平面几何中的向量方法 说课稿 教案

25 平面向量应用举例251 平面几何中的向量方法一、教分析1本节的目的是让生加深对向量的认识更好地体会向量这个工具的优越性对于向量方法就思路而言几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致不同的只是用“向量和向量运算”代替“数和数的运算”这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果代数方法的流程图可以简单地表述为则向量方法的流程图可以简单地表述为这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”也是本节的重点2研究几何可以采取不同的方法这些方法包括综合方法——不使用其他工具对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具对几何元素及其关系进行讨论等等前三种方法都是中数中出现的内容有些平面几何问题利用向量方法求解比较容易使用向量方法要点在于用向量表示线段或点根据点与线之间的关系建立向量等式再根据向量的线性相关与无关的性质得出向量的系数应满足的方程组求出方程组的解从而解决问题使用向量方法时要注意向量起点的选取选取得当可使计算过程大大简化二、教目标1．知识与技能：通过平行四边形这个几何模型归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”2．过程与方法：[]明了平面几何图形中的有关性质如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示[]3．情感态度与价值观：通过本节习让生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性活跃生的思维发展生的创新意识激发生的习积极性并体会向量在几何和现实生活中的意义教中要求尽量引导生使用信息技术这个现代化手段三、重点难点教重点用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”教难点如何将几何等实际问题化归为向量问题四、教设想（一）导入新课思路1(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景当向量和平面坐标系结合后向量的运算就完全可以转化为代数运算这就为我们解决物理问题和几何研究带了极大的方便本节专门研究平面几何中的向量方法思路2(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景平面几何图形的许多性质如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题下面通过几个具体实例说明向量方法在平面几何中的运用（二）推进新课、新知探究、提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型如图1你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所知识证明你的猜想吗？能利用所的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动①教师引导生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系利用类比的思想方法猜想平行四边形有没有相似关系指导生猜想出结论平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和②教师引导生探究证明方法并点拨生对各种方法分析比较平行四边形是生熟悉的重要的几何图形在平面几何的习中生得到了它的许多性质有些性质的得出比较麻烦有些性质的得出比较简单让生体会研究几何可以采取不同的方法这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法图2证明方法一如图2作E⊥AB于EDF⊥AB于F则Rt△ADF≌Rt△BE∴AD=BAF=BE由于AAE2+E2=(AB+BE)2+E2=AB2+2AB·BE+BE2+E2=AB2+2AB·BE+B2BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2=AB2-2AB·AF+AF2+DF2=AB2-2AB·AF+AD2 =AB2-2AB·BE+B2∴A2+BD2=2(AB2+B2)图3方法二如图3以AB所在直线为轴A为坐标原点建立直角坐标系设B(a0)D(bc)则(a+bc)∴|A|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2∴|A|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2)用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时常常考虑用向量的数量积通过以下推导生可以发现由于向量能够运算因此它在解决某些几何问题时具有优越性它把一个思辨过程变成了一个算法过程生可按一定的程序进行运算操作从而降低了思考问题的难度同时也为计算机技术的运用提供了方便教时应引导生体会向量带的优越性因为平行四边形对角线平行且相等考虑到向量关系DB=AB-AD AC=AB+AD教师可点拨生设AB=a AD=b其他线段对应向量用它们表示涉及长度问题常常考虑向量的数量积为此我们计算|AC|2与|DB|2因此有了方法三方法三设AB=a AD=b则AC=a+b DB=a-b|AB|2=|a|2|AD|2=|b|2∴|AC|2=AC·AC=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+ 2a·b+|b|2①同理|DB|2=|a|2-2a·b+|b|2②观察①②两式的特点我们发现①+②得|AC|2+|DB|2=2(|a|2+|b|2)=2(|AB|2+|AD|2)即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍③至此为解决重点问题所作的铺垫已经完成向前发展可以说水到渠成教师充分让生对以上各种方法进行分析比较讨论认清向量方法的优越性适时引导生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题而平面向量的运算特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角因此我们可以用向量方法解决部分几何问题解决几何问题时先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素然后通过向量的运算特别是数量积研究点、线段等元素之间的关系最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”即(1)建立平面几何与向量的联系用向量表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系讨论结果①能②能想出至少三种证明方法③略（三）应用示例图4例1 如图4 ABD 中点E 、F 分别是AD 、D 边的中点BE 、BF 分别与A 交于R 、T 两点你能发现AR 、RT 、T 之间的关系吗?活动为了培养生的观察、发现、猜想能力让生能动态地发现图形中AR 、RT 、T 之间的相等关系教中可以充分利用多媒体作出上述图形测量AR 、RT 、T 的长度让生发现AR=RT=T 拖动平行四边形的顶点动态观察发现AR=R T=T 这个规律不变因此猜想AR=RT=T 事实上由于R 、T 是对角线A 上的两点要判断AR 、RT 、T 之间的关系只需分别判断AR 、RT 、T 与A 的关系即可又因为AR 、RT 、T 、A 共线所以只需判断、、AT AR 、AD 与AC 之间的关系即可探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论第一步建立平面几何与向量的联系用向量表示问题中的几何元素将平面几何问题转化为向量问题;第二步通过向量运算研究几何元素之间的关系;第三步把运算结果“翻译”成几何关系AR=RT=T解如图4 设AB =a AD =b AR =r AT =t 则AC =a +b 由于AR 与AC 共线所以我们设r =n(a +b )n∈R 又因为EB =AB -AE =a -21bER 与EB 共线 所以我们设ER =EB =(a -21b ) 因为ER AE AR +=所以r =21b +(a -21b )[]因此n(a +b )=21b +(a -b )即(n-)a +(n+21-m )b =0 由于向量a 、b 不共线要使上式为0必须⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-.021,0m n m n 解得n==31所以AR =31AC 同理TC =31AC 于是RT =31AC 所以AR=RT=T点评教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的因此在书写时可简化一些程序指导生在今后的训练中不必列出三个步骤变式训练图5如图5AD 、BE 、F 是△A B 的三条高求证AD 、BE 、F 相交于一点 证明设BE 、F 相交于H 并设AB =b AC =c AH =h则BH =h -b CH =h -c BC =c -b因为BH⊥AC CH⊥AB所以(h-b)·c=0(h-c)·b=0即(h-b)·c=(h-c)·b化简得h·(c-b)=0所以AH⊥BC所以AH与AD共线即AD、BE、F相交于一点H图6例2 如图6已知在等腰△A B中BB′、′是两腰上的中线且BB′⊥′求顶角A的余弦值[§§]活动教师可引导生思考探究上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系找出所需点的坐标如果能比较方便地建立起平面直角坐标系如本例中图形很方便建立平面直角坐标系且图形中的各个点的坐标也容易写出是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导生建系、找点的坐标然后让生独立完成解建立如图6所示的平面直角坐标系取A(0a)(c0)则B(-c0)OA=(0a)BA=(ca)OC=(c0)BC=(2c0)因为BB′、′都是中线[] 所以'BB =21(BC +BA )=21［(2c0)+(ca)］=(2,23a c ) 同理'CC =(2,23a c -) 因为BB′⊥′ 所以22449a c +-=0a 2=9c 2 所以csA=54299||||2222222=+-=+-=∙c c c c c a c a AC AB AC AB 点评比较是最好的习方法本例利用的方法与例题1有所不同但其本质是一致的教中引导生仔细体会这一点比较两例的异同找出其内在的联系以达融会贯通灵活运用之功效变式训练图7(2004湖北高考) 如图7在Rt△A B 中已知B=a 若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ∙的值最大?并求出这个最大值解方法一如图7 ∵AB ⊥AC ∴AB ·AC =0 ∵AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,, ∴)()(AC AQ AB AP CQ BP -∙-=∙=AC AB AQ AB AC AP AQ AP ∙+∙-∙-∙=-a 2-AP AC +AB ·AP =-a 2+AP ·(AB -AC )=-a 2+21PQ ·BC =-a 2+a 2csθ 故当csθ=1即θ=0PQ 与BC 的方向相同时CQ BP ∙最大其最大值为0图8方法二如图8以直角顶点A 为坐标原点两直角边所在的直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|AB|=c|A|=b 则A(00)B(c0)(0b)且|PQ|=2a|B|=a设点P 的坐标为(y)则Q(--y) ∴BP =(-cy)CQ =(--y-b)BC =(-cb)PQ =(-2-2y) ∴CQ BP ∙=(-c)(-)+y(-y-b)=-(2+y 2)+c-by ∵csθ=2||||aby cx BC PQ BCPQ -=∙ ∴c -by=a 2csθ ∴CQ BP ∙=-a 2+a 2csθ故当csθ=1即θ=0PQ 与BC 的方向相同时 CQ BP ∙最大其最大值为0（四）知能训练图91如图9已知A为⊙O的一条直径∠A B是圆周角求证∠A B=90°证明如图9设AO=a OB=b则AB=a+b OC=a BC=a-b|a|=|b|因为AB·BC=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0所以AB⊥BC由此得∠A B=90°点评充分利用圆的特性设出向量2D、E、F分别是△A B的三条边AB、B、A上的动点且它们在初始时刻分别从A、B、出发各以一定速度沿各边向B、、A移动当t=1时分别到达B、、A求证在0≤t≤1的任一时刻t1△D EF的重心不变图10证明如图10建立如图所示的平面直角坐标系设A 、B 、坐标分别为(00)(a0)(n) 在任一时刻t 1∈(01)因速度一定其距离之比等于时间之比有111||||||||||||t t FA CF EC BE DB AD -====λ由定比分点的坐标公式可得D 、E 、F 的坐标分别为(at 10)(a+(-a)t 1nt 1)(-t 1n-nt 1)由重心坐标公式可得△D EF 的重心坐标为(3,3m m a +)当t=0或t=1时△A B 的重心也为(3,3m m a +)故对任一t 1∈[01]△D EF 的重心不变 点评主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系只要证△A B 的重心和时刻t 1的△D EF 的重心相同即可（五）课堂小结1由生归纳总结本节习的数知识有哪些平行四边形向量加、减法的几何模型用向量方法解决平面几何问题的步骤即“三步曲”特别是这“三步曲”要提醒生理解领悟它的实质达到熟练掌握的程度2本节都习了哪些数方法向量法向量法与几何法、解析法的比较将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法深切体会向量的工具性这一特点（六）作业。

平面几何中的向量方法教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则;会用向量知识解决几何问题;能通过向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系.教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则.教学难点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的意义和性质.教学过程：一、复习准备：1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的?2.讨论：① 若o 为ABC ∆的重心,则OA +OB +OC =0②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?二、讲授新课：1.教学平面几何的向量：① 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD 中，设AB＝a ，AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移），DB AB AD a b =-=-，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠② 讨论：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．③ 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤）（１） 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．（２） 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．（３） 把运算结果＂翻译＂成几何关系．2.教学例题：① 出示例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．分析：由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积．练习：已知平行四边形ABCD ，AB ＝a ，BC =b ，且||||a b =，试用向量a b ，表示BD 、AC ，并计算BD ．AC ，判断BD 与AC 的位置关系．② 出示例2：如图，在OBCA 中，OA a =，OB b =，||||a b a b +=-，求证四边形OBCA为矩形分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角．③ 练习：AC 为O 的一条直径，ABC ∠为圆周角，求证90ABC ∠=︒④ 出示例３：在ABC 中，M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =，AM BN与相交于点P ，如图，求:AP PM 的值．⑤ 练习：求证平行四边形对角线互相平分．三. 小结：向量加减法与向量数量积的运算法则；向量加减法与向量数量积的意义和性质.四、巩固练习：1. 已知平行四边形ABCD ，E F 、在对角线BD 上，并且BE=FD ，求证AECF 是平行四边形．2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．五、 作业：。

课题：平面几何中的向量方法湖北省黄冈中学郭旭教学设计一.教学目标分析《普通高中数学课程标准》指出向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数与几何一种工具，有着极其丰富的实际背景.在平面向量这一章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.在向量的应用中，要求学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何、物理等问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力.向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等）.由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，通过适当的问题引起学生的注意.向量方法可简单地表述为[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形].教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”.根据以上分析，确定教学目标如下：1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2．明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义.二.教学内容解析本课内容为人教A版《普通高中数学课程标准实验教科书A版 数学4必修》第110页，平面几何中的向量方法.本节以平面向量的应用独立成节，目的在于加强向量的方法、体现向量的价值、强调数学应用.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量知识与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，同时要熟练掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.平面几何中的向量方法在最后一节教学中完成，其教学目的在于学生体会“向量方法”，掌握简单应用.根据以上分析，本节课的教学重点确定为：用向量知识解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.三.教学问题诊断运用向量知识解决几何问题，需要有一定的知识迁移、语言转换能力，而高一学生的应用意识和应用能力比较弱，这些要求对学生的学习造成了一定的困难.在思维层面上，学生往往没有想到平面几何与向量之间密切联系，或是不善于将几何实际问题转化为向量问题来解决.因此在本节应用实例课的教学过程中，我将重点放在向量的几何背景知识上，着重引导学生怎样将几何实际问题转化为向量问题.所以本节课的教学难点确定为：如何将几何问题转化为向量问题.四.教学对策分析本节课是例题教学课，通过设问、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片、几何画板的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围.五.教学基本流程六.教学过程设计教学环节教学内容师生互动设计意图新课引入类比推广勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，无论是平民百姓，还是帝王总统都愿意探讨和研究它的证明.师生共同回忆勾股定理的平面几何证明方法，并利用多媒体展示证明的思路.勾股定理反映的是直角三角形两直角边与斜边的数量关系.问题1：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？问题2：把这个结论从矩形推广到平行四边形，这个结论还成立吗？通过由直角三角形到矩形，再过渡到平行四边形，降低例1的思维难度，体验数学思想；同时弘扬数学文化.问题情境实例探究探中抽知加强巩固有效建构（图1）传说中毕达哥拉斯的证法（图2）赵爽弦图的证法（图3）美国总统茄菲尔德的证法合作探究总结规律例1：在ABCD中，你能发现平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间的关系吗？图1问题3：你能发现吗？如何证明？学生分组讨论，合作交流得出结论，展示学生探究成果.通过本题的分组讨论、自主探究、合作交流，介绍平面几何中的向量方法，总结用向量方法解决平面几何问题的基本步骤，提高学生合作意识.实战演练深化认识例2：如图2，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？图2问题4：如何用向量的方法证明？师生共同讨论交流，由教师给出证明过程.培养学生的观察、发现、猜想能力，引导学生去探索，让学生体验思路的形成过程，学会分析问题的方法.探究过程对照“三步曲”得出结论.体会向量是一种处理几何问题的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力，同时为用向量法处理后面更为复杂的几何问题打下基础.教学反思通过本节课的教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生.一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验.本节课的教学中，知识点均是学生通过在解决实际问题的过程中“抽出”的，并通过动态地串知成链，完成知识结构框架图，学生真正体会到数学来源于生活又服务于生活.成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走寻常路，利用一个实例的探究完成本节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份帮助他们完成知识结构体系的建构；二是教态自然得体，亲和力强，能很好地驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃；三是多媒体课件的内容丰富而又简洁，它仅仅作为课堂教学的辅助载体.改进之处：由于时间关系，在这堂课中完成了知识结构体系的建构后，没有时间去系统梳理本节知识点，思想方法等；若时间充裕，可考虑一题多解、一题多变让学生在解题的过程中更加充分体验向量方法在解决几何问题中的优越性、工具性，从而让学生认知更上一层楼，享受更大成功的喜悦.。

人教A版必修4《平面几何中的向量方法》教学设计一、教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。

在向量的概念引入后，平面几何中的全等和平行、相似、垂直、勾股定理等问题就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，体现了数形结合思想。

本节课的内容是一节平面向量知识的应用课，通过对平面几何中的向量方法的研究，体现向量作为工解决平面几何问题的优越性，渗透数形结合思想和转化化归思想；也让学生体验数学实用价值，明白教材在《主编寄语》中提到的“数学是有用的”的真正含义。

二、教学目标：1.能利用向量运算研究几何问题中点、线段、夹角之间的关系；经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题体会向量是一种处理平面几何问题的工具；2.发展运算能力和解决实际问题的能力，同时渗透数形结合思想、转化化归思想，培养学生“利用数学”的意识。

3.通过丰富的实例和过程性参与，引导学生体验“形到数——数的运算——数到形”的研究思想；激发学生学习数学的兴趣和积极性,培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神。

4.通过向量运算研究几何问题让感受数学和生活的联系，体验数学的工具优越性，关注数学知识及其思想在人类认识世界，改造世界中所起的作用，感受数学的美。

三、教学重难点：1.教学重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则；向量法解决平面几何问题的“三步曲”。

2.教学难点：将平面几何问题转化为向量问题并加以解决。

四、教学问题诊断分析：学生在学习本节课内容之前，已经掌握平面向量的基本知识技能。

本节内容是针对学生对向量作为工具性的疑惑而设计的一节知识应用课。

新课程所倡导的理念“知识是有用的”得到充分的体现，但是在实际教学过程中，如何将平面几何问题转化为向量问题来解决是有所难度的，特别是课本中例2的设计难度较大。

因此，在教学过程中以学生熟悉的平行四边形作为载体展开讨论研究来降低学习难度，并在例题的设计上有层次感，由浅入深，层层导入，逐步引导学生进行探究活动，激发学生学习的自主性和积极性，从而达到教学目的。

《平面向量》说课稿一、教材内容分析向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。

向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、教学目标分析根据以上的分析，本节课的教学目标定位：1）、知识目标⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；3）、情感目标⑴运用实例，激发爱国热情；⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点：重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；三、教学分析本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。

为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。

2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.二、过程与方法：经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]运用向量方法解决某些简单的平面几何问题一、复习回顾1．向量的概念；2．向量的表示方法：几何表示、字母表示；3．零向量、单位向量、平行向量的概念；4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动；5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量；6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量；8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系；11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算；12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件；13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1：证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.1111,2222,/./.ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DCAB D C O D ===+=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，变式训练1：1//.2DE ABC DE BC DE BC ∆=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且()11,,2211.221//.2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC ===-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以例2： 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.()()(),,,,,,,··0·0AB AC AH BH CH BC B H BE C H AC CH AB A B F H C====-=-=-⊥⊥∴-=-=-=⇔⊥证明：设是高线、的交点，则有化简得，所以，三角形三条高线交于一设点.且a b hh a h b b a h a b h b a h b a变式训练2：222.ABC AC BC BC a AC b A R B t c c b a ∆⊥====+证明勾股定理，在中，，，，，则222222··2?·||||0||.AB AC CB AB AB AC AC AC CB CB CBAB A b a c C CB =+=++=++=+证明：由，故，得即例3：（课本P109例1）()2222|||.|2||||ABCD AC BD AC DB AB AD =++已知平行四边形的对角线为、求证：ABC()()()22222222222222|||2|||2|2|||?,||||?|||||.|AC AC AB AD AB AD AB AD DB DB AB AD AB AD AB ADAC DB AB AD ===++===+-+++=-证得明：由变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.()()2,,·····0,.AB AO OB AD AO OD AB AD AO OB AO ODAO AO OD OB AO OB OD AB AD AB AD ABCD AC BD AB O CD =+=+∴=++=+++=∴⊥⊥∴解：如图，四边形对角线、交于点，即，四边形是矩形三、课堂小结，巩固反思：向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.四、课时必记：五、分层作业：A 组：1、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：5）2、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：6）3、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：7）4、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：8）5、（课本P118复习参考题 A 组：NO ：9）B 组：1、（课本P113习题2.5 A 组NO ：1）2、（课本P113习题2.5 A 组NO ：2）BC3、用向量方法证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.()()222222222,|||?|||||||2|||?2||AB AO OB BC BO OCAB AO OB AO AO OB OB AO OB BC BO OC B ABCD AC O BO O BD O OC =+=+==+=+==+++++证明：如图平行四边形，对角线、交于点，222||||||,|||.C BO OC AB BC ABCD ∴=∴=+，四边形是菱形C 组：C。

课题：6.4.1平面几何中的向量方法合肥市第八中学刘睿(一)课时教学内容平面几何中的向量方法，用向量方法处理平面几何问题的思路，形成用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”。

(二)课时教学目标1、初步掌握以向量和向量的运算为工具研究几何元素及其关系的方法（常用的是基向量法和坐标法），体会向量方法的优越性；2、通过用向量方法解决平面几何问题的探索，加深对向量知识的理解，感悟其中蕴含的等价转化与化归的思想方法，发展学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.3、会用向量方法解决平面几何问题，提升学生数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养(三)教学重点与难点1.教学重点：用向量方法解决平面几何问题2.教学难点：向量方法的具体步骤(四)教学过程设计1.设置障碍，引入课题上课伊始，教师出示一道平面几何题问题1：如图1，在等腰ABC ∆中，D 、E 分别是两腰AB 、AC 的中点，且CD BE ⊥，问A ∠大小是否为定值？试证明你的结论.师生活动：学生尝试从平面几何的角度进行思考，但一时无法找到思路，此时教师指出：“几何中的线段，一旦有了方向，它就成为一个向量；我们可以用向量的眼光去看待几何元素，用向量方法处理几何问题.”（板书课题）设计意图：从一道平面几何问题引入，学生难以用传统的几何方法解决.当学生感觉到困难时，自然点明本节课的教学主题2、降低起点、初识向量法在解决问题1之前，我们不妨来回顾一下初中学过的重要定理。

问题2：（三角形中位线定理）如图2，ABC ∆中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，求证：BC DE BC DE 21,//=且师生活动：课件出示问题2，教师在带领学生回顾三角形中位线定理之后，可提问学生“你能借助向量知识证明这个定理吗？”若学生不知如何下手，教师可适时进行引导：（1）你能用向量把这个定理的条件和结论分别表示出来吗？条件是：AC AE AB AD 21,21==（或AD DB = 、AE EC = ），结论是：BC DE21=（2）仔细观察结论中的向量与条件中的向量之间的内在联系，借助向量运算证明定理.1111()2222DE AE AD AC AB AC AB =-=-=-=师生活动：对学生的证明过程进行点评，并展示完整的证明过程，证明过程如下：BC DE BC DE BC DE AB AC BC AB AC AB AC AD AE DE AC AE AB AD ABC DE 21,//.21,).(212121.21,212==-=-=-=-===∆于是所以又从而的中位线，所以是，因为证明：如图问题3：比较定理的几何证法与向量证法，你有什么体会？师生活动：学生小组讨论，选择代表发言，说说向量法与几何法的优劣，教师作总结点评。

2.5.平面几何中的向量方法-人教A版必修四教案一、课程目标•掌握平面向量的概念和基本性质。

•掌握平面向量的加、减、数乘、内积及其运算性质。

•能够解决平面向量的坐标表示、模长、夹角、共线、垂直问题。

•能够应用向量的基本运算解决平面解析几何问题。

•提高学生的空间想象能力，提高分析和解决问题的能力。

二、教学内容1.平面向量的概念和基本性质2.平面向量的加、减、数乘及其运算性质3.平面向量的内积及其运算性质4.平面向量的坐标表示5.平面向量的模长、夹角、共线、垂直问题6.向量在平面解析几何中的应用三、教学重点1.平面向量的加、减、数乘及其运算性质2.平面向量的模长、夹角、共线、垂直问题四、教学难点1.向量在平面解析几何中的应用2.平面向量的坐标表示五、教学方法1.演示法2.课堂练习 + 错题讲解3.讨论式教学4.课外练习六、教学过程第一步课前预热（5分钟）通过简单的问题，复习平面坐标系的基本知识，引出平面向量的概念。

第二步导入新课（10分钟）介绍平面向量的概念，讲解向量的定义、模长、方向等基本概念。

第三步课堂练习（25分钟）针对向量的加减法，数乘等基本运算，出示题目进行讲解。

第四步知识扩展（10分钟）引出向量的内积、共线、垂直等概念，对一些难题进行分析，讲解解决方法。

第五步讨论式教学（20分钟）分组讨论解决一些和生活实际问题相关的向量问题，提高学生的分析和解决问题的能力。

第六步课堂总结（10分钟）对本节课学习的重难点知识进行总结和回顾，为后续课程打好基础。

七、教学评价本课程利用多种教学方法，如演示法、课堂练习、讨论式教学等，有利于提高学生的学习效果和兴趣。

在教学过程中，着重讲解了向量的加减法、数乘及其运算性质，以及向量坐标、模长、夹角、共线、垂直等基本概念。

通过分组讨论等互动形式，提高了学生的空间想象能力和分析解决问题的能力。

后续需要加强对向量在平面解析几何中的应用知识的讲解，提高学生的应用水平。

2．5．1平面几何中的向量方法学习目标1．学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程．2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具．3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．知识点一 几何性质及几何与向量的关系 设1122(,),(,)a x y b x y ==，,a b 的夹角为θ． ||||a b θ=⋅(θ为向量)，其中,a b 为非零向量222||a a x y ==+，a 为非零向量知识点二 向量方法解决平面几何问题的步骤1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． 3．把运算结果“翻译”成几何关系．1．若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0．( )2．若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD ．( )3．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为菱形．( )题型一利用向量证明平面几何问题例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．反思感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．跟踪训练1如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF．题型二利用向量处理平面几何求值问题例2在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是()A．25B．55C．35D．75反思感悟 (1)用向量法求长度的策略①利用图形特点选择基底，向量的数量积转化，用公式22||a a =求解．②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若(,)a x y =，则22||a x y =+． (2)用向量法解决平面几何问题的两种思想①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算．②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．跟踪训练2 如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF ，连接BE ，CE ，点G 是线段BE 上靠近B 的四等分点，连接GF ，则GF →·CE →等于( ) A ．－6 B ．－9 C ．6 D ．91．在△ABC 中，若(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＝0，则△ABC ( )A ．是正三角形B ．是直角三角形C ．是等腰三角形D ．形状无法确定2．在直角三角形ABC 中，斜边BC 长为2，O 是平面ABC 内一点，点P 满足OP →＝OA →＋12(AB →＋AC →)，则|AP →|等于( )A ．2B ．1C ．12 D ．43．在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →，则S △ABDS △ABC 等于( )A ．23B ．13C ．16D ．124．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．。

2.5.1 平面几何中的向量方法一、教学分析1.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:则向量方法的流程图可以简单地表述为:这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.2.研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括:综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;分析方法——以微积分为工具,对几何元素及其关系进行讨论,等等.前三种方法都是中学数学中出现的内容.有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.二、三维目标1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.2.明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段. 三、重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.四、教学过程导入新课思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.推进新课新知探究提出问题图1①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法?③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.②教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学。