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理科数学高三年级期中考试试题参考答案
1-4、BDAD ；5-8、CBAC ；9-12、DCBC ；13、10-；14、3；15、1+=ex y ；16、]22[，
-； 17．⑴ 易知：0,a ≠由题设可知()31,1,1122 1.2 2.1.
n d a a
a n n d d a ⎧
+=⎪=⎧⎪∴∴=+-⋅=-⎨⎨=⎩⎪⋅=⎪⎩
………6分
⑵ 由（I ）知2232-+=n b n
n ，
∴)22420()333(242-++++++++=n T n
n
n n n n n n -+-=⨯-++--=
2)19(8
9
222091)91(9 ………12分 18.⑴)6
2sin(2cos 2cos 212sin 231cos 2)6
2sin()(2π
π
+=+-=
-+-
=x x x x x x f ； ∴)(x f 的最小正周期ππ
==2
2T ； 由
)(2236222z k k x k ∈+≤
+
≤+πππ
ππ；解得)(3
26z k k x k ∈+≤≤+ππππ
∴)(x f 的单调递减区间为)](3
2,6[z k k k ∈++ππ
ππ。 ………6分
⑵由2
1)62sin()(=+=πx A f ，),0(π∈A ，得3π
=A
又9cos ||||=⋅=⋅A AC AB AC AB ，∴18=bc 又c a b ,,成等差数列，∴c b a +=2
由余弦定理得bc c b A bc c b a 3)(cos 22
2
2
2
-+=-+=，解得23=a
ABC ∆周长为29=++c b a ………12分 19.⑴由列联表可知，
2
2
200(70406030) 2.19813070100100
K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.
∵2.198 2.072>，
∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分 ⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有60
106100
⨯=（人）
， 偶尔或不用共享单车的有40
104100
⨯
=（人）. 则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为213
64633
10102
3
C C C P C C =+=. …………8分
②由22⨯列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为13013
20020
=
， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，
恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为1320
. 由题意得)20
13,10(~B X ，∴1313()10202E X =⨯=；13791
()10202040D X =⨯⨯=
. …………12分 20.⑴在直三棱柱中1CC AB ⊥，
又1C F AB ⊥，11,C F C C ⊂平面11BCC B ，111CC C F C =，
∴AB ⊥平面11BCC B ，
又∵AB ⊂平面EBA ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC ．· ……………………5分 ⑵由（1）可知AB BC ⊥，
以B 点为坐标原点，BC 为X 轴正方向，BA 为Y 轴正方向，1BB 为Z 轴正方向，建立坐标系．设 1AA a =，()000B ，，，()200C ，，，()020A ，，，()100B a ，，，()120C a ，，，()102A a ，，， ()11E a ，，，()100F ，，，· ……………………6分 直线1FC 的方向向量()10a =，，a ，平面1ACC A 的法向量()110=，，m ，
2a =，· ……………………·8分 ()020BA =，，，()112BE =，，，()200BC =，，， 设平面ABE 的法向量()1x y z =，，n ，
∴20
20y x y z =⎧⎨++=⎩
，∴()1201=-，
，n ，· ……………………10分 设平面CBE 的法向量()2x y z =，，n ， ∴20
20
x x y z =⎧⎨
++=⎩，∴()2021=-，
，n ， ……………………11分 记二面角A BE C --的平面角为θ，1
cos 5
θ=
，
∴sin 5
θ=
∴二面角A BE C --的平面角的正弦值为
5
． ……………………12分
21.⑴函数()f x 的定义域为()-∞+∞,，
()()()
e 1e e e x x x x
f x x kx x kx x k '=+--=-=-， ·········1分 ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．
∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，，单调递增区间是[
)0+∞,； ·········2分 ②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >．
∴()f x 在()ln k -∞,和()0+∞,上单调递增，在[]
ln 0k ,上单调递减； ·········3分 ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在()-∞+∞,上单调递增；· ········4分
④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在()0-∞，和()ln k +∞,上单调递增，在 []
0ln k ,上单调递减． ·········5分 ⑵()01f =-， ①当01k <≤时，
由（1）知，当()0x ∈-∞,时， ()()()()()2
2max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--
=--+<⎣
⎦，
此时()f x 无零点， ·········6分 当[
)0x ∈+∞,时，()2
2
2e 2e 20f k =-≥->．
又∵()f x 在[)0+∞,上单调递增，∴()f x 在[
)0+∞,上有唯一的零点，
∴函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点；· ········7分 ②当1k >时，
由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，
()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；· ········8分 当[
)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，
()()()22
11
111e e 22k k k k k f k k k ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
．
令()21e 2
t
g t t =-，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-，
