历年考研数学概率论零基础讲义

概率论与数理统计讲义稿HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第一章随机事件与概率§1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。

称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。

假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。

如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。

比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这一试验例1.1.11中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。

E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出2现的点数。

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究客观世界随机现象及其统计规律的学科，也是高等院校工程类和经济管理类专业的一门重要的基础课，更是全国硕士研究生招生考试数学一和数学三的重要考查内容，分值约占总分的20%。

本书根据概率论与数理统计课程的教学要求及全国硕士研究生招生考试的数学考试大纲编写而成。

本书作者在高校从事概率统计教学工作接近三十年，指导全国硕士研究生招生考试数学（包括高等数学、线性代数、概率统计）复习二十六年，有极其丰富的教学经验。

本书理论体系清晰系统，原理讲解深入浅出、通俗易懂，重要考点把握精准。

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2.对各章基本题型及重要考点进行分类与高等数学和线性代数相比，概率统计的重要考点相对较少，本书将每章的重要考点以题型的形式总结出来，同时在各题型中安排各章的小考点，给出各种题型的规范解法和解题思路，方法力求简明扼要。

希望本书的出版能帮助考生在较短的时间内，系统掌握概率统计的基本理论、基本题型及解题方法，提高利用数学理论解决实际问题的能九轻松应对研究生入学考试的概率统计部分。

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本书若有不到之处，恳请读者批评指正。

汤老师微博汤老师微信公众号汤老师一直播ID：186288809汤家凤2021年3月于南京S^CONTENTS^^第一章随机事件与概率 (1)本章理论体系 (1)经典题型讲解 (7)题型一事件的关系与运算、概率基本公式 (7)题型二事件的独立性 (9)题型三三种常见的概型 (10)题型四全概率公式与贝叶斯公式 (11)第二章一维随机变量及其分布 (15)本章理论体系 (15)经典题型讲解 (20)题型一一维离散型随机变量的分布律与分布函数 (20)题型二一维连续型随机变量的概率密度与分布函数 (23)题型三一维既非离散又非连续型随机变量的分布函数 (28)题型四随机变量函数的分布 (28)第三章二维随机变量及其分布 (35)本章理论体系 (35)经典题型讲解 (40)题型一二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布 (40)题型二二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 (42)题型三二维随机变量的条件分布、独立性 (45)题型四二维随机变量函数的分布 (51)第四章随机变量的数字特征 (61)本章理论体系 (61)经典题型讲解 (64)题型一离散型随机变量的数字特征 (64)题型二连续型随机变量的数字特征 (69)题型三多维随机变量的数字特征 (70)题型四相关性与独立性 (74)第五章大数定律与中心极限定理 (78)本章理论体系 (78)经典题型讲解 (80)1题型一切比雪夫不等式 (80)题型二大数走律 (81)题型三中心极限定理 (81)第六章数理统计基本概念 (84)本章理论体系 (84)经典题型讲解 (90)题型一统计量的基本概念 (90)题型二三个扌由样分布 (91)题型三分位点 (95)题型四统计学的数字特征与概率 (96)第七章参数估计 (99)本章理论体系 (99)经典题型讲解 (104)题型一离散型总体参数的点估计 (104)题型二连续型随机变量参数的点估计 (106)题型三估计量的无偏性（数学三不要求） (111)题型四参数的区间估计（数学三不要求） (115)第八章假设检验（数学三不要求） (117)本章理论体系 (117)经典题型讲解 (122)题型一-个正态总体的假设检验 (122)题型二两个正态总体的假设检验 (123)2机事件与概率藝存彖一、随机试验与随机事件定义H随机试验设E为随机试验，若满足如下条件：(1)在相同的条件下该试验可重复进行；(2)试验的结果是多样的且所有可能的结果在试验前都是确定的；(3)某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，简称试验，一般用字母E表示.定义何样本空间设E为随机试验，随机试验E的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验E的样本空间，记为0,0中的任意一个元素称为样本点.(1)样本空间中所有元素为随机试验的最基本的结果，即所有元素都具有不可再分性；(2)样本空间必须是所有可能的基本结果，即具有完备性，且同一个基本结果在样本空间中只出现一次.定义❸随机事件设E为随机试验4为其样本空间，则O的子集称为随机事件，其中0称为不可能事件称为必然事件.例如：一个均匀的正六面体的骰子，六个面分别标有1、2、3、4、5、6,随机扔骰子，该试验骰子朝上一面的数字的样本空间为0={1,2,3,4,5,6},事件A={2,4,6},表示“扔骰子后朝上的面的数为偶数”，事件B={1,2,3},表示“扔骰子后朝上的面的数不超过3”.二、事件的运算与关系(-)事件的运算定义❹事件的积设为两个随机事件，则事件A与事件B同时发生的事件.称为事件的积事件，记为43或A A B,如图1-1所示.图1-11>»考研数学概率论与数理统计辅导教程定义目事件的和设A,£为两个事件，则事件A或事件£发生的事件（或事件A,B至少有一个发生的事件），称为事件的和事件，记为A+B或A U如图1-2所示.AUB图1-2定义❻事件的差设A,B为两个随机事件，则事件A发生而事件B不发生的事件，称为事件的差事件，记为A—3,如图1-3所示.A-B图1-3定义❼出件的补设。

2018级数学辅导讲义（十一）：概率论与数理统计2019.5一、随机事件的概率：1.概率的五大公式（1）加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+- ；（2）减法公式：()()()()P A B P A B P A P AB -==-；（3）乘法公式：()(|)()P AB P B A P A =；（4）全概率公式：1122()(|)()(|)()(|)()n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++ ；（5）贝叶斯公式：1122(|)()(|)(|)()(|)()(|)()i i i n n P A B P B P B A P A B P B P A B P B P A B P B =+++ .2.随机事件的独立性若()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立.【例1】()0.8P B A = ，()0.4P B =，则(|)P A B =.【解】【例2】（1）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则两人中至少一人射中的概率为；（2）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被甲射中的概率为；（3）甲、已两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为；（4）甲、已两人任选一人对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率为.【解】二、一维随机变量及其分布：1.一维离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布、概率和分布：分布离散型随机变量连续型随机变量概率分布概率和分布2.一维连续型随机变量的概率与分布函数、概率密度的关系：3.分布函数的性质：4.分布律的性质：5.概率密度的性质：【例3】（1）设随机变量X 的概率密度为1,02,()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他，则{11}P X -≤<=.（2）设随机变量X 的分布函数为2,0,(1)(),0,b a x x F x c x ⎧+>⎪+=⎨⎪≤⎩则X 的概率密度()f x =.【解】【例4】已知,04~()80,X xx X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，求21Y X =+的概率密度.【解】三、二维随机变量及其分布：1.二维随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布：分布分布律概率密度分布函数联合分布边缘分布条件分布2.二维随机变量的概率与联合概率密度的关系：3.两个随机变量的独立性：定义充要条件1（连续型随机变量）充要条件2（离散型随机变量）【例5】设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为,0,01,(,)0x ce y x y f x y -⎧><<=⎨⎩，其他.（1）求常数c 的值；（2）求,X Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ；（3）判断X 和Y 是否相互独立，并说明理由；（4）求{max(,)1}P X Y .【解】四、随机变量的数字特征：1.离散型随机变量与连续型随机变量的数学期望：随机变量离散型随机变量连续型随机变量一个随机变量一个随机变量的函数两个随机变量的函数2.方差的计算公式：3.协方差的计算公式：4.相关系数的计算公式：【例6】设随机变量,X Y 的概率分布分别为且22{}1P X Y ==.Y-101kp 131313X01kp 1323（1）求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求Z XY =的概率分布；（3）求X 与Y 的相关系数XY ρ.【解】【例7】（1）设随机变量123,,X X X 相互独立，且1X 服从均匀分布[1,3]U ，2X 服从二项分布12,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3X 服从参数为2的指数分布，则12332Y X X X =-+的数学期望和方差分别为.（2）设随机变量,X Y 相互独立,且X 服从正态分布(2,1)N ,Y 服从正态分布2(1,2)N ,则{23}P X Y ->=.【解】五、中心极限定理：用于计算的“中心极限定理”：【例8】设供电站供应某地区1000户居民用电，各户用电情况相互独立。

考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。

例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。

例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。

例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。

例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。

例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。

考研数学基础班概率论与数理统计电子教材主讲：费允杰第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1．1：方程x x x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ³n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ³n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A ．120种B ．140种C ．160种D ．180种(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？②重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？③对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？④顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序）例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序）例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。

每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。

例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。

在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。

试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。

记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。

考研数学之概率讲义分析概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。

了解：样本空间的概念理解：随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握：事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。

§1随机事件与样本空间一、随机试验：E（1）可重复（2）知道所有可能结果（3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果——样本点ω所有样本点全体——样本空间Ω三、随机事件样本空间的子集——随机事件A B C样本点——基本事件，随机事件由基本事件组成。

如果一次试验结果，某一基本事件ω出现——ω发生，ω出现如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现Ω——必然事件Φ——不可能事件§2事件间的关系与运算一．事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立 二．事件间的运算：并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律 概率定义，集合定义，记号，称法，图 三．事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)i A i =表示事件：“第i 次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件： （1）122313A A A A A A U U ； （2）123A A A ；（3）123A A A U U ； （4）123123123A A A A A A A A A U U ； 再用123,,A A A 表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品； (7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。

§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一．公理化定义 ,,A P Ω(1)()0P A ≥ (2)()1P Ω=(3)1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =∅≠ 二．性质(1)()0P ∅=（2）1212()()()()n n P A A A P A P A P A =++++U UL U UL L L ,i j A A i j =∅≠ (3)()1()P A P A =-(4),()()A B P A P B ⊂≤ (5)0()1P A ≤≤三．条件概率与事件独立性(1)()()0,(),()P AB P A P B A P A >=事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率； (2)()()(),P AB P A P B =事件,A B 独立，,A B 独立,A B €独立,A B €独立,A B €独立；()0P A >时,,A B 独立()()P B A P B =€；(3)121212(,,,)()()()1kki i i i i i k P A A A P A P A P A i i i n =≤<<<≤L L L称12,,n A A A L 相互独立,(2321n n n n n C C C n +++=--L 个等式)相互独立⨯垐?噲?两两独立。

出现的情况，则样本和反面次，观察正面）将一枚硬币抛掷：（例，）对偶律：）（）（）（）（）（）（）（）（）分配律：）（）（）（）（）结合律：，）交换律：合的运算律相似）、事件的运算律（与集的一个划分。

或为样本空间事件组（完全事件组）则称这个事件组为完备或（发生，即仅有一个事件且在每次试验中必有一个时，两个互不相容（即当，，，或可列无限多个事件，，限个事件、完备事件组：如果有。

，，即有的对立事件记作，为对立事件（或互逆）与发生，称事件一个必有一个发生，且仅有和事件，如果事件、对立：在每次试验中为互不相容事件。

、，称不能同时发生，即与若事件、互不相容（互斥）：不发生。

发生而表示的差：与、事件同时发生，，表示一般：同时发生与表示事件或之交：与、事件至少有一个发生，，表示一般：至少有一个发生。

与表示事件之和（并）：与、事件相等，记做与，称且、相等：若。

或的样本点，则有中至少有一个不属于且。

若或，记作包含发生，称发生必然导致事件、包含：若事件、、，随机事件为的样本空间为设随机试验算：二、事件的关系及其运的事件。

每次试验中一定不发生事件事件，不可能每次试验中一定发生的：必然事件事件。

两种特殊的事件单子集，称基本；由一个样本点组成的，，，记作事件，简称为事件，称为随机中满足某些条件的子集的样本空间、随机事件：随机试验记作素点样本空间的元素称为元作记的集合称为样本空间，的所有可能结果所组成、样本空间：随机试验。

有的结果是明确可知的一个结果会发生，但所）试验之前不能确定哪一个；）每次试验的结果不止复进行；）可在相同的条件下重机试验，记作三个条件的试验称为随、随机试验：满足以下件：一、随机试验与随机事内容提要及有关公式随机事件及其概率第一章概率论与数理统计T H A A A A BA B A B A B A A A A A C A B A C B A C A B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A AB B A A B B A A A j i A A A A A j i A A A A A A A B B A A A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A A A A B A AB B A B A A A A A A A A B A B A B A B A B A A B B A B A A B A B A B B A A B A B B A i A B A EC B A E E ii i i i i i i i i i i i i i ni j i i j i n n i i i i i i i i i 311,43219),),8765.)(4.3.21),2,1(.3.,,2321.11111111121211212112121∞=∞=∞=∞=∞=∞=∞==∞=∞==============ΩΩ=Ω=≠==≠===-===⊆⊆⊂⊃⊇⊆⊇=Ω--ΩΩΩφφφφω，则有是两两互不相容的事件，，，设特别地：有限可加性，（有，一般地：对任意事件）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（有、、件）加法公式：对任意事（）（）（）且（）（）（时，特别：当）（）（）（，有和个事件）减法公式，对任意两（）（）（）（、概率的性质：（，则为两两互不相容的事件，，、）可列可加性设（）（，对于必然事件）规范性（）（，对于任意事件）非负性（）为概率：（事件集合上的函数，则称满足下列条件的的样本空间为试验、概率的定义：设随机质三、事件的概率及其性示事件。

概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1． 同时掷两颗骰子，记录其点数之和；A ：点数之和为偶数 2． 相继掷两次硬币。

A ：第一次出现正面3． 研究甲、乙两件产品的销售状况（畅销、滞销） 4． 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件，试将下列事件用,,A B C 表示出来： （1） A 发生，B 与C 不发生 （2） A ，B ，C 至少有一个发生 （3） A ，B ，C 恰好有一个发生 （4） A ，B ，C 至少有一个不发生 （5） A ，B ，C 最多有一个不发生（6）A 不发生，B ，C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有：古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1． 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取4个，求：（1） 只有一件次品的概率；（2）至多一个次品的概率；（3）至少一个次品的概率。

例2袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有两个人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1，2，3，4中任意选出三个不同的数字形成三位数，求此三位数大于300的概率。

例4一个三位数由1，2，3，4中的三个数字形成（个、十、百位可以相同），求此三位数大于300的概率。

例5 把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少？例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只，求： （1） 刚好是两双的概率；（2）不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0，1]随机取值，求 （1）(1)P x y +<；（2）1()4P xy <例10某码头上只能容一只船，现预知某日将独立来到两只船，且在24小时内随机到达， 如他们需要停靠的时间为3小时，求一船要在江中等待的概率。