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超越考研强化班讲义高等数学部分同步练习解答第一章 函数、极限与连续练习11.解：当0x <时，()10f x =>，从而[()]1f f x =-； 当0x =时，(0)10f =-<，从而[()]1f f x =； 当0x >时，()10f x =-<，从而[()]1f f x =。
于是1,0,[()]1,0.x f f x x -<⎧=⎨≥⎩2.因为对任意大的正数M ，总存在点1(0,1)2([]1)2M x M ππ=∈++，使得()2([]1)2M f x M M ππ=++>，故11()sin f x x x=在区间(0,1)上是无界函数。
练习21.解：法1（排除法，特例法）反例1：(1),0n n n x y =-=，排除（A ）; 反例2：0,n n x y n ==，排除（B ）； 反例3：0,(1)nn n x y ==-，排除（C ）。
法2（直接法）1lim lim 000n n n n n ny x y x →∞→∞=⋅=⋅=。
练习31.解：原式2212221(1)lim 1(1)x x x e x e e x --→∞-===+。
2.解：原式2sin cos sin222limlim limcos cos 22x a x a x a x a x a x a x a a x a x a →→→-+-+==⋅=--。
练习41.解：由等价无穷小和重要极限可得原式201sin 12lim 2x x xx →==。
2.11ln[1(1)]lim tanln(2)limsin(1)22sin 2x x xx x x x πππ→→+--=--1121lim (1)2x x x ππ→-=⋅=--，∴原式2e π=。
练习51.解：有理化可得原式002tan tan 1lim 2lim[]1(1tan 1tan )1tan 1tan x x x x x x x x x x →→==⋅=++-++-。
考研数学一解答题专项强化真题试卷13(题后含答案及解析)题型有：1.1．设已知方程组Ax=0的解空间的维数为2，求c的值，并求出方程组Ax=0的通解．正确答案：由条件有4一r(A)=2，→r(A)=2，于是由知c=1．当c=1时，对矩阵B作初等行变换：由此得方程组的用自由未知量表示的通解为(x3，x4任意)，用基础解系表示的通解为x=c1(1，一1，1，0)T+c2(0，一1，0，1)T，其中c1，c2为任意常数．涉及知识点：线性方程组2．(1997年试题，四)设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(exsiny)满足方程e2xz，求f(u)．正确答案：由题设代回原方程有f’’.e2xz=e2x．f，推出f’’(u)一f(u)=0解此二阶常系数线性齐次微分方程，得f(u)=C2eu+C2e-u，其中C1，C2为任意常数．涉及知识点：多元函数微分学3．(09年)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．正确答案：显然，AC—B2＞0，而A＞0，故二元函数f(x，y)有极小值涉及知识点：高等数学4．将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．正确答案：涉及知识点：高等数学5．(93年)求级数的和．正确答案：涉及知识点：高等数学6．在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．正确答案：曲线y=y(x)在P(x，y)处的法线方程为涉及知识点：高等数学7．正确答案：8．正确答案：某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．9．写出X的概率分布；正确答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=P（A）=0．2．由题意，X～B(100，0．2)．因此分布律为P(X=k)=C100k(0．2)k(0．8)100-k (k=0，1，…，100)．涉及知识点：大数定律和中心极限定理10．利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．[附表]设ф(x)是标准正态分布函数．正确答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1一p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，(n=100已充分大)，则≈ф(2．5)一ф(一1．5)=ф(2．5)一[1一ф(1．5)]=0．994—1+0．933=0．927．涉及知识点：大数定律和中心极限定理。
考研数学真题及其答案解析考研是许多大学毕业生追逐更高学术水平的重要途径，而数学部分是很多考生的重点关注。
本文将为大家提供一套考研数学真题，并对其答案进行解析，帮助考生更好地理解解题思路和方法，为考试做好充分准备。
一、选择题1. 题干：在矩阵A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]的基础上，若将其第一行的元素都加上2，得到矩阵B，则B的行列式的值是多少？选项：A）2 B）5 C）16 D）24答案与解析：选项C）16解析：根据矩阵的性质，行列式的值在对矩阵的行进行线性组合时保持不变。
对A的第一行进行线性组合后得到矩阵B=[3 4 5; 4 5 6; 7 8 9]，计算B的行列式，得到结果16。
2. 题干：设函数f(x)=2^x + 3^x + 4^x，其中x为实数，则函数f(x)的最小值是多少？选项：A）3 B）4 C）5 D）6答案与解析：选项C）5解析：通过求导可得f'(x)=ln(2) * 2^x + ln(3) * 3^x + ln(4) * 4^x。
由于2^x、3^x、4^x都大于0，所以f'(x)恒大于0，即f(x)在整个实数域内单调递增。
由此可知，f(x)的最小值为f(0)=3+1+1=5。
二、填空题1. 题干：设函数f(x)在区间[0,2π]上连续，则∫[0,π] f(x)dx = _______。
答案：∫[0,π] f(x)dx = ∫[π,2π] f(x)dx解析：由于f(x)在区间[0,2π]上连续，所以f(x)在[0,π]和[π,2π]上积分结果相等。
2. 题干：若a > 0，b < 0，则方程e^(3x) + ae^x + b = 0的一个实根为_______。
答案：由题可知，当a > 0，b < 0时，必有一个实根。
三、计算题1. 题干：求解方程组：x + y + z = 6x - y + 2z = 42x + y - z = 1答案与解析：解为x = 1, y = 2, z = 3。
第三章 一元函数积分学§3. 1 不定积分（甲）内容要点一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立。
则称()x F 为()x f 在区间I 的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数成为()x f 在区间I 的不定积分，记为()⎰dx x f 。
原函数：()()⎰+=C x F dx x f其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积分函数，()dx x f 称为被积表达式。
2．不定积分的性质 设()()⎰+=C x F dx x f ，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。
则（1）()()⎰+='C x F dx x F 或()()⎰+=C x F x dF 或⎰+=+C x F C x F d )(])([ （2）()[]()x f dx x f ='⎰或()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性一个函数如果在某一点有导数，称为可导；一个函数有不定积分，称为可积。
原函数存在的条件：比连续要求低，连续一定有原函数，不连续有时也有原函数。
可导要求比连续高。
⎰-dx ex这个不定积分一般称为积不出来，但它的积分存在，只是这个函数的积分不能用初等函数表示出来设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，⎰-dxe x 2等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：2．设矩阵A＝且A3＝0．(I)求a的值；(Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．正确答案：解(I)由于A3＝0，所以于是a＝0 (Ⅱ)由于X－XA2－AX＋AXA2＝E 所以(E－A)X(E－A2)＝E由(I)知因为E －A，E－A2均可逆，所以X＝(E－A)－1(E－A2)－13．(13年)设D是由曲线y＝，直线χ＝a(a＞0)及χ轴所围成的平面图形，Vχ，Uy分别是D绕χ轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Vχ，求a的值．正确答案：由Vy＝10Vχ，即，解得a＝7 涉及知识点：微积分4．(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ上式两端对t求导得f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝．则所求曲线方程为2y＋－3χ＝0．涉及知识点：微积分5．(88年)设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y＝e2X的概率密度f(y)．正确答案：X的概率密度为：fX(χ)＝而Y的分布函数FY(y)＝P{Y≤y}＝P{e2X≤y}．由X的取值范围，可见当y≤0时，FY(y)＝0，∴f(y)＝F′Y(y)＝0；当y＞0时，FY(y)＝P{2X≤lny}＝P{X≤lny}＝fx(χ)dχ，故得f(y)＝涉及知识点：概率论与数理统计6．(2017年)求极限正确答案：先对变上限积分作变量代换u=x—t，得则由洛必达法则可知涉及知识点：微积分7．求曲线y=e—xsinx(x≥0)与x轴之间图形的面积．正确答案：要计算S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx，首先要计算∫e—xsinxdx=e—x(cosx+sinx)+C，当k=0，2，4，6，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，当k=1，3，5，7，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx==．[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个自球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数．8．求P(X=1|Z=0)；正确答案：解一P(Z=0)=P(两次取球都没有取到白球)，该事件包括下述几种情况(考虑取球的次序)：{X=1，Y=1}={第一次取到一红球，第二次取到一黑球}+{第一次取到一黑球，第二次取到一红球}，共有C11C21+C21C11=4种取法；{X=2，Y=0}={第一次取到一红球，第二次取到一红球}，共有C11C11=1种取法；{X=0，Y=2}={第一次取到一黑球，第二次取到一黑球}，共有C11C21=4种取法．由命题3．3．1．2知，两次取球有放回，每次取一个，取两次的样本空间Ω共含有nm=62个样本点，故P(Z=0)=(C11C21+C21C11+C11C121+C21C21)／62=9／36=1／4，又P(X=1，Z=0)=P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9．故P(X=1|Z=0)=P(X=1，Z=0)／P(Z=0)=(1／9)／(1／4)=4／9．解二P(X=1|Z=0)=P(在没有取到白球的情况下，取到一次红球)，也可利用缩减样本空间法求得P(X=1|Z=0)=(C11C21+C21C11)／32=4／9．注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm．涉及知识点：概率论与数理统计9．求二维随机变量(X，Y)的概率分布．正确答案：X，Y的可能取值为0，1，2，利用命题3．3．1．2得到P(X=0，Y=0)=P(Z=2)=C31C31／62=9／36=1／4，P(X=0，Y=1)=P(Y=1，Z=1)=(C21C31+C31C21)／62=1／3，P(X=0，Y=2)=(C10C21+C21C10)／62=1／9，P(X=1，Y=0)=P(X=1，Z=1)=(C11C31+C31C11)／62=1／6，P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9，P(X=1，Y=2)=P(X=2，Y=1)=P(X=2，Y=2)=0．P(X=2，Y=0)=(C11C11)／62=1／36，故二维随机变量(X，Y)的概率分布如下：注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm．涉及知识点：概率论与数理统计10．[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．正确答案：由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量．或由知，3是A的一个特征值，α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量，则A的属于特征值3的所有特征向量为c1α2，c1为不等于0的任意常数．又由命题2．5．1．10知，α1，α2是A的属于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2=0α2也可看出这一点，所以A的特征值为3，0，0，且属于λ=0的特征向量为k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T (k1，k2为不全为0的常数)．注：命题2．5．1．1 λ0是矩阵A的特征值当且仅当|λ0E－A|=0．对于数字型矩阵，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ．为求特征值λi所对应的所有特征向量，只需解方程组(λiE－A)X=0．命题2．5．1．10 设α≠0为An×n=0的解，则α为A的属于特征值0的特征向量．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量。
2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析一、概述2024年考研数学高等数学一直是考研学子备战考试的焦点。
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二、讲义内容概述李林老师的高等数学辅导讲义分为多个章节，涵盖了高等数学的各个知识点，包括微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。
讲义内容扎实，逻辑严谨，既包括基础知识的讲解，也包括典型例题的分析和解答，适合考生系统复习和巩固知识点。
三、微积分部分1.极限与连续讲义对极限与连续的概念进行了详细介绍，从基本概念到极限存在的条件，再到连续性的定义和性质，帮助考生理解和掌握这一重要知识点。
讲义中还包括了大量例题分析，帮助考生加深对极限与连续的理解，提高解题能力。
2.微分与微分中值定理针对微分的定义和微分中值定理等内容，讲义中提供了详细的公式推导和典型例题讲解，帮助考生掌握微分的概念和性质，熟练运用微分中值定理解决实际问题。
3.不定积分与定积分在不定积分与定积分部分，讲义重点讲解了换元积分法、分部积分法等解题技巧，并结合典型例题进行深入分析，帮助考生掌握积分的计算方法和技巧，提高解题效率。
四、多元函数部分1.多元函数的概念与性质讲义对多元函数的概念、多元函数的极限、连续性、偏导数等内容进行了系统介绍，并结合实际问题进行讲解，帮助考生理解多元函数的重要性及其在实际问题中的应用。
2.方向导数与梯度在方向导数与梯度的部分，讲义对方向导数的定义、计算方法和梯度的概念进行了详细讲解，并提供了大量例题进行分析，帮助考生掌握这一知识点的计算方法和应用技巧。
五、级数部分1.数项级数的收敛性与敛散性讲义对数项级数的收敛性与敛散性进行了全面介绍，包括正项级数的收敛判别法、一般项级数的审敛法等内容，帮助考生系统掌握级数收敛性的判别方法，提高解题能力。
2.幂级数与傅立叶级数在幂级数与傅立叶级数部分，讲义介绍了幂级数的收敛半径、函数展开成幂级数的方法，以及傅立叶级数的基本概念和性质，帮助考生理解级数在实际问题中的应用。
09考研高等数学强化讲义(第六章)全(2)第六章多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性（甲）内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设«Skip Record If...»是平面上的一个点集，如果对每个点«Skip Record If...»，按照某一对应规则«Skip Record If...»，变量«Skip Record If...»都有一个值与之对应，则称«Skip Record If...»是变量«Skip Record If...»，«Skip RecordIf...»的二元函数，记以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»称为定义域。
二元函数«Skip Record If...»的图形为空间一块曲面，它在«Skip Record If...»平面上的投影域就是定义域«Skip Record If...»。
例如«Skip Record If...»，«Skip Record If...»二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域«Skip Record If...»就是«Skip Record If...»平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与«Skip Record If...»元函数«Skip Record If...»，«Skip Record If...»空间一个点集，称为三元函数«Skip Record If...»称为«Skip Record If...»元函数。
考研数学三解答题专项强化真题试卷61(题后含答案及解析)题型有：1.1．设总体X的概率密度为其中θ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令T=max{X1，X2，X3)．(Ⅰ)求T的概率密度；(Ⅱ)确定a，使得E(aT)=θ．正确答案：(Ⅰ)总体X的分布函数为F(x)=从而T的分布函数为FT(z)=[F(z)]3=所以T的概率密度为fT(z)=(Ⅱ)E(T)从而E(aT)=令E(aT)=θ，得a=．所以当a=时，E(aT)=0．2．[2014年] 设函数f(u)连续可导，z=f(excosy)满足若f(0)=0，求f(u)的表达式．正确答案：令u=excosy，则将其代入所给方程得到f’(u)excos2y+f’(u)exsin2y=4[f(u)+u]ex，f’(u)－4f(u)=u，①亦即f’(u)+(－4u)’f(u)=u．②在方程②两边乘以e－4u得到e－4uf’(u)－4e－4uf(u)=[e－4uf(u)]’=ue－4u，两边积分得到则其中C为任意常数．由f(0)=0得故也可用一阶线性微分方程的通解公式(1．6．1．1)求解方程①，得到式③．涉及知识点：常微分方程与差分方程3．[2014年] 设平面区域D={(x，y)|1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，计算正确答案：由于D关于直线y=x对称，根据对称性得到从而故即涉及知识点：多元函数微积分学4．(88年)求正确答案：原式＝＝1 涉及知识点：微积分5．设随机变量X与Y的概率分布分别为且P{X2＝Y2}＝1．(Ⅰ)求二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ)求Z＝XY的概率分布；(Ⅲ)求X与Y的相关系数ρXY．正确答案：(Ⅰ)由P(X2＝Y2)＝1，可得：P(X＝0，Y＝－1)＝P(X－1，Y＝0)＝P(X＝0，Y＝1)＝0 由联合分布律、边缘分布律之间的关系，可得(X，Y)的联合(含边缘)分布列如表所示．(Ⅱ)由(X，Y)的联合分布列易知Z＝XY 可能取的值为－1，0，1，易得：(Ⅲ)由(X，Y)的分布(及X，Y的分布)，易知：E(XY)＝0×(－1)×0＋0×0×＋0×1×0＋1×(－1)×＋1×0×0＋1×1×＝0 而E(X2)＝02×，E(Y2)＝(－1)2×，∴DX＝E(X2)－(EX)2＝，DY＝E(Y2)－(EY)2＝故ρXY＝＝0 涉及知识点：概率论与数理统计6．设矩阵A=，且A3=O。
考研数学一解答题专项强化真题试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.1．(1993年)计算其中∑是由曲面所围立体表面的外侧．正确答案：由高斯公式得其中Ω为曲面所围成的区域. 涉及知识点：多元函数积分学2．(2002年)已知两曲线y=f(x)与在点(0．0)处的切线相同，写出此切线方程．并求极限正确答案：由题设条件知，f(0)=0，故所求切线方程为y=x解析：由两曲线y=f(x)与在点(0，0)处切线相同，可求得f(0)和f’(0)，然后用导数定义求极限知识模块：一元函数积分学3．(2008年试题，16)计算曲线积分．其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段．正确答案：L是曲线Y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段，则dy=cosdx。
因此，解析二采用格林公式．添加x轴上从点(π，0)到点(0，0)的直线段L1，设D为L与L1围成的封闭曲域，则解析三将原积分拆成两部分分别积分：因，故I1与积分路径无关，I1=，又I2，故I=I1+I2= 涉及知识点：曲线、曲面积分4．(03年)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．(1)求D的面积A；(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V．正确答案：(1)如图(a)，设切点横坐标为x0，则曲线lnx在点(x0，lnx0)处的切线方程为由该切线过原点知lnx0一1=0，从而x0=e，所以该切线方程为所求图形D的面积为(2)切线与x轴及直线x=e所围成三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体体积为曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成图形绕直线x=e旋转所得旋转体体积为V2=∫的和．正确答案：涉及知识点：高等数学6．求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y｜x=1=1的特解．正确答案：涉及知识点：高等数学7．正确答案：[2017年] 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从正态分布N(μ，σ2)．该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=｜Xi一μ｜(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Zn估计σ．8．求Zi的概率密度；正确答案：由Xi～N(μ，σ2)得．Zi的分布函数为F(z)=P{Zi≤z}．当z＜0时，F(z)=0；当z≥0时，综上所述，因此，Zi的概率密度为涉及知识点：参数估计与假设检验9．利用一阶矩求σ的矩估计量；正确答案：由得σ的矩估计量为涉及知识点：参数估计与假设检验10．求σ的最大似然估计量．正确答案：似然函数L=f(z1)f(z2)·f(zn)= (zi＞0，i=1，2，…，n)，由得故σ的最大似然估计量为涉及知识点：参数估计与假设检验。
考研数学三解答题专项强化真题试卷32(题后含答案及解析)题型有：1.1．(11年)证明方程4arctanχ－χ＋＝0恰有两个实根．正确答案：设f(χ)＝4arctanχ－χ＋令f′(χ)＝0，解得驻点χ1＝－，χ2＝由单调性判别法知f(χ)在(－∞，－]上单调减少，在上单调增加，在[，＋∞)上单调减少．因为f(－)＝0，且由上述单调性可知f(－)是f(χ)在(－∞，]上的最小值，所以χ＝－是函数f(χ)在(－∞，]，上唯一的零点．又因为＞0，且f(χ)＝－∞，所以由连续函数的介值定理知f(χ)在(，＋∞)内存在零点，且由f(χ)的单调性知零点唯一．综上可知，f(χ)在(－∞，＋∞)内恰有两个零点，即原方程恰有两个实根．涉及知识点：微积分2．(12年)证明：(－1＜χ＜1)．正确答案：令f(χ)＝χln，－1＜χ＜1．显然f(χ)为偶函数，因此，只要证明f(χ)≥0 χ∈[0，1) 由于f(χ)＝－sinχ－χ当χ∈(0，1)时，＞0，又则＞2χ＝χ＋χ＞sinχ＋χ从而有f′(χ)＞0 χ∈(0，1) 又f(0)＝0 则f(χ)≥0 χ∈[0，1) 故原不等式成立．涉及知识点：微积分3．(02年)设D1是由抛物线y＝2χ2和直线χ＝a，χ＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2χ2和直线y＝0，χ＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．(1)试求D1绕χ轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体体积V2；(2)问当a为何值时，V1＋2取得最大值?试求此最大值．正确答案：(1)根据条件作图2．8，则V1＝π∫a2(2χ2)2dχ＝(32－a5) V2＝πa2.2a2－＝2πa4－πa4＝πa4．(2)设V＝V1＋V2＝(32－a5)＋πa4 由V′＝4πa3(1－a)＝0 得区间(0，2)内的唯一驻点a＝1．当0＜a＜1时，V′＞0；当a＞1时，V′＜0．因此a＝1是极大值点即最大值点．此时V1＋V2取得最大值，等于．涉及知识点：微积分4．(90年)某公司通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用χ1(万元)及报纸广告费用χ2(万元)之间的关系有如下经验公式：R＝15＋14χ1＋32χ2－8χ1χ2－2χ12－10χ22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用是1．5万元，求相应的最优广告策略．正确答案：(1)利润函数L(χ1，χ2)＝15＋14χ1＋32χ2－8χ1χ2－2χ12－10χ22－(χ1＋χ2) 根据问题本身最大值是存在的，则必在χ1＝0．75，χ2＝1．25取最大值．(2)将χ2＝1．5－χ1代入L(χ1，χ2)中，得L(χ1)＝39－4χ12 令L′(χ1)＝－8χ1＝0，得χ1＝0，χ2＝1．5－0＝1．5 涉及知识点：微积分5．(87年)假设D是矩阵A的r，阶子式，且D≠0，但含D的一切r＋1阶子式都等于0．那么矩阵A的一切r＋1阶子式都等于0．正确答案：设A＝(aij)m×n满足题设条件，不失一般性，设r＜m≤n，并设A的非零的r阶子式D位于A的左上角，即由题设，A的左上角的r＋1阶子式(它含D) 故Dr+1的行向量组线性相关，而Dr+1，的前r行线性无关，所以Dr+1的第r＋1行可由前r行线性表示．因此，通过把A的前r行的适当倍数加到A的第r＋1行，就可把A化成由行列式的性质知上面化成矩阵的前r＋1行中的一切r＋1阶子式都是A的相应子式．因此前r＋1行中含D的子式都为0，于是有a′r+1，r+1＝…＝a′r+1，n＝0，即经上述初等变换已将A的第r＋1行化成了零行．同理可通过初等行变换将A的第r＋2，…，第m行都化成零行，即经若干次初等行变换可将A化成由于D≠0，故B中非零子式的最高阶数为r，即B的秩为r，故A的秩为r．涉及知识点：线性代数6．(92年)设3阶矩阵B≠O，且B的每一列都是以下方程组的解：(1)求λ的值；(2)证明｜B｜＝0．正确答案：(1)因B≠O，故B至少有一个非零列向量．依题意，所给齐次线性方程组有非零解，故其系数行列式｜A｜必为0，即由此可得λ＝1．(2)因B的每一列都是所给方程组AX＝0的解，故有AB＝O 由A≠0，必有｜B｜＝0．否则｜B｜≠0，则B可逆，用B-1右乘AB＝O两端，得A＝O，这与A≠O矛盾，故必有｜B｜＝0 涉及知识点：线性代数7．(2008年)计算其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}．正确答案：曲线xy=1将区域D分成如图所示的两个区域D1和D2．8．设λ1，λ2是n阶方阵A的两个不同特征值，x1，x2分别是属于λ1，λ2的特征向量．证明：x1+x2不是A的特征向量．正确答案：用反证法．设x1+x2为方阵A的属于特征值λ0．的特征向量，则有A(x1+x2)=λ0(x1+x2)或Ax1+Ax2=λ0x1+λ0x2由已知，有Axi=λix2(i=1，2)，于是有λ1x1+λ2xi=λ0x1+λ0xx即(λ1－λ0)x1+(λ2－λ0)x2=0因为x1、x2分别是属于不同特征值的特征向量，故x1与x2线性无关，因此由上式得λ1－λ0=0，λ2－λ0=0于是得λ1=λ0=λ2，这与λ1≠λ2矛盾．所以x1+x2不是A的特征向量．涉及知识点：线性代数[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，其中G是由．x －y=0，x+y=2与y=0所围成的三角形区域．9．求X的概率密度fX(x)；正确答案：因(X，Y)在区域G上服从均匀分布，由图3．3．2．2易看出G 的面积SG=2×1／2=1，故(X，Y)的概率密度为则X的概率密度为当0≤x≤1时，当1＜x≤2时，当x＜0或x＞2时，因f(x，y)=0，故fX(x)=0．综上所述，得到涉及知识点：概率论与数理统计10．求条件概率密度fX|Y(x|y)．正确答案：Y的概率密度为当Y=y(0≤y＜1)时，fY(y)≠0，X的条件概率密度为涉及知识点：概率论与数理统计。
考研数学二解答题专项强化真题试卷24(题后含答案及解析)题型有：1.1．设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy”一y’+=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．正确答案：在方程xy”一y’+2=0中令y’=P，则y”=P’且xP’一P+2=0由于曲线过原点，则C2=0又2=∫01则C1=6，曲线方程为y=2x+3x2V=2π∫01xydx=2π∫01x(2x+3x2)dx=2．设ρ=ρ(x)是抛物线y=上任一点M(x，y)(x≥1)处的曲率半径，s=s(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算的值．(在直角坐标系下曲率公式为K=正确答案：抛物线在点M(x，y)处的曲率半径3．设A=E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：(Ⅰ)对方程组的系数矩阵A施以初等行变换设x=(x1，x2，x3，x4)T，选取x4为自由未知量，则得方程组的一般解：x1=一x4，x2=2x4，x3=3x4 (x4任意)．令x4=1，则得方程组Ax=0的一个基础解系为α=(一1，2，3，1)T(Ⅱ)对矩阵[A|E]施以初等行变换记E=[e1，e2，e3]，则方程组Ax=e1的同解方程组为从而得Ax=e1的通解为x=k1α+，k1为任意常数，同理得方程组Ay=e2的通解为y=k2α+，k2为任意常数，方程组Az=e3的通解为z=k3α+，k3为任意常数，于是得所求矩阵为+[k1α，k2α，k3α]或k1，k2，k3为任意常数.解析：本题综合考查初等行变换的基本运算、齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组的解的结构等基本概念．注意若记矩阵B、E按列分块分别为B= [x y z]，E= [e1，e2，e3]，则AB=E的第1、2、3列分别是Ax=e1，Ay=e2，Az=e3，因此求矩阵B等价于求解上述3个非齐次线性方程组，而具体求解时采取对矩阵[A|E]施以初等行变换(而不是分别对3个非齐次线性方程组的增广矩阵施以初等行变换)则减少了计算量．4．若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．正确答案：由A的特征多项式=(λ一6)(λ2—4λ一12)=(λ一6)2(λ+2)得A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2．因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化对应于特征值6的线性无关特征向量有2个齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量3一秩(6E一A)=2秩(6E一A)=1从而由知a=0，且由此可得对应于λ1=λ2=6的两个线性无关特征向量可取为对于特征值λ3=一2，由得对应的一个特征向量可取为ξ3=(1，一2，0)T．于是ξ1，ξ2，ξ3就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵P=[ξ1，ξ2，ξ3]=则P可逆，且使P一1AP=为对角矩阵．5．(2001年)设ρ＝ρ(χ)是抛物线y＝上任一点M(χ，y)(χ≥1)处的曲率半径，s＝s(χ)是该抛物线上介于点A(1，1)与M之间的弧长，计算3ρ的值．(在直角坐标系下曲率公式为K＝)正确答案：涉及知识点：一元函数积分学6．如图1—3—10，C1和C2分别是和y＝ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单凋增函数的图象．过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly．记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图彤的面积为S2(y)．如果总有S1(x)＝S2(y)，求曲线C3的方程x＝ψ(y)．正确答案：有由题设，得，而y＝ex，于是，两边对y求导得故所求的函数关系为。
考研数学二解答题专项强化真题试卷39(题后含答案及解析)题型有：1.1．设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分正确答案：所以I=I1=I1+I2=2．已知同阶方阵A，B满足：A2-B2=(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)，试证：(A+B)2=A2+2AB+B2．正确答案：由矩阵乘法对加法的分配律可得：(A+B)(A-B)=(A+B)A-(A+B)B=(A2+BA)-(AB+2) =A2+BA-AB-B2，(A-B)(A+B)=(A-B)A+(A-B)B=(A2-BA)+(AB-B2) =A2-BA+AB-B2．涉及知识点：一元函数微分学3．(1999年)设f(χ)是区间[0，＋∞)上单调减少且非负的连续函数，a1＝f(k)－∫1nf(χ)dχ(n＝1，2，…)，证明数列{an}的极限存在．正确答案：由题设可知则数列{an)下有界，又an+1－an＝f(n＋1)－∫nn+1f(χ)dχ≤0 则数列{an}单调下降，由单调有界准则知数列{an}有极限．涉及知识点：一元函数积分学4．(94年)正确答案：涉及知识点：一元函数积分学5．(13年)设曲线L的方程为(1≤x≤e)(I)求L的弧长；(Ⅱ)设D是由曲线L，直线x=1，x=e及x轴所围平面图形．求D的形心的横坐标．正确答案：所以D的形心的横坐标为涉及知识点：一元函数积分学6．(13年)设平面区域D由直线x=3y，y=3y及x+y=8围成，计算正确答案：涉及知识点：多元函数微积分7．[2002年] 设函数f(x)在x=0的某个邻域内具有二阶连续导数，且f(0)≠0，f＇(0)≠0，f＂(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小．正确答案：为证三个实数唯一存在，设法找出三个方程，再用克拉默法则证其解唯一．注意到f(0)≠0，f＇(0)≠0，f＂(0)≠O，也可用麦克劳林展开式证明．证因为当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小，故其本身必是无穷小，即[λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)]=0．因f(x)在x=0处连续，得到0=[λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)]一(λ1+λ2+λ3一1)f(0)，而f(0)≠0，所以得λ1+λ2+λ3一1=0．又[λ1f＂(h)+4λ2f＂(2h)+9λ3f＂(3h)]=( λ1+4λ2+9λ3)f＂(0)．因为f＂(0)≠0，故得λ1+4λ2+9λ3=0，②其中还包含0=[λ1f＇(h)+2λ2f＇(2h)+3λ3f＇(3h)]=(1λ1+2λ2+3λ3)f＇(0).因为f＇(0)≠0，有λ1+2λ2+3λ3=0 ③因此由式①、式②、式③得λ1，λ2，λ3所满足的线性方程组：因其系数行列式(范德蒙行列式)=(2—1)(3—1)(3—2)=2≠0，故由克拉默法则知，存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)+λ2f(2h)+λ3f(3h)一f(0)是比h2高阶的无穷小．涉及知识点：函数、极限与连续[2003年] 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f′(x＞0．若极限存在，证明：8．在(a，b)内f(x)＞0；正确答案：因为存在，故f(2x—a)=0．由于f(x)在[a，b]上连续，从而f(a)=0．又由f′(x)＞0知，f(x)在(a，b)内单调增加，故f(x)＞f(a)=0，x∈(a，b)．解析：由存在，(x一a)=0及命题1．1．6．2(1)知，f(a)=0．再利用f(x)单调增加即可得到f(x)＞0．知识模块：一元函数微分学9．在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2).正确答案：下面用柯西中值定理证之．设F(x)=x2，g(x)=∫axf(x)dt(a≤x≤b)，则g′(x)=f(x)＞0，故F(x)，g(x)满足该定理的条件．于是在(a，b)内存在点ξ，使解析：注意到增量比的形式，应想到对F(x)=x2，g(x)=∫axf(f)dt在[a，b]上使用柯西中值定理. 知识模块：一元函数微分学10．在(a，b)内存在与(2)中手相异的点η，使f′(η)(b2一a2)=f(x)dx．正确答案：因f(ξ)=f(ξ)一0=f(ξ)一f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理知，在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)=f′(η)(ξ一a)，从而由(2)的结论得即f′(η)(b2一a2)=f(x)dx．解析：由f(ξ)=f(ξ)一f(a)，对f(x)在[a，ξ]上再次使用拉格朗日中值定理即可得证．知识模块：一元函数微分学。
解答题---为题目类型1.[2018年]已知实数a，b满足2.3.(93年)设某产品的成本函数为C＝aq2＋bq＋c，需求函数为q＝4.某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的．设n次测量结果X1，X2，…，X n相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)，该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z i＝｜X i－μ｜(i＝1，2，…，n)．利用Z1，Z2，…，Z n估计σ．(Ⅰ)求Z1的概率密度；(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；(Ⅲ)求σ的最大似然估计量．5.(00年)设函数f(χ)在[0，π]上连续，且∫0πf(χ)dχ＝0，∫0πf(χ)cosχdχ＝0．试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)＝f(ξ2)＝0．6.(10年)(Ⅰ)比较∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]n dt与∫01t n｜lnt｜dt(n＝1，2，…)的大小，说明理由；(Ⅱ)记u n＝∫01｜lnt｜[ln(1＋t)]n dt (n＝1，2，…)，求极限7.(08年)设z＝z(χ，y)是由方程χ2＋y2－z＝φ(χ＋y＋z)所确定的函数，其中φ具有2阶导数，且φ′≠－1．(Ⅰ)求dz；(Ⅱ)记u(χ，y)＝，求8.(90年)已知线性方程组9.(92年)某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．10.(2000年)求函数y=11.(2009年)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．12.设有n元实二次型f(x1，x2，…，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(x n-1+a n-1x n)2+(x n+a n x1)2，其中a i(i=1，2，…，n)为实数。
试问：当a1，a2，…，a n满足条件时，二次型f(x1，x2，…，x n)为正定二次型。
考研数学三解答题专项强化真题试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.1．[2004年] 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且满足证明正确答案：证一令F(x)=f(x)－g(x)则G’(x)=F(x)．由题设知G(x)≥0，x ∈[a，b]，G(a)=G(b)=0．下面证因而G(x)≥0，有从而证二在不等式两端从a到b积分，得到交换累次积分次序，得到即又因则即亦即涉及知识点：一元函数积分学2．正确答案：3．(08年)计算．正确答案：涉及知识点：微积分4．(12年)设随机变量X与Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布．记U＝max{X，Y)，V＝min{X，Y}．(Ⅰ)求V的概率密度fV(v)；(Ⅱ)求E(U＋V)．正确答案：由题意，可得X，Y的概率密度为X，Y的分布函数为(Ⅰ)设V的分布函数为FV(v)，则FV(v)＝P{V≤v}＝P{min(X，Y}≤v}＝1－P{min(X，Y)＞v} ＝1－P{X＞v，Y＞v}＝1－P{X＞v}P{Y＞u}＝1－[P{X＞v}]2 ＝1－[1－P(X≤v)]2＝1－[1－F(v)]2 ∴fV(v)＝F′V(v)＝(Ⅱ)U ＋V＝max(X，Y)＋min(X，Y)＝X＋Y，∴E(U＋V)＝E(X＋Y)＝EX＋EY＝1＋1＝2．涉及知识点：概率论与数理统计5．(98年)一商店经销某种商品，每周的进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，可以其他商店调剂供应，这时每单位商品的售出获利润为500元．试求此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．正确答案：设此商店经销该种商品每周所得利润为ξ元，则由题意得；而X和Y的概率密度均为：故(X，Y)的联合密度为f(χ，y)＝f1(χ).f1(y)＝G1、G2见图4．6．涉及知识点：概率论与数理统计6．设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．正确答案：1 因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B所以B为n阶对称矩阵．对于任意的实n维向量x，有xTBx=XT(λE+ATA)x=λTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)当x≠0时，有xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的x≠0，有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0即B为正定矩阵．2 B=λE+ATA为实对称矩阵，要证明B为正定矩阵，只要证明B的特征值均大于零．设μ为B的任一特征值，x为对应的特征向量，则Bx=μx，即(λE+ATA)x=μx或λx+ATAx=μx两端左乘xT，得λxTx+(Ax)T(Ax)=μxTx或λ‖x‖2+‖Ax‖2=μ‖x‖2因为x≠0有‖x‖＞0，‖Ax‖≥0，所以当λ＞0时，有可知B的特征值全大于零，故B正定．涉及知识点：线性代数7．(2006年)求幂级数的收敛域及和函数S(x)．正确答案：因为所以当x2＜1即一1＜x＜1时，原幂级数绝对收敛；当x=±1时，级数为显然收敛，故原幂级数的收敛域为[一1，1]．因为f’(0)=0，f(0)=0，所以f(x)=∫0xf’(t)dt+f(0)=2∫0xarctantdt =2xarctanx一ln(1+x2)，x∈[一1，1] 从而s(x)=2xxarctanx—xln(1+xx)，x∈[一1，1]．8．(2000年)设A，B是两个随机事件，随机变量试证明随机变量X和Y 不相关的充分必要条件是A与B相互独立。
考研数学试题解析考研数学试题解析一、问题求解（本大题共5小题，每小题3分，共45分）下列每题给出5个选项中，只有一个是符合要求的，请在答题卡上将所选择的字母涂黑。
1、某家庭在一年支出中，子女教育支出与生活资料支出的比为3:8，文化娱乐支出与子女教育支出比为1:2。
已知文化娱乐支出占家庭总支出的10.5%，则生活资料支出占家庭总支出的（）（A）40% （B）42% （C）48% （D）56% （E）64%【解析】：D。
文化：子女：生活=3:6:16，所以。
2、有一批同规格的正方形瓷砖，用他们铺满整个正方形区域时剩余180块，将此正方形区域的边长增加一块瓷砖的长度时，还需要增加21块瓷砖才能铺满，该批瓷砖共有（）（A）9981块（B）10000块（C）10180块（D）10201块（E）10222块【解析】：C。
设原边长为a，则。
3、上午9时一辆货车从甲地出发前往乙地，同时一辆客车从乙地出发前往甲地，中午12时两车相遇，货、客车的速度分别是90千米/小时、100千米/小时。
则当客车到达甲地时，货车距乙地的距离是（）（A）30千米（B）43千米（C）45千米（D）50千米（E）57千米【解析】：E。
设甲乙相距S，则S=(100+90)×3=570，客车到甲地时时间570÷100=5.7小时，货车距乙地570 - 90×5.7=57。
4、在分别标记了数字1、2、3、4、5、6的6张卡片中随机取3张，其中数字之和等于10的概率（）（A）0.05 （B）0.1 （C）0.15 （D）0.2 （E）0.25【解析】：C。
1,3,6；1,4,5；2,3,5。
5、某商场将每台进价为2000元的冰箱以2400元销售时，每天销售8台，调研表明这种冰箱的售价每降低50元，每天就能多销售4台。
若要每天销售利润最大，则冰箱的定价应为（）(A)2200 （B）2250 （C）2300 （D）2350 (E)2400【解析】：B。
