北京市海淀区2012届高三年级上学期期中练习--数学理

北京市海淀区2012高三二模数 学（理科）2012.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若sin cos 0θθ<，则角θ是 （A ）第一或第二象限角 （B ）第二或第三象限角 （C ）第三或第四象限角 （D ）第二或第四象限角 （2）已知命题p ：0x ∃∈R ，021x =．则p ⌝是 （A ）0x ∀∈R ，021x ≠ （B ）0x ∀∉R ，021x ≠ （C ）0x ∃∈R ，021x ≠（D ）0x ∃∉R ，021x ≠（3）直线11x ty t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为（A ）4-π （B ）4π （C ）2π（D ）34π（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïïï-?ïïï+?íïïïï£ïïî则2x y +的最大值是 （A ）1（B ）5（C ）2 （D ）3（5）已知点12,F F 是椭圆2222x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12PF PF +u u u r u u u u r的最小值是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D）（6）为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（A ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度 （B ）纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度（C ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度（D ）横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度（7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（A ）203（B ）43（C ）6 （D ）4（8）点(,)P x y 是曲线1:(0)C y x x=>上的一个动点，曲线C 在点P 处的切线与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，点O 是坐标原点. 给出三个命题：①PA PB =；②OAB ∆的周长有最小值4+；③曲线C 上存在两点,M N ，使得OMN ∆为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）在面积为1的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则PAB ∆的面积大于等于14的概率是_________． （10）已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++L . 若数列123,,,,(111,)k a a a a k k ＃?Z L 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 . （11）在ABC ∆中，若120A ??，5c =，ABC ∆的面积为，则a = .（12）如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则DCB Ð＝______.（13）某同学为研究函数()1)f x x =＃的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=. 请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象的对称轴是 ；函数()4()9g x f x =-的零点的个数是 .俯视图主视图BEFAB C DP（14）曲线C 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为3的动点P 的轨迹. 则曲线C 与y 轴交点的坐标是 ；又已知点(,1)B a （a 为常数），那么PB PA +的最小值()d a = . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知公差不为０的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式. (16)（本小题满分14分）如图所示，PA ^平面ABC ，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，30CBA??，2PA AB ==，点E 为线段PB 的中点，点M 在»AB 上，且OM ∥AC ． （Ⅰ）求证：平面MOE ∥平面P AC ；（Ⅱ）求证：平面P AC ^平面PCB ；（Ⅲ）设二面角M BP C --的大小为θ，求cos θ的值．(17)（本小题满分13分）某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A ,B 两个项目可供选择： (1)投资A 项目一年后获得的利润X且X 1的数学期望E (X 1)=12；(2)投资B 项目一年后获得的利润X 2(万元)与B 项目产品价格的调整有关， B 项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0< p <1)和1-p . 经专家测算评估:B 项目产品价格一年内调整次数X (次)与X 2的关系如下表所示：（Ⅱ）求X 2的分布列；（Ⅲ）若E (X 1)< E (X 2)，则选择投资B 项目，求此时 p 的取值范围.(18)（本小题满分13分）ME BOCAP已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且点(1,2-在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分14分）已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+； （Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值.（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln 0.5945≈≈≈）(20)（本小题满分13分）将一个正整数n 表示为12(*)p a a a p +++?N L 的形式，其中*i a ÎN ，1,2,,i p =L ，且p a a a ≤≤≤Λ21，记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故5)4(=f ）.（Ⅰ）写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；（Ⅱ）对任意正整数n ，比较)1(+n f 与)]2()([21++n f n f 的大小，并给出证明； （Ⅲ）当正整数6≥n 时，求证：134)(-≥n n f ．海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．05一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.最新整理二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）12（10）６（11（12）45°（13）12x=；2（14）(0,±；1.41,4, 1.41,2,1 1.a aa aa aìï??ïïï+-<?íïï--<<ïïïî或注：（13）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a的公差为0d¹.因为346S a=+，所以11323362da a d创+=++. ①……………………………………3分因为1413,,a a a成等比数列，所以2111(12)(3)a a d a d+=+. ②……………………………………5分由①，②可得：13,2a d==. ……………………………………6分所以21na n=+.……………………………………7分（Ⅱ）由21na n=+可知：2(321)22nn nS n n++?==+.……………………………………9分所以11111()(2)22nS n n n n==-++. ……………………………………11分所以123111111n nS S S S S-+++++L11111111111()2132435112n n n n=-+-+-++-+--++L21111135()212124(1)(2)n nn n n n+=+--=++++.所以数列1{}nS的前n项和为2354(1)(2)n nn n+++.最新整理……………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以 OE ∥PA . ……………………………………1分 因为 PA Ì平面PAC ，OE Ë平面PAC ，所以 OE ∥平面P AC . ……………………………………2分因为 OM ∥AC ， 因为 AC Ì平面PAC ，OM Ë平面PAC ，所以 OM ∥平面P AC . ……………………………………3分因为 OE Ì平面MOE ，OM Ì平面MOE ，OE OM O =I ，所以 平面MOE ∥平面P AC . ………………………………………5分（Ⅱ）证明：因为 点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以 90ACB??，即BC AC ⊥.因为 PA ^平面ABC ，BC Ì平面ABC ， 所以PA BC ⊥. ……………………………………7分因为 AC Ì平面PAC ，PA Ì平面PAC ，PA AC A =I ，所以 BC ^平面PAC . 因为 BC Ì平面PBC ，所以 平面P AC ^平面PCB . ……………………………………9分（Ⅲ）解：如图，以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴，CB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 因为 30CBA??，2PA AB ==，所以2cos30CB =?1AC =.延长MO 交CB 于点D . 因为 OM ∥AC ，所以131, 1,2222MD CB MD CD CB ^=+===.最新整理所以 (1,0,2)P ，(0,0,0)C，B，3(,,0)22M . 所以 (1,0,2)CP =u u u r，CB =u u u r.设平面PCB 的法向量(,,)=x y z m .因为 0,0.CP CBìï?ïíï?ïîu u u r u u u r m m所以(,,)(1,0,2)0,(,,)0,x y z x y z ì?ïïíï?ïî即20,0.x z ì+=ïïíï=ïî令1z =，则2,0x y =-=.所以 (2,0,1)=-m . ……………………………………12分 同理可求平面PMB 的一个法向量n ()=.……………………………………13分 所以 1cos ,5⋅==-⋅m n m n m n . 所以 1cos 5θ=. ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.a b a b ++=⎧⎨+⨯+=⎩解得：0.5,0.1a b ==. ……………………………………3分 （Ⅱ）X 2 的可能取值为4.12,11.76,20.40.()[]2 4.12(1)1(1)(1)P X p p p p ==---=-，()[]22211.761(1)(1)(1)(1)P X p p p p p p ==--+--=+-，()220.40(1)P X p p ==-.所以X 2的分布列为:（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：()2224.12(1)11.76(1)20.40(1)E Xp p p p p p ⎡⎤=-++-+-⎣⎦211.76p p =-++. ……………………………………11分因为E (X 1)< E (X 2)，所以21211.76p p <-++.最新整理所以0.40.6p <<.当选择投资B 项目时，p 的取值范围是()0.4,0.6.……………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意知：1c =.根据椭圆的定义得：22a =，即a = ……………………………………3分 所以 2211b =-=.所以 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. ……………………………………4分 （Ⅱ）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率为0时，(A B .则7,0)(,0)16m m ?=-. 解得 54m =?. ……………………………………6分 当直线l的斜率不存在时，(1,(1,22A B -.由于557(1,(1,424216+?-?，所以54m ?. 下面证明54m =时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r 恒成立.……………………………………8分显然 直线l 的斜率为0时，716QA QB ⋅=-u u u r u u u r .当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y .由221,21x y x ty ìïï+=ïíïï=+ïî可得：22(2)210t y ty ++-=. 显然0∆>.1221222,21.2t y y t y y t ìïï+=-ïï+ïíïï=-ïï+ïî……………………………………10分最新整理因为 111x ty =+，221x ty =+，所以 112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?=--+ 2121211(1)()416t y y t y y =+-++2221121(1)24216t t t t t =-+++++ 22222172(2)1616t t t --+=+=-+.综上所述：在x 轴上存在点5(,0)4Q ，使得716QA QB ⋅=-u u u r u u u r恒成立. ……………………………………13分 (19)（本小题满分14分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(,)a +∞.2(1)'()1a x a xf x x x a x a-++=-+=--. ……………………………………1分令'()0f x =，0x =或+1x a =.当10a -<<时，+10a >，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)a +，单调递减区间是(,0)a 和(1,)a ++?.……………………………………3分当1a =-时，2'()01x f x x -=≤+. 所以，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+?. ……………………………………4分 当1a <-时，+10a <，函数()f x 与'()f x 随x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)a +，单调递减区间是(,1)a a +和(0,)+?.最新整理……………………………………5分（Ⅱ）证明：当12(ln21)0a -<<-<时，由（Ⅰ）知，()f x 的极小值为(0)f ，极大值为(1)f a +.因为(0)ln()0f a a =->，2211(1)(1)(1)(1)022f a a a a +=-+++=->，且()f x 在(1,)a ++?上是减函数，所以()f x 至多有一个零点. ……………………………………7分 又因为211(2)ln 2[2(ln 21)]022f a a a a a a +=--=---<， 所以 函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+.……………………………………9分（Ⅲ）解：因为412(ln 21)5-<-<-， 所以 对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=由(Ⅱ)可知：1[0,1)x a ∈+，20(1,]x a x ∈+，且21x ≥. ……………………………………10分因为 函数()f x 在[0,1)a +上是增函数，在(1,)a ++?上是减函数，所以 1()f x (0)f ≥，2()f x (1)f ≤. ……………………………………11分 所以 12()()(0)(1)f x f x f f -?.当45a =-时，1(0)(1)ln()12a f f a a -=--=491ln 542->0. 所以 12()()(0)(1)0f x f x f f -?>. ……………………………………13分所以 21()()f x f x -的最小值为491(0)(1)ln 542f f -=-. 所以 使得21()()f x f x m -≥恒成立的m 的最大值为491ln 542-.……………………………………14分(20)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以3)3(=f ．因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1， 所以7)5(=f ． ……………………………………3分 （Ⅱ）结论是)1(+n f )]2()([21++≤n f n f . 证明如下：由结论知，只需证).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f最新整理. 因为21≥+n ，把1+n 的一个表示法中11a =的1a 去掉，就可得到一个n 的表示法；反之，在n 的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个1n +的表示法，即1+n 的表示法中11a =的表示法种数等于n 的表示法种数，所以)()1(n f n f -+表示的是1+n 的表示法中11a ¹的表示法数，)1()2(+-+n f n f 是2n +的表示法中11a ¹的表示法数．同样，把一个11a ¹的1+n 的表示法中的p a 加上1， 就可得到一个11a ¹的2n +的表示法，这样就构造了从11a ¹的1+n 的表示法到11a ¹的2+n 的表示法的一个对应.所以有).1()2()()1(+-+≤-+n f n f n f n f ……………………………………9分 （Ⅲ）由第（Ⅱ）问可知：当正整数6m ³时，()(1)(1)(2)(6)(5)f m f m f m f m f f --?--吵-L . 又,7)5(,11)6(==f f 所以 ()(1)4f m f m --?. *对于*式，分别取m 为n ,,7,6Λ，将所得等式相加得)5(4)5()(-≥-n f n f .即134)(-≥n n f ． ……………………………………13分。

2024北京海淀高三（上）期中数 学2024.11本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b a a b > （D ）2b aa b+> （4）已知sin ()cos x f x x =，则π()4f '= （A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学2024.11本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|01}A x x x =≤>或，{2,0,1,2}B =−，则AB =（A ）{2,2}−（B ）{2,1,2}− （C ）{2,0,2}−（D ）{2,0,1,2}−（2）若复数z 满足i 1i z ⋅=−，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i +（3）若0a b <<，则下列不等式成立的是（A ）22a b < （B ）2a ab < （C ）b aa b> （D ）2b a a b +>（4）已知sin ()cos xf x x=，则π()4f '（A ）1 （B ）2 （C ）1−（D ）2−（5）下列不等式成立的是（A ）0.3log 0.21< （B ）0.20.31< （C ）0.2log 0.30<（D ）0.30.21>（6）若2,,()23,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩为增函数，则a 的取值范围是（A ）[1,)+∞（B ）[3,)+∞（C ）[1,3]−（D ）(,1][3,)−∞−+∞（7）若向量(,1)x =a ，(1,)y =−b ，则下列等式中，有且仅有一组实数,x y 使其成立的是（A ）0⋅=a b （B ）||||2+=a b （C ）||||=a b （D ）||2+=a b（8）大面积绿化增加了地表的绿植覆盖，可以调节小环境气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图. 假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误．．的是（A ）由上图推测，甲地的绿化好于乙地（B ）当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （C ）当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 （D ）当日比存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相等（9）设无穷等差数列的前项积为n T . 若10a <，则“n T 有最大值”是“公差0d ≥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）已知数列{}n a 满足1(1)n n n a ra a +=−（1,2,3,n =），1(0,1)a ∈，则（A ）当2r =时，存在n 使得1n a ≥ （B ）当3r =时，存在n 使得0n a <（C ）当3r =时，存在正整数N ，当n N >时，1n n a a +> （D ）当2r =时，存在正整数N ，当n N >时，112024n n a a +−<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市海淀区2012届高三第二学期期中练习试题数 学（文科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合2{|1}A x x ，{|(2)0}B x x x ，那么A B =（A ）（B ） {1} （C ）{1} （D ）{1,1}（2）在等比数列{}n a 中，26a ，318a ，则1234a a a a =（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）80（3）已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与b 垂直，则||b =（A ）1 （B 2 （C ）2 （D ）4（4）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 （A ）34150x y （B ）34150x y （C ）43200xy（D ）43200xy（5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（6）若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）02n n =31n n =+开始 n =5，k =0 n 为偶数n =1输出k 结束k =k +1 是 否是否（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a （B ）2a （C ）22a（D ）2a或2a（8）在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC 的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1i在复平面内所对应的点的坐标为 . （10）若tan 2α，则sin2α= .（11）以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .（12已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .（13）设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 . （14）已知函数1,,()0,.x f x xRQ Q 则()______f f x ；下面三个命题中，所有真命题的序号是 .A'B'C'D'ABCD 22俯视图2① 函数f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f xT f x 对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x xπ. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c . 已知3()2f A ，3a b ，试判断ABC ∆的形状.（16）（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.频率/组距0.0065O(17)（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线BD 翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EMF ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当EF AB ⊥时，求线段AC 1 的长．(18)（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分13分）已知椭圆:C 2222 1 (0)x y a b a b+=>>的右顶点(2,0)A ，，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求DE AP的取值范围.（20）（本小题满分14分）ABCD图1M FEABC 1D图2对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()Card X A Card X B ∆+∆取得最小值时， 2X ；（ⅱ）求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值.参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.[来 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）(1,1) （10）45（11）22(4)(4)25x y（12（13）(10,20) （14）1 ①②③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π13sin sin cos 22x x x ………………………………………2分 33sin cos 22x x313sin cos22x x 3sin()6xπ. ………………………………………4分 由22,262k x k k πππππZ ，得：222,33k x k k ππππZ .所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ，k Z .………………………………………6分（Ⅱ）因为 3()2f A ，所以3)62Aπ.所以1sin()62A π. ………………………………………7分因为 0A π，所以5666Aπππ. 所以 3Aπ. ………………………………………9分 因为 sin sin a bA B，3ab ， 所以 1sin 2B . ………………………………………11分因为 a b ，3A π，所以 6B π.所以 2C π.所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分(16)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x . ………………………………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12.………………………………………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………13分(17)（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ………………………………………2分 又FM ⊂平面EMF ，BD ⊄平面EMF ,所以//BD 平面EMF ． ………………………………………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点,则AC BD ⊥． ………………………………………5分 所以 在三棱锥1C ABD 中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C OAO O =所以 BD ⊥平面1AOC ． ………………………………………7分O M FEABC 1D又 1AC ⊂平面1AOC ，所以 BD ⊥1AC ． (9)分（Ⅲ）连结1,DE C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠=，所以 ABD ∆是等边三角形.所以 DA DB =． ………………………………………10分因为 E 为AB 中点，所以 DE AB ⊥．又 EF AB ⊥，EF DE E =．所以 AB ⊥平面DEF ，即AB ⊥平面1DEC ．………………………………………12分又 1C E ⊂平面1DEC ，所以 AB ⊥1C E ． 因为 ,4AEEB AB，1BC AB ，所以 114AC BC ==． ………………………………………14分 (18)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'()a x af x x x x-+=-=. ………………………………………2分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <.所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………………………………3分当0a >时，令'()0f x =得x a =x a =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：x (0,)aa(,)a +∞'()f x-M FEABC 1D()f x↗ 极大值 ↘所以 ()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,)a +∞.………………………………………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是(0,)a ，单调递减区间是(,)a +∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………7分当0a >时，① 当1a ≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤. ………………………………………10分② 当1a >，即1a >时，()f x 在[1,)a 上单调递增， 所以 ()(1)f a f >.又 (1)0f =，所以 ()0f a >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾.………………………………………12分[来综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0,1]-∞.………………………………………13分（19）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =.又32c a =，所以 3c =. 所以 222431b a c =-=-=.所以 椭圆C 的方程为2214x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）当直线AP 的斜率为0时，||4AP =，DE 为椭圆C 的短轴，则||2DE =.所以||1||2DE AP =. ………………………………………5分 当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ，则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分 由 22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41k x k +=+所以 20282.41k x k =+-………………………………………8分所以 2222000||(2)(0)(1)(2)AP x y k x =-+-=+-.即 2241||41k AP k +=+. 类似可求221||44k DE k +=+.所以22222214||414.||41441k DE k k AP k k k +++==+++………………………………………11分 设24,t k =+则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||DE t t t AP t t-+-==> 令2415()(2)t g t t t -=>，则22415'()0t g t t+=>. 所以 ()g t 是一个增函数.所以 2||41544151||22DE t AP t -⨯-=>=. 综上，||||DE AP 的取值范围是1[,)2. ………………………………………13分（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）设当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，XW . （ⅰ）证明：假设2W ，令{2}Y W =.那么 ()()Card Y A Card Y B ∆+∆()1()1Card W A Card W B =∆-+∆-()()Card W A Card W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W ，即当()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值时，2X .………………………………………7分 （ⅱ）同（ⅰ）可得：4W 且8W .若存在a X 且a A B ，则令{}X Z a =.那么()()Card Z A Card Z B ∆+∆ ()1()1Card X A Card X B =∆-+∆-()()Card X A Card X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B . 若a A B 且a A B ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()Card X A Card X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4.………………………………………14分。

第 1 页（共 7 页）海淀区2024—2025学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）A （3）D （4）B （5）B （6）B（7）B（8）C（9）A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）1 （12（13）21,33（14）ππ[,),262（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（本小题13分） 解：（Ⅰ）当2≥n 时，1132−−⨯=−=n n n n S S a ，因为}{n a 是等比数列，所以21=a . 又因为b S a +==311，所以1−=b ； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知132−⨯=n n a ，因为62=a ，且9222=+nn a a ，{ 或者1269n n a −=⨯} 所以}{2n a 是以6为首项，9为公比的等比数列； 242()[13(21)]n n T a a a n =+++++++−2219196n n n ⋅+−−⨯=2)19(43n n +−=.第 2 页（共 7 页）（17）（本小题14分） 解：（Ⅰ）条件①()sin 2cos2f x A x x =+，所以π7πππ7π7π()()sin cos sincos 04122266f f A A +=+++=，所以02A A −=.解得A =条件②：()sin 2cos2f x A x x =+,所以()f x 的图象向右平移π12后所得图象关于原点对称. 所以π()012f −=，即ππsin()cos()0662A A −+−=−+=，计算得A =经验证：A =条件③：()sin2cos2f x A x x =+,所以()()2f x x ϕ+ 其中1πtan ,(0,)2A ϕϕ=∈ . 由题意可知max min |()()|4f x f x −=2=， 因为0A >，所以A =（Ⅱ） ()cos2f x x x +π2sin(2)6x =+ 当ππ22π,Z 62x k k +=+∈时()f x 取得极大值,即 ππ,Z 6x k k =+∈.因为()f x 在(0,)m 上有且仅有两个极大值点,所以0,1k =符合题意,第 3 页（共 7 页）所以7π13π(,]66m ∈. （18）（本小题14分）解：（Ⅰ）2222()e ()e 2e ()e ()(e )e x x x xx xx a x a x x a f x '−⋅−−⋅⋅−−⋅'== 22exx x a −++= 依题意(0)3,(0),f f k =−⎧⎨'=⎩ 解得3a k ==. （Ⅱ）由（Ⅰ）得23()exx f x −=. 法一：223(1)(3)()e ex xx x x x f x −++−+−'==， 令()0f x '=，解得1x =−或3，'(),()f x f x 的变化情况如下表：由表格可知，()f x 有极小值(1)2e f −=−， 因为当(3,)x ∈+∞时，()0f x >， 所以()f x 最小值为2e −.法二：23()exx f x −=，因为e 0x >， 要求()f x 最小值，只需考虑(x ∈，第 4 页（共 7 页）223(1)(3)()e ex xx x x x f x −++−+−'== 令()0f x '=，解得1x =−或3，(),()f x f x '随x 变化如下表：由表格可知，()f x 有极小值(1)2e f −=−， 此时，极小值即为最小值，所以()f x 有最小值2e −.（19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为cos 0BAC ∠>， 所以BAC ∠为锐角，所以sin BAC ∠ 在△ABC 中，sin sin AC BCABC BAC =∠∠，所以sin sin BC ABCAC BAC∠==∠ 3<，所以A 处工作人员用对讲机能与C 处工作人员正常通话. （II ）方法一：由余弦定理，2222cos AD AC CD AC CD ACD =+−⋅⋅∠=74223+−=， 因为222347AD CD AC +=+==，所以AD 的长为点A 与直线PQ 上所有点的距离的最小值，所以D 点选址符合要求. 方法二：假设PQ 上的E 点接收景点入口A 处对讲机的信号最强，则AE PQ ⊥，所以cos2CE AC ACD=⋅∠=，所以D点选址符合要求.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）()f x的定义域为(,)a+∞.22(31)22(2)[(1)]'()(21)a x a x a a x a x af x x ax a x a x a−+++−−+ =+−+==−−−，因为4是()f x的极大值点，所以'(4)0f=，即(42)(3)0a a−−=，解得2a=或3a=.当2a=时，当x变化时，'(),()f x f x的变化情况如下表：此时4是()f x的极小值点，不符合题意.当3a=时，当x变化时，'(),()f x f x的变化情况如下表：此时4是()f x的极大值点，符合题意.因此，3a=，此时(4)20f=−.（Ⅱ）（1）01a<<时，当x变化时，'(),()f x f x的变化情况如下表：第5 页（共7 页）第 6 页（共 7 页）2(2)ln 220f a a a a a =−−<，因此(,1]x a a ∈+时，()0f x <.又(42)0f a +>，因此()f x 在(1,)a ++∞上有且仅有一个零点. 因此()f x 的零点个数是1.（2）当1a =时，对任意1x >，'()0f x ≥，()f x 在(1,)+∞上是增函数.又(2)0,(6)0f f <>，因此()f x 的零点个数是1. （3）当1a >时，当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：(1)()(1)022f a a a +=−−+<，因此(,2]x a a ∈时，()0f x <.又(42)0f a +>，因此()f x 在(2,)a +∞上有且仅有一个零点. 因此()f x 的零点个数是1.综上，0a >时，()f x 的零点个数是1. （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）1,1,1,3a b c d ====. （Ⅱ）不可以，理由如下：由题可知每次变换T ，数表中所有数的和增加或减少5.因为A中所有数的和为0，所以其经过有限次变换T后各数和为5的倍数.而B中所有数的和为9，不符合，故无法通过有限次变换T，将A变换为B.（III）可以，且k的最小值为400.当所选,{1,2,,10}i j ∈时，所有加1的变换T与减1的变换T次数之差设为x；当所选11i=且{1,2,,10}j ∈或者{1,2,,10}i ∈且11j=时，所有加1的变换T与减1的变换T次数之差设为y；当所选11i j==时，加1的变换T与减1的变换T次数之差设为z.考虑变换T对上述三部分各数之和的影响，可知1910100, 21020200,100,x yx y zy z+=⎧⎪++=−⎨⎪+=⎩解得：100,200,100, xyz=−⎧⎪=⎨⎪=−⎩所以||||||400k x y z≥++=.其中符合题意的400次变换T构造如下：当所选,{1,2,,10}i j ∈时，各进行一次减1的变换T；当所选11,{1,2,,10}i j=∈或{1,2,,10},11i j∈=时，各进行10次加1的变换T；当所选11i j==时，进行100次减1的变换T.第7 页（共7 页）。

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学 （文）参考答案及评分标准 2012．11说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分）解：（I ）因为在直角A B C ∆中，3,4A C B C ==，所以5,A B = ………………1分所以3cos 5A =………………3分在A C D ∆中，根据余弦定理2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅ ………………6分所以2223332335CD =+-⋅⋅⋅所以5C D =………………8分（II ）在B C D ∆中，3sin 5B =………………9分根据正弦定理sin sin BC CD BD CB=∠∠ ………………12分把4B C =，5C D =代入，得到sin 5B DC ∠= ………………13分16.（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩ ………………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22nn a a n n S n +-==………………9分令(13)72n n n ->-，即215140n n -+>………………11分解得1n <或14n > 又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ………………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2sin cos(2)2f x x x =-+22sin sin 2x x =+………………2分1cos 2sin 2x x =-+………………4分πs i n (2)14x =-+………………6分所以πππ())11844f =-+= ………………7分（Ⅱ）因为π())14f x x =-+所以2ππ2T == ………………9分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π+22k k -（）() Z k ∈，………………10分 所以令πππ2π22π242k x k -<-<+， ………………11分解得π3πππ88k x k -<<+………………12分所以函数()f x 的单调增区间为π3π(π,π)88k k -+() Z k ∈，………………13分18.（本小题满分13分）解：（I ）作PQ AF ⊥于Q ，所以8,4PQ y EQ x =-=- ………………2分 在ED F ∆中，E Q E F P QF D=所以4482x y-=- ………………4分所以1102y x =-+，定义域为{|48}x x ≤≤ ………………6分(II) 设矩形B N P M 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当[4,8]x ∈，()S x 单调递增 ………………11分 所以当8x =米时，矩形B N P M 面积取得最大值48平方米 ………………13分19. （本小题满分14分）解：（I ）因为2()f x x a =-' ………………2分当1x =时，()f x 取得极值，所以(1)10f a =-=', 1a = ………………3分 又当(1,1)x ∈-时, ()0,f x <'(1,)x ∈+∞时,()0,f x >' 所以()f x 在1x =处取得极小值，即1a =符合题意 ………………4分(II) 当0a ≤时，()0f x >'对(0,1)x ∈成立， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，()f x 在0x =处取最小值(0)1f = ………………6分当0a >时，令2()0f x x a =-='，12x x == ………………7分当01a <<时，1x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减x ∈时，()0,f x >'()f x 单调递增所以()f x 在x =13f =-………………9分当1a ≥1≥(0,1)x ∈时, ()0,f x <'()f x 单调递减 所以()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =- ………………11分综上所述，当0a ≤时，()f x 在0x =处取最小值(0)1f =当01a <<时，()f x 在x =13f =-当1a ≥时，()f x 在1x =处取得最小值4(1)3f a =-.(III)因为R m ∀∈，直线y x m =-+都不是曲线()y f x =的切线，所以2()1f x x a =-≠-'对R x ∈成立， ………………12分 只要2()f x x a =-'的最小值大于1-即可， 而2()f x x a =-'的最小值为(0)f a =- 所以1a ->-，即1a < ………………14分20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为2=1+1,4=2+2,6=2+4,所以{1,2,4,6}具有性质P ………………2分因为不存在,{1,3,4,7}i j a a ∈，使得3i j a a =+所以{1,3,4,7}不具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ，所以对4a 而言，存在12,{,,,}i j n a a a a a ∈⋅⋅⋅，使得 4i j a a a =+ 又因为12341<<<<, 4n a a a a a n =⋅⋅⋅≥所以3,i j a a a ≤，所以432i j a a a a =+≤ ………………6分 同理可得322a a ≤，212a a ≤ 将上述不等式相加得234123++2(++)a a a a a a ≤所以41232++a a a a ≤………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a a a ≤≤，又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤< 所以8n ≥构造数集={1,2,4,5,9,18,36,72}A （或={1,2,3,6,9,18,36,72}A ），经检验A 具有性质P ，故n 的最小值为8 ………………14分。

海淀区高三年级第一学期期中练习（答案）数学(理科) 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

ACBC BBDC二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210.5(1)2n -11. a b c >>12.2π3,π613.2λ>14.14；6(31)n - 说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A = 和ABC S ∆=1sin602bc = 分所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =2sin B =，-----------------12分所以sin B =.------------------------------------13分 16. （本小题满分14分）解：（I ）π()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分sin 4x x +------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分（II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x +≤， -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[. ------------------------------------14分 17.（本小题满分13分）解：（I ）由已知11,AH t PH =- -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分（II ）解法1. 1'()(11)2f t t =⨯-= -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况如下：------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 8.------------------------------------13分 18.（本小题满分13分）解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =.-------------------------------4分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------8分 （III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，------------------------------9分 易得数列1{4},{2}n n +分别是公比为4和2的等比数列，由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分（说明：未舍12a =-扣1分，若以下正确，给一半分；三个求和公式各1分，化简结果1分）19.（本小题满分14分）解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分(1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分 (II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>,由'()0f x =得12,1x a x ==, ----------------------------5分 ①当01a <<时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞； -----------------------8分 ③当1a >时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：分 (III ）①当01a <≤时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上单调递增，所以()f x 最大值是(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤，解得2e 2e2e 2a -≥-， ----------------------------11分所以2e 2e 12e 2a -≤≤-；②当1a >时，由（II ）可知，()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f ，所以满足题意需且仅需(e)0f ≤且(1)0f ≤，解得12a ≥-且2e 2e2e 2a -≥-；------13分所以2e 2e2e 2a -≥-；所以，当2e 2e2e 2a -≥-时，满足()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立.--------------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3.--------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+；所以3123k k a a +≤+，所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分（III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21. --------------------------------------9分由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ . 下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项： 按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-，所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-，所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列，所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分 说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（理科） 2012.04 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合，，且，那么的值可以是 （A） （B） （C） （D） （2）在等比数列中，，则=（A）（B） （C）（D）且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A） （B） （C） （D） （4）已知向量若与垂直则 （B） （C）2 （D）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的值是 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 （6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是 （A）12 （B）24 （C）36 （D）48 （7）已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D）或 （8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为 （A）0 （B）3 （C）4 （D）6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数= . （10）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若，则= . （12）设某商品的需求函数为，其中分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性大于1（其中，是的导数），则商品价格的取值范围是 . （13）如图，以的边为直径的半圆交于点，交于点，于点，，，那么=，=. （14）已知函数则 （）=； （）给出下列三个命题： ①函数是偶函数； ②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形. 其中，所有真命题的序号是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 在中，角，，的对边分别为，且，， 成等差数列. （Ⅰ）若，，求的值； （Ⅱ）设，求的最大值. (16)（本小题满分14分） 在四棱锥中，//，，，平面，. （Ⅰ）设平面平面，求证：//； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． (17)（本小题满分13分） 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，. （）的值； （Ⅱ） （），求的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） (18)（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. (19)（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为， 为椭圆的上顶点，且. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示. （）证明：; （）求四边形的面积的最大值. (20)（本小题满分14分） 对于集合M，定义函数对于两个集合M，N，定义集合. 已知，. （Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合； （Ⅱ）用Card(M)表示有限集合M所含元素的个数，求的最小值； （Ⅲ）有多少个集合对（P，Q），满足，且？ 海淀区高第学期期练习 学参考答案及评分标准 2012．题号1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 （10）（11） （12） （13）60° （14） ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为成等差数列， 所以. 因为， 所以. ………………………………………2分 因为，，， 所以. ………………………………………5分 所以或（舍去）. ………………………………………6分 （Ⅱ）因为， 所以 . ………………………………………10分 因为， 所以. 所以当，即时，有最大值. ………………………………………13分 (16)（本小题满分14分） （Ⅰ）证明： 因为//，平面，平面， 所以//平面. ………………………………………2分 因为平面，平面平面， 所以//. ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为平面，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，. ………………………………………5分 所以 ，， ， 所以， . 所以 ，. 因为 ，平面， 平面， 所以 平面. ………………………………………9分 （Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为. 所以 . 所以 . 所以 即. 所以 . ………………………………………11分 由（Ⅱ）知平面的一个法向量为. ………………………………………12分 因为 ， 所以 . 解得 . 所以 . ………………………………………14分 (17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ） . 所以 . ………………………………………2分 （）， ………………………………………4分 因为， 所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. ………………………………………6分 （） 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为， , , ,, . 所以的分布列为： 01234………………………………………12分 .（或） 所以的数学期望为1. ………………………………………13分 (18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）的定义域为. ， 即 . ………………………………………2分 令，解得：或. 当时，，故的单调递增区间是. ………………………………………3分 当时， ，随的变化情况如下： 极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………………………………………5分 当时， ，随的变化情况如下： 极大值极小值所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………………………………………7分 （Ⅱ）当时，的极大值等于. 理由如下： 当时，无极大值. 当时，的极大值为， ………………………………………8分 令，即 解得 或（舍）. ………………………………………9分 当时，的极大值为. ………………………………………10分 因为 ，， 所以 . 因为 ， 所以 的极大值不可能等于. ………………………………………12分 综上所述，当时，的极大值等于. ………………………………………13分 (19)（本小题满分13分） （Ⅰ）解：设椭圆的标准方程为. 因为，， 所以. 所以 . ………………………………………2分 所以 椭圆的标准方程为. ………………………………………3分 （Ⅱ），，，. （）证明：由消去得：. 则， ………………………………………5分 所以 . 同理 . ………………………………………7分 因为 , 所以 . 因为 ， 所以 . ………………………………………9分 （）解：由题意得四边形是平行四边形，设两平行线间的距离为,则 . 因为 ， 所以 . ………………………………………10分 所以 . （或） 所以 当时， 四边形的面积取得最大值为. ………………………………………13分 (20)（本小题满分14分） 解：（Ⅰ），，. ………………………………………3分 （Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则. 所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素. 所以 当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，取到最小值4.………………………………………8分 （Ⅲ）因为 ， 所以 . 由定义可知：. 所以 对任意元素，， . 所以 . 所以 . 由 知：. 所以 . 所以 . 所以 ，即. 因为 ， 所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为. ………………………………………14分 北京利德智达文化发展有限公司 否 是 否 是 k=k+1 结束 输出k n=1 n为偶数 n=5，k=0 开始。