同才能层次的考生群体. 4. 深化才能立意.知识与才能并重.全卷在考察知识的同时，注重考察学生的数学根本才能.许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题.如第17题，表达理解斜三角形的根本思想，用正余弦定理直接可求解，假设能找到适宜的解题思路和方法如DBC ∆是直角三角形，那么解答会更容易些. 5. 关注联络，有效考察数学思想方法.6. 加大数学应用题考察力度，表达“学数学，用数学的根本思想.〞如第14题，17题.一、选择题1.集合A= {x ∣12x -≤≤}，B={x ∣x<1}，那么()R AB = 〔D 〕〔A 〕{x ∣x>1} (B) {x ∣x ≥ 1} (C) {x ∣12x <≤ } (D) {x ∣12x ≤≤}【答案】D【命题意图】本试题主要考察集合根本运算中的补集及交集的运算问题.【解析】∵ {}1≥=x x B C R ，∴由图可知(⋂C A R1iz i=+在复平面上对应的点位于 〔A 〕 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限 【答案】A【命题意图】本试题主要考察复数的除法运算问题. 【解析】i i i i i i i i z 2121111)1)(1()1(1+=++=-+-=+=，∴对应点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21在第一象限． ()2sin cos f x x x =，以下选项里面正确的选项是 〔B 〕〔A 〕()f x f 〔x 〕在〔4π，2π〕上是递增的 〔B 〕()f x 的图像关于原点对称 〔C 〕()f x 的最小正周期为2π 〔D 〕()f x 的最大值为2 【答案】B【命题意图】本试题主要考察正弦函数的单调性，最值，周期性及对称性.【解析】∵()x x f 2sin =，∴π=T ，()1max =x f ，对称中心是()Z k k ∈,0,π．又当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,4ππx 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,22x ，所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛∈2,4ππx 上单调递减．故A ，C ，D 错误，只有选B ．4.5()a x x+〔x R ∈〕展开式中3x 的系数为10，那么实数a 等于 〔D 〕 〔A 〕-1 〔B 〕12(C) 1 (D) 2 【答案】A【命题意图】本试题主要考察二项展开式的通项公式.【解析】设rrr r x a xC T ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+551rr r x a C 255-=，由可得⎩⎨⎧==-103255r r a C r ，解得⎩⎨⎧==21a r ． ()f x =，假设((0))f f =4a ，那么实数a= 〔C 〕〔A 〕12 〔B 〕45(C) 2 (D) 9 【答案】B【命题意图】本试题主要考察分段函数求函数值.【解析】由得()21200=+=f ，()()()a a f f f 422202=+==，解得2=a ．x 1，x 2，…x 10平均数x 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A 】(A) S =S +x n (B) S =S +nx n (C) S =S + n (D) S =S +1n7. 假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是【C 】(A)13 (B) 23(C) 1 (D) 2y 2=2px 〔p ＞0〕的准线与圆x 2+y 2－6 x －7=0相切，那么p 的值是【C 】(A)1212(B) 1 (C) 2 (D) 4 【答案】C【命题意图】本试题主要考察抛物线的准线这条特殊直线与圆的位置关系的运用. 【解析】由可得2p x -=与圆()16322=+-y x 相切．圆心为()0,3，半径为４，圆心到直线的间隔 423=+=pd ，解得2=p ． 9.对于数列｛a n ｝，“a n +1＞∣a n ∣〔n=1，2…〕〞是“｛a n ｝为递增数列〞的【B 】 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件10.某要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。

2021年高考真题 - 数学理（陕西卷）解析版[1] 2021年陕西省高考理科数学试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.

1. 集合M?{x|lgx?0}，N?{x|x2?4}，则M?N?（ C ） （A） (1,2) （B） [1,2) （C） (1,2] （D） [1,2]

2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ D ） 3（A） y?x?1 （B） y??x （C） y?1 （D） y?x|x| x 3. 设a,b?R，i是虚数单位，则“ab?0”是“复数a?（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件

【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数即（45+47）/2=46极差为68-12=56.所以选A. 【答案】A

【考点定位】此题主要考查样本数据特征的概念，要正确的理解样本数据特征的概念以及争取的用来估计总体。

4. 已知圆C:x2?y2?4x?0，l过点P(3,0)的直线，则（ A ） （A）l与C相交 （B） l与C相切 （C）l与C相离 （D） 以上三个选项均有可能

b为纯虚数”的（ B ） i 5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA?CC1?2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ A ） （A） 35525 （B） （C） （D）

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6. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则（ B ）

（A） x甲?x乙，m甲?m乙 （B） x甲?x乙，m甲?m乙 （C） x甲?x乙，m甲?m乙 （D） x甲?x乙，m甲?m乙

7. 设函数f(x)?xe，则（ D ） x（A） x?1为f(x)的极大值点 （B）x?1为f(x)的极小值点 （C） x??1为f(x)的极大值点 （D）x??1为f(x)的极小值点

陕西省2023年高考数学试题及答案1. [选择题](1) 若函数$f(x)=x^2-3x+a$, 当$x=2$时，$f(x)$的值为0，则实数a的值为（）A. $-4$B. $-2$C. 1D. 2(2) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，角BAC=80°，则角ABC的度数为（）A. 20°B. 70°C. 80°D. 100°(3) 关于x轴的平移变换：把图像$y=f(x)$上的每个点在x轴上向左平移4个单位得到的图像是$y=f(x+4)$的图像，若$f(x)=-2x^2+3x+5$，则$f(2)$的值等于（）A. -3B. -1C. 3D. 72. [填空题](1) 若a，b为正整数且满足$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，则$\frac{a^2}{b^2}$的值为\_\_\_\_\_\_；(2) 已知集合A={2019，2020，2021，2022}，则集合A中元素个数为\_\_\_\_\_\_；(3) 若甲乙两车同地同时起跑，甲车平均时速90 km/h，乙车平均时速100 km/h，下午5:00 两车相遇在距乙地35 km的某地，从上午10:00起甲乙两车分别行驶的时间分别为\_\_\_\_\_\_小时，\_\_\_\_\_\_小时。

3. [解答题](1) 已知函数$f(x)=2x^3+ax^2+3x-1$的图像经过点(1,4)，求a的值。

(2) 设A、B、C、D四个顶点的坐标分别为A(-2,2)、B(4,2)、C(2,-1)、D(-2,-1)，连接射线AD，以点C为起点和端点分别沿顺时针和逆时针方向旋转90度，分别得到射线CA‘和CD‘，求直线CA‘与CD‘的交点坐标。

4. [问答题](1) 解方程$\log_2(x-1)-\log_2(x-2)=1$，得到的根为\_\_\_\_\_\_；(2) 将一个完全平方数减去一个奇数得到一个奇数，这个完全平方数可能是多少？为什么？以上是2023年陕西省高考数学试题及答案。

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2014年陕西省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题,每小题5分，满分50分）1．(5分)（2014•陕西)设集合M={x|x≥0，x∈R｝，N=｛x｜x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A．[0，1］B．［0,1)C．（0,1]D．（0，1）考点:交集及其运算．集合．专题：分析:先解出集合N,再求两集合的交即可得出正确选项．解答:解：∵M={x｜x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}=｛x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=［0，1)．故选B．点评:本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键．2．（5分）(2014•陕西）函数f（x）=cos(2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π考点:三角函数的周期性及其求法．三角函数的图像与性质．专题：分析：由题意得ω=2,再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f(x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选B．点评：本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题．3．（5分)（2014•陕西）定积分（2x+e x)dx的值为()A．e+2B．e+1C．e D．e﹣1定积分．考点：导数的概念及应用．专题：根据微积分基本定理计算即可．分析：解答：解：(2x+e x）dx=（x2+e x）=(1+e）﹣(0+e0)=e．故选：C．点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．4．（5分）（2014•陕西）根据如图框图，对大于2的正数N，输出的数列的通项公式是（）A．an=2n B．a n=2（n﹣1)C．a n=2n D．a n=2n﹣1考点：程序框图；等比数列的通项公式．专题：算法和程序框图．分析:根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式．解答：解:由程序框图知：a i+1=2a i，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n=2n．故选：C．点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键．5．（5分）（2014•陕西)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为（）A．B．4πC．2πD．考点：球的体积和表面积．专题:计算题；空间位置关系与距离．分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长,得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．解答:解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为,∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题．6．(5分）（2014•陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计；排列组合．分析：设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段,4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论．解答：解:设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=．故选：C．点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键．7．（5分）（2014•陕西）下列函数中,满足“f（x+y)=f（x)f（y）"的单调递增函数是（）A．f(x)=x B．f（x）=x3C．f（x)=（）xD．f（x)=3x考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x)f（y），然后考虑函数的单调性,即可得到答案．解答：解：A．f(x）=，f（y）=，f(x+y）=，不满足f(x+y）=f（x）f（y）,故A错；B．f(x）=x3，f（y）=y3，f(x+y)=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y）,故B错；C．f（x)=，f(y)=,f（x+y）=,满足f（x+y)=f（x)f(y），但f（x）在R上是单调减函数，故C错．D．f（x)=3x,f(y）=3y，f(x+y)=3x+y，满足f(x+y）=f（x）f（y),且f（x）在R上是单调增函数，故D正确;故选D．点评:本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题．8．（5分)（2014•陕西）原命题为“若z1,z2互为共轭复数，则｜z1｜=｜z2｜”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A．真，假，真B．假，假，真C．真,真,假D．假，假，假考点：四种命题间的逆否关系．专题：简易逻辑．分析:根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假．解答：解:根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=｜z2|"是真命题；其逆命题是：“若|z1｜=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”,例|1｜=｜﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题;根据原命题与其逆否命题同真同假,否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题．故选:B．点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键．9．（5分）（2014•陕西）设样本数据x1，x2，…,x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为(）A．1+a,4B．1+a，4+a C．1，4D．1,4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题:概率与统计．分析：方法1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．解答:解:方法1:∵yi=x i+a,∴E（y i)=E（x i）+E(a)=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E(a）=4．方法2:由题意知y i=x i+a，。

2021年一般高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A 【解析】试题分析：{}{}20,1x x x M ===，{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤，所以[]0,1MN =，故选A ．考点：1、一元二次方程；2、对数不等式；3、集合的并集运算．2.某中学学校部共有110名老师，高中部共有150名老师，其性别比例如图所示，则该校女老师 的人数为（ ）A ．167B ．137C ．123D ．93【答案】B考点：扇形图．3.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，由于min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．4.二项式(1)()n x n N ++∈的开放式中2x 的系数为15，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C考点：二项式定理．5.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1，母线长为2，所以该几何体的表面积是()1211222342ππ⨯⨯⨯++⨯=+，故选D ． 考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．6.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由于22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，由于“sin cos αα=”⇒“cos20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．7.对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ⋅≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】 B考点：1、向量的模；2、向量的数量积．8.依据右边的图，当输入x 为2006时，输出的y =（ ）A ．28B ．10C ．4D ． 2【答案】B 【解析】试题分析：初始条件：2006x =；第1次运行：2004x =；第2次运行：2002x =；第3次运行：2000x =；⋅⋅⋅⋅⋅⋅；第1003次运行：0x =；第1004次运行：2x =-．不满足条件0?x ≥，停止运行，所以输出的23110y =+=，故选B ．考点：程序框图．9.设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系 式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最 大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】D 【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ． 考点：线性规划．11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 【答案】B【解析】试题分析：2222(1)||(1)1(1)1z x yi z x y x y =-+⇒=-+≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ，(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=- 若||1z ≤，则y x ≥的概率是211142142πππ-=-⨯，故选B ． 考点：1、复数的模；2、几何概型．12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有 一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．-1是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数争辩函数的极值．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2021，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p= ． 【答案】22考点：1、抛物线的简洁几何性质；2、双曲线的简洁几何性质． 15.设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点p 处的切线垂直，则p 的坐标 为 ． 【答案】()1,1 【解析】试题分析：由于x y e =，所以xy e '=，所以曲线x y e =在点()0,1处的切线的斜率0101x k y e ='===，设P 的坐标为()00,x y （00x >），则001y x =，由于1y x =，所以21y x '=-，所以曲线1y x=在点P 处的切线的斜率02201x x k y x ='==-，由于121k k ⋅=-，所以211x -=-，即201x =，解得01x =±，由于00x >，所以01x =，所以01y =，即P 的坐标是()1,1，所以答案应填：()1,1． 考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表 示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=，设抛物线的方程为22x py =（0p >），由于该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252x y =，即2225y x =，所以当前最大流量是()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.2403=，所以答案应填：1.2． 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b = 与()cos ,sin n =A B 平行． （I ）求A ； （II ）若7a =，2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II ）332．试题解析：（I ）由于//m n ，所以sin 3cos 0a B b A ， 由正弦定理，得sinAsinB 3sinBcos A 0 又sin 0B ≠，从而tan 3A ，由于0A π<<，所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos ab c bc A而7b2,a 3πA =得2742c c ，即2230c c由于0c，所以3c .故∆ABC 的面积为133bcsinA 22.考点：1、平行向量的坐标运算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面积公式. 18．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2π∠BA =，C 1AB =B =， D 2A =，E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位置，如图2．（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II 6试题解析：（I ）在图1中，由于AB=BC=1,AD=2,E 是AD 的中点，∠BAD=2π，所以BE ⊥AC即在图2中，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 从而BE ⊥平面1A OC又CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC .(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ，BE ⊥OC 所以1A OC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 由于11B=E=BC=ED=1A A , BC ED所以12222(E(,0,0),A (0,0,),C(0,,0),2222B 得22BC(,,0),22 122A C(0,,)22，CD BE (2,0,0).设平面1BC A 的法向量1111(,,)n x y z ，平面1CD A 的法向量2222(,,)n x y z ，平面1BC A 与平面1CD A 夹角为θ，则1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n ，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n =， 从而126cos |cos ,|332n n θ=〈〉==⨯， 即平面1BC A 与平面1CD A 夹角的余弦值为63. 考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用.19．（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，T （分钟）25 30 35 40 频数（次）20304010T ET （II ）刘教授驾车从老校区动身，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后马上返回老校区，求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率． 【答案】（I ）分布列见解析，32；（II ）0.91． 【解析】试题分析：（I ）先算出T 的频率分布，进而可得T 的分布列，再利用数学期望公式可得数学期望ET ；（II ）先设大事A 表示“刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟”，再算出A 的概率． 试题解析：（I ）由统计结果可得T 的频率分步为T （分钟）25 30 35 40 频率0.2 0.3 0.4 0.1T25 30 35 40 P0.20.30.40.1从而 0.4400.132⨯+⨯=（分钟）(II)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设大事A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以大事A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：121212(A)P(70)P(25,45)P(30,40)P T T T T T T =+≤==≤+=≤1212P(35,35)P(40,30)T T T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=.解法二：121212(A)P(70)P(35,40)P(40,35)P T T T T T T 12P(40,40)T T0.40.10.10.40.10.10.09=⨯+⨯+⨯=故(A)1P(A)0.91P .考点：1、离散型随机变量的分布列与数学期望；2、独立大事的概率.20．（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．【答案】（I 3II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程． 试题解析：（I ）过点(c,0),(0,b)的直线方程为0bx cy bc，则原点O 到直线的距离22bc d a b c ==+， 由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率32c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (1) 依题意，圆心M(-2,1)是线段AB 的中点，且|AB |10.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k由124x x ，得28(21)4,14k k k 解得12k. 从而21282x x b .于是()22212121215|AB |1|410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭由|AB |10，得210(2)10b ，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (2)依题意，点A ，B 关于圆心M(-2,1)对称，且|AB |10.设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2221144x y b ，2222244x y b ，两式相减并结合12124,y 2,x x y 得1212-4()80x x y y .易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率12121k .2AB y y x x 因此AB 直线方程为1(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b所以124x x ，21282x x b .于是()22212121215|AB |1|410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭由|AB |10，得210(2)10b ，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简洁几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x 时， ()()n n f x g x ，当1x ≠时，()()n n f x g x ，证明见解析．【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行争辩来推断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x 则(1)10,n F n1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x .又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .由于n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x ，故111=+22n n n x x .(II)解法一：由题设，11().2nn n x g x 设211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x当1x 时, ()()n n f x g x当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x ,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-11110.22nnn n n n x x若1x ,()11111()22n n n n n n h x x x nxx----+'<++-11110.22nnn n n n x x所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h ，即()()n n f x g x .综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x解法二 由题设，211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x当1x 时, ()()n n f x g x当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x .当2n时, 2221()()(1)0,2f xg x x 所以22()()f x g x 成立.假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x .那么，当+1nk 时，111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx12112kk x k x k .又11k+121111()22kk kk x k x k kx k x g x令1()11(x 0)kk k h x kx k x ，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x ,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x ,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h ，从而1k+1211()2kk x k x k g x故11()()k k f x g x .即+1n k ，不等式也成立.所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x .解法三:由已知，记等差数列为k a ,等比数列为k b ,k1,2,, 1.n 则111a b ，11n n n a b x ，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x 时, =k k a b ,所以()()n n f x g x .当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ，11n k -+≥.若01x , 11nk x ,()0k m x '<,当1x ,11n k x,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m ，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b ,11n n a b ，故()()n n f x g x综上所述，当1x 时, ()()n n f x g x ；当1x ≠时()()n n f x g x考点：1、零点定理；2、利用导数争辩函数的单调性.请在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线D A 交O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ． （I ）证明：C D D ∠B =∠BA ；（II ）若D 3DC A =，C 2B =，求O 的直径．【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】试题分析：（I ）先证C D D ∠B =∠BE ，再证D D ∠BA =∠BE ，进而可证C D D ∠B =∠BA ；（II ）先由（I ）知D B 平分C ∠BA ，进而可得D A 的值，再利用切割线定理可得AE 的值，进而可得O 的直径．试题解析：（I ）由于DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA ADBC CD,又=2BC 32AB ，所以224ACAB BC ，所以D=3A .由切割线定理得2=AD AB AE ，即2=ADAB AE =6，故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理. 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为3ρθ=．（I ）写出C 的直角坐标方程；（II ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 【答案】（I ）(2233x y +=；（II ）()3,0．【解析】试题分析：（I ）先将3ρθ=两边同乘以ρ可得223sin ρρθ=，再利用222x y ρ=+，sin x ρθ=可得C 的直角坐标方程；（II ）先设P 的坐标，则2C 12t P =+C P 的最小值，进而可得P 的直角坐标．试题解析：（I ）由23,3sin ρθρρθ==得，从而有(2222+3,+33x y x y ==所以.(II)设13(3t,t),3)22P 又,则22213|PC |331222t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数的几何意义；3、二次函数的性质. 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． （I ）求实数a ，b 的值；（II 12at bt + 【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4． 【解析】试题分析：（I ）先由x a b +<可得b a x b a --<<-，再利用关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<可得a ，b 的值；（II试题解析：（I ）由||x a b ，得b ax b a则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a,1b（II =≤244t t41tt，即1t 时等号成立， 故max3+12+4t t .考点：1、确定值不等式；2、柯西不等式.。

2021年陕西高考数学试题〔理〕一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈，那么MN =〔 〕.[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选，).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是〔 〕.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.定积分1(2)xx edx +⎰的值为〔 〕.2Ae + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图，对大于2的整数N ，输出数列的通项公式是〔 〕.2n A a n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.底面边长为12为〔 〕32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔 〕1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525===7.以下函数中，满足“()()()f x y f x f y +=〞的单调递增函数是〔 〕〔A 〕()12f x x = 〔B 〕()3f x x = 〔C 〕()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭〔D 〕()3x f x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言，对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“假设12,z z 互为共轭复数，那么12z z =〞，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是〔 〕〔A 〕真，假，真 〔B 〕假，假，真 〔C 〕真，真，假 〔D 〕假，假，假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真，不需，原命题为真，则设，逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=9.设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，假设i i y x a =+〔a 为非零常数，1,2,,10i =〕，那么12,10,y y y 的均值和方差分别为〔 〕（A ）1+,4a 〔B 〕1,4a a ++ 〔C 〕1,4 〔D 〕1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数，方差不样本数据加同一个数，.10.如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处下降，下降飞行轨迹为某三次函数图像的一局部，那么函数的解析式为〔 〕（A ）3131255y x x =- 〔B 〕3241255y x x =-〔C 〕33125y x x =- 〔D 〕3311255y x x =-+ 【答案】 A 【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有，，而言，对即为极值点且），三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二局部〔共100分〕二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕.11.,lg ,24a x a==那么x =________. 【答案】 10 【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212a a========x a x a x 所以，12.假设圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，那么圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+）y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=）的标准方程为半径为圆心为，的对称点关于点y x x y13. 设20πθ<<，向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==，，，，假设b a //，那么=θtan _______.【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即，b a b a14. 观察分析下表中的数据：多面体 面数〔F 〕 顶点数〔V ) 棱数〔E ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜测一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律，可得15.〔考生注意：请在以下三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题评分〕.A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，那么22m n +的最小值为.B 〔几何证明选做题〕如图，ABC ∆中，6BC =，以BC 为直径的半圆分别交,AB AC 于点,E F ，假设2AC AE =,那么EF =.C 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是【答案】 A 5 B 3 C 1 【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以，，则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ，且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离）到直线点即对应直线）对应直角坐标点极坐标点三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〔本大题共6小题，共75分〕 16. 〔本小题总分值12分〕ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. 〔I 〕假设c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ； 〔II 〕假设c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值. 【答案】 〔1〕 省略 〔2〕 21【解析】 〔1〕C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差，c b a〔2〕.,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时，仅当又成等比，b c a c b a ====+==17. 〔本小题总分值12分〕四面体ABCD 及其三视图如下图，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ，，于点H G F ，，.〔I 〕证明：四边形EFGH 是矩形；〔II 〕求直线AB 与平面EFGH 夹角θ的正弦值.【答案】 〔1〕 省略 〔2〕510【解析】 〔1〕.FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以，四边形，即面，且且共面和，面面同理且共面面面面且为等腰由题知，EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====〔2〕510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB n AB n AB n FG n FE n z y x n EHGF FG FE AB G E F B A z y x θ所以，，解得一个则法向量，设面，，，，，，，，，，轴建系，则为知，分别以由18.〔本小题总分值12分〕在直角坐标系xOy 中，点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ，点),(y x P 在ABC ∆三边围成的区域〔含边界〕上〔1〕假设0=++PC PB PA ，求OP ；〔2〕设),(R n m AC n AB m OP ∈+=，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值.【答案】 〔1〕 22〔2〕 m-n=y-x, 1【解析】 〔1〕22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以，解得，y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A 〔2〕1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x ,(∴,AC AB OP 最大值为，所以，取最大值时，经计算在三个顶点求线性规划问题，可以代含边界内的最大值，属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+=19.〔本小题总分值12分〕在一块耕地上种植一种作物，每季种植本钱为1000元，此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：〔1〕设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；〔2〕假设在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元 的概率.【答案】 〔1〕〔800,0.2〕〔2000,0.5〕〔4000,0.3〕 〔2〕 0.896【解析】 〔1〕3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个，即，，，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润X 的分布列如下表：X 800 2000 4000 P0.2 0.5 0.3〔2〕896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以，的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知，一季利润不少于由，可以取考虑产量和价格，利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.〔本小题总分值13分〕如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和局部抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为32. （1）求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q 〔均异于点,A B 〕，假设AP AQ ⊥，求直线l 的方程.【答案】 〔1〕 a=2,b=1 〔2〕 )1-(38-x y =【解析】〔1〕14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x yc b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又，交于点抛物线 〔2〕)1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以，所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得，即联立得与的直线方程为设过21.〔本小题总分值14分〕 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈，求()n g x 的表达式；（2）假设()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；〔3〕设n N +∈，比拟(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.【答案】 〔1〕 nx x x g n +=1)(〔2〕 ,1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 〔1〕+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx x x g xk x x g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x x xx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时，当则时，假设当，，， 〔2〕,1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以，解得，即使上恒成立在则令a x t x t t x x x a x x x x a x x x ax x x xax x x x x g x ag x f〔3〕+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(，所以，恒成立式恒成立恒成立知，则由（令）（n g g g g a nx h x xx x x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，含答案〕一．选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕1. 设,a b 是向量，命题“假设a b ≠-，那么∣a ∣= ∣b ∣〞的逆命题是 〔 〕 〔A 〕假设a b ≠-，那么∣a ∣≠∣b ∣ 〔B 〕假设a b =，那么∣a ∣≠∣b ∣〔C 〕假设∣a ∣≠∣b ∣，那么∣a ∣≠∣b ∣ 〔D 〕假设∣a ∣=∣b ∣，那么a = -b 2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，那么抛物线的方程是 〔 〕 〔A 〕28y x =- 〔B 〕28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,那么()y f x =的图像可能是〔 〕4.6(42)x x 〔x ∈R 展开式中的常数项是 〔 〕 〔A 〕-20 〔B 〕-15 〔C 〕15 〔D 〕20 5. 某几何体的三视图如下图，那么它的体积是〔 〕(A)2?Ð83 (B)¦Ð83(C)8-2π(D)2?Ð36. 函数x cosx 在[0，+∞〕内 〔 〕17. 没有零点 〔B 〕有且仅有一个零点 〔C 〕有且仅有两个零点 〔D 〕有无穷多个零点 15. 设集合M={y|2cos x —2sin x|,x ∈R},N={x||x —1i 2为虚数单位，x ∈R},那么M ∩N 为〔 〕(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 16. 右图中，1x，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的HY 评分，P 为该题的最终得分。

当1x =6，2x =9，p=8.5时，3x 等于 〔 〕(A)11 (B)10 (C)8 (D)79.设〔1x ，1y 〕，〔2x ，2y 〕，…，〔n x ，n y 〕是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线〔如图〕，以下结论中正确的选项是【D 】 〔A 〕x 和y 的相关系数为直线l 的斜率〔B 〕x 和y 的相关系数在0到1之间〔C 〕当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定一样 〔D 〕直线l 过点“2021世园会〞，他们约定，各自HY 地从1到6号景点中任选4个进展游览，每个景点参观1小时，那么最后一小时他们同在一个景点的概率是【D 】 〔A 〕136 〔B 〕19 〔C 〕536 〔D 〕16假设((1))1f f =，那么a = 1n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 3或者41=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 2(1)(2)...(32)(21)n n n n n ++++++-=-。

陕西省西安市部分学校2024届高三上学期普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及参考答案注意：本试卷满分150分，考试总用时120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2Z 20M x x x =∈+-≤，N x y ⎧⎫==⎨⎩，则M N = （）A.{1,0,1}-B.{0,1}C.{}11xx -<≤∣ D.∅2.复数2i13i m z +=+（i 为虚数单位，m ∈R ）对应的点在虚轴上，那么=z （）A.32 B.43 C.23 D.533.向量a ，b 满足4a = ，1b = ，()233a b b -⋅=，则向量a ，b 夹角的余弦值为（）A.23B.34C.34-D.23-4.双曲线C 的焦点1F ，2F 在x 轴上且关于原点对称，C的一条渐近线方程为2y x =，则其离心率为（）A.32C.62D.25.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，8，该梭台的表面积为148，则侧棱长为（）A.3B.4C.5D.66.已知等差数列{}n a 中，8a 是函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的极大值点，则()511tan a a +的值为（）A.33-B.C.D.7.设集合22,(,)2,4x y A x y x ay ax y ⎧⎫-≥⎧⎫⎪⎪⎪⎪=-≤⎨⎨⎬⎬⎪⎪⎪⎪+>⎩⎭⎩⎭，则（）A.a ∀∈R ，(2,1)A ∈B.a ∀∈R ，(2,1)A ∉C.当且仅当0a <时，(2,1)A∉ D.当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉8.如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分，“较强”记为5分，“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断不正确的是（）A.甲、乙的五项能力指标的平均值相同B.甲、乙的五项能力指标的方差相同C.如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养D.如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙的运动素养9.函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，max ()6f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则当ω取最小正值时，()f π=（）A. C.10.在ABC △中，10sin cos 5A A -=，则sin 24A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.225B.22 C.325D.721011.分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体的外接球与内切球的表面积之比为（）A.4B.3C.212.方程e 1x a x -=+有两个不等的实数解，则a 的取值范围为（）A.,0e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.211,e ⎛⎫--⎪⎝⎭C.21,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭ D.1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.函数3log ,0,()13,0,xx x f x x >⎧=⎨-≤⎩则19f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.14.执行如图所示的程序框图，若输出结果是3s =，则k =______.15.5221x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______.16.数列{}n a 满足：①n a ∈N；②n a -.则2a =______，202111n na ==∑______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共60分.17.（本小题满分12分）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=︒，60BAD ∠=︒，4BC =，BD =（1）若AD AB =，求ACD △的面积.（2）求AC 的最大值.18.(本小题满分12分)如图，三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，11A B AC ⊥，12AC AA BC ==，点P 满足AP AC λ=(01)λ≤≤.（1）求证：平面11A ACC ⊥平面ABC .（2）若160A AC ∠=︒，是否存在λ，使二面角1B A P C --的平面角的余弦值为4？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F，离心率为2，R 为椭圆C 上任意一点，R 不在x 轴上，12RF F △的面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,1)P -的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，设点(0,1)B ，求证：直线BM ，BN 的斜率之和BM BN k k +为定值，并求出定值.20.（本小题满分12分）小梅参加甲、乙两项测试，每次测试结果只有3种，分别是优秀、良好、合格，结果为优秀得3分、良好得1分、合格得0分，小梅参加甲项测试结果为优秀的概率为12，良好的概率为13，参加乙项测试结果为优秀的概率为15，良好的概率为35，两项测试互不影响，两项测试结束后，小梅得分之和为ξ.（1）求小梅参加两项测试饸有一次为合格的概率；（2）求ξ的分布列与数学期望.21.（本小题满分12分）已知函数22()e2xx x ϕλ=-，其中0λ≠，e 是自然对数的底数，e 2.71828≈⋅⋅⋅（1）求函数()x ϕ的极值；（2）当e λ>时，证明：函数()x ϕ有两个零点1x ，()212x x x <，且21lnex x λ->.（二）选考题，共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,22x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22sin 30ρρθ+-=，点P 的极坐标是4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的极坐标方程及点P 到直线l 的距离；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求PAB △的面积.23.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.（1）证明：13ab bc ca ++≤.（2）证明：()22212a b c a b cb c c a a b ⎛⎫++++≥ ⎪+++⎝⎭参考答案一、选择题1.B 解析：由{}022≤-+∈=x x Z x M 得{}{}1,0,1,212--=≤≤-∈=x Z x M ，由⎭⎬⎫⎩⎨⎧+==11x y x N 得{}1->=x x N ，∴{}1,0=N M .2.C 解析：()()()()i m m i i i mi i mi z 10610323131312312-++=-+-+=++=，则i z 32-=，则32=z .3.B 解析：由题知1,4==b a，又∵()332322=-=-⋅=⋅-b b a b b a ，解得43=.4.C 解析：由题意得双曲线焦点在x 轴上且关于原点对称，可设双曲线C：()0,12222>=-b a by a x ，∵双曲线的一条渐近线方程为x y 22=，∴22=a b ，∴离心率262111222222=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===a b a b a a c ace .5.C 解析：设正四棱台侧面的高为h ，则14842828222=⋅⋅+++h ，解得4=h ，∴侧棱长为5228422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+.6.D 解析：由正弦函数性质可知，当πππk x 2262+=-，即Z k k x ∈+=,3ππ时，函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin πx x f 取得极大值，∴Z k k a ∈+=,38ππ，由等差数列性质可知，Z k k a a a ∈+==+,23228115ππ，∴()33tan 32tan 232tan tan 115-=-==⎪⎭⎫⎝⎛+=+ππππk a a .7.D 解析：若()A ∈12，，代入集合可得,022≥⇒≤-a a 23412>⇒>+a a ，∴23>a ，故AB 错误；所以由原命题的逆否命题同真同假可知，当且仅当23≤a 时，()A ∉12，，故C 错，D 正确.8.D 解析：由图可知：甲的平均值为8.4554546=++++，乙的平均值为8.4545456=++++，A 正确；甲的方差为()()()()()[]56.08.458.448.458.448.46512222221=-+-+-+-+-=S ，乙的方差为()()()()()[]56.08.448.458.448.458.46512222222=-+-+-+-+-=S ，B 正确；从长跑、马术、游泳考虑，甲三方面的分值和为14545=++，乙三方面的分值和为13454=++，乙小于甲，C 正确；从足球、长跑、篮球考虑，甲三方面的分值和为15456=++，乙三方面的分值和为15546=++，乙与甲相同，D 错误.9.B 解析：∵()⎪⎭⎫⎝⎛=6max πf x f ，∴136sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πωπ，即Z k k ∈+=-,2236πππωπ，化简得Z k k ∈+=,125ω，∴ω的最小正值为5，此时()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=35sin 2πx x f ，∴()33sin 235sin 2==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππf .10.D解析：由()52cos sin 21cos cos sin 2sin cos sin 222=-=+-=-A A A A A A A A ，∴103cos sin =A A ，而510sin cos -=A A ，则03sin 102sin 102=--A A ∴()()01sin 103sin 10=+-A A ，又0sin >A ，故103sin =A ，由上532sin =A ，5410921sin 212cos 2-=⨯-=-=A A ()10272cos 2sin 2242sin =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A A π11.B解析：如图所示，不妨设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为22，各个面的中心分别是N M L K J I ,,,,,，正方体1111D C B A ABCD -的中心为O ，分别以正方体各个面的中心为顶点的正八面体为IJKLMN ，是由正四棱锥JKLM N -和JKLM I -组成，∵22=NI ，∴外接球半径2=R ，内切球半径r 等于O 到面KLN 的距离，如图，连接1111,D B AD AB ，，∴KN 是11AB D ∆的中位线，由正方体的棱长为22，∴2==OK OL ，41=AB ，∴2211==AB KN 同理2===LN KL KN ，在三棱锥KLN O -中，KLN O OKL N V V --=，由等体积法知：r 232221312222131⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得36=r ，∴外接球与内切球的表面积之比为333=rR .12.C解析：由题意知()xe x a 1+=有两个不等的实数解，令()()xe x x g 1+=，定义域为R，则()()xe x x g 2+='，当2->x 时，()0>'x g ，()x g 单调递增；当2-<x 时，()0<'x g ，()x g 单调递减，故()x g 在2-=x 时取得极小值，也是最小值，故()212e g -=-，又当1->x 时，()0>x g 恒成立；当1-<x 时，()0<x g 恒成立。

2022年陕西省高考数学理科真题及参考答案注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}5,432,1，，=U ，集合M 满足{}3,1=M C U ，则（）A.M∈2 B.M∈3 C.M∉4 D.M∉52.若i z 21-=，且0=++b z a z ，其中a ，b 为实数，则（）A.2,1-==b a B.2,1=-=b a C.2,1==b a D.2,1-=-=b a3.已知向量a ，b 1=3=3=-，则=⋅b a （）A.2- B.1- C.1D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111a b +=，212111a a b ++=，32131111a a a b +++=，……，以此类推，其中() 2,1=∈*k Na k .则（）A.51b b < B.83b b < C.26b b < D.74b b <5.设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，点A 在C 上，点()0,3B ，若BF AF =，则=AB （）A.2B.22 C.3D.236.执行右图的程序框图，输出的=n （）A.3B.4C.5D.67.在正方体1111D C B A ABCD -，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（）A.平面EF B 1⊥平面1BDDB.平面EF B 1⊥平面BD A 1C.平面EF B 1∥平面AC A 1D.平面EF B 1∥平面DC A 118.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，4252=-a a ，则=6a （）A.14B.12C.6D.39.已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A.31B.21 C.33 D.2210.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1p ，2p ，3p ，且0123>>>p p p .记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（）A.p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大11.双曲线C 的两个焦点1F ，2F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且53cos 21=∠NF F ，则C 的离心率为（）A.25 B.23 C.213 D.21712.已知函数()x f ，()x g 的定义域为R ，且()()52=-+x g x f ，()()74=--x f x g .若()x g y =的图象关于直线2=x 对称，()42=g ，则()=∑=221k k f （）A.21-B.22-C.23-D.24-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2011年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠﹣，则||=||” B．若=﹣，则||≠||C．若≠，则||≠||D．||=||，则≠﹣2．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x3．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（x），则y=f （x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）（x2﹣x﹣4）6（x∈R）展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．205．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A． B．C．8﹣2πD．6．（5分）函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点7．（5分）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1]8．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．79．（5分）设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点（，）10．（5分）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=．12．（5分）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=．13．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．14．（5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．15．（5分）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．17．（12分）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M 为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．18．（12分）叙述并证明余弦定理．19．（12分）如图，从点P1（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e x于点Q1（0，1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2…；P n，Q n，记P k点的坐标为（x k，0）（k=1，2，…，n）．（Ⅰ）试求x k与x k﹣1的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|．20．（13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：所用时间（分钟）10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x ）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．2011年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）（2011•陕西）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠﹣，则||=||” B．若=﹣，则||≠||C．若≠，则||≠||D．||=||，则≠﹣【分析】根据所给的原命题，看清题设和结论，把原命题的题设和结论互换位置，得到要求的命题的逆命题．【解答】解：原命题是：“若≠﹣，则||=||”，它的逆命题是把题设和结论互换位置，即逆命题是：若||=||，则≠﹣，故选D．2．（5分）（2011•陕西）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．【解答】解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B3．（5分）（2011•陕西）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f （x），则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由定义知，函数为偶函数，先判断A、C两项，图象对应的函数为奇函数，不符合题意；再取特殊值x=0，可得f（2）=f（0），可知B选项符合要求．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）∴函数图象关于y轴对称，排除A、C两个选项又∵f（x+2）=f（x）∴函数的周期为2，取x=0可得f（2）=f（0）排除D选项，说明B选项正确故答案为B4．（5分）（2011•陕西）（x2﹣x﹣4）6（x∈R）展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出展开式的常数项．=（﹣1）r C6r x12﹣3r【解答】解：展开式的通项为T r+1令12﹣3r=0，得r=4所以展开式的常数项为C64=15故选C5．（5分）（2011•陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A． B．C．8﹣2πD．【分析】三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．6．（5分）（2011•陕西）函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【分析】根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．【解答】解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点7．（5分）（2011•陕西）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1]【分析】通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．【解答】解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x|}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C8．（5分）（2011•陕西）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．7【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选C．9．（5分）（2011•陕西）设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n 个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点（，）【分析】对于所给的线性回归方程对应的直线，针对于直线的特点，回归直线一定通过这组数据的样本中心点，得到结果．【解答】解：直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，回归直线方程一定过样本中心点，故选D．10．（5分）（2011•陕西）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用分步计数原理求出甲、乙最后一小时他们所在的景点结果个数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：甲、乙最后一小时他们所在的景点共有6×6=36中情况甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是P==故选D二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2011•陕西）设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=1．【分析】先根据分段函数求出f（1）的值，然后将0代入x≤0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=0，则f（f（1））=f（0）=1即∫0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1．12．（5分）（2011•陕西）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4．【分析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N，则分别讨论n为+1，2，3，4时的情况即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根⇔（﹣4）2﹣4n≥0⇔n≤4；，则n=4时，方程x2﹣4x+4=0，有整数根2；又n∈N+n=3时，方程x2﹣4x+3=0，有整数根1，3；n=2时，方程x2﹣4x+2=0，无整数根；n=1时，方程x2﹣4x+1=0，无整数根．所以n=3或n=4．故答案为：3或4．13．（5分）（2011•陕西）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）214．（5分）（2011•陕西）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2000（米）．【分析】设在第n个树坑旁放置所有树苗，利用等差数列求和公式，得出领取树苗往返所走的路程总和f（n）的表达式，再利用二次函数求最值的公式，求出这个最值．【解答】解：记公路一侧所植的树依次记为第1棵、第2棵、第3棵、…、第20棵设在第n个树坑旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f（n）（n 为正整数）则f（n）=[10+20+…+10（n﹣1）]+[10+20+…+10（20﹣n）]=10[1+2+…+（n﹣1）]+10[1+2+…+（20﹣n）]=5（n2﹣n）+5（20﹣n）（21﹣n）=5（n2﹣n）+5（n2﹣41n+420）=10n2﹣210n+2100，∴f（n）=20（n2﹣21n+210），相应的二次函数图象关于n=10.5对称，结合n为整数，可得当n=10或11时，f（n）的最小值为2000米．故答案为：200015．（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是[3，+∞）．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=2．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为3．【分析】A．通过作出函数y=|x+1|+|x﹣2|的图象求出函数的最小值，然后结合图象可知a的取值范围；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2θ+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．【解答】解：A．先作出函数y=|x+1|+|x﹣2|的图象可知函数的最小值为3，故当a∈[3，+∞）上不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，故答案为：[3，+∞）B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+（y﹣4）2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1上，点B 在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为5﹣1﹣1=3故答案为：3三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC 垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出D、B、C、A、E的坐标，从而得出向量、的坐标，最后根据空间向量夹角余弦公式，计算出与夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ADB∴平面ADB⊥平面BDC（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直，不防设|DB|=1，以D为坐标原点，分别以、、所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A（0，0，），E（，，0），∴=，=（1，0，0），∴与夹角的余弦值为cos＜，＞==．17．（12分）（2011•陕西）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．【分析】（Ⅰ）由题意P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M 为PD上一点，且|MD|=|PD|，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x p，y p）由已知得：∵P在圆上，∴，即C的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），将直线方程即：，∴线段AB的长度为|AB|===．18．（12分）（2011•陕西）叙述并证明余弦定理．【分析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．19．（12分）（2011•陕西）如图，从点P1（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e x于点Q1（0，1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2…；P n，Q n，记P k 点的坐标为（x k，0）（k=1，2，…，n）．（Ⅰ）试求x k与x k﹣1的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|．【分析】（Ⅰ）设出p k的坐标，求出Q k﹣1，利用导数的几何意义函数在切点处﹣1的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到x k与x k+1的关系．（Ⅱ）求出|P k Q k|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．【解答】解：（Ⅰ）设P k﹣1（x k﹣1，0），由y=e x 得点Q k﹣1处切线方程为由y=0得x k=x k﹣1﹣1（2≤k≤n）．（Ⅱ）x1=0，x k﹣x k﹣1=﹣1，得x k=﹣（k﹣1），S n=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|=20．（13分）（2011•陕西）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：所用时间（分钟）10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P（A1），P （A2）比较两者的大小，及P（B1），P（B2）的从而进行判断甲与乙路径的选择；（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可【解答】解：（Ⅰ）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．用频率估计相应的概率可得∵P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择L i，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，又由题意知，A，B独立，，P（x=1）=P （B+A）=P （）P（B）+P（A）P （）=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54，X的分布列：X0 1 2P0. 040.420.54EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5．21．（14分）（2011•陕西）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．【分析】（I）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g （x），求导，令导数等于零，解方程，跟据g′（x），g（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间和最小值；（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g （x）与的大小关系；（Ⅲ）证法一：假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，解此绝对值不等式，取时，得出矛盾；证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立，转化为求函数的值域，得出矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（x）=1．又＞Inx，而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．。

2008年陕西省高考数学试卷（理科)一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1．（5分）复数等于（)A．iB．﹣iC．1D．﹣12．(5分）已知全集U={1,2，3，4，5｝，集合A={x｜x2﹣3x+2=0｝，B={x｜x=2a，a∈A｝，则集合∁U(A∪B）中元素的个数为()A．1B．2C．3D．43．（5分）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c,若，则a等于()A．B．2C．D．4．（5分)已知｛a n｝是等差数列，a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于() A．64B．100C．110D．1205．（5分）直线与圆x2+y2﹣2x﹣2=0相切,则实数m等于（)A．或B．或C．或D．或6．(5分）“a=1”是“对任意的正数x,”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分)已知函数f(x）=2x+3,f﹣1(x)是f(x）的反函数，若mn=16（m，n∈R+)，则f﹣1(m)+f ﹣1(n）的值为（）A．10B．4C．1D．﹣28．(5分)双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(）A．B．C．D．9．（5分）如图，α⊥β,α∩β=l，A∈α,B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ,AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（)A．θ＞φ，m＞nB．θ＞φ,m＜nC．θ＜φ，m＜nD．θ＜φ，m＞n10．（5分）已知实数x，y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m等于(）A．0B．6C．7D．811．(5分)定义在R上的函数f（x)满足f（x+y）=f(x）+f（y)+2xy（x,y∈R)，f(1)=2，则f （﹣3）等于（)A．2B．3C．6D．912．(5分)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈｛0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2,⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1,1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(）A．11010B．01100C．10111D．00011二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．(4分），则a=．14．（4分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB：AD:AA1=1：1:．A，B两点的球面距离记为m，A，D1两点的球面距离记为n，则的值为．15．（4分）关于平面向量,，，有下列三个命题:①若•=•，则=、②若=（1，k）,=(﹣2,6），∥,则k=﹣3．③非零向量和满足｜|=｜|=|﹣｜，则与+的夹角为60°．其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）16．（4分）某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种．（用数字作答）．三、解答题（共6小题,满分74分）17．（12分）已知函数f（x）=2sin•cos+cos．（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；（2)令g(x）=f,判断函数g（x)的奇偶性，并说明理由．18．(12分）某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击,第i次击中目标得1～i（i=1,2，3）分,3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0。

62015年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分21. （ 5 分）（2015?陕西）设集合 M={x|x =x} , N={x|lgx O }，贝U M U N=（ ）A . [0, 1]B . （0, 1]C . [0, 1）D . （ - s, 1]考点：并集及其运算. 专题：集合.分析：求解一元二次方程化简 M ，求解对数不等式化简 N ，然后利用并集运算得答案. 解答：解：由 M={x|x 2=x}={0 , 1},N={x|lgx O}= （0, 1], 得 M U N={0 , 1} U （0, 1]=[0 , 1]. 故选：A .点评：本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题.考点：收集数据的方法. 专题：计算题；概率与统计.分析：利用百分比，可得该校女教师的人数. 解答：解：初中部女教师的人数为110/70%=77 ;高中部女教师的人数为 40XI50%=60,•••该校女教师的人数为 77+60=137, 故选：C .点评：本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法， 考查学生的计算能力，比较基础. 33 （5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sinI Kx+ 0） +k .据此函数可知，这段时间水深（单位： m ）的最大值为（）2. （ 5分）（2015?陕西）某中学初中部共有例如图所示，则该校女教师的人数为（110名教师，高中部共有 150名教师，其性别比 ）C . 137D . 167考点：由y=Asin ( w x+ $)的部分图象确定其解析式. 专题：三角函数的图像与性质.分析：由题意和最小值易得 k 的值，进而可得最大值. 解答：解：由题意可得当 sin (-1-X+ 0)取最小值-1时，函数取最小值 y min = - 3+k=2，解得k=5 ,|7T••• y=3sin (—x+ 0) +5,6IT...当当sin ( x+ 0)取最大值1时，6函数取最大值 y max =3+5=8 , 故选：C .点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题.4. （ 5分）（2015?陕西）二项式（x+1 ） n （ n 3 +）的展开式中x 2的系数为15,则n=（）A . 7B . 6C . 5D . 4考点：二项式定理的应用. 专题：二项式定理.分析：由题意可得「-=门■ 1=15，解关于n 的方程可得.% 2解答：解：•••二项式(x+1 ) n (n€N + )的展开式中x 2的系数为15,9 n (n _ 1) " + • C ；=15，即 ----- c -------- =15，解得 n=6,故选：B .点评：本题考查二项式定理，属基础题. 44 ( 5分)(2015?陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(D . 10#」L考点：由三视图求面积、体积. 专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面 积. 解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半， 该几何体的表面积为2V 几何体=n? + n 1>2+2 >2 =3 n +4.故选：D .点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目6. （ 5 分）（2015?陕西）sin a =cos a 是 cos2a =0”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题：简易逻辑.2 2分析：由cos2 a =cos a- sin a,即可判断出. 解答：解：由 cos2 a =cos 2 a- sin 2 a,• •• sin a =COS a 是“os2 a=0"的充分不必要条件.故选：A .点评：本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题.7. （ 5分）（2015?陕西）对任意向量 &、b ,下列关系式中不恒成立的是（）「一 • •冃|叫-M|（日+环? （g-亍）=^2-b 2考点：平面向量数量积的运算.左视團C . 2 n +4D . 3 n +4专题：平面向量及应用.分析：由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得. 解答：i 一一 _.一解：选项 A 正确，•••|mb |=|；a ||b ||cos v 3, b >|,又|c osv & b >鬥，二1/…冃aiHb 恒成立；选项B 错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得|厂=「|耳|比-|「，||；选项C 正确，由向量数量积的运算可得（ 选项D 正确，由向量数量积的运算可得（ 故选：B点评：本题考查平面向量的数量积，属基础题.& （ 5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入C . 10考点：程序框图.专题：图表型；算法和程序框图.分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 的值，当x= - 2时不满足条件计算并输出y 的值为10.解答：解：模拟执行程序框图，可得x=2006, x=2004满足条件x 为，x=2002满足条件x 为，x=2000满足条件x 为，x=0―* ―e ~* ―■- Q■ ) =i ■ ■-| ;「F ? (;-,■,) = I 2-1〔2.x 为2006时，输出的y （D . 28/输入茫/尸3齐1满足条件x 为，x= - 2 不满足条件x%, y=10 输出y 的值为10.故选：C .点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题.9. ( 5 分)(2015?陕西)设 f (x ) =lnx , 0v a v b ,若 p=f ( . -h), q=f (关系.解：由题意可得若 p=f (J 十)=ln (.) —Inab=〔 (Ina+lnb ),2 2q=f (r=g (f (a ) +f (b)) 丄(Ina+lnb ), ••• p=r v q ,故选：B点评：本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题.10. （ 5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料.已知生产 1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示. 如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万兀，则该企业每天可获得最大利润为（)A B ' （吨） （吨）甲3 1乙2 2原料限额12 8 A . 12万元 B . 16万元C . 17力兀D . 18力兀考点 :简单线性规划的应用.专题 :不等式的解法及应用.分析 :设每天生产甲乙两种产品分别为x , y 顿，利润为z 元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域， 然后利用平移法求出 z 的最大值. 解答：解：设每天生产甲乙两种产品分别为 x , y 顿，利润为z 元，f 3x+2y<12则■：1-■:"I &0,卩沁)，冷(f ( a )+f （ b ））,则下列关系式中正确的是（A . q=r v pB . p=r v q考点：不等关系与不等式. 专题：不等式的解法及应用. 分析：由题意可得(Ina+lnb ), q=D . p=r > q目n (.-]・)=p , ry (Ina+lnb ),可得大小解答: q=r > p )=ln 目n （i ：八）=p ,目标函数为z=3x+4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域.由z=3x+4y 得y= - - Jx+'-,4 4|平移直线y=-卫x+M由图象可知当直线4 4距最大，此时z最大,解方程组，解得1就1x+2y=8〔尸3即B的坐标为x=2 , y=3,/• z max=3x+4y=6+12=18 .即每天生产甲乙两种产品分别为2, 3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，故选：D.点评：本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键.11. （5分）（2015?陕西）设复数z= （x- 1）+yi （x, y€R）,若|z冃,则y汰的概率为考点：专题：分析：解答：几何概型.概率与统计.由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得. 解：•••复数z= （x- 1）+yi （x, y€R）且|z|<1,••• |z|=J （K- 1 ）2+异勻，即（x- 1）2+y2勻,点（x, 丫）在（1, 0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y孩表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）•••所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，y=-卫x+三经过点B时，直线y=-卫x在的截4 4 4 43.114+B. 1,1+2兀丄71A .212. (5分)(2015?陕西)对二次函数f (x ) =ax +bx+c (a 为非零整数)，四位同学分别给出 下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()A . - 1是f (x )的零点B . 1是f (x )的极值点C . 3是f (x )的极值D .点(2, 8)在曲线y=f (x )上 考点：二次函数的性质.专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用.分析：可采取排除法.分别考虑 A , B , C , D 中有一个错误，通过解方程求得a ,判断是否为非零整数，即可得到结论.解答：解：可采取排除法.2若A 错，贝V B , C , D 正确.即有f (x ) =ax +bx+c 的导数为f'(x ) =2ax+b , 即有 f ' (1) =0,即2a+b=0,①又 f (1) =3，即 a+b+c=3②，又f (2) =8,即4a+2b+c=8 ,③ 由①②③ 解得，a=5, b= - 10, c=8.符合a 为非 零整数._ b 2若B 错，则A , C, D 正确，则有a - b+c=0,且4a+2b+c=8，且=3 ,解得a €?,4a不成立；O 若 C 错，贝U A , B , D 正确，则有 a - b+c=0，且 2a+b=0，且 4a+2b+c=8，解得 a=—-3不为非零整数，不成立；isr — b 2若D 错，贝U A , B , C 正确，则有 a - b+c=0 ,且2a+b=0,且=3，解得a=-4a卫不为非零整数，不成立.4故选：A .点评：本题考查二次函数的极值、零点等概念，主要考查解方程的能力和判断分析的能力， 属于中档题.二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分•••所求概率卩=厂_ ；n.i 2属基础题.13. （5分）（2015?陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为5 .考点：等差数列.专题：等差数列与等比数列.分析：由题意可得首项的方程，解方程可得.解答：解：设该等差数列的首项为a,由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010 X2解得a=5故答案为：5点评：本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题.14. （5分）（2015?陕西）若抛物线y2=2px （p > 0）的准线经过双曲线x2- y2=1的一个焦点，则p= 2 一'_.考点：抛物线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：先求出x2-y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值.解答：解：双曲线x2- y2=1的左焦点为（-^/勺，0）,故抛物线y2=2px的准线为x= - V2 ,•••"'=-，二p=2:,故答案为：2.'：.点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2=2px中p的意义.15. （5分）（2015?陕西）设曲线y=e x在点（0, 1 ）处的切线与曲线y二•（x> 0）上点P的x切线垂直，则P的坐标为（1, 1）.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.专题：导数的概念及应用.分析：利用y=e x在某点处的切屑斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标.解答：解：T f（x）=e x,••• f（0）=e0=1.•/ y=e x在（0, 1）处的切线与『=•• （x>0）上点P的切线垂直•点P处的切线斜率为-1.又y'=-」，设点P （x o, y0）••• X0=±1, •/ x> 0, ••• x0=1y0=1•••点P （1, 1）故答案为：（1, 1）点评：本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中.16. （5分）（2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 1.2考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：建立直角坐标系，求出抛物线方程，然后利用定积分求出泥沙沉积的横截面面积，求出梯形面积，即可推出结果.解答：解：如图：建立平面直角坐标系，设抛物线方程为：y=ax2,因为抛物线经过（5, 2）, 可得a=-,所以抛物线方程：y= --「，横截面为等腰梯形的水渠，泥沙沉积的横截面的面积为：2畚匸导2 X2）=2（焉』|卜2）冷,等腰梯形的面积为：业§ X2=16，当前最大流量的横截面的面积16-卫，2 316原始的最大流量与当前最大流量的比值为：故答案为：1.2.点评：本题考查抛物线的求法，定积分的应用，考查分析问题解决问题的能力，合理建系是解题的关键.三、解答题，共5小题，共70分17. （12分）（2015?陕西）△ ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.向量i = （ a ,)与 I = (cosA , sinB )平行.(I )求 A ;(n )若a= L, b=2,求厶ABC 的面积.考点：余弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示. 专题：解三角形. 分析：（I ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A ;（n ）禾9用A ，以及a=. ； b=2,通过余弦定理求出 c ,然后求解△ ABC 的面积.(I )因为向量 | = (a ,样g b )与 | ,= ( cosA , sinB )平行,所以 asinB - . 一， : =0,由正弦定理可知：sinAsinB - :-;sinBcosA=0 ,因为 sinB 和, 所以 tanA= 一；，可得 A=—L ;■—-1（n ） a=「］, b=2,由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2- 2bccosA ，可得 7=4+c 2- 2c ,解得c=3,△ABC 的面积为：_ .匸£点评：本题考查余弦定理以及宰相肚里的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力.AD=2 , E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将 ABE 沿BE 折起到 A 1BE 的位置，如 图2.（I ）证明：CD 丄平面A 1OC ;（n ）若平面A 1BE 丄平面BCDE ，求平面 A 1BC 与平面A 1CD 夹角的余弦值.El 圏2考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质. 专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：（I ）根据线面垂直的判定定理即可证明：CD 丄平面A 1OC ;（n ）若平面A 1BE 丄平面BCDE ，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面 A 1BC与平面A 1CD 夹角的余弦值.解答:II解答 证明：（I ）在图1中，•/ AB=BC=1 , AD=2 , E 是AD 的中点，/ BAD=,••• BE 丄 AC ,解答：解:18. （12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC , / BAD= ,AB=BC=1 ,A Mi即在图2中，BE 丄0A 1, BE 丄0C , 则BE 丄平面A i OC ;•/ CD // BE , ••• CD 丄平面 A i OC ;(n )若平面A i BE 丄平面BCDE , 由(I)知 BE 丄 OA i , BE 丄 OC , • Z A i OC 为二面角 A i - BE - C 的平面角,Z A i OC 二丄,2如图，建立空间坐标系，CD=BE=(-屈 0, 0)设平面A i BC 的法向量为!T = (X , y , z ),平面A i CD 的法向量为口 = (a , b , c ),取 r= (0, i , i ),•••平面A i BC 与平面 A i CD 为钝二面角，•平面A i BC 与平面A i CD 夹角的余弦值为-点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解, 是解决空间角的常用方法.A i B=A i E=BC=ED=i . BC // ED• B ( ■' 2葩(-夢亨,0)，两=,0, 0), E (-羊(0,二：：，0)，fw&C=0「-玄4■产0\ ----------得［口・止&二y - z=0z=i ,即 I = (i ,i , i ),El •丘［C二。