向量的物理背景与概念、向量几何表示教案1

a与向量b平行，则
>且AB
）若向量AB、CD AB CD
=则a，b长度相等且方向相同或相反。

（
a b
）由于零向量方向不确定，故
点出发向西行驶了100
AD,并说明理由
高一数学《分章节案》 专心听讲，勤于思考。

《分章节案》 及时复习，认真完成。

下列说法中① 若a =0=；②若a =b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 //b 且0b ≠则0a ≠；一条线段 ； B.一段圆弧； C.两个孤立点；上有且只有两点使OA ,OB a b =⇒a b >⇒a 对于下面的说法：①向量就是有向线段，有向线段就是向量；②向量AB 的模与向量BA 的模相 （只填序号）.
平行的向量有多少个？（AB 2a b =所以a b >下列各命题中，真命题是（ ）
a b =，则a b =长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量；a b >，则a b >。

第二章２.１平面向量的实际背景及基本概念２.１．１向量的物理背景与概念２.１．２向量的几何表示２.１．３相等向量与共线向量学习目标核心素养１．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景．理解向量的有关概念及向量的几何表示．（重点）２．理解共线向量、相等向量的概念．（难点）３．正确区分向量平行与直线平行．（易混点）１．通过对向量概念的学习，提升数学抽象素养．２．借助向量的几何意义，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养；３．通过相等向量和平行向量的学习，提升了学生逻辑推理的核心素养.１．向量与数量（１）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．（２）数量：只有大小，没有方向的量称为数量．２．向量的几何表示（１）带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．（２）向量可以用有向线段表示．向量错误!的大小，也就是向量错误!的长度（或称模），记作|错误! |.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：错误!，错误!.思考：（１）向量可以比较大小吗？（２）有向线段就是向量吗？[提示] （１）向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．（２）有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．３．向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于１个单位的向量平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作a∥b规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作a＝b１．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a１，a２，a３，…，a n，则这n个向量（）Ａ．都相等Ｂ．都共线Ｃ．都不共线Ｄ．模都相等D[因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]２．有下列物理量：１质量；２温度；３角度；４弹力；５风速．其中可以看成是向量的有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个B[１２３不是向量，４５是向量．]３．已知|错误!|＝１，|错误!|＝２，若∠ABC＝90°，则|错误!|＝________.错误![三角形ABC是以B为直角的直角三角形，所以|错误!|＝错误!＝错误!.]４．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________（填序号）．（１）错误!与错误!；（２）错误!与错误!；（３）错误!与错误!；（４）错误!与错误!.（１）（４）[由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：错误!＝错误!，错误!≠错误!，错误!≠错误!，错误!＝错误!.]向量的有关概念【例１】（１）若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；（２）若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；（３）对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；（４）由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；（５）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．思路点拨：解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] （１）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．（２）不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．（３）正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.（４）不正确．依据规定：0与任意向量平行．（５）不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．１．理解零向量和单位向量应注意的问题（１）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．（２）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．２．共线向量与平行向量（１）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；（２）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；（３）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．[跟进训练]１若a∥b，b∥c，则a∥c.２若单位向量的起点相同，则终点相同．３起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；４向量错误!与错误!是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．３[１错误．若b＝0，则１不成立；２错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；３正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．４错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量错误!，错误!必须在同一直线上．]向量的表示及应用【例２】（１）可以写出________个向量．（２）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为１），用直尺和圆规画出下列向量：１错误!，使|错误!|＝４错误!，点A在点O北偏东４５°；２错误!，使|错误!|＝４，点B在点A正东；３错误!，使|错误!|＝6，点C在点B北偏东３0°.（１）１２[可以写出１２个向量，分别是：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.]（２）[解] １由于点A在点O北偏东４５°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|错误!|＝４错误!，小方格边长为１，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为４，于是点A位置可以确定，画出向量错误!如图所示．２由于点B在点A正东方向处，且|错误!|＝４，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为４，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量错误!如图所示．３由于点C在点B北偏东３0°处，且|错误!|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为３，纵向小方格数为３错误!≈５．２，于是点C位置可以确定，画出向量错误!如图所示．１．向量的两种表示方法（１）几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．（２）字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如错误!，错误!，错误!等．２．两种向量表示方法的作用（１）用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．（２）用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[跟进训练]２．某人从A点出发向东走了５米到达B点，然后改变方向按东北方向走了１0错误!米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了１0米到达D点．（１）作出向量错误!，错误!，错误!；（２）求错误!的模．[解] （１）作出向量错误!，错误!，错误!，如图所示：（２）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝１0错误!米，CD＝１0米，所以BD＝１0米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝５米，BD＝１0米，所以AD＝错误!＝５错误!（米），所以|错误!|＝５错误!米.相等向量和共线向量[探究问题]１．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．２．若错误!∥错误!，则从直线AB与直线CD的关系和错误!与错误!的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况（１）直线AB和直线CD重合，错误!与错误!同向；（２）直线AB和直线CD重合，错误!与错误!反向；（３）直线AB∥直线CD，错误!与错误!同向；（４）直线AB∥直线CD，错误!与错误!反向．【例３】如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c.（１）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（２）与a共线的向量有哪些？（３）请一一列出与a，b，c相等的向量．思路点拨：根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．[解] （１）与a的长度相等、方向相反的向量有错误!，错误!，错误!，错误!.（２）与a共线的向量有错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.（３）与a相等的向量有错误!，错误!，错误!；与b相等的向量有错误!，错误!，错误!；与c相等的向量有错误!，错误!，错误!.１．本例条件不变，写出与向量错误!相等的向量．[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以图中与错误!相等的向量有错误!，错误!，错误!.２．本例条件不变，写出与向量错误!长度相等的共线向量．[解] 与错误!长度相等的共线向量有：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.３．在本例中，若|a|＝１，则正六边形的边长如何？[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，∴△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝１．相等向量与共线向量的探求方法（１）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．（２）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．同时要注意理解以下几个概念：１．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．任一向量都与它自身是平行向量．２．共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，其所在直线可以平行也可以重合．“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．３．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．４．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．１．在下列判断中，正确的是（）１长度为0的向量都是零向量；２零向量的方向都是相同的；３单位向量的长度都相等；４单位向量都是同方向；５任意向量与零向量都共线．Ａ．１２３Ｂ．２３４Ｃ．１２５Ｄ．１３５D[由定义知１正确，２由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然３５正确，４不正确，故选Ｄ．]２．汽车以１２0 km/h的速度向西走了２h，摩托车以４５km/h的速度向东北方向走了２h，则下列命题中正确的是（）Ａ．汽车的速度大于摩托车的速度Ｂ．汽车的位移大于摩托车的位移Ｃ．汽车走的路程大于摩托车走的路程Ｄ．以上都不对C[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]３．在下列命题中：１平行向量一定相等；２不相等的向量一定不平行；３共线向量一定相等；４相等向量一定共线；５长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．４⑥[由向量的相关概念可知４⑥正确．]４．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，（１）写出与错误!平行的向量；（２）写出与错误!模相等的向量．[解] 由题图可知，（１）与错误!平行的向量有：错误!，错误!，错误!；（２）与错误!模相等的向量有：错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!，错误!.。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。

2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。

3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。

二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。

2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。

3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。

4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。

5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。

6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。

7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。

三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。

2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。

3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。

四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。

2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。

3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。

五、教学资源：1. 教案、PPT课件。

2. 几何图形和物理情境的图片或视频。

3. 练习题和案例分析题。

4. 小组讨论和报告的评价标准。

六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。

2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。

七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。

2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。

3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。

4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。

向量的概念及表示一、教学目标：1. 让学生理解向量的概念，知道向量是有大小和方向的量。

2. 让学生掌握向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

3. 让学生学会向量的加减法和数乘运算。

二、教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以用来表示物体的位移、速度等。

2. 向量的表示方法：（1）字母表示：用大写字母表示向量，如\( \vec{a} \)，\( \vec{b} \) 等。

（2）坐标表示：用小写字母加上坐标轴上的坐标表示，如\( \vec{a} = (a_x, a_y) \)，\( \vec{b} = (b_x, b_y) \) 等。

3. 向量的加减法：（1）向量加法：\( \vec{a} + \vec{b} = (\vec{a}_x + \vec{b}_x, \vec{a}_y + \vec{b}_y) \)。

（2）向量减法：\( \vec{a} \vec{b} = (\vec{a}_x \vec{b}_x, \vec{a}_y \vec{b}_y) \)。

4. 向量的数乘：（1）数乘向量：\( k\vec{a} = (ka_x, ka_y) \)，其中\( k \) 是实数。

三、教学重点与难点：1. 重点：向量的概念、表示方法以及向量的加减法和数乘运算。

2. 难点：向量的坐标表示以及向量的加减法和数乘运算的坐标表示。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解向量的概念和表示方法。

2. 采用练习法，让学生通过例题和练习掌握向量的加减法和数乘运算。

3. 采用提问法，检查学生对向量知识的理解和掌握程度。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，如物体位移、速度等，引入向量的概念。

2. 讲解向量的概念，引导学生理解向量有大小和方向。

3. 讲解向量的表示方法，包括字母表示和坐标表示。

4. 讲解向量的加减法，让学生掌握向量加减法的运算规则。

5. 讲解向量的数乘，让学生掌握向量数乘的运算规则。

向量的概念教案教案1：向量的概念与表示教学目标：1. 了解向量的概念及其在几何和物理中的应用；2. 掌握向量的表示方法，能够将向量在坐标系中表示出来；3. 理解向量的相等、相反与零向量的概念。

教学内容：1. 向量的概念：向量是有大小和方向的量，可以表示为有向线段。

向量可以用来表示力、速度、位移等物理量。

2. 向量的表示方法：用一个有向线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，线段的方向与向量的方向相同。

3. 坐标系中的向量表示：使用坐标系中的点表示向量，起点为坐标原点，终点位置的坐标表示向量。

4. 向量的相等：若两个向量的大小和方向相同，则它们相等。

5. 向量的相反：若一个向量的大小为a，方向与另一个向量相反，则它们互为相反向量，即一个为-a。

教学步骤：1. 引入向量的概念，介绍向量在几何和物理中的应用。

2. 通过实例引导学生理解向量的表示方法，绘制有向线段，让学生观察和描述向量的大小和方向。

3. 引入坐标系中的向量表示方法，让学生通过绘制坐标系和线段来表示向量。

4. 给出几个向量，让学生根据给定的坐标系计算并表示出这些向量。

5. 阐述向量的相等、相反和零向量的概念，通过实例让学生理解并判断相等、相反的向量以及零向量。

6. 练习：给出一些向量的大小和方向，让学生判断并表示出相应的向量。

教学资源：1. 向量的概念和表示的PPT；2. 坐标系的绘图纸和直尺；3. 练习题目。

教学评估：1. 在课堂上进行口头提问，让学生回答向量的概念、表示方法以及向量的相等、相反和零向量的判断；2. 练习题目的完成情况和正确率。

教案2：向量的基本运算教学目标：1. 掌握向量的加法和减法运算方法；2. 理解向量加法与减法的几何意义；3. 理解向量的数乘运算。

教学内容：1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加。

在坐标系中，将两个向量的起点放在一起，终点与终点相连，所得的向量为两个向量的和向量。

2. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的相应分量相减。

2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量【教学目标】1、知识与技能（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念；（2）理解相等向量与共线向量。

2、过程与方法（1）经历类比方法学习向量及几何表示的过程，体验对比，理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法；（2）能利用相等向量和共线向量的定义，正确进行命题的判断，从而为数形结合奠定理论基础，初步培养利用向量法解决平面几何的能力。

3、情感、态度与价值观（1）通过本节的学习，让学生感受向量的概念、方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣；（2）建立数形结合的思想，用联系的观点学习数学知识，培养学生辩证的学习科学知识的态度。

【教学重点】（1）理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念，会表示向量；（2）共线向量的理解和应用。

【教学难点】（1）向量的概念，平行向量；（2）正确，熟练地应用共线向量解决有关问题。

【教学方法】让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论理解向量及其相关概念。

【教学过程】〖创设情境导入新课〗【导语】在现实生活中，我们会遇到很多与量有关的问题，如买5斤鱼，3斤肉，30公斤大米，又如今天骑车走了10公里等等，这些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，并且这些量只有大小，没有方向，我们将这些量叫做数量（标量）。

但是，还有一些量，如我们在物理学中所学习的速度、位移、力等，它们除了有大小之外，还与方向有关，像这种既有大小又有方向的量就是我们今天要学习的内容——向量（矢量）。

〖合作交流解读探究〗1、向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）。

如：力、位移等。

【说明】（1）向量的两个要素：大小和方向。

向量的大小是代数特征，方向是几何特征，所以向量不能像实数那样比较大小，因为方向不能进行比较；（2）向量与数量的区别：数量是只有大小没有方向的量，如面积、体积、质量等，在物理学中也称为标量；同时其大小可以用正数、负数和0来表示，它是一个代数量，可进行各种代数运算，可比较大小；向量是既有大小，又有方向的量，如力、位移等，在物理学中也称为矢量，由于向量具有方向，而方向不能比较大小，所以向量也不能比较大小。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 让学生理解平面向量的实际背景，感受向量在现实生活中的应用。

2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示、向量的运算等。

3. 培养学生的抽象思维能力，提高学生运用向量解决问题的能力。

二、教学内容：1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、几何学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。

2. 向量的基本概念：(1) 向量的定义：线段上的点称为向量的始点，线段的另一端称为向量的终点，线段的长度称为向量的模。

(2) 向量的表示：用箭头表示向量，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。

(3) 向量的运算：加法、减法、数乘、点积、叉积等。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的实际背景，向量的基本概念，向量的表示方法。

2. 教学难点：向量的运算，向量的几何意义。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的实际背景和基本概念。

2. 采用案例分析法，分析向量在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的参与度。

五、教学过程：1. 引入新课：通过力的表示、位移的表示等实例，引导学生了解向量的实际背景。

2. 讲解向量的基本概念：讲解向量的定义、表示方法，并进行示例演示。

3. 向量的运算：讲解向量的加法、减法、数乘等运算方法，并进行示例演示。

4. 向量的几何意义：通过图形展示向量的几何意义，引导学生理解向量在几何中的应用。

5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学内容。

7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对向量实际背景的理解程度，以及对向量基本概念的掌握情况。

2. 课堂练习环节，收集学生的练习成果，评估学生对向量运算的熟悉程度。

3. 课后作业的完成情况，以检验学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学策略的调整：1. 根据学生的学习反馈，针对性地加强向量实际背景的讲解，提高学生对向量的认识。

中等专业学校2024-2025-1教案编号：备课组别数学组课程名称数学所在年级二年级主备教师授课教师授课系部授课班级授课日期课题 2.1向量的概念（第1课时）教学目标通过学习，以位移、力等物理背景，了解平面向量、有向线段、单位向量、零向量、相等向量、相反向量和共线向量的含义；能体会向量及有关概念的抽象过程，知道有向线段可以表示向量；能区分并举例说明相等向量、相反向量、共线向量。

重点向量及相关概念，向量的表示，共线向量的概念及判断．难点向量的两个要素及向量的表示，共线向量的概念．教法教学设备教学环节教学活动内容及组织过程个案补充教学内容一、情境导入随着我国综合国力的不断增强,我国海军装备事业发展迅速,一批新型舰艇陆续下水试航. 如图所示,为测试某型号舰艇的性能,S舰从A点沿东北方向航行100 n mile 到达B点. 如果S舰沿其他方向航行100 n mile,能不能到达B点呢？教学内容二、探索新知可以看出，S舰从A点出发沿其他方向航行100 n mile 不能到达B点．事实上,图中带箭头的线段AB包含两个要素：航程100 n mile；航向东北方向．物理学中，把“S舰沿东北方向航行100 n mile”称为S舰的位移.生活和学习中常会遇到一些量，如长度、质量、时间、温度、面积、年龄，它们在给定了单位后，用一个实数就可以表示出来，这样的量称为数量．在数学中，把既有大小又有方向的量，称为向量. 向量常用小写黑体英文字母a、b、c 等来表示，手写体为在字母上方加箭头，如a.向量a的大小也称为该向量a的模，记为|a|.模为1的向量称为单位向量．规定:模为零的向量为零向量，记作0或0.零向量的方向是任意的.一般地，把具有确定方向的线段称为有向线段．以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.习惯上，在有向线段的终点处加一个指向终点的箭头表示方向，如图所示．“情境与问题”中，有向线段直观地表示了S 舰的位移，其长度表示S 舰位移的大小，其箭头指向表示S舰位移的方向.一般地,人们常用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 这也是向量的几何表示.三、典型例题例1如图(1)所示，用点A、B、C 表示三地的位置.分别用有向线段表示出A地至B、C 两地的位移，并通过测量和计算指出它们的大小和方向（精确到1km）.教学内容解如图(2)所示，用有向线段AB表示A地到B地的位移.测量可得AB≈2.5cm.因此位移AB的大小|AB|≈25km，方向是正北.同理，用有向线段AC表示A地到C 地的位移.位移的大小|AB|≈22km，方向是正东.例 2 如图所示，在坐标纸(正方形小方格的边长为1)上，求各向量的模和方向，并指出其中的单位向量.解向量a：|a|=222+2=22，东北方向；向量b：|b|=222+2=22，东北方向；向量c：|c|=221+1=2，西南方向；向量d：|d|=221+1=2，东北方向；向量m：|m|=2，正北方向；向量i：|i|=1，正东方向；向量j：|j|=1，正北方向；其中的单位向量有：i、j.四、巩固练习1.在图中所示方格纸上用有向线段表示力(1个单位长度表示10N).教学内容(1)方向正北、大小为20N的力，用向量AB表示；(2)方向正东、大小为50N的力，用向量CD表示.2.按图中的比例尺,分别求出由A地到B、C两地的位移(长度精确到1km)五、归纳总结六、布置作业1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾；3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.板书设计教后札记中等专业学校2024-2025-1教案教学内容向量c与d的模相等，方向相反，它们的关系类似于相反数的关系.一般地，模相等且方向相同的两个向量称为相等向量.向量a与b相等时，记a=b.与非零向量a的模相等、方向相反的向量称为a的相反向量，记作−a.规定：零向量的相反向量仍是零向量.进一步观察还可以发现，向量a与d的方向相同，向量c与d的方向相反，但这两组向量有一个共性，即两个向量所在的直线平行.一般地，方向相同或相反的两个向量称为平行向量.当向量a与b平行时，记a∥b.规定：零向量与任何一个向量平行，即对于任意向量a,都有0∥a.温馨提示对于坐图中的平行向量a、c、d，我们可以在平面内作一条与向量a所在直线平行的直线l. 然后，在l上任取一点O，并在l上分别作出OA=a、OC=c、OD=d如右图所示. 这说明，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上.因此，平行向量也称共线向量.（3）因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、三、典型例题AD的平行向量；AB相等的向量；AO的相反向量．由平行四边形的性质可知，因为平行向量是方向相同或相反的两个非零向量，所以AD的平行向量有DA、BC、CB；）因为相等向量是模相等且方向相同的两个向量，所以与向量AB相等的向量只有DC；因为非零向量的相反向量是与该向量模相等、方向相反的向量，所以AO的相反向量有OA、CO.四、巩固练习试判断下列说法是否正确。

向量的物理背景与概念一、课题：向量二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）； 2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。

三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；2．向量的几何表示。

四、教学过程： （一）问题引入：老鼠由A 向西北方向逃窜，如果猫由B 向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？ （二）新课讲解：1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。

2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；（2）用字母表示：a说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。

有向线段的三要素：起点、方向和长度； （2）向量AB 的长度（或称模）：线段AB 的长度叫向量AB 的长度，记作||AB ． 3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义： （1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即||1AB =； （2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作0；（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：////a b c ； （4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。

即：a b =； （5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。

平行向量也叫共线向量。

说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作0//a ； （2）零向量与零向量相等，记作00=；（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

4．例题分析：例1 如图1，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA ，OB ，OC 相等的向量。

B （终点）A （起点）1）解：OA CB DO ==EF =；OB DC EO AF ===； OC AB ED FO ===．例2 如图2，梯形ABCD 中，E ，F 分别是腰AB 、DC 的三等分点，且||AD 2=，||5BC =，求||EF ．解：分别取BE ，CF 的中点分别记为M ，N ，由梯形的中位线定理知：1||(||)2MN EF BC =+1111||()(||||)2222EF AD MN AD EF BC =+=++∴3159||(2)4224EF =+= ∴||3EF =．例 3 在直角坐标系xoy 中，已知||5OA =，OA 与x 轴正方向所成的角为30，与y 轴正方向所成的角为120，试作出OA ． 解：五、课堂练习：P77，练习六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等 向量的意义。

向量的概念及表示执教:张亮点评:孔凡海【教学目标】一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景；二、理解平面向量和向量相等的概念；三、掌握向量的几何表示；四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。

【重点难点】重点：向量的概念和向量的几何表示；难点：向量概念的理解【点评】知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。

目标明确有效，重点突出。

为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的工具。

向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现。

向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质。

由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。

这样，几何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的几何问题让位于作为算法数学的代数问题。

【教学过程】一、设置情境情景在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？合作探究看下面哪些量是与众不同的：（1）线段的长度（2）物体的质量（3）物体的体积（4）物体所受重力（前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小又有方向）【点评】根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。

通过学生活动，感知数学，进行意义建构。

物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念的原型。

由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。

二、探索研究问题一情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形式对这一量进行描述呢？1．向量的定义既有大小又有方向的量叫向量。

师：你还能举出一些向量的例子吗？师：在这一概念中你认为关键词有哪些？板书向量的二要素大小和方向师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在物理中我们是用什么表示它的呢？2．向量的表示方法①几何表示法——向量常用有向线段表示师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

2.1.1与2.1.2平面向量的背景、概念与几何表示教学目标： 掌握向量的意义、表示方法以及有关概念重点与难点： 向量的数学概念及表示方法教学方法：研究与探索 教学过程：一、课题引入：1、本章引言：（可让一名学生大声朗读）2、请学生阅读课本P 842.1.1向量的物理背景与概念3、教师点评：在本小结中我们遇到了两种不同性质的量：（1） 只有大小的量——（物理学中称为标量；数学中称为什么？）（2） 即有大小又有方向的量——（物理学中称为矢量；数学中：？）4、两种不同性质量的意义：有同学可能会提出一个量只要有大小就足够了，为什么还要规定方向呢？我们举例来回答：例如：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.再例如:行军时常会遇到方位的问题:A 相对于B 的准确位置等等显而易见:日常生活中即有大小又有方向的量很多,在数学中,我们把这种即有大小又有方向的量叫做向量例：力、速度、加速度、冲量等二、 平面向量的表示方法:1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。

注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2︒从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2． 向量的表示方法：1︒几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度2︒字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）3． 模的概念：向量−→−AB 记作：|| 模是可以比较大小的4． 两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作0。

0的方向是任意的。

注意与0的区别 A B A(起点)B （终点） a2 单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

一、教学目标1. 知识目标：使学生理解向量的概念，掌握向量的表示方法。

2. 能力目标：培养学生运用向量知识解决实际问题的能力。

3. 情感目标：激发学生对向量学习的兴趣，培养学生的数学思维。

二、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、向量的表示方法。

2. 教学难点：向量的几何表示和向量的运算。

三、教学过程一、导入1. 提问：同学们在生活中有哪些现象可以用向量来描述？2. 学生回答，教师总结：向量在物理、工程、计算机等领域都有广泛的应用，如力、速度、加速度等。

二、新课讲解1. 向量的概念（1）向量的定义：向量是既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示方法：向量可以用有向线段表示，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

（3）向量的性质：向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。

2. 向量的几何表示（1）有向线段表示：向量的几何表示就是用一条有向线段来表示向量，有向线段的起点表示向量的起点，终点表示向量的终点。

（2）向量坐标表示：在直角坐标系中，向量可以用一对有序实数（坐标）来表示。

3. 向量的运算（1）向量加法：两个向量的和等于它们的终点与起点的连线。

（2）向量减法：两个向量的差等于它们的终点与起点的连线，但方向相反。

（3）向量数乘：一个向量乘以一个实数，相当于向量的大小乘以实数的大小，方向不变。

三、课堂练习1. 根据向量的定义和表示方法，写出下列向量的表示：（1）一个向东的向量，大小为5；（2）一个向北的向量，大小为3；2. 计算下列向量的和与差：（1）向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)；（2）向量a = (4, -2)，向量b = (-3, 5)。

四、总结1. 向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段或坐标表示。

2. 向量具有方向性、大小、相加、数乘等性质。

3. 向量的运算包括加法、减法和数乘。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 思考向量在实际生活中的应用，如力、速度、加速度等。

《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标1. 让学生理解平面向量的实际背景，了解向量在现实生活中的应用。

2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、相等向量、相反向量等。

3. 掌握向量的线性运算，包括加法、减法、数乘等。

4. 培养学生的数学思维能力和实际问题解决能力。

二、教学内容1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、工程学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。

2. 向量的定义：介绍向量的概念，强调向量是有大小和方向的量。

3. 向量的表示方法：介绍向量的表示方法，包括箭头表示法、坐标表示法等。

4. 相等向量、相反向量：介绍相等向量和相反向量的概念，强调它们的性质和运算规律。

5. 向量的线性运算：介绍向量的加法、减法和数乘运算，包括运算规则、运算性质等。

三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念和运算规律。

2. 利用多媒体辅助教学，通过动画、图片等形式展示向量的实际背景和运算过程。

3. 采用小组讨论、合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

4. 结合例题讲解，让学生通过实践操作理解和掌握向量的运算方法和技巧。

四、教学评估1. 通过课堂提问、作业批改等方式及时了解学生的学习情况，发现问题并及时解决。

2. 设计一些实际问题，让学生运用所学的向量知识解决，评估学生对知识的掌握程度。

3. 组织课堂讨论，评估学生的参与程度和团队协作能力。

五、教学资源1. 多媒体教学课件：包括向量的实际背景图片、向量运算的动画演示等。

2. 教材：提供相关章节的学习材料，供学生预习和复习使用。

3. 练习题库：提供丰富的练习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于巩固所学知识。

4. 参考资料：提供一些相关的研究论文、书籍等，供有兴趣深入学习的学生参考。

六、教学安排1. 课时安排：本章节共需4课时，每课时45分钟。

2. 课堂活动安排：第一课时：向量的实际背景介绍，向量的定义和表示方法学习。

《平面向量的实际背景及基本概念》参考教案一、教学目标1. 让学生了解平面向量的实际背景，感受向量在实际问题中的应用价值。

2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、模长、方向等。

3. 学会用坐标表示平面向量，并理解其几何意义。

二、教学内容1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，通过物理、几何等实际问题，让学生感受向量在描述运动、力、角度等方面的作用。

2. 平面向量的定义及表示方法：讲解向量的定义，引导学生理解向量是具有大小和方向的量。

介绍平面向量的表示方法，包括几何表示和坐标表示。

3. 向量的模长：定义向量的模长，让学生掌握求解向量长度的方法，并理解模长的几何意义。

4. 向量的方向：介绍向量的方向，讲解如何用角度或方向角表示向量的方向。

5. 坐标表示：讲解平面向量的坐标表示方法，让学生学会用坐标表示向量，并理解其几何意义。

三、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的实际背景，向量的基本概念，向量的模长和方向，坐标表示。

2. 教学难点：向量的坐标表示及其几何意义。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解平面向量的基本概念和性质。

2. 借助多媒体课件，展示向量的图形，增强学生对向量概念的理解。

3. 结合实际例子，引导学生运用向量解决实际问题。

4. 开展小组讨论，让学生探讨向量坐标表示的方法和几何意义。

五、教学过程1. 引入向量的概念：通过讲解物理中的力和速度等实际问题，引导学生了解向量的实际背景。

2. 讲解向量的定义及表示方法：介绍向量的定义，讲解几何表示和坐标表示，让学生掌握向量的基本表示方法。

3. 向量的模长：讲解向量长度的求解方法，让学生理解模长的几何意义。

4. 向量的方向：讲解如何用角度或方向角表示向量的方向，引导学生理解向量方向的概念。

5. 坐标表示：讲解向量的坐标表示方法，让学生学会用坐标表示向量，并理解其几何意义。

六、教学练习1. 让学生通过练习题，巩固向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法、模长、方向等。

2.1.1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示 教学目标：• 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.• 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.• 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教学思路： （一）一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

（二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现）1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向）2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？（三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法： A B C D A(起点) B （终点）a①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；④向量的大小―长度称为向量的模，记作||.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.（四）理解和巩固：例1 书本75页例1.例2判断：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（3）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）课堂练习：书本77页练习1、2、3题三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平面向量的概念和向量的几何表示；3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。