经济类、管理类考研数学基础班课程讲义

经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。

2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。

知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。

数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。

目录第一章算术 (1)第一节实数 (1)第二节绝对值和平均值 (6)第三节比和比例 (10)第四节习题 (13)第二章整式、分式和函数 (18)第一节整式 (18)第二节分式 (23)第三节集合与函数 (26)第四节习题 (29)第三章方程和不等式 (36)第一节简单方程(组)、不等式(组) (36)第二节一元二次函数、方程、不等式 (39)第三节特殊函数、方程和不等式 (44)第四节习题 (47)第四章应用题 (53)第一节各类应用题解法 (53)第二节习题 (63)第五章数列 (69)第一节数列的概念与性质 (69)第二节等差数列 (71)第三节等比数列 (75)第四节习题 (78)第六章平面几何与立体几何 (85)第一节平面几何 (85)第二节立体几何 (96)第三节习题 (99)第七章解析几何 (107)第一节平面直角坐标 (108)第二节直线 (109)第三节圆 (112)第四节习题 (116)第八章排列组合 (122)第一节排列组合 (122)第二节习题 (130)第九章概率和基本统计 (136)第一节概率 (136)第二节数据描述 (142)第三节习题 (145)第一章算术【大纲考点】1.整数(1)整数及其运算，(2)整除、公倍数、公约数，(3)奇数、偶数，(4)质数、合数；2.分数、小数、百分数；3.绝对值与平均值4.比与比例；【本章比重】本章约考2个题目，计6分。

第一节实数一.实数的分类1实数的分类（1）实数包括有理数和无理数：0Q ⎧⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎭⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数正有理数正分数有理数有限小数，无限循环小数负整数实数负有理数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（2）按照正负性分：⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实整负整数负有理数负实数负分数负无理数2.数的概念与性质（1）整数与自然数整数:,2,1,0,1,2,Z--00Z +-⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩正整数Z 自然数N（最小的自然数为）负整数Z整数(2)质数与合数质数：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除（只有1和其本身两个约数），那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）.合数：一个正整数除了能被1和本身正除外，还能被其他的正整数整除（除了1和其本身之外，还有其他约束），这样的正整数叫做合数.▲质数与合数的重要性质：①质数和合数都在正整数范围，且有无数多个.②2是唯一的既是质数又是偶数的整数,即是唯一的偶质数.大于2的质数必为奇数.质数中只有一个偶数2,最小的质数为2.(★)③若正整数,a b ,a b 的积是质数p ,则必有a p =或b p =④1既不是质数也不是合数.(★)⑤如果两个质数的和或差是奇数,那么其中必有一个是2;如果两个质数的积是偶数,那么其中也必有一个是2.(★)⑥最小的合数为4,任何合数都可以分解为几个质数的积,能写成几个质数的积的正整数就是合数.互质数:公约数只有1的两个数为互质数,如9和16.(3)奇数与偶数奇数:不能被2整除的数.偶数:能被2整除的数.注意,0属于偶数.:21:2n n±⎧⎨⎩奇数整数Z 偶数注意:两个相邻整数必为一奇一偶.除了最小质数2是偶数外,其余质数均为奇数.题型1:考查质数、合数、奇数、偶数的性质【例1】三名小孩中有—名学龄前儿童(年龄不足6岁),他们年龄都是质数,且依次相差6岁,他们的年龄之和为(）A 21B 27C 33D 39E 51【例2】:20以内的质数中,两个质数之和还是质数的共有()种.A 2B 3C 4D 5E 6【例3】:22m n -是4的倍数(1)m,n 都是偶数(2)m,n 都是奇数【例4】三个质数之积恰好等于它们和的5倍,则这三个质数之和为（)(A)11(B)12(C)13(D)14(E)15(4)分数与小数分数:将单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数.小数:实数的一种特殊的表现形式.所有分数都可以表示成小数,小数中的圆点叫做小数点,它是一个小数的整数部分和小数部分的分界号.其中整数部分是零的小数叫做纯小数,整数部分不是零的小数叫做带小数【例1记作a ，它的小数部分记作b ，则1a b -等于（）A.1B.1- C.2D.2- E.3【例2】已知实数57+的小数部分为a ，75的小数部分为b ，则7a ＋5b 的值为()A B ．0.504C ．2D E.1(5)整除、倍数、约数1.数的整除:当整数a 除以非零整数b ,商正好是整数而无余数时,则称a 能被b 整除或a 能整除b 倍数,约数:当a 能被b 整除时,称a 是b 的倍数,b 是a 的约数.公约数:如果一个整数c 既是整数a 的约数,又是整数b 的约数,那么c 叫做a 与b 的公约数.2.最大公约数:两个数的公约数中最大的一个,叫做这两个数的最大公约数,记为(,)a b .若(,)1a b =,则称a 与b 互质.3.最小公倍数:几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.数学上常用方括号表示,如[12,18,20]即12、18和20的最小公倍数.4.最大公约数和最小公倍数的求法:(★★★)①分解质因数法:22436223323,482222323=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯则2(36,48)2312=⨯=(取低次幂)，42[36,48]23144=⨯=(取高次幂).求[12,18,20],因为2221223,1823,2025,=⨯=⨯=⨯所以22[12,18,20]235180.=⨯⨯=分解质因数法好处在于我们能通过将数化成幂的成积形式来判断其因数的个数1212n M M M n A x x x = ,则A 的因数个数为12(1)(1)(1).n N M M M =+++ ②短除法:求84与96的最大公约数与最小公倍数:③公式法:两个整数的成积等于他们的最大公约数和最小公倍数的成积,即(,)[,]ab a b a b = 例如,求[18,20],即得[18,20]1820(18,20)18202180.=⨯÷=⨯÷=5.求几个自然数的最小公倍数,可以先求出其中两个数的最小公倍数,再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数,依次求下去,直到最后一个为止.最后所得的那个最小公倍数,就是所求的几个数的最小公倍数.【例1】两个正整数甲数和乙数的最大公约数是6,最小公倍数是90。

万学 学教育 育 海文考 海 考研2017 届经 经济类 类、管 管理类 类专业硕士 专业 士基 基础课 课程 程适用范 范围：3 396 经济 济类专硕 硕联考 1 管理 199 理类专硕 硕联考上课 课时间：_ ____月__ ___日（星 星期____ ） 上课 课地点：_ ________ _________ _________ ________ ________ 温馨 馨提醒：请 请携带本 本讲义和笔 笔参加课程 程咨询 询热线：万学教育*海文考研2017 届经济类管理类专业硕士——基础课程一、适用范围 （一）经济类专硕（六个专业） （1）具体专业 1.金融硕士 2.税务硕士 3.保险硕士 4.应用统计硕士 5 国际商务硕士 6 资产评估硕士 （2）经济类专硕考四门(总分 500 分) 科目一：政治；科目二：英语一或英语二； 科目三：数学三或 396 经济类联考；科目四：专业课科目 （3）396 经济类联考考试内容（总分 150 分） 高等数学 70 分 （10 个选择 20 分，9 个小计算 50 分） 逻辑推理 40 分 （20 个选择题） 两个写作 40 分 （1 篇论证有效性分析，1 篇论说文） （二）管理类专硕（七个专业） （1）具体专业 1.会计硕士 2.审计硕士 3.图书情报硕士 4 工商管理 5 公共管理 6 工程管理 7 旅游管理 （应届生可考 1~3，4~7 一般要求有工作经验才可报考） （2）管理类专硕考两门（总分 300 分） 科目一：英语二； 科目二：管理类联考 199 （3）199 管理类联考考试内容（200 分） 初等数学 75 分 （15 个选择 45 分，条件判断 10 个 30 分） 逻辑推理 60 分 （30 个选择题） 两个写作 65 分 （1 篇论证有效性分析，1 篇论说文） 二、逻辑推理的考试大纲 综合能力考试中的逻辑推理部分主要考察考生对各种信息的理解、分析、判断和综合，以及 相应的推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力，不考查逻辑学的专业知识。

第一章 函数、极限、连续第二章§1.1 函数（甲）内容要点 一、函数的概念1.函数的定义设D 是一个非空的实数集，如果有一个对应规划f ，对每一个x D ∈，都能对应惟一的一个实数y ，则这个对应规划f 称为定义在D 上的一个函数，记以y =f (x )，称x 为函数的自变量，y 为函数的因变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集{}|(),Z y y f x x D ==∈称为函数的值域。

2.分段函数如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两上或两个以上的表达式来表示。

这类函数称为分段函数。

例如21<1() -115 >1x x y f x x x x x +-⎧⎪==≤≤⎨⎪⎩是一个分段函数，它有两个分段点，x ＝－1和x ＝1，它们两侧的函数表达式不同，因此讨论函数y =f (x )在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数。

需要强调：分段函数一般不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

3.隐函数形如y =f (x )有函数称为显函数，由方程F （x ，y ）=0确定的y ＝y (x )称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数（不一定是一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函数。

4.反函数如果y =f (x )可以解出()x y ϕ=是一个函数（单值），则称它为f (x )的反函数，记以1()xfy -=。

有时也用1()y fx -=表示。

二、基本初等函数1.常值函数 y ＝C （常数）2.幂函数y xα=（α常数）3.指数函数xy a =（a ＞0，a ≠1常数）xy e=（e ＝2.7182…，无理数）4.对数函数 log a y x=（a ＞0，a ≠1常数）常用对数 10log lg y x x == 自然对数 log ln e y x x ==5.三角函数sin ;cos ;tan .y x y x y x ===cot ;sec ;csc .y x y x y x ===6.反三角函数 arcsin ;cos ;y x y arc x ==arctan ;cot .y x y arc x ==基本初等函数的概念、性质及其图像非常重要，影响深远。

⎨ ⎩ ⎪⎪ ⎩第一章 实数1、实数的分类（1）按定义分类：⎧ ⎧ ⎧奇数 ⎪ ⎪整数⎨ ⎪⎪ ⎩偶数 ⎪有理数⎪ ⎧真分数（分子 < 分母） 实数⎪ ⎨ ⎪分数⎪> 分母） ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩无理数⎨假分数（分子 ⎪带分数 （2）按正负分类：⎧ ⎧ ⎧ ⎧1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪正有理数⎪正整数⎨质数 正实数⎪⎨ ⎪合数 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩正无理数⎪ ⎨零⎪ ⎧负有理数⎪⎩ ⎪⎩正分数⎪负实数⎨ ⎪ 负无理数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩2、有理数、无理数2.1 ：定义 1：有理数：整数和分数（有限小数、无限循环小数）无理数：无限不循环小数2.2 ：定义 2：在于能否写成两个整数比的形式 2.3 ：有理数的四则运算结果皆为有理数 无理数的四则运算结果皆为无理数或有理数 有理数与无理数的加减运算结果必为无理数有理数乘以无理数结果为有理数则有理数必为 0. 【例 1】、下列说法正确的是（ ）．（A ）小数都是有理数 （B ）无限小数都是无理数 （C ）无理数是开方开不尽的数 （D ）零的平方根和立方根都是零 （E ）对数是无理数实数【例2】、已知x是无理数，且(x +1)(x +3)是有理数，则下列叙述有（）个正确：（1）(x-1)(x-3)是无理数；（3）(x+2)2是有理数；（4）(x-1)2是无理数．x 2 是有理数；（2）（A）2 （B）3 （C）4 （D）1 （E）0【例3】、化简(3 + 2 )2019 (3 - 2 )2021 的结果为（）．（A） 5 - 2 3 （B）5 - 6 （C） 6 - 2 6（D）5 + 2 6 （E） 5 - 2 63、奇数、偶数3.1：奇数、偶数的概念：两两一组无剩余，偶数；两两一组有剩余，奇数3.2：奇数：末位为1、3、5、7、9偶数：末位为0、2、4、6、83.3：间隔式排布3.4：运算【例4】：在1、2、3⋯2020 数字前任意添加+、—，其结果为（奇数/偶数）4、质数、合数4.1：质数：一个数的约数只有1 和它本身合数：一个数的约数除了1 和它本身外，还有其他的约数4.2：1 既不是质数也不是合数【例5】、记不超过15的质数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）．（A）5 （B）7 （C）8 （D）11 （E）6【例6】、20 以内的质数中，两个质数之和还是质数的共有（）种．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6【例7】、某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3 加上右手中石子数乘4 之和为29，则右手中石子数为（）．（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数（E）以上结论均不正确5、约数、倍数【例8】、三个质数的积是其和的7 倍，求这三个质数6、互质数：如果两个数的公约数只有 1，则称这两个数为互质数。

----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。

函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。

设有数列和常数A 。

若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。

没有极限的数列称为发散数列。

收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。

（2）。

（3）。

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。

考研讲义数三经济部分第十三章微积分在经济学中的经济应用 (数三）《考试要求》1. 掌握导数的经济意义（含边际与弹性的概念）。

2. 了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。

3. 掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法。

4. 会应用一阶差分方程、极限、级数等知识求解简单的经济应用问题。

一、.极限及级数在经济学中的应用(一)复利：设某银行年利率为r ，初始存款为0A 元，（1）一年支付一次利息（称为年复利），则t 年后在银行的存款余额为()t 01tA A r =+;（2）若一年支付n 次，则t 年后在银行的存款余额为0(1)rnt A A t n =+;（3）由于lim [(1)]nrrt rt r e n n +=→∞，所以当每年支付次数趋于无穷时，t 年后得到的存款余额为0rtt A A e=，称为t 年后按连续复利计算得到的存款余额。

(二)将来值与现值：上述结论中，称t A 是0A 的将来值，而0A 是t A 的现值。

现值与将来值的关系为： 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+ 或 0(1)t t A A r =+ ?0(1)t t A A r -=+例1 现购买一栋别墅价值300万元, 若首付50万元, 以后分期付款, 每年付款数目相同, 10年付清,年利率为6%, 按连续复利计算, 问每年应付款多少？r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款例2（08）设银行存款的年利率为0.05A万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n）万元，并能按此规律一直提取下去，问A至少应为多少万元？、二. 经济学中的常用函数需求函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的减函数；供给函数：()Q Q P =, 通常()Q Q P =是P 的增函数；成本函数：01()()C Q C C Q =+, 其中0(0)C C =为固定成本, 1()C Q 为可变成本；收益函数：R PQ =;利润函数：()()()L Q R Q C Q =-.例1 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售, 售价分别为1p 和2p , 销售量分别为1q 和2q , 需求函数分别为112402q p =-, 22100.05q p =-, 总成本函数为123540()C q q =++, 试问：厂家如何确定两个市场的售价, 能使其获得的总利润最大？最大的总利润为多少？例 2（99）设生产某种产品必须投入两种要素, 1x 和2x 分别为两种要素的投入量, Q 为产出量；若生产函数为122Q x x αβ=, 其中,αβ为正常数, 且1αβ+=, 假设两种要素的价格分别为1p 和2p 试问：当产出量为12时, 两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？解需要在产出量12212x x αβ=的条件下, 求总费用1122p x p x +的最小值, 为此作拉格朗日函数12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-.11121121221220,(1)20,(2)1220.(3)F p x x x F p x x x F x x αβαβαβλαλβλ--??=-==-==-=??? 由(1)和(2), 得 1221216(),()p p x x p p αββααβ==；因驻点唯一, 且实际问题存在最小值, 故当211212(),6()p p x x p p βααββα==时, 投入总费用最小.三. 利用导数求解经济应用问题（一）、边际量：当某经济量()y y x =的自变量x 增加一个单位时经济量的改变量称为该经济量的边际量, 如边际成本、边际收益、边际利润等, 由于(1)()()y x y x y x '+-≈, 且对于大数而言, 一个单位可以看成是微小的, 习惯上将()y x '视为()y y x =的边际量.1、定义：设()y f x =或(),y f x t =，则称dy dx 或y x为y关于x 的边际函数。

《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义导论一、管理类联考数学考试大纲管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力.综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试.数学部分试题涉及的数学知识范围有：(一)算术1．整数(1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数2. 分数、小数、百分数3．比与比例4．数轴与绝对值(二)代数1．整式(1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解2．分式及其运算3．函数(1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数4．代数方程(1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组5．不等式(1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式.6. 数列、等差数列、等比数列(三)几何1．平面图形(1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形2．空间几何体(1)长方体(2)柱体(3)球体3．平面解析几何(1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理(1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述(1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率(1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型二、数学基础两种考查题型数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分；第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下：1. 问题求解题型说明联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案.该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明：【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是().(A)5x =-或1x =(B)5x =或1x =-(C)3x =或53x =-(D)3x =-或53x =(E) 不存在 【答案】C2. 条件充分性判断题型说明这类问题是结论明确，反问需要什么数学条件可以推出已给的结论，进一步说明：1)充分性逻辑角度:如果条件A 成立,能推出结论B 成立,即A B ⇒,称A 是B 的充分条件. 集合角度: B A ⊆ (A 是B 的子集)，则A 是B 的充分条件. 2)题目的设计：【题例】 题干(结论) (1)条件一 (2)条件二 3)选项设置【考题范例1】(2012)直线b x y +=是抛物线a x y +=2的切线．(1)b x y +=与a x y +=2有且仅有一个交点．(2)).(2R x a b x x ∈-≥-【答案】A【考题范例2】(2013)某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别是一等奖1.5万元、二等奖1万元、三等奖0.5万元，则该单位至少有100人．(1)得二等奖的人数最多．(2)得三等奖的人数最多． 【答案】B【考题范例3】(2010) 设a 、b 为非负实数,则a b +≤54. (1)ab ≤116. (2)221a b +≤. 【答案】C【考题范例4】(2012)已知,m n 是正整数，则m 是偶数．(1)n m 23+是偶数． (2)2223n m +是偶数． 【答案】D【考题范例5】(2013)1+=mq p 为质数．(1)m 为正整数，q 为质数． (2),m q 均为质数． 【答案】E4)解题策略永远是从条件推结论，但可以将条件或者结论做等价化简. 解题策略1：如果条件是等号，则直接代入结论判断是否成立; 解题策略2：如果条件是范围，则看条件范围是否落入结论的范围; 解题策略3：可找特殊值证伪，一点即可说明不充分.考点精讲第一章 算术第一节整数一、 整数及其除法整数包括正整数、负整数和零.两个整数的和、差、积是整数，但两个整数的商不一定是整数. 1、 带余除法,使得,0||r b ≤<成立,且唯一,则称为被除所得的商叫做被除所得的余数.2、整除且,使得成立,则称整除,此时称为的约数(因数),称为的倍数，记为|b a . 3、整除的性质(1)|,||c b b a c a ⇒(2)|,||(),(,)c b c a c ma nb m n Z ⇒+∀∈ 4、整数的分类由带余除法，可根据余数将整数进行分类.例如，整数被2除的余数是0,1，从而可将整数分为两类：2,21()n n n Z +∈，即偶数和奇数；类似的，整数被3除的余数是0,1,2，从而可将整数分为三类：31,31,32()n n n n Z +++∈.5、整除数的特征被2整除的数的特征： 被5整除的数的特征： 被4,25整除的数的特征： 被8,125整除的数的特征： 被3,9整除的数的特征： 被6整除的数的特征： 被10整除的数的特征：,,a b Z ∀∈0,b ≠,p r Z ∃∈a pb r =+,p r p a b ,r a b ,,a b Z ∀∈0,b ≠p Z ∃∈a pb =b a b a a b被12整除的数的特征：【例1】当整数n 被6除时，余数为3，则下列哪项不是6的倍数？（ ）A.3n -B.3n +C.2nD.3nE.4n【例2】如果是一个正整数,那么一定有约数( ).A.4B.5C.6D.8E.9【例3】有一个四位数,它被131除余13,被132除余130,则此数的各位数字和为( ).A.22B.23C.24D.25E.26 二、 质数与合数 1、 定义质数：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称这个数是质数（素数）. 合数：一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有别的正因数，则称这个数是合数.注：由定义知，1既不是质数也不是合数. 2、 质数的性质（1） 最小的质数是2；质数中只有2是偶数，其它都是奇数.（2） 若p 为质数，a 是任一整数，则|p a 或a 与p 互质（a 与p 的最大公因数是1） （3） 设12,,,n a a a 是n 个整数，p 为质数，若12|(,,,)n p a a a ，则p 至少能整除其中一个k a .3、 质数分解定理任何一个大于1的整数，都能分解成若干个质数的乘积，且分解形式是唯一的，即12n a p p p =⋅⋅⋅，其中1a >的整数，12,,,n p p p 均为质数【例4】三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁，他们的年龄之和为( )岁.A ．21B ．27C ．33D ．39E ．51n 3n n -【例5】设是小于12的不同质数(素数),且,则( ).A. 10B.12C. 14D.15E. 19 【例6】如果,,a b c 为3个连续的奇数，则30a b +=．(1)1020a b c <<<<.(2)b c ,均为质数． 三、 最大公因数与最小公倍数 1、 定义（1） 公因数、最大公因数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|d a d b ，则称d 为,a b 的一个公因数（公约数），其中最大的公因数称为,a b 的最大公因数，记为(,)a b .注：若1(,)a b =，则称,a b 是互质的.（2） 公倍数、最小公倍数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|a d b d ，则称d 为,a b 的一个公倍数，其中最小的公倍数称为,a b 的最小公倍数，记为[,]a b .2、 性质（1） 若|,|a d b d ，则[,]|a b d . （2） (,)[,]a b a b a b ⋅=⋅（3） 若|a bc ，且1(,)a b =，则|a c .【例7】3018900(,),[,]a b a b ==（1）2100270,a b ==（2）140810,a b ==【例8】两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的正整数共有（ ）,,a b c 8a b b c c a -+-+-=a b c ++=对.A ．1B ．2C ．3D ．4E ．5第二节 实数及其运算一、 实数的分类整数有理数实数 分数（有限小数、无限循环小数）无理数（无限不循环小数）1、 实数的运算（1） 加、减、乘、除 （2） 乘方运算n na a a a =⋅⋅⋅，1n n a a -=，01a = （3） 开方运算n ma =1n mn maa-==2、 实数的整数部分和小数部分(1) 定义：,[]x R x ∀∈表示不超过x 的最大整数，令{}[]x x x =-，称[]x 是x 的整数部分，{}x 是x 的小数部分. (2) 性质：{}[]x x x =+01{}x ≤< 3、 有理数（1） 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成0,(,,)mm n Z n n∈≠的形式.最简分数：若1(,)m n =，称mn为最简分数或既约分数. （2）有理数之间的相互转化分数 小数 小数 分数4、无理数无限不循环小数称为无理数. （1） 无理数与有理数的运算“有”＋、－、×、÷“有”= “有”＋、－“无”= “有”×、÷“无”=注：若是有理,a b 00a a b +=⇒== (2)处理无理数的方法：乘方、配方、有理化【例9】若是最简分数,其中取19~中的整数,,则( ) A. B. C. D.24E.以上结果均不正确【例10】已知为无理数,为有理数,则下列正确的有( )个. ①必为无理数. ②必为无理数.③必为有理数. ④可能为有理数. A. 0 B.1 C. 2 D.3 E. 4a b ,a b 1192b a b +=+a b=675645a (1)(3)a a ++2a 2(1)a +2(2)a +(2)(2)a a +-【例11】已知为有理数,c =则( ).A. 2B.3C. 4D.5E. 7 【例12的整数部分为,小数部分为,则( ).11第三节 比和比例一、比、比例的定义 若或,则和为比例外项,和为比例内项,当时,称为和的比例中项,即2b ad =.二、比例的性质 1、比例的基本性质（1）ak a b k b=⇒=⋅（2）,(0)a mam b mb =≠ （3）a cad bc b d=⇒=2、更比定理a c ab b dc d=⇒= 3、 合、分比定理,,a b c 222a b c ++=αβαβ=::a b c d =a cb d=a d b c ::a b b d =b a da c a mbc md b d b na d nc++=⇒=++ 4、 等比定理,(0)a c e a c e k k b d f b d f b d f++===⇒=++≠++【例13】已知非零实数,满足,则( ).A. 0B. 0或8-C. 2-或1D. 1或8-E. 8-【例14】设0a b m >>>,在有意义的条件下则的大小关系为( ).A. B. C.D. E.三、百分比问题1、定义：,即,则称为是的.2、增长率注：a 比b 大%100%%(1%)a b p p a b p b-⇔⨯=⇔=⋅+ b 比a 小%100%%(1%)a b p p b a p a-⇔⨯=⇔=⋅- 3、增加并存的恢复问题(1) 设价格为的商品,先提价,在降价后,则变化后的价格为.,,a b c b c a c a b b a c x a b c+-+-+-===3x =123,,a m a a m I I I b m b b m-+===-+321I I I <<213I I I <<123I I I <<231I I I <<132I I I <<100%%a r b⨯=%a b r =⋅a b %r 100%⨯后来值-原来值增长的百分比=原来值100%⨯原来值-后来值减少的百分比=原来值p %r %r(2) 设价格为的商品,先提价,则降价%,恢复原价.(3) 设价格为的商品,先降价,则提价%,恢复原价.【例15】某电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%.二月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，却能获利25%，那么二月份的进价是一月份进价的（ ）（A ）92% （B ）90% （C ）85% （D ）80% （E ）75%【例16】企业的职工人数今年比前年增加了20℅.(1)企业的职工人数去年比前年减少了20℅.(2)企业的职工人数今年比去年增加了50℅【例17】第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低20%；第二季度，甲公司的产值比第一季度增长了20%，乙公司的产值比第一季度增长了10%；第二季度甲、乙公司的产值之比是（ ）.A.96：115B.92:115C.48:55D.24:25E.10:11p %r p %r A A A【例18】甲、乙、丙三种物品，已知甲与乙的价格之和与丙的价格之比是7:2；乙与丙的价格之和与甲的价格之比为8:3，则甲与丙的价格之和与乙的价格之比是（ ）.A.49:50B.37:50C.37:40D.47:60E.49:60第四节 绝对值一、 绝对值的定义和性质1、 定义和几何意义（1）定义：0||000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩||0x a x a x a x a a x x a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩（2）几何意义||a 表示点a 到原点的距离.||x a -表示点x 到a 的距离.2、 绝对值的性质（1）非负性：||0a ≥注：非负性的和为零，则每项均为零.（2）对称性：||||,||||a a a b b a =--=- （3）自比性：||||a a a -≤≤-1010||a a a a >⎧=⎨-<⎩，20,000||||20,0a b a b ab a b a b >>⎧⎪+=<⎨⎪-<<⎩ （4）平方、开方性222||||,||a a a a ===（5） 三角不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意：取等号的条件.||||||0a b a b ab +=+⇔≥||||||||0a b a b ab +=-⇔≤||||||0a b a b ab -=+⇔≤||||||||0a b a b ab -=-⇔≥【例19】已知2|1|(2)0x y x y -++-=，则log y x =（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2E. -2【例20】(410)z x y -=(1) 实数,,x y z满足2(21)20x y x y z -+-+=(2) 实数,,x y z满足224521x xy y y +++=--【例21】若2112||33x x--=成立，则x 的取值范围是（ ）. A. 12x > B. 12x = C. 12x < D. 12x ≥ E.12x ≤【例22】成立.(1)(2)321x x +-+=-4.5x <-4.53x -≤≤-【例23】等式|27||2||5|m m m -=-+-成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 25m ≤≤B. 2x ≤-或5x ≥C. 25m -<<D. 2x ≤或5x ≥E. 5x ≤-或2x ≥-二、绝对值等式和不等式方法：（1）公式法；（2）零点分段讨论法；（3）平方1、绝对值等式.求解：①方程无解.②方程有唯一解.③方程有两个解.注：保证绝对值的非负性.2、绝对值不等式（1）解集为：,0,0b a b x a b b ∅≤⎧⎨-<<+>⎩(2)解集为：,0,0,0R b x a b x a b x a b b <⎧⎪≠=⎨⎪>+<->⎩或【例24】方程216x x --=的根为( ).A.或B.或73x =C.73x =或5x =-D.或E.5x =【例25】方程213x x ++-=无根.(1)1x >. (2)2x ≤-x a b -=0b <⇒0b =⇒x a =0b >⇒x a b =±x a b -<x a b ->5x =-1x =5x =3x =3x =-53x =【例26】可以确定||2x y x y+=-. (1)3x y =； （2）13x y =【例27=-x 的取值范围是（ ）A. 0x <B. 2x ≥-C. 20x -≤≤D. 20x -<<E. 20x -≤<【例28】方程2x x a -=有三个不同的解,则实数a 的取值范围是( ).(A) 0a = (B) 0a >或1a <- (C) 1a <- (D) 10a -<< (E) 0a >【例29】实数x 满足13||||222x x -+-<. (1)21||13x -< (2)21||11x x -≤+三、绝对值最值问题1、绝对值函数取最值的结论（1）()||||f x x a x b =-+-（2）()||||f x x a x b =---（3）()||||||f x x a x b x c =-+-+-【例30】的最小值为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） （E ）【例31】若关于x 的不等式32x x a -+-<的解集是空集,则实数a 的取值范围是( ).(A) 1a < (B) 1a ≤ (C) 1a > (D) 1a ≥ (E) 1a ≠2、含有绝对值的确定取值范围的问题（1）恒成立、无解()f x a ≥恒成立()f x a ⇔<无解min ()f x a ⇔≥()f x a ≤恒成立()f x a ⇔>无解max ()f x a ⇔≤()f x a >恒成立()f x a ⇔≤无解min ()f x a ⇔>31()||||44f x x x =---1212-0114()f x a <恒成立()f x a ⇔≥无解max ()f x a ⇔<（2）有解设()f x 是绝对值的和或差构成的函数（连续），则()f x a =有解min ()f x a ⇔≤()f x a =无解min ()f x a ⇔>【例32】方程|1||1|x x a -++=无解.(1)1a = (2)2a <【例33】不等式24x x S -+-<无解.(1)2S ≤(2)2S >【例34】方程|4||1|x x a --+=有无穷多解.(1)5a =(2)5a =-【例35】|53||32|3x x ---=的解集是空集.(1)53x >(2)7563x <<第二章 代数式和函数第一节 整式一、 基本概念1、 代数式的分类单项式 整式有理式 多项式代数式 分式无理式2、一元n 次多项式1110()(0)n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠称为关于x 的一元n 次多项式.多项式相等定理：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，1110()nn n n g x b x b x b x b --=++++，则111100()(),,,n n n n f x g x a b a b a b a b --=⇔====二、 整式的运算1、乘法公式①②③④⑤注：2222221[()()()]2x y z xy yz xz x y y z z x ++---=-+-+-【例1】对任意实数x ，等式450ax x b -++=恒成立，则2015()a b +=（ ）A.0B.1C. 1-D. 20152E. 10072222()2x y x xy y ±=±+22()()x y x y x y -=+-2222()222x y z x y z xy yz xz ++=+++++3322()()x y x y x xy y ±=±+33223()33x y x x y xy y ±=±+±【例2】已知，则（ ）（A ）83 （B ）84 （C ）85 （D ）86 （E ）87【例3】实数,,a b c 中至少有一个大于零.(1) ,,,x y z R ∈22,2a x y π=-+22,3b y z π=-+226c z x π=-+(2) x R ∈且1,x ≠1,a x =-1,b x =+21c x =-2、整式除法（1）竖式除法（2）带余除法任意多项式(),()(()0)f x g x g x ≠，则存在唯一的(),()p x r x ，使得()()()()f x g x p x r x =⋅+,其中()r x 的次数比()g x 的低，则称多项式()f x 除以()g x 商式为()p x ,余式为.3、整除（1）定义：当时，()()()f x g x p x =⋅，称整式()f x 能被整式()g x 整除，称()g x 为()f x 的一个因式，记为()|()g x f x .（2）性质：若,且,则.若,且,则.4、因式定理f x ()含有ax b -()因式⇔f x ()能被ax b -()整除⇔0b f a =().注：一次因式的零点恰为对应多项式方程的根.5、 余式定理239x x -=433275x x x --+=()r x ()0r x =()|()h x g x ()|()g x f x ()|()h x f x ()|()h x g x ()|()h x f x ()()|()()()()h x u x f x v x g x ±多项式f x ()除以ax b -()的余式为().b r f a=【例4】若多项式3223()f x x a x x a =++-能被1x -整除，则实数a =（ ）A.0B. 1C. 0或1D. 2或-1E. 2或1【例5】二次三项式26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的一个因式. （1）16a =（2）2b =【例6】若2x x m ++被5x +除，余式为3-，则m =（ ）A.21B.22C.-22D.23E.-23【例7】若f x ()被1x -除，余式为9；若f x ()被2x -除，余式为16，则f x ()被12x x --()()除的余式为（ ）A.72x +B.73x +C.74x +D.75x +E.27x +【例8】 若三次多项式g x ()满足1020324g g g g -====-()()(),()，多项式421f x x x =-+()，则34g x f x -()()被1x -除的余式为（ ）A.3B.5C.8D.9E.11三、 整式的因式分解把一个整式化为若干个其他的整式乘积的运算称为整式的因式分解. 常用的因式分解的方法： 1、 公式法2、 十字相乘法3、 待定系数法【例9】多项式326x ax bx ++-的两个因式是2x +和3x -，则第三个一次因式是（ ）A.6x -B.3x -C.1x +D.2x +E.3x +【例10】若12x y -+()是2244xy x y m ---的一个因式，则m =（ ）A.4B.1C.-1D.2E.0第二节 分式一、 分式的基本概念1、 定义(1)0AB B≠()称为分式，其中A 称为分子，B 称为分母. （2）最简分式（既约分式）：分子和分母没有正次数的公因式的分式. 2、分式的基本性质（1）分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变. (2)约分：把分式的分子与分母的公因式约去.(3)通分：把异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式. 3、分式的运算（1） 分式的加减运算（2） 分式的乘除运算（3）分式的乘方运算【例11】当20051949x y ==,时，代数式4422222x y y xx xy y x y --⋅-++的值为（ ）A.-3954B.3954C.-56D.56E.128【例12】已知0a b c ++=，则111111a b c b c a c a b+++++=()()()的值为（ ）A.0B.1C.2D.-2E.-3 二、1nnx x +类型 解题方法：递推公式222112k kk k x x x x +=+-() 2112111111k k k k k k x x x x x x x x+++++=++-+()()()【例13】若2510x x -+=，则441x x+的值为（ ） A.527 B.257 C.526 D.256 E.356【例14】若正实数满足2421124a a a =++，则21a a a ++的值为（ ）A.12B.14 C.16D.112E.124三、分式方程1、 分式方程0A B =的解为0A B =⎧⎨≠⎩2、 增根：使得0A B =⎧⎨=⎩成立的根称为方程0A B =的增根【例15】若关于x 的方程2133m x x =---有增根，则m 的值为（ ） A.0 B.3 C.-1 D.-2 E.-3【例16】42233402445815x x x x x --+=-+成立.(1)x =(2)x =第三节 函数一、 函数的基本属性1、 函数的三要素：定义域、对应法则、值域 注：常用的函数定义域的基本原则 （1） 分母不能为零；（2） 偶次根式中被开方数不能小于零；（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4） 零指数幂的底数不等于零； （5） 实际问题要考虑实际意义等 2、 单调性设函数f x ()在区间a b [,]有定义，对于任意的12x x a b ∈,[,]，（1） 单调增加：若12x x <，有12f x f x <()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调增加； （2） 单调减少：若12x x <，有12f x f x >()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调减少.(3)复合函数的单调性法则：单调性相同的两个函数复合，得到的新函数是单调增加的；单调性不同的两个函数复合，得到的新函数是单调减少的. 3、 奇偶性（1） 偶函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=()()，则称f x ()为偶函数； （2） 奇函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=-()()，则称f x ()为奇函数； （3） 性质：偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 二、一元二次函数1、一元二次函数的解析式（1）一般式：20f x ax bx c a =++≠()() （2）零点式：120f x a x x x x a =--≠()()()()（3）顶点式：224024b ac b f x a x a a a-=++≠()()() 2、一元二次函数的图像及其性质（1）图像：抛物线 开口 判别式 对称轴 零点 顶点（2）单调性：当0a >时，在2b a -∞-(,]上是单调减少的，在2ba -+∞[,)上是单调增加的； 当0a <时，在2b a -∞-(,]上是单调增加的，在2ba-+∞[,)上是单调减少的.（3）最值：一元二次函数在对称轴处取到最值当0a >时，开口向上，有最小值；当0a <时，开口向下，有最大值.注：限定区间的最值问题，有时还需要结合单调性来求出最值. （4）零点与韦达定理设12x x ,是一元二次函数20f x ax bx c a =++≠()()与x 轴的两个交点的横坐标（称为零点），则：12b x x a +=-12c x x a⋅=【例17】函数112x y -=在定义域上的单调性为（ ）A ．在1-∞(,)上是增函数，在1+∞(,)上是增函数 B.减函数C ．在1-∞(,)上是减函数，在1+∞(,)上是减函数 D.增函数 E ．以上结论都不正确【例18】一元二次函数1y x x =-()的最大值是（ ）A.0．05B.0.1C.0.15D.0.2E.0.25【例19】设实数x y ,满足23x y +=，则222x y y ++的最小值是（ ）A.4B.5C.611【例20】若不等式210x ax ++≥对一切102x ∈(,)都成立，则a 的取值范围是（ ）A.0a ≥B.10a -<<C.512a -≤≤-D.52a ≥- E.1a ≤-三、指数函数和对数函数1、指数函数 （1）定义01x y a a a =>≠,(,)，定义域为R ，值域为0+∞(,).（2）图像（3）单调性当1a >，xy a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）底数与图像的关系当1a >，a 值逆时针变大；当01a <<，a 值也是逆时针变大的. 2、对数函数（1）定义01a y x a a =>≠log ,(,)，定义域为0+∞(,)，值域为R .（2）图像（3）单调性当1a >，x y a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）对数与指数的关系：对数运算与指数运算是互逆运算ba a Nb N =⇔=log3、指数与对数的运算性质：，，，，，，，，，，， ，，，，，.【例21】若，则有（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）（E ）以上均不正确 b a N =01a =1a a =()nm mn a a =m n m n a a a +⋅=()nn n ab a b =⋅m n m n a a a -÷=mn a =1n na a-=log N a a N =1log 0a =log 1a a =loglog log M N M N aa a=+loglog log M M N N aa a =-log log nM Ma a n =log log logb bcaa c=1log log b a a b =log log m n b b a am n =32a -<<-13()0.32aa a >>10.3()32aa a>>1()0.332a a a>>130.3()2a aa >>【例22】744855285,,377a b c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是( ). (A) a b c >> (B) a c b >> (C) b a c >> (D) c a b >> (E) 以上均不正确【例23】若330m n <<log log ，则m n ,满足条件（ ）A.1m n >>B.1n m >>C.01m n <<<D.01n m <<<E.无法判断【例24】函数223a f x x x =+-()log ()，若20f >()，则f x ()的单调递减区间为（ ）A.1+∞(,)B.1-∞-(,)C.3-∞-(,)D.1-+∞(,)E.-∞+∞(,)【例25】已知函数2234x x f x +=-⨯()，且20x x -≤，则f x ()的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.3E.4【例26】设164x ≤≤，函数42222812y x x x=+⋅(log )(log )log 的最大值和最小值分别是（ ）A.54,2B.81,9C.81,0D.54,0E.以上都不正确第三章方程和不等式函数、方程、不等式、平面解析几何等方面的问题本质上是同一个问题，只是研究的角度不同.【主要考点】1. 代数方程：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组.2. 其他类型的方程：绝对值方程，分式方程，根式方程，对数方程，指数方程.3. 不等式：不等式的性质，一元一次不等式，一元二次不等式，简单的一元高次不等式.4. 不等式组：由一元一次不等式和一元二次不等式等组成的不等式组.5. 其他类型的不等式：绝对值不等式，分式不等式，根式不等式，指数不等式，对数不等式.6. 均值不等式，三角不等式.7. 线性规划问题：不等式组约束下的最值问题. 8. 应用问题.第一节方程一、基本概念1.方程、解（根）含有未知数的等式称为方程.能使方程左右两端相等的未知数的值，称为方程的解或根.考试只要求方程的实根，即方程在实数域内的解.2.方程的元和次“元”指的是方程中不同未知数的个数，“次”指的是方程中未知数的最高次数.二、一元一次方程1.方程的形式：ax b =2.解方程（1）若方程中的所有系数均为已知的实数，可利用代数式运算的法则求解方程； 实例：325x +=，解得1x =.（2）若方程中含有参数，特别是未知数的系数中含有参数，通常需要分情况讨论.3.分情况讨论：①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0,0a b ==时，方程有无穷多解，x R ∈；③当0,0a b =≠时，方程无解.4.解析几何中的直观解释：【例 3.1】能够推出x 的方程22()0a b x a b -++=有无穷多解，下列说法中正确的个数为（）①0a b +=；②0a b +≠；③220a b -=；④0a b -=.(A)0(B)1 (C)2 (D)3(E)4【例 3.2】直线2(1)y a x a a =+-+与直线2y =-有且只有一个交点，则交点的坐标为（）(A)(1,1)a + (B)(1,2),1a a +-≠- (C)(2,1),1a a --≠-(D)(1,2)a +- (E) (2,2),1a a --≠-三、一元二次方程1.形式：20(0)ax bx c a ++=≠注：如果0a =，则退化为前一种情况.2.等价形式：220(0)0b c x x a x px q a a++=≠⇔++= 3.配方形式：222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程的判别式：24b ac ∆=-5.讨论：①0∆>，方程有两个不相等的实根.②0∆=，方程有两个相等的实根.③0∆<，方程无实根.6.求根公式：1,2,02b x a-±=∆≥ 7.因式分解形式（十字相乘）：若12,x x 为方程的两个实根，则212()()0ax bx c a x x x x ++=--=.反之成立.8.韦达定理或根与系数关系：1212,b c x x x x a a+=-=. （1）为什么？（2）推广到一元三次方程20(0)ax bx c d a +++=≠，假定123,,x x x 为三个实根，则 123123,x x x x x x ++==（3）与韦达定理有关的代数式运算1211x x +=，2212x x +=3312x x +=，4412x x +=12x x -=，3312x x -= 【例 3.3】设12,x x 是方程250x px +-=的两个实根，若1211x x +的算术平均数为6，则p 的值为（）(A)50- (B)60- (C)50(D)60(E)30【例3.4】方程2780x x -+=的两个实根为121,1x x ++.（1）方程2520x x -+=的两个实根为12,x x（2）方程2520x x ++=的两个实根为12,x x【例3.5】已知方程220x ax x a +-+=有实根，则两根之积的最大值与最小值之差为（）(A)1 (B)89 (C)29 (D)19(E)无法确定【例3.6】已知一元三次方程32210x x -+=的根为1231,,x x x =，则2223x x +=（） (A)1- (B)12 (C)1 (D)2(E)3【例 3.7】设一元三次方程320x bx cx d +++=的三个实根为123,,x x x ，则22212311x x x ++=.（1）1,5,6b c d =-=-=（2）1,5,6b c d ==-=-【例3.8】方程210x ax ++=与210x x a ++-=有一公共实根.（1）2a =（2）1a =四、二元一次方程组1.形式：111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 2.求解（1）当1110a b c ≠时，几何解释 ①2211a b a b ≠，方程有唯一解. ②222111a b c a b c =≠，方程无解. ③222111a b c a b c ==，方程有无穷多组解. （2）其他情况，针对具体问题具体分析.3.重点：利用方程组解决应用问题，包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等.【例3.9】一列火车驶过铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥公用1分25秒，随后列车又穿过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，能确定火车的速度及车身的长度（假定火车始终匀速行驶）.（1）铁路桥长为900米.（2）隧道长为1800米.五、其他类型的方程1.分式方程（1）形式：()()f x ag x = （2）求解方法①去分母，验增根：先求方程()()0f x ag x -=的根，再验证()0g x ≠是否成立. ②()()0()()0()f x ag x f x a g x g x -=⎧=⇔⎨≠⎩【例3.10】方程213111x x x x x ++=+--的所有根之和为（） (A)1(B)1- (C)2 (D)2-(E)0【例3.11】一满桶纯酒精倒出10升后，加满水搅匀，再倒出4升后，再加满水.此时，桶中的纯酒精与水的体积之比是2:3，则桶的体积是（）升(A)15 (B)18 (C)20 (D)22(E)252.绝对值方程（1）形式：含有绝对值的方程.（2）一般形式：①直接取正负去掉绝对值，注意检验增根. 实例：1x =-②讨论范围去掉绝对值.（3）特殊形式：通常与绝对值函数有关.【例3.12】方程214x x -+=的所有根之积为（）(A)3(B)5 (C)3- (D)5-(E)6【例3.13】方程1222x x x a -+-+-=无实根.（1）1a ≤（2）0.5a =3.根式方程（1）形式：含有根式的方程.（2）求解：平方去根式，检验增根.【例3.14】2=的所有根之积为（）(A)56 (B)48 (C)36 (D)28(E)244.指数方程和对数方程（1）形式：含有指数或对数的方程.（2）求解：只考查简单的指数方程和对数方程，通常利用换元法进行化简.【例3.15】方程1332x x --=的所有根之积为（）(A)1- (B)0 (C)13 (D)1(E)3【例3.16】方程11442x x a -----⨯=有实根，则a 的取值范围是（）(A)30a -<< (B)3a ≤-或0a ≥ (C)30a -≤<(D)3a ≤-或0a > (E) 以上答案都不对第二节不等式一、基本概念1.不等号≥等价于>或=，例11≥.2.不等式的性质①a b b a >⇔<②,a b b c a c >>⇒>③,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<二、一元一次不等式1.形式：ax b >或0ax b ->2.分情况讨论：几何解释①当0a >时，b x a>； ②当0a <时，b x a <； ③当0,0a b =≥时，无解；④当0,0a b =<时，x R ∈.【例3.17】1211x -<<-. （1）0x <（2）32x >三、一元二次不等式1.形式：20ax bx c ++>或20ax bx c ++<.2.解集：注：只讨论0a >的情况.若0a <，既可不等式两边乘以1-后转化为正系数的情况，也可做类似的分析.【例3.18】已知不等式220ax bx ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +=（） (A)12- (B)10- (C)6-(D)4-(E)6【例3.19】关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立.（1）1a ≤（2）35a >-【例3.20】若不等式2210x ax -+≥对于一切()0,1x ∈成立，则a 的取值范围是（）(A)11a -<≤ (B)2a < (C)12a -≤≤ (D)1a ≤(E)2a ≤ 四、一元高次不等式1.形式：通常为几个因式乘积的形式.2.解法：穿线法.①去掉恒正或恒负的项，调整最高次幂的系数为正，写出等价形式.②在数轴上标出零点，判断实心或空心.③从右向左依次穿线.④奇穿偶不穿.【例3.21】不等式22(28)(2)(226)0x x x x x ----->恒成立.（1）(2,1]x ∈--（2）4x >或2x <【例3.22】不等式(2)ln 0(1)(3)x e x x x x -≥--恒成立. （1）(0,1)(1,2](3,)x ∈+∞（2）[2,3)x ∈五、不等式组1.形式：若干个不等式联立组成不等式组.2.解法：取各个不等式解集的交集.【例3.23】方程2(2)0x a x a +-+=的两个实根均在(1,1)-内，则a 的取值范围是（）(A)142a -<≤+ (B)142a -≤≤- (C)142a <≤+(D)142a <≤- (E)142a <<+【例3.24】某单位年终共发50万元奖金，奖金金额分别为一等奖4万元，二等奖2万元，三等奖1万元，则该单位至少有25人.（1）得二等奖的人数最多（2）得三等奖的人数最多六、其他类型的不等式1.分式不等式：移项，通分，穿线.【例3.25】0x << （1）223211x x ->- （2）当01x <<时，223211x x ->-2.绝对值不等式：讨论法，两侧法，图像法.【例3.26】123x x +<+.（1）1x <-（2）54x >-【例3.27】2521x x x -->-（1）4x >（2）1x <-3.根式不等式：讨论法，图像法.【例3.28】x a -≥对于1x ≥恒成立. （1）34a <（2）34a =4.对数不等式和指数不等式：结合图像进行讨论.【例3.29】不等式221log ()2x x <-≤（11x ≤<-（2）2x <≤六、均值不等式和三角不等式1.均值不等式（1）2a b +≥(0,0)a b ≥≥，当且仅当a b =时等号成立. 等价表述：两个非负实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.两个非负实数的等差中项大于等于它们的等比中项.222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. （2）适用范围：①乘积为定值时，可求和的最小值.②和为定值时，可求乘积的最大值.（3）注意事项：一定要判断取等条件.如果不满足取等条件，则无法取得相应的最值.（4）3a b c ++≥(0,0,0)a b c ≥≥≥，当且仅当a b c ==时等号成立. 实例：对号函数1y x x =+【例3.30】已知0x >，函数223y x x=+的最小值是（）(A)((C) (D)5(E)【例3.31】若40y x x --<对一切正实数x 均成立，则y 的取值范围是（） (A)2y = (B)2y < (C)2y ≤ (D)4y ≤(E)4y <2.三角不等式（1）a b a b a b -≤+≤+，当且仅当0ab ≥时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≤时左侧的等号成立.（2）()a b a b a b a b a b a b -≤-≤+⇔--≤+-≤+-， 当且仅当0ab ≤时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≥时左侧的等号成立.【例3.32】a b a b a b -=-=+（1）0ab ≥（2）0ab ≤七、线性规划1.解法①根据约束条件即不等式组画出可行域.②求出可行域的所有“尖点”，注意题目中是否有整数的要求.③代入目标函数，比较函数值得出结论.【例3.33】,x y 满足236x y +≤且24x y +≤，则x y +的最大值为52（1）,x y R ∈（2）,x y N ∈第一章例题答案1-5 DCDCD 6-10 EABAD 11-15 AEDAB 16-20 CCAAB 21-25 EDDEA 26-30 ECAEB 31-35 BDADE第二章例题答案1-5 CDDEE 6-10 EACCC 11-15 AEBCD 16-20 DBEAD 21-25 BADCB 26 C第三章例题答案1-5 CEDAA 6-10 EDECC 11-15 CDBBD 16-20 CDBCD 21-25 ABDEB 26-30 BADDA 31-33 ECA。

《附件3》----2018届管理类考研数学基础班课程讲义导论一、管理类联考数学考试大纲管理类专业学位联考(MBA,MPA,MPAc等)综合能力考试数学部分要求考生具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力.综合能力考试中的数学部分(75分)主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，以及分析问题和解决问题的能力，通过问题求解(15小题，每小题3分，共45分)和条件充分性判断(10小题，每小题3分，共30分)两种形式来测试.数学部分试题涉及的数学知识范围有：(一)算术1．整数(1)整数及其运算(2)整除、公倍数、公约数(3)奇数、偶数(4)质数、合数2. 分数、小数、百分数3．比与比例4．数轴与绝对值(二)代数1．整式(1)整式及其运算(2)整式的因式与因式分解2．分式及其运算3．函数(1)集合(2)一元二次函数及其图像(3)指数函数、对数函数4．代数方程(1)一元一次方程(2)一元二次方程(3)二元一次方程组5．不等式(1)不等式的性质(2)均值不等式(3)不等式求解：一元一次不等式(组)，一元二次不等式，简单绝对值不等式，简单分式不等式.6. 数列、等差数列、等比数列(三)几何1．平面图形(1)三角形(2)四边形(矩形、平行四边形、梯形) (3)圆与扇形2．空间几何体(1)长方体(2)柱体(3)球体3．平面解析几何(1)平面直角坐标系(2)直线方程与圆的方程(3)两点间距离公式与点到直线的距离公式 (四)数据分析 1. 计数原理(1)加法原理、乘法原理 (2)排列与排列数 (3)组合与组合数 2．数据描述(1)平均值 (2)方差与标准差 (3)数据的图表表示：直方图，饼图，数表 3．概率(1)事件及其简单运算 (2)加法公式 (3)乘法公式 (4)古典概型 (5)伯努利概型二、数学基础两种考查题型数学基础共25道题，满分75分,有两种考查题型： 第一种是问题求解，1-15题,每道小题3分,共45分；第二种是条件充分性判断，16-20题,每道小题3分,共30分. 两种考查形式说明如下：1. 问题求解题型说明联考中的问题求解题型是我们大家非常熟悉的一般选择题，即要求考生从5个所列选项(A)、(B)、(C)、(D)、(E)中选择一个符合题干要求的选项，该题型属于单项选择题，有且只有一个正确答案.该题型有直接解法(根据题干条件推出结论)和间接解法(由结论判断题干是否成立)两种解题方法. 下面举例说明：【范例1】(200901)方程214x x -+=的根是().(A)5x =-或1x =(B)5x =或1x =-(C)3x =或53x =-(D)3x =-或53x =(E) 不存在 【答案】C2. 条件充分性判断题型说明这类问题是结论明确，反问需要什么数学条件可以推出已给的结论，进一步说明：1)充分性逻辑角度:如果条件A 成立,能推出结论B 成立,即A B ⇒,称A 是B 的充分条件. 集合角度: B A ⊆ (A 是B 的子集)，则A 是B 的充分条件. 2)题目的设计：【题例】 题干(结论) (1)条件一 (2)条件二 3)选项设置【考题范例1】(2012)直线b x y +=是抛物线a x y +=2的切线．(1)b x y +=与a x y +=2有且仅有一个交点．(2)).(2R x a b x x ∈-≥-【答案】A【考题范例2】(2013)某单位年终共发了100万元奖金，奖金金额分别是一等奖1.5万元、二等奖1万元、三等奖0.5万元，则该单位至少有100人．(1)得二等奖的人数最多．(2)得三等奖的人数最多． 【答案】B【考题范例3】(2010) 设a 、b 为非负实数,则a b +≤54. (1)ab ≤116. (2)221a b +≤. 【答案】C【考题范例4】(2012)已知,m n 是正整数，则m 是偶数．(1)n m 23+是偶数． (2)2223n m +是偶数． 【答案】D【考题范例5】(2013)1+=mq p 为质数．(1)m 为正整数，q 为质数． (2),m q 均为质数． 【答案】E4)解题策略永远是从条件推结论，但可以将条件或者结论做等价化简. 解题策略1：如果条件是等号，则直接代入结论判断是否成立; 解题策略2：如果条件是范围，则看条件范围是否落入结论的范围; 解题策略3：可找特殊值证伪，一点即可说明不充分.考点精讲第一章 算术第一节整数一、 整数及其除法整数包括正整数、负整数和零.两个整数的和、差、积是整数，但两个整数的商不一定是整数. 1、 带余除法,使得,0||r b ≤<成立,且唯一,则称为被除所得的商叫做被除所得的余数.2、整除且,使得成立,则称整除,此时称为的约数(因数),称为的倍数，记为|b a . 3、整除的性质(1)|,||c b b a c a ⇒(2)|,||(),(,)c b c a c ma nb m n Z ⇒+∀∈ 4、整数的分类由带余除法，可根据余数将整数进行分类.例如，整数被2除的余数是0,1，从而可将整数分为两类：2,21()n n n Z +∈，即偶数和奇数；类似的，整数被3除的余数是0,1,2，从而可将整数分为三类：31,31,32()n n n n Z +++∈.5、整除数的特征被2整除的数的特征： 被5整除的数的特征： 被4,25整除的数的特征： 被8,125整除的数的特征： 被3,9整除的数的特征： 被6整除的数的特征： 被10整除的数的特征：,,a b Z ∀∈0,b ≠,p r Z ∃∈a pb r =+,p r p a b ,r a b ,,a b Z ∀∈0,b ≠p Z ∃∈a pb =b a b a a b被12整除的数的特征：【例1】当整数n 被6除时，余数为3，则下列哪项不是6的倍数？（ ）A.3n -B.3n +C.2nD.3nE.4n【例2】如果是一个正整数,那么一定有约数( ).A.4B.5C.6D.8E.9【例3】有一个四位数,它被131除余13,被132除余130,则此数的各位数字和为( ).A.22B.23C.24D.25E.26 二、 质数与合数 1、 定义质数：一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，则称这个数是质数（素数）. 合数：一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有别的正因数，则称这个数是合数.注：由定义知，1既不是质数也不是合数. 2、 质数的性质（1） 最小的质数是2；质数中只有2是偶数，其它都是奇数.（2） 若p 为质数，a 是任一整数，则|p a 或a 与p 互质（a 与p 的最大公因数是1） （3） 设12,,,n a a a 是n 个整数，p 为质数，若12|(,,,)n p a a a ，则p 至少能整除其中一个k a .3、 质数分解定理任何一个大于1的整数，都能分解成若干个质数的乘积，且分解形式是唯一的，即12n a p p p =⋅⋅⋅，其中1a >的整数，12,,,n p p p 均为质数【例4】三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足6岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差6岁，他们的年龄之和为( )岁.A ．21B ．27C ．33D ．39E ．51n 3n n -【例5】设是小于12的不同质数(素数),且,则( ).A. 10B.12C. 14D.15E. 19 【例6】如果,,a b c 为3个连续的奇数，则30a b +=．(1)1020a b c <<<<.(2)b c ,均为质数． 三、 最大公因数与最小公倍数 1、 定义（1） 公因数、最大公因数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|d a d b ，则称d 为,a b 的一个公因数（公约数），其中最大的公因数称为,a b 的最大公因数，记为(,)a b .注：若1(,)a b =，则称,a b 是互质的.（2） 公倍数、最小公倍数：设,a b 是两个整数，若整数d 满足|,|a d b d ，则称d 为,a b 的一个公倍数，其中最小的公倍数称为,a b 的最小公倍数，记为[,]a b .2、 性质（1） 若|,|a d b d ，则[,]|a b d . （2） (,)[,]a b a b a b ⋅=⋅（3） 若|a bc ，且1(,)a b =，则|a c .【例7】3018900(,),[,]a b a b ==（1）2100270,a b ==（2）140810,a b ==【例8】两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是90，满足条件的正整数共有（ ）,,a b c 8a b b c c a -+-+-=a b c ++=对.A ．1B ．2C ．3D ．4E ．5第二节 实数及其运算一、 实数的分类整数有理数实数 分数（有限小数、无限循环小数）无理数（无限不循环小数）1、 实数的运算（1） 加、减、乘、除 （2） 乘方运算n na a a a =⋅⋅⋅，1n n a a -=，01a = （3） 开方运算n ma =1n mn maa-==2、 实数的整数部分和小数部分(1) 定义：,[]x R x ∀∈表示不超过x 的最大整数，令{}[]x x x =-，称[]x 是x 的整数部分，{}x 是x 的小数部分. (2) 性质：{}[]x x x =+01{}x ≤< 3、 有理数（1） 整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成0,(,,)mm n Z n n∈≠的形式.最简分数：若1(,)m n =，称mn为最简分数或既约分数. （2）有理数之间的相互转化分数 小数 小数 分数4、无理数无限不循环小数称为无理数. （1） 无理数与有理数的运算“有”＋、－、×、÷“有”= “有”＋、－“无”= “有”×、÷“无”=注：若是有理,a b 00a a b +=⇒== (2)处理无理数的方法：乘方、配方、有理化【例9】若是最简分数,其中取19~中的整数,,则( ) A. B. C. D.24E.以上结果均不正确【例10】已知为无理数,为有理数,则下列正确的有( )个. ①必为无理数. ②必为无理数.③必为有理数. ④可能为有理数. A. 0 B.1 C. 2 D.3 E. 4a b ,a b 1192b a b +=+a b=675645a (1)(3)a a ++2a 2(1)a +2(2)a +(2)(2)a a +-【例11】已知为有理数,c =则( ).A. 2B.3C. 4D.5E. 7 【例12的整数部分为,小数部分为,则( ).11第三节 比和比例一、比、比例的定义 若或,则和为比例外项,和为比例内项,当时,称为和的比例中项,即2b ad =.二、比例的性质 1、比例的基本性质（1）ak a b k b=⇒=⋅（2）,(0)a mam b mb =≠ （3）a cad bc b d=⇒=2、更比定理a c ab b dc d=⇒= 3、 合、分比定理,,a b c 222a b c ++=αβαβ=::a b c d =a cb d=a d b c ::a b b d =b a da c a mbc md b d b na d nc++=⇒=++ 4、 等比定理,(0)a c e a c e k k b d f b d f b d f++===⇒=++≠++【例13】已知非零实数,满足,则( ).A. 0B. 0或8-C. 2-或1D. 1或8-E. 8-【例14】设0a b m >>>,在有意义的条件下则的大小关系为( ).A. B. C.D. E.三、百分比问题1、定义：,即,则称为是的.2、增长率注：a 比b 大%100%%(1%)a b p p a b p b-⇔⨯=⇔=⋅+ b 比a 小%100%%(1%)a b p p b a p a-⇔⨯=⇔=⋅- 3、增加并存的恢复问题(1) 设价格为的商品,先提价,在降价后,则变化后的价格为.,,a b c b c a c a b b a c x a b c+-+-+-===3x =123,,a m a a m I I I b m b b m-+===-+321I I I <<213I I I <<123I I I <<231I I I <<132I I I <<100%%a r b⨯=%a b r =⋅a b %r 100%⨯后来值-原来值增长的百分比=原来值100%⨯原来值-后来值减少的百分比=原来值p %r %r(2) 设价格为的商品,先提价,则降价%,恢复原价.(3) 设价格为的商品,先降价,则提价%,恢复原价.【例15】某电子产品一月份按原定价的80%出售，能获利20%.二月份由于进价降低，按同样原定价的75%出售，却能获利25%，那么二月份的进价是一月份进价的（ ）（A ）92% （B ）90% （C ）85% （D ）80% （E ）75%【例16】企业的职工人数今年比前年增加了20℅.(1)企业的职工人数去年比前年减少了20℅.(2)企业的职工人数今年比去年增加了50℅【例17】第一季度甲公司的产值比乙公司的产值低20%；第二季度，甲公司的产值比第一季度增长了20%，乙公司的产值比第一季度增长了10%；第二季度甲、乙公司的产值之比是（ ）.A.96：115B.92:115C.48:55D.24:25E.10:11p %r p %r A A A【例18】甲、乙、丙三种物品，已知甲与乙的价格之和与丙的价格之比是7:2；乙与丙的价格之和与甲的价格之比为8:3，则甲与丙的价格之和与乙的价格之比是（ ）.A.49:50B.37:50C.37:40D.47:60E.49:60第四节 绝对值一、 绝对值的定义和性质1、 定义和几何意义（1）定义：0||000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩||0x a x a x a x a a x x a ->⎧⎪-==⎨⎪-<⎩（2）几何意义||a 表示点a 到原点的距离.||x a -表示点x 到a 的距离.2、 绝对值的性质（1）非负性：||0a ≥注：非负性的和为零，则每项均为零.（2）对称性：||||,||||a a a b b a =--=- （3）自比性：||||a a a -≤≤-1010||a a a a >⎧=⎨-<⎩，20,000||||20,0a b a b ab a b a b >>⎧⎪+=<⎨⎪-<<⎩ （4）平方、开方性222||||,||a a a a ===（5） 三角不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意：取等号的条件.||||||0a b a b ab +=+⇔≥||||||||0a b a b ab +=-⇔≤||||||0a b a b ab -=+⇔≤||||||||0a b a b ab -=-⇔≥【例19】已知2|1|(2)0x y x y -++-=，则log y x =（ ）A. 0B. 1C. -1D. 2E. -2【例20】(410)z x y -=(1) 实数,,x y z满足2(21)20x y x y z -+-+=(2) 实数,,x y z满足224521x xy y y +++=--【例21】若2112||33x x--=成立，则x 的取值范围是（ ）. A. 12x > B. 12x = C. 12x < D. 12x ≥ E.12x ≤【例22】成立.(1)(2)321x x +-+=-4.5x <-4.53x -≤≤-【例23】等式|27||2||5|m m m -=-+-成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 25m ≤≤B. 2x ≤-或5x ≥C. 25m -<<D. 2x ≤或5x ≥E. 5x ≤-或2x ≥-二、绝对值等式和不等式方法：（1）公式法；（2）零点分段讨论法；（3）平方1、绝对值等式.求解：①方程无解.②方程有唯一解.③方程有两个解.注：保证绝对值的非负性.2、绝对值不等式（1）解集为：,0,0b a b x a b b ∅≤⎧⎨-<<+>⎩(2)解集为：,0,0,0R b x a b x a b x a b b <⎧⎪≠=⎨⎪>+<->⎩或【例24】方程216x x --=的根为( ).A.或B.或73x =C.73x =或5x =-D.或E.5x =【例25】方程213x x ++-=无根.(1)1x >. (2)2x ≤-x a b -=0b <⇒0b =⇒x a =0b >⇒x a b =±x a b -<x a b ->5x =-1x =5x =3x =3x =-53x =【例26】可以确定||2x y x y+=-. (1)3x y =； （2）13x y =【例27=-x 的取值范围是（ ）A. 0x <B. 2x ≥-C. 20x -≤≤D. 20x -<<E. 20x -≤<【例28】方程2x x a -=有三个不同的解,则实数a 的取值范围是( ).(A) 0a = (B) 0a >或1a <- (C) 1a <- (D) 10a -<< (E) 0a >【例29】实数x 满足13||||222x x -+-<. (1)21||13x -< (2)21||11x x -≤+三、绝对值最值问题1、绝对值函数取最值的结论（1）()||||f x x a x b =-+-（2）()||||f x x a x b =---（3）()||||||f x x a x b x c =-+-+-【例30】的最小值为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ） （E ）【例31】若关于x 的不等式32x x a -+-<的解集是空集,则实数a 的取值范围是( ).(A) 1a < (B) 1a ≤ (C) 1a > (D) 1a ≥ (E) 1a ≠2、含有绝对值的确定取值范围的问题（1）恒成立、无解()f x a ≥恒成立()f x a ⇔<无解min ()f x a ⇔≥()f x a ≤恒成立()f x a ⇔>无解max ()f x a ⇔≤()f x a >恒成立()f x a ⇔≤无解min ()f x a ⇔>31()||||44f x x x =---1212-0114()f x a <恒成立()f x a ⇔≥无解max ()f x a ⇔<（2）有解设()f x 是绝对值的和或差构成的函数（连续），则()f x a =有解min ()f x a ⇔≤()f x a =无解min ()f x a ⇔>【例32】方程|1||1|x x a -++=无解.(1)1a = (2)2a <【例33】不等式24x x S -+-<无解.(1)2S ≤(2)2S >【例34】方程|4||1|x x a --+=有无穷多解.(1)5a =(2)5a =-【例35】|53||32|3x x ---=的解集是空集.(1)53x >(2)7563x <<第二章 代数式和函数第一节 整式一、 基本概念1、 代数式的分类单项式 整式有理式 多项式代数式 分式无理式2、一元n 次多项式1110()(0)n n n n n f x a x a x a x a a --=++++≠称为关于x 的一元n 次多项式.多项式相等定理：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，1110()nn n n g x b x b x b x b --=++++，则111100()(),,,n n n n f x g x a b a b a b a b --=⇔====二、 整式的运算1、乘法公式①②③④⑤注：2222221[()()()]2x y z xy yz xz x y y z z x ++---=-+-+-【例1】对任意实数x ，等式450ax x b -++=恒成立，则2015()a b +=（ ）A.0B.1C. 1-D. 20152E. 10072222()2x y x xy y ±=±+22()()x y x y x y -=+-2222()222x y z x y z xy yz xz ++=+++++3322()()x y x y x xy y ±=±+33223()33x y x x y xy y ±=±+±【例2】已知，则（ ）（A ）83 （B ）84 （C ）85 （D ）86 （E ）87【例3】实数,,a b c 中至少有一个大于零.(1) ,,,x y z R ∈22,2a x y π=-+22,3b y z π=-+226c z x π=-+(2) x R ∈且1,x ≠1,a x =-1,b x =+21c x =-2、整式除法（1）竖式除法（2）带余除法任意多项式(),()(()0)f x g x g x ≠，则存在唯一的(),()p x r x ，使得()()()()f x g x p x r x =⋅+,其中()r x 的次数比()g x 的低，则称多项式()f x 除以()g x 商式为()p x ,余式为.3、整除（1）定义：当时，()()()f x g x p x =⋅，称整式()f x 能被整式()g x 整除，称()g x 为()f x 的一个因式，记为()|()g x f x .（2）性质：若,且,则.若,且,则.4、因式定理f x ()含有ax b -()因式⇔f x ()能被ax b -()整除⇔0b f a =().注：一次因式的零点恰为对应多项式方程的根.5、 余式定理239x x -=433275x x x --+=()r x ()0r x =()|()h x g x ()|()g x f x ()|()h x f x ()|()h x g x ()|()h x f x ()()|()()()()h x u x f x v x g x ±多项式f x ()除以ax b -()的余式为().b r f a=【例4】若多项式3223()f x x a x x a =++-能被1x -整除，则实数a =（ ）A.0B. 1C. 0或1D. 2或-1E. 2或1【例5】二次三项式26x x +-是多项式43221x x ax bx a b +-+++-的一个因式. （1）16a =（2）2b =【例6】若2x x m ++被5x +除，余式为3-，则m =（ ）A.21B.22C.-22D.23E.-23【例7】若f x ()被1x -除，余式为9；若f x ()被2x -除，余式为16，则f x ()被12x x --()()除的余式为（ ）A.72x +B.73x +C.74x +D.75x +E.27x +【例8】 若三次多项式g x ()满足1020324g g g g -====-()()(),()，多项式421f x x x =-+()，则34g x f x -()()被1x -除的余式为（ ）A.3B.5C.8D.9E.11三、 整式的因式分解把一个整式化为若干个其他的整式乘积的运算称为整式的因式分解. 常用的因式分解的方法： 1、 公式法2、 十字相乘法3、 待定系数法【例9】多项式326x ax bx ++-的两个因式是2x +和3x -，则第三个一次因式是（ ）A.6x -B.3x -C.1x +D.2x +E.3x +【例10】若12x y -+()是2244xy x y m ---的一个因式，则m =（ ）A.4B.1C.-1D.2E.0第二节 分式一、 分式的基本概念1、 定义(1)0AB B≠()称为分式，其中A 称为分子，B 称为分母. （2）最简分式（既约分式）：分子和分母没有正次数的公因式的分式. 2、分式的基本性质（1）分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变. (2)约分：把分式的分子与分母的公因式约去.(3)通分：把异分母的分式化为与原来的分式相等的同分母的分式. 3、分式的运算（1） 分式的加减运算（2） 分式的乘除运算（3）分式的乘方运算【例11】当20051949x y ==,时，代数式4422222x y y xx xy y x y --⋅-++的值为（ ）A.-3954B.3954C.-56D.56E.128【例12】已知0a b c ++=，则111111a b c b c a c a b+++++=()()()的值为（ ）A.0B.1C.2D.-2E.-3 二、1nnx x +类型 解题方法：递推公式222112k kk k x x x x +=+-() 2112111111k k k k k k x x x x x x x x+++++=++-+()()()【例13】若2510x x -+=，则441x x+的值为（ ） A.527 B.257 C.526 D.256 E.356【例14】若正实数满足2421124a a a =++，则21a a a ++的值为（ ）A.12B.14 C.16D.112E.124三、分式方程1、 分式方程0A B =的解为0A B =⎧⎨≠⎩2、 增根：使得0A B =⎧⎨=⎩成立的根称为方程0A B =的增根【例15】若关于x 的方程2133m x x =---有增根，则m 的值为（ ） A.0 B.3 C.-1 D.-2 E.-3【例16】42233402445815x x x x x --+=-+成立.(1)x =(2)x =第三节 函数一、 函数的基本属性1、 函数的三要素：定义域、对应法则、值域 注：常用的函数定义域的基本原则 （1） 分母不能为零；（2） 偶次根式中被开方数不能小于零；（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4） 零指数幂的底数不等于零； （5） 实际问题要考虑实际意义等 2、 单调性设函数f x ()在区间a b [,]有定义，对于任意的12x x a b ∈,[,]，（1） 单调增加：若12x x <，有12f x f x <()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调增加； （2） 单调减少：若12x x <，有12f x f x >()()，则称f x ()在区间a b [,]上单调减少.(3)复合函数的单调性法则：单调性相同的两个函数复合，得到的新函数是单调增加的；单调性不同的两个函数复合，得到的新函数是单调减少的. 3、 奇偶性（1） 偶函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=()()，则称f x ()为偶函数； （2） 奇函数：若函数f x ()在定义域上满足f x f x -=-()()，则称f x ()为奇函数； （3） 性质：偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称. 二、一元二次函数1、一元二次函数的解析式（1）一般式：20f x ax bx c a =++≠()() （2）零点式：120f x a x x x x a =--≠()()()()（3）顶点式：224024b ac b f x a x a a a-=++≠()()() 2、一元二次函数的图像及其性质（1）图像：抛物线 开口 判别式 对称轴 零点 顶点（2）单调性：当0a >时，在2b a -∞-(,]上是单调减少的，在2ba -+∞[,)上是单调增加的； 当0a <时，在2b a -∞-(,]上是单调增加的，在2ba-+∞[,)上是单调减少的.（3）最值：一元二次函数在对称轴处取到最值当0a >时，开口向上，有最小值；当0a <时，开口向下，有最大值.注：限定区间的最值问题，有时还需要结合单调性来求出最值. （4）零点与韦达定理设12x x ,是一元二次函数20f x ax bx c a =++≠()()与x 轴的两个交点的横坐标（称为零点），则：12b x x a +=-12c x x a⋅=【例17】函数112x y -=在定义域上的单调性为（ ）A ．在1-∞(,)上是增函数，在1+∞(,)上是增函数 B.减函数C ．在1-∞(,)上是减函数，在1+∞(,)上是减函数 D.增函数 E ．以上结论都不正确【例18】一元二次函数1y x x =-()的最大值是（ ）A.0．05B.0.1C.0.15D.0.2E.0.25【例19】设实数x y ,满足23x y +=，则222x y y ++的最小值是（ ）A.4B.5C.611【例20】若不等式210x ax ++≥对一切102x ∈(,)都成立，则a 的取值范围是（ ）A.0a ≥B.10a -<<C.512a -≤≤-D.52a ≥- E.1a ≤-三、指数函数和对数函数1、指数函数 （1）定义01x y a a a =>≠,(,)，定义域为R ，值域为0+∞(,).（2）图像（3）单调性当1a >，xy a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）底数与图像的关系当1a >，a 值逆时针变大；当01a <<，a 值也是逆时针变大的. 2、对数函数（1）定义01a y x a a =>≠log ,(,)，定义域为0+∞(,)，值域为R .（2）图像（3）单调性当1a >，x y a =是单调增加的；当01a <<，xy a =是单调减少的. （4）对数与指数的关系：对数运算与指数运算是互逆运算ba a Nb N =⇔=log3、指数与对数的运算性质：，，，，，，，，，，， ，，，，，.【例21】若，则有（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）（E ）以上均不正确 b a N =01a =1a a =()nm mn a a =m n m n a a a +⋅=()nn n ab a b =⋅m n m n a a a -÷=mn a =1n na a-=log N a a N =1log 0a =log 1a a =loglog log M N M N aa a=+loglog log M M N N aa a =-log log nM Ma a n =log log logb bcaa c=1log log b a a b =log log m n b b a am n =32a -<<-13()0.32aa a >>10.3()32aa a>>1()0.332a a a>>130.3()2a aa >>【例22】744855285,,377a b c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的大小关系是( ). (A) a b c >> (B) a c b >> (C) b a c >> (D) c a b >> (E) 以上均不正确【例23】若330m n <<log log ，则m n ,满足条件（ ）A.1m n >>B.1n m >>C.01m n <<<D.01n m <<<E.无法判断【例24】函数223a f x x x =+-()log ()，若20f >()，则f x ()的单调递减区间为（ ）A.1+∞(,)B.1-∞-(,)C.3-∞-(,)D.1-+∞(,)E.-∞+∞(,)【例25】已知函数2234x x f x +=-⨯()，且20x x -≤，则f x ()的最大值为（ ）A.0B.1C.2D.3E.4【例26】设164x ≤≤，函数42222812y x x x=+⋅(log )(log )log 的最大值和最小值分别是（ ）A.54,2B.81,9C.81,0D.54,0E.以上都不正确第三章方程和不等式函数、方程、不等式、平面解析几何等方面的问题本质上是同一个问题，只是研究的角度不同.【主要考点】1. 代数方程：一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程组.2. 其他类型的方程：绝对值方程，分式方程，根式方程，对数方程，指数方程.3. 不等式：不等式的性质，一元一次不等式，一元二次不等式，简单的一元高次不等式.4. 不等式组：由一元一次不等式和一元二次不等式等组成的不等式组.5. 其他类型的不等式：绝对值不等式，分式不等式，根式不等式，指数不等式，对数不等式.6. 均值不等式，三角不等式.7. 线性规划问题：不等式组约束下的最值问题. 8. 应用问题.第一节方程一、基本概念1.方程、解（根）含有未知数的等式称为方程.能使方程左右两端相等的未知数的值，称为方程的解或根.考试只要求方程的实根，即方程在实数域内的解.2.方程的元和次“元”指的是方程中不同未知数的个数，“次”指的是方程中未知数的最高次数.二、一元一次方程1.方程的形式：ax b =2.解方程（1）若方程中的所有系数均为已知的实数，可利用代数式运算的法则求解方程； 实例：325x +=，解得1x =.（2）若方程中含有参数，特别是未知数的系数中含有参数，通常需要分情况讨论.3.分情况讨论：①当0a ≠时，方程有唯一解b x a=； ②当0,0a b ==时，方程有无穷多解，x R ∈；③当0,0a b =≠时，方程无解.4.解析几何中的直观解释：【例 3.1】能够推出x 的方程22()0a b x a b -++=有无穷多解，下列说法中正确的个数为（）①0a b +=；②0a b +≠；③220a b -=；④0a b -=.(A)0(B)1 (C)2 (D)3(E)4【例 3.2】直线2(1)y a x a a =+-+与直线2y =-有且只有一个交点，则交点的坐标为（）(A)(1,1)a + (B)(1,2),1a a +-≠- (C)(2,1),1a a --≠-(D)(1,2)a +- (E) (2,2),1a a --≠-三、一元二次方程1.形式：20(0)ax bx c a ++=≠注：如果0a =，则退化为前一种情况.2.等价形式：220(0)0b c x x a x px q a a++=≠⇔++= 3.配方形式：222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程的判别式：24b ac ∆=-5.讨论：①0∆>，方程有两个不相等的实根.②0∆=，方程有两个相等的实根.③0∆<，方程无实根.6.求根公式：1,2,02b x a-±=∆≥ 7.因式分解形式（十字相乘）：若12,x x 为方程的两个实根，则212()()0ax bx c a x x x x ++=--=.反之成立.8.韦达定理或根与系数关系：1212,b c x x x x a a+=-=. （1）为什么？（2）推广到一元三次方程20(0)ax bx c d a +++=≠，假定123,,x x x 为三个实根，则 123123,x x x x x x ++==（3）与韦达定理有关的代数式运算1211x x +=，2212x x +=3312x x +=，4412x x +=12x x -=，3312x x -= 【例 3.3】设12,x x 是方程250x px +-=的两个实根，若1211x x +的算术平均数为6，则p 的值为（）(A)50- (B)60- (C)50(D)60(E)30【例3.4】方程2780x x -+=的两个实根为121,1x x ++.（1）方程2520x x -+=的两个实根为12,x x（2）方程2520x x ++=的两个实根为12,x x【例3.5】已知方程220x ax x a +-+=有实根，则两根之积的最大值与最小值之差为（）(A)1 (B)89 (C)29 (D)19(E)无法确定【例3.6】已知一元三次方程32210x x -+=的根为1231,,x x x =，则2223x x +=（） (A)1- (B)12 (C)1 (D)2(E)3【例 3.7】设一元三次方程320x bx cx d +++=的三个实根为123,,x x x ，则22212311x x x ++=.（1）1,5,6b c d =-=-=（2）1,5,6b c d ==-=-【例3.8】方程210x ax ++=与210x x a ++-=有一公共实根.（1）2a =（2）1a =四、二元一次方程组1.形式：111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 2.求解（1）当1110a b c ≠时，几何解释 ①2211a b a b ≠，方程有唯一解. ②222111a b c a b c =≠，方程无解. ③222111a b c a b c ==，方程有无穷多组解. （2）其他情况，针对具体问题具体分析.3.重点：利用方程组解决应用问题，包括工程问题、行程问题、浓度问题、比例问题等.【例3.9】一列火车驶过铁路桥，从车头上桥到车尾离开桥公用1分25秒，随后列车又穿过一条隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道用了2分40秒，能确定火车的速度及车身的长度（假定火车始终匀速行驶）.（1）铁路桥长为900米.（2）隧道长为1800米.五、其他类型的方程1.分式方程（1）形式：()()f x ag x = （2）求解方法①去分母，验增根：先求方程()()0f x ag x -=的根，再验证()0g x ≠是否成立. ②()()0()()0()f x ag x f x a g x g x -=⎧=⇔⎨≠⎩【例3.10】方程213111x x x x x ++=+--的所有根之和为（） (A)1(B)1- (C)2 (D)2-(E)0【例3.11】一满桶纯酒精倒出10升后，加满水搅匀，再倒出4升后，再加满水.此时，桶中的纯酒精与水的体积之比是2:3，则桶的体积是（）升(A)15 (B)18 (C)20 (D)22(E)252.绝对值方程（1）形式：含有绝对值的方程.（2）一般形式：①直接取正负去掉绝对值，注意检验增根. 实例：1x =-②讨论范围去掉绝对值.（3）特殊形式：通常与绝对值函数有关.【例3.12】方程214x x -+=的所有根之积为（）(A)3(B)5 (C)3- (D)5-(E)6【例3.13】方程1222x x x a -+-+-=无实根.（1）1a ≤（2）0.5a =3.根式方程（1）形式：含有根式的方程.（2）求解：平方去根式，检验增根.【例3.14】2=的所有根之积为（）(A)56 (B)48 (C)36 (D)28(E)244.指数方程和对数方程（1）形式：含有指数或对数的方程.（2）求解：只考查简单的指数方程和对数方程，通常利用换元法进行化简.【例3.15】方程1332x x --=的所有根之积为（）(A)1- (B)0 (C)13 (D)1(E)3【例3.16】方程11442x x a -----⨯=有实根，则a 的取值范围是（）(A)30a -<< (B)3a ≤-或0a ≥ (C)30a -≤<(D)3a ≤-或0a > (E) 以上答案都不对第二节不等式一、基本概念1.不等号≥等价于>或=，例11≥.2.不等式的性质①a b b a >⇔<②,a b b c a c >>⇒>③,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒<二、一元一次不等式1.形式：ax b >或0ax b ->2.分情况讨论：几何解释①当0a >时，b x a>； ②当0a <时，b x a <； ③当0,0a b =≥时，无解；④当0,0a b =<时，x R ∈.【例3.17】1211x -<<-. （1）0x <（2）32x >三、一元二次不等式1.形式：20ax bx c ++>或20ax bx c ++<.2.解集：注：只讨论0a >的情况.若0a <，既可不等式两边乘以1-后转化为正系数的情况，也可做类似的分析.【例3.18】已知不等式220ax bx ++>的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +=（） (A)12- (B)10- (C)6-(D)4-(E)6【例3.19】关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立.（1）1a ≤（2）35a >-【例3.20】若不等式2210x ax -+≥对于一切()0,1x ∈成立，则a 的取值范围是（）(A)11a -<≤ (B)2a < (C)12a -≤≤ (D)1a ≤(E)2a ≤ 四、一元高次不等式1.形式：通常为几个因式乘积的形式.2.解法：穿线法.①去掉恒正或恒负的项，调整最高次幂的系数为正，写出等价形式.②在数轴上标出零点，判断实心或空心.③从右向左依次穿线.④奇穿偶不穿.【例3.21】不等式22(28)(2)(226)0x x x x x ----->恒成立.（1）(2,1]x ∈--（2）4x >或2x <【例3.22】不等式(2)ln 0(1)(3)x e x x x x -≥--恒成立. （1）(0,1)(1,2](3,)x ∈+∞（2）[2,3)x ∈五、不等式组1.形式：若干个不等式联立组成不等式组.2.解法：取各个不等式解集的交集.【例3.23】方程2(2)0x a x a +-+=的两个实根均在(1,1)-内，则a 的取值范围是（）(A)142a -<≤+ (B)142a -≤≤- (C)142a <≤+(D)142a <≤- (E)142a <<+【例3.24】某单位年终共发50万元奖金，奖金金额分别为一等奖4万元，二等奖2万元，三等奖1万元，则该单位至少有25人.（1）得二等奖的人数最多（2）得三等奖的人数最多六、其他类型的不等式1.分式不等式：移项，通分，穿线.【例3.25】0x << （1）223211x x ->- （2）当01x <<时，223211x x ->-2.绝对值不等式：讨论法，两侧法，图像法.【例3.26】123x x +<+.（1）1x <-（2）54x >-【例3.27】2521x x x -->-（1）4x >（2）1x <-3.根式不等式：讨论法，图像法.【例3.28】x a -≥对于1x ≥恒成立. （1）34a <（2）34a =4.对数不等式和指数不等式：结合图像进行讨论.【例3.29】不等式221log ()2x x <-≤（11x ≤<-（2）2x <≤六、均值不等式和三角不等式1.均值不等式（1）2a b +≥(0,0)a b ≥≥，当且仅当a b =时等号成立. 等价表述：两个非负实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数.两个非负实数的等差中项大于等于它们的等比中项.222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立. （2）适用范围：①乘积为定值时，可求和的最小值.②和为定值时，可求乘积的最大值.（3）注意事项：一定要判断取等条件.如果不满足取等条件，则无法取得相应的最值.（4）3a b c ++≥(0,0,0)a b c ≥≥≥，当且仅当a b c ==时等号成立. 实例：对号函数1y x x =+【例3.30】已知0x >，函数223y x x=+的最小值是（）(A)((C) (D)5(E)【例3.31】若40y x x --<对一切正实数x 均成立，则y 的取值范围是（） (A)2y = (B)2y < (C)2y ≤ (D)4y ≤(E)4y <2.三角不等式（1）a b a b a b -≤+≤+，当且仅当0ab ≥时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≤时左侧的等号成立.（2）()a b a b a b a b a b a b -≤-≤+⇔--≤+-≤+-， 当且仅当0ab ≤时右侧的等号成立，当且仅当0ab ≥时左侧的等号成立.【例3.32】a b a b a b -=-=+（1）0ab ≥（2）0ab ≤七、线性规划1.解法①根据约束条件即不等式组画出可行域.②求出可行域的所有“尖点”，注意题目中是否有整数的要求.③代入目标函数，比较函数值得出结论.【例3.33】,x y 满足236x y +≤且24x y +≤，则x y +的最大值为52（1）,x y R ∈（2）,x y N ∈第一章例题答案1-5 DCDCD 6-10 EABAD 11-15 AEDAB 16-20 CCAAB 21-25 EDDEA 26-30 ECAEB 31-35 BDADE第二章例题答案1-5 CDDEE 6-10 EACCC 11-15 AEBCD 16-20 DBEAD 21-25 BADCB 26 C第三章例题答案1-5 CEDAA 6-10 EDECC 11-15 CDBBD 16-20 CDBCD 21-25 ABDEB 26-30 BADDA 31-33 ECA。

考研管理综合-数学课程精讲班导学第一章算术第二章代数第三章几何第四章数据第五章应用题导学初等数学考什么（1）三边整数（2）直角边a=15答案：C试卷分析题型讲解数学部分：25题，每题3分，共75分。

逻辑部分：30题，每题2分，共60分。

写作部分：论证有效性分析30分，论说文35分。

数学逻辑全部为五选一的单选题1-15题问题求解16-25题条件充分性判断问题求解（2015）若实数a，b，c满足a:b:c=1:2:5,且a+b+c=24，求a2+b2+c2=（）（）A．30B．90C．120D．240E．27答案：E条件充分性判断1.做题方向条件+题干（已知）=题干（结论）示例：（1）某车间有23名工人搬饮料。

（2）某车间有一批工人，共23人。

（3）325 a ba b-=+（4）a>b（5）则能确定a的值2.满足条件的所有情况均叫充分2=1（1）x=1（2）2−3x−4=0答案：A3.当条件为定值时，带入题干验证即可2+2x−3>0（1）x>2（2）x≤−5答案：D4.当条件为范围时，满足条件小范围推题干大范围(a−2）（a+1）>0┤（1）a≥2（2）a=1答案：E5.举反例：满足条件但不满足结论的反例，则该条件不充分题型训练例1直线y=ax+b经过第二象限（1）a=-1，b=1（2）a=1，b=-1答案：A例1（变形）直线y=ax+b经过第二象限（1）a=-1（2）b=1答案：D例2方程210x bx++=有两个不等实根（1）b>2（2）b<-2答案：D例3已知二次函数有两个不等实根（1）a+c=0（2）a+b+c=0答案：A第一章算术本章重难点分析：1.整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数2.分数、小数、百分数3.比与比例4.数轴与绝对值本章所占比重：2道题本章目录第一节、实数1.整除、公约数、公倍数2.质数合数、奇数偶数第二节、比与比例1.比例定理2.见比设K第三节、数轴与绝对值1.绝对值定义2.绝对值模型3.绝对值性质第一节实数知识点1：整除整除：如果存在一个自然数a，除以另一自然数b，余数为0，我们就称b能a被整除，记做b|a。

经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1，矩阵：A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，称为矩阵。

认识矩阵第一步：行与列，横为行，竖为列， 第一行依次0,1,2， 第二行1,1,4 第一列0,1,2这是一个三行三列矩阵， 再给出一个三行四列矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，这个矩阵记作n m A ⨯，表明这个矩阵有m 行，n 列，注意行m 写在前面,列n 写在后面，括号里面的称为元素，记为ij a ，i 是行，j 是列， 例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----12614231213252是三行四列矩阵，也说成43⨯矩阵，注意行3在前面，列4在后面，这里211=a （就是指的第一行第一列那个数） 123-=a （就是指的第二行第三列那个数） 2，矩阵加法矩阵加法，满足行列相同的矩阵才能相加，对应位置的数相加。

例如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--011101010+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-021512220 减法是对应位置的数相减。

,3，矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法则：注意字母对应⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a ⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211b b b b b bb b b =⎦⎢⎢⎢⎣⎡33323122211211c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b ，注意是对应元素相乘，再求和。

经济数学基础教学大纲引言：经济数学是应用数学的一个分支，通过运用数学的方法和工具来分析经济理论和实践中的各种问题。

经济数学基础教学旨在培养经济学学生的数学建模、分析和解决问题的能力，为其未来从事经济领域的相关工作做好准备。

本大纲将为经济数学基础教育提供一个详细的教学框架，旨在帮助教师和学生更好地理解课程内容和学习目标。

一、课程简介本课程旨在为经济学专业的学生提供数学分析工具和基本理论，以便他们能够理解和应用数学方法来分析经济问题。

该课程的主要内容包括线性代数、微积分、概率论和统计学的基本概念和方法。

二、教学目标1.了解经济数学的基本概念和应用范围。

2.掌握线性代数的基本理论和方法，包括矩阵运算、向量空间和线性方程组。

3.熟悉微积分的基本概念和方法，包括导数、微分、积分和微分方程。

4.了解概率论和统计学的基本原理和应用方法，包括概率分布、假设检验和回归分析。

5.能够独立运用所学知识解决现实经济问题，并能够以数学模型和逻辑推理的方式进行经济分析。

三、教学内容与安排1.线性代数1.1 线性方程组和矩阵运算1.2 向量空间的基本概念和性质1.3 矩阵的特征值和特征向量2.微积分2.1 函数和极限的基本概念2.2 导数和微分的定义和计算2.3 积分和定积分的概念和性质2.4 常微分方程的基本理论和解法3.概率论与统计学3.1 概率的基本概念和性质3.2 随机变量和概率分布3.3 统计学的基本原理和应用3.4 简单线性回归分析和假设检验四、教学方法1.理论讲授：介绍各个知识点的基本概念、原理和相关理论。

2.实例分析：通过实际经济问题的案例分析，将所学知识与实际应用相结合。

3.习题训练：提供大量习题和练习，以巩固学生对所学知识的理解和掌握。

4.课堂讨论：引导学生参与课堂讨论，激发他们的思维和分析能力。

5.小组项目：组织学生进行小组项目，提高他们的合作能力和实际问题解决能力。

五、考核方式1.平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况和小组项目的贡献度。

考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。

比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。

第2章 矩阵2.1 矩阵的概念整存整取定期储蓄北京市居民抄表记录卡学生成绩表上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵.4323105174-- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--004323105174⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--004323105174 矩阵一般用大写英文字母C B A ,,表示：如C B A ,,等⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=004323105174A横向称行，竖向称列.A ——43⨯矩阵,每一个位置上的数都是A 的元素， 如1是A 的第2行第2列的元素，记为：122=a .5是A 的第1行第4列的元素，记为：514=a 矩阵定义请看教材第2章定义2.1.补充内容：特别地，当1=m 时，矩阵只有一行，即[]n a a a 11211称为行矩阵；当1=n 时，矩阵只有一列，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡12111m a a a称为列矩阵；当n m =时，矩阵的行列数相同，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶矩阵（或n 阶方阵）在n 阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵.在矩阵[]nm ija A ⨯=中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为A 的负矩阵，记作A -，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=241502A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-241502A ,这里A -是A 的负矩阵.例1 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=127002154B 这是4行2列矩阵.2.2 矩阵的运算 1.矩阵相等例如，一日产量的统计表⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a aa a a 丙乙甲 第一天的产量为32][⨯=ij a A , 第二天的产量为32][⨯=ijb B , 3,2,1;2,1===j i b a ijij由此可以得到矩阵相等的定义.若B A ,满足： (1) B A ,同形(2) 对应元素分别相等，即ij ij b a =, 则称B A =. 矩阵加法][ij ij b a B A +=+,用C 记为B A ,的和，即][ij ij b a B A C +=+=规定如下(1)B A ,同形，于是C 同形.(2) 对应元素分别相加. 矩阵加法满足两条运算规律：性质1(交换律) A B B A +=+ 性质2(结合律) )()(C B A C B A ++=++O 矩阵，记为[]n m O ⨯=0，且A A O O A =+=+2.矩阵的数量乘法 A 是n m ⨯矩阵，λ是实数，C A A ==λλ，则一班二班(1) C 和A 同形(2) ij ij a c λ=，即A 中每个素都乘以λ特别地：O A =0， A A =1注意：O A =0中定义为，等式左边是数0与矩阵A 的乘积，而右边是零矩阵.矩阵减法定义为：)(B A B A -+=-，即矩阵A 减矩阵B 等于A 加B 的负矩阵)(B -.其中98748510311=⨯+⨯+⨯=c ，2314253312=⨯+⨯+⨯=c92748310421=⨯+⨯+⨯=c ，2214233422=⨯+⨯+⨯=c⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1728310434453AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22922398 {n m ij a A ⨯=][，11][n m ij b B ⨯=} 1．仅当1m n =时，才能做乘法AB . 2．若C AB =，则C ——1n m ⨯3．若][ij c C =，则nj in j i ij b a b a c ++= 11 (行乘列法则) (矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5)矩阵乘法的运算性质B A B A λλλ+=+)( (数对矩阵的分配律)AC AB C B A +=+)( (矩阵的左分配律) CA BA A C B +=+)( (矩阵的右分配律)4.矩阵的转置设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f e d c b a A ，将A 第一行元素写在T A 第一列处，A 第二行元素写在T A 第二列处，这样就可得到A 的转置矩阵.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=f ce bd a A T 转置矩阵的性质A A =T T )( T )(B A B A T T +=+ T )(kA =T kA T T T )(A B AB =补充内容数乘矩阵所满足的算律 设A ，B 为任意n m ⨯ k , h 为任意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足：（1）k (A+B )=k A+ k B （2）(k+ h )= k A+ h A （3）(k h )A=k (h A ) （4）A A =1,A A -=-)1( 例1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2131A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2100B因为ij ij b a ≠)2,1,(=j i ，所以B A ≠ 例2 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010321A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100211B ，求B A +. 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+110532B A例3 设[]010=A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321B ，求B A +. 解:因为B A ,不同形，所以B A +不能进行.例4 设[]101=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321C ，求AB ，BA 和AC . 解：AB =[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡210101=[2] BA =[]101210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡202101000AC 不能相乘.例6 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3764A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=3564B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=371821C 计算BC AC 33+. 解： BC AC 33+=C B A )(3+=+B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3764+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---3564=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+--33576644=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0200C B A )(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0200⎥⎦⎤⎢⎣⎡--371821=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1642000C B A )(3+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡16420003 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡48126000例7 B A ,均为43⨯矩阵，问下列乘法能否进行，若能，其乘积矩阵为几行几列？T T ,,,AB B A BA AB解：B A BA AB T ,,——4阶，T AB ——3阶 2.3 几类特殊矩阵O 矩阵 所有元素都为零的矩阵。

考研数学讲义 D9考研基础班哎呀，说起考研数学，那可真是让不少小伙伴们又爱又恨啊！今天咱们就来聊聊这个考研数学讲义 D9 考研基础班。

就拿我之前遇到的一个学生小李来说吧。

他呀，一开始对考研数学那叫一个头疼，看着那些公式定理，就像看天书似的。

后来他参加了这个 D9 考研基础班，仿佛找到了救命稻草。

在这个基础班里，讲义的编排那是相当贴心。

它不是一股脑地把所有知识点堆给你，而是循序渐进，就像爬楼梯一样，一步一步来。

比如说，在讲解函数极限这一块，先从最基本的概念入手，什么是极限，极限的定义是啥，讲得明明白白。

然后通过一些简单易懂的例子，像计算一个简单函数在某一点的极限，让你一下子就明白了其中的门道。

而且啊，这讲义里的例题可不是随便选的。

那都是老师们精心挑选出来的，具有代表性的题目。

就像有一道关于数列极限的例题，从最初的分析题目条件，到一步步的解题思路，再到最后的答案，整个过程清晰明了。

小李跟我说，他以前看到这种题就发懵，但是通过这个例题，他突然就开窍了，知道该从哪里下手了。

还有哦，这个讲义对于一些容易混淆的知识点，也做了特别的处理。

比如说，无穷小和无穷大的关系，很多同学总是搞不清楚。

讲义里就专门用一个板块，对比着讲解它们的区别和联系，还配上了生动的图表，让你一眼就能看明白。

另外，每一章后面还有配套的练习题。

这些练习题的难度也是逐步增加的，刚开始是一些基础的巩固练习，让你把刚学的知识点掌握扎实。

然后就是一些稍微有点难度的提升题，考验你对知识点的灵活运用能力。

小李一开始做这些练习题的时候，错误百出，但是他没有放弃，对照着讲义上的讲解，一道题一道题地琢磨，慢慢地，错误越来越少，解题的速度也越来越快。

再说说这讲义的排版吧，字体大小适中，行间距也很舒服，不会让你看着觉得密密麻麻，心里发慌。

重点的知识点还用不同的颜色标出来，一目了然。

总之啊，这个考研数学讲义 D9 考研基础班，真的是为考研的同学们打下了坚实的基础。