2021考研数学高等数学基础讲义01 函数部分

2021年考研数学高数考点解析高等数学作为硕士研究生招生考试的内容之一，主要考查考生对高等数学的基本概念、基本理论、基本方法的理解和掌握以及考生的抽象思维能力、逻辑推理能力、综合运用能力和解决实际问题的能力。

依据数学考试大纲中的考试要求，包新卓老师在下面的表格中简要罗列了高等数学在数学(一)、数学(二)和数学(三)这三个卷种中所涵盖的考试内容。

接下来，包新卓老师就从数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共部分开始。

一、函数、极限、连续高等数学在考研中，也被称为微积分学。

微积分学的研究对象是函数，许多重要的概念都需要用极限理论精确定义，因此极限是微积分学的重要基础，这部分内容对后续内容的学习影响深远，故应重点掌握。

在这一部分，由于数学(一)、数学(二)、数学(三)的考试要求完全一样，故这里不做分类。

考纲内容：1、函数的概念及表示法、函数关系的建立;2、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数;4、基本初等函数的性质及其图形，初等函数;5、数列极限与函数极限的定义及其性质;6、函数的左极限和右极限;7、无穷小量和无穷大量的概念及其关系，无穷小量的性质及无穷大量的比较;8、极限的四则运算：掌握极限的四则运算法则;9、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)，两个重要极限;10、函数连续的概念，函数间断点的类型;11、初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质;根据往年改卷反馈回来的数据可知，大部分考生对函数、极限、连续这一部分的内容普遍掌握得比较好，但由于这部分内容与后续内容多有交叉，因此考生要注意前后知识的融会贯通。

二、一元函数微分学一元函数微分学不仅在微积分的学习中占有着极其重要的地位，而且它也是考研数学考查的重点。

在这里，对于数学(一)和数学(二)单独考点，包新卓老师会在相应的内容后面予以标出，未做任何标出的内容则为数学(一)、数学(二)、数学(三)的公共考点。

微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯.诺伊曼
高等数学一精讲班讲义（第一讲）
第一章函数、极限与连续
函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象.极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.
第一节函数
一、函数的概念
1、定义：设x ，y 为某变化过程中的两个变量，若x 在允许范围内，每取一个值，y 按规则f ，总有唯一值与之对应，则称y 是x 的函数，记作y=f(x)，且称x 为自变量，x 取值范围为定义域，习惯用D 表示定义域。

函数值的全体称为值域，习惯用Z 表示值域。

函数是描述变量y x ,之间相互依赖关系f 的一种数学模型)(x f y =.
12+⨯=x y 2x y =
2、函数的两要素:
函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R 内,因此构成函数的要素是定义域D
f 及对应法则
f .如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.
例下列表示同一函数的是（） A 、2ln x 与x ln 2 B 、x e
ln 2
1-与
x
1
(x与2x C、2)
sin(arcsin x D、x与)。

鹤壁淇滨高中2017-2018学年下学期高二年级第二次月考英语试题时间：100分钟总分：150分第二部分阅读理解(共两节,满分40分)第一节(共15小题;每小题2分,满分30分)阅读下列短文,从每题所给的四个选项(A、B、C和D)中,选出最佳选项。

AAn eight-year-old child heard her parents talking about her little brother. All she knew was that he was very sick and they had no money. Only a very expensive operation could save him now and there was no one to lend them the money.When she heard her daddy say to her tearful mother, “Only a miracle (奇迹) can save him now.” the little girl went to her bedroom and pulled her money from its hiding place and counted it carefully.She hurried to a drugstore with the money in her hand.“And what do you want?” asked the salesman. “It’s for my little brother.”The girl answered. “He’s really sick and I want to buy a miracle.”“Pardon?”said the salesman.“My brother Andrew has something bad growing inside his head and my daddy says only a miracle can save him. So how much does a miracle cost?” “We don’t s ell a miracle here, child. I’m sorry.” the salesman said with a smile.“Listen, if it isn’t enough, I can try and get some more. Just tell me how m uch it costs.”A well-dressed man heard this and asked, “What kind of miracle do es your brother need?”“I don’t know,” she answered with her eyes full of tears. “He’s really sick and mum says he needs an operation. But my daddy can’t pay for it, so I have brought all my money.”“How much do you have?’’ asked the man. “$1.11, but I can try and get some more.” she answered.“Well, what luck,” smiled the man, “$1.11, the price of a miracle for your little brother.” He took up the girl’s hand and said, “Take me to where you live.I want to see your brother and meet your parents. L et’s s ee if I have the kind of miracle you nee d.”That well-dressed man was Dr. Carlton Armstrong, a famous doctor. The operation was successful and it wasn’t long before Andrew was home again.How much did the miracle cost?21. What was the trouble in the little girl’s family?A. Her brother was seriously ill.B. They had no money.C. Nothing could save her brother.D. Both A and B.22. In the eyes of the little girl, a miracle might be ______.A. something interesting.B. something beautiful.C. some wonderful medicine.D. some good food.23. What made the miracle happen?A. The girl’s love for her brother.B. The medicin e from the drugstore.C. The girl’s money.D. Nobody can tell.24. From the passage we can infer (推断) that ______.A. the doctor didn’t ask for any pay.B. a miracle is sure to happen if you keep on.C. the little girl is lovely but not so clever.D. Andrew was in fact not so sick as they had thought.BA few days ago, I ran into a stranger as he passed by. I said sorry to him. And we were very polite. Then we went on our way after saying goodbye.Later in the kitchen at home, as I cooked our meal, my daughter Betty walked up to me. When I turned around, I nearly knocked her down. “Get out of the way!”I shouted angrily. She ran away, crying.That night, when I lay in bed, my husband said to me. “You were so rude to Betty. Go and look around on the kitchen floor, and you’ll find some flowers there. Betty brought those for you. She picked them herself pink, yellow, and your favourite blue.” When I heard this, I thought deeply. “While meeting with a stranger, I was calm and polite, but with my daughter, I was not patient.” I felt sad and tears began to fall.I quietly went to Betty’s bed, “Wake up, my dear!” I said, “Are these the flowers you picked for me?”she smiled. “I found them by the tree. I knew you liked them, especially the blue. ” I said, “I am so sorry that I treated you that way today.”And she whispered(悄声说)，“Mommy, that’s okay. I still love you anyway.”I kissed her and said, “I love you too and I do love the flowers.”That day Betty gave me a lesson on how to get along with each other in the family.I spend much time on work and didn’t realize how important family life was. I decided to do better in the future.25. What did the writer do when she ran into a man?A. She got mad at him.B. She didn’t say sorry to him.C. She said sorry to him politely.D. She left without saying anything.26. How did the writer deal with it when she nearly knocked down her daughter?A. She held her temper.B. She talked to her quietly.C. She shouted at her angrily.D. She said nothing to her.27. Why did the writer feel sorry for what she had done?A. Her husband didn’t love her.B. Her daughter bought her some flowers.C. She used to be friendly to others.D. She spent less time on her family life.28. According to the passage, which do you think is the best title?A. How to get along with a stranger.B. I love my daughter.C. Daughter gave me a good lesson.D. How to be a polite person.CDear Mom and dad，Camp is great! I have met a lot of new friends. Jim is from California, Eric is from Iowa, and Tony is from Missouri. We have a great time together, swimming, boating, hiking, and playing tricks on other campers! Every night, we go to another tent secretly and try to scare other campers by making scary noises. It's so funny to see them run out screaming! Now, don't worry, Mom. I'm not going to get cough like I did last year.One thing that is different from last year is how many bugs (昆虫) there are!I have at least 100 mosquito bites and about 25 ant bites. Every time I go outside, horseflies chase me, too! Other than all these bugs, I'm having the best time!Love，Tyler Dear Tyler，Are you sure you are okay? All of those bugs sound awful! Have you used all of the “Itch­Be­Gone” cream I got you? How about the “Ants'k Awful” lotions (护肤液) for the ant bites? You and your aunt Ethel have always seemed to attract those nasty fire ants.Now Tyler, I am very happy that you have met some new friends and that you are having fun together. However, you MUST stop trying to scare other campers. Remember, honey, some campers may be scared easily. I want you to apologise for any anxiety you may have caused them and start being the nice, polite boy that I know you are. Do you hear me, Tyler? Please be careful. I want you to come here safely.Love，Mom 29．Why did Tyler write the letter to his parents?A．To describe his interesting camp experiences.B．To express his regret about scaring others.C．To ask his parents for advice about camping.D．To tell his parents about his sufferings at camp.30．The underlined word “chase” in the first letter probably means “________”．A．fly away B．get rid of C．put up with D．run after31．Tyler's mother advises him to ________.A．buy more lotion for the bites B．return with a few friendsC．avoid scaring other campers D．turn to the police when in troubleDFar from the land of Antarctica, a huge shelf of ice meets the ocean. At the underside of the shelf there lives a small fish, the Antarctic cod.For forty years scientists have been curious about that fish. How does it live where most fish would freeze to death? It must have some secret. The Antarctic is not a comfortable place to work and research has been slow. Now it seems we have an answer.Research was begun by cutting holes in the ice and catching the fish. Scientists studied the fish's blood and measured its freezing point.The fish were taken from seawater that had a temperature of －1.88℃ and many tiny pieces of ice floating in it. The blood of the fish did not begin to freeze until its temperature was lowered to －2.05℃. That small difference is enough for the fish to live at the freezing temperature of the ice­salt mixture.The scientists' next research job was clear: Find out what in the fish's blood kept it from freezing. Their search led to some really strange things made up of a protein (蛋白质) never before seen in the blood of a fish. When it was removed, the blood froze at seawater temperature. When it was put back, the blood again had its anti­freeze quality and a lowered freezing point.Study showed that it is an unusual kind of protein. It has many small sugar molecules (分子) held in special positions within each big protein molecule. Because of its sugar content, it is called a glycoprotein. So it has come to be called the anti­freeze fish glycoprotein or AFGP.32．What is the text mainly about?A．The terrible conditions in the Antarctic. B．A special fish living in freezing waters.C．The ice shelf around Antarctica. D．Protection of the Antarctic cod. 33．Why can the Antarctic cod live at the freezing temperature?A．The seawater has a temperature of －1.88℃.B．It loves to live in the ice­salt mixture.C．A special protein keeps it from freezing.D．Its blood has a temperature lower than －2.05℃.34．What does the underli ned word “it” in Paragraph 5 refer to?A．A type of ice­salt mixture. B．A newly found protein.C．Fish blood. D．Sugar molecule.35．What does “glyco­” in the underlined word “glycoprotein” in the last paragraph mean?A．sugar B．ice C．blood D．molecule第二节七选五 (共5小题;每小题2分,满分10分)根据短文内容,从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。

【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。

【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。

函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。

一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。

设有数列和常数A 。

若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。

没有极限的数列称为发散数列。

收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。

2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。

（2）。

（3）。

【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。

高等数学讲义目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章一元函数微分学 (24)第三章一元函数积分学 (49)第四章常微分方程 (70)第五章向量代数与空间解析几何 (82)第六章多元函数微分学 (92)第七章多元函数积分学 (107)第八章无穷级数（数一和数三） (129)第一章 函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1．函数的定义 2．分段函数3．反函数 4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y xt →= 2．用变上、下限积分表示的函数(1) ⎰=x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰=)()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dxϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。

若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。

3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。

第一讲函数，极限，持续性1、集合概念普通地咱们把研究对象统称为元素，把某些元素构成总体叫集合（简称集）。

集合具备拟定性（给定集合元素必要是拟定）和互异性（给定集合中元素是互不相似）。

例如“身材较高人”不能构成集合，由于它元素不是拟定。

⑴、全体非负整数构成集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数构成集合叫做正整数集，记作N+。

⑶、全体整数构成集合叫做整数集，记作Z。

⑷、全体有理数构成集合叫做有理数集，记作Q。

⑸、全体实数构成集合叫做实数集，记作R。

集合表达办法⑴、列举法：把集合元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表达集合⑵、描述法：用集合所有元素共同特性来表达集合集合间基本关系⑴、子集：普通地，对于两个集合A、B，如果集合A 中任意一种元素都是集合B 元素，咱们就说A、B 有包括关系，称集合A 为集合B 子集，记作A ⊂B。

⑵、相等：如何集合A 是集合B 子集，且集合B 是集合A 子集，此时集合A 中元素与集合B 中元素完全同样，因而集合A 与集合B 相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A 是集合B 子集，但存在一种元素属于B 但不属于A，咱们称集合A 是集合B 真子集，记作A 。

⑷、空集：咱们把不含任何元素集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合子集。

⑸、由上述集合之间基本关系，可以得到下面结论：①、任何一种集合是它自身子集。

②、对于集合A、B、C，如果A 是B 子集，B 是C 子集，则A 是C 子集。

③、咱们可以把相等集合叫做“等集”，这样话子集涉及“真子集”和“等集”。

集合基本运算⑴、并集：普通地，由所有属于集合A 或属于集合B 元素构成集合称为A 与B 并集。

记作A∪B。

（在求并集时，它们公共元素在并集中只能浮现一次。

）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：普通地，由所有属于集合A 且属于集合B 元素构成集合称为A 与B 交集。

记作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

4.掌握不定积分的换元积分法。

第六章：定积分的应用1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。

2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。

2021考研数学知识点梳理(高数篇)同学们，计划备考2021考研的考生，现在开始就应该开始复习考研数学了，考研数学对于很多考生来说都比较难，所以更应该提早进行复习。

文都考研为同学们梳理出2021考研数学复习的基础知识点的内容，计划参加2021考研的小伙伴们可以划重点啦~第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)希望以上梳理出的关于2021考研数学复习的基础知识点的内容可以为同学们的复习提供帮助，会不断更新2021考研数学备考知识，欢迎广大考生持续关注！。

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第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2。

求数列极限和函数极限。

3。

讨论函数连续性,并判断间断点类型。

4。

确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数例1 （1988, 5分） 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解： 由2()x f x e =知2()[()]1x f x ex ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤。

例2 （1990, 3分） 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1。

练习题： （1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ， 并作出这两个函数的图形。

(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言，收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1（极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。

性质2(收敛数列的有界性）如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。