向量的概念及几何表示电子教案

向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。

2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。

2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。

（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。

3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。

（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。

4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。

三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。

2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。

2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。

3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。

3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。

5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校课题：向量的概念及表示教学类型：新知课教学目标：(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示;(2)了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念;(3)学会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学方法：启发式教学教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示教学难点：向量概念的理解.教具：幻灯片教学过程：一、情景设置在现实生活中，我们会遇到很多量。

其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如距离、质量、身高、时间、密度、以及体检中的视力、肺活量等。

然而还有一些量，如位移、力、速度、加速度等，不仅有大小而且还有方向，这种量就是我们本章所要研究的向量。

向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，接下来，我们将学习向量的概念。

二、讲授新课1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2．向量的表示方法：（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示； ①用有向线段字母表示：AB →.（A 为起点、B 为终点）； ②用小写字母表示：a 、b 、c ；（印刷用a ，书写用a ）注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。

3．向量的有关概念：（1）大小：向量的模：向量AB →的大小称为向量的长度（或称为模），记作|AB→|. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 思考：与0的含义与书写区别.（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

4、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作a //b 。

②我们规定0与任一向量平行5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量与相等，记作=(2)零向量与零向量相等；(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，A(起点) B 终点a并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.注：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.7、相反向量 对于任一向量有-（-）=。

向量的相关概念及定义教案教案：向量的相关概念及定义目标：让学生了解向量的概念和定义，以及向量的相关属性和运算规则。

时间：本课程计划为一堂45 分钟的课程。

教学步骤：1. 引入（5 分钟）- 通过提出一个问题或者以一个生活中的例子开始引入，激发学生对向量的兴趣。

- 例如：你们能举出一些向量的例子吗？向量在我们的日常生活中有哪些应用？2. 介绍向量的概念（10 分钟）- 定义向量：向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示，并在箭头上方标注向量名称。

示例：\vec{v}或者\mathbf{v}- 向量的元素：向量由一组有序的数字或者字母表示，称为向量的分量或者坐标。

示例：\vec{v} = (v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n)- 向量的维度：向量的分量个数称为向量的维度。

- 向量的方向：向量的方向表示箭头指示的方向。

- 向量的大小：向量的大小表示向量的长度，通常使用两个竖线来表示。

示例：\vec{v} 或者\mathbf{v}3. 向量的表示方法（10 分钟）- 列表法：使用分量来表示向量。

示例：\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)- 几何法：使用箭头来表示向量在空间中的方向和大小。

示例：\vec{v} - 简记法：将向量名称加上箭头来表示。

示例：\overrightarrow{AB}表示从点A 到点B 的向量。

4. 向量的运算（15 分钟）- 向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

示例：\vec{v} + \vec{w} = (v_1+w_1, v_2+w_2, v_3+w_3)- 向量的数乘：将向量的每个分量乘以一个常数得到新的向量。

示例：c \cdot \vec{v} = (c \cdot v_1, c \cdot v_2, c \cdot v_3)- 向量的数量积（点积）：两个向量的对应分量相乘并求和得到一个标量。

示例：\vec{v} \cdot \vec{w} = v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + v_3 \cdot w_3 - 向量的向量积（叉积）：两个向量的向量积是一个向量，大小等于两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。

b cC D ABMN向量的概念和向量的几何表示目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：一、 引人：课本P3观察（略）实例：图中拉小车的力F 1,F 2 , F 3 是个既有大小又有方向的量 。

二、 提出课题：向量的概念和向量的几何表示 1。

意义：既有大小又有方向的量叫向量。

2. 向量的表示方法：（用什么来刻画向量的两要素呢？）用一条线段：它的长短表示向量的大小，它上面的箭头表示向 的方向。

如图：向量===,,（起点在前终点在后） 向量与方向相同，大小不等，为不同的向量 向量与方向不同，大小相等，为不同的向量向量与方向相同，大小相等，为同一向量（向量可以平移） 问？AB 与BA 是否同一向量？ 答：不是同一向量。

向量的大小（线段的长）记作：||——称为向量的模。

注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

模是可以比较大小的3． 特殊的向量：F1︒ 零向量——长度（模）为0的向量，记作。

的方向是任意的。

注意与0的区别2︒ 单位向量——长度（模）为1的向量叫做单位向量 问？有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，方向可以不同，所以单位向量不一定相等。

30．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

MN CD = 规定：零向量与零向量相等，0=0 40．相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

NM CD 与，BA AB 与，记：-=，既0=+BA AB （相当于实数中的互为相反数）50．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：NM MN BA DC AB CD ////////// 规定：与任一向量平行60．共线向量： 任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。

向量的概念及表示教学案向量的线性运算（一）教学案【教学重点与难点】：重点：如何作两个向量的和向量 难点：对向量加法定义的理解. 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题【复习】：1.向量的概念 2.平行向量、相等向量的概念。

【情景设置】：利用向量的表示，从景点O 到景点A 的位移为→--OA ，从景点A 到景点B 的位移为→--AB ，那么经过这两次位移后游艇的合位移是→--OB ，向量→--OA ,→--OB ,→--OC 三者之间有什么关系？二、研探新知1.向量的加法向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。

表示：→--AB −→−+BC =→--AC ．规定：零向量与任一向量a ，都有00a a a +=+=．【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量）作法：在平面内任意取一点O ，作→--OA =a ，→--AB =a ，则→--OB =→--OA +→--AB =a +b2.向量的加法法则 （1）共线向量的加法：（2）不共线向量的加法：1.平行四边形法则 2.三角形法则3.向量加法的运算律（1）向量加法的交换律： （2）向量加法的结合律：三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1如右图：作出下列向量： （1）−→−OA +−→−OC （2）−→−BC +−→−FE （3）−→−OA +−→−FE变式：已知矩形ABCD 中，宽为2，长为−→−AB a = ，−→−BC =b，−→−AC =c ，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小。

例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

变式：一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度。

四、巩固深化，反馈矫正1.一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速。

数学向量教案教案标题：引入数学向量的概念教学目标：1. 理解数学向量的定义和性质2. 掌握向量的表示方法和运算规则3. 能够应用向量解决实际问题教学重点：1. 向量的定义和表示2. 向量的加法和数量乘法3. 向量的性质和运算规则教学难点：1. 向量的几何意义和应用2. 向量的线性相关性和线性无关性教学准备：1. 教材：数学教科书相关章节2. 教具：黑板、彩色粉笔、投影仪3. 素材：向量的几何表示图、实际应用案例教学过程：一、导入（5分钟）教师通过提问或展示相关图片引入向量的概念，引起学生的兴趣和好奇心。

二、概念解释（15分钟）1. 向量的定义和表示：介绍向量的定义，向量的表示方法，向量的模和方向等概念。

2. 向量的加法和数量乘法：讲解向量的加法规则和数量乘法规则，并通过实例进行说明。

三、基本性质（15分钟）1. 向量的性质：讲解向量的平行性、共线性、相等向量等基本性质，并进行相关练习。

2. 向量的运算规则：讲解向量的加法和数量乘法的运算规则，引导学生掌握向量运算的方法。

四、实际应用（15分钟）1. 向量的几何意义：通过几何图形展示向量的几何意义，让学生理解向量在几何中的应用。

2. 解决实际问题：通过实际问题案例，引导学生运用向量解决实际问题，培养学生的应用能力。

五、拓展延伸（10分钟）1. 向量的线性相关性和线性无关性：介绍向量的线性相关性和线性无关性的概念，引导学生进行相关思考和讨论。

2. 向量的应用拓展：介绍向量在物理、工程等领域的应用，拓展学生对向量的认识和理解。

六、课堂小结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并布置相关练习作业，巩固学生的学习成果。

教学反思：教师在教学过程中要注重引导学生进行思考和讨论，激发学生的学习兴趣和求知欲，同时要关注学生的学习情况，及时调整教学方法，确保教学效果。

向量的概念及表示教学目标：1. 了解向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 能够运用向量表示物体在空间中的位置和运动。

3. 掌握向量的加法、减法和数乘运算。

教学内容：第一章：向量的概念1.1 向量的定义1.2 向量的性质1.3 向量的表示方法第二章：向量的加法和减法2.1 向量加法的定义和性质2.2 向量减法的定义和性质2.3 三角形法则和平行四边形法则第三章：向量的数乘3.1 向量数乘的定义和性质3.2 向量数乘的意义和应用3.3 向量的长度和方向第四章：向量的几何应用4.1 向量在直角坐标系中的应用4.2 向量在几何图形中的应用4.3 向量在物体运动中的应用第五章：向量的线性组合5.1 向量的线性组合定义和性质5.2 向量线性组合的意义和应用5.3 向量空间和基底的概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过思考和讨论来理解向量的概念和表示方法。

2. 利用图形和实物模型，直观地展示向量的几何意义和应用。

3. 通过例题和练习题，让学生掌握向量的运算规则和应用技巧。

教学评价：1. 课堂讲解和讨论的参与度。

2. 作业和练习题的正确率和完成情况。

3. 期末考试的成绩和表现。

教学资源：1. 教学PPT和幻灯片。

2. 图形和实物模型。

3. 练习题和测试题。

教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：2课时教学步骤：1. 引入向量的概念，引导学生思考向量的定义和性质。

2. 讲解向量的表示方法，如箭头表示法和坐标表示法。

3. 通过图形和实物模型，展示向量的几何意义和应用。

4. 讲解向量的加法和减法运算，引导学生掌握三角形法则和平行四边形法则。

5. 讲解向量的数乘运算，引导学生理解向量数乘的意义和应用。

6. 通过例题和练习题，让学生巩固向量的运算规则和应用技巧。

7. 引导学生思考向量的线性组合的概念和性质。

8. 讲解向量的线性组合的意义和应用，如基底的概念。

三、平面向量 1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．(2)若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ±b =（2121,y y x x ±±）． 向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量AB =a 、AD =b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,BD =b －a ,DB =a －b且有︱a ︱－︱b ︱≤︱a ±b ︱≤︱a ︱+︱b ︱．向量加法有如下规律：a ＋b =b ＋a (交换律); a +(b +c )=(a + b )+c （结合律）; a +0=a a ＋(－a )=0.3．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量。

(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;(2) 当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0． (3)若a =（11,y x ），则λ·a =（11,y x λλ）． 两个向量共线的充要条件：(1) 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ． (2) 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ∥b 01221=-⇔y x y x ． 平面向量基本定理：若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使得a =1λe 1+2λe 2．4．P 分有向线段21P P 所成的比：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

初中向量的概念教案教案标题：初中向量的概念教案教案目标：1. 理解向量的基本概念和特征；2. 掌握向量的表示方法和运算规则；3. 能够应用向量解决几何和物理问题。

教学内容：1. 向量的定义和基本概念；2. 向量的表示方法：坐标表示法和向量符号表示法；3. 向量的运算规则：向量加法、向量减法、数量乘法和向量的数量积；4. 向量的应用：几何问题和物理问题。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引入向量的概念：通过展示一张图或者实际示例，引导学生观察并描述物体的运动或方向变化。

2. 提问：你能用什么方式来描述物体的运动或方向变化？二、学习向量的定义和基本概念（15分钟）1. 讲解向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

2. 引导学生理解向量的大小和方向的概念，并通过示例进行说明。

3. 引导学生区分向量和标量的不同之处。

三、学习向量的表示方法（15分钟）1. 讲解向量的坐标表示法：引入坐标系的概念，通过示例演示如何用坐标表示向量。

2. 讲解向量的向量符号表示法：引入向量符号表示法，通过示例演示如何用向量符号表示向量。

四、学习向量的运算规则（20分钟）1. 向量的加法：讲解向量的加法规则，并通过示例演示如何进行向量的加法。

2. 向量的减法：讲解向量的减法规则，并通过示例演示如何进行向量的减法。

3. 数量乘法：讲解向量的数量乘法规则，并通过示例演示如何进行数量乘法。

4. 向量的数量积：讲解向量的数量积规则，并通过示例演示如何进行数量积计算。

五、应用向量解决问题（20分钟）1. 几何问题：通过几何图形的示例，引导学生如何应用向量解决几何问题，如平行、垂直等关系。

2. 物理问题：通过物理问题的示例，引导学生如何应用向量解决物理问题，如力的合成等。

六、总结与拓展（10分钟）1. 总结向量的概念、表示方法和运算规则。

2. 拓展：提供一些拓展问题，让学生进一步巩固和应用所学的知识。

教学资源：1. 幻灯片或黑板；2. 向量示例图片或实物；3. 相关练习题。

2019-2020年高中数学 第一课时 向量的概念及表示 教案 苏教版必修4教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.1.向量的概念：(我们把既有大小又有方向的量叫向量)2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB →.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 与b 相等，记作a ＝b ；(2)零向量与零向量相等；(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点．．．．．．．．无关．．.6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、AC →在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.［例2］下列命题正确的是( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确.对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b 都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度.2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.4.向量a 与实数a .5.零向量0与实数06.注意下列写法是错误的：①a －a ＝0; ②AB →＋BC →＋CA →＝0;③a ＋0＝a ; ④｜a ｜－｜a ｜＝0.7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件. 为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练.Ⅲ.课堂练习课本P 59练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业课本P 59习题 1，2，3，42019-2020年高中数学 第一课时 曲边梯形的面积教案 北师大版选修2-2一、教学目标：理解求曲边图形面积的过程：分割、以直代曲、逼近，感受在其过程中渗透的思想方法。

中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。

重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。

向量的概念和向量的几何表示目的：要求学牛•掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

是个既有人小乂有方向的量。

二、捉出课题：向量的概念和向量的儿何表示lo 意义：既有大小又有方向的量叫向量。

2. 向量的表示方法：（川什么來刻画向量的两要素呢？）用一•条线段：它的长短表示向最的人小，它上面的箭头表示向 的方向。

如图：向SAB = c,CD = b,EF = a （起点在前终点在后）向fiEF-^CD 方向不同，大小相等，为不同的向量 A M向量莎与而方向和同，大小和等，为同一向量（向量可以平移）问？忑与茲是否同一向量？ 答：不是同一向量。

向量乔的人小（线段的长）记作:IA6I ——称为向量的模。

注意：数最与向最的区别：数量只有人小，是一•个代数量，可以进行代数运算、比较人小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

模是可以比较大小的 3. 特殊的向量:一、引人：课木P3观察（略）实例：图中拉小车的力F|.F2,F3向量忑与西方向相同，大小不等，为不同的向量 E1°零向量——长度（模）为0的向量，记作0。

0的方向是任意的。

注意6与o的区别2°单位向量——长度（模）为1的向量叫做单位向量问？有几个单位向最？单位向最的人小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，方向可以不同，所以单位向量不一定相等。

3°.相等向量：长度相等R方向相同的向量叫做相等向量。

CD = MN规定：零向量与零向量相等，6 = 64°.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。

CD^NM , 忑与亦，记：AB = -BA f既AB + BA = （）（相当于实数中的互为相反数）5°.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：CD //AB //DC //BA//MN //NM规定：6与任一向量平行6°.共线向最：任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

空间向量与立体几何第一章：空间向量基础1.1 向量的定义与表示了解向量的概念，掌握向量的几何表示和代数表示。

学习向量的长度和方向，掌握向量的模和单位向量。

1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算。

掌握向量加法和减法的几何意义，理解数乘向量的意义。

1.3 向量的坐标表示学习空间直角坐标系，了解向量的坐标表示方法。

掌握向量坐标的加法和数乘运算，理解向量坐标的几何意义。

第二章：立体几何基础2.1 平面立体几何学习平面的基本性质，掌握平面方程和点到平面的距离公式。

学习直线与平面的位置关系，了解线面平行、线面相交和线面垂直的判定条件。

2.2 空间立体几何学习空间几何体的基本性质，包括点、线、面的位置关系。

掌握空间几何体的体积和表面积计算公式，了解空间几何体的对称性。

第三章：空间向量在立体几何中的应用3.1 空间向量与直线的位置关系学习利用空间向量判断直线与直线、直线与平面的位置关系。

掌握向量夹角的概念，学习利用向量夹角判断直线与直线的夹角。

3.2 空间向量与平面的位置关系学习利用空间向量判断平面与平面的位置关系。

掌握平面法向量的概念，学习利用平面法向量求解平面方程。

3.3 空间向量与空间几何体的位置关系学习利用空间向量判断空间几何体与空间几何体的位置关系。

掌握空间几何体的体积和表面积计算方法，学习利用空间向量求解空间几何体的体积和表面积。

第四章：空间向量的线性运算与立体几何4.1 空间向量的线性组合学习空间向量的线性组合，掌握线性组合的运算规律。

理解线性组合在立体几何中的应用，包括线性组合与空间几何体的关系。

4.2 空间向量的线性相关与线性无关学习空间向量的线性相关和线性无关的概念。

掌握判断空间向量线性相关和线性无关的方法，理解线性相关和线性无关在立体几何中的应用。

4.3 空间向量的基底与坐标表示学习空间向量的基底概念，掌握基底的选取方法。

学习空间向量的坐标表示方法，理解坐标表示在立体几何中的应用。

向量的概念教案
2.1.1 向量的概念教学设计
一.学习目标
1.关于向量的概念
(1)了解向量产生的物理背景,理解共线向量,相等向量等概念,理解向量的几何
表示;
(2)经历向量概念的形成过程,体会由实例引入概念的方法,并通过实例,体验用
向量表示点的位置的方法,培养学生提出问题，分析问题和解决问题的能力.
(3)通过学习,使学生认识到向量在刻画现实问题,物理问题和数学问题中的作
用,培养学生观察,类比联想等发现规律的一般方法,激发学生的学习兴趣和钻研精神.
2.关于向量的线性运算
(1)通过实例,掌握向量加法,减法,向量数乘的运算,并理解其几何意义;
(2)让学生能由数的运算律类比向量的运算律,并结合图形验证相关的运算律,强化对知识的形成过程的认识,并正确表述探究的结果.
(3)通过学习向量的线性运算,初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题.
二.重点难点
1.关于向量的概念
(1)重点是向量的概念,相等向量的概念和向量的几何表示;。

第一课时 向量的概念及表示教学目标：理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示.教学难点：向量概念的理解.教学过程：Ⅰ.课题导入在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.而这一节课，我们将学习向量的有关概念.Ⅱ.讲授新课这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.1.向量的概念：(我们把既有大小又有方向的量叫向量)2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB →.3.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.4.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .5.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：(1)向量a 与b 相等，记作a ＝b ；(2)零向量与零向量相等；(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无．．．．．．．．．关．. 6.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →、AC →在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图，AC →与BC →共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.［例2］下列命题正确的是 ( )A.a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D 不正确.对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b 都是非零向量，所以应选C.评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.几点说明：1.向量有三个要素：起点、方向、长度.2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.4.向量a 与实数a .5.零向量0与实数06.注意下列写法是错误的：①a －a ＝0; ②AB →＋BC →＋CA →＝0;③a ＋0＝a ; ④｜a ｜－｜a ｜＝0.7.平行向量与相等向量方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件. 为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练.Ⅲ.课堂练习课本P 59练习1，2，3，4.Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.Ⅴ.课后作业课本P 59习题 1，2，3，4。