考研数学强化班讲义参考答案(李铮)

超越考研强化班讲义高等数学部分同步练习解答第一章 函数、极限与连续练习11.解：当0x <时，()10f x =>，从而[()]1f f x =-； 当0x =时，(0)10f =-<，从而[()]1f f x =； 当0x >时，()10f x =-<，从而[()]1f f x =。

于是1,0,[()]1,0.x f f x x -<⎧=⎨≥⎩2.因为对任意大的正数M ，总存在点1(0,1)2([]1)2M x M ππ=∈++，使得()2([]1)2M f x M M ππ=++>，故11()sin f x x x=在区间(0,1)上是无界函数。

练习21.解：法1（排除法，特例法）反例1：(1),0n n n x y =-=，排除（A ）; 反例2：0,n n x y n ==，排除（B ）； 反例3：0,(1)nn n x y ==-，排除（C ）。

法2（直接法）1lim lim 000n n n n n ny x y x →∞→∞=⋅=⋅=。

练习31.解：原式2212221(1)lim 1(1)x x x e x e e x --→∞-===+。

2.解：原式2sin cos sin222limlim limcos cos 22x a x a x a x a x a x a x a a x a x a →→→-+-+==⋅=--。

练习41.解：由等价无穷小和重要极限可得原式201sin 12lim 2x x xx →==。

2.11ln[1(1)]lim tanln(2)limsin(1)22sin 2x x xx x x x πππ→→+--=--1121lim (1)2x x x ππ→-=⋅=--，∴原式2e π=。

练习51.解：有理化可得原式002tan tan 1lim 2lim[]1(1tan 1tan )1tan 1tan x x x x x x x x x x →→==⋅=++-++-。

第三章 一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。

则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。

原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。

2．不定积分的性质 设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。

原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。

可导要求比连续高。

⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

考研名师李铮解析2012年考研数学大纲大纲和以往对比没有变化难度也很平衡主持人：大家好，2012年的考研数学大纲已经公布了，我们邀请到了万学海文的考研数学辅导名师李争老师来给我们解析一下2012年的考研数学大纲。

我先介绍一下李铮老师，李争老师是中国著名的考研数学辅导专家，具有多年的考研辅导经验，参加全国高等数学研究生入学考试阅卷工作近二十多年，多年担任阅卷组组长，是上海交通大学数学博士，副教授。

李老师您好。

李铮：你好。

主持人：您给我们说一下2012年的考研数学大纲的高等数学部分和去年相比有什么变化吗？李铮：好的。

我刚拿到大纲仔细对照了我们发现去年的考试大纲和今年的大纲没有变化。

主持人：没有变化在难易程度上有一个什么样的趋势，整体上来说？李铮：就我对考研数学的认识来讲，那么这些年我认为难易程度上趋于平缓。

虽然有可能，比如说去年略微容易一些，可能今年会难度上略有提高，但是总的趋势应该说没有大的变化。

主持人：在命题趋势上是怎样的呢？李铮：命题还是注重于基础，我认为是基础以及并论为主。

高数要先抓基础巩固复习成果主持人：就高等数学部分您能给同学们一些复习建议吗？李铮：我认为我们复习考研来讲，高等数学主要是先抓基础，比如说我们极限部分，因为极限是贯穿我们高等数学的整个一条线，研究方法就是极限。

所以对极限掌握好坏直接影响到我们考研是否成功。

主持人：那还有4个多月的时间，现在是属于考研强化阶段，那对于这期间在考研复习侧重点上有什么变化或者和前一段时间相比您能给出一些建议吗？李铮：这个问题我们是这样想。

我们因为还有4个多个时间，那么理论上前期已经基础或者强化已经上过了，那么在现在阶段里面应该是巩固成果，消化前期已经掌握学习到的知识。

就我的经验来讲，我认为大家应该是善于总结，把老师讲的方法理念灵活的掌握，消化吸收为自己的东西。

然后在解题过程当中如果遇到一些困难的题目，另外方法上我建议可以反思。

因为什么呢？一个题目我们经常讲，一个题目感觉有点困难解不出来，我们寻求其他帮助。

第一章行列式线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。

不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面的知识也用到后面的一些结论。

因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1条主线，2种运算，3个工具。

即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组）。

行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。

但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。

另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。

【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。

【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1.判定方阵是否可逆以及应用公式求逆矩阵；2.判定n个n维向量的线性相关性；3.计算矩阵的秩；4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5.求方阵的特征值；6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。

同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。

在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。

相应知识点精讲一、行列式的定义1.行列式的形式：个数排列成n行、n列，组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如：，称为一个n阶行列式。

其中数称为行列式的元素，横排的一行元素称为行列式的第i行，自上而下计序，共有n行。

竖排的一列元素称为行列式的第j列，自左向右计序，共有n列。

自左上角到右下角倾斜的一列元素称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素称为行列式的次对角线或副对角线。

2.行列式的值：行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。

当一个行列式的元素给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。

2011年考研数学强化班讲义参考答案（李铮）(上册)第一讲 §1、1.[,1]a a --;2.(3,2)(2,1)(1,1]--⋃--⋃-;213.(221)8x x +-22,14.1 5.(())2,10 6.2sin ,0x e x f g x x x x x ⎧<-⎪=-≤≤⎨⎪>⎩周期为；；奇，偶，偶，偶§2、1241111.2;2.1;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.1;33922e e e e ---332322211.(1);(4);(5);(6);(7);(8);62434x x x x xx x121412.;13.;14.;15.;16.(0)1,(0)0,(0);4123f f f ππ'''=-== 12117.2,1;18.,,336a b A B C ==-==-=§3、21.2,;2.3.0,1;4.0(),2();5.0(),1()a b a b x I x II x II x I π==-====±==-连续；第二讲 §1、111.;2.,;3.0,1;4.1,128a b x x a b π======-23cos ,15.();6.1;1111247.(0),(0),(0);8.2()x x f x y x x e ey y y x e e eϕ<⎧'==+⎨>⎩--'''=== 1222229.1;10.0;11.2;12.x d y dy d uy t e dt dt dt-++=+= ; (2)(21)13.(0)0,(0)(1)(2)!k k k f f k +==-(2)(21)1214.(0)0,(0)(1)[(21)!!]k k k f f k +-==--15.0,1,2ααα>>>§3、121.();2.();3.(2),2;4.0,1;5.3;B D y e x y x x x π=-=-==±8.0,k k ≤=第三讲 §1、222212ln 1.2;2.sin ;3.2x xxx e e c x c x c ----+-++ ;4.ln(1)ln(1)x x x e e x e c --++-++ ；5.c -++234116.;7.;11x x dx dx x x±±++⎰⎰28.ln(242)arcsin 2(1)xx x x c x -+-+-+-2ln(1)11119.ln ,1412(1)t t x c t t t t x+-+--+=-++其中 110.(ln sin cos )2x x x c +++ ；211.224242arctan 2x x xe x e e c -----+212.x xec --+13.tan 2xxe c + ;arctan 21114.21x x e c x-++§2、1. 12ln 24-+π; 2. 4π ; 3.122- ;4.2ln 2x5.2ln 8π;6. 4π ;8.244166sin )(ππ-+=x x x f ;9. 22ln )(ex x x f -= 3810.2;11.;12.332ππ-§3、1. )32ln(2++π; 2. ; 3.π/2§4、1. (1)(1,)e ;(2)12e-( 2e );(3)262e ππ-( 26e π)(4) 222111212ln ln 222111e e e ++-+++;2.2,3,3a b c ==-=；3.1[23ln(23)]8-+;4.52π;5.5129,1)2(),32(54)1(4221==-=a a V a V ππ 第四讲一、 1. -3/2 ; 2. 22 ; 3. 30 ; 4. {}2,1,231-± ; 5. /3 ;6. /3 ;二、 1. (1,2,3) ; 2. ⎩⎨⎧=+--=++-072083z y x z y x ; 3. 5/4 ;4. ⎩⎨⎧=+-=-010z x z y ;5. ⎩⎨⎧=-++=-+-026912100143z y x z y x ; 6.x-y-z -3=0（下册）第五讲1.32.343.(2ln 21);4.;dx dy z -++；；(22)(23)5.14x g dx y g dydz g ''-++='+ 21222111122212222216.11[()2]2[()2]z f y f x yz x x f f f xy yf y f f xy x y y y y y∂''=+∂∂''''''''''=-+-+⋅++-+⋅∂∂1117.(0,0),(0,0),(0,0);339x y xy z z z ==-=-8.x t t x y t t F f F f dy dx F f F ''''⋅-⋅=-'''⋅+;9. z uz u =∂∂;12.min 1f e =-;13.min max 2,3f f =-=. 偏导数在几何上的应用1. a =-5,b =-2 ;2.(C);min 113.(,,2),822f = 4. 22(1)(,)(2)(2)(2)(5,5),(5,5)g x y y x x y =-+--- 第六讲1.122002(1)(,),(2)(,)xyy x dx f x y dy dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰;2. 221220010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dx -+⎰⎰⎰⎰; 3. 2222111142400111(,)(,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ----+-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. e e 2183- ; 5.2121-+-e ;6.21(1)2a e -;7. (A) ; 8. -2/5 ; 9.458;10.18;11.19ln 24+;12. 5/3+/2 ; 13.2;2π-14. 2224(,)1()33f x y x y ππ=---- ;18.2(0)3f π';19. 2a 2第七讲一、1. (D) ; 2. (C) ;12623.;4.()cy x ye x y y c +-==+;5. cx xy=2sin ; 6. 3sin arcsin 3y x x y c x ++= ;7. )12(2+x e x; 8.2212y x y += ; 9. 036,v kl x l y ==时当 ;10. 222ln 21arctan ay x x y +=- 二、1．21111)1(1c e c x c x c +-+ ; 2. 2ln x +2-2ln2 ;3. 342+=-x y ;4. y =e x; 三、1. (1) x e c bx ax x y 322*)(++= ;(2) x e a x b x a x c x b x a y 3221121*)cos sin ()(+++++= ;2.xx e c x e c y x x +-+-=-)()(21 ; 3.x e x y y y )12(2+-=-'-'' ;4.440y y y y ''''''-+-= ;5. x e e x x 2sin 545151+-- ;6. ππ++11e ; 7. 1)2sin 21cos (=--y x x8.3131ln 33+-=x x x y ;9.221xc x c y += ;10.xc x c x y 212++=. 第八讲 §2、1.(C);§3、1. (1) R=3 , (2)(-2,4) ; 2. 1e -1243.(1),(,)333R R ==4. 102[(1)()1](1),(0,2)3n n nn x +∞+=---∑;115.(2)42nn n n x ∞=+∑6.210(1)4112,[,];421224n n n n x n ππ+∞+=---+∑;7. [-1,1],222arctan ln(1)x x x x -+ ;8.5ln 2548-; 9.19-;§4、1. 54 ; 2. 2(2)x π-- ; 3. 34;4.112(1)sin ,(0,1),4n n n x x x n πππ-∞=-=∈∑5. 212221(1)14cos 1,[0,],312n n nx x x n πππ-∞=--+=-∈∑三重积分1.712π; 2.82131560π-;3.2224()15abc a b c π+- ;4.2563π; 5.(0)f π';第九讲§1、1. 12a ;2.37a π;3.22213-（）;§2、1.103;2.(1)0,(2)2π-;3.π; 4. 2arctan 22-π ;§3、1. 643π; 2. (C) ; 4.32π;§4、1. 215; 2. 8; 3. 18 ; 4. 2;5. 2Rr2（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图二、重点考核点这部分的重点是：①掌握求极限的各种方法．②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．④复合函数、分段函数及函数记号的运算．§1 极限的重要性质1．不等式性质设B y A x n n n n ==∞→∞→lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ．设B y A x n n n n ==∞→∞→lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ．作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞→lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞→lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0．对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，且A ＞B ，则存在δ＞0，使得当00 <x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，且存在δ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ． 2．有界或局部有界性性质设A x n n =∞→lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）．设，A x f x x =→)(lim 0则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论．§2 求极限的方法1．极限的四则运算法则及其推广 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0，，则；B A x g x f xx ±=±→)]()([lim 0；AB x g x f x x =→)()(lim 0．)0()()(lim 0≠=→B BA x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0x x f x x x x →→，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“”，“∞∞”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00，，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→)()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设∞=→)(lim 0x f x x ，当x →x 0时()g x 局部有界，（即0,0M δ∃>>，使得00x x δ<-<时()g x M <），则 ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ．设∞=→)(lim 0x f x x ，当x →x 0时｜g （x ）｜局部有正下界，（即∃δ＞0，b ＞0使得0＜｜x － x 0｜＜δ时｜g （x ）｜≥b ＞0），则 ∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．3°设∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ，则()∞=→)()(lim 0x g x f x x ，又∃δ＞0使得0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）g （x ）＞0，则 ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x ．4°设0)(lim 0=→x f x x ，x →x 0时g （x ）局部有界，则()0)()(lim 0=→x g x f x x （无穷小量与有界变量之积为无穷小．）2．幂指函数的极限及其推广设．A x f B x g A x f B x g x x x x x x ===→→→)()(lim )(lim ＞0)(lim 0则，lim ()ln ()()()ln ()ln (lim ()lim )x x g x f x g x g x f x B A B x x x x f x eee A →→→====只要设0lim ()lim ()x x x x f x g x →→，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln )(lim 0x f x g x x →是“0·∞”型未定式．1°设)(lim 0x f x x → = 0（0＜｜x －0x ｜＜δ时f （x ）＞0），0)(lim 0≠=→B x g x x ，则()(0)lim ()(0)g x x x B f x B →>⎧=⎨+∞<⎩2°设)(lim 0x f x x → = A ＞0，A ≠1，)(lim 0x g x x → = + ∞，则 0()0(0<1)lim ()(1)g x x xA f x A →<⎧=⎨+∞>⎩3°设)(lim 0x f x x → = + ∞，0)(lim 0≠=→B x g x x ，则 ⎩⎨⎧∞+=→＞0)()＜0(0)(lim )(0B B x f x g x x【例1】 设．，则，又________)(lim 0)(g lim )()(lim000===→→→x f x A x g x f x x x x x x【分析】 ．＝00))()()((lim )(lim 0=⨯=⋅→→A x g x g x f x f x x x x 【例2】设｛a n ｝，｛b n ｝，｛c n ｝均为非负数列，且，，，∞===+∞→∞→∞→n n n n n n c b a lim 1lim 0lim 则必有 （A ）a n ＜b n 对任意n 成立． （B ）b n ＜c n 对任意n 成立．（C ）极限n n n c a ∞→lim 不存在． （D ）n n n c b ∞→lim 不存在．用相消法求00或∞∞型极限 【例1】求)cos 1(sin 1tan 1limx x xx I x -+-+=→【解】作恒等变形，分子、分母同乘得x x sin 1tan 1+++x I →= xx x x x x x x s i n 1t a n 11lim )cos 1()cos 1(tan lim00+++--=→→21211==⋅．【例2】求limx I →-=【解】作恒等变形，分子、分母同除)0＜(2x x x -=得1x I →===利用洛必达法则求极限【例1】设f （x ）在x = 0有连续导数，又 2)(s i n lim 20=⎪⎭⎫⎝⎛+=→x x f x x I x 求(0)(0)f f '与．【例2】求)1ln()cos 1(1cos sin 2lim20x x x x x x +++→． 【例3】求xx I xx e)1(lim10-+=→．【例4】求xx I xx x sin e e lim sin 0--=→．【例5】若306sin ()lim0x x xf x x →+=，则__________)(6lim 20=+→xx f x ． 【例6】求)1ln(0)(tan lim x x x I -+→=．【例7】设α＞0，β≠0为常数且122lim [()]aa ax I xx x β→+∞=+-=，则（α，β） = __________．【分析】∞－∞型极限．210121)1(lim 1t ]1)[(1lim tt x x x I aa t a a x -+=-+=+→-+∞→t t a t a a aa t 2)1(1lim 1110--+→⋅+= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+==+=--+→⋅)2＜＜0()2(21)＞2(0)1(21lim 2110a a a tt a a a t 因此（α，β） = )212(，．分别求左、右极限的情形，分别求n n n n x x 212lim lim +∞→-+∞→与的情形【例1】设||sin e1e 2)(41x x x f xx +++，求0lim ()x f x →．【例2】求nn n I n )1(1lim -+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=利用函数极限求数列极限 【例1】求)1＞(lima an I nn +∞→=．【例2】求21lim (tan )n n I n n→+∞=．【解1】)11tan (11tan 12)11tan(1lim --+∞→⎪⎭⎫⎝⎛-+=n n n nn n n n I转化为求2230021tan11tan 11tan lim (tan1)limlim lim 1n n x x n xx xnx n n nx x n +→+∞→+∞→+→----===123201cos 1lim e 33x x I x +→-==⇒= 【解2】用求指数型极限的一般方法．nnn n I 11tan ln2elim +∞→= 转化为求2021tan tan 1lnlim lnlim1n x nxx nx n →+∞→=201tan lim x x x x -=→（等价无穷小因子替换），余下同前． §3 无穷小和它的阶1．无穷小、极限、无穷大及其联系（1）无穷小与无穷大的定义（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 0l i m ()()()x x f x A f x A x α→=⇔=+ 其中0lim ()0(()(1)).x x x f x A o x x α→==+→，o （1）表示无穷小量．在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u ≠0）u 1是无穷大量．反之若u 是无穷大量，则u1是无穷小量．2．无穷小阶的概念（1）定义 同一极限过程中，（x ），（x ）为无穷小，设 0()()1()()()lim ()~()()()0()()()(())()l x x l x x x l x x x l x x x o x αβαβααββαβαβ≠⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程定义 设在同一极限过程中（x ），（x ）均为无穷小，（x ）为基本无穷小，若存在正数k 与常数l 使得0)()(lim≠=l x x kαβ 称（x ）是（x ）的k 阶无穷小，特别有0)()(lim00≠=-→l x x x kx x β，称x →x 0时（x ）是（x －x 0）的k 阶无穷小．（2）重要的等价无穷小x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，㏑（1 + x ） ~ x ，e x －1 ~ x ； a x －1 ~ x ln a ，arcsi nx ~ x ，arctan x ~ x ；（1 + x ）a ―1 ~ ax ，1―cos x ~ 221x ． （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1°若α ~ β，β ~ γ⇒α ~ γ． 2° α ~ βα = β + o （β） 3°在求“”型与“0·∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 【例1】 求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=→13cos 21lim 30x x x xI ． 【例2】设__________)(lim 513]2sin )(1ln[lim200==-+→→x x f x x f x x x ，则．【分析】 由已知条件及02sin )(lim 0)2sin )(1ln(lim 0)13(lim 000=⇒=+⇒=-→→→x x f xx f x x x x ．又在x = 0某空心邻域f （x ）≠0()()()ln(1)~~(0)sin 2sin 22f x f x f x x x x x+→，又3x －1 ~x ln 3．于是22000()/2()()lim lim 5lim 10ln 3ln 32ln 3x x x f x x f x f x x x x →→→==⇒=． 【例3】 设x → a 时（x ），（x ）分别是x － a 的n 阶与m 阶无穷小，又0)(lim ≠=→A x h ax ，则x → a 时（1）（x ）h （x ）是x － a 的__________阶无穷小． （2）（x ）（x ）是x － a 的__________阶无穷小．（3）n ＜m 时，（x ）±（x ）是x － a 的__________阶无穷小． （4）n ＞m 时)()(x x βα是x － a 的__________阶无穷小． （5）k 是正整数时，k是x － a 的__________阶无穷小．以上结论容易按定义证明。

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()0000lim lim lim lim lim 1x x x x x x f x x -----→→→→→-=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==， 而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、 解答题21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=， 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=， 利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=， 故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

30.31.第二章一元函数微分学强化训练（二）一、选择题1.2.3.4.5.解 设曲线在0x x =处与x 轴相切，则 ()()000,0,y x y x '==即300200,30,x ax b x a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩由第二个方程得0x =A ）.6.7.8.9.提示：由方程确定的隐函数求导法则求解即可。